Open Library - открытая библиотека учебной информации.

Курс геометрии широк, объемен и многогранен: он включает в себя множество различных тем, правил, теорем и полезных знаний. Можно представить, что все в нашем мире состоит из простого, даже наиболее сложное. Точки, прямые, плоскости - все это есть и в вашей жизни. И они поддаются имеющимся в мире законам о соотношении объектов в пространстве. Чтобы доказать это, можно попытаться доказать параллельность прямых и плоскостей.

Прямая - это линия, которая соединяет две точки по кратчайшей траектории, не заканчиваясь и длясь с обоих сторон в бесконечность. Плоскость - это поверхность, образующаяся при кинематическом движении образующей прямой линии по направляющей. Другими словами, если две любые прямые имеют точку пересечения в пространстве, они могут лежать и в одной плоскости. Однако как выразить и прямых, если этих данных недостаточно для подобного утверждения?

Главное условие параллельности прямой и плоскости - чтобы они не имели общих точек. В отличие от прямых, которые могут при отсутствии общих точек являться не параллельными, а расходящимися, плоскость двухмерна, что исключает такое понятие, как расходящиеся прямые. Если данное условие параллельности не соблюдено - значит, прямая пересекает данную плоскость в какой-то одной точке либо лежит в ней полностью.

Что же показывает нам условие параллельности прямой и плоскости нагляднее всего? То, что в любой точке пространства расстояние между параллельными прямой и плоскостью будет константой. При существовании хоть малейшего, в миллиардные доли градуса, уклона прямая рано или поздно пересечет плоскость за счет обоюдной бесконечности. Именно поэтому параллельность прямой и плоскости возможна только при соблюдении этого правила, иначе главное ее условие - отсутствие общих точек - соблюдено не будет.

Что можно добавить, рассказывая про параллельность прямых и плоскостей? То, что если одна из параллельных прямых принадлежит плоскости, то вторая или параллельна плоскости, или тоже принадлежит ей. Как это доказать? Параллельность прямой и плоскости, заключающей в себе прямую, параллельную данной, доказывается очень просто. не имеют общих точек - стало быть, они не пересекаются. А если прямая не пересекается с плоскостью в одной точке - значит, она или параллельна, или лежит на плоскости. Это еще раз доказывает параллельность прямой и плоскости, не имеющих точек пересечения.

В геометрии есть также теорема, которая утверждает, что если существуют две плоскости и прямая линия, перпендикулярна им обеим, то плоскости параллельны. Схожая теорема утверждает, что если две прямые бывают перпендикулярны одной любой плоскости, они обязательно будут параллельны друг другу. Верна ли и доказуема ли параллельность прямых и плоскостей, выраженная данными теоремами?

Оказывается, это так. Прямая, перпендикулярная плоскости, всегда будет строго перпендикулярна любой прямой, которая пролегает в данной плоскости и также имеет с другой прямой точку пересечения. Если прямая имеет подобные пересечения с несколькими плоскостями и во всех случаях является им перпендикулярной - значит, все данные плоскости параллельны друг другу. Наглядным примером может служить детская пирамидка: ее ось будет искомой перпендикулярной прямой, а кольца пирамидки - плоскостями.

Стало быть, доказать параллельность прямой и плоскости достаточно легко. Эти знания получаются школьниками при изучении азов геометрии и во многом определяют дальнейшее усвоение материала. Если уметь грамотно пользоваться полученными в начале обучения знаниями, можно будет оперировать куда большим количеством формул и пропускать ненужные логические связки между ними. Главное - это понимание основ. Если же его нет - то изучение геометрии можно сравнить со строительством без фундамента. Именно поэтому данная тема требует пристального внимания и досконального исследования.

Прямая и плоскость.

ПЛОСКОСТИ И ПРЯМЫЕ В ПРОСТРАНСТВЕ

Основными геометрическими фигурами в пространстве являются точка , прямая и плоскость .

Через всякие три точки, не лежащие на одной прямой, можно провести плоскость, и притом только одну.

Через любую прямую и не лежащую на ней точку можно провести плоскость, и притом только одну.

Плоскость делит (разбивает) пространство на два полупространства.

Две плоскости в пространстве либо параллельны (т. е. не имеют общих точек), либо пересекаются по прямой.

Прямая либо параллельна плоскости (т. е. не имеет с ней рбщих точек), либо пересекает ее в одной точке, либо целиком лежит в плоскости.

Признак параллельности прямой и плоскости .

Если прямая параллельна какой-нибудь прямой, лежащей в плоскости, то она параллельна этой плоскости.

Две прямые в пространстве либо пересекаются (имеют одну общую точку), либо скрещиваются, либо параллельны

(на рис. прямые а и b пересекаются, прямые а , с и d параллельны, прямые b и d скрещиваются).

Через две пересекающиеся прямые можно провести плоскость, и притом только одну; то же справедливо и для параллельных прямых.
Через две скрещивающиеся прямые невозможно провести плоскость. Признак параллельности прямых .
Две прямые, каждая из которых параллельна третьей прямой, параллельны между собой.
Прямая, пересекающая плоскость, называется перпендикулярной (ортогональной, или нормальной) этой плоскости, если она перпендикулярна всем прямым, лежащим в этой плоскости (рис.).

Если прямая перпендикулярна двум непараллельным прямым, лежащим в плоскости, то эта прямая перпендикулярна плоскости.

Пусть прямая пересекает плоскость в точке А и перпендикулярна плоскости; отрезок АВ этой прямой (рис.) называется перпендикуляром, проведенным (или опущенным) к этой плоскости из точки В .

Длина перпендикуляра АВ называется расстоянием от точки В до плоскости.
Из произвольной точки вне плоскости можно опустить на плоскость один перпендикуляр и множество наклонных (рис.).

Если АВ — перпендикуляр, ВС — наклонная, то АС — проекция наклонной на плоскость, точка С — основание наклонной, точка А — основание перпендикуляра.
Угол между прямой и плоскостью определяется как угол между этой прямой и ее проекцией на плоскость. Теорема о трех перпендикулярах .
Прямая на плоскости перпендикулярна наклонной, если она перпендикулярна проекции этой наклонной (рис.). Верно и обратное утверждение.

Для того, чтобы прямая и плоскость были параллельны, необходимо и достаточно, чтобы вектор нормали к плоскости и направляющий вектор прямой были перпендикулярны. Для этого необходимо, чтобы их скалярное произведение было равно нулю.

Для того, чтобы прямая и плоскость были перпендикулярны, необходимо и достаточно, чтобы вектор нормали к плоскости и направляющий вектор прямой были коллинеарные. Это условие выполняется, если векторное произведение этих векторов было равно нулю.

Условия параллельности и перпендикулярности

Условия параллельности и перпендикулярности плоскостей.

Уравнение прямой в пространстве, проходящей через две точки.

Уравнение прямой, проходящей через две точки M 1 (x 1 , y 1 , z 1) и M 2 (x 2 , y 2 , z 2), имеет вид

Общие уравнения прямой в пространстве.

Уравнение прямой может быть рассмотрено как уравнение линии пересечения двух плоскостей.

Пусть в пространстве заданы две плоскости: × + D 1 = 0 и × + D 2 = 0, векторы нормали имеют координаты: (A 1 , B 1 , C 1), (A 2 , B 2 , C 2); (x, y, z).

Тогда общие уравнения прямой в векторной форме:

Общие уравнения прямой в координатной форме:

Угол между плоскостями.

Угол между двумя плоскостями в пространстве j связан с углом между нормалями к этим плоскостям j 1 соотношением: j = j 1 или j = 180 0 - j 1 , ᴛ.ᴇ.

cosj = ±cosj 1 .

Определим угол j 1 . Известно, что плоскости бывают заданы соотношениями:

(A 1 , B 1 , C 1), (A 2 , B 2 , C 2).

Угол между плоскостями находится по формуле:

Выбор знака косинуса зависит от того, какой угол между плоскостями следует найти – острый, или смежный с ним тупой.

На основе полученной выше формулы для нахождения угла между плоскостями можно найти условия параллельности и перпендикулярности плоскостей.

Для того, чтобы плоскости были перпендикулярны крайне важно и достаточно, чтобы косинус угла между плоскостями равнялся нулю. Это условие выполняется, если:

Плоскости параллельны, векторы нормалей коллинœеарны: ïï .Это условие выполняется, если: .

Угол между прямыми в пространстве.

Пусть в пространстве заданы две прямые. Их параметрические уравнения:

Угол между прямыми j и угол между направляющими векторами j этих прямых связаны соотношением: j = j 1 или j = 180 0 - j 1 . Угол между направляющими векторами находится из скалярного произведения. Таким образом:

прямых в пространстве.

Чтобы две прямые были параллельны крайне важно и достаточно, чтобы их соответствующие координаты были пропорциональны.

Чтобы две прямые были перпендикулярны крайне важно и достаточно, чтобы косинус угла между ними равен нулю.

Угол между прямой и плоскостью.

Определœение. Углом между прямой и плоскостью принято называть любой угол между прямой и ее проекцией на эту плоскость.

Пусть плоскость задана уравнением, а прямая - . Из геометрических соображений (см. рис.) видно, что искомый угол a = 90 0 - j, где a - угол между векторами и. Этот угол может быть найден по формуле:

В координатной форме:

Для того, чтобы прямая и плоскость были параллельны, крайне важно и достаточно, чтобы вектор нормали к плоскости и направляющий вектор прямой были перпендикулярны. Для этого крайне важно, чтобы их скалярное произведение было равно нулю.

Для того, чтобы прямая и плоскость были перпендикулярны, крайне важно и достаточно, чтобы вектор нормали к плоскости и направляющий вектор прямой были коллинœеарны. Это условие выполняется, если векторное произведение этих векторов было равно нулю.

Если прямая параллельна плоскости, то векторы и перпендикулярны (рисунок 16), поэтому ∙ = 0, то есть

Ат + Вп + Ср = 0.

Рисунок 16 – Параллельность прямой и плоскости

Условие перпендикулярности прямой и плоскости

Если прямая перпендикулярна плоскости, то векторы и параллельны (рисунок 17), поэтому

Рисунок 17 – Перпендикулярность прямой и плоскости

Пересечение прямой и плоскости. Условие принадлежности прямой плоскости

Для того чтобы найти точку пересечения прямой с плоскостью Ах + Ву + Сz + D = 0, надо решить систему, составленную из этих уравнений. Проще всего это сделать, записав уравнение прямой в параметрическом виде:

Подставляя эти выражения для х , у , z в уравнение плоскости, найдем значение t , при котором прямая и плоскость пересекаются. Возвращая найденное значение t в параметрические уравнения прямой, найдем координаты точки пересечения прямой и плоскости.

Если прямая параллельна плоскости и Ах 0 + Ву 0 + Сz 0 + D = 0, где (x 0 , y 0 , z 0) координаты точки М 0 , принадлежащей прямой, то прямая лежит в плоскости.

Таким образом, одновременное выполнение равенств

является условием принадлежности прямой плоскости .

Вопросы для самопроверки

1 Записать формулу, по которой находится угол между прямой и плоскостью.

2 Записать условие параллельности прямой и плоскости.

3 Записать условие перпендикулярности прямой и плоскости.

4 Записать условия принадлежности прямой плоскости.

Пример 1 . Составить уравнение плоскости, проходящей через прямую и точку М 0 (2; 0; 1).

Решение

Убедимся, что точка М 0 не принадлежит прямой:

.

Точка Р (1; – 1; – 1) принадлежит данной прямой, а = (1; 2; – 1) – направляющий вектор этой прямой (рисунок 18).

Рисунок 18 – Иллюстрация к примеру 1

Пусть М (х ; у ; z ) – произвольная точка исходной плоскости, тогда векторы = (х – 2; у ; z – 1), = (– 1; – 1; – 2) и = (1; 2; – 1) компланарны. Значит,

= 0,

5(х – 2) – 3у – (z – 1) = 0.

Таким образом, уравнение исходной плоскости имеет вид

5х – 3у – z – 9 = 0.

Пример 2 . Найти точку М 1 симметричную точке М (3; 1; – 1) относительно плоскости 3х + у + z – 20 = 0.

Решение

Нормальный вектор заданной плоскости = (3; 1; 1). Через точку М проведем перпендикуляр к плоскости (рисунок 19). Уравнение перпендикуляра имеет вид

.

Рисунок 19 – Иллюстрация к примеру 2

Найдем координаты точки N пересечения прямой ММ 1 и плоскости

Запишем параметрические уравнения прямой

Подставим выражения для х , у , z в уравнение плоскости

3(3 + 3t ) + (1 + t ) + (– 1 + t ) – 20 = 0.

После упрощения получим

11t = 11,

Подставив вместо t в параметрические уравнения прямой 1, найдем координаты проекции точки М на плоскость

x N = 6, y N = 2, z N = 0,

то есть N (6; 2; 0).

Координаты точки М 1 найдем по формулам

, , ,

2x N – x M = 9, = 2y N – y M = 3, = 2z N – z M = 1.

Таким образом, имеем М 1 (9; 3; 1).

Пример 3 . Найти уравнение проекции прямой на плоскость х + у + 2z – 5 = 0.

Решение

Через прямую l проведем плоскость β перпендикулярную плоскости α (рисунок 20). Тогда направляющий вектор = (1; 2; 3) прямой и нормальный вектор = (1; 1; 2) данной плоскости перпендикулярны нормальному вектору β, следовательно, = × .

= = + – = (1; 1; – 1).

Рисунок 20 – Иллюстрация к примеру 3

Уравнение плоскости β запишем в виде

1(х – 1)+ 1(у – 1) – z = 0,

х + у – z – 2 = 0.

Искомую проекцию можно определить общими уравнениями, как линию пересечения двух плоскостей:

Пример 4. Найти расстояние от точки А (1; 3; 5) до прямой .

Решение

Так как по определению расстояние от точки А до прямой – это длина перпендикуляра АВ , проведенного из данной точки к данной прямой, то, определив координаты точки В , вычислим искомое расстояние как расстояние между точками А и В .

Таким образом, задача сводится к нахождению координат основания перпендикуляра, построенного из точки А к прямой. Точка В – это точка пересечения прямой с плоскостью, проходящей через точку А перпендикулярно к прямой. Уравнение этой плоскости имеет вид

6(х – 1)+ 2(у – 3) – (z – 5)= 0,

6х + 2у – z – 7 = 0.

Найдем координаты точки пересечения плоскости с прямой

6(– 30 + 6t ) + 2∙2t – (– – t ) – 7 = 0,

41t – = 0,

Точка пересечения В (– 3; 9; – 7). Найдем расстояние между точками А и В :

d = = = 14,

Задачи для самостоятельного решения

1 Определить взаимное расположение прямой и плоскости:

а) , х – 2у + z – 15 = 0;

б) , х + 2у – 2z + 6 = 0;

в) , 2х + 3у + z – 1 = 0;

(Ответ : а) прямая параллельна плоскости; б) прямая лежит в плоскости; в) (2; – 3; 6))

2 Написать уравнение плоскости, проходящей через точку А (3; 4; 0) и прямую . (Ответ : х – 2у + z + 5 = 0)

3 Написать уравнение плоскости, проходящей через прямую и перпендикулярно плоскости 2х + 3у – z = 4. (Ответ : 8х – 5у + z – 11 = 0)

Список используемой литературы

1 Гурский Е.И. Основы линейной алгебры и аналитической геометрии / – 2-е изд. доп. – Минск: Выш. шк., 1982. – 272 с.

2 Гусак А.А. Справочное пособие по решению задач: аналитическая геометрия и линейная алгебра. – Минск: ТетраСистемс, 1998. – 228 с.

3 Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике: полный курс / – 9-е изд. – М.: Айрис-пресс, 2009.

4 Сборник задач по линейной алгебре и аналитической геометрии / под ред. В.Т. Воднева. – Минск: Выш. шк., 1990. – 288 с.

5 Сборник индивидуальных заданий по высшей математике: в 3 ч. Ч. 1 / под ред. А.П. Рябушко. – Минск: Выш. шк., 1990–1991.

Учебное издание

ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА

Методические указания

к решению задач по теме

«Аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве»

для студентов всех форм обучения и специальностей

Составители:

Шендрикова Ольга Александровна

Юрченко Ирина Викторовна

Редактор А.А. Щербакова

Технический редактор Н.Г.Тверская

Подписано в печать Формат 60×84 1 ∕ 16.

Бумага офсетная. Гарнитура Таймс. Ризография.

Усл.печ.л. Уч.-изд.

Тираж экз. Заказ.

Учреждение образования

Свидетельство о государственной регистрации издателя, изготовителя, распространителя печатных изданий № 1/272 от 04.04.2014 г.

Отпечатано в учреждении образования

«Могилевский государственный университет продовольствия».

Пр-т Шмидта, 3, 212027, Могилев.

Дата публикации 18.02.2013 05:05

Курс геометрии широк, объемен и многогранен: он включает в себя множество различных тем, правил, теорем и полезных знаний. Можно представить, что все в нашем мире состоит из простого, даже наиболее сложное. Точки, прямые, плоскости – все это есть и в вашей жизни. И они поддаются имеющимся в мире законам о соотношении объектов в пространстве. Чтобы доказать это, можно попытаться доказать параллельность прямых и плоскостей.

Что такое прямая? Прямая – это линия, которая соединяет две точки по кратчайшей траектории, не заканчиваясь и длясь с обоих сторон в бесконечность. Плоскость – это поверхность, образующаяся при кинематическом движении образующей прямой линии по направляющей. Другими словами, если две любые прямые имеют точку пересечения в пространстве, они могут лежать и в одной плоскости. Однако как выразить параллельность плоскостей и прямых, если этих данных недостаточно для подобного утверждения?

Главное условие параллельности прямой и плоскости – чтобы они не имели общих точек. В отличие от прямых, которые могут при отсутствии общих точек являться не параллельными, а расходящимися, плоскость двухмерна, что исключает такое понятие, как расходящиеся прямые. Если данное условие параллельности не соблюдено – значит, прямая пересекает данную плоскость в какой-то одной точке либо лежит в ней полностью.

Что же показывает нам условие параллельности прямой и плоскости нагляднее всего? То, что в любой точке пространства расстояние между параллельными прямой и плоскостью будет константой. При существовании хоть малейшего, в миллиардные доли градуса, уклона прямая рано или поздно пересечет плоскость за счет обоюдной бесконечности. Именно поэтому параллельность прямой и плоскости возможна только при соблюдении этого правила, иначе главное ее условие – отсутствие общих точек – соблюдено не будет.

Что можно добавить, рассказывая про параллельность прямых и плоскостей? То, что если одна из параллельных прямых принадлежит плоскости, то вторая или параллельна плоскости, или тоже принадлежит ей. Как это доказать? Параллельность прямой и плоскости , заключающей в себе прямую, параллельную данной, доказывается очень просто. Параллельные прямые не имеют общих точек – стало быть, они не пересекаются. А если прямая не пересекается с плоскостью в одной точке – значит, она или параллельна, или лежит на плоскости. Это еще раз доказывает параллельность прямой и плоскости, не имеющих точек пересечения.

В геометрии есть также теорема, которая утверждает, что если существуют две плоскости и прямая линия, перпендикулярна им обеим, то плоскости параллельны. Схожая теорема утверждает, что если две прямые бывают перпендикулярны одной любой плоскости, они обязательно будут параллельны друг другу. Верна ли и доказуема ли параллельность прямых и плоскостей , выраженная данными теоремами?

Оказывается, это так. Прямая, перпендикулярная плоскости, всегда будет строго перпендикулярна любой прямой, которая пролегает в данной плоскости и также имеет с другой прямой точку пересечения. Если прямая имеет подобные пересечения с несколькими плоскостями и во всех случаях является им перпендикулярной – значит, все данные плоскости параллельны друг другу. Наглядным примером может служить детская пирамидка: ее ось будет искомой перпендикулярной прямой, а кольца пирамидки – плоскостями.

Стало быть, доказать параллельность прямой и плоскости достаточно легко. Эти знания получаются школьниками при изучении азов геометрии и во многом определяют дальнейшее усвоение материала. Если уметь грамотно пользоваться полученными в начале обучения знаниями, можно будет оперировать куда большим количеством формул и пропускать ненужные логические связки между ними. Главное – это понимание основ. Если же его нет – то изучение геометрии можно сравнить со строительством многоэтажного дома без фундамента. Именно поэтому данная тема требует пристального внимания и досконального исследования.