Правило цепного заключения доказательство от противного. Метод от противного

Что такое метод доказательства «от противного»?

Суть метода доказательства от противного заключается в два этапах. Первое в доказательстве СУЩЕСТВОВАНИЯ самого доказательства и второе в доказательстве ЕДИНСТВЕННОСТИ доказания. Коряво описал, но хотел сказать следующее. При доказательстве теорем таким методом нужно показать, что существует решение данной задачи или теоремы, а затем доказать, что это решение будет единственное. Это не единственный метод применяемый в доказательстве теорем, но как математический и логический инструмент небезынтересный.

Метод доказательства от противного используется не только в математике, хотя там и получил довольно широкое распространение в качестве инструмента доказательства отдельных задач и теорем.

На самом деле это логический метод доказательства любых утверждений, который может быть применен в любой области знаний. Даже в гуманитарных и социальных науках. Просто, в технических науках мы имеем дело с цифрами, а многих людей убеждает как раз наличие этих значков, а в мире логики мы оперируем умозаключениями, которые никогда не могут считаться абсолютной истиной.

Этот метод доказательства мы изучали в школе в средних классах, когда берется за основу какое-то утверждение, которое никак не доказать, вместо этого берут прямо противоположное ему утверждение, доказывают, что оно неверно-следовательно, то, что нам не доказать, верно, и это единственное верное решение данного вопроса.

В жизни мы говорим о чем-то, доказать не можем, но приводим пример противоположный и доказываем, что он неверен: из тайника украли деньги, знали о нем Вася и Петя, но у Пети алиби-он уехал на дачу на всю неделю, значит, деньги украл Вася.

Методом доказательства от противного называется способ при котором недоказуемая истина, становится истиной, только лишь потому что иное всегда не правильно - а это как раз то и доказуемо. Соответственно, в результате этого метода, пусть и косвенно, но мы доказали недоказуемую истину

Данный закон основывается на законе двойного отрицания если не верно А, то А верно.

К примеру у вас как вы думаете язва. Ваш врач для того что бы опровергнуть это суждение, доказывает вам опровергая то в чем вы уверенны, то есть ваше утверждение и говорит, что у вас нет язвы так как гастроскопия показало что в полости желудка нет повреждений, вы не теряете вес и можете есть все что захотите.

Стандартный прием, например, в математике. Нужно доказать утверждение А. А это трудно. Тогда берут прямо противоположное утверждение В, и доказывают, что оно неверно. Отсюда следует, что А - истинно. То же и в жизни. Простой пример: некто говорит: Мистер Х - вор. Его оппонент: Но как это доказать? Первый: Предположим, что он - честный человек. Второй: Да это же курам насмех!. Первый: Вот мы и доказали, что Х - вор :)))

Ложен, мы тем самым обосновываем истинность противоположного ему положения - тезиса. Напр., врач, убеждая пациента в том, что тот не болен гриппом, может рассуждать следующим образом: «Если бы вы действительно были больны гриппом, то у вас была бы повышена температура, был заложен нос и т.д. Но ничего этого нет. Следовательно, нет и гриппа». Доказательство некоторого положения от противного - это истинности данного положения, опирающееся на демонстрацию ложности «противного» (противоречащего) положения и исключенного третьего.
Общая Д. от п. описывается следующим образом. Нужно доказать некоторое А. В процессе доказательства сначала формулируется противоположное ему высказывание не-А и предполагается, что истинно: допустим, что А ложно, тогда должно быть истинно не-А. Затем из этого якобы истинного антитезиса выводятся следствия - до тех пор, пока либо не получится , либо такое , которое явным образом противоречит известному истинному высказыванию. Если показано, что не-А ложно, то тем самым обоснована истинность тезиса А (см. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО).

Философия: Энциклопедический словарь. - М.: Гардарики . Под редакцией А.А. Ивина . 2004 .

(лат. reduc-tio ad absurdum) , вид доказательства, при кром «доказывание» некоторого суждения (тезиса доказательства) осуществляется через противоречащего ему суждения - антитезиса. Опровержение антитезиса при этом достигается установлением факта его несовместимости с к.-л. заведомо истинным суждением. Этой форме Д. от п. соответствует след. схема доказательства: если В истинно и из А следует ложность В, то А - ложно. Другая, более общая Д. от п. - это путём опровержения (обоснования ложности) антитезиса по правилу: допустив А, вывели , следовательно - не-А. Здесь А может быть как утвердительным, так и отрицательным суждением. В последнем случае Д. от п. опирается на и закон двойного отрицания. Помимо указанных выше, существует «парадоксальная» форма Д. от п., применявшаяся уже в «Началах» Евклида: А можно считать доказанным, если удастся показать, что А следует даже из допущения ложности А.

Философский энциклопедический словарь. - М.: Советская энциклопедия . Гл. редакция: Л. Ф. Ильичёв, П. Н. Федосеев, С. М. Ковалёв, В. Г. Панов . 1983 .

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ОТ ПРОТИВНОГО

Лит.: Тарский Α., Введение в логику и методологию дедуктивных наук, пер. с англ., М., 1948; Асмус В. Ф., Учение логики о доказательстве и опровержении, [М.], 1954; Клини С. К., Введение в метаматематику, пер. с англ., М., 1957; Чёрч Α., Введение в математич. логику, пер. с англ., [т.] 1, М., 1960.

Философская Энциклопедия. В 5-х т. - М.: Советская энциклопедия . Под редакцией Ф. В. Константинова . 1960-1970 .

Смотреть что такое "ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ОТ ПРОТИВНОГО" в других словарях:

- (proof by contradiction) Доказательство, при котором признание исходной предпосылки неверной ведет к противоречию. То есть предположение об ошибочности исходной посылки позволяет одновременно и доказать какое либо утверждение, и опровергнуть его; … Экономический словарь

Один из видов косвенного доказательства … Большой Энциклопедический словарь

В этой статье не хватает ссылок на источники информации. Информация должна быть проверяема, иначе она может быть поставлена под сомнение и удалена. Вы можете … Википедия

Один из видов косвенного доказательства. * * * ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ОТ ПРОТИВНОГО ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ОТ ПРОТИВНОГО, один из видов косвенного доказательства (см. КОСВЕННОЕ ДОКАЗАТЕЛЬСТВО) … Энциклопедический словарь

Доказательство от противного - (лат. reduction ad absurdum) вид доказательства, при котором справедливость некоторого суждения (тезиса доказательства) осуществляется через опровержение противоречащего ему суждения антитезиса. Опровержение антитезиса достигается путем… … Исследовательская деятельность. Словарь

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ОТ ПРОТИВНОГО - (лат. reductio ad absurdum) вид доказательства, при котором справедливость некоторого суждения (тезиса доказательства) осуществляется через опровержение противоречащего ему суждения антитезиса. Опровержение антитезиса достигается путем… … Профессиональное образование. Словарь

См.: Косвенное доказательство … Словарь терминов логики

- (лат. reductio ad absurdum) вид Доказательства, при котором «доказывание» некоторого суждения (тезиса доказательства) осуществляется через опровержение противоречащего ему суждения антитезиса. Опровержение антитезиса при этом достигается… … Большая советская энциклопедия

В дальнейшем слова "делать все назло окружающим" фактически стали девизом жизни В.К.Противного. Так, назло всем он покинул родные Холмогоры и поступил в МГУ им. Ломоносова (а не в суворовское училище, как хотел его отец), назло всем никогда ни на ком не женился (хотя его бабушка Василиса Противная нашла ему за всю жизнь как минимум 14 невест), назло всем, сославшись на грибной сезон, не стал получать медаль Филдса - высшую награду в области математики.

Суть метода от Противного можно передать следующими пунктами:
1. Делается неверное предположение.
2. Выясняется, что следует из этого предположения на основании известных знаний.
3. Осуществляется заход в тупик.
4. Делается верный вывод о том, что неверное предположение неверно.

Многие ученые, философы, исследователи и даже деятели искусств стали ярыми приверженцами идей украинского просветителя. Например, так впервые в медицинской практике была использована лоботомия, когда была сделана попытка разрешить извечный философский спор о первичности материи или сознания с помощью медицинского эксперимента. Так ученик В.К.Противного Лобачевский создал неевклидову геометрию, так его почитатель Чайковский написал гимн альтернативной любви - вальс "Голубой Дунай", и так далее.

Метод от Противного часто применяется в настоящее время в самых разных областях человеческой жизни. Например, для воспитания художественного вкуса москвичей им с успехом пользуется московский мэр Лужков, устанавливая в городе скульптуры Церетели. Руководство ГУВД, пользуясь этим методом, решило найти убийц известной журналистки Политковской, так как другие методы в виду особой сложности дела результатов не дают. Вооруженные МОП московские милиционеры знают - последовательно выявив всех непричастных, они автоматически выйдут на след убийц.

Вся жизнь и даже смерть В.К.Противного явилась яркой иллюстрацией его метода. Ученый трагически ушел из жизни 29 февраля 1613 г в возрасте 112 лет, повесившись назло своей бабушке Василисе Противной, не давшей Василию Козьмичу попробовать варенье из холодильника. Несмотря на двоякое отношение к В.К.Противному из-за его скверного характера, большинство ученых и исследователей все-таки считают МОП одним из наиболее мощных орудий современной науки в целом и математики в частности.
____________________________________

Василий Козьмич Противный, выдающийся украинский просветитель (1513 - 1613)

Выражаю благодарность

Часто при доказательстве теорем пользуются методом доказательства от противного . Суть этого метода помогает понять загадка. Попробуйте её разгадать.

Представьте себе страну, в которой приговорённому к казни предлагается выбрать одну из двух одинаковых на вид бумаг: на одной написано «смерть», на другой - «жизнь». Враги оклеветали одного жителя этой страны. И, чтобы у него не осталось никаких шансов спастись, сделали так, что на обороте обоих бумажек, из которых он должен выбрать одну, было написано «смерть». Друзья узнали об этом и сообщили осуждённому. Он попросил никому об этом не рассказывать. Вытащил одну из бумажек. И остался жить. Как ему это удалось?

Ответ. Осуждённый проглотил выбранную им бумажку. Чтобы установить, какой жребий ему выпал, судьи заглянули в оставшуюся бумажку. На ней было написано: «смерть». Это доказывало, что ему повезло, он вытащил бумажку, на которой было написано: «жизнь».

Как в случае, о котором рассказывает загадка, при доказательстве возможны только два случая: можно… или нельзя… Если удастся убедится, что первое невозможно (на бумажке, которая досталась судьям, написано: «смерть»), то сразу можно сделать вывод, что справедлива вторая возможность (на второй бумажке написано: «жизнь»).

Доказательство методом «от противного» осуществляется так.

1) Устанавливают, какие варианты в принципе возможны при решении задачи или доказательстве теоремы. Вариантов может быть два (например, перпендикулярны ли не перпендикулярны рассматриваемые прямые); вариантов ответа может быть три и больше (например, какой получается угол: острый, прямой или тупой).

2) Доказывают. Что не может выполняться ни один из тех вариантов, которые нам необходимо отбросит. (Например, если надо доказать, что прямые перпендикулярные, смотрим, что получается, если рассматривать не перпендикулярные прямые. Как правило, удаётся установить, что в этом случае какой-либо из выводов противоречит тому, что дано в условии, а потому невозможен.

3) На основании того, что все нежелательные выводы отброшены и только один (желательный) остался нерассмотренным, делаем вывод, что именно он верный.

Решим задачу, используя доказательство от противного.

Дано: прямые а и b такие, что любая прямая, которая пересекает а, пересекает и b.

Используя метод доказательства «от противного», доказать, что а ll b.

Доказательство.

Возможны только два случая:

1) прямые а и b параллельны (жизнь);

2) прямые а и b не параллельны (смерть).

Если удастся исключить нежелательный случай, то останется сделать вывод, что имеет место второй из двух возможных. Чтобы отбросить нежелательный случай, давайте подумаем, что произойдёт, если прямые а и b пересекаются:

По условию любая прямая, которая пересекает а, пересекает и b. Поэтому, если удастся найти хотя бы одну прямую, которая пересекает а, но не пересекает b, этот случай надо будет отбросить. Таких прямых можно найти сколько угодно: достаточно провести через любую точку К прямой а, кроме точки М прямую КС, параллельную b:

Поскольку отброшен один из двух возможных случаев, можно сразу сделать вывод, что а ll b.

Остались вопросы? Не знаете, как доказать теорему?
Чтобы получить помощь репетитора – .
Первый урок – бесплатно!

blog.сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

Доказательство «от противного» (по-латински "reductio ad absurdum") характеризуется тем, что сам процесс доказательства какого-либо мнения осуществляется путем опровержения противоположного суждения. Ложность антитезиса можно доказать, установив тот факт, что он несовместим с истинным суждением.

Обычно такой метод наглядно демонстрируется с помощью формулы, где А – антитезис, а В – истина. Если при решении получается, что наличие переменной А приводит к результатам отличным от В, то доказывается ложность А.

Доказательство «от противного» без использования истины

Существует и более легкая доказательства ложности «противного» - антитезиса. Такая формула-правило гласит: «Если при решении с переменной А в формуле возникло противоречие, А – ложно». При этом не имеет значения, является ли антитезис отрицательным или утвердительным суждением. К тому же более простой способ доказательства от противного содержит в себе только два факта: тезис и антитезис, истина В не используется. В это значительно упрощает процесс доказательства.

Апагогия

В процессе доказательства от противного (которое еще называется «приведением к нелепости») часто используется апагогия. Это логический прием, цель которого доказать неверность какого-либо суждения так, чтобы непосредственно в нем или в вытекающих из него следствиях было выявлено противоречие. Противоречие может выражаться в тождестве заведомо различных предметов или в качестве выводов: конъюнкция или пары В и не В (истина и не истина).

Прием доказательства «от противного» часто используется . Во многих случаях доказать неверность суждения другим способом не представляется возможным. Кроме апагогии существует и парадоксальная форма доказательства от противного. Такая форма применялась еще в «Началах» Евклида и представляет собой следующее правило: А считается доказанным, если получается продемонстрировать и «истинность ложности» А.

Таким образом, процесс доказательства от противного (оно же зовется косвенным и апогогическим доказательством) выглядит следующим образом. Выдвигается мнение, противоположное , из этого антитезиса выводятся следствия, среди которых ищется ложное. Находят доказательства того, что среди следствий действительно имеется ложное. Из этого делается вывод, что антитезис неверен, а раз неверен антитезис, следует логичный вывод, что истина содержится именно в тезисе.