Как найти серединную линию треугольника. Прямоугольный треугольник

Понятие средней линии треугольника

Введем понятие средней линии треугольника.

Определение 1

Это отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника (Рис. 1).

Рисунок 1. Средняя линия треугольника

Теорема о средней линии треугольника

Теорема 1

Средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон и равна её половине.

Доказательство.

Пусть нам дан треугольник $ABC$. $MN$ - средняя линия (как на рисунке 2).

Рисунок 2. Иллюстрация теоремы 1

Так как $\frac{AM}{AB}=\frac{BN}{BC}=\frac{1}{2}$, то треугольники $ABC$ и $MBN$ подобны по второму признаку подобия треугольников. Значит

Также, отсюда следует, что $\angle A=\angle BMN$, значит $MN||AC$.

Теорема доказана.

Следствия из теоремы о средней линии треугольника

Следствие 1: Медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся точкой пересечения в отношении $2:1$ начиная с вершины.

Доказательство.

Рассмотрим треугольник $ABC$, где ${AA}_1,\ {BB}_1,\ {CC}_1$ его медианы. Так как медианы делят стороны пополам. Рассмотрим среднюю линию $A_1B_1$ (Рис. 3).

Рисунок 3. Иллюстрация следствия 1

По теореме 1, $AB||A_1B_1$ и $AB=2A_1B_1$, следовательно, $\angle ABB_1=\angle BB_1A_1,\ \angle BAA_1=\angle AA_1B_1$. Значит треугольники $ABM$ и $A_1B_1M$ подобны по первому признаку подобия треугольников. Тогда

Аналогично доказывается, что

Теорема доказана.

Следствие 2: Три средние линии треугольника делят его на 4 треугольника, подобных исходному треугольнику с коэффициентом подобия $k=\frac{1}{2}$.

Доказательство.

Рассмотрим треугольник $ABC$ со средними линиями $A_1B_1,\ {\ A}_1C_1,\ B_1C_1$ (рис. 4)

Рисунок 4. Иллюстрация следствия 2

Рассмотрим треугольник $A_1B_1C$. Так как $A_1B_1$ - средняя линия, то

Угол $C$ - общий угол этих треугольников. Следовательно, треугольники $A_1B_1C$ и $ABC$ подобны по второму признаку подобия треугольников с коэффициентом подобия $k=\frac{1}{2}$.

Аналогично доказывается, что треугольники $A_1C_1B$ и $ABC$, и треугольники $C_1B_1A$ и $ABC$ подобны с коэффициентом подобия $k=\frac{1}{2}$.

Рассмотрим треугольник $A_1B_1C_1$. Так как $A_1B_1,\ {\ A}_1C_1,\ B_1C_1$ -- средние линии треугольника, то

Следовательно, по третьему признаку подобия треугольников, треугольники $A_1B_1C_1$ и $ABC$ подобны с коэффициентом подобия $k=\frac{1}{2}$.

Теорема доказана.

Примеры задачи на понятие средней линии треугольника

Пример 1

Дан треугольник со сторонами $16$ см, $10$ см и $14$ см. Найти периметр треугольника , вершины которого лежат в серединах сторон данного треугольника.

Решение.

Так как вершины искомого треугольника лежат в серединах сторон данного треугольника, то его стороны -- средние линии исходного треугольника. По следствию 2, получим, что стороны искомого треугольника равны $8$ см, $5$ см и $7$ см.

Ответ: $20$ см.

Пример 2

Дан треугольник $ABC$. Точки $N\ и\ M$ -- середины сторон $BC$ и $AB$ соответственно (Рис. 5).

Рисунок 5.

Периметр треугольника $BMN=14$ см. Найти периметр треугольника $ABC$.

Решение.

Так как $N\ и\ M$ -- середины сторон $BC$ и $AB$, то $MN$ -- средняя линия. Значит

По теореме 1, $AC=2MN$. Получаем:

Средняя линия треугольника

Свойства

• средняя линия треугольника параллельна третьей стороне и равна её половине.
• при проведении всех трёх средних линий образуются 4 равных треугольника, подобных (даже гомотетичных) исходному с коэффициентом 1/2.
• средняя линия отсекает треугольник, который подобен данному, а его площадь равна одной четверти площади исходного треугольника.

Средняя линия четырехугольника

Средняя линия четырехугольника - отрезок, соединяющий середины противолежащих сторон четырехугольника.

Свойства

Первая линия соединяет 2 противоположные стороны. Вторая соединяет 2 другие противоположные стороны. Третья соединяет центры двух диагоналей (не во всех четырехугольниках центры пересекаются)

• Если в выпуклом четырехугольнике средняя линия образует равные углы с диагоналями четырехугольника, то диагонали равны.
• Длина средней линии четырехугольника меньше полусуммы двух других сторон или равна ей, если эти стороны параллельны, и только в этом случае.
• Середины сторон произвольного четырёхугольника - вершины параллелограмма . Его площадь равна половине площади четырехугольника, а его центр лежит на точке пересечения средних линий. Этот параллелограмм называется параллелограммом Вариньона ;
• Точка пересечения средних линий четырехугольника является их общей серединой и делит пополам отрезок, соединяющий середины диагоналей. Кроме того, она является центроидом вершин четырехугольника.
• В произвольном четырёхугольнике вектор средней линии равен полусумме векторов оснований.

Средняя линия трапеции

Средняя линия трапеции - отрезок, соединяющий середины боковых сторон этой трапеции. Отрезок, соединяющий середины оснований трапеции, называют второй средней линией трапеции.

Свойства

• средняя линия параллельна основаниям и равна их полусумме.

См. также

Примечания

Wikimedia Foundation . 2010 .

Смотреть что такое "Средняя линия" в других словарях:

СРЕДНЯЯ ЛИНИЯ - (1) трапеции отрезок, соединяющий середины боковых сторон трапеции. Средняя линия трапеции параллельна её основаниям и равна их полусумме; (2) треугольника отрезок, соединяющий середины двух сторон этого треугольника: третья сторона при этом… … Большая политехническая энциклопедия

Треугольника (трапеции) отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника (боковых сторон трапеции) … Большой Энциклопедический словарь

средняя линия - 24 средняя линия: Воображаемая линия, проходящая через профиль резьбы так, что толщина выступа равна ширине канавки. Источник … Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации

Треугольника (трапеции), отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника (боковых сторон трапеции). * * * СРЕДНЯЯ ЛИНИЯ СРЕДНЯЯ ЛИНИЯ треугольника (трапеции), отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника (боковых сторон трапеции) … Энциклопедический словарь

средняя линия - vidurio linija statusas T sritis Kūno kultūra ir sportas apibrėžtis 3 mm linija, dalijanti teniso stalo paviršių išilgai pusiau. atitikmenys: angl. centre line; midtrack line vok. Mittellinie, f rus. средняя линия … Sporto terminų žodynas

средняя линия - vidurio linija statusas T sritis Kūno kultūra ir sportas apibrėžtis Linija, dalijanti fechtavimosi kovos takelį į dvi lygias dalis. atitikmenys: angl. centre line; midtrack line vok. Mittellinie, f rus. средняя линия … Sporto terminų žodynas

средняя линия - vidurio linija statusas T sritis Kūno kultūra ir sportas apibrėžtis Linija, dalijanti sporto aikšt(el)ę pusiau. atitikmenys: angl. centre line; midtrack line vok. Mittellinie, f rus. средняя линия … Sporto terminų žodynas

1) С. л. треугольника, отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника (третью сторону называют основанием). С. л. треугольника параллельна основанию и равна его половине; площади частей треугольника, на которые делит его с. л.,… … Большая советская энциклопедия

Треугольника отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника. Третья сторона треугольника при этом наз. основанием треугольника. С. л. треугольника параллельна основанию и равна половине его длины. Во всяком треугольнике С. л. отсекает от… … Математическая энциклопедия

Треугольника (трапеции), отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника (боковых сторон трапеции) … Естествознание. Энциклопедический словарь

Книги

• Ручка шариковая "Jotter Luxe K177 West M" (синяя) (1953203) , . Шариковая ручка в подарочной упаковке. Цвет письма: синий. Линия: средняя. Произведено во Франции…

Четырёхугольник, у которого только две стороны параллельны называются трапецией .

Параллельные стороны трапеции называются её основаниями , а те стороны, которые не параллельны, называются боковыми сторонами . Если боковые стороны равны, то такая трапеция является равнобедренной. Расстояние между основаниями называется высотой трапеции.

Средняя Линия Трапеции

Средняя линия - это отрезок, соединяющий середины боковых сторон трапеции. Средняя линия трапеции параллельна её основаниям.

Теорема:

Если прямая, пересекающая середину одной боковой стороны, параллельна основаниям трапеции, то она делит пополам вторую боковую сторону трапеции.

Теорема:

Длина средней линии равна среднему арифметическому длин её оснований

MN средняя линия, AB и CD - основания, AD и BC - боковые стороны

MN = (AB + DC)/2

Теорема:

Длина средней линии трапеции равна среднему арифметическому длин её оснований.

Основная задача : Доказать, что средняя линия трапеции делит пополам отрезок, концы которого лежат в середине оснований трапеции.

Средняя Линия Треугольника

Отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника, называется средней линией треугольника. Она параллельна третьей стороне и её длина равна половине длины третьей стороны.
Теорема : Если прямая, пересекающая середину одной стороны треугольника, параллельна другой стороне данного треугольника, то она делит третью сторону пополам.

AM = MC and BN = NC =>

Применение свойств средней линии треугольника и трапеции

Деление отрезка на определённое количество равных частей.
Задача: Разделить отрезок AB на 5 равных частей.
Решение:
Пусть p это случайный луч, у которого начало это точка А, и который не лежит на прямой AB. Мы последовательно откладываем 5 равных сегментов на p AA 1 = A 1 A 2 = A 2 A 3 = A 3 A 4 = A 4 A 5
Мы соединяем A 5 с B и проводим такие прямые через A 4 , A 3 , A 2 и A 1 , которые параллельны A 5 B. Они пересекают AB соответственно в точках B 4 , B 3 , B 2 и B 1 . Эти точки делят отрезок AB на 5 равных частей. Действительно, из трапеции BB 3 A 3 A 5 мы видим, что BB 4 = B 4 B 3 . Таким же образом, из трапеции B 4 B 2 A 2 A 4 получаем B 4 B 3 = B 3 B 2

В то время как из трапеции B 3 B 1 A 1 A 3 , B 3 B 2 = B 2 B 1 .
Тогда из B 2 AA 2 следует, что B 2 B 1 = B 1 A. В заключении получаем:
AB 1 = B 1 B 2 = B 2 B 3 = B 3 B 4 = B 4 B
Ясно, что для разделения отрезка AB на другое количество равных частей, нам нужно проецировать то же самое количество равных сегментов на луч p. И далее продолжать вышеописанным способом.

научная работа

1. Свойства средних линий

1. Свойства треугольника:

· при проведении всех трёх средних линий образуются 4 равных треугольника, подобных исходному с коэффициентом 1/2.

· средняя линия параллельна основанию треугольника и равна его половине;

· средняя линия отсекает треугольник, который подобен данному, а его площадь равна одной четверти его площади.

2. Свойства четырёхугольника:

· если в выпуклом четырехугольнике средняя линия образует равные углы с диагоналями четырехугольника, то диагонали равны.

· длина средней линии четырехугольника меньше полусуммы двух других сторон или равна ей, если эти стороны параллельны, и только в этом случае.

· середины сторон произвольного четырёхугольника -- вершины параллелограмма. Его площадь равна половине площади четырехугольника, а его центр лежит на точке пересечения средних линий. Этот параллелограмм называется параллелограммом Вариньона;

· Точка пересечения средних линий четырехугольника является их общей серединой и делит пополам отрезок, соединяющий середины диагоналей. Кроме того, она является центроидом вершин четырехугольника.

3. Свойства трапеции:

· средняя линия параллельна основаниям трапеции и равна их полусумме;

· середины сторон равнобедренной трапеции являются вершинами ромба.

Биномиальные коэффициенты

Числа Cnk обладают рядом замечательных свойств. Эти свойства в конечном счёте выражают различные соотношения между подмножествами данного множества X. Их можно доказывать непосредственно, исходя из формулы (1)...

Биномиальные коэффициенты

1. Сумма коэффициентов разложения (a + b)n равна 2n. Для доказательства достаточно положить a = b = 1. Тогда в правой части разложения бинома мы будем иметь сумму биномиальных коэффициентов, а слева: (1 + 1)n = 2n. 2.Коэффициенты членов...

Ввиду важности и обширности материала, связанного с понятием уравнения, его изучение в современной методике математики организовано в содержательно-методическую линию уравнений и неравенств...

Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел

Пусть S - коммутативная мультипликативная несократимая полугруппа с 1 и без делителей единицы. Такие полугруппы называются целыми, или коническими. Элементы и из S называются взаимно простыми, если НОД(,)=1...

Так как предметом нашего изучения будет средняя величина, скажем вначале о том, как средние определяются в литературе. Сильное определение, включающее несколько условий, состоит в следующем . Определение...

Обобщение классических средних величин

Теперь мы готовы для квази-средних указать упомянутое выше аксиоматическое определение. Будем исходить от частных случаев - простейших средних...

Основные понятия математической статистики

При расчете средней арифметической для интервального вариационного ряда сначала определяют среднюю для каждого интервала, как полусумму верхней и нижней границ, а затем - среднюю всего ряда. Средние...

Простейшие способы обработки опытных данных

Применение вышеназванных способов для описания реальных процессов. При этом нельзя сделать однозначный вывод о том, какой способ наиболее точно описывает тот или иной процесс. Например...

Распределение Пуассона. Аксиомы простейшего потока событий

Теперь рассмотрим случай, когда обе совокупности подчиняются нормальному распределению, но проверка гипотез о равенстве двух генеральных дисперсий закончилась отвержением гипотезы равенства...

Регрессионный анализ корелляции субъективного ВАШ и лабораторных признаков активности реактивного артрита

Во многих случаях практики интерес представляет вопрос о том, в какой мере существенно влияние того или иного фактора на рассматриваемый признак. В данном случае фактором является вид инфекции вызвавший реактивный артрит, а признаками СОЭ, СРБ...

Случайные вектора

Ковариация случайных величин и определяется через их совместную плотность вероятности соотношением: . (57.1) Подынтегральная функция в (57.1) неотрицательна для таких, при которых, то есть при, или, . И наоборот, при, или...

Статистические расчеты содержания влаги

Численное интегрирование разными методами

Метод прямоугольников получается при замене подынтегральной функции на константу. В качестве константы можно взять значение функции в любой точке отрезка. Наиболее часто используются значения функции в середине отрезка и на его концах...

Численные методы

1 Чтобы уменьшить погрешность методов левых и правых прямоугольников был предложен метод средних, т.е. метод в котором высота прямоугольника вычисляется в середине отрезка h (Рис. 7). Обращаясь к рисунку легко увидеть...

В решении планиметрических задач, помимо сторон и углов фигуры, нередко активное участие принимают и другие величины – медианы, высоты, диагонали, биссектрисы и прочие. К их числу относится и средняя линия.
Если исходный многоугольник – трапеция, то что представляет собой его средняя линия? Данный отрезок представляет собой часть прямой, которая пересекает боковые стороны фигуры посередине и располагается параллельно двум другим сторонам – основаниям.

Как найти среднюю линию трапеции через линию средины и основания

Если известны величина верхнего и нижнего оснований, то рассчитать неизвестное поможет выражение:

a, b – основания, l – средняя линия.

Как найти среднюю линию трапеции через площадь

Если в исходных данных присутствует значение площади фигуры, то с помощью данной величины также можно вычислить длину линии средины трапеции. Воспользуемся формулой S = (a+b)/2*h,
S – площадь,
h – высота,
a, b – основания.
Но, так как l = (a+b)/2, то S = l*h, а значит l=S/h.

Как найти среднюю линию трапеции через основание и углы при нем

При наличии длины большего основания фигуры, ее высоты, а также известных градусных мер углов при нем, выражение для нахождения линии средины трапеции будет иметь следующий вид:

l=a – h*(ctgα+ctgβ)/2, при этом
l – искомая величина,
a – большее основание,
α, β – углы при нем,
h – высота фигуры.

Если известно значение меньшего основания (при тех же остальных данных), найти линию средины поможет соотношение:

l=b+h*(ctgα+ctgβ)/2,

l – искомая величина,
b – меньшее основание,
α, β – углы при нем,
h – высота фигуры.

Найти среднюю линию трапеции через высоту, диагонали и углы

Рассмотрим ситуацию, когда в условиях задачи присутствуют значения диагоналей фигуры, углы, которые они образуют, пересекаясь друг с другом, а также высота. Рассчитать среднюю линию можно с помощью выражений:

l=(d1*d2)/2h*sinγ или l=(d1*d2)/2h*sinφ,

l – линия средины,
d1, d2 – диагонали,
φ, γ – углы между ними,
h – высота фигуры.

Как найти среднюю линию трапецииДля равнобедренной фигуры

В случае, если базовая фигура – трапеция равнобедренная, приведенные выше формулы будут иметь следующий вид.

• При наличии значений оснований трапеции изменений в выражении не произойдет.

l = (a+b)/2, a, b – основания, l – средняя линия.

• Если известны высота, основание и углы, к нему прилегающие, то:

l=a-h*ctgα,
l=b+h*ctgα,

l – линия средины,
a, b – основания (b < a),
α – углы при нем,
h – высота фигуры.

• Если известна боковая сторона трапеции и одно из оснований, то определить искомую величину можно, обратившись к выражению:

l=a-√(c*c-h*h),
l=b+√(c*c-h*h),
l – линия средины,
a, b – основания (b < a),
h – высота фигуры.

• При известных значениях высоты, диагоналей (а они равны между собой) и углах, образованных в результате их пересечения, линию средины можно найти следующим образом:

l=(d*d)/2h*sinγ или l=(d*d)/2h*sinφ,

l – линия средины,
d – диагонали,
φ, γ – углы между ними,
h – высота фигуры.

• Известны площадь и высота фигуры, тогда:

l=S/h,
S – площадь,
h – высота.

• Если перпендикуляр-высота неизвестен, его можно определить с помощью определения тригонометрической функции.

h=c*sinα, поэтому
l=S/c*sinα,
l – линия средины,
S – площадь,
c – боковая сторона,
α- угол у основания.