Деление натуральных чисел: правила, примеры и решения. Деление натуральных чисел и его свойства, правила и примеры

В этой статье мы разберемся с правилами, по которым проводится деление натуральных чисел . Здесь мы будем рассматривать лишь деление натуральных чисел без остатка , или, как его еще называют, деление нацело (то есть, только те случаи, в которых сохраняется ). Деление натуральных чисел с остатком > заслуживает отдельной статьи.

Правила деления натуральных чисел невозможно сформулировать, если не проследить связь деления с умножением, что и сделано в самом начале этой статьи. Далее разобраны самые простые правила деления, напрямую следующие из свойств этого действия - это деление равных натуральных чисел и деление натурального числа на единицу. После этого подробно на примерах рассмотрено деление с использованием таблицы умножения. Дальше показано, как выполняется деление на десять, сто, тысячу и т.д., деление натуральных чисел, записи которых оканчиваются цифрами 0 , и все остальные случаи. Весь материал снабжен примерами с детальным описанием решений. В конце статьи показано, как выполняется проверка результата деления при помощи умножения. В итоге Вы будете владеть всеми навыками, необходимыми для деления произвольных натуральных чисел.

Навигация по странице.

Связь деления с умножением

Давайте проследим связь между делением и умножением. Для этого вспомним, что деление связано с представлением множества, которое мы делим, в виде объединения нескольких одинаковых множеств, на которые мы делим исходное множество (об этом мы говорили в разделе общее представление о делении). В свою очередь умножение связано с объединением некоторого количества одинаковых множеств в одно (при необходимости обращайтесь к разделу теории общее представление об умножении). Таким образом, деление является действием, обратным к умножению .

Поясним, что же означает последняя фраза.

Для этого рассмотрим следующую ситуацию. Пусть мы имеем b множеств по c предметов в каждом, и мы объединяем их в одно множество, в котором получается a предметов. На основании смысла умножения натуральных чисел можно утверждать, что описанному действию отвечает равенство c·b=a . Теперь полученное множество вновь разделим на b одинаковых множеств. Понятно, что при этом в каждом полученном множестве будет c предметов. Тогда, вспомнив смысл деления натуральных чисел , можно записать равенство a:b=c .

Приходим к следующему утверждению: если произведение натуральных чисел c и b равно a , то частное от деления a на b равно c .

Итак, если c·b=a , то a:b=c . Однако в силу переместительного свойства умножения натуральных чисел мы можем равенство c·b=a переписать в виде b·c=a , откуда следует, что a:c=b . Таким образом, если мы знаем, что произведение двух натуральных чисел с и b равно a , то есть, c·b=a , то мы можем сказать, что частные a:b и a:c равны c и b соответственно .

На основании всей приведенной информации можно дать определение деления натуральных чисел на основе умножения.

Определение.

Деление – это действие, с помощью которого находится один множитель, когда известно произведение и другой множитель.

На базе этого определения мы и будем строить правила деления натуральных чисел.

Деление натуральных чисел как последовательное вычитание

В принципе знание того, что деление является действием, обратным к умножению, достаточно для того, чтобы научиться проводить это действие. Однако хочется рассказать еще об одном подходе к проведению деления натуральных чисел, в котором деление рассматривается как последовательное вычитание. Связано это с его простотой и очевидностью.

Чтобы все было максимально понятно, давайте рассмотрим пример.

Пример.

Чему равен результат деления 12 на 4 ?

Решение.

Отталкиваясь от смысла деления натуральных чисел, поставленную задачу можно смоделировать так: имеется 12 предметов, их нужно разделить на равные кучки по 4 предмета в каждой, количество полученных кучек даст нам ответ на вопрос, чему равно частное 12:4 .

Давайте последовательно шаг за шагом будем из исходных предметов забирать по 4 предмета и формировать из них требуемые кучки до того момента, пока не закончатся исходные предметы. Количество шагов, которые нам потребуется сделать, укажет нам количество получившихся кучек, а значит и ответ на поставленный вопрос.

Итак, из исходных 12 предметов откладываем 4 в сторону, они образуют первую кучку. После этого действия в исходной куче остается 12−4=8 предметов (при необходимости вспомните смысл вычитания натуральных чисел). Из этих 8 предметов забираем еще 4 предмета, и формируем из них вторую кучку. После этого действия в исходной куче предметов остается 8−4=4 предмета. Очевидно, что из оставшихся предметов можно сформировать еще одну, третью по счету, кучку, после чего у нас не останется ни одного предмета в исходной куче (то есть, у нас будет 4−4=0 предметов в исходной куче). Таким образом, мы получили 3 кучки, и можно сказать, что мы выполнили деление натурального числа 12 на натуральное число 4 , при этом получили 3 .

Ответ:

12:4=3 .

Теперь давайте отойдем от предметов и посмотрим, что же мы делали с натуральными числами 12 и 4 ? Мы проводили последовательное вычитание делителя 4 до того момента, пока не получили нуль, при этом считали количество требуемых действий, которое и дало нам результат деления.

Вывод: деление одного натурального числа на другое можно провести, выполняя последовательное вычитание .

Для закрепления материала этого пункта статьи рассмотрим решение еще одного примера.

Пример.

Вычислим частное 108:27 , проводя последовательное вычитание.

Решение.

Второе действие: 81−27=54 .

Третье действие: 54−27=27 .

Четвертое действие 27−27=0 (это свойство вычитания равных натуральных чисел).

Итак, мы получили нуль, последовательно проведя вычитание 4 раза, следовательно, 108:27=4 .

Ответ:

108:27=4 .

Стоит заметить, что деление натуральных чисел таким способом удобно применять лишь тогда, когда требуется небольшое количество последовательных вычитаний для получения результата. В остальных случаях используются правила деления натуральных чисел, которые мы подробно разберем ниже.

Деление равных натуральных чисел

Частное от деления натурального числа на равное ему натуральное число равно единице . Это утверждение является свойством деления равных натуральных чисел .

К примеру, 1:1=1 , 143:143=1 , результатом деления натуральных чисел 10 555 и 10 555 также является единица.

Деление натурального числа на единицу

По таблице умножения можно также отыскать один из двух однозначных множителей, если известно произведение и другой множитель. А мы в первом пункте данной статьи выяснили, что деление – это нахождение одного из множителей по произведению и другому множителю. Таким образом, с помощью таблицы умножения можно проводить деление любого из натуральных чисел, расположенных в таблице умножения на розовом фоне, на однозначное натуральное число.

Для примера, разделим 48 на 6 . С помощью таблицы умножения это можно сделать одним из двух способов. Приведем сначала графическую иллюстрацию, после чего дадим описание.

Первый способ (соответствует рисунку выше слева). Находим делимое (в нашем примере это натуральное число 48 ) в том столбце, в верхней ячейке которого находится делитель (для нашего примера число 6 ). Результат деления находится в крайней левой ячейке той строки, в которой расположено найденное делимое. Для нашего примера это число 8 , которое обведено окружностью синего цвета.

Второй способ (соответствует рисунку выше справа). Находим делимое 48 в той строке, в левой ячейке которого расположен делитель 6 . Искомое частное в этом случае находится в верхней ячейке того столбца, в котором расположено найденное делимое 48 . Результат обведен синей окружностью.

Итак, мы с помощью таблицы умножения разделили 48 на 6 и получили 8 .

Для закрепления материала приведем чертеж, показывающий процесс деления натурального числа 7 на 1 .

Деление на 10 , 100 , 1 000 и т.д.

Сразу дадим формулировку правила деления натуральных чисел на 10 , 100 , 1 000 , … (будем считать, что такое деление возможно) и приведем пример, а потом приведем необходимые разъяснения.

Результатом деления натурального числа на 10 , 100 , 1 000 и т.д. является натуральное число, запись которого получается из записи делимого, если справа отбросить один, два, три и так далее нулей (то есть, отбрасывается столько цифр 0 , сколько их содержится в записи делимого).

Например, частное от деления числа 30 на 10 равно 3 (от делимого 30 справа отбросили одну цифру 0 ), а частное 120 000:1 000 равно 120 (от 120 000 справа убрали три цифры 0 ).

Озвученное правило достаточно просто обосновать. Для этого достаточно вспомнить правила умножения натурального числа на десять, сто, тысячу и т.д. Приведем пример. Пусть нам требуется вычислить частное 10 200:100 . Так как 102·100=10 200 , то в силу связи между сложением и умножением результатом деления натурального числа 10 200 на 100 является натуральное число 102 .

Представление делимого в виде произведения

Иногда провести деление натуральных чисел позволяет представление делимого в виде произведения двух чисел, хотя бы одно из которых делится на делитель. Этот способ деления основан на свойстве деления произведения двух чисел на натуральное число .

Рассмотрим один из самых простых характерных примеров.

Пример.

Разделим 30 на 3 .

Решение.

Очевидно, что делимое 30 можно представить в виде произведения натуральных чисел 3 и 10 . Имеем 30:3=(3·10):3 . Воспользоваться свойством деления произведения двух чисел на натуральное число. Имеем (3·10):3=(3:3)·10=1·10=10 . Итак, частное от деления 30 на 3 равно 10 .

Ответ:

30:3=10 .

Приведем решения еще пары аналогичных примеров.

Пример.

Разделите 7 200 на 72 .

Решение.

В этом случае делимое 7 200 можно рассматривать как произведение чисел 72 и 100 . При этом получаем следующий результат: 7 200:72=(72·100):72= (72:72)·100=1·100=100 .

Ответ:

7 200:72=100 .

Пример.

Разделим 1 600 000 на 160 .

Решение.

Очевидно, что 1 600 000 – это произведение 160 и 10 000 , поэтому 1 600 000:160=(160·10 000):160= (160:160)·10 000=1·10 000=10 000 .

Ответ:

1 600 000:160=10 000 .

В более сложных примерах при представлении делимого в виде произведения приходится ориентироваться на таблицу умножения. Из следующих примеров будет понятно, что мы имеем в виду.

Пример.

Выполните деление натурального числа 5 400 на 9 .

Решение.

По таблице умножения мы можем разделить 54 на 9 , поэтому делимое 5 400 логично представить в виде произведения 54·100 и закончить деление: 5 400:9=(54·100):9= (54:9)·100=6·100=600 .

Ответ:

5 400:9=600 .

Для закрепления материала рассмотрим решение еще одного примера.

Пример.

Вычислим частное 120:4 .

Решение.

Для этого делимое 120 представим в виде произведения 12 и 10 , после чего воспользуемся свойством деления произведения двух чисел на натуральное число. Имеем 120:4=(12·10):4=(12:4)·10=3·10=30 .

Ответ:

120:4=30 .

Деление натуральных чисел, записи которых оканчиваются цифрами 0

Здесь нам потребуется вспомнить свойство деления натурального числа на произведение двух чисел . Поясним, для чего. Чтобы выполнить деление натуральных чисел, записи которых оканчиваются цифрами 0 , делитель представляется в виде произведения двух натуральных чисел, после чего применяется упомянутое свойство деления.

Разберемся с этим на примерах. Возьмем два натуральных числа, записи которых оканчиваются цифрами ноль, и разделим их.

Пример.

Разделим 490 на 70 .

Решение.

Так как 70=10·7 , то 490:70=490:(10·7) . Последнее выражение в силу свойства деления натурального числа на произведение равно (490:10):7 . Делить на 10 мы научились в одном из предыдущих пунктов, получаем (490:10):7=49:7 . Полученное частное находим по таблице умножения, в итоге получаем 490:70=7 .

Ответ:

490:70=7 .

Для закрепления материала рассмотрим решение еще одного более сложного примера.

Пример.

Вычислим частное 54 000:5 400 .

Решение.

Представляем 5 400 в виде произведения 100·54 и выполняем деление натурального числа на произведение: 54 000:5 400=54 000:(100·54)= (54 000:100):54=540:54 . Здесь осталось представить 540 как 54·10 (при необходимости вернитесь к предыдущему пункту) и закончить вычисления: 540:6=(54·10):54= (54:54)·10=1·10=10 . Итак, 54 000:5 400=10 .

Ответ:

54 000:5 400=10 .

Информацию этого пункта можно подытожить следующим утверждением: если в записи и делимого и делителя справа находятся цифры 0 , то в записях нужно избавиться от одинакового количества крайних справа нолей, после чего выполнить деление полученных чисел . Например, деление натуральных чисел 818 070 000 и 201 000 сводится к делению чисел 818 070 и 201 после того, как мы в записях делимого и делителя справа уберем по три цифры 0 .

Подбор частного

Пусть натуральные числа a и b таковы, что a делится на b , причем если b умножить на 10 , то получится число, которое больше, чем a . В этом случае частное a:b является однозначным натуральным числом, то есть, числом от 1 до 9 , и его проще всего подобрать. Для этого делитель последовательно умножается на 1 , 2 , 3 и так далее до того момента, пока произведение не будет равно делимому. Как только такое равенство будет получено, то будет найдено частное a:b .

Рассмотрим пример.

Пример.

Найдем частное 108:27 .

Решение.

Очевидно, что делитель 108 меньше, чем 27·10=270 (при необходимости обращайтесь к статье сравнение натуральных чисел). Подберем частное. Для этого последовательно будем умножать делитель 27 на 1 , 2 , 3 , …, пока не получим делимое 108 . Поехали: 27·1=27 , 27·2=54 , 27·3=81 , 27·4=108 (при необходимости смотрите статью умножение натуральных чисел). Следовательно, 108:27=4 .

Ответ:

108:27=4 .

В заключении этого пункта отметим, что частное в таких случаях можно не подбирать, а находить его с помощью .

Представление делимого в виде суммы натуральных чисел

Если все способы, рассмотренные выше, не позволяют выполнить деление натуральных чисел, то нужно делимое представить в виде суммы нескольких слагаемых, каждое из которых легко делится на делитель. Далее придется использовать свойство деления суммы натуральных чисел на данное число , и закончить вычисления. Остается главный вопрос: «В виде каких слагаемых представлять делимое"?

Опишем алгоритм получения слагаемых, дающих в сумме делимое. Для большей доступности будем одновременно рассматривать пример, в котором делимое равно 8 551 , а делитель равен 17 .

Сначала вычисляем, насколько количество знаков в записи делимого больше, чем количество знаков в записи делителя, и запоминаем это число.

Например, если делимым является натуральное число 8 551 , а делителем – число 17 , то запись делимого содержит на 2 знака больше (8 551 – четырехзначное число, 17 – двухзначное, таким образом, разница в количестве знаков определяется разностью 4−2=2 ). То есть, запоминаем число 2 .

Теперь в записи делителя справа дописываем цифры 0 в количестве, определяемым числом, полученным в предыдущем пункте. При этом если записанное число будет больше делимого, то из запомненного в предыдущем пункте числа нужно вычесть 1 .

Возвращаемся к нашему примеру. В записи делителя 17 дописываем справа две цифры 0 , при этом получаем число 1 700 . Это число меньше, чем делимое 8 551 , поэтому запомненное в предыдущем пункте число НЕ нужно уменьшать на 1 . Таким образом, у нас в памяти остается число 2 .

После этого к цифре 1 справа приписываем цифры 0 в количестве, определяемом числом, запомненном в предыдущем пункте. При этом получаем единицу разряда, с которым мы будем работать дальше.

В нашем примере к цифре 1 приписываем 2 ноля, имеем число 100 , то есть, мы будем работать с разрядом сотен.

Теперь последовательно умножаем делитель на 1 , 2 , 3 , … единицы рабочего разряда до того момента, пока не получим число, большее чем делимое.

В нашем примере рабочим разрядом является разряд сотен. Поэтому мы сначала умножаем делитель на одну единицу разряда сотен, то есть, умножаем 17 на 100 , получаем 17·100=1 700 . Полученное число 1 700 меньше делимого 8 551 , поэтому переходим к умножению делителя на две единицы разряда сотен, то есть 17 умножаем на 200 . Имеем 17·200=3 400<8 551 , поэтому продолжаем процесс. Умножаем 17 на 300 , имеем 17·300=5 100<8 551 ; двигаемся дальше 17·400=6 800<8 551 ; дальше 17·500=8 500<8 551 ; наконец 17·600=10 200>8 551 .

Число, полученное на предпоследнем шаге при умножении, является первым из искомых слагаемых.

В разбираемом примере искомым слагаемым является число 8 500 (это число равно произведению 17·500 , откуда видно, что 8 500:17=500 , это равенство мы используем дальше).

После этого находим разность между делимым и первым найденным слагаемым. Если полученное число не равно нулю, то приступаем к нахождению второго слагаемого. Для этого повторяем все описанные шаги алгоритма, но уже в качестве делимого принимаем полученное здесь число. Если в этом пункте опять получается число, отличное от нуля, то приступаем к нахождению третьего слагаемого, еще раз повторяя шаги алгоритма, приняв полученное число в качестве делимого. И так действуем дальше, находя четвертое, пятое и последующие слагаемые, пока полученное в этом пункте число не будет равно нулю. Как только здесь получаем 0, то все слагаемые найдены, и можно переходить к финальной части вычисления исходного частного.

Возвращаемся к нашему примеру. На этом шаге имеем 8 551−8 500=51 . Так как 51 не равно 0 , то принимаем это число в качестве делимого и повторяем с ним все шаги алгоритма.

Количество знаков в записях чисел 51 и делителя 17 одинаковое, поэтому запоминаем число 0.

В записи делителя не нужно дописывать справа ни одной цифры 0 , так как мы запоминали число 0 . То есть, число 17 остается как есть. Это число меньше, чем 51 , поэтому из запомненного числа 0 вычитать единицу не нужно. Таким образом, у нас в памяти остается число 0 .

К цифре 1 мы не будем справа приписывать ни одной цифры 0 , так как в памяти у нас находится число 0 . То есть, мы будем работать с разрядом единиц.

Теперь последовательно умножаем делитель 17 на 1 , 2 , 3 и так далее, пока не получим число, превосходящее 51 . Имеем 17·1=17<51 , 17·2=34<51 , 17·3=51 , 17·4=68>51 . На предпоследнем шаге мы получили число 51 (это число равно произведению 17·3 , и это мы используем дальше). Поэтому, вторым слагаемым является число 51 .

Находим разность между числом 51 и числом 51 , полученным в предыдущем пункте. Имеем 51−51=0 . Следовательно, останавливаем поиск слагаемых.

Теперь мы знаем, что делимое 8 551 нужно представить в виде суммы двух слагаемых 8 500 и 51 .

Закончим нахождение частного. Имеем 8 551:17=(8 500+51):17 . Теперь вспоминаем свойство деления суммы двух чисел на натуральное число, которое нас приводит к равенству (8 500+51):17=8 500:17+51:17 . Выше мы выяснили, что 8 500:17=500 и 51:17=3 . Таким образом, 8 500:17+51:17=500+3=503 . Итак, 8 551:17=503 .

Для закрепления навыков представления делимого в виде суммы слагаемых, рассмотрим решение еще одного примера.

Пример.

Разделим 64 на 2 .

Решение.

1) В записи делимого на один знак больше, чем в записи делителя, поэтому запоминаем число 1 .

2) Если в записи делителя справа дописать одну цифру 0 , то мы получим число 20 , которое меньше, чем делимое 64 . Поэтому запомненное число 1 уменьшать на единицу не нужно.

3) Теперь к 1 приписываем справа одну (так как у нас в памяти число 1 ) цифру 0 , получаем число 10 , то есть, будем работать с десятками.

4) Начинаем делитель 2 последовательно умножать на 10 , 20 , 30 и т.д. Имеем: 2·10=20<64 ; 2·20=40<64 ; 2·30=60<64 ; 2·40=80>64 . Таким образом, первым слагаемым является число 60 (так как 2·30=60 , то 60:2=30 , это равенство нам пригодится дальше).

5) Вычисляем разность 64−60 , которая равна 4 . Это число мы легко можем разделить на делитель 2 , поэтому примем это число в качестве второго (и последнего) слагаемого. (Несомненно, можно было принять это число в качестве делимого, и пройти все шаги алгоритма еще раз, они нас приведут к тому, что вторым слагаемым является число 4 .)

Итак, делимое 64 мы представили в виде суммы двух слагаемых 60 и 4 . Остается закончить вычисления: 64:2=(60+4):2=60:2+4:2=30+2=32 .

Ответ:

64:2=32 .

Решим еще один пример.

Пример.

Вычислим частное 1 178:31 .

Решение.

1) В записи делимого на 2 знака больше, чем в записи делителя. Поэтому запоминаем число 2 .

2) Если к записи делителя справа добавить две цифры 0 , то мы получим число 3 100 , которое больше делимого. Следовательно, запомненное в предыдущем пункте число 2 нужно уменьшить на единицу: 2−1=1 , запоминаем это число.

3) Теперь к цифре 1 добавляем справа одну цифру 0 , получаем число 10 и дальше работаем с десятками.

4) Последовательно умножаем делитель на 10 , 20 , 30 и т.д. Получаем 31·10=310<1 178 ; 31·20=620<1 178 ; 31·30=930<1 178 ; 31·40=1 240>1 178 . Так мы нашли первое слагаемое. Оно равно 930 (дальше нам пригодится равенство 930:31=30 , которое следует из равенства 31·30=930 ).

5) Вычисляем разность: 1 178−930=248 . Так как получили число, не равное нулю, то принимаем его в качестве делимого, и начинаем поиск второго слагаемого по тому же алгоритму.

1) В записи числа 248 на 1 знак больше, чем в записи делителя 31 . Поэтому запоминаем число 1 .

2) Добавляем в записи делителя справа одну цифру 0 , получаем число 310 , которое больше, чем число 248 . Поэтому, из запомненного числа 1 нужно вычесть 1 , при этом получим число 0 и запомним его.

3) Так как у нас в памяти число 0 , то к цифре 1 справа дописывать нулей не нужно. Таким образом, мы работаем с единицами.

4) Последовательно умножаем делитель 31 на 1 , 2 , 3 и так далее. Имеем 31·1=31<248 , 31·2=62<248 , 31·3=93<248 , 31·4=124<248 , 31·5=155<248 , 31·6=186<248 , 31·7=217<248 , 31·8=248 , 31·9=279>248 . Второе слагаемое равно 248 (из равенства 248=31·8 следует, что 248:31=8 , это нам потребуется дальше).

5) Вычисляем разность между числом 248 и полученным числом 248 , имеем 248−248=0 . Следовательно, на этом поиск слагаемых прекращается.

Таким образом, 1 178 представляем в виде суммы 930+248 . Осталось лишь закончить вычисления: 1 178:31=(930+248):31= 930:31+248:31=30+8=38 (на результаты 930:31=30 и 248:31=8 мы обращали внимание выше).

Ответ:

1 178:31=38 .

Пример.

Разделите натуральное число 13 984 на 32 , представив делимое в виде суммы нескольких слагаемых.

Решение.

В этом примере делимое будет представлено в виде трех слагаемых, так как алгоритм придется применять три раза. При этом получится, что первое слагаемое будет равно 12 800 (при этом 12 800=32·400 , следовательно, 12 800:32=400 ), второе – 960 (при этом 960=32·30 , следовательно, 960:32=30 ), а третье – 224 (при этом 224=32·7 , следовательно, 224:32=7 ).

Тогда 13 984:32=(12 800+960+224):32= 12 800:32+960:32+224:32= 400+30+7=437 .

Ответ:

13 984:32=437 .

На этом основные правила деления натуральных чисел можно считать изученными, и этих правил достаточно, чтобы провести деление произвольных натуральных чисел (если это действие вообще возможно выполнить). Но следует обратить внимание еще на одно правило, которое в некоторых случаях позволяет выполнить деление натуральных чисел рациональнее, быстрее и проще.

Легко делятся на

483:7=69 .

Проверка результата деления натуральных чисел умножением

После того, как деление натуральных чисел закончено, не лишним будет сделать проверку полученного результата. Проверка результата деления осуществляется при помощи умножения: чтобы проверить правильность результата деления нужно частное умножить на делитель, при этом должно получиться делимое . Если при умножении получилось число, которое отлично от делимого, то в процессе деления где-то была допущена ошибка.

Немного поясним, откуда взялось это правило для проверки результата деления натуральных чисел. Пусть мы разделили a предметов в b кучек, при этом в каждой кучке оказалось c предметов. По смыслу деления натуральных чисел мы можем записать равенство вида a:b=c , которое отвечает проведенному нами действию. Теперь, если обратно объединить все b кучек, в каждой из которых по c предметов, то понятно, что мы получим исходное множество предметов, в котором их будет a штук. То есть, по смыслу умножения натуральных чисел имеем b·c=a . Таким образом, если a:b=c , то также должно быть справедливо равенство b·c=a . На этом и основано правило проверки результата деления натуральных чисел при помощи умножения.

Рассмотрим решения примеров, в которых осуществляется проверка результата деления с помощью умножения.

Пример.

Натуральное число 475 было разделено на натуральное число 19 , при этом получилось частное 25 . Правильно ли выполнено деление?

960+64 (это мы сделали по алгоритму, описанному в одном из предыдущих пунктах этой статьи). Тогда 1 024:32=(960+64):32= 960:32+64:32=30+2=32 .

Осталось выполнить проверку полученного результата. Для этого умножим полученное частное 32 на делитель 32 , имеем 32·32=1 024 . Полученное число совпадает с делимым, поэтому частное вычислено правильно.

Ответ:

1 024:32=32 .

Проверка результата деления натуральных чисел делением

Проверить результат деления натуральных чисел можно не только при помощи умножения, но и при помощи деления. Сформулируем правило, позволяющее проводить проверку результата деления делением.

Чтобы проверить, правильно ли найдено частное от деления двух натуральных чисел, нужно делимое разделить на полученное частное . При этом, если получается число, равное делителю, то деление выполнено верно, в противном случае, где-то в вычислениях была допущена ошибка.

Это правило основано на достаточно очевидной связи делимого, делителя и частного. Проследить эту связь нам помогут следующие рассуждения. Пусть мы разделили a предметов в b кучек, после чего в каждой кучке оказалось c предметов в каждой. Понятно, что если эти a предметов разложить в кучки по c предметов в каждой, то таких кучек получится b штук. Таким образом, если a:b=c , то a:c=b , аналогично, если a:c=b , то a:b=c . Об этом же мы упоминали выше в пункте .

Осталось рассмотреть несколько примеров проверки результата деления натуральных чисел при помощи деления.

Пример.

При делении натурального числа 104 на 13

• Математика. Любые учебники для 1, 2, 3, 4 классов общеобразовательных учреждений.
• Математика. Любые учебники для 5 классов общеобразовательных учреждений.

Математика Дата «___»_______ ____ г Класс 3- «Б» (1 четверть) Урок 26 Тема урока: Деление 0 на натуральное число, невозможность деления на 0 Цель: Формировать умения выполнять особые случаи умножения и деления с числом 0. Задачи урока: 1. познакомить учащихся с правилами умно¬жения с числом 0; формировать знания о невозможности деления числа на 0 и учить применять данные правила при вычислениях; учить решать составные задачи. 2. Закреплять мышление, речь, внимание. 3. Воспитывать познавательную активность, умение работать в коллективе, умение оценивать себя и одноклассников Тип урока: урок усвоения новых знаний; Этапы и структура урока. 1. Организационный момент. Эмоциональный настрой. Мотивация. Громко прозвенел звонок, Начинается урок. Наши ушки на макушке, Глазки широко открыты, Слушаем, запоминаем, Ни минуты не теряем! 2. Актуализация знаний Можно предложить математический диктант «Да-нет». Уча¬щиеся ставят знак «+», если согласны с утверждением, и знак «-», если утверждение неправильное. Произведение чисел 7 и 1 равно 7. 21: 1 = 22 Частное чисел 3 и 1 равно 3. Сумма чисел 2 и 3 равна 6. 4 увеличить на 4 равно 8. 1 - 5 получится 5. Если число разделить на 1, то получится то же самое число. Если число умножить на 1, то получится то же число. №6 Выбери три шарика так, чтобы набрать указанную сумму. 100 99 88 77 66 40 45 15 22 18 37 23 48 33 13 40 66 20 43 15 73 54 44 40 16 10 27 24 50 34 13 44 16 78 66 11 20 50 33 44 22 11 34 55 21 1 3. Постановка проблемы - Ребята, сегодня вам предстоит сделать важное открытие. Кто готов провести это исследование? На доске: 4. Открытие нового знания - Сравните выражения. Чем они похожи? Чем отличаются? - Как вы думаете, чему равны значения этих произведений? (ребята высказывают свои предположения) -Как же убедиться, кто из вас прав? Ученик: - Мы же знаем, что умножение можно заменить сложением. Оно-то нам и поможет. Учитель: - Верно! Действуйте! (один ученик идёт и выполняет замену на доске: 0+0+0+0+0+0+0+0 = = 0 8 = 0) - Что заметили? (везде получается 0) - Кто попробует записать эту закономерность в общем виде? (Ученик идёт к доске, ребята записывают самостоятельно. После сверки записей, вспоминают о переместительном законе умножения. В итоге получается запись:) а 0 = 0 0 а = 0 - Молодцы! №1 – сделать вывод №2 – Почему нельзя делить на 0? Проблемная ситуация: Лена, Айнаш, Камила делили 5 на 0 и у них получились такие результаты: 0 5 1 Кто их девочек прав? Или все не правы? Докажите. Проверяем каждый ответ. 5: 0 = 0, Если мы умножим результат деления на делитель, то должны получить 5. Получим? (НЕТ) 5: 0 = 5, Если мы умножим результат деления 5 на делитель 0 , то должны получить 5. Получим? (НЕТ) 5: 0 = 1, Если мы умножим результат деления на делитель 0, то должны получить 5. Получим? (НЕТ) А есть ли такое число, при умножении на 0 дающее 5? (НЕТ такого числа не существует, мы только что открыли правило что при умножении на 0 всегда будет 0) Можно ли разделить на 0? (НЕТ на 0 делить нельзя, это невозможно) Итак, мы делаем вывод, что все девочки не правы. 5. Первичное закрепление № 3 – с комментированием Динамическая пауза 6. Самостоятельная работа. № 4- Самопроверка 7. Повторение Затем учащиеся под руководством учителя анализируют за¬дачу №5 (а), оставляют план решения: 1) узнать, сколько кефира привезли, для этого уменьшить количество молока на 50 литров; 2) узнать, сколько привезли ряженки, для этого уменьшить количество молока на 40 литров: 3) зная, сколько литров молока, кефира и ряженки привезли в киоск, узнать, сколько всего литров. Для этого сложить количество молока с найденным количеством кефира и с вычислен¬ным количеством ряженки; и решают задачу самостоятельно. Задачу №5 (б) учащиеся решают самостоятельно, а затем вы- полняют проверку. №5 а) В молочный киоск привезли 120 л молока, кефира - на 50 л меньше, чем молока, а ряженки - на 40 л меньше, чем мо¬лока. Сколько всего литров молочных продуктов привезли? б) Составь по краткой записи две задачи: в одно и два дей¬ствия. Сметана - 650 тенге. Молоко - ? тг., на 500 тенге дешевле. 1) 120 – 50 = 70 (л) – кефира 2) 120 – 40 = 80 (л) – ряженки 3) 120 + 70 + 80 = 270 (л) 8. Рефлексия – Вам понравился урок? – Чему вы сегодня научились на уроке? – В своих тетрадях нарисуйте личико, которое отобразит ваше настроение. Если хорошее – то личико смеется, если плохое, то оно плачет 9.Д/З стр. 49 № 6

Цель обучения (когнитивная):

Цель личностного развития:

Ожидаемый результат:

А - решает примеры на деление 0 на число и числа на 1

В - решает простые задачи на деление

С - решает задачи на логическое мышление

Просмотр содержимого документа
«Урок математики "Деление нуля на натуральное число. Невозможность деления числа на 0" 3 класс»

Математика Класс: 3 Дата проведения: 11.10.16 Урок № 30

Тема: Деление нуля на натуральное число. Невозможность деления числа на 0

Цель обучения (когнитивная): Ознакомиться с приёмами деления нуля на число, закрепить умение решать составные задачи, совершенствовать вычислительные навыки, знания таблицы умножения, развивать мышление, математическую речь, интерес к математике

Цель личностного развития: формировать умение работать в паре и группе

Ожидаемый результат:

А – решает примеры на деление 0 на число и числа на 1

В – решает простые задачи на деление

С – решает задачи на логическое мышление

1.Дойди до реки.

При делении 0 на число получаем ___________

При делении числа на 1, получаем ____________

2. Перейди через мост.

0:98= 47:47= 18:(56:56)=

52:1= 100 0= 24:6:4=

3. Дойти до сломанного дерева

На огороде выросло 9 арбузов. Это в 9 раза больше, чем дынек. Сколько дынек выросло на огороде?

4.Остановись у колодца

1 96*0:100 10:1*1000 0

23 0*23:1 а 0*а 1

5.Дойди до забора, перелезь через дырку в заборе

Начерти прямоугольник, у которого длина 3см, ширина в 1 раз больше. Вычисли периметр этого прямоугольника.

6. Похлопай в ладоши, передай письмо учителю.

Несмотря на то что математика кажется большинству людей наукой сложной, это далеко не так. Многие математические операции довольно легко понять, особенно если знать правила и формулы. Так, зная таблицу умножения, можно быстро перемножать в уме Главное - постоянно тренироваться и не забывать правил умножения. То же самое можно сказать и о делении.

Давайте же разберем деление целых чисел, дробных и отрицательных. Вспомним об основных правилах, приемах и методах.

Операция деления

Начнем, пожалуй, с самого определения и названия чисел, которые участвуют в данной операции. Это значительно облегчит дальнейшее изложение и восприятие информации.

Деление - одна из четырех основных математических операций. Изучение ее начинается еще в начальной школе. Именно тогда детям показывают первый пример деления числа на число, объясняют правила.

В операции участвуют два числа: делимое и делитель. Первое - число, которое делят, второе - на которое делят. Результатом деления является частное.

Имеется несколько обозначений для записи данной операции: «:», «/» и горизонтальная черта - запись в виде дроби, когда вверху находится делимое, а внизу, под чертой - делитель.

Правила

При изучении той или иной математической операции учитель обязан познакомить учеников с основными правилами, которые следует знать. Правда, не всегда они запоминаются так хорошо, как хотелось бы. Именно поэтому мы решили немного освежить в вашей памяти четыре фундаментальных правила.

Основные правила деления чисел, которые стоит помнить всегда:

1. Делить на ноль нельзя. Это правило следует запомнить в первую очередь.

2. Делить ноль можно на любое число, но в итоге всегда будет ноль.

3. Если число поделить на единицу, мы получим то же число.

4. Если число разделить на само себя, мы получим единицу.

Как видите, правила довольно простые и легко запоминаются. Хотя некоторые и могут забывать такое простое правило, как невозможность или же путать с ним деление ноля на число.

на число

Одно из наиболее полезных правил - признак, по которому определяется возможность деления натурального числа на другое без остатка. Так, выделяют признаки делимости на 2, 3, 5, 6, 9, 10. Рассмотрим их подробнее. Они существенно облегчают выполнение операций над числами. Также приведем для каждого правила пример деления числа на число.

Данные правила-признаки довольно широко используются математиками.

Признак делимости на 2

Наиболее простой для запоминания признак. Число, которое оканчивается на четную цифру (2, 4, 6, 8) или 0, всегда делится на два нацело. Довольно просто для запоминания и использования. Так, число 236 оканчивается на четную цифру, а значит, делится на два нацело.

Проверим: 236:2 = 118. Действительно, 236 делится на 2 без остатка.

Данное правило наиболее известно не только взрослым, но и детям.

Признак делимости на 3

Как правильно выполнить деление чисел на 3? Запомнить следующее правило.

Число делится на 3 нацело в том случае, если сумма его цифр кратна трем. Для примера возьмем число 381. Сумма всех цифр будет составлять 12. Данное трем, а значит делится на 3 без остатка.

Также проверим данный пример. 381: 3 = 127, значит все верно.

Признак делимости чисел на 5

Тут также все просто. Разделить на 5 без остатка можно лишь те числа, которые оканчиваются на 5 либо же на 0. Для примера возьмем такие числа, как 705 или же 800. Первое заканчивается на 5, второе - на ноль, следовательно они оба делятся на 5. Это одно из простейших правил, которое позволяет быстро осуществлять деление на однозначное число 5.

Проверим данный признак на таких примерах: 405:5 = 81; 600:5 = 120. Как видите, признак действует.

Делимость на 6

Если вы хотите узнать, делится ли число на 6, то вам сначала нужно выяснить, делится ли оно на 2, а затем - на 3. Если да, то число можно без остатка разделить на 6. К примеру, число 216 делится и на 2, так как заканчивается на четную цифру, и на 3, так как сумма цифр равна 9.

Проверим: 216:6 = 36. Пример показывает, что данный признак действует.

Делимость на 9

Поговорим также и о том, как осуществить деление чисел на 9. На данное число делятся те сумма цифр которых кратна 9. Аналогично правилу деления на 3. Например, число 918. Сложим все цифры и получим 18 - число, кратное 9. Значит, оно делится на 9 без остатка.

Решим данный пример для проверки: 918:9 = 102.

Делимость на 10

Последний признак, который стоит знать. На 10 делятся только те числа, которые оканчиваются на 0. Данную закономерность довольно просто и легко запомнить. Так, 500:10 = 50.

Вот и все основные признаки. Запомнив их, вы сможете облегчить себе жизнь. Конечно, есть и другие числа, для которых существуют признаки делимости, но мы с вами выделили лишь основные из них.

Таблица деления

В математике существует не только таблица умножения, но и таблица деления. Выучив ее, можно с легкостью выполнять операции. По сути, таблица деления представляет собой таблицу умножения наоборот. Составить ее самостоятельно не представляет труда. Для этого следует переписать каждую строку из таблицы умножения таким образом:

1. Ставим произведение числа на первое место.

2. Ставим знак деления и записываем второй множитель из таблицы.

3. После знака равенства записываем первый множитель.

Например, возьмем следующую строку из таблицы умножения: 2*3= 6. Теперь перепишим ее согласно алгоритму и получим: 6 ÷ 3 = 2.

Довольно часто детей просят самостоятельно составить таблицу, таким образом развивая их память и внимание.

Если же у вас нет времени на ее написание, то можете воспользоваться представленной в статье.

Виды деления

Поговорим немного о видах деления.

Начнем с того, что можно выделить деление целых чисел и дробных. При этом в первом случае можно говорить об операциях с целыми числами и десятичными дробями, а во втором - только о дробных числах. При этом дробным может являться как делимое или делитель, так и оба одновременно. связано с тем, что операции над дробями отличаются от операций с целыми числами.

Исходя из чисел, которые участвуют в операции, можно выделить два вида деления: на однозначные числа и на многозначные. Наиболее простым считается деление на однозначное число. Здесь вам не нужно будет проводить громоздкие вычисления. К тому же хорошо может помочь таблица деления. Делить же на другие - двух-, трехзначные числа - тяжелее.

Рассмотрим примеры для данных видов деления:

14:7 = 2 (деление на однозначное число).

240:12 = 20 (деление на двузначное число).

45387: 123 = 369 (деление на трехзначное число).

Последним можно выделить деление, в котором участвуют положительные и отрицательные числа. При работе с последними следует знать правила, по которым происходит присвоение результату положительного или отрицательного значения.

При делении чисел с разными знаками (делимое - число положительное, делитель - отрицательное, или наоборот) мы получаем отрицательное число. При делении чисел с одним знаком (и делимое, и делитель - положительные или же наоборот) - получаем число положительное.

Рассмотрим для наглядности следующие примеры:

Деление дробей

Итак, мы с вами разобрали основные правила, привели пример деления числа на число, теперь поговорим о том, как правильно выполнять эти же операции с дробями.

Несмотря на то что деление дробей поначалу кажется довольно тяжелым делом, в действительности работать с ними не так уж и трудно. Деление дроби выполняется практически так же, как и умножение, но с одним отличием.

Для того чтобы разделить дробь, следует сначала умножить числитель делимого на знаменатель делителя и зафиксировать полученный результат в виде числителя частного. Затем умножить знаменатель делимого на числитель делителя и записать результат как знаменатель частного.

Можно сделать и проще. Переписать дробь делителя, поменяв местами числитель со знаменателем, а затем перемножить полученные числа.

Например, разделим две дроби: 4/5:3/9. Для начала перевернем делитель, получим 9/3. Теперь перемножим дроби: 4/5 * 9/3 = 36/15.

Как видите, все довольно легко и не сложнее, чем деление на однозначное число. Примеры на решаются просто, если не забывать данное правило.

Выводы

Деление - одна из математических операций, которые каждый ребенок изучает еще в начальной школе. Есть определенные правила, которые следует знать, приемы, облегчающие выполнение данной операции. Деление бывает с остатком и без, бывает деление отрицательных и дробных чисел.

Запомнить особенности данной математической операции довольно легко. Мы с вами разобрали наиболее важные моменты, рассмотрели не один пример деления числа на число, даже поговорили о том, как работать с дробными числами.

Если вы хотите улучшить свое знание математики, советуем вам запомнить эти несложные правила. Кроме того, можем посоветовать вам развивать память и навыки счета в уме, выполняя математические диктанты или просто пытаясь высчитать устно частное двух случайных чисел. Поверьте, эти навыки никогда не будут лишними.

Рассмотрим понятие деление на задаче:
В корзине лежало 12 яблок. Шестеро детей разобрали яблоки. У каждого ребенка получилось одинаковое количество яблок. Сколько яблок у каждого ребенка?

Решение:
Нам нужно 12 яблок поделить на шестерых детей. Запишем математически задачу 12:6.
Или по-другому можно сказать. На какое число нужно умножить число 6, чтобы получилось число 12? Запишем в виде уравнения задачу. Количество яблок нам неизвестно, поэтому обозначим их за переменную x.

Чтобы найти неизвестное x нам нужно 12:6=2
Ответ: по 2 яблока у каждого ребенка.

Рассмотрим подробно пример 12:6=2:

Число 12 называется делимым . Это число, которое делят.
Число 6 называется делителем . Это число, на которое делят.
И результат деления число 2 называют частным . Частное показывает во сколько раз делимое больше делителя.

В буквенном виде деление выглядит так:
a:b=c
a – делимое,
b – делитель,
c – частное.

Так что же такое деление?

Деление – это действие, обратное одного множителя мы можем найти другой множитель.

Деление проверяется умножением, то есть:
a : b = c , проверка с⋅ b = a
18:9=2, проверка 2⋅9=18

Неизвестный множитель.

Рассмотрим задачу:
В каждой упаковке по 3 штуки елочных шаров. Чтобы нарядить елку нам нужно 30 шаров. Сколько нам нужно взять упаковок с елочными шарами?

Решение:
x – неизвестное количество упаковок шаров.
3 – штуки в одной упаковки шаров.
30 – всего шаров.

x⋅3=30 нам нужно столько раз взять по 3, чтобы получилось в итоге 30. x – это неизвестный множитель. То есть, чтобы найти неизвестный нужно, произведение поделить на известный множитель.
х=30:3
х=10.

Ответ: 10 упаковок шаров.

Неизвестное делимое.

Рассмотрим задачу:
В каждой упаковке по 6 цветных карандашей. Всего упаковок 3 штуки. Сколько всего карандашей было, до того пока их не разложили по упаковкам?

Решение:
x – всего карандашей,
6 – карандашей в каждой упаковке,
3 – упаковки карандашей.

Запишем уравнение задачи в виде деления.
x:6=3
x – это неизвестное делимое. Чтобы найти неизвестное делимое надо, частное умножить на делитель.
х=3⋅6
х=18

Ответ: 18 карандашей.

Неизвестный делитель.

Разберём задачу:
Было 15 шаров в магазине. За день в магазин пришло 5 покупателей. Покупатели купили равное количество шаров. Сколько шаров купил каждый покупатель?

Решение:
х – количество шаров, которое купил один покупатель,
5 – количество покупателей,
15 – количество шаров.
Запишем уравнение задачи в виде деления:
15:х=5
х – в данном уравнении является неизвестным делителем. Чтобы найти неизвестный делитель, мы делимое делим на частное.
х=15:5
х=3

Ответ: по 3 шара у каждого покупателя.

Свойства деления натурального числа на единицу.

Правило деления:
Любое число, деленное на 1 результатом будет тоже самое число.

7:1=7
a :1= a

Свойства деления натурального числа на нуль.

Рассмотрим пример: 6:2=3, проверить правильно ли мы поделили можно умножением 2⋅3=6.
Если мы 3:0, то сделать проверку мы не сможем, потому что любое число умноженное на нуль будет нуль. Поэтому запись 3:0 не имеет смысла.
Правило деления:
Делить на нуль нельзя.

Свойства деления нуля на натуральное число.

0:3=0 эта запись имеет смысл. Если мы ничего поделим на три части то получим ничего.
0: a =0
Правило деления:
При делении 0 на любое натуральное число не равное нулю, результат всегда будет равен 0.

Свойство деления одинаковых чисел.

3:3=1
a : a =1
Правило деления:
При делении любого числа на себя, не равное нулю, результат будет равен 1.

Вопросы по теме “Деление”:

В записи a:b=c назовите, что здесь является частным?
Ответ: a:b и c.

Что такое частное?
Ответ: частное показывает во сколько раз делимое больше делителя.

При каком значении m запись 0⋅m=5?
Ответ: при умножении на нуль в ответе всегда будет 0. Запись не имеет смысла.

Существует ли такое n, что 0⋅n=0?
Ответ: да, запись имеет смысл. При умножении любого числа на 0 будет 0, поэтому n – любое число.

Пример №1:
Найдите значение выражение: а) 0:41 б) 41:41 в) 41:1
Ответ: а) 0:41=0 б) 41:41=1 в) 41:1=41

Пример №2:
При каких значениях переменных верно равенство: а) х:6=8 б) 54:х=9

а) х – в данном примере является делимым. Чтобы найти делимое нужно частное умножить на делитель.
х – неизвестное делимое,
6 – делитель,
8 – частное.
х=8⋅6
х=48

б) 54 – делимое,
х – делитель,
9 – частное.
Чтобы найти неизвестный делитель, нужно делимое поделить на частное.
х=54:9
х=6

Задача №1:
У Саши 15 марок, а Миши 45 марок. Во сколько раз у Миши марок больше чем у Саши?
Решение:
Можно задачу решить двумя способами. Первый способ:
15+15+15=45
Нужно 3 числа 15, чтобы получить 45, следовательно, в 3 раза у Миши марок больше, чем у Саши.
Второй способ:
45:15=3

Ответ: в 3 раза у Миши марок больше, чем у Саши.