Сечение шара диаметральной плоскостью называется. Сечение поверхности шара

Ключевые слова: шар, сфера, центр шара, диаметр, касательная плоскость, плоскость симметрии,

Шаром называется тело, которое состоит из всех точек пространства, находящихся на расстоянии, не большем данного, от данной точки.

Эта точка называется центром шара, а данное расстояние называется радиусом шара. Граница шара называется шаровой поверхностью или сферой. Любой отрезок, соединяющий центр шара с точкой шаровой поверхности, называется радиусом. Отрезок, соединяющий две точки шаровой поверхности и проходящий через центр шара, называется диаметром. Концы любого диаметра называются диаметрально-противоположными точками шара. Шар, так же, как цилиндр и конус, является телом вращения. Он получается при вращении полукруга вокруг его диаметра как оси. Всякое сечение шара плоскостью есть круг. Центр этого круга есть основание перпендикуляра, опущенного из центра на секущую плоскость. Плоскость, проходящая через центр шара, называется диаметральной плоскостью . Сечение шара диаметральной плоскостью называется большим кругом , а сечение сферы - большой окружностью Любая диаметральная плоскость шара являются его плоскостью симметрии . Центр шара является его центром симметрии Плоскость, проходящая через точку шаровой поверхности и перпендикулярная радиусу, проведенного в эту точку, называется касательной плоскостью . Данная точка называется точкой касания. Касательная плоскость имеет с шаром только одну общую точку - точку касания. Прямая, проходящая через заданную точку шаровой поверхности перпендикулярно к радиусу, проведенному в эту точку, называется касательной. Через любую точку шаровой поверхности проходит бесконечно много касательных, причем все они лежат в касательной плоскости шара.

Теорема 20.3 . Всякое сечение шара плоскостью есть круг. Центр этого круга есть основание перпендикуляра, опущенного из центра шара на секущую плоскость .

Доказательство. Пусть - секущая плоскость и О - центр шара (рис. 453). Опустим перпендикуляр из центра шара на плоскость и обозначим через О" основание этого перпендикуляра.

Пусть X - произвольная точка шара, принадлежащая плоскости. По теореме Пифагора 0X2 = 00"2+О"Х2. Так как ОХ не больше радиуса R шара, то, т. е. любая точка сечения шара плоскостью находится от точки О" на расстоянии, не большем, следовательно, она принадлежит кругу с центром О" и радиусом.

Обратно: любая точка X этого круга принадлежит шару. А это значит, что сечение шара плоскостью есть круг с центром в точке О". Теорема доказана.

Плоскость, проходящая через центр шара, называется диаметральной плоскостью. Сечение шара диаметральной плоскостью называется большим кругом (рис. 454), а сечение сферы - большой окружностью.

Задача (30). Через середину радиуса шара проведена перпендикулярная ему плоскость. Как относится площадь полученного сечения к площади большого круга?

Решение . Если радиус шара R (рис. 455), то радиус круга в сечении будет

Отношение площади этого круга к площади большого круга равно

Плоскостью частного положения

Сфера пересечена фронтально- прое-цирующей плоскостью (рис.9.19.)

Для построения горизонтальных проекций точек воспользуемся параллелями сферы, проходящими через выбранные точки. Обязательно нужно выбрать точки 3 и 4, лежащие на экваторе, так как являются точками перехода с видимой на невидимую сторону поверхности (рис.9.19.).

РАЗВЕРТКИ

При изучении построения разверток поверхности рассматривают как гибкую нерастяжимую пленку. Некоторые поверхности при изгибании можно совместить с плоскостью без разрывов и склеивания. Такие поверхности называют развертывающимися, а полученную плоскую фигуру - разверткой. Поверхности, которые нельзя совместить с плоскостью, относятся к неразвертываемым.

Построение разверток имеет большое практическое применение, так как позволяет изготавливать разнообразные изделия из листового материала путем его изгибания.

Основные свойства разверток поверхностей

Каждой точке (фигуре) на поверхности соответствует точка (фигура) на развертке и наоборот.

На основании этого можно сформулировать следующие свойства:

1. Длины двух соответствующих линий поверхности и ее развертки равны между собой. Следствие: замкнутая линия на поверхности и соответствующая ей линия на развертке ограничивают одинаковую площадь.

2. Угол между линиями на поверхности равен углу между соответствующими им линиями на развертке.

3. Прямой на поверхности соответствуют прямая на развертке.

4. Параллельным прямым на поверхности соответствуют также параллельные на развертке

Развертка поверхности многогранников

Под разверткой многогранной поверхности подразумевают плоскую фигуру, составленную из граней этой поверхности, совмещенных с одной плоскостью.

Существуют три способа построения развертки многогранных поверхностей:

1) Способ треугольников (триангуляции);

2) Способ нормального сечения;

3) Способ раскатки.

Сечение сферы - понятие и виды. Классификация и особенности категории "Сечение сферы" 2017, 2018.

На рис. 11 показано построение проекций не­которых точек.

Проекции С" и D " построены на горизонтальной проекции параллели радиуса 0"1", построенной с

помощью про­екции 1 ". Проекция С"" и D "" построены на профильной проекции окружности, проведенной на сфере через проекции C "(D ") так, что плоскость окружности параллельна плоскости проекций.

Проекция Е" является точкой касания эллипса (горизонтальной проекции окружности среза) и экватора сферы. Она построена в про­екционной связи на горизонтальной проекции экватора по фрон­тальной проекции Е".

Горизонтальная проекция М" произвольной точки на линии среза построена с помощью параллели радиуса О"2" , фронтальная проекция которой проходит через проекции М "и 2 " . Проекция F "является точкой касания эллипса (профильной про­екции окружности среза) и профильной проекции очерка сферы.

Если плоскость, пересекающая сферу, является плоскостью общего положения, то задачу решают способом перемены плоскос­тей проекций. Дополнительную плоскость проекций выбирают так, чтобы обеспечить перпендикулярность ее и секущей плоскости. Это позволяет упростить построение линии пересечения.

12. Построение сечений тора

В примере на рис. 12 показано применение вспомогательных плоскостей γ 1 (γ 1 ") и γ 2 (γ 2 ") , перпендикулярных оси тора, для построения линии пересечения и натурального вида фигуры сечения поверхности тора плоскостью α (α""). Тор на рис.12 имеет два изображения - фронтальную проекцию и половину профильной проекции.

Полуокружность радиуса R 2 (профильная проекция линии пересечения тора вспомогательной

плоскостью γ 2 ) касается проекции плоскости α(следа α""). Тем самым определяются профильная проекция 3"" и по ней фронтальная проекция 3"" одной из точек проекции искомой линии пересечения. Полуокружность радиуса R 1 - профильная проекция линии пересечения тора вспомогательной плоскостью γ 1 . Она пересекает профильную проекцию плоскости α (след α"") в двух точках 5"" и 7"" - профильных проекциях точек линии пересечения. Проводя аналогичные пост­роения, можно получить необходимое количество проекций точек для искомой линии пересечения. Используем найденные точки для построения натурального вида фигуры сечения. Фигура сечения тора плоскостью, параллельной его оси, имеет оси и центр симметрии. При ее построении использованы расстояния l 1 и l 2 на фронтальной проекции для нанесения точек 5 0 , 7 0 и 3 0 .

Точки 6 0 , 8 0 и 4 0 построены как симметричные. Построенная кривая пересечения поверхности тора плоскостью выражается ал­гебраическим уравнением 4-го порядка.

Кривые пересечения тора с плоскостью, параллельной оси, приведены на рис.12 внизу. Они имеют общее название - кривые Персея (Персей - геометр Древней Греции). Это кривые четвертого порядка. Вид кривых зависит от величины расстояния от секущей плоскости до оси тора.

Шара до плоскости равно радиусу плоскости, то плоскость касается шара только в одной точке, и площадь сечения будет равна нулю, то есть если b = R, то S = 0. Если b = 0, то секущая плоскость проходит через центр шара. В этом случае сечение будет представлять собой круг, радиус которого совпадает с радиусом шара. Площадь этого круга будет, согласно формуле, равна S = πR^2.

Эти два крайних случая дают границы, между которыми всегда будет лежать искомая площадь: 0 < S < πR^2. При этом любое сечение шара плоскостью всегда является кругом. Следовательно, задача сводится к тому, чтобы найти радиус окружности сечения. Тогда площадь этого сечения вычисляется по формуле площади круга.

Поскольку расстояние от точки до плоскости определяется как длина отрезка, перпендикулярного плоскости и начинающегося в точке, второй конец этого отрезка будет совпадать с окружности сечения. Такой вывод вытекает из определения шара: очевидно, что все точки окружности сечения принадлежат сфере, а следовательно, лежат на равном расстоянии от центра шара. Это значит, что окружности сечения может считаться вершиной прямоугольного треугольника, гипотенузой которого служит радиус шара, одним из - перпендикулярный отрезок, соединяющий центр шара с плоскостью, а вторым катетом - радиус окружности сечения.

Из трех сторон этого треугольника заданы два - радиус шара R и расстояние b, то есть гипотенуза . По теореме Пифагора длина второго катета должна быть равна √(R^2 - b^2). Это и есть радиус окружности сечения. Подставляя найденное значение в формулу площади круга, легко к выводу, что площадь сечения шара плоскостью равна:S = π(R^2 - b^2).В частных случаях, когда b = R или b = 0, выведенная полностью согласуется с уже найденными результатами.

Видео по теме

Источники:

• сечение шара плоскостью

Все планеты солнечной системы имеют форму шара . Кроме того, шарообразную или близкую к таковой форму имеют и многие объекты, созданные человеком, включая детали технических устройств. Шар, как и любое тело вращения, имеет ось, которая совпадает с диаметром. Однако это не единственное важное свойство шара . Ниже рассмотрены основные свойства этой геометрической фигуры и способ нахождения ее площади.

Инструкция

Если взять или круг и провернуть его вокруг своей оси, получится тело, называемое шаром. Иными словами, шаром называется тело, ограниченное сферой. Сфера представляет собой оболочку шара , и ее окружность. От шара она отличается тем, что является полой. Ось как у шара , так и у сферы совпадает с диаметром и проходит через центр. Радиусом шара называется отрезок, проложенный от его центра до любой внешней точки. В противоположность сфере, сечения шара представляют собой круги. Форму, близкую к шарообразной, имеет большинство и небесных тел. В разных точках шара имеются одинаковые по форме, но неодинаковые по величине, так называемые сечения - круги разной площади.

Шар и сфера - взаимозаменяемые тела, в отличие от конуса, несмотря на то, что также является телом вращения. Сферические поверхности всегда в своем сечении образуют окружность, независимо от того, как именно она - по горизонтали или по вертикали. Коническая же поверхность получается лишь при вращении треугольника вдоль его оси, перпендикулярной основанию. Поэтому конус, в отличие от шара , и не считается взаимозаменяемым телом вращения.

Самый большой из возможных кругов получается при сечении шара , проходящей через центр О. Все круги, которые через центр О, пересекаются между собой в одном диаметре. Радиус всегда равен половине диаметра. Через две точки A и B, располагающиеся в любом месте поверхности шара , может проходить бесконечное количество кругов или окружностей. Именно по этой причине через

Определение.

Сферу можно описать, как объёмную фигуру, которая образуется вращением окружности вокруг своего диаметра на 180° или полуокружности вокруг своего диаметра на 360°.

Определение.

Шар можно описать как объёмную фигуру, которая образуется вращением круга вокруг своего диаметра на 180° или полуокружности вокруг своего диаметра на 360°.

Определение. Радиус сферы (шара) (R) - это расстояние от центра сферы (шара) O к любой точке сферы (поверхности шара).

Определение. Диаметр сферы (шара) (D) - это отрезок, соединяющий две точки сферы (поверхности шара) и проходящий через ее центр.

Формула. Объём шара :

Формула. Площадь поверхности сферы через радиус или диаметр:

S = 4π R 2 = π D 2

Уравнение сферы

1. Уравнение сферы с радиусом R и центром в начале декартовой системе координат :

x 2 + y 2 + z 2 = R 2

2. Уравнение сферы с радиусом R и центром в точке с координатами (x 0 , y 0 , z 0) в декартовой системе координат :

(x - x 0) 2 + (y - y 0) 2 + (z - z 0) 2 = R 2

Определение. Диаметрально противоположными точками называются любые две точки на поверхности шара (сфере), которые соединены диаметром.

Основные свойства сферы и шара

1. Все точки сферы одинаково удалены от центра.

2. Любое сечение сферы плоскостью является окружностью.

3. Любое сечение шара плоскостью есть кругом.

4. Сфера имеет наибольший объём среди всех пространственных фигур с одинаковой площадью поверхности.

5. Через любые две диаметрально противоположные точки можно провести множество больших окружностей для сферы или кругов для шара.

6. Через любые две точки, кроме диаметрально противоположных точек, можно провести только одну большую окружность для сферы или большой круг для шара.

7. Любые два больших круга одного шара пересекаются по прямой, проходящей через центр шара, а окружности пересекаются в двух диаметрально противоположных точках.

8. Если расстояние между центрами любых двух шаров меньше суммы их радиусов и больше модуля разности их радиусов, то такие шары пересекаются , а в плоскости пересечения образуется круг.

Секущая, хорда, секущая плоскость сферы и их свойства

Определение. Секущая сферы - это прямая, которая пересекает сферу в двух точках. Точки пересечения называются точками протыкания поверхности или точками входа и выхода на поверхности.

Определение. Хорда сферы (шара) - это отрезок, соединяющий две точки сферы (поверхности шара).

Определение. Секущая плоскость - это плоскость, которая пересекает сферу.

Определение. Диаметральная плоскость - это секущая плоскость, проходящая через центр сферы или шара, сеченме образует соответственно большую окружность и большой круг . Большая окружность и большой круг имеют центр, который совпадают с центром сферы (шара).

Любая хорда, проходящая через центр сферы (шара) является диаметром.

Хорда является отрезком секущей прямой.

Расстояние d от центра сферы до секущей всегда меньше чем радиус сферы:

d < R

Расстояние m между секущей плоскостью и центром сферы всегда меньше радиуса R:

m < R

Местом сечения секущей плоскости на сфере всегда будет малая окружность , а на шаре местом сечения будет малый круг . Малая окружность и малый круг имеют свои центры, не совпадающих с центром сферы (шара). Радиус r такого круга можно найти по формуле:

r = √R 2 - m 2 ,

Где R - радиус сферы (шара), m - расстояние от центра шара до секущей плоскости.

Определение. Полусфера (полушар) - это половина сферы (шара), которая образуется при ее сечении диаметральной плоскостью.

Касательная, касательная плоскость к сфере и их свойства

Определение. Касательная к сфере - это прямая, которая касается сферы только в одной точке.

Определение. Касательная плоскость к сфере - это плоскость, которая соприкасается со сферой только в одной точке.

Касательная пряма (плоскость) всегда перпендикулярна радиусу сферы проведенному к точке соприкосновения

Расстояние от центра сферы до касательной прямой (плоскости) равно радиусу сферы.

Определение. Сегмент шара - это часть шара, которая отсекается от шара секущей плоскостью. Основой сегмента называют круг, который образовался в месте сечения. Высотой сегмента h называют длину перпендикуляра проведенного с середины основы сегмента к поверхности сегмента.

Формула. Площадь внешней поверхности сегмента сферы с высотой h через радиус сферы R:

S = 2π Rh