Выворачивание сферы. Выворачивание сферы Отрывок, характеризующий Выворачивание сферы

Великий математик Давид Гильберт сказал однажды, что математическую теорию можно считать совершенной лишь тогда, когда ее удается изложить первому встречному. Последователи Гильберта приходят в полное отчаяние, пытаясь жить по этому рецепту. Математика все более специализируется, и сейчас ученому математику порой стоит большого труда даже своим коллегам объяснить суть решаемых им задач. Однако время от времени исследования в ведущих и, казалось бы, недоступных пониманию отраслях этой науки приводят к открытию, которое интересно для непрофессионала и в то же время может быть объяснено без чрезмерного упрощения. Поразительный пример этого - теорема Стефена Смейла о так называемых регулярных отображениях сферы, опубликованная в 1959 г.

Область, в которой тогда работал Смейл, - дифференциальная топология - одна из самых абстрактных отраслей современной математики. Тем удивительнее, что все-таки удалось придумать наглядное объяснение одному из самых поразительных следствий из теоремы Смейла. А именно, можно продемонстрировать, как надо выворачивать сферу наизнанку.

В обычном смысле это, конечно, невозможно: сферу обязательно пришлось бы разорвать. Но в дифференциальной топологии разрешается - мысленно, разумеется,- протаскивать поверхность сквозь самоё себя - таковы «правила игры» в этой науке. Но тогда сразу бросается в глаза простое решение.

Надо сжимать противоположные стороны к центру, пока они не пройдут друг сквозь друга (I). Внутренняя, окрашенная поверхность (II) проступает с двух противоположных краев. Продолжим этот процесс «вытягивания» внутренней поверхности до тех пор, пока колечко, образованное оставшейся частью внешней поверхности (II), совсем не исчезнет. К несчастью, при этом процессе колечко образует тугую петлю (III), которую приходится затянуть. В результате получается рубец (IV), а это не удовлетворяет дифференциальных топологов, потому что они рассматривают только так называемые «гладкие поверхности», у которых нет никаких углов и изломов.

Итак, задача состоит в том, чтобы вывернуть наизнанку сферу таким образом, чтобы, избавляясь от колечка, не получить рубца. И здесь интуиция снова подсказывает, что задача неразрешима. Когда Смейл впервые объявил, что он может доказать существование решения, то ему никто не поверил. Но интуиция была неправа: в доказательстве Смейла не нашлось ни одной логической ошибки. Математики убедились, что теоретически возможно проследить доказательство шаг за шагом и найти явное описание деформации, выворачивающей сферу. Но это было столь сложно, что казалось безнадежным делом. В течение некоторого времени после открытия Смейла было известно, что в принципе можно вывернуть наизнанку сферу без рубца, но никто не имел ни малейшего представления, как это осуществить.

Но, в конце концов, математики с этой задачей справились. Как - поймете, рассмотрев рисунки. Они занимательны.

Хотя доказательство Смейла не состояло из одних рисунков. Любопытно, что в его работе их вообще нет - слишком уж сложны те фигуры, которые в неявном виде содержатся в его абстрактном аналитическом аппарате. Их не удалось бы изобразить самому изобретательному художнику - фантазия математиков поразительна. Но, пожалуй, еще более поразительна их способность передавать друг другу самые сложные идеи, не прибегая к рисункам. История с выворачиванием сферы - яркое тому свидетельство. Она стала известной широкой публике благодаря французскому топологу Рене Тома, который узнал о ней от своего коллеги Бернара Морена, а тот, в свою очередь, - от американца Арнольда Шапиро, изобретателя этой «выворотки». Вот это особенно любопытно, если учесть, что Бернар Морен слеп.

На этих картинках показано, как можно вывернуть сферу наизнанку, и при этом не нарушить требований дифференциальной топологии. Сначала надо сблизить противоположные стороны серой сферы (А), продавливая их друг сквозь друга. Тогда с двух сторон проступает окрашенная поверхность (В). Затем надо растянуть один из окрашенных кусков (С) таким образом, чтобы получить поверхность, напоминающую седло на двух «ногах» (О). Эти две ноги перекручивают против часовой стрелки и получают поверхность Е. Она же показана снова (Р) «в разрезе» с помощью ленточек, которые, как и в «сфере с рубцом», изображают поперечные сечения на десяти различных уровнях.

Дальше нет смысла изображать получающиеся на каждом этапе поверхности - уж слишком они сложны. Но можно, если угодно, рассмотреть ленточки на всех 10 уровнях и мысленно дорисовать. Один этап (H2) мы все-таки решили показать - просто, чтобы можно было себе представить, каков тип получающихся фигур. Поверхность G появляется после сжатия и вращения на 90° седла поверхности Р.

Еще несколько шагов. А именно: между этапами I и J две одинаковые по форме ноги проходят друг сквозь друга. У каждого лентообразного сечения поверхности на этапе J есть две серые стороны, обращенные друг к другу. Между этапами J и К внутренний слой расширяется, а внешний сжимается; получается поверхность К - совершенно такая же, как J, но только цвета поменялись местами.

Дальше все действия идут в «обратном порядке». Вы можете составить о них представление, рассматривая картинки I, Н, С и т. д. Нужно только менять местами цвета ленточек на каждой картинке. Окончание этого второго ряда картинок мы приводим. Поверхность L соответствует поверхности F, L2 - Е, и т. п.

Окрашенная сфера (поверхность Р) соответствует серой сфере (поверхности А). Итак, деформация выполнена, и рубца нет. Сама возможность этого трюка была впервые доказана С. Смейлом. А все последовательные этапы деформации придумал А. Шапиро…

P. S. О чем еще говорят британские ученые: о том, что механизм выворачивания сферы наизнанку порой не более философский, чем, скажем, программа для PDF , созданная каким-нибудь талантливым программистом.

В трёхмерном пространстве можно вывернуть наизнанку в классе погружений , то есть с возможными самопересечениями, но без перегибов. Другими словами, образ сферы в каждый момент деформации должен оставаться гладким, то есть дифференцируемым.

Выворачивание сферы - это вовсе не логический парадокс , это теорема , только весьма контринтуитивная . Более точно:

Довольно тяжело представить конкретный пример такого семейства погружений, хотя существует множество иллюстраций и фильмов. С другой стороны, гораздо проще доказать, что такое семейство существует, и это как раз сделал Смейл.

История

Этот парадокс был открыт Смейлом в 1958 году . Согласно легенде, когда Смейл попытался опубликовать эту теорему, он получил отзыв, который говорил, что утверждение очевидно неверно, так как в процессе такого «выворачивания» степень отображения Гаусса должна сохраняться. [ ] Действительно, степень отображения Гаусса должна сохраняться, в частности это показывает, что окружность нельзя «вывернуть» в плоскости, но степени отображений Гаусса у $f$ и у $-f$ в ${\mathbb R}^3$ обе равны 1. Более того, степень любого вложения $S^2\to {\mathbb R}^3$ равна 1.

Вариации и обобщения

Напишите отзыв о статье "Выворачивание сферы"

Литература

Smale, Stephen A classification of immersions of the two-sphere. Trans. Amer. Math. Soc. 90 1958 281-290.
Франсис, Дж. . Москва: Мир, 1991. Глава 6. Выворачивания сферы наизнанку.

Примечания

Отрывок, характеризующий Выворачивание сферы

– Опять таки, полковник, – говорил генерал, – не могу я, однако, оставить половину людей в лесу. Я вас прошу, я вас прошу, – повторил он, – занять позицию и приготовиться к атаке.
– А вас прошу не мешивайтся не свое дело, – отвечал, горячась, полковник. – Коли бы вы был кавалерист…
– Я не кавалерист, полковник, но я русский генерал, и ежели вам это неизвестно…
– Очень известно, ваше превосходительство, – вдруг вскрикнул, трогая лошадь, полковник, и делаясь красно багровым. – Не угодно ли пожаловать в цепи, и вы будете посмотрейть, что этот позиция никуда негодный. Я не хочу истребить своя полка для ваше удовольствие.
– Вы забываетесь, полковник. Я не удовольствие свое соблюдаю и говорить этого не позволю.
Генерал, принимая приглашение полковника на турнир храбрости, выпрямив грудь и нахмурившись, поехал с ним вместе по направлению к цепи, как будто всё их разногласие должно было решиться там, в цепи, под пулями. Они приехали в цепь, несколько пуль пролетело над ними, и они молча остановились. Смотреть в цепи нечего было, так как и с того места, на котором они прежде стояли, ясно было, что по кустам и оврагам кавалерии действовать невозможно, и что французы обходят левое крыло. Генерал и полковник строго и значительно смотрели, как два петуха, готовящиеся к бою, друг на друга, напрасно выжидая признаков трусости. Оба выдержали экзамен. Так как говорить было нечего, и ни тому, ни другому не хотелось подать повод другому сказать, что он первый выехал из под пуль, они долго простояли бы там, взаимно испытывая храбрость, ежели бы в это время в лесу, почти сзади их, не послышались трескотня ружей и глухой сливающийся крик. Французы напали на солдат, находившихся в лесу с дровами. Гусарам уже нельзя было отступать вместе с пехотой. Они были отрезаны от пути отступления налево французскою цепью. Теперь, как ни неудобна была местность, необходимо было атаковать, чтобы проложить себе дорогу.
Эскадрон, где служил Ростов, только что успевший сесть на лошадей, был остановлен лицом к неприятелю. Опять, как и на Энском мосту, между эскадроном и неприятелем никого не было, и между ними, разделяя их, лежала та же страшная черта неизвестности и страха, как бы черта, отделяющая живых от мертвых. Все люди чувствовали эту черту, и вопрос о том, перейдут ли или нет и как перейдут они черту, волновал их.

Представим, что «обычная» двумерная сфера S 2 сделана из эластичного материала, который может проходить сквозь себя. Можно ли вывернуть сферу наизнанку в обычном трехмерном пространстве $$\mathbb{R}^3$$ без изломов и разрывов, но с возможным самопересечением (то есть в классе погружений)?

В 2000 году Смейл составил список из 18 задач , которые, по его мнению, должны быть решены в XXI веке. Этот список составлен в духе проблем Гильберта, и, как и составленные позднее задачи тысячелетия, включает гипотезу Римана, вопрос о равенстве классов P и NP, проблему решения уравнений Навье — Стокса, а также ныне доказанную Перельманом гипотезу Пуанкаре. Смейл составил свой список по просьбе Арнольда, занимавшего тогда пост президента международного математического союза, который скорее всего, взял идею этого списка из списка проблем Гильберта.

И, наконец, вопрос: можно ли «вывернуть» окружность в плоскости, то есть найти непрерывное семейство погружений, как выше?

Любопытно. Приходит в голову следующая вещь. Представим сферу в виде стереографической проекции - плоскость с бесконечностью. Тогда выворачивание сферы наизнанку выглядит просто как «свертывание» плоскости в другую сторону, т.е. с другой ориентацией. Здесь где-то дыра в рассуждениях, да?

Ну дело в том, что стереографическая проекция подразумевает выделение точки на сфере, которой не соответствует ничего на плоскости, а это меняет правила игры, ведь по условиям сферу нельзя разрывать, в точности и точку выкалывать нельзя.

Ну в принципе я подозревал что там слабое место с бесконечно удаленной точкой. Хотел просто знать независимое мнение;).

Миша, хотелось бы услышать, встречаются ли K3 поверхности в теории струн, и если да, то как именно они там возникают?

Да, встречаются иногда. В контексте компактификации. K3 имеет группу голономий $$SU(2)\subset SU(2)\times SU(2)$$ и потому сохраняет половину суперсимметрий. Феноменологически такие модели не очень интересны, но люди все равно рассматривают их.

Я выворачиваю сферу без изломов ещё проще, чем фильме. Надо воткнуть пальцем часть поверхности сферы внутрь. Эту внутреннюю часть сферы повернуть на 180 градусов, при этом отверстие закроется без перегибов. Меридианы сферы, бывшие окружностями, превратятся в «восьмёрки» с меньшей головкой внутри большей. Далее раздуваем внутренний почти шарик до тех пор, пока не просочится наружу. Естественно вид его окажется вывернутым. Остаётся то, что было большей частью, а теперь ставшей меньшей по сравнению с раздутой, развернуть на 180 градусов. Затянутое отверстие раскроется, вмятину распрямляем, и цель достигнута!

Здесь получается точка становится бесконечностью, а бесконечность точкой. Или, «одинаковость вселенной»: что внутрь, что наружу.
Поэтому возникает парадигма - микрокосм можно изучать при помощи макрокосмоса и наоборот.
Вопрос в пределе радиуса =]h/2;2/h[. Здесь h используется как метрический предел точности измерений, то есть та самая эпсилон делёная на два.
Также физическое существование такой сферы можно доказать или опровергнуть для различных случаев.
Или я не прав?