Неравенства и системы неравенств рациональные неравенства. Рациональные неравенства

Пусть надо найти числовые значения х, при которых превращаются в верные числовые неравенства одновременно несколько рациональных неравенств. В таких случаях говорят, что надо решить систему рациональных неравенств с одним неизвестным х.

Чтобы решить систему рациональных неравенств, надо найти все решения каждого неравенства системы. Тогда общая часть всех найденных решений и будет решением системы.

Пример: Решить систему неравенств

(х -1)(х - 5)(х - 7) < 0,

Сначала решаем неравенство

(х - 1)(х - 5)(х - 7) < 0.

Применяя метод интервала (рис. 1), находим, что множество всех решении неравенства (2) состоит из двух интервалов: (-, 1) и (5, 7).

Рисунок 1

Теперь решим неравенство

Применяя метод интервалов (рис. 2), находим, что множество всех решении неравенства (3) также состоит их двух интервалов: (2, 3) и (4, +).

Теперь надо найти общую часть решении неравенств (2) и (3). Нарисуем координатную ось х и отметим на ней найденные решения. Теперь ясно, что общей частью решении неравенств (2) и (3) является интервал(5, 7) (рис. 3).

Следовательно, множество всех решении системы неравенств (1) составляет интервал (5, 7).

Пример: Решить систему неравенств

х2 - 6х + 10 < 0,

Решим сначала неравенство

х 2 - 6х + 10 < 0.

Применяя метод выделения полного квадрата, можно написать, что

х 2 - 6х + 10 = х 2 - 2х3 + 3 2 - 3 2 + 10 = (х - 3) 2 +1.

Поэтому неравенство (2) можно записать в виде

(х - 3) 2 + 1 < 0,

откуда видно, что оно не имеет решении.

Теперь можно не решать неравенство

так как ответ уже ясен: система (1) не имеет решении.

Пример: Решить систему неравенств

Рассмотрим сначала первое неравенство; имеем

1 < 0, < 0.

С помощью кривой знаков находим решения этого неравенства: х < -2; 0 < x < 2.

Решим теперь второе неравенство заданной системы. Имеем x 2 - 64 < 0, или (х - 8)(х + 8) < 0. С помощью кривой знаков находим решения неравенства: -8 < x < 8.

Отметив найденные решения первого и второго неравенства на общей числовой прямой (рис. 6), найдем такие промежутки, где эти решения совпадают (пресечение решении): -8 < x < -2; 0 < x < 2. Это и есть решение системы.

Пример: Решить систему неравенств

Преобразуем первое неравенство системы:

х 3 (х - 10)(х + 10) 0, или х(х - 10)(х + 10) 0

(т.к. множители в нечетных степенях можно заменять соответствующими множителями первой степени); с помощью метода интервалов найдем решения последнего неравенства: -10 х 0, х 10.

Рассмотрим второе неравенство системы; имеем

Находим (рис. 8) х -9; 3 < x < 15.

Объединив найденные решения, получим (рис. 9) х 0; х > 3.

Пример: Найти целочисленные решения системы неравенств:

х + y < 2,5,

Решение: Приведем систему к виду

Складывая первое и второе неравенства, имеем y < 2, 75, а учитывая третье неравенство, найдем 1 < y < 2,75. В этом интервале содержится только одно целое число 2. При y = 2 из данной системы неравенств получим

откуда -1 < x < 0,5. В этом интервале содержится только одно целое число 0.

С помощью данного урока вы узнаете о рациональных неравенствах и их системах. Решается система рациональных неравенств с помощью эквивалентных преобразований. Рассматривается определение эквивалентности, способ замены дробно-рационального неравенства - квадратным, а также разбирается в чем отличие неравенства от уравнения и как осуществляются равносильные преобразования.

Введение

Алгебра 9 класс

Итоговое повторение курса алгебры 9-го класса

Рациональные неравенства и их системы. Системы рациональных неравенств.

1.1 Конспект.

Эквивалентные преобразования рациональных неравенств

1. Эквивалентные преобразования рациональных неравенств.

Решить рациональное неравенство означает – найти все его решения. В отличии от уравнения, при решении неравенства, как правило, возникает бесчисленное множество решений. Бесчисленное множество решений нельзя проверить методом подстановки. Поэтому, нужно так преобразовывать исходное неравенство, чтобы в каждой следующей строчке получалось неравенство с тем же множеством решений.

Рациональные неравенства решаются только с помощью эквивалентных или равносильных преобразований. Такие преобразования не искажают множество решений.

Определение . Рациональные неравенства называют эквивалентными , если множества их решений совпадают.

Для обозначения эквивалентности используют знак

Решение системы неравенств. Эквивалентные преобразования системы

2. Решение системы неравенств

Первое и второе неравенство – это дробно-рациональные неравенства. Методы их решения являются естественным продолжением методов решения линейных и квадратных неравенств.

Перенесем числа, стоящие в правой части, в левую с противоположным знаком.

В итоге в правой части останется 0. Это преобразование является эквивалентным. На это указывает знак

Выполним действия, которые предписывает алгебра. Вычтем «1» в первом неравенстве и «2» во втором.

Решение первого неравенства методом интервалов

3. Решение неравенства методом интервалов

1) Введем функцию. Нам нужно узнать, когда эта функция меньше 0.

2) Найдем область определения функции: в знаменателе не должен стоять 0. «2» - точка разрыва. При х=2 функция неопределенна.

3) Найдем корни функции. Функция равна 0,если в числителе стоит 0.

Поставленные точки разбивают числовую ось на три интервала – это интервалы знакопостоянства. На каждом интервале функция сохраняет знак. Определим знак на первом интервале. Подставим какое-нибудь значение. Например, 100. Ясно, что и числитель, и знаменатель больше 0. Значит и вся дробь положительна.

Определим знаки на остальных промежутках. При переходе через точку х=2 только знаменатель меняет знак. Значит, и вся дробь поменяет знак, и будет отрицательной. Проведем аналогичное рассуждение. При переходе через точку х=-3 только числитель меняет знак. Значит, дробь поменяет знак и будет положительной.

Выберем интервал соответствующий условию неравенства. Заштрихуем его и запишем в виде неравенства

Прием сведения дробно-рационального неравенства к квадратному.

Решение первого неравенства путем сведения к квадратному

4. Решение неравенства с помощью квадратичного неравенства

Важный факт.

При сравнении с 0 (в случае строгого неравенства) дробь можно заменить на произведение числителя на знаменатель или поменять числитель или знаменатель местами.

Это так, потому, что все три неравенства выполняются при условии, что u и v разного знака. Эти три неравенства эквивалентны.

Используем это факт и заменим дробно-рациональное неравенство квадратным.

Решим квадратное неравенство.

Введем квадратичную функцию. Найдем ее корни и построим эскиз ее графика.

Значит, ветви параболы вверх. Внутри интервала корней функция сохраняет знак. Она отрицательна.

Вне интервала корней функция положительна.

Решение первого неравенства:

Решение второго неравенства

5. Решение неравенства

Введем функцию:

Найдем ее интервалы знакопостоянства:

Для этого найдем корни и точки разрыва области определения функции. Точки разрыва выкалываем всегда. (х=3/2) Корни выкалываем в зависимости от знака неравенства. Наше неравенство строгое. Поэтому корень выкалываем.

Расставим знаки:

Запишем решение:

Пересечение множеств решений первого и второго неравенств. Форма записи решения

Закончим решение системы. Найдем пересечение множества решений первого неравенства и множества решений второго неравенства.

Решить систему неравенств означает найти пересечение множества решений первого неравенства и множества решений второго неравенства. Поэтому, решив первое и второе неравенство по отдельности нужно записать полученные результаты в одну систему.

Изобразим решение первого неравенства над осью Ох.

Решение же второго неравенства изобразим под осью.

Решением системы будут те значения переменной, которые удовлетворяют как первому, так и второму неравенству. Итак, решение системы:

Заключение

Алгебра, 9 класс. Часть 1 из 2. Учебник (А. Г. Мордкович, П. В. Семенов) 2010Алгебра, 9 класс. Часть 2 из 2. Задачник (А. Г. Мордкович, Л. А. Александрова, Т. Н. Мишустина и др.) 2010Алгебра, 9 класс (Л. В. Кузнецова, С. Б. Суворова, Е. А. Бунимович и др.) 2010Алгебра, 9 класс. Задачник (Л. И. Звавич, А. Р. Рязановский, П. В. Семенов) 2008Алгебра, 9 класс (Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова) 2009Алгебра, 9 класс (Л. В. Кузнецова, С. Б. Суворова, Е. А. Бунимович и др.) 2010

1.3. Дополнительные веб-ресурсы

http://slovo. ws/urok/algebra -Учебные материалы (учебники, статьи) по алгебре для 9 класса. Все учебники, указанные в списке можно посмотреть в режиме онлайн, без скачивания.

http://math-portal. ru/matematika-shkolnaya/

1.4. Сделай дома

Алгебра, 9 класс. Часть 2 из 2. Задачник (А. Г. Мордкович, Л. А. Александрова, Т. Н. Мишустина и др.) 2010

Домашнее задание: 4.24; 4.28

Другие задания: 4.25; 4.26

Нужно скачать поурочный план по теме » Рациональные неравенства и их системы. Системы рациональных неравенств ?

Предварительные сведения

Определение 1

Неравенство вида $f(x) >(≥)g(x)$, в котором $f(x)$ и $g(x)$ будут являться целыми рациональными выражениями, называется целым рациональным неравенством.

Примерами целых рациональных неравенств являются линейные, квадратные, кубические неравенства с двумя переменными.

Определение 2

Значение $x$, при котором выполняется неравенство из определения $1$, называется корнем уравнения.

Пример решения таких неравенств:

Пример 1

Решить целое неравенство $4x+3 >38-x$.

Решение.

Упростим данное неравенство:

Получили линейное неравенство. Найдем его решение:

Ответ: $(7,∞)$.

В данной статье мы рассмотрим следующие способы решения целых рациональных неравенств.

Способ разложения на множители

Данный способ будет заключаться в следующем: Записывается уравнение вида $f(x)=g(x)$. Данное уравнение приводится к виду $φ(x)=0$ (где $φ(x)=f(x)-g(x)$). Затем функция $φ(x)$ раскладывается на множители с минимально возможными степенями. Применяется правило: Произведение многочленов равняется нулю, когда один из них равняется нулю. Далее найденные корни отмечаются на числовой прямой и строится кривая знаков. В зависимости от знака начального неравенства записывается ответ.

Приведем примеры решения этим способом:

Пример 2

Решить разложением на множители. $y^2-9

Решение.

Решим уравнение $y^2-9

Используя формулу разности квадратов, имеем

Используя правило равенства нулю произведения множителей, получим следующие корни: $3$ и $-3$.

Изобразим кривую знаков:

Так как в начальном неравенстве знак «меньше», то получаем

Ответ: $(-3,3)$.

Пример 3

Решить разложением на множители.

$x^3+3x+2x^2+6 ≥0$

Решение.

Решим следующее уравнение:

$x^3+3x+2x^2+6=0$

Вынесем за скобки общие множители из первых двух слагаемым и из последних двух

$x(x^2+3)+2(x^2+3)=0$

Вынесем общий множитель $(x^2+3)$

$(x^2+3)(x+2)=0$

Используя правило равенства нулю произведения множителей, получим:

$x+2=0 \ и \ x^2+3=0$

$x=-2$ и "корней нет"

Изобразим кривую знаков:

Так как в начальном неравенстве знак «больше или равно», то получаем

Ответ: $(-∞,-2]$.

Способ введения новой переменной

Такой способ состоит в следующем: Записывается уравнение вида $f(x)=g(x)$. Решаем его следующим образом: введем такую новую переменную, чтобы получить уравнение, способ решения которого уже известен. Его, впоследствии, решаем и возвращаемся к замене. Из нее и найдем решение первого уравнения. Далее найденные корни отмечаются на числовой прямой и строится кривая знаков. В зависимости от знака начального неравенства записывается ответ.

Приведем пример применения этого способа на примере неравенства четвертой степени:

Пример 4

Решим неравенство.

$x^4+4x^2-21 >0$

Решение.

Решим уравнение:

Сделаем следующую замену:

Пусть $x^2=u (где \ u >0)$, получаем:

Будем решать эту систему с помощью дискриминанта:

$D=16+84=100=10^2$

Уравнение имеет два корня:

$x=\frac{-4-10}{2}=-7$ и $x=\frac{-4+10}{2}=3$

Вернемся к замене:

$x^2=-7$ и $x^2=3$

Первое уравнение не имеет решений, а из второго $x=\sqrt{3}$ и $x=-\sqrt{3}$

Изобразим кривую знаков:

Так как в начальном неравенстве знак «больше», то получаем

Ответ: $(-∞,-\sqrt{3})∪(\sqrt{3},∞)$

С помощью данного урока вы узнаете о рациональных неравенствах и их системах. Решается система рациональных неравенств с помощью эквивалентных преобразований. Рассматривается определение эквивалентности, способ замены дробно-рационального неравенства - квадратным,а также разбирается в чем отличие неравенства от уравнения и как осуществляются равносильные преобразования.

Алгебра 9 класс

Итоговое повторение курса алгебры 9-го класса

Рациональные неравенства и их системы. Системы рациональных неравенств.

1.1 Конспект.

1. Эквивалентные преобразования рациональных неравенств.

Определение . Рациональные неравенства называют эквивалентными , если множества их решений совпадают.

Для обозначения эквивалентности используют знак

2. Решение системы неравенств

Перенесем числа, стоящие в правой части, в левую с противоположным знаком.

В итоге в правой части останется 0. Это преобразование является эквивалентным. На это указывает знак

Выполним действия, которые предписывает алгебра. Вычтем «1» в первом неравенстве и «2» во втором.

3. Решение неравенства методом интервалов

1) Введем функцию. Нам нужно узнать, когда эта функция меньше 0.

3) Найдем корни функции. Функция равна 0,если в числителе стоит 0.

Выберем интервал соответствующий условию неравенства. Заштрихуем его и запишем в виде неравенства

4. Решение неравенства с помощью квадратичного неравенства

Важный факт.

Используем это факт и заменим дробно-рациональное неравенство квадратным.

Решим квадратное неравенство.

Введем квадратичную функцию. Найдем ее корни и построим эскиз ее графика.

Значит, ветви параболы вверх. Внутри интервала корней функция сохраняет знак. Она отрицательна.

Вне интервала корней функция положительна.

Решение первого неравенства:

5. Решение неравенства

Введем функцию:

Найдем ее интервалы знакопостоянства:

Расставим знаки:

Запишем решение:

Изобразим решение первого неравенства над осью Ох.

Примеры:

$\frac{9x^2-1}{3x}$ $\leq0$

$\frac{1}{2x}$ $+$ $\frac{x}{x+1}$ $<$$\frac{1}{2}$

$\frac{6}{x+1}$ $>$ $\frac{x^2-5x}{x+1}$ .

При решении дробных рациональных неравенств используется метод интервалов. Поэтому если алгоритм, приведенный ниже, вызовет у вас затруднения, посмотрите статью по .

Как решать дробные рациональные неравенства:

Алгоритм решения дробно-рациональных неравенств.

Примеры:

Расставьте знаки на интервалах числовой оси. Напомню правила расстановки знаков:

Определяем знак в самом крайнем правом интервале - берем число с этого интервала и подставляем его в неравенство вместо икса. После этого определяем знаки в скобках и результат перемножения этих знаков;

Примеры:

Выделите нужные промежутки. Если есть отдельно стоящий корень, то отметьте его флажком, чтоб не забыть внести его в ответ (см. пример ниже).

Примеры:

Запишите в ответ выделенные промежутки и корни, отмеченные флажком (если они есть).

Примеры:
Ответ: \((-∞;-1)∪(-1;1,2]∪}