Св во средней линии трапеции. Трапеция, средняя линия трапеции, треугольник

Цели урока:

1. Изучить понятие средней линии трапеции, доказательство свойства средней линии, учить применять теорему в нестандартных ситуациях при решении задач.

2. Формировать умение учащихся анализировать, обобщать, использовать элементы исследования, сравнения.

3. Развивать логическое мышление, воспитывать культуру математической речи, эстетический вкус.

Оборудование:

1. АРМ, экран, проектор
2. Презентация по теме урока. (Приложение 1 )
3. Карточки
4. Учебник А.В. Погорелова «Геометрия»
5. Сборники ЕГЭ., 2004 г.

Ход урока

1. Для изучения темы урока нам понадобятся следующие теоретические знания.

Продолжите предложения:

1) Трапеция – это четырёхугольник…

Рисунок 1

2) Средняя линия треугольника – это…

Рисунок 2

3) В любом треугольнике можно построить … средние линии.

Рисунок 3

4) Средняя линия треугольника обладает свойством …

Рисунок 4

5) Два треугольника равны, если …

Рисунок 5

6) При пересечении двух параллельных прямых третьей секущей …

Рисунок 6

7) Если две прямые параллельны третьей, то …

Рисунок 7

2. Введём понятие средней линии трапеции:

Средней линией трапеции называется отрезок, соединяющий середины её боковых сторон.

Рисунок 8

(В тетрадях учащиеся выполняют построения)

1) Верно ли определение: отрезок, соединяющий середины двух сторон трапеции, является средней линией? (Нет, отсутствует слово боковых сторон).

2) А сколько средних линий можно построить в трапеции? (Только одну).

3) Каким свойством обладает средняя линия трапеции? Измерьте основания трапеции и длину средней линии. Чему равна средняя линия? (Половине суммы оснований).

Попробуем доказать это свойство.

3. Доказательство теоремы.

(На доске и в тетрадях учеников чертёж и запись условия теоремы).

Рисунок 9

Доказательство

1) Мы знаем свойство средней линии треугольника. Как можно этим воспользоваться? (Нужен треугольник). Как его получить? (Выполнить дополнительное построение: через С и М проведём прямую до пересечения с прямой AD).

а) AM=MB (по условию MN-средняя линия)
б) A = B (накрест лежащие при BC||AD и секущей AB)
в) AME = BMC (вертикальные углы)

Следовательно, EM=MC и EA=BC.

Рисунок 11

3) В Δ ECD: MN- средняя линия по определению, тогда по свойству

a) MN || AD и BC || AD (по условию). Следовательно, MN || BC.
b) MN = ½ ED = ½ (EA+AD) = ½ (BC+AD).

Следует повторить всё доказательство, учащимся сделать записи в тетрадях.

Повторяем план доказательства:

1) Проводим через одну из вершин верхнего основания трапеции и противолежащий конец средней линии прямую до пересечения с продолжением нижнего основания.

2) Доказываем равенство полученных треугольников с общей вершиной.

3) Доказываем, что MN является средней линией Δ ECD и используем свойство средней линии треугольника

4. Где уже встречалось выражение «полусумма оснований трапеции»?

1) В формуле S тр =h*(a+b)/2. Как можно иначе прочитать эту формулу? (S тр =MN*h, где MN – средняя линия трапеции).

2) В свойстве равнобедренной трапеции: B 1 D = (a+b)/2.

Рисунок 12

Высота в равнобедренной трапеции делит большее основание трапеции на отрезки, больший из которых равен полусумме оснований. Следовательно, в равнобедренной трапеции B1D=MN.

1) Закрепление. (Устно по готовым рисункам)

Рисунок 13

2) Выполнить письменно на доске

I. Погорелов №69, стр. 101
II. *ЕГЭ-2004, вариант №383, задание B9 , стр. 40

(Условие и решение задач см. в Приложении 2 ).

6. Самостоятельная работа по карточкам (дифференцированная)

№1 («3») В трапеции одно основание больше другого в 1,5 раза, а средняя линия равна 5 см. Найти основания трапеции.

(Решение: Рисунок 14)

Рисунок 14

№ 2 («4») В прямоугольной трапеции тупой угол равен 1200, большая боковая сторона равна 20 см., а средняя линия равна 14 см. Найти площадь трапеции.

(Решение: Рисунок 15)

Рисунок 15

№ 3 («5») В равнобедренной трапеции высота равна средней линии. Доказать, что диагонали взаимно перпендикулярны.

(Решение: Рисунок 16)

Рисунок 16

(Самостоятельную работу проверить по презентации по готовым слайдам №№ 18, 19, 20).

7. Задание на дом

1)Атанасян Л.С. «Геометрия», п. 85 (доказательство по тетради по уч. Погорелова, стр. 92); № 793, № 798, № 799

2)*Ершова А.Л., стр. 89 В-2 (№2)

Понятие средней линии трапеции

Для начала вспомним, какую фигуру называют трапецией.

Определение 1

Трапецией называется четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие не параллельны.

При этом параллельные стороны называются основаниями трапеции, а не параллельные -- боковыми сторонами трапеции.

Определение 2

Средняя линия трапеции -- это отрезок, соединяющий середины боковых сторон трапеции.

Теорема о средней линии трапеции

Теперь введем теорему о средней линии трапеции и докажем её вектор ным методом.

Теорема 1

Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.

Доказательство.

Пусть нам дана трапеция $ABCD$ с основаниями $AD\ и\ BC$. И пусть $MN$ -- средняя линия этой трапеции (рис. 1).

Рисунок 1. Средняя линия трапеции

Докажем, что $MN||AD\ и\ MN=\frac{AD+BC}{2}$.

Рассмотрим вектор $\overrightarrow{MN}$. Используем далее правило многоугольника для сложения векторов. С одной стороны получим, что

С другой стороны

Сложим два последних равенства, получим

Так как $M$ и $N$ - середины боковых сторон трапеции, то будем иметь

Получаем:

Следовательно

Из этого же равенства (так как $\overrightarrow{BC}$ и $\overrightarrow{AD}$ сонаправлены, а, следовательно, коллинеарны) получаем, что $MN||AD$.

Теорема доказана.

Примеры задач на понятие средней линии трапеции

Пример 1

Боковые стороны трапеции равны $15\ см$ и $17\ см$ соответственно. Периметр трапеции равен $52\ см$. Найти длину средней линии трапеции.

Решение.

Обозначим среднюю линию трапеции через $n$.

Сумма боковых сторон равна

Следовательно, так как периметр равен $52\ см$, сумма оснований равна

Значит, по теореме 1, получаем

Ответ: $10\ см$.

Пример 2

Концы диаметра окружности удалены от его касательной соответственно на $9$ см и $5$ см. Найти диаметр этой окружности.

Решение.

Пусть нам дана окружность с центром в точке $O$ и диаметром $AB$. Проведем касательную $l$ и построим расстояния $AD=9\ см$ и $BC=5\ см$. Проведем радиус $OH$ (рис. 2).

Рисунок 2.

Так как $AD$ и $BC$ - расстояния до касательной, то $AD\bot l$ и $BC\bot l$ и так как $OH$ -- радиус, то $OH\bot l$, следовательно, $OH|\left|AD\right||BC$. Из этого всего получаем, что $ABCD$ - трапеция, а $OH$ - ее средняя линия. По теореме 1, получаем

В решении планиметрических задач, помимо сторон и углов фигуры, нередко активное участие принимают и другие величины – медианы, высоты, диагонали, биссектрисы и прочие. К их числу относится и средняя линия.
Если исходный многоугольник – трапеция, то что представляет собой его средняя линия? Данный отрезок представляет собой часть прямой, которая пересекает боковые стороны фигуры посередине и располагается параллельно двум другим сторонам – основаниям.

Как найти среднюю линию трапеции через линию средины и основания

Если известны величина верхнего и нижнего оснований, то рассчитать неизвестное поможет выражение:

a, b – основания, l – средняя линия.

Как найти среднюю линию трапеции через площадь

Если в исходных данных присутствует значение площади фигуры, то с помощью данной величины также можно вычислить длину линии средины трапеции. Воспользуемся формулой S = (a+b)/2*h,
S – площадь,
h – высота,
a, b – основания.
Но, так как l = (a+b)/2, то S = l*h, а значит l=S/h.

Как найти среднюю линию трапеции через основание и углы при нем

При наличии длины большего основания фигуры, ее высоты, а также известных градусных мер углов при нем, выражение для нахождения линии средины трапеции будет иметь следующий вид:

l=a – h*(ctgα+ctgβ)/2, при этом
l – искомая величина,
a – большее основание,
α, β – углы при нем,
h – высота фигуры.

Если известно значение меньшего основания (при тех же остальных данных), найти линию средины поможет соотношение:

l=b+h*(ctgα+ctgβ)/2,

l – искомая величина,
b – меньшее основание,
α, β – углы при нем,
h – высота фигуры.

Найти среднюю линию трапеции через высоту, диагонали и углы

Рассмотрим ситуацию, когда в условиях задачи присутствуют значения диагоналей фигуры, углы, которые они образуют, пересекаясь друг с другом, а также высота. Рассчитать среднюю линию можно с помощью выражений:

l=(d1*d2)/2h*sinγ или l=(d1*d2)/2h*sinφ,

l – линия средины,
d1, d2 – диагонали,
φ, γ – углы между ними,
h – высота фигуры.

Как найти среднюю линию трапецииДля равнобедренной фигуры

В случае, если базовая фигура – трапеция равнобедренная, приведенные выше формулы будут иметь следующий вид.

• При наличии значений оснований трапеции изменений в выражении не произойдет.

l = (a+b)/2, a, b – основания, l – средняя линия.

• Если известны высота, основание и углы, к нему прилегающие, то:

l=a-h*ctgα,
l=b+h*ctgα,

l – линия средины,
a, b – основания (b < a),
α – углы при нем,
h – высота фигуры.

• Если известна боковая сторона трапеции и одно из оснований, то определить искомую величину можно, обратившись к выражению:

l=a-√(c*c-h*h),
l=b+√(c*c-h*h),
l – линия средины,
a, b – основания (b < a),
h – высота фигуры.

• При известных значениях высоты, диагоналей (а они равны между собой) и углах, образованных в результате их пересечения, линию средины можно найти следующим образом:

l=(d*d)/2h*sinγ или l=(d*d)/2h*sinφ,

l – линия средины,
d – диагонали,
φ, γ – углы между ними,
h – высота фигуры.

• Известны площадь и высота фигуры, тогда:

l=S/h,
S – площадь,
h – высота.

• Если перпендикуляр-высота неизвестен, его можно определить с помощью определения тригонометрической функции.

h=c*sinα, поэтому
l=S/c*sinα,
l – линия средины,
S – площадь,
c – боковая сторона,
α- угол у основания.

Трапеция — это четырехугольник, имеющий две параллельные стороны, являющиеся основаниями и две не параллельные стороны, являющиеся боковыми сторонами.

Также встречаются такие названия, как равнобокая или равнобочная .

— это трапеция, у которой углы при боковой стороне прямые.

Элементы трапеции

a, b — основания трапеции (a параллельно b ),

m, n — боковые стороны трапеции,

d 1 , d 2 — диагонали трапеции,

h — высота трапеции (отрезок, соединяющий основания и при этом перпендикулярен им),

MN — средняя линия (отрезок, соединяющий середины боковых сторон).

Площадь трапеции

1. Через полусумму оснований a, b и высоту h : S = \frac{a + b}{2}\cdot h
2. Через среднюю линию MN и высоту h : S = MN\cdot h
3. Через диагонали d 1 , d 2 и угол (\sin \varphi ) между ними: S = \frac{d_{1} d_{2} \sin \varphi}{2}

Свойства трапеции

Средняя линия трапеции

Средняя линия параллельна основаниям, равна их полусумме и разделяет каждый отрезок с концами, находящимися на прямых, которые содержат основания, (к примеру, высоту фигуры) пополам:

MN || a, MN || b, MN = \frac{a + b}{2}

Сумма углов трапеции

Сумма углов трапеции , прилежащих к каждой боковой стороне, равна 180^{\circ} :

\alpha + \beta = 180^{\circ}

\gamma + \delta =180^{\circ}

Равновеликие треугольники трапеции

Равновеликими , то есть имеющими равные площади, являются отрезки диагоналей и треугольники AOB и DOC , образованные боковыми сторонами.

Подобие образованных треугольников трапеции

Подобными треугольниками являются AOD и COB , которые образованы своими основаниями и отрезками диагоналей.

\triangle AOD \sim \triangle COB

Коэффициент подобия k находится по формуле:

k = \frac{AD}{BC}

Причем отношение площадей этих треугольников равно k^{2} .

Отношение длин отрезков и оснований

Каждый отрезок, соединяющий основания и проходящий через точку пересечения диагоналей трапеции, поделен этой точкой в отношении:

\frac{OX}{OY} = \frac{BC}{AD}

Это будет являться справедливым и для высоты с самими диагоналями.

Соблюдение Вашей конфиденциальности важно для нас. По этой причине, мы разработали Политику Конфиденциальности, которая описывает, как мы используем и храним Вашу информацию. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашими правилами соблюдения конфиденциальности и сообщите нам, если у вас возникнут какие-либо вопросы.

Сбор и использование персональной информации

Под персональной информацией понимаются данные, которые могут быть использованы для идентификации определенного лица либо связи с ним.

От вас может быть запрошено предоставление вашей персональной информации в любой момент, когда вы связываетесь с нами.

Ниже приведены некоторые примеры типов персональной информации, которую мы можем собирать, и как мы можем использовать такую информацию.

Какую персональную информацию мы собираем:

• Когда вы оставляете заявку на сайте, мы можем собирать различную информацию, включая ваши имя, номер телефона, адрес электронной почты и т.д.

Как мы используем вашу персональную информацию:

• Собираемая нами персональная информация позволяет нам связываться с вами и сообщать об уникальных предложениях, акциях и других мероприятиях и ближайших событиях.
• Время от времени, мы можем использовать вашу персональную информацию для отправки важных уведомлений и сообщений.
• Мы также можем использовать персональную информацию для внутренних целей, таких как проведения аудита, анализа данных и различных исследований в целях улучшения услуг предоставляемых нами и предоставления Вам рекомендаций относительно наших услуг.
• Если вы принимаете участие в розыгрыше призов, конкурсе или сходном стимулирующем мероприятии, мы можем использовать предоставляемую вами информацию для управления такими программами.

Раскрытие информации третьим лицам

Мы не раскрываем полученную от Вас информацию третьим лицам.

Исключения:

• В случае если необходимо - в соответствии с законом, судебным порядком, в судебном разбирательстве, и/или на основании публичных запросов или запросов от государственных органов на территории РФ - раскрыть вашу персональную информацию. Мы также можем раскрывать информацию о вас если мы определим, что такое раскрытие необходимо или уместно в целях безопасности, поддержания правопорядка, или иных общественно важных случаях.
• В случае реорганизации, слияния или продажи мы можем передать собираемую нами персональную информацию соответствующему третьему лицу – правопреемнику.

Защита персональной информации

Мы предпринимаем меры предосторожности - включая административные, технические и физические - для защиты вашей персональной информации от утраты, кражи, и недобросовестного использования, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменения и уничтожения.

Соблюдение вашей конфиденциальности на уровне компании

Для того чтобы убедиться, что ваша персональная информация находится в безопасности, мы доводим нормы соблюдения конфиденциальности и безопасности до наших сотрудников, и строго следим за исполнением мер соблюдения конфиденциальности.