В чем состоит метод решения проблем гурвица. Минимаксное решение

Является представителем семейства алгебраических критериев устойчивости, в отличие от частотных критериев, таких как критерий устойчивости Найквиста . К достоинствам метода относятся простая реализация на ЭВМ, а к недостаткам - малая наглядность.

Формулировка

1) по главной диагонали слева направо выставляются все коэффициенты характеристического уравнения от до

2) от каждого элемента диагонали вверх и вниз достраиваются столбцы определителя так, чтобы индексы убывали сверху вниз;

3) на место коэффициентов с индексами меньше нуля или больше ставятся нули.

Тогда согласно критерию Гурвица :

Для того, чтобы динамическая система была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы все диагональных миноров определителя Гурвица были положительны. Эти миноры называются определителями Гурвица.

См. также

Система находится на границе апериодической устойчивости, если a с индексом n будет равна 0. Система находится на границе колебательной устойчивости, если определитель Гурвица с индексом (n-1) будет равным 0.

Литература

Четаев Н.Г. Устойчивость движения.- Москва: Наука, 1965.-234 с.

Wikimedia Foundation . 2010 .

Смотреть что такое "Критерий Гурвица" в других словарях:

критерий Гурвица - Hurwitzo kriterijus statusas T sritis automatika atitikmenys: angl. Hurwitz s criterion vok. Hurwitzkriterium, n rus. критерий Гурвица, m pranc. critère de Hurwitz, m ryšiai: sinonimas – Hurvico kriterijus … Automatikos terminų žodynas

Критерий Сэвиджа один из критериев принятия решений в условиях неопределённости. Условиями неопределённости считается ситуация, когда последствия принимаемых решений неизвестны, и можно лишь приблизительно их оценить. Для принятия решения… … Википедия

Критерий устойчивости Рауса Гурвица один из способов анализа линейной стационарной динамической системы на устойчивость, разработанный немецким математиком Адольфом Гурвицом. Наряду с критерием Рауса является представителем семейства… … Википедия

Критерий устойчивости Гурвица один из способов анализа линейной стационарной динамической системы на устойчивость, разработанный немецким математиком Адольфом Гурвицем. Наряду с критерием Рауса является представителем семейства алгебраических… … Википедия

Критерий устойчивости Гурвица один из способов анализа линейной стационарной динамической системы на устойчивость, разработанный немецким математиком Адольфом Гурвицем. Наряду с критерием Рауса является представителем семейства алгебраических… … Википедия - Критерий устойчивости Найквиста Михайлова один из способов судить об устойчивости замкнутой системы управления по её разомкнутой АФЧХ. Является одним из частотных критериев устойчивости. С помощью этого критерия оценить устойчивость… … Википедия

Критерий устойчивости Найквиста Михайлова один из способов судить об устойчивости замкнутой системы управления по амплитудно фазовой частотной характеристике её разомкнутого состояния. Является одним из частотных критериев… … Википедия

Критерий MAXIMAX не учитывает при принятии инвестиционного решения риска, связанного с неблагоприятным развитием внешней среды.

В соответствии с этим правилом правила максимакс и максимин сочетаются связыванием максимума минимальных значений альтернатив. Это правило называют ещё правилом оптимизма – пессимизма. Оптимальную альтернативу можно рассчитать по формуле:

а* = maxi [(1-α) minj Пji+ α maxj Пji]

где α- коэффициент оптимизма, α =1…0 при α =1 альтернатива выбирается по правилу максимакс, при α =0 – по правилу максимин. Учитывая боязнь риска, целесообразно задавать α =0,3. Наибольшее значение целевой величины и определяет необходимую альтернативу.

Правило Гурвица применяют, учитывая более существенную информацию, чем при использовании правил максимин и максимакс.

Таким образом, при принятии управленческого решения в общем случае необходимо:

· спрогнозировать будущие условия, например, уровни спроса;

· разработать список возможных альтернатив

· оценить окупаемость всех альтернатив;

· определить вероятность каждого условия;

· оценить альтернативы по выбранному критерию решения.

Критерий пессимизма-оптимизма Гурвица устанавливает баланс между критерием MAXIMIN и критерием MAXIMAX посредством выпуклой линейной комбинации. При использовании этого метода из всего множества ожидаемых сценариев развития событий в инвестиционном процессе выбираются два, при которых ИПj достигает минимальной и максимальной эффективности. Выбор оптимального ИП по показателю NPV осуществляется по формуле:

где - коэффициент пессимизма-оптимизма, который принимает значение в зависимости от отношения ЛПР к риску, от его склонности к оптимизму или к пессимизму. При отсутствии ярко выраженной склонности λ = 0,5. При λ = 0 (точка Вальда) критерий Гурвица совпадает с максиминым критерием, при λ = 1 - с максимаксным критерием.

Общий недостаток рассмотренных выше методов теории игр состоит в том, что предполагается ограниченное количество сценариев развития (конечное множество состояний окружающей среды).

При выборе решения из двух крайностей, связанных с пессимистической стратегией по критерию Вальда и чрезмерным оптимизмом по критерию Сэвиджа можно выбрать некоторую промежуточную позицию, граница которой определяется показателем пессимизма-оптимизма х, находящимся в пределах 0 ≤ х ≤ 1. Такой критерий называется критерием Гурвица. Как частный случай при х=1 из него следует максиминный критерий Вальда, а при х=0 – минимаксный критерий Сэвиджа.

В соответствии с критерием Гурвица для каждой стратегии выбирается линейная сумма взвешенных минимального и максимального выигрышей по формуле:

где g ij – размер прибыли (убытков) от спроса (продаж) (табл. 1), i – строка, j – столбец.

Положим х=0,8 (близкий к пессимистическому критерий) и рассчитаем G i для трех стратегий S 1 , S 2 , S 3 по данным табл. 1

G 1 =0,8(1020)+(1-0,8)4200=1656 д.е.

G 2 =0,8(-60)+(1-0,8)6300=1212 д.е.

G 3 =0,8(-1140)+(1-0,8)8400=768 д.е.

Затем выбирается такая стратегия, для которой величина G i получается наибольшей, т.е. S i опт →G imax . В нашем примере G imax =G 1 , следовательно S опт =S 1 , т.е. как по критерию Вальда. Если выбрать х близким к нулю, то получим S опт =S 2 , т.е. как по критерию Сэвиджа.

Критерий основан на построении определителя, составленного из коэффициентов, входящих в характеристическое уравнение системы.

Запишем характеристическое уравнение для системы 6-го порядка в виде

Аналогично можно записать уравнение системы любой степени, если порядок системы обозначить n . В нашем случае n =6.Уравнение записывается таким образом, чтобы коэффициент при высшей производной (а 6) был положительным, т.е. а 6 > 0.

Порядок построения определителя Гурвица.

1. По главной диагонали записываются все коэффициенты от до а 0 включительно (=5).

2. Вверх по диагонали записываются коэффициенты уравнения в порядке убывания индексов, а вниз от диагонали – в порядке возрастания индексов.

3. На месте коэффициентов, не входящих в характеристическое уравнение, ставят нули.

4. Определители меньших порядков получают вычеркиванием последнего столбца и последней строки.

5. Определитель высшего порядка D n =a 0 D n -1 (D 6 =а 0 D 5).

Условие устойчивости по Гурвицу

Система автоматического управления будет устойчивой, если все определители, составленные из коэффициентов характеристического уравнения системы, от D n (D 6) до D 1 будут положительными, при этом а n (а 6) должно быть больше нуля.

Построим определитель Гурвица для системы шестого порядка.

Система устойчива, если а 0 >0; D 5 >0; D 4 >0; D 3 >0; D 2 >0; D 1 =а 5 >0.

Если хотя бы один из определителей, называемых определителями Гурвица, отрицателен, система будет неустойчива.

Если главный определитель системы D п =0, а все остальные определители положительны, то система находится на границе устойчивости.

Рассмотрим частные случаи критерия Гурвица для систем 1, 2, 3-го порядков. Раскрывая определители, фигурирующие в общей формулировке критерия, можно получить следующие условия.

1. Для уравнений первого порядка

условие устойчивости

а 1 > 0 и D 1 = а 0 > 0,

т.е. необходимым и достаточным условием устойчивости является положительность коэффициентов уравнения (<0).

2. Для уравнений второго порядка

,

условие устойчивости

а 2 > 0, D 1 = а 1 > 0; D 2 = а 0 а 1 > 0.

Таким образом, и для системы второго порядка положительность коэффициентов является необходимым и достаточным условием устойчивости.

3. Для уравнений третьего порядка

условие устойчивости

а 3 > 0, D 1 = а 2 > 0; D 2 = а 1 а 2 – а 0 а 3 > 0; D 3 = а 0 D 2 > 0.

Последнее неравенство Δ 3 > 0 эквивалентно неравенству D 2 > 0. Следовательно, для системы третьего порядка кроме положительности всех коэффициентов уравнения требуется, чтобы D 2 > 0.

Критерий Гурвица применяют для анализа устойчивости систем не выше пятого порядка. При n > 5 вычисление определителей становится громоздким.

В 1895 г. немецким математиком А. Гурвицем был разработан алгебраический критерий устойчивости в форме определителей, составляемых из коэффициентов характеристического уравнения системы.

Из коэффициентов характеристического уравнения (3 30) строят сначала главный определитель Гурвица

(см. скан)

по следующему правилу: по главной диагонали определителя слева направо выписывают все коэффициенты характеристического уравнения от до в порядке возрастания индексов. Столбцы вверх от главной диагонали дополняют коэффициентами характеристического уравнения с последовательно возрастающими индексами, а столбцы вниз - коэффициентами с последовательно убывающими индексами. На место коэффициентов с индексами больше порядок характеристического уравнения) и меньше нуля проставляют нули.

Отчеркивая в главном определителе Гурвица, как показано пунктиром, диагональные миноры, получаем определители Гурвица низшего порядка:

Номер определителя Гурвица определяется номером коэффициента по диагонали, для которого составляют данный определитель. Критерий устойчивости Гурвица формулируется следующим образом: для того чтобы система автоматического управления была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы все определители Гурвица имели знаки, одинаковые со знаком первого коэффициента характеристического уравнения т. е. при были положительными.

Таким образом, при для устойчивости системы необходимо и достаточно выполнения следующих условий:

Раскрывая, например, определители Гурвица для характеристических уравнений первого, второго, третьего и четвертого порядков, можно получить следующие условия устойчивости:

1) для уравнения первого порядка условия устойчивости

2) для уравнения второго порядка условия устойчивости

3) для уравнения третьего порядка условия устойчивости

4) для уравнения четвертого порядка условия устойчивости

Таким образом, необходимым и достаточным условием устойчивости для систем первого и второго порядков является положительность коэффициентов характеристического уравнения. Для уравнения третьего и четвертого порядков кроме положительности коэффициентов необходимо соблюдение дополнительных неравенств (3.44) и (3.46).

При 5 число подобных дополнительных неравенств возрастает, процесс раскрытия определителей становится довольно трудоемким и громоздким. Поэтому критерий устой- чивости Гурвица обычно применяют при При 5 целесообразно применять формулируемый ниже критерий устойчивости Льенара - Шипара либо при использовании критерия устойчивости Гурвица переходить к численным методам с использованием ЭВМ.

В последнем столбце главного определителя Гурвица (3.38) отличен от нуля только один коэффициент поэтому

Из (3.47), видно, что при для проверки устойчивости системы достаточно найти только определители Гурвица от до Если все определители Гурвица низшего порядка положительны, то система находится на границе устойчивости, когда главный определитель равен нулю:

Последнее равенство возможно в двух случаях: или . В первом случае система находится на границе апериодической устойчивости (один из корней характеристического уравнения равен нулю); во втором случае - на границе колебательной устойчивости (два комплексно-сопряженных корня характеристического уравнения находятся на мнимой оси).

Используя критерий Гурвица, можно при заданных параметрах системы принять за неизвестный какой-либо один параметр (например, коэффициент усиления, постоянную времени и т. д.) и определить его предельное (критическое) значение, при котором система будет находиться на границе устойчивости.

Следует заметить, что критерий Гурвица можно получить из критерия Рауса, поэтому иногда критерий Гурвица называют критерием Рауса - Гурвица.

НЕПРЕРЫВНЫХ АВТОМАТИЧЕСКИХ СИСТЕМ

(КРИТЕРИЙ ГУРВИЦА)

Критерий был сформулирован и доказан в 1895 г. немецким математиком

А. Гурвицем, который разработал свой критерий, решая чисто математическую задачу – задачу исследования устойчивости линейного дифференциального уравнения. Гурвиц обратился к этой задаче по просьбе словацкого ученого А. Стодолы, занимавшегося вопросами регулирования турбин.

Адольф Гурвиц (нем. Adolf Hurwitz ),26 марта 1859 , Хильдесхайм - 18 ноября 1919 , Цюрих - немецкий математик.

Гурвиц поступил в университет Мюнхена в1877 году. Через год он переезжает вБерлин . Заканчивает обучение вЛейпциге (1880 ). Преподавательскую карьеру начал вКёнигсбергском университете , где в1884 году стал профессором. С1892 года профессор Политехнической школы вЦюрихе . Среди его студентов в Цюрихе былиДавид Гильберт иАльберт Эйнштейн .

Материал из Википедии - свободной энциклопедии

АЛГОРИТМИЧЕСКАЯ ФОРМА КРИТЕРИЯ ГУРВИЦА

Чтобы все корни характеристического уравнения АС

a 0 s n +a 1 s n -1 + ...+ a n -1 s + a n = 0 ,

имели отрицательные вещественные части, необходимо, при a 0 > 0 выполнение условия:

все n определителей Гурвица, получаемые из квадратной матрицы коэффициентов

должны быть положительны.

Матрица Гурвица составляется следующим образом:

на главной диагонали записывают коэффициенты характеристического уравнения от a 1 доa n (в порядке возрастания индекса),

в каждом столбце выше возрастающими индексами,

в каждом столбце ниже диагональных коэффициентов записывают коэффициенты с последовательноубывающими индексами;

на местах коэффициентов с индексами большими n или меньшими нуля проставляют нули.

Определители Гурвица – это так называемые

ДИАГОНАЛЬНЫЕ МИНОРЫ:

;
;; . . .

Последний столбец матрицы содержит всегда только один элемент a n , отличный от нуля, поэтому согласно известному свойству определителей

Если a n = 0, то наблюдается апериодическая граница устойчивости (нулевой корень - астатическая система),

если
, то - колебательная граница устойчивости (комплексные корни).

Если хотя бы один из определителей Гурвица

отрицателен или равен нулю ,

то система неустойчива.

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ФОРМА КРИТЕРИЯ ГУРВИЦА

Главное достоинство критерия Гурвица состоит в том, что могут быть записаны формулы , по которым для конкретных порядков АС может быть не только установлена её устойчивость, но и проанализировано влияние параметров АС на это свойство.

Наиболее известно неравенство
для АС 3-го порядка (все коэффициенты ХПАС должны быть одного знака, чаще считают - положительными). Его намного раньше А. Гурвица получил И.А. Вышнеградский.

Для АС 4-го порядка кроме положительности всех коэффициентов ХПАС должно выполняться неравенство . Видно, что неравенство Вышнеградского является составной частью критерия.

Для АС 5-го порядка условия Гурвица имеют вид:
,,
,
. Обратите внимание, что «вычисляемых» неравенств стало теперь два и одно из них - неравенство Вышнеградского, которое входит и во второе условие.

Для АС 6-го порядка аналитический вид неравенств Гурвица таков:

,
,

(первое «вычисляемое» неравенство),

(второе «вычисляемое» неравенство).

При использовании формул, вытекающих из критерия Гурвица для конкретных порядков АС, нужно обращать внимание на форму записи полинома и индексацию его коэффициентов – начиная с 4-го порядка, можно получить неверную оценку устойчивости.

Сложность аналитических выражений точных алгебраических критериев устойчивости привела к разработке простых достаточных критериев устойчивости (А.В. Липатова - Н.И. Соколова, В.С. Воронова и др.).

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ

1. Болнокин В.Е., Чинаев П.И. Анализ и синтез систем автоматического управления на ЭВМ. Алгоритмы и программы. – М.: Радио и связь, 1986. – 248 с.

2. Сборник задач по теории автоматического регулирования и управления, под редакцией В.А. Бесекерского, издание пятое, переработанное, издательство «Наука», Главная редакция физико-математической литературы, М., 1978, 512 с.