Критерий гурвица для системы 4 порядка. Минимаксное решение
НЕПРЕРЫВНЫХ АВТОМАТИЧЕСКИХ СИСТЕМ
(КРИТЕРИЙ ГУРВИЦА)
Критерий был сформулирован и доказан в 1895 г. немецким математиком
А. Гурвицем, который разработал свой критерий, решая чисто математическую задачу – задачу исследования устойчивости линейного дифференциального уравнения. Гурвиц обратился к этой задаче по просьбе словацкого ученого А. Стодолы, занимавшегося вопросами регулирования турбин.
Адольф Гурвиц (нем. Adolf Hurwitz ),26 марта 1859 , Хильдесхайм - 18 ноября 1919 , Цюрих - немецкий математик.
Гурвиц поступил в университет Мюнхена в1877 году. Через год он переезжает вБерлин . Заканчивает обучение вЛейпциге (1880 ). Преподавательскую карьеру начал вКёнигсбергском университете , где в1884 году стал профессором. С1892 года профессор Политехнической школы вЦюрихе . Среди его студентов в Цюрихе былиДавид Гильберт иАльберт Эйнштейн .
Материал из Википедии - свободной энциклопедии
АЛГОРИТМИЧЕСКАЯ ФОРМА КРИТЕРИЯ ГУРВИЦА
Чтобы все корни характеристического уравнения АС
a 0 s n +a 1 s n -1 + ...+ a n -1 s + a n = 0 ,
имели отрицательные вещественные части, необходимо, при a 0 > 0 выполнение условия:
все n определителей Гурвица, получаемые из квадратной матрицы коэффициентов
a n -1 | ||||||||
a n -2 |
a n |
должны быть положительны.
Матрица Гурвица составляется следующим образом:
на главной диагонали записывают коэффициенты характеристического уравнения от a 1 доa n (в порядке возрастания индекса),
в каждом столбце выше возрастающими индексами,
в каждом столбце ниже диагональных коэффициентов записывают коэффициенты с последовательноубывающими индексами;
на местах коэффициентов с индексами большими n или меньшими нуля проставляют нули.
Определители Гурвица – это так называемые
ДИАГОНАЛЬНЫЕ МИНОРЫ:
;
;;
. . .
Последний столбец матрицы содержит
всегда только один элемент a
n
,
отличный от нуля, поэтому согласно
известному свойству определителей
Если a n = 0, то наблюдается апериодическая граница устойчивости (нулевой корень - астатическая система),
если
,
то - колебательная граница устойчивости
(комплексные корни).
Если хотя бы один из определителей Гурвица
отрицателен или равен нулю ,
то система неустойчива.
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ФОРМА КРИТЕРИЯ ГУРВИЦА
Главное достоинство критерия Гурвица состоит в том, что могут быть записаны формулы , по которым для конкретных порядков АС может быть не только установлена её устойчивость, но и проанализировано влияние параметров АС на это свойство.
Наиболее
известно неравенство
для АС 3-го
порядка
(все
коэффициенты ХПАС должны быть одного
знака, чаще считают - положительными).
Его намного раньше А. Гурвица получил
И.А. Вышнеградский.
Для АС 4-го порядка кроме положительности всех коэффициентов ХПАС должно выполняться неравенство . Видно, что неравенство Вышнеградского является составной частью критерия.
Для
АС 5-го порядка
условия Гурвица имеют вид:
,,
,
.
Обратите внимание, что «вычисляемых»
неравенств стало теперь два и одно из
них - неравенство Вышнеградского, которое
входит и во второе условие.
Для АС 6-го порядка аналитический вид неравенств Гурвица таков:
,
,
(первое «вычисляемое» неравенство),
(второе «вычисляемое» неравенство).
При использовании формул, вытекающих из критерия Гурвица для конкретных порядков АС, нужно обращать внимание на форму записи полинома и индексацию его коэффициентов – начиная с 4-го порядка, можно получить неверную оценку устойчивости.
Сложность аналитических выражений точных алгебраических критериев устойчивости привела к разработке простых достаточных критериев устойчивости (А.В. Липатова - Н.И. Соколова, В.С. Воронова и др.).
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ
1. Болнокин В.Е., Чинаев П.И. Анализ и синтез систем автоматического управления на ЭВМ. Алгоритмы и программы. – М.: Радио и связь, 1986. – 248 с.
2. Сборник задач по теории автоматического регулирования и управления, под редакцией В.А. Бесекерского, издание пятое, переработанное, издательство «Наука», Главная редакция физико-математической литературы, М., 1978, 512 с.
Критерий основан на построении определителя, составленного из коэффициентов, входящих в характеристическое уравнение системы.
Запишем характеристическое уравнение для системы 6-го порядка в виде
Аналогично можно записать уравнение системы любой степени, если порядок системы обозначить n . В нашем случае n =6.Уравнение записывается таким образом, чтобы коэффициент при высшей производной (а 6) был положительным, т.е. а 6 > 0.
Порядок построения определителя Гурвица.
1. По главной диагонали записываются все коэффициенты от до а 0 включительно (=5).
2. Вверх по диагонали записываются коэффициенты уравнения в порядке убывания индексов, а вниз от диагонали – в порядке возрастания индексов.
3. На месте коэффициентов, не входящих в характеристическое уравнение, ставят нули.
4. Определители меньших порядков получают вычеркиванием последнего столбца и последней строки.
5. Определитель высшего порядка D n =a 0 D n -1 (D 6 =а 0 D 5).
Условие устойчивости по Гурвицу
Система автоматического управления будет устойчивой, если все определители, составленные из коэффициентов характеристического уравнения системы, от D n (D 6) до D 1 будут положительными, при этом а n (а 6) должно быть больше нуля.
Построим определитель Гурвица для системы шестого порядка.
Система устойчива, если а 0 >0; D 5 >0; D 4 >0; D 3 >0; D 2 >0; D 1 =а 5 >0.
Если хотя бы один из определителей, называемых определителями Гурвица, отрицателен, система будет неустойчива.
Если главный определитель системы D п =0, а все остальные определители положительны, то система находится на границе устойчивости.
Рассмотрим частные случаи критерия Гурвица для систем 1, 2, 3-го порядков. Раскрывая определители, фигурирующие в общей формулировке критерия, можно получить следующие условия.
1. Для уравнений первого порядка
условие устойчивости
а 1 > 0 и D 1 = а 0 > 0,
т.е. необходимым и достаточным условием устойчивости является положительность коэффициентов уравнения (<0).
2. Для уравнений второго порядка
,
условие устойчивости
а 2 > 0, D 1 = а 1 > 0; D 2 = а 0 а 1 > 0.
Таким образом, и для системы второго порядка положительность коэффициентов является необходимым и достаточным условием устойчивости.
3. Для уравнений третьего порядка
условие устойчивости
а 3 > 0, D 1 = а 2 > 0; D 2 = а 1 а 2 – а 0 а 3 > 0; D 3 = а 0 D 2 > 0.
Последнее неравенство Δ 3 > 0 эквивалентно неравенству D 2 > 0. Следовательно, для системы третьего порядка кроме положительности всех коэффициентов уравнения требуется, чтобы D 2 > 0.
Критерий Гурвица применяют для анализа устойчивости систем не выше пятого порядка. При n > 5 вычисление определителей становится громоздким.
Обычный (или простой) критерий Гурвица учитывает только крайние исходы x i max и x i min каждой альтернативы:
x i max = max (x ij ) , x i min = min (x ij ) , j = 1..M
Он позволяет учесть субъективное отношение применяющего данный критерий ЛПР за счет придания этим исходам разных "весов". Для этого в расчет критерия введен "коэффициент оптимизма" λ, 0 ≤ λ ≤ 1 . Формула для расчета критерия Гурвица для i -й альтернативы с коэффициентом оптимизма λ выглядит следующим образом:
H i (λ) = λ x i max + (1 - λ) x i min
Если исходы представляют возможные выигрыши, то оптимальной признается альтернатива с максимальным значением критерия Гурвица:
Х* = Х k , H k (λ) = max (H i (λ) ) , i = 1..N
Как видно из формулы, правильный выбор коэффициента оптимизма λ оказывает существенное влияние на результат применения критерия. Остановимся подробнее на логике подбора λ .
Если ЛПР настроен пессимистически, то для него важнее меньше потерять при плохом развитии событий, пусть даже это означает не такой большой выигрыш при удачном состоянии. Значит, удельный вес наихудшего исхода x i min в оценке альтернативы должен быть выше, чем для x i mах . Это обеспечивается, когда λ находится в пределах от 0 до 0.5 , исключая последнее значение.
При λ = 0 критерий Гурвица "вырождается" в критерий Вальда и подходит только для очень пессимистично настроенных ЛПР.
Оптимистичный ЛПР, напротив, ориентируется на лучшие исходы, так как для него важнее больше выиграть, а не меньше проиграть. Больший удельный вес в оценке наилучшего исхода достигается при λ больше 0.5 и до 1 включительно. При λ = 1 критерий Гурвица становится критерием "максимакса", который учитывает исключительно наибольший исход каждой альтернативы.
Если у ЛПР нет ярко выраженного уклона ни в сторону пессимизма, ни оптимизма, коэффициент λ принимается равным 0.5 .
Пример применения критерия Гурвица
В условиях задачи из п.2.7 (табл.2.2) рассмотрим принятие решения по критерию Гурвица для ЛПР, настроенного оптимистически (λ = 0.8 ), и ЛПР-пессимиста (λ = 0.3 ). Порядок действий таков:
1. Найдем максимальные x i max и минимальные x i min исходы для каждого проекта:
x 1 max = max (45, 25, 50) = 50 x 1 min = min (45, 25, 50) = 25
x 2 max = max (20, 60, 25) = 60 x 2 min = min (20, 60, 25) = 20
2. Рассчитаем величину критерия Гурвица при заданных значениях коэффициента оптимизма:
ЛПР-оптимист (λ=0.8 ):
H 1 (0.8) = λ x 1 max + (1 - λ) x 1 min = 0.8×50 + (1 - 0.8) ×25 = 45
H 2 (0.8) = λ x 2 max + (1 - λ) x 2 min = 0.8×60 + (1 - 0.8) ×20 = 52
ЛПР-пессимист (λ=0.3 ):
H 1 (0.3) = λ x 1 max + (1- λ) x 1 min = 0.3×50 + (1 - 0.3) ×25 = 32.5
H 2 (0.3) = λ x 2 max + (1- λ) x 2 min = 0.3×60 + (1 - 0.3) ×20 = 32
3. Сравним полученные величины. Оптимальными для каждого ЛПР будут альтернативы с максимальным значением критерия Гурвица:
ЛПР-оптимист (λ = 0.8 ):
45 < 52 => H 1 (0.8) < H 2 (0.8) => X* = X 2
ЛПР-пессимист (λ = 0.3 ):
32.5 < 32 => H 1 (0.3) > H 2 (0.3) => X* = X 1
Как мы видим, выбор оптимальной альтернативы в одних и тех же условиях существенным образом зависит от отношения ЛПР к риску. Если для пессимиста оба проекта примерно равноценны, то оптимист, который надеется на лучшее, выберет второй проект. Его высокая наилучшая прибыль (60 ) при больших значениях коэффициента λ значительно повышает ценность данного проекта по критерию Гурвица.
Для устойчивости системы необходимо и достаточно, чтобы все миноры определителя Гурвица были положительны. По коэффициентам характеристического уравнения составляется определитель Гурвица.
Для этого по главной диагонали делителя выписываются все коэффициенты характеристического уравнения, начиная со второго (т.е. а 1 , а 2 , а 3 , ... ,а n), затем вверх записываются коэффициенты с возрастающим индексом, а вниз - с убывающим индексом.
Например, для третьего коэффициента в главной диагонали а 3 вверх записываются а 4 , а 5 (индекс возрастает), а вниз - а 2 , а 1 , а 0 . На остальные оставшиеся места вписываются нули.
Д
ля
проверки правильности заполнения
определителя Гурвица необходимо
учесть, что по строкам чередуются
коэффициенты с нечётными и чётными
индексами. Так первая строка - нечётные
а 1
а 3
а 5
а 7 ...,
вторая строка - четные а 0 а 2
а 4
а 6
и т.д.
Покажем вычисление миноров в определителе Гурвица для системы 6-го порядка.
Последний
определитель обычно не рассчитывается.
В данном случае
.
Если выполняется первое необходимое
условие устойчивости (все а>0), то при>0всегда
положителен.
Пусть необходимо определить устойчивость системы пятого порядка. Тогда а 6 =0 >0 неравенства принимают вид:
Если
необходимо определить устойчивость
системы четвертого порядка, то
неравенства принимают вид:
Для устойчивости системы третьего порядка достаточно
.
Для систем седьмого порядка определение устойчивости по Гурвицу обычно не делают из-за громоздкости расчетов.
ПРИМЕР 1. Определить устойчивость САУ по критерию Гурвица по следующему характеристическому уравнению:
Решение. 1. Все коэффициенты характеристического уравнения положительные. Значит необходимое условие устойчивости выполняется.
2. Составляется определитель Гурвица
Определяют значения миноров согласно неравенствам:
Ответ. Все миноры определителя Гурвица положительны, значит вещественная часть корней характеристического уравнения отрицательна и, согласно теореме Ляпунова, САУ устойчива.
Критерий устойчивости Рауса
Для устойчивости систем необходимо и достаточно, чтобы все коэффициенты первого столбца таблицы Рауса были положительны.
Таблица Рауса составляется по правилам:
а) в первой строке таблицы Рауса записываются соответственно коэффициенты а 0, а 2, а 4 ….;
б) во второй строке таблицы Рауса записываются соответственно коэффициенты а 1, а 3, а 5 ….;
в) коэффициенты третьей строки таблицы Рауса вычисляются по формулам:
г) коэффициенты четвертой строки таблицы Рауса определяются по формулам:
д) коэффициенты n-й строки таблицы Рауса вычисляются по формулам
где i – номер столбца; j – номер строки.
ПРИМЕР 2. Определить устойчивость САУ по критерию Рауса по характеристическому уравнению примера 1.
Решение. 1. Вычисляют третью строку таблицы Рауса:
2. Определяют четвертую строку:
3. Вычисляют пятую строку:
4. Определяют шестую строку:
По результатам расчета составляют таблицу Рауса.
Таблица 1
Таблица Рауса
№ строки |
1 столбец |
2 столбец |
3 столбец |
|
Гурвиц предложил другой критерий устойчивости. Из коэффициентов характеристического уравнения строится определитель Гурвица по алгоритму:
- 1) по главной диагонали слева направо выставляются все коэффициенты характеристического уравнения от a 1 до a n ;
- 2) от каждого элемента диагонали вверх и вниз достраиваются столбцы определителя так, чтобы индексы убывали сверху вниз;
- 3) на место коэффициентов с индексами меньше нуля или больше n ставятся нули.
Критерий Гурвица: для того, чтобы САУ была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы все n диагональных миноров определителя Гурвица были положительны. Эти миноры называются определителями Гурвица.
Рисунок 5.2.1 - Определитель Гурвица
Рассмотрим примеры применения критерия Гурвица:
- 1) n = 1 => уравнение динамики: a 0 p + a 1 = 0. Определитель Гурвица: = 1 = a 1 > 0 при a 0 > 0, то есть условие устойчивости: a 0 > 0, a 1 > 0;
- 2) n = 2 => уравнение динамики: a 0 p 2 + a 1 p + a 2 = 0. Определители Гурвица: 1 = a 1 > 0, D 2 = a 1 a 2 - a 0 a 3 = a 1 a 2 > 0, так как a 3 = 0, то есть условие устойчивости: a 0 > 0, a 1 > 0, a 2 > 0;
- 3) n = 3 => уравнение динамики: a 0 p 3 + a 1 p 2 + a 2 p + a 3 = 0. Определители Гурвица: 1 = a 1 > 0, 2 = a 1 a 2 - a 0 a 3 > 0, 3 = a 32 > 0, условие устойчивости: a 0 > 0, a 1 > 0, a 2 > 0, a 3 > 0, a 1 a 2 - a 0 a 3 > 0;
Таким образом при n 2 положительность коэффициентов характеристического уравнения является необходимым и достаточным условием устойчивости САУ. При n > 2 появляются дополнительные условия.
Критерий Гурвица применяют при n 4. При больших порядках возрастает число определителей и процесс становится трудоемким. Имеется ряд модификаций данного критерия, расширяющие его возможности.
Недостаток критерия Гурвица - малая наглядность. Достоинство - удобен для реализации на ЭВМ. Его часто используют для определения влияния одного из параметров САУ на ее устойчивость. Так равенство нулю главного определителя n = a nn-1 = 0 говорит о том, что система находится на границе устойчивости. При этом либо a n = 0 - при выполнении остальных условий система находится на границе апериодической устойчивости, либо предпоследний минор n-1 = 0 - при положительности всех остальных миноров система находится на границе колебательной устойчивости. Параметры САУ определяют значения коэффициентов уравнения динамики, следовательно изменение любого параметра Ki влияет на значение определителя n-1 . Исследуя это влияние можно найти, при каком значении Ki определитель n-1 станет равен нулю, а потом - отрицательным. Это и будет предельное значение исследуемого параметра, после которого система становится неустойчивой.
Это графоаналитические методы, позволяющие по виду частотных характеристик САУ судить об их устойчивости. Их общее достоинство в простой геометрической интерпретации, наглядности и в отсутствии ограничений на порядок дифференциального уравнения.