График функции tg x 2. Тригонометрические функции

Основными тригонометрическими функциями являются функции y=sin(x), y=cos(x), y=tg(x), y=ctg(x). Рассмотрим каждую из них в отдельности.

Y = sin(x)

График функции y=sin(x).

Основные свойства:

3. Функция нечетная.

Y = cos(x)

График функции y=cos(x).

Основные свойства:

1. Область определения вся числовая ось.

2. Функция ограниченная. Множество значений - отрезок [-1;1].

3. Функция четная.

4.Функция периодическая с наименьшим положительным периодом равным 2*π.

Y = tg(x)

График функции y=tg(x).

Основные свойства:

1. Область определения вся числовая ось, за исключением точек вида x=π/2 +π*k, где k - целое.

3. Функция нечетная.

Y = ctg(x)

График функции y=ctg(x).

Основные свойства:

1. Область определения вся числовая ось, за исключением точек вида x=π*k, где k - целое.

2. Функция неограниченная. Множество значение вся числовая прямая.

3. Функция нечетная.

4.Функция периодическая с наименьшим положительным периодом равным π.

Нужна помощь в учебе?

Определение Тангенсом угла α называют число, равное отношению sin α к cos α, обозначают tg α, т. е. Тангенс определён для всех углов α, кроме тех, для которых косинус равен нулю Для любого угла α ≠ π/2 + πk, kЄZ существует, и притом единственный tg α

y Ось тангенсов +∞ 120° 180° 1 x - 45° не существует Тангенс может принимать любые значения от – ∞ до + ∞ х=1 –∞

Определение Котангенсом угла α называют число, равное отношению cos α к sin α, обозначают сtg α, т. е. Котангенс определён для всех углов α, кроме тех, для которых синус равен нулю Для любого угла α ≠ πk, kЄZ существует, и притом единственный сtg α

Ось котангенсов Y –∞ +∞ 120° у=1 180° 0° X 45° Не существует Котангенс может принимать любые значения от – ∞ до + ∞

Построение графика функции y = tg x, если х Є [ π ∕ 2; π ∕ 2 ] y у = tg x х 0 1 у=tg x 0 ±π ∕ 6 x -1 ≈ ± 0, 6 ±π ∕ 4 ± 1 ±π ∕ 3 ≈ ± 1, 7 ±π ∕ 2 Не существ.

Свойства функции y=tg x. y 1 у=tg x x 1 Нули функции: tg х = 0 при х = πn, nєZ у>0 при хє (0; π/2) и при сдвиге на πn, nєZ. у

Свойства функции y=tg x. у=tg x y Асимптоты 1 x -1 При х = π ∕ 2+πn, nєZ - функция у=tgx не определена. Точки х = π ∕ 2+πn, nєZ – точки разрыва функции.

Запишите все свойства функции y = tg x. 1. Область определения: 2. Множество значений функции: 3. Периодическая, Т= 4. Нечётная функция 5. Возрастает на всей области определения. 6. Нули функции у = 0 при х = 7. у > 0 при хє и при сдвиге на 8. у

у 1 х - - 3 2 y = tgx + a - - 0 2 -1 y = tgx 3 2 2 y = tgx – b

у 1 х - - 3 2 - y = tgx - 0 2 -1 3 2 y = tg(x – a) 2

у 1 х - - 3 2 - y = tgx - 0 2 -1 3 2 2 y = Itgx. I

Функция y = ctg x 1. 2. 3. 4. 5. у=ctg x Область определения данной функции – все действительные числа, кроме чисел х=πk, k Z. Область значений функции – все действительные числа. Функция убывает на интервалах Функция нечетная, график ее симметричен относительно начала координат. Функция периодическая, ее наименьший положительный период равен π. у 1 - х -π 0 -1 π

Задача № 1. Найти все корни уравнения tgx = 1, принадлежащих промежутку –π ≤ х ≤ 3π ∕ 2. Решение. 1. Построим графики у=tg x y у=1 −π 1 х1 0 -1 х2 функций у=tgx и у=1 2. х1= − 3π∕ 4 х2= π∕ 4 x х3= 5π∕ 4 х3 3π/2 π

Задача № 2. Найти все решения неравенства tgx

МОУ лицей №10 города Советска Калининградской области

учитель математики

Разыграева Татьяна Николаевна.

Конспект урока по алгебре в 10-м классе по теме:

«Функции y = tgx, y = ctgx, их свойства и графики”.

Цели: 1. Изучить свойства функций y = tgx, y = ctgx; выработать у учащихся умения изображать схематически и читать графики этих функций. Сформировать прочные навыки в умении решать графически уравнения, выполнять преобразования графиков.

Оргмомент. Сообщение темы, целей и задач урока. Приглашение к сотрудничеству.

Актуализация знаний. Устная работа.

1.Вычислите:

2.Докажите, что число  является периодом для функции .

3.Докажите, что функция нечётная. Доказательство: .

4.Прочитайте по графику функцию.

D (f ) = [ -2; 5]. Функция не является ни чётной, ни нечётной. Функция возрастает на промежутках [ -2; -1], , убывает на промежутке [ -1; 2]. Функция ограничена снизу и сверху. Функция непрерывна на всей области определения. E(f) = [ -4; 5].

Свойство 2. Функция периодическая с периодом , т.к.

Свойство 3. Функция нечётная, т.к. . График нечётной функции симметричен относительно начала координат.

Составим таблицу основных значений:

Построим график функции в первой четверти:

Используя свойства функции, строим полностью график функции y = tgx.

Свойство 4. Функция возрастает на всём интервале вида:

График функции y = tgx называют тангенсоидой , а ветвь на промежутке называют главной ветвью.

Свойство 7.Функция y = tgx непрерывна на любом промежутке вида

Рассмотрим пример: решите уравнение . Решим это уравнение графически. Построим в одной системе координат графики функций и .

Пример 2. Построить график функции

Составим план построения: 1) Построим главную тангенсоиду.

2) Отобразим эту ветвь симметрично относительно оси х. 3) Сдвинем полученную ветвь на /2 влево. 4) зная одну ветвь, построим весь график.

Т.к. , то построен график функции

По графику полученной функции описать её свойства. Как быстро это сделать? (Большинство свойств у функций y = tgx и совпадают).

Свойство 1. D (f ) – все действительные числа, кроме чисел вида x = k .

Свойство 2. Функция периодическая с периодом .

Свойство 3. Функция нечётная.

Свойство 4. Функция убывает на всём интервале вида:

Свойство 5. Функция не ограничена ни снизу, ни сверху.

Свойство 6. Функция не имеет ни наибольшего, ни наименьшего значений.

Свойство 7.Функция y = tgx непрерывна на любом промежутке вида:

Свойство 8. E(f) = (-  ; +  ).

График функции так же называется тангенсоидой.

Закрепление изученного материала. № 254,255,257,258 – устно. № 261в, 262в – письменно.

Итог урока.

- С какими функциями мы сегодня с вами познакомились?

- Что можно сказать о них?

- Какими похожими свойствами они обладают? В чём различие?

- Как называются графики этих функций?

Домашнее задание. §15 № 256(а), 259(а), 261(а), 262(а).

Просмотр содержимого презентации
«Функции тангенса и котангенса, их свойства и графики.»

Функции y = tg x, y = ctg x,

их свойства и графики.

МАОУ лицей №10 города Советска

Калининградской области

учитель математики

Разыграева Татьяна Николаевна

Работа устно:

Вычислите:

Докажите, что число  является периодом для функции y = sin2x.

sin2(x -  ) = sin2x = sin2(x +  )

Докажите, что функция является нечётной:

f(x) = x⁵ ∙ cos3x

Прочитайте по графику функцию:

Подсказка!

План прочтения графика:

1) D(f) – область определения функции .

2) Чётность или нечётность функции .

3) Промежутки возрастания, убывания

функции .

4) Ограниченность функции .

5) Наибольшие, наименьшие значения

функции .

6) Непрерывность функции.

7) E(f) – область значений функции.

Свойство 1.

Область определения функции y = tg x – множество

всех действительных чисел, за исключением чисел

вида x =  /2 +  k.

Свойство 2.

y = tg x – периодическая функция с

периодом  .

tg(x -  ) = tg x = tg(x +  )

Свойство 3.

y = tg x – нечётная функция.

tg(- x) = - tg x

(График функции симметричен относительно

начала координат).

х

tg x

y

1

0

x

Свойство 4.

y = tg x

Функция возрастает на любом интервале вида:

График функции y = tg x

называется тангенсоидой .

Свойство 5.

Функция y = tg x не ограничена ни снизу, ни сверху.

Свойство 6.

У функции y = tg x нет ни наибольшего, ни

наименьшего значений.

Свойство 7.

Функция y = tg x непрерывна на любом интервале

вида

Свойство 8.

Пример 1.

Решите уравнение tg x =  3

у =  3

Ответ:

Пример 2.

Построить график функции y = - tg (x +  /2).

y = ctg x

Т.к. - tg (x +  /2) = ctg x, то построен график функции

y = ctg x.

Опишите свойства функции y = ctgx.

• D(f): множество всех действительных чисел, кроме чисел

вида x =  k.

2) Периодическая с периодом  .

3) Нечётная функция.

4) Функция убывает на любом интервале вида (  k;  +  k).

5) Функция не ограничена ни снизу, ни сверху.

6) Функция не имеет ни наибольшего, ни наименьшего

значений.

7) Функция непрерывна на любом интервале вида (  k;  +  k).

8) E(f) = (-  ; +  ).

1). Пример №3 по учебнику

разобрать самостоятельно.

2). № 254, 255, 257, 258 – устно.

3). № 261 (в), 262 (в) –письменно.

4). Домашнее задание:

№ 256 (а), 259 (а), 261(а), 262(а).

Цель: рассмотреть графики и свойства функций у = tg х, у = ctg х.

I. Сообщение темы и цели уроков

II. Повторение и закрепление пройденного материала

1. Ответы на вопросы по домашнему заданию (разбор нерешенных задач).

2. Контроль усвоения материала (письменный опрос).

Вариант I

2. Постройте график функции:

Вариант 2

1. Как построить график функции:

2. Постройте график функции:

III. Изучение нового материала

Рассмотрим две оставшиеся тригонометрические функции - тангенс и котангенс.

1. Функция у = tg x

Остановимся на графиках функций тангенса и котангенса. Сначала обсудим построение графика функции у = tg х на промежутке Такое построение аналогично построению графика функции у = sin х, описанному ранее. При этом значение функции тангенса в точке находится с помощью линии тангенсов (см. рисунок).

Учитывая периодичность функции тангенса, получаем ее график на всей области определения параллельными переносами вдоль оси абсцисс (вправо и влево) уже построенного графика на π, 2π и т. д. График функции тангенса называют тангенсоидой.

Приведем основные свойства функции у = tg х:

1. Область определения - множество всех действительных чисел, за исключением чисел вида

y (x

3. Функция возрастает на промежутках вида где к ∈ Z .

4. Функция не ограничена.

6. Функция непрерывная.

8. Функция периодическая с наименьшим положительным периодом Т = π, т. е. у(х + п k ) = у(х).

9. График функции имеет вертикальные асимптоты

Пример 1

Установим четность или нечетность функции:

Легко проверить, что для функций а, б область определения - симметричное множество. Исследуем эти функции на четность или нечетность. Для этого найдем у(-х) и сравним значения у(х) и y (- x ).

а) Получим: Так как выполнено равенство y (- x ) = у(х), то функция у(х) по определению четная.

б) Имеем:

Так как выполнено равенство y (- x ) = -у(х), то функция у(х) по определению нечетная.

в) Область определения данной функции - несимметричное множество. Например, функция определена в точке х = π/4 и не определена в симметричной точке х = -π/4. Поэтому данная функция определенной четности не имеет.

Пример 2

Найдем основной период функции

Данная функция у(х) представляет собой алгебраическую сумму трех тригонометрических функций, периоды которых равны: T 1 = 2π, Запишем эти числа в виде дробей с одинаковыми знаменателями Наименьшее общее кратное коэффициентов НОК (6; 2; 3). Поэтому основной период данной функции

Пример 3

Построим график функции

Учтем правила преобразования графиков функции. В соответствии с ними график функции получается смещением графика функции у = tg х на π/4 единиц вправо вдоль оси абсцисс и его растяжением в 2 раза вдоль оси ординат.

Пример 4

Построим график функции

Используя определение и свойства модуля, в аргументе функции раскроем знаки модуля, рассмотрев три случая. Если х < 0, то имеем: При 0 ≤ x ≤ π /4 имеем: Для х > π /4 имеем: Далее остается построить три части данного графика. При х < 0 строим прямую у = -1. Для 0 ≤ x ≤ π /4 строим тангенсоиду Этот график получается смещением графика функции у = tg х на π/8 вправо вдоль оси абсцисс и сжатием в два раза вдоль этой оси. При х > π /4 строим прямую у = 1.

2. Функция у = ctg x

Аналогично графику функции у = tg х или с помощью формулы приведения строится график функции у = ctg x .

Перечислим основные свойства функции у = ctg x :

1. Область определения - множество всех действительных чисел, за исключением чисел вида х = п k , к ∈ Z .

2. Функция нечетная (т. е. у(-х) = - y (x )), и ее график симметричен относительно начала координат.

3. Функция убывает на промежутках вида (п k ; п + п k ), к ∈ Z .

4. Функция не ограничена.

5. Функция не имеет наименьшего и наибольшего значений.

6. Функция непрерывная.

7. Область значений Е(у) = (-∞; +∞).

8. Функция периодическая с наименьшим положительным периодом Т = п, т. е. у(х + п k ) = у(x ).

9. График функции имеет вертикальные асимптоты х = п k .

Пример 5

Найдем область определения и область значений функции

Очевидно, что область определения функции y (x ) совпадает с областью определения функции z = ctg х, т. е. область определения - множество всех действительных чисел, кроме чисел вида х = nk , k ∈ Z .

Функция y (х) сложная. Поэтому запишем ее в виде Координаты вершины параболы y (z ): zB = 1 и y в = 2 - 4 + 5 = 3. Тогда область значений данной функции Е(у) = }