Теорема гаусса.

– постоянная. Найти:

Тема: Электростатика
(мин 5 задач)
1. Вычислить отношение электростатической и гравитационной сил взаимодействия
между двумя электронами, между двумя протонами. При каком значении удельного
заряда q/m частицы эти силы оказались бы равными по модулю в случае взаимодействия
одинаковых частиц?
2. Два небольших одинаково заряженных шарика, каждый массы m, подвешены к одной
точке на шелковых нитях длины l. Расстояние между шариками x << l. Найти скорость
утечки зарядов dq/dt с каждого шарика, если скорость их сближения меняется по закону v
= a/√𝑥, где a — постоянная.
3. Два положительных заряда q1 и q2 находятся в точках с радиус-векторами r1 и r2. Найти
отрицательный заряд q3 и радиус-вектор r3 точки, в которую его надо поместить, чтобы
сила, действующая на каждый из этих трех зарядов, была равна нулю.
4. Тонкое проволочное кольцо радиуса r имеет электрический заряд q. Каково будет
приращение силы, растягивающей проволоку, если в центр кольца поместить точечный
заряд q0?
5. Положительный точечный заряд 50 мкКл находится на плоскости xy в точке с радиусвектором r0 = 2i + 3j, где i и j — орты осей x и y. Найти модуль и направление вектора
напряженности электрического поля E в точке с радиус-вектором
r = 8i - 5j. Здесь r0 и r в метрах.
6. В вершинах квадрата с диагональю 2l находятся точечные заряды q и -q, как показано
на рис. 3.1. Найти модуль вектора напряженности электрического поля в точке, отстоящей
на расстояние x от центра квадрата и расположенной симметрично относительно вершин
квадрата.

Тема: Напряженность поля распределённого заряда
(мин 5 задач)
7. Кольцо радиуса r из тонкой проволоки имеет заряд q. Найти модуль напряженности
электрического поля на оси кольца как функцию расстояния l до его центра. Исследовать
полученную зависимость при l >> r. Определить максимальное значение напряженности и
соответствующее расстояние l. Изобразить примерный график функции E (l).
8. Точечный заряд q находится в центре тонкого кольца радиуса R, по которому
равномерно распределен заряд -q. Найти модуль вектора напряженности электрического
поля на оси кольца в точке, отстоящей от центра кольца на расстояние x, если x >> R.

9. Система состоит из тонкого заряженного проволочного кольца радиуса R и очень
длинной равномерно заряженной нити, расположенной по оси кольца так, что один из ее
концов совпадает с центром кольца. Последнее имеет заряд q. На единицу длины нити
приходится заряд λ. Найти силу взаимодействия кольца и нити.
10. Равномерно заряженная нить, на единицу длины которой приходится заряд λ, имеет
конфигурации, показанные на рисунке (а) и (б). Считая, что радиус закругления R
значительно меньше длины нити, найти модуль вектора напряженности электрического
поля в точке О.

Б)
11. Сфера радиуса r заряжена с поверхностной плотностью σ = ar, где a — постоянный
вектор, r — радиус-вектор точки сферы относительно ее центра. Найти вектор
напряженности электрического поля в центре сферы.
12. Найти вектор напряженности электрического поля в центре шара радиуса R, объемная
плотность заряда которого ρ = ar, где a — постоянный вектор,
r — радиус-вектор, проведенный из центра шара.
13. Две длинные параллельные друг другу нити равномерно заряжены так, что на единицу
длины каждой из них приходится заряд λ. Расстояние между нитями равно l. Найти
максимальное значение напряженности электрического поля в плоскости симметрии этой
системы, расположенной между нитями.
14. Напряженность электрического поля зависит только от координат x и y по закону Е = a

Тема: Поле распределенного заряда. Теорема Гаусса. Диполь
(мин 8 задач)
15. Равномерно заряженная очень длинная нить, расположенная по оси круга радиуса R,
упирается одним своим концом в его центр. Заряд нити на единицу длины равен λ. Найти
поток вектора E через площадь круга.
16. Шар радиуса R равномерно заряжен с объемной плотностью ρ. Найти поток вектора
напряженности электрического поля через сечение шара, которое образовано плоскостью,
отстоящей от центра шара на расстояние r0 << R.
17. Напряженность электрического поля зависит только от координат x и y по закону Е = a
(xi + уj)/(х2 + у2), где а — постоянная, i и j — орты осей x и y. Найти поток вектора Е через
сферу радиуса R с центром в начале координат.
18. Бесконечно длинная цилиндрическая поверхность круглого сечения заряжена
а)

Равномерно по длине с поверхностной плотностью
, где φ - полярный угол
цилиндрической системы координат, ось z которой совпадает с осью данной поверхности.
Найти модуль и направление напряженности электрического поля на оси z.

19. Система состоит из шара радиуса R, заряженного сферически симметрично, и
окружающей среды, заполненной зарядом с объемной плотностью ρ = α/r, где α —
постоянная, r — расстояние от центра шара. Найти заряд шара, при котором модуль
вектора напряженности электрического поля вне шара не будет зависеть от r. Чему равна
эта напряженность? Диэлектрическая проницаемость шара и окружающей среды
предполагается равной единице.
20. Внутри шара, заряженного равномерно с объемной плотностью ρ, имеется
сферическая полость. Центр полости смещен относительно центра шара на величину a.
Найти напряженность E поля внутри полости, полагая диэлектрическую проницаемость
равной единице.
21. Внутри бесконечно длинного круглого цилиндра, заряженного равномерно с объемной
плотностью ρ, имеется круглая цилиндрическая полость. Расстояние между осями
цилиндра и полости равно а. Найти напряженность Е электрического поля в полости.
Диэлектрическую проницаемость считать равной единице.
22. Найти напряженность электрического поля в области пересечения двух шаров,
равномерно заполненных разноименными по знаку зарядами с объемной плотностью ρ и ρ, если расстояние между центрами шаров характеризуется вектором a.

23. Показать, что потенциал поля диполя с электрическим моментом p может быть

24. Точечный диполь с электрическим моментом p, ориентированный в положительном

25. Точечный электрический диполь с моментом p находится во внешнем однородном

Найти ее радиус.
26. Две параллельные тонкие нити равномерно заряжены с линейной плотностью λ и -λ.

электрического поля на расстоянии r >>

27. Два коаксиальных кольца, каждое радиуса R, из тонкой проволоки находятся на малом
расстоянии l друг от друга (l << R) и имеют заряды q и -q. Найти потенциал и
напряженность электрического поля на оси системы как функции координаты x (рис. 3.6).
Изобразить на одном рисунке примерные графики полученных зависимостей.
Исследовать эти функции при |x| >> R.

28. Система состоит из заряда q>0, равномерно распределенного по полуокружности
радиуса ау в центре которой находится точечный заряд -q Найти:
а) электрический дипольный момент этой системы;
б) модуль напряженности электрического поля на оси х системы на расстоянии г>> а от
нее.

29. Диполь с электрическим моментом p находится на расстоянии r от длинной нити,
заряженной равномерно с линейной плотностью λ. Найти силу F, действующую на
диполь, если вектор p ориентирован:
а) вдоль нити;
б) по радиус-вектору r;
в) перпендикулярно к нити и радиус-вектору r.

30. Найти силу взаимодействия двух молекул воды, отстоящих друг от друга на
расстояние l = 10 нм, если их электрические моменты ориентированы вдоль одной и той
же прямой. Момент каждой молекулы p = 0,62*10-29 Кл*м.
Тема: Диполь. Потенциал. Связь E и φ
(мин 7 задач)
31. Показать, что потенциал поля диполя с электрическим моментом p может быть
представлен как φ = pr/4πε0r3, где r — радиус-вектор. Найти с помощью этого выражения
модуль вектора напряженности электрического поля диполя как функцию r и ϑ.

32. Точечный диполь с электрическим моментом p, ориентированный в положительном
направлении оси z, находится в начале координат. Найти проекции вектора
напряженности электрического поля Ez и Е⊥ (на плоскость, перпендикулярную к оси z в
точке S (см. рис. 3.4)). В каких точках E ⊥ p?

33. Точечный электрический диполь с моментом p находится во внешнем однородном
электрическом поле, напряженность которого равна E0, причем p E0. В этом случае
одна из эквипотенциальных поверхностей, охватывающих диполь, является сферой.
Найти ее радиус.
34. Две параллельные тонкие нити равномерно заряжены с линейной плотностью λ и -λ.
Расстояние между нитями равно l. Найти потенциал и модуль вектора напряженности
электрического поля на расстоянии r >> l под углом ϑ к вектору l (рис. 3.5).

+
35. Найти вектор напряженности электрического поля, потенциал которого имеет вид φ =
ar, где a — постоянный вектор, r — радиус-вектор точки поля.

36. Определить вектор напряженности электрического поля, потенциал которого зависит
от координат x, y по закону:
а) φ = a (x2 - y2);
б) φ = axy, где a — постоянная. Изобразить примерный вид этих полей с помощью
силовых линий (в плоскости x, y).
37. Потенциал некоторого электростатического поля имеет вид
φ = a(x2 + y2) + bz2, где а и b — постоянные. Найти модуль и направление вектора
напряженности поля. Какую форму имеют эквипотенциальные поверхности в случаях:
а) a > 0, b > 0; б) a > 0, b < 0?
38. Потенциал электрического поля имеет вид φ = α(ху - 𝑧 2), где α - постоянная. Найти
проекцию напряженности электрического поля в точке М {2,2,-3} на направление вектора
а = i + 3k .
39. Найти потенциал φ (х, у) электростатического полей:
а) Е = a (yi + xj);
б) Е = 2ахуi + а (x2 — y2)j;
в) Е = ayi + (ах + bz)j + byk, где a и b — постоянные, i, j, k — орты осей х, у, z.
40. Между двумя большими параллельными пластинами, отстоящими друг от друга на
расстояние d, находится равномерно распределенный объемный заряд. Разность
потенциалов пластин равна Δφ. При каком значении объемной плотности ρ заряда
напряженность поля вблизи одной из пластин будет равна нулю? Какова будет при этом
напряженность поля у другой пластины?
41. Потенциал поля внутри заряженного шара зависит только от расстояния до его центра
по закону φ = ar2 + b, где a и b — постоянные. Найти распределение объемного заряда ρ (r)
внутри шара.
42. Потенциал поля в некоторой области пространства зависит только от координаты x
как φ = -ax3+ b, где a и b — некоторые постоянные. Найти распределение объемного
заряда ρ (x).
Тема: Проводники в электрическом поле
(мин 10 задач)
43. Точечный заряд q находится на расстоянии l от проводящей безграничной плоскости.

44. Небольшой шарик висит над горизонтальной проводящей плоскостью на
изолирующей упругой нити жесткости k. После того как шарик зарядили, он опустился
на х см, и его расстояние до проводящей плоскости стало равным L. Найти заряд шарика.
45. Тонкая бесконечно длинная нить имеет заряд λ на единицу длины и расположена

равно l. Найти:

46. Очень длинная прямая нить ориентирована перпендикулярно к безграничной

А) в точке О;

47. Точечный заряд q находится на расстоянии l от безграничной проводящей плоскости.
Какую работу необходимо совершить, чтобы медленно удалить этот заряд на очень
большое расстояние от плоскости?
48. Тонкое проволочное кольцо радиуса R имеет заряд q. Кольцо расположено
параллельно безграничной проводящей плоскости на расстоянии l от последней. Найти:
а) поверхностную плотность заряда в точке плоскости, расположенной симметрично
относительно кольца;
б) напряженность и потенциал электрического поля в центре кольца.
49. Два точечных заряда, q и -q, расположены на расстоянии l друг от друга и на
одинаковом расстоянии l/2 от безграничной проводящей плоскости. Найти: модуль
вектора электрической силы, действующей на каждый заряд.
50. Найти потенциал φ незаряженной проводящей сферы, вне которой на расстоянии l от
ее центра находится точечный заряд q.
51. Три разноименных точечных заряда расположены в вершинах
квадрата с диагональю L = 50 см, как показано на рисунке, где точка О
- центр квадрата, AOB - прямой угол, образованный двумя
проводящими полуплоскостями. Найти силу, действующую на заряд q, если q = 11 мкКл.
52. Точечный заряд q находится на расстоянии r от центра О незаряженного сферического
слоя проводника, внутренний и наружный радиусы которого равны соответственно R1 и
R2. Найти потенциал φ0 в точке О, если r < R1.
53. Точечный заряд q находится между двумя проводящими взаимно перпендикулярными
полуплоскостями. Расстояние заряда до каждой полуплоскости равно l=5 см. Найти
модуль силы, действующей на заряд.
54. Система состоит из двух концентрических проводящих сфер, причём на внутренней
сфере радиуса a находится положительный заряд q1. Какой заряд q2 следует поместить на
внешнюю сферу радиуса b, чтобы потенциал внутренней сферы оказался равным нулю?
Как будет зависеть при этом потенциал φ от расстояния r до центра системы? Изобразить
примерный график этой зависимости.
55. Точечный диполь с электрическим моментом p находится на расстоянии l от
бесконечной проводящей плоскости. Найти силу, действующей на диполь, если вектор p
перпендикулярен плоскости.
56. Четыре большие металлические пластины расположены на малом расстоянии d друг от
друга, как показано на рисунке. Крайние пластины соединены проводником, а на
внутренние пластины подана разность потенциалов Δφ. Найти:
а) значения напряженности электрического поля между соседними пластинами;
б) суммарный заряд, приходящийся на единицу площади каждой пластины.

57. Точечный заряд q находится на расстоянии l от проводящей безграничной плоскости.
Определить поверхностную плотность зарядов, индуцированных на плоскости, как
функцию расстояния r от основания перпендикуляра, опущенного из заряда на плоскость.

58. Две безграничные проводящие пластины 1 и 2 расположены на расстоянии l друг от
друга. Между пластинами на расстоянии х от пластины 1 находится точечный заряд q.
Найти заряды, наведенные на каждой из пластин.
59. Тонкая бесконечно длинная нить имеет заряд λ на единицу длины и расположена
параллельно безграничной проводящей плоскости. Расстояние между нитью и плоскостью
равно l. Найти:
а) модуль вектора силы, действующей на единицу длины нити;
б) распределение поверхностной плотности заряда σ (x) на плоскости, где x — расстояние
от плоскости, перпендикулярной к проводящей поверхности и проходящей через нить.
60. Найти электрическую силу, которую испытывает заряд, приходящийся на единицу
поверхности произвольного проводника, если поверхностная плотность заряда равна σ.
61. Очень длинная прямая нить ориентирована перпендикулярно к безграничной
проводящей плоскости и не доходит до этой плоскости на расстояние l. Нить заряжена
равномерно с линейной плотностью λ. Пусть точка О — след нити на плоскости. Найти
поверхностную плотность индуцированного заряда на плоскости:
а) в точке О;
б) в зависимости от расстояния r до точки О.
62. Металлический шарик радиуса R = 1,5 см имеет заряд q = 10 мкКл. Найти модуль
вектора результирующей силы, которая действует на заряд, расположенный на одной
половине шарика.
63. Тонкое проволочное кольцо радиуса R имеет заряд q. Кольцо расположено
параллельно безграничной проводящей плоскости на расстоянии l от последней. Найти
поверхностную плотность заряда в точке плоскости, расположенной симметрично
относительно кольца.
64. Незаряженный проводящий шар радиуса R поместили во внешнее однородное
электрическое поле, в результате чего на поверхности шара появился индуцированный
заряд с поверхностной плотностью σ = σ0 cos θ, где σ0 — постоянная, θ — полярный угол.
Найти модуль вектора результирующей электрической силы, которая действует на
индуцированный заряд одного знака.
65. Найти потенциал φ незаряженной проводящей сферы, вне которой на расстоянии l=30
см от ее центра находится точечный заряд q=0.50мкКл.
66. В воде электрическое поле напряжённостью E = 1 кв/см2 создаёт поляризацию,
эквивалентную правильной ориентации только одной из N молекул. Найти число
молекул N, если электрический момент молекулы воды po = 0,62 × 10−29 Кл. м.
67. Неполярная молекула с поляризуемостью β находится на большом расстоянии l от
полярной молекулы с электрическим моментом p. Найти модуль вектора силы
взаимодействия этих молекул, если вектор p ориентирован вдоль прямой, проходящей
через обе молекулы.
68. Точечный заряд q=3.4нКл находится на расстоянии r=2,5 см от центра О
незаряженного сферического слоя проводника, внутренний и наружный радиусы которого
равны соответственно R1 =5 см и R2=8 см. Найти потенциал в точке О.

§1.4. Задачи для самостоятельного решения
1.4.1. Два положительных заряда q
1
и q
2
находятся в точках с радиус-векторами r
1
и r
2
. Найти величину отрицательного заряда и радиус-вектор r
3
точки, в которую его необходимо поместить, чтобы сила, действующая на каждый из этих трех зарядов, была равна нулю. Ответ 2
1 2
1 3
q
q
q
q
q
+
−
=
,
2 1
1 2
2 1
3
q
q
q
q
+
+
=
r
r
r
1.4.2. Три одинаковых одноименных заряда q расположены в вершинах равностороннего треугольника. Какой заряд Q противоположного знака нужно поместить в центр этого треугольника, чтобы результирующая сила, действующая на каждый заряд, была равна нулю Ответ
3
q
Q =
1.4.3. Тонкая непроводящая палочка длиной L = 0,08 м равномерно заряжена так, что её полный заряд равен q = 3,5·10
–7
Кл. Какой точечный заряд Q нужно поместить на расстоянии d = 0,06 мот середины палочки на её продолжении, чтобы на него действовала сила F = 0,12 H? Ответ 4
2 2
0
L
d
q
F
Q
≈ 7,6⋅10
–8
Кл. Тонкое полукольцо радиуса = 20смзаряжено равномерно зарядом q = 0,7 нКл. Найти модуль вектора напряженности электрического поля в центре кривизны этого полукольца. Ответ 0
2 2
R
q
E
ε
π
=
= 100 В/м.

47
1.4.5. Точечный заряд q находится в центре тонкого кольца радиуса, по которому равномерно распределен заряд (–q ). Найти модуль вектора напряженности электрического поляна оси кольца в точке, отстоящей от центра кольца на расстоянии x >> R . Ответ 0
2 8
3
x
qR
E
πε
=
1.4.6. Система состоит из тонкого заряженного проводящего кольца радиуса R и очень длинной нити, равномерно заряженной с линейной плотностью τ, расположенной на оси кольца так, что один из её концов совпадает с центром кольца. Кольцо имеет заряд
q
. Найти силу взаимодействия кольца и нити. Ответ 0
R
q
F
πε
τ
=
1.4.7. Из равномерно заряженной плоскости вырезали круг радиуса и сдвинули его перпендикулярно плоскости на расстояние
L
. Найти напряженность электрического поля в точке, находящейся на оси выреза посередине между кругом и плоскостью. Поверхностная плотность заряда на круге и плоскости одинаковая и равна σ. Ответ 4
2 2
2 2
2 0






−
+
ε
σ
=






R
L
L
L
E
1.4.8. Два длинных тонких провода расположенных параллельно на расстоянии d друг от друга, равномерно заряжены с линейной плотностью +τ и (–τ) соответственно. Определить напряженность электрического поля в точке, лежащей в плоскости симметрии на расстоянии h от плоскости, в которой лежат провода. Ответ 2
2 0
d
h
d
E
+
πε
τ
=
1.4.9. Шар радиуса R сферически симметрично заряжен по объему зарядом Q так, что ρ(r ) r
2
. Определить напряженность электрического поля в точках Аи В, если r
A
= 0,5R , a r
B
= 2R . Ответ 4
1 2
0
R
Q
E
A
πε
=
2 0
4 4
1
R
Q
E
B
πε
=
1.4.10. Имеются два сферических распределения зарядов с объ-
ёмными плотностями заряда +ρ и –ρ с центрами в точках О и О,

Сдвинутых относительно друг друга на вектора, такой, что
a
О
1
О
2
│R), где R – радиус сфер. Найти напряженность электрического поля в пространстве перекрытия зарядов. Ответ 3ε
ρ
=
1.4.11. Поверхностная плотность заряда на сфере радиуса R зависит от полярного угла ϑ как σ = σ
0 cos
ϑ, где σ
0
– положительная постоянная. Показать, что такое распределение заряда можно представить как результат малого сдвига друг относительно друга двух равномерно заряженных шаров радиуса R , заряды которых равны по модулю и противоположны по знаку. Воспользовавшись этим представлением, найти вектор напряженности электрического поля внутри данной сферы. Ответ 0
3ε
σ
−
=
, где k – орт оси Z , от которой отсчитывается угол ϑ. Поле внутри данной сферы однородно.
1.4.12. Найти вектор напряженности электрического поля в центре шара радиуса R , объёмная плотность заряда которого ρ = ar, где а – постоянный вектора –радиус-вектор, проведенный из центра шара. Ответ 2
6ε
−
=
R
1.4.13. Шар радиуса R имеет положительный заряд, объёмная плотность которого зависит от расстояния r до его центра по закону
ρ





 −
ρ
=
R
r
1 0
, где ρ
0
– постоянная. Найти а) модуль вектора напряженности электрического поля внутри и вне шара как функцию расстояния r ; б) максимальное значение напряженности электрического поля
E
max и соответствующее ему расстояние Ответа)






−
ε
ρ
=
R
r
r
E
4 3
1 3
0 0
при r R,
2 0
3 0
12 r
R
E
ε
ρ
=
при r > R ;

Гл. Постоянное электрическое поле
49 б)
0 Е при
3 2
R
r
r
m
=
=
1.4.14. Пространство заполнено электрическим зарядом с объ-
ёмной плотностью
3 0
r
e
α
−
ρ
=
ρ
, где ρ
0
и α – положительные константы, а r – расстояние от центра данной системы. Найти модуль напряженности электрического поля как функцию r . Ответ
)
3 1
3 2
0 0
r
e
r
E
α
−
−
α
ε
ρ
=
1.4.15. Поле создано двумя равномерно заряженными концентрическими сферами с радиусами R
1
= 5 см и R
2
= 8 см. Заряды сфер соответственно равны q
1
= 2 нКл и = –1 нКл. Определить напряженность электрического поля в точках, лежащих от центра сфер на расстоянии 1) r
1
= 3 см 2) r
2
= 6 см 3) r
3
=10 см. Ответ
;
0 1
=
E
2 2
1 0
2 4
1
r
q
E
πε
=
= 5 кВ/м;
2 3
2 1
0 3
4 1
r
q
q
E
+
πε
=
= 0,9 кВ/м.
1.4.16. Пространство между двумя концентрическими сферами си) заряжено с объёмной плотностью заряда ρ = Найти напряженность электрического поля во всём пространстве.
Ответ:
Е
= при r R
1
;
r
E






−
ε
α
=
r
R
r
1 2
0 при R
1
r R
2
;
r
E
3 1
2 0
r
R
R при r > R
2
1.4.17. Бесконечно длинная цилиндрическая поверхность круглого сечения заряжена неравномерно с поверхностной плотностью
σ = σ
0 cosφ, где φ – угол цилиндрической системы координат, отсчитываемый от заданного радиуса (оси X ) в плоскости перпендикулярного сечения цилиндра(рис.1.25 ). Найти модуль и направление вектора напряженности электрического поляна оси цилиндра Z .

ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
50
Указание
Способ 1
. Выделить на поверхности цилиндра узкие полосы, параллельные осина которых плотность заряда будет постоянна (см. рис. Для нахождения электрического поля, создаваемого такой полосой на оси цилиндра, воспользоваться результатом базовой задачи 1.3.3 , где была найдена напряженность поля от бесконечного линейного заряда.
Способ 2
. Показать, что заданное распределение заряда можно представить как результат малого сдвига по оси Х относительно друг друга двух равномерно заряженных цилиндров одного радиуса, плотности зарядов которых равны по модулю и противоположны по знаку. Воспользовавшись этим представлением, найти вектор напряженности электрического поля внутри области пересечения цилиндров, воспользовавшись результатами задачи. Ответ 0
2ε
σ
−
=
x
E
.
1.4.18
. Точечный диполь с электрическим моментом р, ориентированный в положительном направлении оси Z , находится вначале координат. Для точки S , отстоящей от диполя на расстояние r , найти проекцию вектора напряженности электрического поля Е и проекцию Е на плоскость, перпендикулярную оси Z . В каких точках Ер Ответ 2
0 1
cos
3 4
r
p
E
z
−
ϑ
πε
=
,
;
cos sin
3 4
3 Ер в точках,лежащих на поверхности конуса с осью вдоль Z и углом полураствора ϑ, для которого cos
1 3
ϑ =
(ϑ
1
= 54,7°), в этих точках
2 4
1 3
0
r
p
E
E
πε
=
=
⊥
+
+
+
+
+
+
+
+
–
–
–
–
–
–
–
–
ϕ Е
x
z Рис. Цилиндрическая поверхность с неравномерно распределенным зарядом (задача 1.4.17 )

Гл. Постоянное электрическое поле
51
1.4.19 . В центре полукольца радиуса находится точечный заряд –q . Полукольцо имеет полный заряд +q , распределенный по закону τ(ϑ) с, где τ – линейная плотность заряда, ϑ – угол между радиусом-вектором рассматриваемой точки и осью симметрии системы Z (рис. 1.26). В дипольном приближении найти напряженность электрического поляна осина расстоянии от системы >> R ). Ответ 0
8 Литература к главе 1
1. Матвеев АН Электричество и магнетизм. М Оникс 21 век, 2005, §§ 1-3, 5-7, 12,13.
2. Сивухин Д.В . Общий курс физики. Электричество. М Физ- матлит, 2006, §§ 1 – 9.
3. Калашников С.Г . Электричество. М Физматлит, 2003.
§§ 8-15.
4. Тамм И.Е. Основы теории электричества. – М Физматлит,
2003, §§ 1- 4, 13.
z
q
–q
x
R
ϑ Рис. Система из точечного заряда и неравномерно заряженного полукольца (задача
1.4.19

ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
52 Глава 2 РАБОТА СИЛ ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОГО ПОЛЯ. ПОТЕНЦИАЛ
§2.1 Теоретический материал Работа сил электростатического поля при перемещении точечного заряда q из точки 1 в точку 2 определяется линейным интегралом) где L
12
– траектория движения заряда, dl – бесконечно малое перемещение вдоль траектории. Если контур замкнутый, то для интеграла используется символ
∫
;
в этом случае предполагается, что выбрано направление обхода контура. Электростатическое поле потенциально при перемещении точечного заряда по любому замкнутому контуру работа равна нулю. При произвольном перемещении заряда из точки 1 в точку 2 работа не зависит от траектории, а определяется только положением начальной и конечной точек 1 и 2. Благодаря этому работу поля можно представить в виде
A
12
= q [φ(r
1
) – φ(r
2
)],
(2.2) где скалярная функция φ(r ) называется электростатическим потенциалом. Эта функция непрерывна во всем пространстве и имеет конечные первые производные. Потенциал является энергетической характеристикой электростатического поля, его можно определить через потенциальную энергию W (r ) пробного заряда q в электростатическом поле
φ(r ) Потенциал в точке r численно равен потенциальной энергии единичного положительного точечного заряда, находящегося в этой точке. Физический смысл имеет только разность потенциалов двух точек, поэтому потенциал, как и потенциальная энергия, оп

53 ределен с точностью до произвольной постоянной, связанной с выбором начала его отсчета. Нормировка потенциала – придание однозначности потенциалу путем приписывания ему определенного значения в какой- либо точке. Обычно используют один из двух наиболее удобных способов нормировки
1) если заряды занимают ограниченную область пространства, то принимают равным нулю значение потенциала в бесконечно удаленной точке
2) если проводящее тело каким-то образом соединено с Землей заземление, то его потенциал равен потенциалу Земли (потенциал Земли можно положить равным нулю. В модельных задачах, где заряды занимают бесконечные области (например, бесконечная заряженная плоскость, нить, цилиндр и т.д.), выбор нулевой точки потенциала произволен и определяется соображениями симметрии и удобством записи результата. Потенциал поля точечного заряда q равен
φ(r ) =
r
q
0 4
1
πε
,
(2.3) где r – расстояние от заряда q до точки наблюдения (потенциал в точке, бесконечно удалённой от заряда принимается равным нулю. Потенциал поля системы точечных зарядов равен алгебраической сумме потенциалов, создаваемых в рассматриваемой точке каждым из зарядов (принцип суперпозиции для потенциалов.
∑
∑
πε
=
ϕ
=
ϕ
i
i
i
i
i
r
q
0 4
1
,
(2.4) где r
i
– расстояние от точки, в которой вычисляется потенциал, до i - ого заряда. Потенциал поля точечного диполя равен
φ(r ) =
3 0
4 1
r
pr
πε
(2.5) начало координат взято в точке нахождения диполя. Потенциал поля непрерывного распределения зарядов если все заряды расположены в конечной области пространства и потенциал нормирован на нуль в бесконечности, то

ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
54
φ =
∫
′
−
′
πε
r
r
r )
4 1
0
dq
,
(2.6) где r ′
′′′ – радиус-вектор заряда dq , r – вектор, проведенный из точки, в которой вычисляется потенциал, до заряда dq (r ′
′′′) в бесконечно малой окрестности точки r ′
′′′. Интегрирование производится по всем объемам, содержащим распределенные с плотностью ρ заряды
(dq (r ′
′′′) = ρ(r ′′′′)dV ), по всем поверхностям, несущим поверхностные заряды σ (dq (r ′
′′′) = σ(r ′′′′)dS ), и по всем линиям, на которых находятся распределенные с линейной плотностью τ заряды (dq (r ′
′′′) = τ(r ′′′′))dl. Циркуляцией произвольного вектора A по замкнутому контуру L называется линейный интеграл
∫
L
dl
A
. (2.7) Ротором вектора A называется вектор, проекция которого на положительное направление нормали n равна пределу отношения циркуляции вектора А по физически бесконечно малому контуру к площади ∆S , ограниченной этим контуром
∫
∆
=
→
∆
L
S
n
d
S
l
A
A
1
lim rot
0
(2.8) Положительное направление нормали n согласуется сна- правлением обхода контура L правилом правого винта. В декартовой системе координат сортами ротор можно представить в виде векторного произведения rot A = [∇ A ]=
z
y
x
A
A
A
z
y
x
∂
∂
∂
∂
∂
∂
k
j
i
,
(2.9) где символический дифференциальный векторный оператор ∇ (набла) определен в §1.1. главы 1. В декартовых координатах он имеет вид Формула Стокса циркуляция вектора A по произвольному контуру L равна потоку ротора вектора A через любую поверхность, опирающуюся на контур L :

Гл. 2. Работа сил электростатического поля. Потенциал
55
∫
L
dl
A
=
∫
S
d S
A
rot
(2.10) Теорема о циркуляции вектора E (интегральная формулировка потенциальности электростатического поля в любом электростатическом поле циркуляция вектора E по любому замкнутому контуру равна нулю
∫
L
dl
E
=0.
(2.11) Дифференциальная формулировка потенциальности электростатического поля в любом электростатическом поле в любой точке) Градиентом скалярной функции φ назывaeтся вектор grad
φ = ∇ϕ =
z
y
x
∂
ϕ
∂
+
∂
ϕ
∂
+
∂
ϕ
∂
k
j
i
(2.13) Этот вектор направлен перпендикулярно к поверхности φ = const в сторону возрастания φ, а его модуль равен производной от функции
φ поэтому направлению. Два полезных математических тождества div rot A ≡ 0 для любой векторной функции A (r );
(2.14) rot grad φ ≡ 0 для любой скалярной функции φ(r ).
(2.15) Эквипотенциальная поверхность – поверхность, на которой потенциал остается постоянным. Линии напряженности поля перпендикулярны к эквипотенциальным поверхностями направлены в сторону убывания потенциала. Связь потенциала с напряженностью поля
E = – grad φ.
(2.16) Обратная операция – нахождение разности потенциалов из заданной напряженности поля
ϕ
2
– ϕ
1
∫
−
=
2
)
1
l
d
E
,
(2.17) где интегрирование идет по любой траектории, соединяющей точки
1 и 2.

ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
56 Дифференциальное уравнение для потенциала (уравнение Пуассона)
∆φ = –
0
ε
ρ
,
(2.18) где ∆ – оператор Лапласа. В декартовой системе координат оператор Лапласа является суммой вторых производных по всем координатам) В сферической системе координат (r , ϑ, ϕ) оператор Лапласа имеет вид






ϑ
∂
∂
θ
+
ϑ
∂
∂
+
ϕ
∂
∂
ϑ
+
∂
∂
+
∂
∂
=
∆
ctg sin
1 1
2 2
2 2
2 2
2 2
2
r
r
r
r
(2.20) В областях, где заряды отсутствуют, уравнение Пуассона переходит в уравнение Лапласа
∆φ = 0. (2.21)

рис. 1.22б).

Аналогично для второго диполя имеем (φ2 =π 2 − ϑ ):

E r 2=			2p 2 sinϑ
	4 πε

E ϕ 2=				p 2 cosϑ
		4 πε

Рис.1.22б. Напряженности полейЕ 1 иЕ 2 , создаваемые диполямиp 1 иp 2 в точкеО (задача1.3.24 )

Так как направления векторов Е 1 иЕ 2 не зависят от выбранной системы координат, то используя принцип суперпозиции в точкеО (r 1 =r 2 =r =R /2) и учитывая, чтор 1 =р 2 =р, имеем:

2p cosϑ

2p sinϑ

(cosϑ − sinϑ )

E r=

4 πε0 R 3

4 πε0

E ϕ=

p cosϑ

p sinϑ

(cosϑ + sinϑ ) ,

4 πε0 R 3

4 πε0

E ϕ

− 6cos

ϑ sinϑ .

Ответ: E =

5 − 6cosϑ sinϑ .

Замечание . При фиксированномR максимальное значение мо-

дуля напряженности E max

соответствует углу ϑ = 3π 4 или

7π 4.

Минимальное значение E min соответствуетϑ =π 4 или 5π 4 . При

Задача 1.3.25. В каких точках на расстоянииR от точечного диполя с моментомр величина напряженности электростатического поля будет иметь максимальное и минимальное значение?

Выберем систему координат так, чтобы диполь находился в на-

чале координат, а вектор р был парал-
лелен оси Y (рис. 1.23 ).
Из формулы (1.4)
		3(pr )r
E (r )=

	4 πε0

определяющей поле

что при постоянном значении R вели-
чина напряженности Е будет опреде-
ляться значением полярного угла ϑ , и
во всех точках круга, полученного в			координат для изучения поля
результате сечения сферы с радиусом R			диполя (задача 1.3.25 )

плоскостью у = const, будет иметь постоянное значение. При этом величинаЕ определяется разностью двух векторов, один из которых направлен по радиусу, а второй параллельнор .

Найдем проекции этой разности на координатные оси:

1 3p

E x = 4 πε 0 R 3 cosϑ sinϑ

E y=

3p cos2 ϑ

ϑ− 1).

4 πε

В результате E = E x 2 + E y 2 =

3cos2 ϑ + 1 .

4 πε0

Разумеется, эту формулу можно было сразу взять из решения задачи 1.3.23 , где она была получена в полярных координатах.

функции f (ϑ ) = 3cos2 ϑ + 1 на

экстремум

показывает,

что Е max =

при ϑ = 0, π;E min =

при ϑ =

4 πεR

Ответ: Еmax

при ϑ = 0, π;

4 πεR

E min=

при ϑ =

4 πεR

Задача 1.3.26. Точечный электрический диполь с моментомp = 10− 12 Кл м равномерно вращается с угловой скоростью ω отно-

сительно оси, перпендикулярной вектору момента диполя и проходящей через его центр. Найти мгновенное значение напряженности электрического поля в точке М , лежащей в плоскости вращения диполя на расстояниих 0 = 2 см от него в моментt =T /6, гдеТ – период вращения. Угол поворота φ отсчитывается от направления от диполя на точкуМ . В начальный момент (t = 0) положить φ = 0.

В задаче 1.3.23 получена общая формула для вычисления модуля напряженности при заданном полярном угле φ. Здесь надо применить эту формулу в точкеr = 2 см в момент времениt =T /6, когда φ = ωT = π/3. Остается только подставить все известные численные

значения и получить численный ответ: E = 9 16 13 10 3 В/м.

Ответ: E = 9 16 13 10 3 В/м.

Замечание . Приведенное решение, использующее формулы электростатики для нахождения переменного электрического поля от вращающегося диполя, асимптотически справедливо только на малых расстоянияхr от диполя, удовлетворяющих условиюr <

Задача 1.3.27. Пластины плоского конденсатора, имеющие вид тонких дисков, заряжены зарядами +q и (–q ) соответственно. Расстояние между пластинамиl много меньше размеров самих пластин. В дипольном приближении найти величину напряженности электрического поля на расстоянииr от конденсатора, много большем его размеров. Распределение заряда на пластинах считать равномерным.

Поскольку полный заряд системы равен нулю, дипольный момент можно считать относительно любой точки, в качестве которой удобно взять центр нижней пластины. Ввиду симметрии системы относительно оси Z (см. рис.1.24) вектор дипольного моментаp будет иметь только z- компоненту p z . Найдем ее.

ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

Учитывая, что при постоянной плотности заряда σ заряд малого участка пластины пропорционален его площадиdq = σ dS , из (1.6) находим

p = pz = ∫ z dq(r ) = ∫ zσ dS= lσ ∫ dS=

lσ S= lq.

0 dq

– – – – – –

Рис.1.24 . Заряженный плоский конденсатор (задача1.3.27 )

Интегрирование проводится толь-

ко по верхней пластине, поскольку на нижней z = 0.

Таким образом, плоский аксиально-симметричный заряженный конденсатор на больших расстояниях от него эквивалентен диполю с моментомp =ql . Напряженность поля диполя в произвольной точке с полярными координатами (r ,ϕ ) была найдена в задаче1.3.23 , откуда получаем


E (r ,ϕ ) =		3cos2 ϕ + 1=		3cos2 ϕ + 1 ,
	4 πε0 r 3		4 πε0 r 3

где угол ϕ отсчитывается от осиZ . На больших расстояниях от конденсатора создаваемое им электрическое поле близко к полю то-

чечного диполя и убывает по закону E (r )1 .r 3


Ответ: E(r, ϕ ) =		3cos2 ϕ + 1 .
Ответ: E(r, ϕ ) =	4 πε0 r 3	3cos2 ϕ + 1 .
	4 πε0 r 3

Задачи типа 1.6

Решение обратной задачи электростатики: по заданному значению напряженности электрического поля определить распреде-

ление зарядов, породившее это поле

Если напряженность поля E (r ) известна во всем пространстве, то распределение заряда, создающего это поле, находится по формуле (1.11). Вычисление дивергенции выполняется по формуле (1.8). Для систем, обладающих сферической симметрией, используется выражение дивергенции в сферических координатах, в котором остается лишь одно слагаемое

где A r – проекция вектораA на радиальное направление. В более сложных случаях следует взять из справочника по математике полное выражение дивергенции в сферических или цилиндрических координатах.

Задача 1.3.28. Заряженный шар радиусаR создает в простран-

внутри шара

< R )

3ε 0

ρ R3

снаружи (при r >R ). По какому закону распределен

12ε

заряд внутри шара?

Поле обладает сферической симметрией, поэтому используем

Выполняя

дифференцирование,

divE =

1−

внутри шара и div E = 0 во внешней области. Зна-

чит, объемная плотность заряда внутри шара равна ρ = ρ 0

снаружи ρ = 0.

Ответ: ρ внутри = ρ0 1

ρвне = 0.

Задача 1.3.29. С какой объемной плотностью ρ следует распределить электрический заряд в шаре, чтобы поле внутри него было везде направлено вдоль радиуса и имело одинаковую величину Е ?

Система сферически симметрична, поэтому используем формулу (1.15). Напряженность в произвольной точке внутри шара запишем в векторном виде: Е =Е е , гдее – единичный вектор, направленный вдоль радиуса. Из (1.15) находим:

divE =

Отсюда получаем ответ: ρ = 2ε 0 E r . Из физических соображе-

ний ясно, что создать такое поле невозможно (в центре шара объемная плотность заряда должна быть бесконечно большой). Отме-

ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

тим, что при этом полный заряд внутри любой малой сферы радиуса r , выделенной вокруг центра шара, будет конечным и равнымq (r ) = 4πε 0 Er 2 , т.е. будет стремиться к нулю с уменьшением радиуса выбранной сферы.

Ответ: ρ = 2 ε 0 E . r

§1.4. Задачи для самостоятельного решения

1.4.1. Два положительных зарядаq 1 иq 2 находятся в точках с радиус-векторами r 1 иr 2 . Найти величину отрицательного зарядаq 3 и радиус-вектор r 3 точки, в которую его необходимо поместить, чтобы сила, действующая на каждый из этих трех зарядов, была равна нулю.

Ответ: q3 = −

q1 q2

R 3 =

r 1q 2

1.4.2. Три одинаковых одноименных зарядаq расположены в вершинах равностороннего треугольника. Какой зарядQ противоположного знака нужно поместить в центр этого треугольника, чтобы результирующая сила, действующая на каждый заряд, была равна нулю?

Ответ: Q= 3 .

1.4.3. Тонкая непроводящая палочка длинойL = 0,08 м равномерно заряжена так, что её полный заряд равенq = 3,5·10–7 Кл. Какой точечный зарядQ нужно поместить на расстоянииd = 0,06 м от середины палочки на её продолжении, чтобы на него действовала силаF = 0,12 H?

	4 πε	≈ 7,6 10–8 Кл.
Ответ: Q = F
Ответ: Q = F

1.4.4. Тонкое полукольцо радиусаR = 20 см заряжено равномерно зарядомq = 0,7 нКл. Найти модуль вектора напряженности электрического поля в центре кривизны этого полукольца.

Ответ: E = 2 π 2 ε 0 R 2 = 100 В/м.

1.4.5. Точечный зарядq находится в центре тонкого кольца радиусаR , по которому равномерно распределен заряд (–q ). Найти модуль вектора напряженности электрического поля на оси кольца в точке, отстоящей от центра кольца на расстоянииx >>R .

3 qR2

Ответ: E = 8 πε 0 x 4 .

1.4.6. Система состоит из тонкого заряженного проводящего кольца радиусаR и очень длинной нити, равномерно заряженной с линейной плотностью τ, расположенной на оси кольца так, что один из её концов совпадает с центром кольца. Кольцо имеет зарядq . Найти силу взаимодействия кольца и нити.

Ответ: F = 4 πε 0 R .

1.4.7. Из равномерно заряженной плоскости вырезали круг радиусаR и сдвинули его перпендикулярно плоскости на расстояниеL . Найти напряженность электрического поля в точке, находящейся на оси выреза посередине между кругом и плоскостью. Поверхностная плотность заряда на круге и плоскости одинаковая и равна σ.



Ответ: E		− 1 .



	2 ε 0 L 2+ 4 R 2

1.4.8. Два длинных тонких провода расположенных параллельно на расстоянииd друг от друга, равномерно заряжены с линейной плотностью +τ и (–τ) соответственно. Определить напряженность электрического поля в точке, лежащей в плоскости симметрии на расстоянииh от плоскости, в которой лежат провода.

2τ d

Ответ: E = πε 0 (4 h 2 + d 2 ) .

1.4.9. Шар радиусаR сферически симметрично заряжен по объему зарядомQ так, что ρ(r ) ~r 2 . Определить напряженность электрического поля в точкахА иВ , еслиr A = 0,5R , ar B = 2R .

Ответ: EA =		; E B =

	4πε 0 8R 2		4πε 0 4R 2

1.4.10. Имеются два сферических распределения зарядов с объёмными плотностями заряда +ρ и –ρ с центрами в точкахО 1 иО 2 ,

48 ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

сдвинутых относительно друг друга на вектор а , такой, чтоa < │О 1 О 2 │

Ответ: E = 3 ε 0 a .

1.4.11. Поверхностная плотность заряда на сфере радиусаR зависит от полярного углаϑ как σ = σ0 cosϑ , где σ0 – положительная постоянная. Показать, что такое распределение заряда можно представить как результат малого сдвига друг относительно друга двух равномерно заряженных шаров радиусаR , заряды которых равны по модулю и противоположны по знаку. Воспользовавшись этим представлением, найти вектор напряженности электрического поля внутри данной сферы.

Ответ: E = − σ 0 k , гдеk – орт осиZ , от которой отсчитывает- 3ε 0

ся угол ϑ . Поле внутри данной сферы однородно.

1.4.12. Найти вектор напряженности электрического поля в центре шара радиусаR , объёмная плотность заряда которого ρ =ar, гдеа – постоянный вектор, аr – радиус-вектор, проведенный из центра шара.

Ответ: E = − 6 ε 0 a .

1.4.13. Шар радиусаR имеет положительный заряд, объёмная плотность которого зависит от расстоянияr до его центра по закону

а) модуль вектора напряженности электрического поля внутри и вне шара как функцию расстояния r ;

б) максимальное значение напряженности электрического поля E max и соответствующее ему расстояниеr m .

	ρ r						ρ R 3
Ответ: а) E=		1−	б) Е		ρ 0R	при r = r =
				9ε 0

1.4.14. Пространство заполнено электрическим зарядом с объёмной плотностьюρ = ρ 0 e −α r 3 , где ρ0 и α – положительные констан-

ты, а r – расстояние от центра данной системы. Найти модуль напряженности электрического поля как функциюr .

Ответ: E=		(1 − e −α r 3 ).
	3 ε0 αr 2

1.4.15. Поле создано двумя равномерно заряженными концентрическими сферами с радиусамиR 1 = 5 см иR 2 = 8 см. Заряды сфер соответственно равныq 1 = 2 нКл иq 2 = –1 нКл. Определить напряженность электрического поля в точках, лежащих от центра сфер на расстоянии: 1)r 1 = 3 см; 2)r 2 = 6 см; 3)r 3 =10 см.

Ответ: E = 0;

5 кВ/м; E

q 1+ q 2

4 πε

Найти напряженность электрического поля во всём пространстве.

Ответ: Е = 0			при r

			при R 1
	ε 0r 2		при R 1
	ε 0r 2
		R 2− R 1	при r >R 2 .
			при r >R 2 .

1.4.17. Бесконечно длинная цилиндрическая поверхность круглого сечения заряжена неравномерно с поверхностной плотностью σ = σ0 cosφ, где φ – угол цилиндрической системы координат, отсчитываемый от заданного радиуса (осиX ) в плоскости перпендикулярного сечения цилиндра (рис.1.25 ). Найти модуль и направление вектора напряженности электрического поля на оси цилиндраZ .

ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

Указание Способ 1. Выделить на по-

верхности цилиндра узкие полосы, параллельные оси Z , на которых плотность заряда будет постоянна (см.рис.1.25 ). Для нахождения электрического поля, создаваемого такой полосой на оси цилиндра, воспользоваться результатом базовой задачи1.3.3 , где была найдена напряженность поля от бесконечного линейного заряда.


	+ + +

– –

– – – –

Рис.1.25. Цилиндрическая поверхность с неравномерно распределенным зарядом (задача1.4.17 )

Способ 2 . Показать, что заданное распределение заряда можно представить как результат малого сдвига по осиХ относительно друг друга двух равномерно заряженных цилиндров одного радиуса, плотности зарядов которых равны по модулю и противоположны по знаку. Воспользовавшись этим представлением, найти вектор напряженности электрического поля внутри области пересечения цилиндров, воспользовавшись результатами задач1.3.13 и1.3.14 .

Ответ: E = −

	2ε 0

1.4.18 . Точечный диполь с электрическим моментомр, ориентированный в положительном направлении осиZ , находится в начале координат.

Для точки S , отстоящей от диполя на расстояниеr , найти проекцию вектора напряженности электрического поляЕ z и проекциюЕ на плоскость, перпендикулярную осиZ . В каких точкахЕ р ?

	3cos2 ϑ − 1		3sin ϑ cosϑ
4 πε0		4 πε0

Е р в точках, лежащих на поверхности конуса с осью вдольZ

и углом полураствора ϑ , для которого cosϑ = 13 (ϑ 1 = 54,7° ), в

этих точках E = E

4 πε0

(347 кб), который можно скачать и открыть на своем компьютере. Попробуйте решить задачи самостоятельно и только потом сравнивать свои ответы с нашими. Желаем успехов!)

27.1. Определить напряженность электрического поля, создаваемую бесконечной тонкой плоской поверхностью, равномерно заряженной с поверхностной плотностью заряда σ ? [смотрите ответ в общем файле]

27.2. Бесконечно длинная цилиндрическая поверхность радиусом R равномерно заряжена электрическим зарядом с поверхностной плотностью σ . Определить напряженность электрического поля внутри поверхности и снаружи

27.3. Сферическая поверхность радиусом R равномерно заряжена электрическим зарядом Q . Определить напряженность электрического поля внутри сферы и снаружи. [смотрите ответ в общем файле]

27.4. Шар радиусом R ρ . Определить напряженность электрического поля внутри шара и снаружи. [смотрите ответ в общем файле]

27.5. Плоский бесконечный слой толщиной h равномерно заряжен по объему с объемной плотностью заряда ρ (рис.). Определить зависимость напряженности электрического поля в зависимости от расстояния x до среднего сечения слоя. [смотрите ответ в общем файле]

27.6. Две концентрические сферы с радиусами R 1 и R 2 (R 1 < R 2 ) заряжены равномерно зарядами Q 1 и Q 2 . Определить напряженность электрического поля на расстоянии r от центра системы, если: а) r < R , б) R 1 < r < R 2 ; в) r > R 2 . [смотрите ответ в общем файле]

27.7. Две бесконечные плоские равномерно заряженные параллельные пластины дают напряженности электрического поля в точках A и B E A и E B соответственно (рис.). Найти поверхностные плотности зарядов пластин σ 1 и σ 2 . [смотрите ответ в общем файле]

27.8. Две бесконечные плоские параллельные поверхности заряжены равномерно с одинаковой поверхностью заряда σ . Найти разность потенциалов между точками A и B (рис.). Геометрические размеры указаны на рисунке. [смотрите ответ в общем файле]

27.9. Найти плотность электрического заряда в атмосфере, если на поверхности Земли напряженность электрического поля равна E 1 = 100 В/м , а на высоте h = 1,5 км — Е 2 = 25 В/м . Считать, что плотность заряда постоянна, а вектор напряженности направлен вертикально вверх. [≅ −4.43×10 −13 Кл/м 3 ]

27.10. Две концентрические сферы находятся одна в другой. Внутреннюю сферу нагрели и она начала излучать электроны. В секунду вылетает n электронов со скоростью v . Через какое время заряды сфер перестанут изменяться, если радиус внутренней сферы равен r , а радиус внешней на Δr больше. Δr << r . [смотрите ответ в общем файле]

27.11. В бесконечном плоском слое толщины h вырезана сферическая полость диаметром h (рис.). Определить напряженность электрического поля в точках A и B, если слой равномерно заряжен с объемной плотностью заряда ρ . [смотрите ответ в общем файле]

27.12. В равномерно заряженном шаре радиусом R имеется сферическая полость радиусом r , центр которой находится от центра шара на расстоянии a (рис.). Определить напряженность электрического поля внутри полости. Объемная плотность заряда шара равна ρ . [смотрите ответ в общем файле]

27.13. Мыльный пузырь сообщается с атмосферой и имеет электрический заряд q , равномерно распределенный по его поверхности. Определить радиус пузыря, если коэффициент поверхностного натяжения мыльного раствора равен σ . [смотрите ответ в общем файле]

27.14. Найти разность потенциалов между точками A и B, создаваемую двумя бесконечными плоскими взаимно перпендикулярными равномерно заряженными поверхностями (рис.). Поверхностные плотности заряда равны: σ 1 = 2×10 −7 Кл/м 2 , σ 2 = 4,2×10 −7 Кл/м 2 . a = 7 см , b = 5 см . [≅ 1.1 кВ]

27.15. С какой силой расталкиваются равномерно заряженные грани куба? Поверхностная плотность заряда граней σ , длина ребра грани куба l . [смотрите ответ в общем файле]

27.16. На плоский слой, заряженный равномерно по объему положительным зарядом с плотностью ρ , падают положительно заряженные частицы с зарядом q и кинетической энергией W (рис.). Определить толщину слоя, если известно, что максимальный угол падения, при котором частицы могут пролететь слой, равен a . [смотрите ответ в общем файле]

27.17. Две плоские параллельные пластины расположены очень близко друг к другу и заряжены равномерно одинаковым по модулю и противоположным по знаку зарядом. Напряженность электрического поля в точке A, находящейся далеко от края пластин, равна E o (рис.). Какова напряженность поля в точке B, находящейся на срезе пластин, если известно, что силовая линия, проходящая через точку B, составляет с плоскостью пластин угол α . [смотрите ответ в общем файле]

Теорема Гаусса для вектора

может быть успешно использована как эффективный инструмент расчета напряженности и потенциала электрического поля некоторого распределения заряда, когда стоящий слева интеграл может быть превращен в произведение площади поверхности, по которой производится интегрирование, на величину нормальной к поверхности составляющей вектора , то есть когда

Вполне очевидно, что для расчета вектора этого будет достаточно, во-первых, когда вектор перпендикулярен поверхности. Следовательно, поверхность интегрирования должна быть эквипотенциальной поверхностью рассчитываемого поля. Её форму надо знать заранее . Наконец, во-вторых, во всех точках этой - эквипотенциальной - поверхности нормальная к ней составляющая должна иметь одну и ту же величину, в противном случае, её нельзя будет вынести из-под знака интеграла и будет возможно найти лишь среднее на эквипотенциальной поверхности значение . Подчеркнем, что из факта эквипотенциальности поверхности, а именно, из того, что

вовсе не вытекает, что и

в точках этой поверхности. Забегая вперед, укажем, что, например, поверхность заряженного проводника при условии равновесного распределения заряда на нем всегда эквипотенциальна, но, если это не шар, а тело сложной формы, то в окрестности выступов (острий) напряженность поля может быть на порядки больше, чем в окрестности впадин на поверхности. Требование постоянства - отдельное требование.

Из сказанного выше вытекает, что теорема Гаусса в состоянии быстро и просто привести к результату (вектору ) лишь в том случае, когда создающее поле распределение заряда обладает высокой степенью симметрии, соответственно, заранее известна форма эквипотенциальных поверхностей поля и есть уверенность в том, что на этих поверхностях. Если всё это имеет место, то решение выглядит следующим простым образом:

Остается выбрать поверхность согласно симметрии распределения заряда и вычислить заряд внутри .

Сферическая симметрия

При сферически симметричном распределении заряда поле, создаваемое им, также сферически симметрично. Векторные (и скалярные) поля с такой симметрией принято также называть центральными полями . Центрально симметричное поле в общем случае можно записать в виде

Здесь - радиус-вектор, начинающийся в центре симметрии поля r - его модуль, - радиальная составляющая напряженности поля, зависящая только от расстояния до его центра симметрии. Потенциал такого поля зависит только от и

И, кроме того, как следует из, при произвольной нормировке потенциал поля имеет вид

Таким образом, условия применимости выполнены и мы можем воспользоваться этим соотношением.

Возьмем в качестве эквипотенциальную сферическую поверхность некоторого текущего радиуса r , её площадь . Виду предполагаемой непрерывности распределения заряда, для используем выражение:

где - объёмная плотность заряда. Опять-таки, учитывая сферическую симметрию распределения заряда - зависит только от , в качестве элемента объёма естественно взять бесконечно тонкий сферический слой с внутренним радиусом и внешним радиусом . Объём такого слоя , в результате получаем

Окончательно, для любого сферически симметричного распределения заряда, когда , получаем

Продолжение вычислений требует конкретизации вида зависимости плотности заряда от модуля радиус-вектора .

Поле однородно по объёму заряженного шара

Равномерное по объёму шара радиуса распределение заряда (рис. 1.41) означает, что его плотность заряда имеет вид

Рис. 1.41. Силовые линии электрического поля однородно заряженного шара

Не следует забывать, что по условию вне шара зарядов нет.

Поскольку в точке плотность заряда меняется скачком: предел «слева» отличен от нуля , а предел «справа» равен нулю , вычисление придется проводить в два этапа: сначала для сферической поверхности радиуса (она лежит внутри шара), а потом для сферической поверхности радиуса (она охватывает шар). В первом случае

Соответственно, поле

растет линейно с ростом расстояния до центра шара, что объясняется просто: площадь поверхности , а заряд внутри неё

Во втором случае интеграл «обрезается сверху» при :

В последнем выражении учтено, что , где - полный заряд шара. Таким образом, вне шара его поле есть поле точечного заряда равного полному заряду шара и помещенного в центр этого шара:

Оба выражения можно объединить в одну формулу. Если использовать полный заряд шара , получим:

Если вместо полного заряда шара использовать в качестве параметр плотность заряда , эти формулы приобретут следующий вид (рис. 1.42):

Рис. 1.42. Распределение напряженности электрического поля однородно заряженного шара

Формулы и выражают одну и ту же зависимость, их удобство определяется тем, какие параметры заданы: или . Из этих формул наглядно видно, что на поверхности шара напряженность поля непрерывна, то есть не имеет разрыва. Это обусловлено тем, что в данном случае разрыв плотности заряда на поверхности шара первого рода - конечной величины: с на нуль. Поэтому, как в, так и в в верхней и в нижней формулах поставлены знаки нестрогих неравенств. В каких случаях напряженность поля может терпеть разрыв, будет ясно из следующего примера.

Потенциал поля легко найти, подставив, например, из в и выполнив интегрирование. Получаем:

где и - постоянные интегрирования, которые находятся из следующих соображений. Константа определяется из условия нормировки, например, на нуль на бесконечности

Откуда . Константа определяется из условия непрерывности потенциала на поверхности шара, то есть при :

Отметим, что требование непрерывности потенциала нередко называют «сшивкой» двух решений на границе раздела. В данном случае это граница раздела двух областей: областью, где есть заряд (внутри шара), и областью, где его нет (вне шара). Уже сейчас можно отметить, что потенциал непрерывен во всех случаях, кроме одного: так называемого «двойного слоя». Представьте поверхность, по одной стороне которой с плотностью распределен положительный заряд, а по другой стороне которой с плотностью распределен отрицательный заряд. Такая поверхность и называется двойным слоем, на этой поверхности потенциал терпит разрыв. Такую (плоскую) поверхность можно получить, неограниченно сближая две обкладки плоского конденсатора. То же самое можно проделать для конденсатора любой формы, например, сферического или цилиндрического. Во всех остальных случаях потенциал непрерывен.

Подставляя полученные значения констант интегрирования в, запишем окончательный результат в виде

При такой нормировке потенциал в центре шара отличен от нуля и равен

Полученные результаты иллюстрирует приведенный ниже рисунок 1.43.

Рис. 1.43. Напряженность (1) и потенциал (2) электрического поля равномерно заряженного шара радиусом R в единицах напряженности и потенциала на его поверхности (r = R)

Поле равномерно заряженной сферической поверхности

В данном случае равномерного распределения заряда по сферической поверхности, как и в предыдущем, имеет место сферическая симметрия, поэтому общие формулы, полученные выше, применимы и здесь. Однако относиться к ним необходимо с известной осторожностью по следующей причине. Входящая в правую часть объемная плотность заряда ведет себя в данном случае следующим интересным образом:

Рис. 1.44. Напряженность электрического поля равномерно заряженной сферы

Действительно, заряд имеется только на поверхности , то есть при , всюду внутри, то есть при и всюду снаружи, то есть при зарядов нет. То, что объемная плотность заряда в точках поверхности обращается в бесконечность (+∞ в случае положительного заряда и –∞ в случае отрицательного) можно показать следующим образом. На рисунке рядом изображен участок некоторой поверхности, по которой с поверхностной плотностью распределен заряд. Для определения величины объёмной плотности заряда в некоторой точке поверхности рассмотрим цилиндр (рис. 1.45), верхнее основание которого находится над поверхностью, а нижнее - под поверхностью. Площадь оснований цилиндра равна , высота - , объём . Заряд внутри цилиндра , объёмная плотность заряда по определению равна пределу отношения заряда, находящегося внутри некоторого объема, к величине этого объема при стремлении последнего к нулю (со всеми оговорками относительно объёма «физически бесконечно малого»). Получаем

Рис. 1.45. Плотность заряда на поверхности

Важно, что плотность на поверхности равна бесконечности. Функции такого рода (везде, кроме одной точки - нуль, а в этой единственной точке - бесконечность) относятся к классу так называемых обобщенных функций, называются функциями Дирака в честь физика Дирака, впервые введшего в обиход физики такую функцию для удовлетворения нужд квантовой механики. Мы не будем здесь подробно исследовать и использовать в расчетах такого рода функции. Наша цель показать, что рассмотрение формально бесконечно тонких заряженных поверхностей приводит к появлению у объёмной плотности заряда разрывов (бесконечных), что, в свою очередь, порождает бесконечные разрывы на такой заряженной поверхности у напряженности электрического поля. Подчеркнем, что потенциал поля при этом остается непрерывным.

Выход из положения прост. При всех используем первую из формул с , получаем, что всюду внутри однородно заряженной сферической оболочки поле отсутствует: . При всех справедлива вторая формула из. Как и в случае однородно по объёму заряженного шара, вне однородно заряженной сферической оболочки, её поле есть поле точечного заряда, помещенного в центр этой оболочки и равного её полному заряду. В данном случае, разумеется .

Окончательный результат такой:

На самой сферической поверхности напряженность поля в этом случае терпит разрыв. Зависимость радиальной компоненты поля от расстояния до центра сферической поверхности показана на рис. 1.46.

Рис. 1.46. Зависимость поля от расстояния до центра сферической оболочки

Зависимость потенциала от расстояния до центра сферической оболочки можно получить, интегрируя. При нормировке на нуль на бесконечности результат выглядит следующим образом:

Зависимость показана на рис. 1.47.

Рис. 1.47. Потенциал равномерно заряженной сферы

Однородное (равномерное) распределение заряда по бесконечно длинной цилиндрической поверхности (рис. 1.48) обладает цилиндрической, трансляционной и зеркальной симметрией. Это означает следующее. При повороте такого распределения заряда вокруг оси цилиндрической поверхности на любой угол оно совпадает само с собой. При сдвиге (переносе, трансляции) такого распределения заряда на любое расстояние вдоль оси симметрии оно также совпадает само с собой. И, наконец, если через любую точку на оси симметрии провести плоскость перпендикулярную к оси, и отразить в этой плоскости как в зеркале «верхнюю» часть распределения заряда, то отражение «верхней» части совпадет с «нижней» и наоборот, отражение «нижней» совпадет с «верхней». Другими словами, это распределение заряда инвариантно относительно указанных преобразований. Следовательно, и создаваемое этим распределением заряда электрическое поле должно быть инвариантно (совпадать само с собой) при указанных преобразованиях.

Рис. 1.48. Бесконечно длинная цилиндрическая поверхность

Введем цилиндрическую систему координат: ось направим по оси симметрии, - расстояние до оси симметрии, - азимутальный угол, угол поворота вокруг оси симметрии, - по-прежнему потенциал поля.

Из свойств симметрии вытекает, что потенциал поля не может зависеть ни от координаты - нарушится трансляционная симметрия, ни от координаты - нарушится осевая (цилиндрическая) симметрия. Остается только зависимость от - расстояния до оси цилиндра. Таким образом:

Соответственно

вектор напряженности электрического поля направлен по радиальным прямым, перпендикулярным оси симметрии (рис. 1.49), и его величина зависит только от расстояния до оси. Потенциальные поверхности представляют собой цилиндры соосные с заряженной цилиндрической поверхностью.

Рис. 1.49. Вектор напряженности электрического поля направлен по радиальным прямым

Используя эти обстоятельства, будем интегрировать в левой части теоремы Гаусса по замкнутой поверхности цилиндра с радиусом основания и высотой , соосного с рассматриваемой, заряженной цилиндрической поверхностью радиуса . Поток через основания цилиндра равен нулю ввиду того, что на основаниях , а поток через его боковую поверхность равен произведению на её площадь: . Соответственно, суммарный (через всю замкнутую поверхность рассматриваемого цилиндра) поток вектора равен

При , находящийся внутри цилиндра заряд, равен

где - линейная плотность заряда численно равная заряду, приходящемуся на единицу длины цилиндрической поверхности. Согласно теореме Гаусса

откуда для получаем

При внутри цилиндра, через поверхность которого вычисляется поток вектора , зарядов нет, и потому поле равно нулю. Объединяя эти два результата, получаем окончательно (рис. 1.50):

Ввиду поверхностного характера распределения заряда (см. подробнее предыдущий расчёт) на самой заряженной поверхности, то есть при радиальная компонента поля терпит разрыв.

Рис. 1.50. Напряженность электрического поля равномерно заряженной цилиндрической поверхности

Интегрирование (1.51) (см. также (1.49)), требование непрерывности потенциала при , и нормировка , приводят к следующей зависимости потенциала от расстояния до оси цилиндрической поверхности:

В данном случае, когда бесконечно большой по модулю заряд распределен по бесконечно длинному цилиндру, относится к тем случаям, когда нормировка на нуль на бесконечности лишена смысла. Как видно из (1.52), зависимость потенциала от расстояния до оси логарифмическая, нормировка на нуль на бесконечности, на языке формул (1.52), означает, что , но, тогда потенциал будет бесконечно большим по модулю на любом конечном расстоянии от оси заряженной поверхности, что лишено смысла. Выбор того конечного расстояния от оси симметрии, на котором удобно потенциал считать равным нулю трудностей не вызывает и обусловлен спецификой задачи. Например, ничто не мешает положить , тогда потенциал всюду внутри и на самой заряженной поверхности будет равен нулю.

Поле бесконечной равномерно заряженной плоскости

Пусть поверхностная плотность заряда равна . Такое распределение заряда по бесконечной плоскости характеризуется тем, что его вид не зависит от: а) поворота на любой угол вокруг любой оси перпендикулярной плоскости, б) сдвига на любое расстояние вдоль прямой лежащей в плоскости и любого направления. Наконец, в) отражение данного распределения заряда в зеркале, совпадающем с самой плоскостью, оставит его неизменным.

Из анализа симметрии достаточно очевидно, что потенциал в любой точке вне плоскости может зависеть только от расстояния от этой точки до плоскости. Направим ось декартовой системы координат перпендикулярно плоскости, а оси и пусть принадлежат самой плоскости, тогда

Причем, в силу зеркальной симметрии, поле «перед» плоскостью отличается от поля «за» плоскостью только направлением вектора . Это означает, что зависимость от должна быть нечетной, а зависимость потенциала от должна быть четной.

В силу этих соображений возьмём замкнутую поверхность - ту, для которой будем писать теорему Гаусса, - следующего вида (рис 1.51).

Рис. 1.51. Электрическое поле заряженной плоскости

Это цилиндр с боковой поверхностью перпендикулярной плоскости и с основаниями параллельными плоскости. Высота цилиндра , площадь оснований . Учитывая нечетность зависимости , основания цилиндра удобно расположить на одинаковом расстоянии от плоскости, тогда вклад оснований в поток будет одинаков. Напряженность поля на основаниях, во-первых, им перпендикулярна, во-вторых, сонаправлена с внешней нормалью, в-третьих, она одинакова во всех их точках по абсолютной величине

Вклад в поток вектора от боковой поверхности равен нулю, так как на боковой поверхности .

Поэтому полный поток через всю замкнутую цилиндрическую поверхность равен

Внутри рассматриваемой цилиндрической поверхности находится заряд

где - плотность заряда на плоскости. По теореме Гаусса

следовательно, модуль напряженности поля заряженной плоскости равен

Подчеркнём, что результат очевидным образом не зависит от того, на каком расстоянии от плоскости расположены основания рассмотренного цилиндра. Отсюда следует, что с каждой стороны от плоскости создаваемое ею электрическое поле однородно.

Используя введенную ранее ось перпендикулярную заряженной плоскости, поле с обеих сторон от плоскости можно описать одной формулой, пригодной при любом знаке заряда на плоскости

Здесь - орт оси .

Интегрируя с учетом

для зависимости от потенциала поля плоскости нетрудно получить:

Потенциал в нормирован условием . Здесь, как и в примере с бесконечно длинной заряженной цилиндрической поверхностью, потенциал растет при удалении на бесконечность, поэтому нормировка на нуль на бесконечности лишена смысла.

Силовые линии поля заряженной плоскости показаны на рис. 1.52 и 1.53.

Рис. 1.52. Поле положительно заряженной плоскости

Рис. 1.53. Поле отрицательно заряженной плоскости

Поле плоского конденсатора

Определим напряженность поля, создаваемого двумя бесконечными параллельными плоскостями, заряженными однородно и разноименно. Плотности заряда на плоскостях по модулю одинаковы и равны, соответственно: и (идеальный плоский конденсатор). С помощью рис. 1.54 нетрудно сообразить, что в зазоре между плоскостями, создаваемые ими поля направлены в одну сторону, поэтому внутри суммарное поле в два раза больше поля от каждой из плоскостей. Снаружи от плоскостей создаваемые ими поля направлены в противоположные стороны, соответственно, суммарное поле от обеих плоскостей равно нулю (рис. 1.55).

Рис. 1.54. Электрическое поле плоского конденсатора

Рис. 1.55. Электрическое поле разноименно заряженных плоскостей

В Дополнении 6 разобран пример с движением заряженной частицы в постоянном электрическом поле.

Потенциал поля заряженного диска

Как уже не раз отмечалось, зная потенциал поля точечного заряда и используя принцип суперпозиции, в принципе всегда, можно вычислить потенциал поля, создаваемого любым распределением зарядов.

Найдем для примера потенциал электрического поля, создаваемого на оси тонкого диска радиуса R , равномерно заряженного с поверхностной плотностью заряда (рис. 1.57). В силу осевой симметрии в точках на оси две перпендикулярных к оси составляющих напряженности поля равны нулю: , остается найти - составляющую поля, направленную вдоль оси.

Можно разложить в ряд, ограничившись первыми двумя членами разложения

Закон Кулона и размерность пространства

Пространство, в котором мы живем, имеет три измерения. Иными словами, нужны три координаты (например, в декартовой или в сферической системах) для задания положения точки А (рис. 1.58). Оказывается, число 3 тесно связано с формой закона Кулона. Мы видели, что теорема Остроградского - Гаусса следует из закона Кулона. Верно и обратное, закон Кулона можно вывести из теоремы Остроградского - Гаусса. Но эта теорема носит более общий характер, чем закон Кулона. В частности, она применима к пространствам с размерностью , где не обязательно должно быть равно трем.

Так, в двумерном пространстве роль объема играет наша площадь. Действительно, сфера - это геометрическое место точек пространства, равноудаленных от центра. Согласно этому определению, двумерная сфера - это окружность радиусом мерном мире пропорциональна мерном мире.

При получаем отсюда закон обратных квадратов (закон Кулона). При находим На самом деле мы уже знакомы с таким поведением электрического поля. Именно такой закон (10.17) мы вывели для поля бесконечного заряженного цилиндра. Если как следует подумать и вспомнить расположение силовых линий цилиндра, то станет ясно, что ничего не зависит от координаты вдоль оси цилиндра. Таким образом, эта система имитирует электрическое поле в двумерном мире. Теперь легче понять, что заряженная плоскость имитирует точечный заряд в одномерном мире: все зависит только от одной координаты - расстояния до плоскости. Но мы нашли выше, что электрическое поле от этого расстояния не зависит. И из формулы (10.49) при также следует, что напряженность grad ) должно дать выражение для напряженности электрического поля.

Отсюда следуют любопытные выводы. Поскольку в одно- и двумерном мирах потенциалы растут на бесконечности, нужна бесконечно большая работа, чтобы развести два притягивающихся заряда. Это означает, что в мирах малой размерности возможно лишь финитное движение двух притягивающихся тел (зарядов, масс). Напомним, что финитным называется движение в ограниченной области пространства. Поэтому в мирах с нельзя ионизировать атом, нельзя запустить спутник за пределы Солнечной системы и т. п. В таком мире не было бы химических реакций, не могли бы эволюционировать галактики и звезды. Словом, жизнь там была бы застойно скучна.

Можно было бы ожидать более приятного времяпрепровождения в многомерных мирах. Увы, и это оказывается иллюзией. Исследование уравнения движения

приводит к выводу, что при в сущности отсутствует финитное движение: оно реализуется только для круговых орбит, да и то является неустойчивым - малейшее возмущение приводит к падению электрона (планеты) на притягивающий центр или его (ее) убеганию на бесконечно большое расстояние. Выходит, в таком мире атомы, планетные системы и все остальное вообще не могло бы образоваться. Никакой стабильности в мирах высшей размерности - вот альтернатива «застойным» маломерным мирам. Только при возможно как устойчивое финитное, так и инфинитное движения. Получается, что трехмерное пространство - единственно удобная форма существования и движения материи, по крайней мере, известных нам ее видов, которые мы изучаем в физике.

Дополнительная информация

http://hea.iki.rssi.ru/~nik/astro/spher.htm - сферическая система координат;

http://edu.ioffe.ru/register/?doc=physica/lect3.ch2.tex - финитное движение, задача Кеплера.