Раскрытие неравенства с модулем. Метод интервалов – универсальный метод решения неравенств с модулем

МОУ «Хвастовичская средняя школа»

«Метод интервалов для решения уравнений и неравенств с несколькими модулями»

Исследовательская работа по математике

Выполнила:

ученица 10«б» класса

Голышева Евгения

Руководитель:

учитель математики

Шапенская Е.Н.

Введение…………………………………………………………………………… … ….3 Глава 1.Методы решения задач с несколькими модулями…………………….............4 1.1.Определение модуля. Решение по определению.…………………….....................4 1.2 Решение уравнений с несколькими модулями, используя метод интервалов…...5 1.3. Задачи с несколькими модулями. Методы решения……………………………....7 1.4. Метод интервалов в задачах с модулями………………………………………......9 Глава 2. Уравнения и неравенства, содержащие модули………………………….….11 2.1 Решения уравнений с несколькими модулями, используя метод интервала..….11 2.2 Решения неравенств с несколькими модулями, используя метод интервала.…13 Заключение……………………………………………………………………………...15 Литература………………………………………………………………….……….….16

Введение

Понятие абсолютной величины является одной из важнейших характеристик числа как в области действительных, так и в области комплексных чисел. Это понятие широко применяется не только в различных разделах школьного курса математики, но и в курсах высшей математики, физики и технических наук, изучаемых в вузах. Задачи, связанные с абсолютными величинами, часто встречаются на математических олимпиадах, вступительных экзаменах в вузы и на ЕГЭ.

Тема: «Метод интервалов для решения уравнений и неравенств с несколькими модулями методом интервала».

Объективная область: математика.

Объект исследования: решение уравнений и неравенств с модулем.

Предмет исследования: метод интервалов для решения с несколькими модулями.

Цель исследования: выявить эффективность решения уравнений и неравенств с несколькими модулями методом интервала.

Гипотеза: если пользоваться методом интервалов для решения неравенств и уравнений с несколькими модулями, то можно значительно облегчить свою работу.

Методы работы: сбор информации и её анализ.

Задачи:

Изучить литературу по данной теме.

Рассмотреть решения неравенств и уравнений с несколькими модулями.

Выявить наиболее эффективный способ решения.

Практическая направленность проекта:

Данную работу можно использовать в качестве учебного пособия для учащихся и методического пособия для учителя.

Глава 1.

1.1.Определение модуля. Решение по определению.

По определению, модуль, или абсолютная величина, неотрицательного числа a совпадает с самим числом, а модуль отрицательного числа равен противоположному числу, то есть – a:

Модуль числа всегда неотрицателен. Рассмотрим примеры.

Пример 1. Решить уравнение |–x| = –3.

Здесь разбор случаев устраивать не нужно, потому что абсолютная величина числа всегда неотрицательна, и значит, данное уравнение не имеет решений.

Запишем решение этих простейших уравнений в общем виде:

Пример 2. Решить уравнение |x| = 2 – x.

Решение. При x 0 имеем уравнение x = 2 – x, т.е. x = 1. Поскольку 1 0, x = 1 – корень исходного уравнения. Во втором случае (x

Ответ: x = 1.

Пример 3. Решить уравнение 3|x – 3| + x = –1.

Решение. Здесь разбиение на случаи определяется знаком выражения x – 3. При x – 3 ³ 0 имеем 3x – 9 + x = –1 Û x = 2. Но 2 – 3 0.

Ответ: уравнение корней не имеет.

Пример 4. Решить уравнение |x – 1| = 1 – x.

Решение. Поскольку 1 – x = – (x – 1), непосредственно из определения модуля следует, что уравнению удовлетворяют те и только те x, для которых x – 1 0. Это уравнение свелось к неравенству, и ответом является целый промежуток (луч).

Ответ: x 1.

1.2. Решение уравнений с модулем с помощью систем.

Разобранные ранее примеры позволяют сформулировать правила освобождения от знака модуля в уравнениях. Для уравнений вида |f(x)| = g(x) таких правил два:

1-е правило: |f(x)| = g(x) Û (1)
2-е правило: |f(x)| = g(x) Û (2)

Поясним используемые здесь обозначения. Фигурные скобки обозначают системы, а квадратные – совокупности.

Решения системы уравнений – это значения переменной, одновременно удовлетворяющие всем уравнениям системы.

Решениями совокупности уравнений являются все значения переменной, каждое из которых есть корень хотя бы одного из уравнений совокупности.

Два уравнения равносильны, если любое решение каждого из них является и решением другого, иначе говоря, если множества их решений совпадают.

Если уравнение содержит несколько модулей, то от них можно избавляться по очереди, пользуясь приведенными правилами. Но обычно есть более короткие пути. Мы познакомимся с ними позже, а сейчас рассмотрим решение самого простого из таких уравнений:

|f(x)| = |g(x)| Û

Эта равносильность следует из того очевидного факта, что если равны модули двух чисел, то сами числа либо равны, либо противоположны.

Пример 1 . Решить уравнение |x 2 – 7x + 11| = x + 1.
Решение. Избавимся от модуля двумя описанными выше способами:

1 способ: 2 способ:

Как видим, в обоих случаях приходится решать те же самые два квадратных уравнения, но в первом случае их сопровождают квадратные неравенства, а во втором – линейное. Поэтому второй способ для данного уравнения проще. Решая квадратные уравнения, находим корни первого , оба корня удовлетворяют неравенству . Дискриминант второго уравнения отрицателен, следовательно, уравнение корней не имеет.

Ответ: .
Пример 2 . Решить уравнение |x 2 – x – 6| = |2x 2 + x – 1|.

Решение. Мы уже знаем, что рассматривать (целых 4) варианта распределения знаков выражений под модулями здесь не нужно: это уравнение равносильно совокупности двух квадратных уравнений без каких-либо дополнительных неравенств: Которая равносильна: Первое уравнение совокупности решений не имеет (его дискриминант отрицателен), второе уравнение имеет два корня .

1.3. Задачи с несколькими модулями. Методы решения.

Последовательное раскрытие модулей.

Есть два основных подхода к решению уравнений и неравенств, содержащих несколько модулей. Можно назвать их "последовательным" и "параллельным". Сейчас познакомимся с первым из них.

Его идея в том, что сначала один из модулей изолируется в одной части уравнения (или неравенства) и раскрывается одним из описанных ранее методов. Затем то же самое повторяется с каждым из получившихся в результате уравнений с модулями и так продолжается, пока мы не избавимся ото всех модулей.

Пример1. Решить уравнение: +

Решение. Уединим второй модуль и раскроем его, пользуясь первым способом, то есть просто определением абсолютной величины:

К полученным двум уравнениям применяем второй способ освобождения от модуля:

Наконец, решаем получившиеся четыре линейных уравнения и отбираем те их корни, которые удовлетворяют соответствующим неравенствам. В результате остаются лишь два значения: x = –1 и .

Ответ: -1; .

Параллельное раскрытие модулей.

Можно снять сразу все модули в уравнении или неравенстве и выписать все возможные сочетания знаков подмодульных выражений. Если в уравнении n модулей, то вариантов будет 2 n , ибо каждое из n выражений, находящихся под модулем, при снятии модуля может получить один из двух знаков – плюс или минус. В принципе, нам надо решить все 2 n уравнений (или неравенств), освобожденных от модулей. Но их решения будут и решениями исходной задачи, только если они лежат в областях, где соответствующее уравнение (неравенство) совпадает с исходным. Эти области определяются знаками выражений под модулями. Следующее неравенство мы уже решали, так что вы можете сравнить разные подходы к решению.

Пример 2 .+
Решение.

Рассмотрим 4 возможных набора знаков выражений под модулями.

Лишь первый и третий из этих корней удовлетворяют соответствующим неравенствам, а значит, и исходному уравнению.

Ответ: -1; .

Аналогично можно решать любые задачи с несколькими модулями. Но, как всякий универсальный метод, этот способ решения далеко не всегда оптимален. Ниже мы увидим, как его можно усовершенствовать.

1.4. Метод интервалов в задачах с модулями

Присмотревшись внимательнее к условиям, задающим разные варианты распределения знаков подмодульных выражений в предыдущем решении, мы увидим, что одно их них, 1 – 3x

Представьте, что мы решаем уравнение, в которое входят три модуля от линейных выражений; например, |x – a| + |x – b| + |x – c| = m.

Первый модуль равен x – a при x ³ a и a – x при x b и x

Они образуют четыре промежутка. На каждом из них каждое из выражений под модулями сохраняет знак, следовательно, и уравнение в целом после раскрытия модулей имеет на каждом промежутке один и тот же вид. Итак, из 8 теоретически возможных вариантов раскрытия модулей нам оказалось достаточно только 4!

Так же можно решать любую задачу с несколькими модулями. Именно, числовая ось разбивается на промежутки знакопостоянства всех выражений, стоящих под модулями, а затем на каждом из них решается то уравнение или неравенство, в которое превращается данная задача на этом промежутке. В частности, если все выражения под модулями рациональны, то достаточно отметить на оси их корни, а также точки, где они не определены, то есть корни их знаменателей. Отмеченные точки и задают искомые промежутки знакопостоянства. Точно так же мы действуем при решении рациональных неравенств методом интервалов. И описанный нами метод решения задач с модулями имеет то же название.

Пример 1 . Решите уравнение .

Решение. Найдем нули функции , откуда . Решаем задачу на каждом интервале:

Итак, данное уравнение не имеет решений.

Пример 2 . Решите уравнение .

Решение. Найдем нули функции . Решаем задачу на каждом интервале:

1) (решений нет);

Пример 3 . Решите уравнение .

Решение. Выражения, стоящие под знаком абсолютной величины обращаются в ноль при . Соответственно нам нужно рассмотреть три случая:

2) - корень уравнения;

3) - корень данного уравнения.

Глава 2. Уравнения и неравенства, содержащие модули.

2.1 Решения уравнений с несколькими модулями, используя метод интервалов.

Пример 1.

Решите уравнение:

|х+2| = |х-1|+х-3

-(х+2) = -(х-1) + х-3

Х-2=-х+1+х-3

х=2 – не удовлетворяет

условию х

решений нет

2. Если -2≤х

х+2 = -(х-1)+х-3

удовлетворяет

условию -2

3. Если х≥1, то

Ответ: х=6

Пример 2.

Решите уравнение:

1) Находим нули подмодульных выражений

Нули подмодульных выражений разбивают числовую ось на несколько интервалов. Расставляем знаки подмодульных выражений на этих интервалах.

На каждом интервале раскрываем модули и решаем полученное уравнение. После нахождения корня проверяем, чтобы он принадлежал интервалу, на котором мы в данный момент работаем.

1. :

– подходит.

2. :

– не подходит.

3. :

– подходит.

4. :

– не подходит. Ответ:

2.2 Решения неравенств с несколькими модулями, используя метод интервалов.

Пример 1.

Решите неравенство:

|х-1| + |х-3| 4

-(х-1) - (х-3) 4

2. Если 1≤х

х-1– (х-3) 4

24 – не верно

решений нет

3. Если х≥3, то

Ответ: хЄ (-∞;0) U (4;+∞)

Пример 2.

Решим неравенство

Решение. Точки и (корни выражений, стоящих под модулем) разбивают всю числовую ось на три интервала, на каждом из которых следует раскрыть модули.

1) При выполняется , и неравенство имеет вид , то есть . В этом случае ответ .

2) При выполняется , неравенство имеет вид , то есть . Это неравенство верно при любых значениях переменной , и, с учетом того, что мы решаем его на множестве , получаем ответ во втором случае .

3) При выполняется , неравенство преобразуется к , и решение в этом случае . Общее решение неравенства --- объединение трех полученных ответов.

Таким образом, для решения уравнений и неравенств, содержащих несколько модулей, удобно использовать метод интервалов. Для этого надо найти нули вех подмодульных функций, обозначить их на ОДЗ уравнения и неравенств.

Заключение

В последнее время в математике широко используются методы для упрощения решения задач, в частности метод интервала, позволяющий значительно ускорить расчеты. Поэтому исследование метода интервала для решения уравнений и неравенств с несколькими модулями актуально.

В процессе работы над темой «Решение уравнений и неравенств, содержащих неизвестную под знаком модуля методом интервала» я: изучила литературу по данному вопросу, познакомилась с алгебраическим и графическим подходом к решению уравнений и неравенств, содержащих неизвестную под знаком модуля, и пришла к выводу:

В ряде случаев при решении уравнений с модулем, возможно, решать уравнения по правилам, а иногда удобнее воспользоваться методом интервала.

При решении уравнений и неравенств, содержащих модуль, метод интервалов является более наглядным и сравнительно более простым.

В ходе написания исследовательской работы мною были раскрыты многие задачи, которые можно решить, используя метод интервала. Самой важной задачей является решение уравнений и неравенств с несколькими модулями.

В ходе проведённой мною работы по решению неравенств и уравнений с несколькими модулями, используя метод интервала, я обнаружила, что скорость решения задач увеличилась в два раза. Это позволяет значительно ускорить ход рабочего процесса и снизить временные затраты. Таким образом, моя гипотеза «если пользоваться методом интервалов для решения неравенств и уравнений с несколькими модулями, то можно значительно облегчить свою работу» подтвердилась. В процессе работы над исследованием я приобрела опыт при решении уравнений и неравенств с несколькими модулями. Думаю, что полученные мною знания позволят мне избежать ошибок при решении.

Литература

http://padabum.com

http://yukhym.com
http://www.tutoronline.ru
http://fizmat.by
http://diffur.kemsu.ru
http://solverbook.com
Зеленский А.С., Панфилов. Решение уравнений и неравенств с модулем И.И. М.: Изд-во Факториал, 2009.- 112 с.
Олехник С.Н. Потапов М.К.Уравнения и неравенства. Нестандартные методы решения. М.: Изд-во Факториал, 1997. - 219с.
Севрюков П.Ф., Смоляков А.Н. Уравнения и неравенства с модулями и методика их решения. М.: Изд-во Просвещение 2005. - 112 с.
Садовничий Ю.В. ЕГЭ. Практикум по математике. Решение уравнений и неравенств. Преобразование алгебраических выражений. М.: Изд-во Легион 2015 - 128 с.
Шевкин А.В.Квадратные неравенства. Метод интервалов. М.: ООО «Русское слово – учебная книга», 2003. – 32 с.

Сегодня, друзья, не будет никаких соплей и сантиментов. Вместо них я без лишних вопросов отправлю вас в бой с одним из самых грозных противников в курсе алгебры 8—9 класса.

Да, вы всё правильно поняли: речь идёт о неравенствах с модулем. Мы рассмотрим четыре основных приёма, с помощью которых вы научитесь решать порядка 90% таких задач. А что с остальными 10%? Что ж, о них мы поговорим в отдельном уроке.:)

Однако перед тем, как разбирать какие-то там приёмы, хотелось бы напомнить два факта, которые уже необходимо знать. Иначе вы рискуете вообще не понять материал сегодняшнего урока.

Что уже нужно знать

Капитан Очевидность как бы намекает, что для решения неравенств с модулем необходимо знать две вещи:

Как решаются неравенства;
Что такое модуль.

Начнём со второго пункта.

Определение модуля

Тут всё просто. Есть два определения: алгебраическое и графическое. Для начала — алгебраическое:

Определение. Модуль числа $x$ — это либо само это число, если оно неотрицательно, либо число, ему противоположное, если исходный $x$ — всё-таки отрицателен.

Записывается это так:

\[\left| x \right|=\left\{ \begin{align} & x,\ x\ge 0, \\ & -x,\ x \lt 0. \\\end{align} \right.\]

Говоря простым языком, модуль — это «число без минуса». И именно в этой двойственности (где-то с исходным числом ничего не надо делать, а где-то придётся убрать какой-то там минус) и заключается вся сложность для начинающих учеников.

Есть ещё геометрическое определение. Его тоже полезно знать, но обращаться к нему мы будем лишь в сложных и каких-то специальных случаях, где геометрический подход удобнее алгебраического (спойлер: не сегодня).

Определение. Пусть на числовой прямой отмечена точка $a$. Тогда модулем $\left| x-a \right|$ называется расстояние от точки $x$ до точки $a$ на этой прямой.

Если начертить картинку, то получится что-то типа этого:

Графическое определение модуля

Так или иначе, из определения модуля сразу следует его ключевое свойство: модуль числа всегда является величиной неотрицательной . Этот факт будет красной нитью идти через всё наше сегодняшнее повествование.

Решение неравенств. Метод интервалов

Теперь разберёмся с неравенствами. Их существует великое множество, но наша задача сейчас — уметь решать хотя бы самые простые из них. Те, которые сводятся к линейным неравенствам, а также к методу интервалов.

На эту тему у меня есть два больших урока (между прочем, очень, ОЧЕНЬ полезных — рекомендую изучить):

Метод интервалов для неравенств (особенно посмотрите видео);
Дробно-рациональные неравенства — весьма объёмный урок, но после него у вас вообще не останется каких-либо вопросов.

Если вы всё это знаете, если фраза «перейдём от неравенства к уравнению» не вызывает у вас смутное желание убиться об стену, то вы готовы: добро пожаловать в ад к основной теме урока.:)

1. Неравенства вида «Модуль меньше функции»

Это одна из самых часто встречающихся задач с модулями. Требуется решить неравенство вида:

\[\left| f \right| \lt g\]

В роли функций $f$ и $g$ может выступать что угодно, но обычно это многочлены. Примеры таких неравенств:

\[\begin{align} & \left| 2x+3 \right| \lt x+7; \\ & \left| {{x}^{2}}+2x-3 \right|+3\left(x+1 \right) \lt 0; \\ & \left| {{x}^{2}}-2\left| x \right|-3 \right| \lt 2. \\\end{align}\]

Все они решаются буквально в одну строчку по схеме:

\[\left| f \right| \lt g\Rightarrow -g \lt f \lt g\quad \left(\Rightarrow \left\{ \begin{align} & f \lt g, \\ & f \gt -g \\\end{align} \right. \right)\]

Нетрудно заметить, что избавляемся от модуля, но взамен получаем двойное неравенство (или, что тоже самое, систему из двух неравенств). Зато этот переход учитывает абсолютно все возможные проблемы: если число под модулем положительно, метод работает; если отрицательно — всё равно работает; и даже при самой неадекватной функции на месте $f$ или $g$ метод всё равно сработает.

Естественно, возникает вопрос: а проще нельзя? К сожалению, нельзя. В этом вся фишка модуля.

Впрочем, хватит философствовать. Давайте решим парочку задач:

Задача. Решите неравенство:

\[\left| 2x+3 \right| \lt x+7\]

Решение. Итак, перед нами классическое неравенство вида «модуль меньше» — даже преобразовывать нечего. Работаем по алгоритму:

\[\begin{align} & \left| f \right| \lt g\Rightarrow -g \lt f \lt g; \\ & \left| 2x+3 \right| \lt x+7\Rightarrow -\left(x+7 \right) \lt 2x+3 \lt x+7 \\\end{align}\]

Не торопитесь раскрывать скобки, перед которыми стоит «минус»: вполне возможно, что из-за спешки вы допустите обидную ошибку.

\[-x-7 \lt 2x+3 \lt x+7\]

\[\left\{ \begin{align} & -x-7 \lt 2x+3 \\ & 2x+3 \lt x+7 \\ \end{align} \right.\]

\[\left\{ \begin{align} & -3x \lt 10 \\ & x \lt 4 \\ \end{align} \right.\]

\[\left\{ \begin{align} & x \gt -\frac{10}{3} \\ & x \lt 4 \\ \end{align} \right.\]

Задача свелась к двум элементарным неравенствам. Отметим их решения на параллельных числовых прямых:
Пересечение множеств
Пересечением этих множеств и будет ответ.

Ответ: $x\in \left(-\frac{10}{3};4 \right)$

Задача. Решите неравенство:

\[\left| {{x}^{2}}+2x-3 \right|+3\left(x+1 \right) \lt 0\]

Решение. Это задание уже чуть посложнее. Для начала уединим модуль, перенеся второе слагаемое вправо:

\[\left| {{x}^{2}}+2x-3 \right| \lt -3\left(x+1 \right)\]

Очевидно, перед нами вновь неравенство вида «модуль меньше», поэтому избавляемся от модуля по уже известному алгоритму:

\[-\left(-3\left(x+1 \right) \right) \lt {{x}^{2}}+2x-3 \lt -3\left(x+1 \right)\]

Вот сейчас внимание: кто-то скажет, что я немного извращенец со всеми этими скобками. Но ещё раз напомню, что наша ключевая цель — грамотно решить неравенство и получить ответ . Позже, когда вы в совершенстве освоите всё, о чём рассказано в этом уроке, можете сами извращаться как хотите: раскрывать скобки, вносить минусы и т.д.

А мы для начала просто избавимся от двойного минуса слева:

\[-\left(-3\left(x+1 \right) \right)=\left(-1 \right)\cdot \left(-3 \right)\cdot \left(x+1 \right)=3\left(x+1 \right)\]

Теперь раскроем все скобки в двойном неравенстве:

Переходим к двойному неравенству. В этот раз выкладки будут посерьёзнее:

\[\left\{ \begin{align} & {{x}^{2}}+2x-3 \lt -3x-3 \\ & 3x+3 \lt {{x}^{2}}+2x-3 \\ \end{align} \right.\]

\[\left\{ \begin{align} & {{x}^{2}}+5x \lt 0 \\ & {{x}^{2}}-x-6 \gt 0 \\ \end{align} \right.\]

Оба неравенства являются квадратными и решаются методом интервалов (потому и говорю: если не знаете, что это такое, лучше пока не браться за модули). Переходим к уравнению в первом неравенстве:

\[\begin{align} & {{x}^{2}}+5x=0; \\ & x\left(x+5 \right)=0; \\ & {{x}_{1}}=0;{{x}_{2}}=-5. \\\end{align}\]

Как видим, на выходе получилось неполное квадратное уравнение, которое решается элементарно. Теперь разберёмся со вторым неравенством системы. Там придётся применить теорему Виета:

\[\begin{align} & {{x}^{2}}-x-6=0; \\ & \left(x-3 \right)\left(x+2 \right)=0; \\& {{x}_{1}}=3;{{x}_{2}}=-2. \\\end{align}\]

Отмечаем полученные числа на двух параллельных прямых (отдельная для первого неравенства и отдельная для второго):
Опять же, поскольку мы решаем систему неравенств, нас интересует пересечение заштрихованных множеств: $x\in \left(-5;-2 \right)$. Это и есть ответ.
Ответ: $x\in \left(-5;-2 \right)$

Думаю, после этих примеров схема решения предельно ясна:

Уединить модуль, перенеся все другие слагаемые в противоположную часть неравенства. Таким образом мы получим неравенство вида $\left| f \right| \lt g$.
Решить это неравенство, избавившись от модуля по описанной выше схеме. В какой-то момент потребуется перейти от двойного неравенства к системе из двух самостоятельных выражений, каждое из которых уже можно решать отдельно.
Наконец, останется лишь пересечь решения этих двух самостоятельных выражений — и всё, мы получим окончательный ответ.

Аналогичный алгоритм существует и для неравенств следующего типа, когда модуль больше функции. Однако там есть парочка серьёзных «но». Об этих «но» мы сейчас и поговорим.

2. Неравенства вида «Модуль больше функции»

Выглядят они так:

\[\left| f \right| \gt g\]

Похоже на предыдущее? Похоже. И тем не менее решаются такие задачи совсем по-другому. Формально схема следующая:

\[\left| f \right| \gt g\Rightarrow \left[ \begin{align} & f \gt g, \\ & f \lt -g \\\end{align} \right.\]

Другими словами, мы рассматриваем два случая:

Сначала просто игнорируем модуль — решаем обычное неравенство;
Затем по сути раскрываем модуль со знаком «минус», а затем умножаем обе части неравенства на −1, меня при этом знак.

При этом варианты объединены квадратной скобкой, т.е. перед нами совокупность двух требований.

Обратите внимание ещё раз: перед нами не система, а совокупность, поэтому в ответе множества объединяются, а не пересекаются . Это принципиальное отличие от предыдущего пункта!

Вообще, с объединениями и пересечениями у многих учеников сплошная путаница, поэтому давайте разберёмся в этом вопросе раз и навсегда:

«∪» — это знак объединения. По сути, это стилизованная буква «U», которая пришла к нам из английского языка и является аббревиатурой от «Union», т.е. «Объединения».
«∩» — это знак пересечения. Эта хрень ниоткуда не пришла, а просто возникла как противопоставление к «∪».

Чтобы ещё проще было запомнить, просто пририсуйте к этим знакам ножки, чтобы получились бокалы (вот только не надо сейчас обвинять меня в пропаганде наркомании и алкоголизма: если вы всерьёз изучаете этот урок, то вы уже наркоман):

Разница между пересечением и объединением множеств

В переводе на русский это означает следующее: объединение (совокупность) включает в себя элементы из обоих множеств, поэтому никак не меньше каждого из них; а вот пересечение (система) включает в себя лишь те элементы, которые одновременно находятся и в первом множестве, и во втором. Поэтому пересечение множеств никогда не бывает больше множеств-исходников.

Так стало понятнее? Вот и отлично. Переходим к практике.

Задача. Решите неравенство:

\[\left| 3x+1 \right| \gt 5-4x\]

Решение. Действуем по схеме:

\[\left| 3x+1 \right| \gt 5-4x\Rightarrow \left[ \begin{align} & 3x+1 \gt 5-4x \\ & 3x+1 \lt -\left(5-4x \right) \\\end{align} \right.\]

Решаем каждое неравенство совокупности:

\[\left[ \begin{align} & 3x+4x \gt 5-1 \\ & 3x-4x \lt -5-1 \\ \end{align} \right.\]

\[\left[ \begin{align} & 7x \gt 4 \\ & -x \lt -6 \\ \end{align} \right.\]

\[\left[ \begin{align} & x \gt 4/7\ \\ & x \gt 6 \\ \end{align} \right.\]

Отмечаем каждое полученное множество на числовой прямой, а затем объединяем их:
Объединение множеств
Совершенно очевидно, что ответом будет $x\in \left(\frac{4}{7};+\infty \right)$

Ответ: $x\in \left(\frac{4}{7};+\infty \right)$

Задача. Решите неравенство:

\[\left| {{x}^{2}}+2x-3 \right| \gt x\]

Решение. Ну что? Да ничего — всё то же самое. Переходим от неравенства с модулем к совокупности двух неравенств:

\[\left| {{x}^{2}}+2x-3 \right| \gt x\Rightarrow \left[ \begin{align} & {{x}^{2}}+2x-3 \gt x \\ & {{x}^{2}}+2x-3 \lt -x \\\end{align} \right.\]

Решаем каждое неравенство. К сожалению, корни там будут не оч:

\[\begin{align} & {{x}^{2}}+2x-3 \gt x; \\ & {{x}^{2}}+x-3 \gt 0; \\ & D=1+12=13; \\ & x=\frac{-1\pm \sqrt{13}}{2}. \\\end{align}\]

Во втором неравенстве тоже немного дичи:

\[\begin{align} & {{x}^{2}}+2x-3 \lt -x; \\ & {{x}^{2}}+3x-3 \lt 0; \\ & D=9+12=21; \\ & x=\frac{-3\pm \sqrt{21}}{2}. \\\end{align}\]

Теперь нужно отметить эти числа на двух осях — по одной оси для каждого неравенства. Однако отмечать точки нужно в правильном порядке: чем больше число, тем дальше сдвигам точку вправо.

И вот тут нас ждёт подстава. Если с числами $\frac{-3-\sqrt{21}}{2} \lt \frac{-1-\sqrt{13}}{2}$ всё ясно (слагаемые в числителе первой дроби меньше слагаемых в числителе второй, поэтому сумма тоже меньше), с числами $\frac{-3-\sqrt{13}}{2} \lt \frac{-1+\sqrt{21}}{2}$ тоже не возникнет затруднений (положительное число заведомо больше отрицательного), то вот с последней парочкой всё не так однозначно. Что больше: $\frac{-3+\sqrt{21}}{2}$ или $\frac{-1+\sqrt{13}}{2}$? От ответа на этот вопрос будет зависеть расстановка точек на числовых прямых и, собственно, ответ.

Поэтому давайте сравнивать:

\[\begin{matrix} \frac{-1+\sqrt{13}}{2}\vee \frac{-3+\sqrt{21}}{2} \\ -1+\sqrt{13}\vee -3+\sqrt{21} \\ 2+\sqrt{13}\vee \sqrt{21} \\\end{matrix}\]

Мы уединили корень, получили неотрицательные числа с обеих сторон неравенства, поэтому вправе возвести обе стороны в квадрат:

\[\begin{matrix} {{\left(2+\sqrt{13} \right)}^{2}}\vee {{\left(\sqrt{21} \right)}^{2}} \\ 4+4\sqrt{13}+13\vee 21 \\ 4\sqrt{13}\vee 3 \\\end{matrix}\]

Думаю, тут и ежу понятно, что $4\sqrt{13} \gt 3$, поэтому $\frac{-1+\sqrt{13}}{2} \gt \frac{-3+\sqrt{21}}{2}$, окончательно точки на осях будут расставлены вот так:
Случай некрасивых корней
Напомню, мы решаем совокупность, поэтому в ответ пойдёт объединение, а не пересечение заштрихованных множеств.

Ответ: $x\in \left(-\infty ;\frac{-3+\sqrt{21}}{2} \right)\bigcup \left(\frac{-1+\sqrt{13}}{2};+\infty \right)$

Как видите, наша схема прекрасно работает как для простых задач, так и для весьма жёстких. Единственное «слабое место» в таком подходе — нужно грамотно сравнивать иррациональные числа (и поверьте: это не только корни). Но вопросам сравнения будет посвящён отдельный (и очень серьёзный урок). А мы идём дальше.

3. Неравенства с неотрицательными «хвостами»

Вот мы и добрались до самого интересного. Это неравенства вида:

\[\left| f \right| \gt \left| g \right|\]

Вообще говоря, алгоритм, о котором мы сейчас поговорим, верен н только для модуля. Он работает во всех неравенствах, где слева и справа стоят гарантированно неотрицательные выражения:

Что делать с этими задачами? Просто помните:

В неравенствах с неотрицательными «хвостами» можно возводить обе части в любую натуральную степень. Никаких дополнительных ограничений при этом не возникнет.

Прежде всего нас будет интересовать возведение в квадрат — он сжигает модули и корни:

\[\begin{align} & {{\left(\left| f \right| \right)}^{2}}={{f}^{2}}; \\ & {{\left(\sqrt{f} \right)}^{2}}=f. \\\end{align}\]

Вот только не надо путать это с извлечением корня из квадрата:

\[\sqrt{{{f}^{2}}}=\left| f \right|\ne f\]

Бесчисленное множество ошибок было допущено в тот момент, когда ученик забывал ставить модуль! Но это совсем другая история (это как бы иррациональные уравнения), поэтому не будем сейчас в это углубляться. Давайте лучше решим парочку задач:

Задача. Решите неравенство:

\[\left| x+2 \right|\ge \left| 1-2x \right|\]

Решение. Сразу заметим две вещи:

Это нестрогое неравенство. Точки на числовой прямой будут выколоты.

Обе стороны неравенства заведомо неотрицательны (это свойство модуля: $\left| f\left(x \right) \right|\ge 0$).

Следовательно, можем возвести обе части неравенства в квадрат, чтобы избавиться от модуля и решать задачу обычным методом интервалов:

\[\begin{align} & {{\left(\left| x+2 \right| \right)}^{2}}\ge {{\left(\left| 1-2x \right| \right)}^{2}}; \\ & {{\left(x+2 \right)}^{2}}\ge {{\left(2x-1 \right)}^{2}}. \\\end{align}\]

На последнем шаге я слегка схитрил: поменял последовательность слагаемых, воспользовавшись чётностью модуля (по сути, умножил выражение $1-2x$ на −1).

\[\begin{align} & {{\left(2x-1 \right)}^{2}}-{{\left(x+2 \right)}^{2}}\le 0; \\ & \left(\left(2x-1 \right)-\left(x+2 \right) \right)\cdot \left(\left(2x-1 \right)+\left(x+2 \right) \right)\le 0; \\ & \left(2x-1-x-2 \right)\cdot \left(2x-1+x+2 \right)\le 0; \\ & \left(x-3 \right)\cdot \left(3x+1 \right)\le 0. \\\end{align}\]

Решаем методом интервалов. Переходим от неравенства к уравнению:

\[\begin{align} & \left(x-3 \right)\left(3x+1 \right)=0; \\ & {{x}_{1}}=3;{{x}_{2}}=-\frac{1}{3}. \\\end{align}\]

Отмечаем найденные корни на числовой прямой. Ещё раз: все точки закрашены, поскольку исходное неравенство — нестрогое!
Избавление от знака модуля
Напомню для особо упоротых: знаки мы берём из последнего неравенства, которое было записано перед переходом к уравнению. И закрашиваем области, требуемые в том же неравенстве. В нашем случае это $\left(x-3 \right)\left(3x+1 \right)\le 0$.

Ну вот и всё. Задача решена.

Ответ: $x\in \left[ -\frac{1}{3};3 \right]$.

Задача. Решите неравенство:

\[\left| {{x}^{2}}+x+1 \right|\le \left| {{x}^{2}}+3x+4 \right|\]

Решение. Делаем всё то же самое. Я не буду комментировать — просто посмотрите на последовательность действий.

Возводим в квадрат:

\[\begin{align} & {{\left(\left| {{x}^{2}}+x+1 \right| \right)}^{2}}\le {{\left(\left| {{x}^{2}}+3x+4 \right| \right)}^{2}}; \\ & {{\left({{x}^{2}}+x+1 \right)}^{2}}\le {{\left({{x}^{2}}+3x+4 \right)}^{2}}; \\ & {{\left({{x}^{2}}+x+1 \right)}^{2}}-{{\left({{x}^{2}}+3x+4 \right)}^{2}}\le 0; \\ & \left({{x}^{2}}+x+1-{{x}^{2}}-3x-4 \right)\times \\ & \times \left({{x}^{2}}+x+1+{{x}^{2}}+3x+4 \right)\le 0; \\ & \left(-2x-3 \right)\left(2{{x}^{2}}+4x+5 \right)\le 0. \\\end{align}\]

Метод интервалов:

\[\begin{align} & \left(-2x-3 \right)\left(2{{x}^{2}}+4x+5 \right)=0 \\ & -2x-3=0\Rightarrow x=-1,5; \\ & 2{{x}^{2}}+4x+5=0\Rightarrow D=16-40 \lt 0\Rightarrow \varnothing . \\\end{align}\]

Всего один корень на числовой прямой:
Ответ — целый интервал
Ответ: $x\in \left[ -1,5;+\infty \right)$.

Небольшое замечание насчёт последней задачи. Как точно подметил один мой ученик, оба подмодульных выражения в данном неравенстве заведомо положительны, поэтому знак модуля можно без ущерба для здоровья опустить.

Но это уже совсем другой уровень размышлений и другой подход — его условно можно назвать методом следствий. О нём — в отдельном уроке. А сейчас перейдём к финальной части сегодняшнего урока и рассмотрим универсальный алгоритм, который работает всегда. Даже тогда, когда все предыдущие подходы оказались бессильны.:)

4. Метод перебора вариантов

А что, если все эти приёмы не помогут? Если неравенство не сводится неотрицательным хвостам, если уединить модуль не получается, если вообще боль-печаль-тоска?

Тогда на сцену выходит «тяжёлая артиллерия» всей математики — метод перебора. Применительно к неравенствам с модулем выглядит он так:

Выписать все подмодульные выражения и приравнять их к нулю;
Решить полученные уравнения и отметить найденные корни на одной числовой прямой;
Прямая разобьётся на несколько участков, внутри которого каждый модуль имеет фиксированный знак и потому однозначно раскрывается;
Решить неравенство на каждом таком участке (можно отдельно рассмотреть корни-границы, полученные в пункте 2 — для надёжности). Результаты объединить — это и будет ответ.:)

Ну как? Слабо? Легко! Только долго. Посмотрим на практике:

Задача. Решите неравенство:

\[\left| x+2 \right| \lt \left| x-1 \right|+x-\frac{3}{2}\]

Решение. Эта хрень не сводится к неравенствам вида $\left| f \right| \lt g$, $\left| f \right| \gt g$ или $\left| f \right| \lt \left| g \right|$, поэтому действуем напролом.

Выписываем подмодульные выражения, приравниваем их к нулю и находим корни:

\[\begin{align} & x+2=0\Rightarrow x=-2; \\ & x-1=0\Rightarrow x=1. \\\end{align}\]

Итого у нас два корня, которые разбивают числовую прямую на три участка, внутри которых каждый модуль раскрывается однозначно:
Разбиение числовой прямой нулями подмодульных функций
Рассмотрим каждый участок отдельно.

1. Пусть $x \lt -2$. Тогда оба подмодульных выражения отрицательны, и исходное неравенство перепишется так:

\[\begin{align} & -\left(x+2 \right) \lt -\left(x-1 \right)+x-1,5 \\ & -x-2 \lt -x+1+x-1,5 \\ & x \gt 1,5 \\\end{align}\]

Получили довольно простое ограничение. Пересечём его с исходным предположением, что $x \lt -2$:

\[\left\{ \begin{align} & x \lt -2 \\ & x \gt 1,5 \\\end{align} \right.\Rightarrow x\in \varnothing \]

Очевидно, что переменная $x$ не может одновременно быть меньше −2, но больше 1,5. Решений на этом участке нет.

1.1. Отдельно рассмотрим пограничный случай: $x=-2$. Просто подставим это число в исходное неравенство и проверим: выполняется ли оно?

\[\begin{align} & {{\left. \left| x+2 \right| \lt \left| x-1 \right|+x-1,5 \right|}_{x=-2}} \\ & 0 \lt \left| -3 \right|-2-1,5; \\ & 0 \lt 3-3,5; \\ & 0 \lt -0,5\Rightarrow \varnothing . \\\end{align}\]

Очевидно, что цепочка вычислений привела нас к неверному неравенству. Следовательно, исходное неравенство тоже неверно, и $x=-2$ не входит в ответ.

2. Пусть теперь $-2 \lt x \lt 1$. Левый модуль уже раскроется с «плюсом», но правый — всё ещё с «минусом». Имеем:

\[\begin{align} & x+2 \lt -\left(x-1 \right)+x-1,5 \\ & x+2 \lt -x+1+x-1,5 \\& x \lt -2,5 \\\end{align}\]

Снова пересекаем с исходным требованием:

\[\left\{ \begin{align} & x \lt -2,5 \\ & -2 \lt x \lt 1 \\\end{align} \right.\Rightarrow x\in \varnothing \]

И снова пустое множество решений, поскольку нет таких чисел, которые одновременно меньше −2,5, но больше −2.

2.1. И вновь частный случай: $x=1$. Подставляем в исходное неравенство:

\[\begin{align} & {{\left. \left| x+2 \right| \lt \left| x-1 \right|+x-1,5 \right|}_{x=1}} \\ & \left| 3 \right| \lt \left| 0 \right|+1-1,5; \\ & 3 \lt -0,5; \\ & 3 \lt -0,5\Rightarrow \varnothing . \\\end{align}\]

Аналогично предыдущему «частному случаю», число $x=1$ явно не входит в ответ.

3. Последний кусок прямой: $x \gt 1$. Тут все модули раскрываются со знаком «плюс»:

\[\begin{align} & x+2 \lt x-1+x-1,5 \\ & x+2 \lt x-1+x-1,5 \\ & x \gt 4,5 \\\end{align}\]

И вновь пересекаем найденное множество с исходным ограничением:

\[\left\{ \begin{align} & x \gt 4,5 \\ & x \gt 1 \\\end{align} \right.\Rightarrow x\in \left(4,5;+\infty \right)\]

Ну наконец-то! Мы нашли интервал, который и будет ответом.

Ответ: $x\in \left(4,5;+\infty \right)$

Напоследок — одно замечание, которое, возможно, убережёт вас от глупых ошибок при решении реальных задач:

Решения неравенств с модулями обычно представляют собой сплошные множества на числовой прямой — интервалы и отрезки. Гораздо реже встречаются изолированные точки. И ещё реже случается так, что границ решения (конец отрезка) совпадает с границей рассматриваемого диапазона.

Следовательно, если границы (те самые «частные случаи») не входят в ответ, то почти наверняка не войдут в ответ и области слева-справа от этих границ. И напротив: граница вошла в ответ — значит, и какие-то области вокруг неё тоже будут ответами.

Помните об этом, когда проверяете свои решения.

Чем больше человек понимает, тем сильнее в нем желание понимать

Фома Аквинский

Метод интервалов позволяет решать любые уравнения, содержащие модуль. Суть этого метода в том, чтобы разбить числовую ось на несколько участков (интервалов), причем разбить ось нужно именно нулями выражений, стоящих в модулях. Затем на каждом из получившихся участков всякое подмодульное выражение либо положительно, либо отрицательно. Поэтому каждый из модулей может быть раскрыт или со знаком минус, или со знаком плюс. После этих действий остается лишь решить каждое из полученных простых уравнений на рассматриваемом интервале и объединить полученные ответы.

Рассмотрим данный метод на конкретном примере.

|x + 1| + |2x – 4| – |x + 3| = 2x – 6.

1) Найдем нули выражений, стоящих в модулях. Для этого нужно приравняем их к нулю, и решить полученные уравнения.

x + 1 = 0 2x – 4 = 0 x + 3 = 0

x = -1 2x = 4 x = -3

2) Расставим получившиеся точки в нужном порядке на координатной прямой. Они разобьют всю ось на четыре участка.

3) Определим на каждом из получившихся участков знаки выражений, стоящих в модулях. Для этого подставляем в них любые числа с интересующих нас интервалов. Если результат вычислений – число положительное, то в таблице ставим «+», а если число отрицательное, то ставим «–». Это можно изобразить так:

4) Теперь будем решать уравнение на каждом из четырех интервалов, раскрывая модули с теми знаками, которые проставлены в таблице. Итак, рассмотрим первый интервал:

I интервал (-∞; -3). На нем все модули раскрываются со знаком «–». Получим следующее уравнение:

-(x + 1) – (2x – 4) – (-(x + 3)) = 2x – 6. Приведем подобные слагаемые, раскрыв предварительно скобки в полученном уравнении:

X – 1 – 2x + 4 + x + 3 = 2x – 6

Полученный ответ не входит в рассматриваемый интервал, поэтому в окончательный ответ писать его не надо.

II интервал [-3; -1). На этом интервале в таблице стоят знаки «–», «–», «+». Именно так и раскрываем модули исходного уравнения:

-(x + 1) – (2x – 4) – (x + 3) = 2x – 6. Упростим, раскрыв при этом скобки:

X – 1 – 2x + 4 – x – 3 = 2x – 6. Приведем в полученном уравнении подобные:

x = 6/5. Полученное число не принадлежит рассматриваемому интервалу, поэтому оно не является корнем исходного уравнения.

III интервал [-1; 2). Раскрываем модули исходного уравнения с теми знаками, которые стоят на рисунке в третьей колонке. Получаем:

(x + 1) – (2x – 4) – (x + 3) = 2x – 6. Избавимся от скобок, перенесем слагаемые, содержащие переменную x в левую часть уравнения, а не содержащие x в правую. Будем иметь:

x + 1 – 2x + 4 – x – 3 = 2x – 6

В рассматриваемый интервал число 2 не входит.

IV интервал }