Промежутки на координатной прямой. "числовые промежутки"

К числовым промежуткам относятся лучи, отрезки, интервалы и полуинтервалы.

Виды числовых промежутков

В таблице a и b - это граничные точки, а x - переменная, которая может принимать координату любой точки, принадлежащей числовому промежутку.

Граничная точка - это точка, определяющая границу числового промежутка. Граничная точка может как принадлежать числовому промежутку, так и не принадлежать ему. На чертежах граничные точки, не принадлежащие рассматриваемому числовому промежутку, обозначают незакрашенным кругом, а принадлежащие - закрашенным кругом.

Открытый и замкнутый луч

Открытый луч - это множество точек прямой, лежащих по одну сторону от граничной точки, которая не входит в данное множество. Открытым луч называется именно из-за граничной точки, которая ему не принадлежит.

Рассмотрим множество точек координатной прямой, имеющих координату, большую 2, а значит расположенных правее точки 2:

Такое множество можно задать неравенством x > 2. Открытые лучи обозначаются с помощью круглых скобок - (2; +∞), данная запись читается так: открытый числовой луч от двух до плюс бесконечности.

Множество, которому соответствует неравенство x < 2, можно обозначить (-∞; 2) или изобразить в виде луча, все точки которого лежат с левой стороны от точки 2:

Замкнутый луч - это множество точек прямой, лежащих по одну сторону от граничной точки, принадлежащей данному множеству. На чертежах граничные точки, принадлежащие рассматриваемому множеству, обозначаются закрашенным кругом.

Замкнутые числовые лучи задаются нестрогими неравенствами. Например, неравенства x ⩾ 2 и x ⩽ 2 можно изобразить так:

Обозначаются данные замкнутые лучи так: , читается это так: числовой луч от двух до плюс бесконечности и числовой луч от минус бесконечности до двух. Квадратная скобка в обозначении показывает, что точка 2 принадлежит числовому промежутку.

Отрезок

Отрезок - это множество точек прямой, лежащих между двумя граничными точками, принадлежащими данному множеству. Такие множества задаются двойными нестрогими неравенствами.

Рассмотрим отрезок координатной прямой с концами в точках -2 и 3:

Множество точек, из которых состоит данный отрезок, можно задать двойным неравенством -2 ⩽ x ⩽ 3 или обозначить [-2; 3], такая запись читается так: отрезок от минус двух до трёх.

Интервал и полуинтервал

Интервал - это множество точек прямой, лежащих между двумя граничными точками, не принадлежащими данному множеству. Такие множества задаются двойными строгими неравенствами.

Рассмотрим отрезок координатной прямой с концами в точках -2 и 3:

Множество точек, из которых состоит данный интервал, можно задать двойным неравенством -2 < x < 3 или обозначить (-2; 3), такая запись читается так: интервал от минус двух до трёх.

Полуинтервал - это множество точек прямой, лежащих между двумя граничными точками, одна из которых принадлежит множеству, а другая не принадлежит. Такие множества задаются двойными неравенствами:

Обозначаются данные полуинтервалы так: (-2; 3] и [-2; 3), читается это так: полуинтервал от минус двух до трёх, включая 3 , и полуинтервал от минус двух до трёх, включая минус два.

Среди множеств чисел имеются множества, где объектами выступают числовые промежутки. При указывании множества проще определить по промежутку. Поэтому записываем множества решений, используя числовые промежутки.

Данная статья дает ответы на вопросы о числовых промежутках, названиях, обозначениях, изображениях промежутков на координатной прямой, соответствии неравенств. В заключение будет рассмотрена таблица промежутков.

Каждый числовой промежуток характеризуется:

• названием;
• наличием обычного или двойного неравенства;
• обозначением;
• геометрическим изображением на координатой прямой.

Числовой промежуток задается при помощи любых 3 способов из выше приведенного списка. То есть при использовании неравенства, обозначения, изображения на координатной прямой. Данный способ наиболее применимый.

Произведем описание числовых промежутков с выше указанными сторонами:

Определение 2

• Открытый числовой луч. Название связано с тем, что его опускают, оставляя открытым.

Этот промежуток имеет соответствующие неравенства x < a или x > a , где a является некоторым действительным числом. То есть на такое луче имеются все действительные числа, которые меньше a - (x < a) или больше a - (x > a) .

Множество чисел, которые будут удовлетворять неравенству вида x < a обозначается виде промежутка (− ∞ , a) , а для x > a , как (a , + ∞) .

Геометрический смыл отрытого луча рассматривает наличие числового промежутка. Между точками координатной прямой и ее числами имеется соответствие, благодаря которому прямую называем координатной. Если необходимо сравнить числа, то на координатной прямой большее число находится правее. Тогда неравенство вида x < a включает в себя точки, которые расположены левее, а для x > a – точки, которые правее. Само число не подходит для решения, поэтому на чертеже обозначают выколотой точкой. Промежуток, который необходим, выделяют при помощи штриховки. Рассмотрим рисунк, приведенный ниже.

Из вышеприведенного рисунка видно, что числовые промежутки соответствуют части прямой, то есть лучам с началом в a . Иначе говоря, называется лучами без начала. Поэтому он и получил название открытый числовой луч.

Рассмотрим несколько примеров.

Пример 1

При заданном строгом неравенстве x > − 3 задается открытый луч. Эту запись можно представить в виде координат (− 3 , ∞) . То есть это все точки, лежащие правее, чем - 3 .

Пример 2

Если имеем неравенство вида x < 2 , 3 , то запись (− ∞ , 2 , 3) является аналогичной при задании открытого числового луча.

Определение 3

• Числовой луч. Геометрический смысл в том, что начало не отбрасывается, иначе говоря, луч оставляет за собой свою полноценность.

Его задание идет с помощью нестрогих неравенств вида x ≤ a или x ≥ a . Для такого вида приняты специальные обозначения вида (− ∞ , a ] и [ a , + ∞) , причем наличие квадратной скобки имеет значение того, что точка включена в решение или в множество. Рассмотрим рисунок, приведеный ниже.

Для наглядного примера зададим числовой луч.

Пример 3

Неравенство вида x ≥ 5 соответствует записи [ 5 , + ∞) , тогда получаем луч такого вида:

Определение 4

• Интервал. Задавание при помощи интервалов записывается при помощи двойных неравенств a < x < b , где а и b являются некоторыми действительными числами, где a меньше b , а x является переменной. На таком интервале имеется множество точек и чисел, которые больше a , но меньше b . Обозначение такого интервала принято записывать в виде (a , b) . Наличие круглых скобок говорит о том, что число a и b не включены в это множество. Координатная прямая при изображении получает 2 выколотые точки.

Рассмотрим рисунок, приведенный ниже.

Пример 4

Пример интервала − 1 < x < 3 , 5 говорит о том, что его можно записать в виде интервала (− 1 , 3 , 5) . Изобразим на координатной прямой и рассмотрим.

Определение 5

• Числовой отрезок. Данный промежуток отличается тем, что он включает в себя граничные точки, тогда имеет запись вида a ≤ x ≤ b . Такое нестрогое неравенство говорит о том, что при записи в виде числового отрезка применяют квадратные скобки [ a , b ] , значит, что точки включаются во множество и изображаются закрашенными.

Пример 5

Рассмотрев отрезок, получим, что его задание возможно при помощи двойного неравенства 2 ≤ x ≤ 3 , которое изображаем в виде 2 , 3 . На координатной прямой данный точки будут включены в решение и закрашены.

Определение 6 Пример 6

Если имеется полуинтервал (1 , 3 ] , тогда его обозначение можно в виде двойного неравенства 1 < x ≤ 3 , при чем на координатной прямой изобразится с точками 1 и 3 , где 1 будет исключена, то есть выколота на прямой.

Промежутки могут быть изображены в виде:

• открытого числового луча;
• числового луча;
• интервала;
• числового отрезка;
• полуинтервала.

Чтобы упростить процесс вычисления, необходимо пользоваться специальной таблицей, где имеются обозначения всех видов числовых промежутков прямой.

Название	Неравнство	Обозначение	Изображение
Открытый числовой луч	x < a	- ∞ , a
	x > a	a , + ∞
Числовой луч	x ≤ a	(- ∞ , a ]
	x ≥ a	[ a , + ∞)
Интервал	a < x < b	a , b
Числовой отрезок	a ≤ x ≤ b	a , b
Полуинтервал

Чтобы пользоваться предварительным просмотром презентаций создайте себе аккаунт (учетную запись) Google и войдите в него: https://accounts.google.com

Подписи к слайдам:

7 класс Числовые промежутки Учитель математики: Бахвалова Г.С. Гимназия №52

Цели урока: 1.Ввести понятие числового промежутка; 2.Привить навыки изображения числовых промежутков на числовой прямой и умение их обозначать. 3.Развивать логическое мышление: анализировать, сравнивать. План урока: 1.Актуализация знаний: «Координатная ось». 2.Новая тема: «Числовые промежутки». 3.Обучающая самостоятельная работа. 4.Итоги урока.

Выполните задание: 1.Отметьте на числовой прямой точки с координатами: А(-2); В(5); О(0); С(5); D (-3).

Ответ: 1. А(-2); В(5); О(0); С(3); D (- 3). 0 А В С 1 0 D

Выполните задание: 2.Сравните числа: -2 и 5; 5 и 0; -2 и –3; 5 и 3; 0 и –2.

Ответ: -2 0; -2 > –3; 5 > 3; 0 > –2. Проверь себя

Выполните задание устно: 3.Какое из данных чисел на числовой прямой находится левее: -2 или 5; 5 или 0; -2 или –3; 5 или 3; 0 или –2. ВЫВОД: из двух чисел на числовой прямой меньшее число расположено левее, а большее – правее.

Отметим на координатной прямой точки с координатами – 3 и 2. Если точка расположена между ними, то ей соответствует число, которое больше –3 и меньше 2 . Верно и обратное: если число х удовлетворяет условию – 3Слайд 9

Множество всех чисел, удовлетворяющих условию 3Слайд 10

Число х, удовлетворяющее условию -3 ≤х≤ 2, изображается точкой, которая либо лежит между точками с координатами –3 и 2, либо совпадает с одной из них. Множество таких чисел обозначают [-3;2]. - 3 2 Запиши в тетрадь Запиши в тетрадь Запиши в тетрадь

Число х, удовлетворяющее условию х≤ 2, изображается точкой, которая либо лежит левее точки с координатой 2, либо совпадает с ней. Множество таких чисел обозначают (-∞;2]. 2 Запиши в тетрадь Запиши в тетрадь Запиши в тетрадь

Число х, удовлетворяющее условию х >-3 , изображается точкой, которая либо лежит правее точки с координатой -3. Множество таких чисел о бозначают (-3; +∞). - 3 Запиши в тетрадь Запиши в тетрадь Запиши в тетрадь

3 5 3 5 3 5 3 5 5 -7 3

Самостоятельная работа ВАРИАНТ 1 ВАРИАНТ 4 ВАРИАНТ 2 ВАРИАНТ 3 ВЫБЕРИ ВАРИАНТ Помоги мне! А мне, а мне. Выбери меня! Ты ведь мне поможешь?

ВАРИАНТ 1 1.Изобразите на координатной прямой числовые промежутки: а). ; б). (-2; + ∞); в). [ 3;5) ; г).(- ∞ ;5 ]. 2. Запишите числовой промежуток, изображенный на рисунке: 3. Какие из чисел -1,6; -1,5; -1; 0; 3; 5,1; 6,5 принадлежат промежутку: а). [-1,5;6,5]; б).(3; + ∞); в). (- ∞ ;1]. 3 7 -5 6 -7 в). а). б). 4. Укажите наибольшее целое число принадлежащее промежутку: а). [-12;-9]; б). (-1;17). СПАСИБО!

ВАРИАНТ 2 1.Изобразите на координатной прямой числовые промежутки: а). [ - 3; 0) ; б). [ - 3 ; + ∞); в). (- 3; 0) ; г).(- ∞ ; 0) . 2. Запишите числовой промежуток, изображенный на рисунке: 3. Какие из чисел - 2 , 2 ; - 2 , 1 ; -1; 0; 0,5 ; 1; 8 , 9 принадлежат промежутку: а). (- 2 , 2 ; 8 , 9 ]; б).(- ∞ ;0 ] ; в). (1 ;+ ∞) . -5 6 3 7 в). а). б). 4. Укажите наибольшее целое число принадлежащее промежутку: а). [-12;-9) ; б). [ -1;17 ] . 2 Помоги мне!

ВАРИАНТ 3 1.Изобразите на координатной прямой числовые промежутки: а). (-0,44 ;5) ; б). (10 ; + ∞); в). [ 0 ; 13) ; г).(- ∞ ; -0,44 ]. 2. Запишите числовой промежуток, изображенный на рисунке: 3. Назовите все целые чис ла, принадлежа щие промежутку: а). [- 3 ; 1 ]; б).(- 3; 1); в) [- 3 ; 1) ; г). (- 3 ; 1 ]; . 7 20 -8 6 -7 в). а). б). 4. Укажите наи мен ьшее целое число принадлежащее промежутку: а). [-12;-9]; б). (-1;17 ] . Спасибо, я очень рад!

ВАРИАНТ 4 1.Изобразите на координатной прямой числовые промежутки: а). [ -4 ; -0,29 ]; б). (- ∞ ;+ ∞); в). [ 1,7 ;5 ,9) ; г).(0,01;+ ∞) . 2. Запишите числовой промежуток, изображенный на рисунке: 3. Назовите все целые чис ла, принадлежа щие промежутку: а). [- 4 ; 3 ]; б).(-4 ; 3); в) [- 4 ; 3) ; г). (- 4 ; 3 ]; . -4 -1 -5 25 в). а). б). 4. Укажите наи мен ьшее целое число принадлежащее промежутку: а). [-12;-9) ; б). (-1;17 ] . -8 Молодец!

Вызываем тестовую программу Если у тебя остались свободные минуты,вызови тестовую программу, нажав на слово «ВЫЗЫВАЕМ» Домашняя работа Можно решить другой ВАРИАНТ

Домашняя работа 1). Изобразить на одной и той же координатной прямой два числовых промежутка таких, чтобы они имели общие точки (2 примера). 2). Изобразить на одной и той же координатной прямой два числовых промежутка таких, чтобы они не имели общих точек (2 примера). Завершение работы

СПАСИБО ЗА РАБОТУ!!!

Назад Вперёд

Внимание! Предварительный просмотр слайдов используется исключительно в ознакомительных целях и может не давать представления о всех возможностях презентации. Если вас заинтересовала данная работа, пожалуйста, загрузите полную версию.

Базовый учебник. Алгебра 8 класс: учебник для общеобразовательных учреждений./ Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова; под ред. С.А. Теляковского. – 15-е изд., дораб. – М.: Просвещение, 2007. ISBN 978-5-09-015964-7.

Дидактическая цель урока: создание условий для осознанного изучения нового материала и включение знаний учащихся в процесс познания.

Цели урока:

• Образовательные :
  • ввести понятие числового промежутка;
  • формировать умения работать с числовыми промежутками;
  • изображать на координатной прямой промежуток и множество чисел, удовлетворяющих неравенству;
  • прививать навыки графической культуры.
• Воспитательные :
  • воспитание интереса к математике через использование и применение ИКТ;
  • создание условий для формирования коммуникативных навыков.
• Развивающие :
  • совершенствование умственной деятельности: анализ, синтез, классификация;
  • развитие способности самостоятельно решать учебные задачи, развитие любознательности учащихся, познавательного интереса к предмету;

Задачи урока:

• Знать:
  • понятия: числовой промежуток, числовой луч, открытый числовой луч;
  • обозначение числовых промежутков, их названия.
• Уметь:
  • изображать числовые промежутки на координатной прямой;
  • записывать числовые промежутки на математическом языке.
• Научиться делать самоанализ урока.

Приобретаемые навыки детей:

• умение анализировать, сравнивать, сопоставлять, делать соответствующие выводы;
• развитие логического мышления, памяти, речи, пространственного воображения;
• повышение уровеня восприятия, осмысления и запоминания;
• воспитание внимательного отношения к окружающим, друг к другу, учебной дисциплины;
• умение подводить итоги своей работы, анализировать свою деятельность;

Тип урока: урок изучения нового материала и первичного закрепления.

Формы организации работы детей: индивидуальная, фронтальная, парная.

Формы организации работы учителя:

• используется словесно-иллюстративный метод, репродуктивный метод, практический метод, проблемный метод, беседа-сообщение;
• проверка ранее изученного материала, организация восприятия новой информации;
• постановка цели занятия перед учащимися;
• обобщение изучаемого на уроке и введение его в систему ранее усвоенных знаний.

Оборудование: компьютер, мультимедийный проектор, экран, ПК, линейка, карандаш, набор цветных карандашей, Презентация .

Структура и ход урока:

Среди числовых множеств, то есть множеств , объектами которых являются числа, выделяют так называемые числовые промежутки . Их ценность в том, что очень легко вообразить множество, соответствующее указанному числовому промежутку, и наоборот. Поэтому с их помощью удобно записывать множество решений неравенства.

В этой статье мы разберем все виды числовых промежутков. Здесь мы дадим их названия, введем обозначения, изобразим числовые промежутки на координатной прямой, а также покажем, какие простейшие неравенства им соответствуют. В заключение наглядно представим всю информацию в виде таблицы числовых промежутков.

Навигация по странице.

Виды числовых промежутков

Каждому числовому промежутку присущи четыре неразрывно связанные между собой вещи:

• название числового промежутка,
• отвечающее ему неравенство или двойное неравенство,
• обозначение,
• и его геометрический образ в виде изображения на координатной прямой.

Любой числовой промежуток может быть задан любым из трех последних по списку способов: либо неравенством, либо обозначением, либо его изображением на координатной прямой. Причем по данному способу задания, например, по неравенству, с легкостью восстанавливаются и другие (в нашем случае обозначение и геометрический образ).

Переходим к конкретике. Опишем все числовые промежутки с указанных выше четырех сторон.

Начнем с описания числового промежутка, получившего название открытый числовой луч . Заметим, что часто прилагательное «открытый» опускают, оставляя название открытый луч.

Этому числовому промежутку соответствуют простейшие неравенства с одной переменной вида xa , где a – некоторое действительное число. То есть, согласно смыслу записанных неравенств, открытый числовой луч составляют все , которые меньше числа a (в случае неравенства xa ).

Множество чисел, удовлетворяющих неравенству xa , как (a, +∞) .

Осталось показать геометрическое изображение открытого луча, из него станет видно, что такое название рассматриваемый числовой промежуток получил не случайно. Обратимся к . Известно, что между ее точками и действительными числами имеет место взаимно однозначное соответствие, что позволяет координатную прямую называть числовой прямой. А при разговоре о сравнении чисел мы отметили, что большее число располагается на координатной прямой правее меньшего, а меньшее – левее большего. Исходя из этих соображений, неравенству xa – точки, лежащие правее точки a . Само число a не удовлетворяет этим неравенствам, чтобы подчеркнуть это на чертеже ее изображают точкой с пустым центром. Над точками, которым соответствуют числа, удовлетворяющие неравенству, изображают наклонную штриховку:

Из приведенных чертежей видно, что данным числовым промежуткам соответствуют части числовой прямой, представляющие собой лучи с началом в точке a , но исключая саму точку a . Другими словами, это лучи без начала. Отсюда и название – открытый числовой луч.

Приведем несколько конкретных примеров открытых числовых лучей. Так строгое неравенство x>−3 задает открытый числовой луч. Его же задает запись (−3, ∞) . А на координатной прямой этот числовой промежуток представляет собой множество точек, лежащих правее точки с координатой −3 , не включая саму эту точку. Еще пример: неравенство x<2,3 , как и запись (−∞, 2,3) , задает открытый числовой луч, который следующим образом изображается на координатной прямой


Переходим к числовым промежуткам следующего вида – числовым лучам . В геометрическом плане их отличие от открытых лучей заключается в том, что начало луча не отбрасывается. Другими словами, геометрический образ числовых промежутков этого вида есть полноценный луч.

Что касается задания числовых лучей с помощью неравенств, то им отвечают нестрогие неравенства x≤a или x≥a . Для них приняты обозначения (−∞, a] и . А геометрический образ числового отрезка представляет собой отрезок вместе с его концами:


Например, числовой отрезок, который задается двойным неравенством можно обозначить как , на координатной прямой ему отвечает отрезок с концами в точках, имеющих координаты корень из двух и корень из трех.

Осталось лишь сказать про числовые промежутки, называемые полуинтервалами . Они представляют собой, если так можно выразиться, промежуточный вариант между интервалом и отрезком, так как включают в себя одну из граничных точек. Полуинтервалы задаются двойными неравенствами a

Таблица числовых промежутков

Итак, в предыдущем пункте мы определили и описали следующие числовые промежутки:

• открытый числовой луч;
• числовой луч;
• интервал;
• полуинтервал.

Для удобства сведем все данные о числовых промежутках в таблицу. Занесем в нее название числового промежутка, соответствующее ему неравенство, обозначение и изображение на координатной прямой. Получаем следующую таблицу числовых промежутков :

Список литературы.

• Алгебра: учеб. для 8 кл. общеобразоват. учреждений / [Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; под ред. С. А. Теляковского. - 16-е изд. - М. : Просвещение, 2008. - 271 с. : ил. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Мордкович А. Г. Алгебра. 9 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, П. В. Семенов. - 13-е изд., стер. - М.: Мнемозина, 2011. - 222 с.: ил. ISBN 978-5-346-01752-3.