Умножение многочлена на многочлен: правило, примеры. Умножение многочлена на многочлен

Среди различных выражений, которые рассматриваются в алгебре, важное место занимают суммы одночленов. Приведем примеры таких выражений:
\(5a^4 - 2a^3 + 0,3a^2 - 4,6a + 8 \)
\(xy^3 - 5x^2y + 9x^3 - 7y^2 + 6x + 5y - 2 \)

Сумму одночленов называют многочленом. Слагаемые в многочлене называют членами многочлена. Одночлены также относят к многочленам, считая одночлен многочленом, состоящим из одного члена.

Например, многочлен
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0,25b \cdot (-12)b + 16 \)
можно упростить.

Представим все слагаемые в виде одночленов стандартного вида:
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0,25b \cdot (-12)b + 16 = \)
\(= 8b^5 - 14b^5 + 3b^2 -8b -3b^2 + 16 \)

Приведем в полученном многочлене подобные члены:
\(8b^5 -14b^5 +3b^2 -8b -3b^2 + 16 = -6b^5 -8b + 16 \)
Получился многочлен, все члены которого являются одночленами стандартного вида, причем среди них нет подобных. Такие многочлены называют многочленами стандартного вида .

За степень многочлена стандартного вида принимают наибольшую из степеней его членов. Так, двучлен \(12a^2b - 7b \) имеет третью степень, а трехчлен \(2b^2 -7b + 6 \) - вторую.

Обычно члены многочленов стандартного вида, содержащих одну переменную, располагают в порядке убывания показателей ее степени. Например:
\(5x - 18x^3 + 1 + x^5 = x^5 - 18x^3 + 5x + 1 \)

Сумму нескольких многочленов можно преобразовать (упростить) в многочлен стандартного вида.

Иногда члены многочлена нужно разбить на группы, заключая каждую группу в скобки. Поскольку заключение в скобки - это преобразование, обратное раскрытию скобок, то легко сформулировать правила раскрытия скобок:

Если перед скобками ставится знак «+», то члены, заключаемые в скобки, записываются с теми же знаками.

Если перед скобками ставится знак «-», то члены, заключаемые в скобки, записываются с противоположными знаками.

Преобразование (упрощение) произведения одночлена и многочлена

С помощью распределительного свойства умножения можно преобразовать (упростить) в многочлен произведение одночлена и многочлена. Например:
\(9a^2b(7a^2 - 5ab - 4b^2) = \)
\(= 9a^2b \cdot 7a^2 + 9a^2b \cdot (-5ab) + 9a^2b \cdot (-4b^2) = \)
\(= 63a^4b - 45a^3b^2 - 36a^2b^3 \)

Произведение одночлена и многочлена тождественно равно сумме произведений этого одночлена и каждого из членов многочлена.

Этот результат обычно формулируют в виде правила.

Чтобы умножить одночлен на многочлен, надо умножить этот одночлен на каждый из членов многочлена.

Мы уже неоднократно использовали это правило для умножения на сумму.

Произведение многочленов. Преобразование (упрощение) произведения двух многочленов

Вообще, произведение двух многочленов тождественно равно сумме произведении каждого члена одного многочлена и каждого члена другого.

Обычно пользуются следующим правилом.

Чтобы умножить многочлен на многочлен, надо каждый член одного многочлена умножить на каждый член другого и сложить полученные произведения.

Формулы сокращенного умножения. Квадраты суммы, разности и разность квадратов

С некоторыми выражениями в алгебраических преобразованиях приходится иметь дело чаще, чем с другими. Пожалуй, наиболее часто встречаются выражения \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) и \(a^2 - b^2 \), т. е. квадрат суммы, квадрат разности и разность квадратов. Вы заметили, что названия указанных выражений как бы не закончены, так, например, \((a + b)^2 \) - это, конечно, не просто квадрат суммы, а квадрат суммы а и b. Однако квадрат суммы а и b встречается не так уж часто, как правило, вместо букв а и b в нем оказываются различные, иногда довольно сложные выражения.

Выражения \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) нетрудно преобразовать (упростить) в многочлены стандартного вида, собственно, вы уже встречались с таким заданием при умножении многочленов:
\((a + b)^2 = (a + b)(a + b) = a^2 + ab + ba + b^2 = \)
\(= a^2 + 2ab + b^2 \)

Полученные тождества полезно запомнить и применять без промежуточных выкладок. Помогают этому краткие словесные формулировки.

\((a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab \) - квадрат суммы равен сумме квадратов и удвоенного произведения.

\((a - b)^2 = a^2 + b^2 - 2ab \) - квадрат разности равен сумме квадратов без удвоенного произведения.

\(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \) - разность квадратов равна произведению разности на сумму.

Эти три тождества позволяют в преобразованиях заменять свои левые части правыми и обратно - правые части левыми. Самое трудное при этом - увидеть соответствующие выражения и понять, чем в них заменены переменные а и b. Рассмотрим несколько примеров использования формул сокращенного умножения.

Назад Вперёд

Внимание! Предварительный просмотр слайдов используется исключительно в ознакомительных целях и может не давать представления о всех возможностях презентации. Если вас заинтересовала данная работа, пожалуйста, загрузите полную версию.

Цели урока: (Презентация. Слайд 2)

Образовательные:

• вывести правило умножения многочлена на многочлен;
• формировать умение применять это правило.

Развивающие:

• развитие внимания;
• формирование умения анализировать и обобщать знания по теме;
• развитие навыков устного счёта.

Воспитательные:

• воспитание аккуратности;
• воспитание устойчивого интереса к предмету.

Тип урока: Урок изучения и первичного закрепления новых знаний.

Ход урока

I. Устная работа (Презентация. Слайд 3)

Выполните умножение.

а) а (х – у);

б) 2p (3 – q);

в) –2х (х – 4);

г) 4y(у 3 + 0,25);

д) – 0,5 c 2 (c 3 + 2);

е) –5х (3х 2 – 4);

ж) 2a 4 (а 3 – 0,5);

з) –q 7 (q 3 – q 5).

II. Объяснение нового материала (Презентация. Слайд 4)

Объяснение проводится в несколько этапов согласно материалу учебника.

1. Вывести правило умножения многочлена на многочлен и наглядно представить его на слайде (или доске):

2. Сформулировать полученное правило, попросить нескольких учащихся повторить его.

3. Разобрать примеры применения правила.

Поскольку данная тема является новой для учащихся, целесообразно привести несколько несложных примеров непосредственного применения правила умножения двух многочленов. Примеры использования этого правила при решении ряда задач лучше рассмотреть на следующих уроках.

Пример 1. (Презентация. Слайд 5) Умножить многочлен (3a – 2b) на многочлен (2a + 3b).

Решение: (3a – 2b)(2a + 3b) = 3a * 2a + 3a * 3b + (– 2b) * 2a + (– 2b) * 3b = 6a 2 + 9ab – 4 ab – 6b 2 = 6a 2 + 5ab – 6b 2 .

Пример 2. (Презентация. Слайд 6) Упростите выражение: (2х – 3)(5 – х) – 3х(4 – х).

Решение: (2х – 3)(5 – х) – 3х(4 – х) = 10х – 2х 2 – 15 + 3х – 12х + 3х 2 = х 2 + х – 15.

Пример 3. (Презентация. Слайд 7) Докажем, что при любом натуральном значении п значение выражения (п + 1)(п + 2) – (3п – 1)(п + 3) + 5п(п + 2) + п +7 кратно 3.

Решение: (п + 1)(п + 2) – (3п – 1)(п + 3) + 5п(п + 2) + п +7 = п 2 + 2п + п + 2 – 3п 2 – 9п + п + 3 + 5п 2 + 10п + п +7 = 3п 2 + 6п + 12 = 3 (п 2 + 2п + 4).

III. Формирование умений и навыков (Презентация. Слайд 8)

За урок следует опросить как можно больше учащихся, чтобы убедиться, что они усвоили правило умножения многочлена на многочлен. Поэтому для выполнения каждого задания к доске можно вызывать сразу трёх учащихся.

1. № 677, № 678.

В этих заданиях на умножение многочленов каждый из множителей является линейным. Важно, чтобы учащиеся следили за точностью применения соответствующего правила и не ошибались в знаках.

2. № 680.

Эти задания несколько сложнее, поскольку помимо применения правила умножения многочленов учащиеся должны помнить свойства степеней.

в) 12a 4 – a 2 b 2 – b 4 ;

е) 56p 3 – 51p 2 + 10p.

3. № 682 (а, в).

а) (х + 10) 2 = (х + 10) (х + 10) = х 2 + 10х + 10х + 100 = х 2 + 20х + 100;

в) (3а – 1) 2 = (3а – 1) (3а – 1) = 9а 2 – 3а – 3а – 1 = 9а 2 – 6а + 1.

IV. Итоги урока (Презентация. Слайд 9)

– Как умножить одночлен на многочлен?

– Сформулируйте правило умножения многочлена на многочлен.

– Какие знаки будут иметь слагаемые, полученные при умножении многочленов:

а) (х + у) (а – b);

б) (n – m) (p – q)?

V. Домашнее задание: (Презентация. Слайд 10)

№ 679; № 681; № 682 (б, г).

Используемые учебники и учебные пособия: (Презентация. Слайд 11)

1. Учебник “Алгебра 7”. Ю.Н.Макарычев, Н.Г.Миндюк, К.И.Нешков, С.Б.Суворова под редакцией С.А.Теляковского. Москва “Просвещение”.2010г.
2. Рурукин А.Н., Лупенко Г.В., Масленникова И.А. Поурочные разработки по алгебре: 7 класс.

Использованное оформление.

Цели урока: повторить и закрепить правила выполнения действий между одночленами и многочленами. В течение урока развивать у учеников умение упрощать выражения с одночленами и многочленами, использовать свои знания для выполнения разных видов заданий; так же развивается чувство сотрудничества и сопереживания.
Ход урока:
1. Организационный момент. (2 мин.)
Рассадить детей на 5 групп. Рассказать тему урока и задачи урока.

2. Анализ самостоятельной работы. (5 мин.)
Выставить оценки и разобрать задания из работы, которые при решении вызвали затруднения. Так же проводится фронтальный опрос всего класса по определения и правилам.

• Что называется одночленом?
• Что называется многочленом?
• Какие слагаемые являются подобными?
• Что такое стандартный вид одночлена? многочлена?
• Влияет ли коэффициент на подобия слагаемых?
• Что значит сложить подобные слагаемые?
• Расскажите правило раскрытия скобок, если перед скобкой знак плюс.
• Если перед скобкой знак минус.
• Если перед скобкой множитель.
• Расскажите правило умножения многочленов.

3. Актуализация знаний. (13 мин.)
На столе преподавателя лежат три стопки карточек. В первой карточки с выражениями одночленов:

Во второй и третьей карточки с выражениями многочленов:



В каждой стопке по шесть карточек. Из каждой группы выходит по очереди по одному ученику и для своей группы берет по карточке из каждой стопки. И с данными выражениями группа должна выполнить следующие упражнения:

• Умножить одночлен на многочлен.
• Сложить многочлены.
• Из первого многочлена вычесть второй.
• Умножить многочлен на многочлен.

Примеры записываются и решаются. Примеры должны быть записаны у каждого в группе и решение должен уметь объяснить каждый из группы.
После выполнения задания, учитель из каждой группы вызывает по одному ученику. Этот ученик должен записать примеры на доске и затем объяснить решение. Пока задания записываются, остальные устно выполняют и разбирают задание № 796.

4. Решение задач. (13 + 7 мин.)
1) После каждой группе выдается карточка с выражениями для упрощения. Карточки у всех одинаковые. Учащиеся должны обсудить в группе, каким образом выполнять действия и внимательно решить.

После выполнения устно проверяются ответы. Каждая группа читает по одному ответу. Если в каком-нибудь примере возникли трудности, то пример обсуждается на доске. (Обратить внимание на пятый пример.)
2) Затем каждой группе раздается по карточке с заданием на доказательство. Если ученики не могут справиться, преподаватель чуть-чуть должен подсказать.

Для умножения многочлена на многочлен существует очень легкое правило. Чтобы умножить два многочлена между собой, надо каждый член первого многочлена умножить на каждый член второго многочлена. После это полученные произведения сложить и привести подобные.

На рисунке представлена общая схема перемножения.

Решим пример представленный на рисунке.
(4*x + 8*x*y) * (2*x + 3*y - 4) =
4*x*2*x + 4*x*3*y + 4*x*(-4) + 8*x*y*2*x + 8*x*y*3*y + 8*x*y*(-4) =
8*x^2 + 12*x*y - 16*x + 16*x^2*y + 24*x*y^2 - 32*x*y

Теперь приводим подобные слагаемые и получаем многочлен в стандартном виде.
8*x^2-20* x*y - 16*x + 16*x^2*y + 24*x*y^2
Если необходимо перемножить многочлены, у которых только одна переменная то можно умножение производить с помощью таблицы.

Рассмотрим пример:
Требуется перемножить два полинома x^5 +x^3 - 2*x^2 +3 и 2*x^4 - 3*x^3 + 4*x^2 - 1.
Для начала выпишем их коэффициенты. При чем в порядке убывания степеней неизвестных переменных, то есть от большей степени к меньшей. Если переменной в какой-то степени нет, то коэффициент взять равным нулю.

Таким образом, для полинома x^5 +x^3 - 2*x^2 +3 коэффициенты следующие 1; 0; 1; -2; 0; 3
Для полинома 2*x^4 - 3*x^3 + 4*x^2 - 1 коэффициенты 2; -3; 4; 0; -1.

Теперь записываем одни коэффициенты горизонтально, а другие вертикально. Теперь каждый из элемент из вертикального столбца умножаем на каждый элемент из горизонтального. И при каждом новом элементе сдвигаем на одну позицию вправо. Далее полученные ряды суммируем по столбцам. Как при умножении чисел в столбик, но только результат полученный после сложения не переносятся в следующий разряд.
Посмотрите на рисунке какая таблица должна получится.

Теперь остается записать ответ.
2*x^9 - 3*x^8 + 6*x^7 - 7*x^6 + 9*x^5 - 2*x^4 - 10*x^3 + 14*x^2 -3.

Нужна помощь в учебе?

Чтобы пользоваться предварительным просмотром презентаций создайте себе аккаунт (учетную запись) Google и войдите в него: https://accounts.google.com

Подписи к слайдам:

Умножение многочленов Урок алгебры в 7 классе

Задачи: Систематизировать материал по теме «Сложение, вычитание, умножение многочленов» Провести диагностику усвоения знаний стандартного уровня с переходом на более высокий уровень Развить познавательный интерес, память, мышление, внимание, сообразительность Научиться вырабатывать критерии оценки своей работы, умение анализировать проделанную работу и адекватно ее оценивать. Цель: Отработать навыки работы с многочленами

«Дорогу осилит идущий, а математику мыслящий»

Устно: c 4 ∙c 2 ; (c 3) 4 ; c 7 ∙c 3 ∙c ; (c 2) 6 c ; 4x 2 ∙(-2 y) ; -5a∙(- 4a 2) ; (5x 4) 2 ; 7x 4 ∙(- 3x) 2 ; (- 2x 2) 3 ; 2 x∙(7 x-3) ; (5p-2q) - 10 ; (b+7)(-4b) ; (9y-3)6y ; 8x 5 - 10x 5 ; -4a 2 - 3a 2 ; 5y 4 +2y 3 ; 2x+6 ; 8x-12y ; 6ab+a ; x 2 -x ; a 3 -2a 4 +3a 5 ;

C лово алгебра произошло от слова ал- джабра, взятого из названия книги узбекского математика, астронома и географа Мухаммеда Ал-Хорезми. Арабское слово аль-джебр переводчик не стал переводить, а записал его латинскими буквами algebr . Так возникло название науки, которую мы изучаем. « Ал-джабра »-операция переноса отрицательных членов из одной части уравнения в другую, но уже с положительным знаком. По-русски это слово называется «восполнение».

Что называется многочленом? Сумма одночленов. Что называют одночленом? Произведение чисел, переменных и их степеней. Какие слагаемые называют подобными? Слагаемые с одинаковой буквенной частью. Как привести подобные слагаемые? Сложить их числовые коэффициенты, а результат умножить на общую буквенную часть. Как умножить одночлен на многочлен? Одночлен умножить на каждый член многочлена, а результаты сложить. Как умножить одночлены? Умножить числовые коэффициенты, а затем умножить степени с одинаковыми основаниями и результаты перемножить.

Как умножить степени с одинаковыми основаниями? Основание оставить тем же, а показатели степеней сложить. Как возвести степень в степень? Основание оставить тем же, а показатели степеней перемножить. Что называется степенью многочлена стандартного вида? Наибольшая из степеней входящего в него одночлена. Что называют степенью одночлена? Сумма показателей степеней всех входящих в него переменных. Как умножить многочлен на многочлен? Каждый член одного многочлена умножить на каждый член другого многочлена и полученные произведения сложить

Вариант 1 - x(4x-1) 0,2x(5x+5) (2x+4) ∙8x 2 -1/8x 2 ∙(16- 8 x 2) 2x(x 2 +5x+3) x 2 y 2 (x + y) x(x+2) x 2 (x 2 +2x+3) 3x 2 (x-2) (x + y)(-3x) -3xy∙(x 4 -3xy) 2x (x+7) -4x (-x+2) Вариант 2 0,4y(5y 2 +5) -y(3y 2 -1) 1/4y 2 (4y 2 +8) -1/9x 3 (18-9x 3) 3y(y 2 +3x+2) x 2 y 2 (y + x) y(y+4) y 2 (у +2y 2 +3) 2y 2 (y-3) -3y(x + y) -2y(-y+4) 8x 2 y(x 2 -4yx) x(5+8x) 2y 3 +2y -3y 3 +y y 4 +2y 2 -2x 3 +x 6 3y 3 +9xy+6y x 2 y 3 +x 3 y y 2 +4y y 3 +2y 4 +3y 4 2y 3 -6y 2 -3yx-3y 2 2y 2 -8y 8x 4 y-32x 3 y 2 5x+8x 2 -4 x 2 +x x 2 +x 16x 3 +32x 2 -2x 2 +x 4 2x 3 +10x 2 +6x x 3 y 2 +x 2 y 3 x 2 +2x x 4 +2x 3 +3x 2 3x 3 -6x 2 -3x 2 -3xy -3x 5 y+9x 2 y 2 2x 2 +14x 4x 2 -8x

11-13 правильных ответов – 5 8-10 правильных ответов – 4 5-7 правильных ответов - 3

Разгрузка 20 сек.

Работа с учебником №682 (а)- у доски (б)-самостоятельно в тетрадях №683 (а)- у доски (б)- самостоятельно в тетрадях

(3- x)(3x 2 +x-4) -x∙(-4)= 3∙3x 2 +3∙x -3∙4 -x∙3x 2 - x∙x 9x 2 +3x -12 -3x 3 -x 2 +4x= 9x 2 + 3x -12-3x 3 -x 2 + 4x = -3x 3 +8x 2 +7x-12.

(3x-1)(5x+4)-15x 2 =17 (1-2x)(1-3x)=(6x-1)∙x-1 Решите уравнение №697;698 1 2 -x∙(x-3)=(6-x)(x+2) 5+x 2 =(x-1)∙(x+6) 2x(x-8)=(x+1)∙(2x-3)

Решение уравнений 2)5+х²=(х-1)(х+6) 5+х²=х²+6х-х-6 6х-х=5+6 5х=11 х=2,2 3)2х(х-8)=(х+1)(2х-3) 2х²-16х=2х²-3х+2х-3 -16х+3х-2х=-3 -15х=-3 х=0,2 1) 12-х(x-3) =(6-x)(х+ 2) 12- х ² +3x =6х +12- х ²- 2 х 3 х - 6 х +2x=0 -x=0 x=0

Задача №700 Назовите три любых последовательных числа На сколько отличаются друг от друга соседние числа? Как записать с помощью х три последовательных числа?

Синквейн Уравнения Сложные, красивые Думать, терпеть, радоваться Уравнения важнее политики, политика существует только для данного момента, а уравнения будут существовать вечно основа Многочлен Стандартный, трудный Умножать, складывать, трудиться

Спасибо за урок! Учитель математики МБОУ «Инсарская»СОШ№1 Антонова Татьяна Викторовна