Деление натуральных дробей. Деление столбиком натурального числа на однозначное натуральное число, алгоритм деления столбиком

УРОК № 29. Тема 1 . Натуральные числа и нуль (46 – 1 = 45 часа)

Подтема 2. Умножение и деление натуральных чисел (22 часа)

Тема . Деление нацело.

Цель . Продолжить формировать навыки деления натуральных чисел нацело. Закрепить свойство частного. Продолжить формировать навыки деления натуральных чисел «уголком»

Ход урока.

Организационный момент.

Проверка домашнего задания.

Актуализация опорных знаний.

1. Когда говорят, что натуральное число а делится нацело на натуральное число b ?

2. Как называются компоненты при делении?

3. Как найти неизвестное делимое? А делитель?

4 . На какие числа делится нацело любое число ?

5. Можно ли делить на нуль? А если разделить нуль на любое число?

Решение упражнений.

Уч.с.42 № 181. Вычислите:

а) ; б) .

Уч.с.43 № 189(1ст.). Выполните деление по образцу:

а) (образец);

б) ;

г) .

Свойство. Чтобы сумму двух чисел разделить на число, можно каждое слагаемое разделить на это число, а частные сложить.

Уч.с.42 № 185(3ст.). Вычислите частное по образцу:

г) 300: 50 = (300: 10) : (50: 10) = 30: 5 = 6;

ж) 2000: 500 = (2000: 100) : (500: 100) = 20: 5 = 4.

4. Вычислите:

1) ; 3)
;

2) 324: 36 = 9; 4) 9 – 9 = 0.

5. Найдите неизвестное число х:

1) 25  х = 75, 2) 130: х = 10, 3) х: 17 = 2,

х = 3. х = 13. х = 34.

Ответ : 3. Ответ : 13. Ответ : 34.

Объяснение нового материала.

Деление «уголком».

В
ы знаете, что деление многозначных чисел удобно выполнять углом. Пример 1. Вычислите:

1) 1 245 675: 25 = = 49 827;

2) 2 118 150: 523 = = 4 050.

Решение упражнений.

1. Выполните деление:

1) 2888: 76 = 38; 3) 5 712: 28 = 204 .

2) 6 539: 13 = 503; 4) 21 352: 68 = 314 .

2. Найдите значение выражения:

60 000 – 408  120 + 1 012  (24  10 – 235) = 16 100;

1) 24  10 = 240; 4) 408  120 = 48 960;

2) 240 – 235 = 5; 5) 60 000 – 48 960 = 11 040;

3) 1012  5 = 5 060; 6) 11 040 + 5 060 = 16 100.

3. Найдите частное:

6) 14 400: 900 = 144: 9 = 16.

4. Вычислите наиболее удобным способом значение выражения:

23  48 - 35  23 + 87  23 = 23(48 - 35 + 87) = 23  100 = 2 300.

Подведение итогов урока.

1. Назовите компоненты действия деления. Как называется результат действия деления? Можно ли найти результат деления, если делимое равно 0? Делитель равен 0?

2. Что будет результатом деления, если делитель равен делимому?

3. Что будет результатом деления, если делитель равен 1?
4. Как разделить натуральные числа, оканчивающиеся нулями?

Домашнее задание. § 1.12 (повторить теорию) 183, 189(2ст), 235(1ст), 236(1ст), 239(1ст) .

Вы знаете, что разделить натуральное число a на натуральное число b − значит найти такое натуральное число c, которое при умножении на b дает число a. Это утверждение остается верным, если хотя бы одно из чисел a, b, c является десятичной дробью.

Рассмотрим несколько примеров, в которых делителем является натуральное число.

1,2 : 4 = 0,3 , так как 0,3 * 4 = 1,2 ;

2,5 : 5 = 0,5 , так как 0,5 * 5 = 2,5 ;

1 : 2 = 0,5 , так как 0,5 * 2 = 1 .

А как быть в тех случаях, когда деление не удается выполнить устно?

Например, как разделить 43,52 на 17 ?

Увеличив делимое 43,52 в 100 раз, получим число 4 352 . Тогда значение выражения 4 352 : 17 в 100 раз больше значения выражения 43,52 : 17 . Выполнив деление уголком, вы легко установите, что 4 352 : 17 = 256 . Здесь делимое увеличено в 100 раз. Значит, 43,52 : 17 = 2,56 . Заметим, что 2,56 * 17 = 43,52 , что подтверждает правильность выполнения деления.

Частное 2,56 можно получит иначе. Будем делить 4352 на 17 уголком, не обращая внимания на запятую. При этом запятую в частном следует поставить непосредственно перед тем, как будет использована первая цифра после запятой в делимом:

Если делимое меньше делителя, то целая часть частного равна нулю. Например:

Рассмотрим еще один пример. Найдем частное 3,1 : 5 . Имеем:

Мы остановили процесс деления, потому что цифры делимого закончились, а в остатке нуль не получили. Вы знаете, что десятичная дробь не изменится, если к ней справа приписать любое количество нулей. Тогда становится понятным, что цифры делимого закончиться не могут. Имеем:

Теперь мы можем находить частное двух натуральных чисел, когда делимое не делится нацело на делитель. Например, найдем частное 31 : 5 . Очевидно, что число 31 не делится нацело на 5 :

Мы остановили процесс деления, потому что цифры делимого закончились. Однао если представить делимое в виде десятичной дроби, то деление можно продолжить.

Имеем: 31 : 5 = 31,0 : 5 . Далее выполним деление уголком:

Следовательно, 31 : 5 = 6,2 .

В предыдущем параграфе мы выяснили, что если запятую перенести вправо на 1, 2, 3 и т.д. цифры, то дробь увеличится соответственно в 10, 100, 1 000 и т. д. раз, а если запятую перенести влево на 1, 2, 3 и т. д. цифры, то дробь уменьшится соответственно в 10, 100, 1 000 и т. д. раз.

Поэтому в тех случаях, когда делитель равен 10, 100, 1 000 и т. д., пользуются следующим правилом.

Чтобы разделить десятичную дробь на 10, 100, 1 000 и т. д., надо в этой дроби перенести запятую влево на 1, 2, 3 и т. д. цифры .

Например: 4,23 : 10 = 0,423 ; 2 : 100 = 0,02 ; 58,63 : 1 000 = 0,05863 .

Итак, мы научились делить десятичную дробь на натуральное число.

Покажем, как деление на десятичную дробь можно свести к делению на натуральное число.

$\frac{2}{5} км = 400 м$

$\frac{20}{50} км = 400 м$

$\frac{200}{500} км = 400 м$

Получаем, что

$\frac{2}{5} = \frac{20}{50} = \frac{200}{500}$

Т.е. 2 : 5 = 20 : 50 = 200 : 500 .

Этот пример иллюстрирует следующее: если делимое и делитель увеличить одновременно в 10, 100, 1 000 и т.д. раз, то частное не изменится .

Найдем частное 43,52 : 1,7 .

Увеличим одновременно делимое и делитель в 10 раз. Имеем:

43,52 : 1,7 = 435,2 : 17 .

Увеличим одновременно делимое и делитель в 10 раз. Имеем: 43,52 : 1,7 = 25,6 .

Чтобы разделить десятичную дробь на десятичную надо:

1 ) перенести в делимом и в делителе запятые вправо на столько цифр, сколько их содержится после запятой в делителе;

2 ) выполнить деление на натуральное число .

Пример 1 . Ваня собрал 140 кг яблок и груш, из них 0,24 составляли груши. Сколько килограммов груш собрал Ваня?

Решение. Имеем:

$0,24=\frac{24}{100}$

1 ) 140 : 100 = 1,4 (кг) − составляет

Яблок и груш.

2 ) 1,4 * 24 = 33,6 (кг) − груш было собрано.

Ответ: 33,6 кг.

Пример 2 . На завтрак Винни−Пух съел 0,7 бочонка меда. Сколько килограммов меда было в бочонке, если Винни−Пух съел 4,2 кг?

Решение. Имеем:

$0,7=\frac{7}{10}$

1 ) 4,2 : 7 = 0,6 (кг) − составляет

Всего меда.

2 ) 0,6 * 10 = 6 (кг) −меда было в бочонке.

Ответ: 6 кг.

Деление столбиком (также можно встретить название деление уголком) — стандартная процедура в арифметике, предназначенная для деления простых или сложных многозначных чисел за счёт разбивания деления на ряд более простых шагов. Как и во всех задачах на деление, одно число, называемое делимым , делится на другое, называемое делителем , производя результат, называемый частным .

Столбиком можно проводить как деление натуральных чисел без остатка, так и деление натуральных чисел с остатком.

Правила записи при делении столбиком.

Начнем с изучения правил записи делимого, делителя, всех промежуточных выкладок и результатов при делении натуральных чисел столбиком. Сразу скажем, что письменно выполнять деление столбиком удобнее всего на бумаге с клетчатой разлиновкой - так меньше шансов сбиться с нужной строки и столбца.

Сначала в одной строке слева направо записываются делимое и делитель, после чего между записанными числами изображается символ вида .

Например , если делимым является число 6105, а делителем 55, то их правильная запись при делении в столбик будет такой:

Посмотрите на следующую схему, иллюстрирующую места для записи делимого, делителя, частного, остатка и промежуточных вычислений при делении столбиком:

Из приведенной схемы видно, что искомое частное (или неполное частное при делении с остатком) будет записано ниже делителя под горизонтальной чертой. А промежуточные вычисления будут вестись ниже делимого, и нужно заранее позаботиться о наличии места на странице. При этом следует руководствоваться правилом: чем больше разница в количестве знаков в записях делимого и делителя, тем больше потребуется места.

Деление столбиком натурального числа на однозначное натуральное число, алгоритм деления столбиком.

Как делить в столбик лучше всего объяснить на примере. Вычислить :

512:8=?

Для начала запишем делимое и делитель в столбик. Выглядеть это будет так:

Их частное (результат) будем записывать под делителем. У нас это цифра 8.

1. Определяем неполное частное. Сначала мы смотрим на первую слева цифру в записи делимого. Если число, определяемое этой цифрой, больше делителя, то в следующем пункте нам предстоит работать с этим числом. Если же это число меньше, чем делитель, то нам нужно добавить к рассмотрению следующую слева цифру в записи делимого, и работать дальше с числом, определяемым двумя рассматриваемыми цифрами. Для удобства выделим в нашей записи число, с которым мы будем работать.

2. Берём 5. Цифра 5 меньше 8, значит нужно взять еще одну цифру из делимого. 51 больше 8. Значит. это неполное частное. Ставим точку в частном (под уголком делителя).

После 51 стоит только одно цифра 2. Значит и добавляем в результат ещё одну точку.

3. Теперь, вспоминая таблицу умножения на 8, находим ближайшее к 51 произведение → 6 х 8 = 48 → записываем цифру 6 в частное:

Записываем 48 под 51 (если умножить 6 из частного на 8 из делителя, получим 48).

Внимание! При записи под неполным частным самая правая цифра неполного частного должна стоять над самой правой цифрой произведения .

4. Между 51 и 48 слева поставим «-» (минус). Вычтем по правилам вычитания в столбик 48 и под чертой запишем результат.

Однако, если результатом вычитания является нуль, то его не нужно записывать (если только вычитание в этом пункте не является самым последним действием, полностью завершающим процесс деления столбиком).

В остатке получилось 3. Сравним остаток с делителем. 3 меньше 8.

Внимание! Если остаток получился больше делителя, значит мы ошиблись в расчете и есть произведение более близкое, чем то, которое взяли мы.

5. Теперь под горизонтальной чертой справа от находящихся там цифр (или справа от места, где мы не стали записывать нуль) записываем цифру, расположенную в том же столбце в записи делимого. Если же в записи делимого в этом столбце нет цифр, то деление столбиком на этом заканчивается.

Число 32 больше 8. И опять по таблице умножения на 8, найдем ближайшее произведение → 8 x 4 = 32:

В остатке получился ноль. Значит, числа разделились нацело (без остатка). Если после последнего вычитания получается ноль, а цифр больше не осталось, то это остаток. Его дописываем к частному в скобках (например, 64(2)).

Деление столбиком многозначных натуральных чисел.

Деление на натуральное многозначное число производится аналогично. При этом, в первое «промежуточное» делимое включается столько старших разрядов, чтобы оно получилось больше делителя.

Например , 1976 разделим на 26.

Число 1 в старшем разряде меньше 26, поэтому рассмотрим число, составленное из цифр двух старших разрядов - 19.
Число 19 также меньше 26, поэтому рассмотрим число, составленное из цифр трех старших разрядов - 197.
Число 197 больше 26, делим 197 десятков на 26: 197: 26 = 7 (15 десятков осталось).
Переводим 15 десятков в единицы, добавляем 6 единиц из разряда единиц, получаем 156.
156 делим на 26, получаем 6.

Значит, 1976: 26 = 76.

Если на каком-то шаге деления «промежуточное» делимое оказалось меньше делителя, то в частном записывается 0, а число из данного разряда переводится в следующий, более младший разряд.

Деление с десятичной дробью в частном.

Десятичные дроби онлайн. Перевод десятичных дробей в обычные и обычных дробей в десятичные.

Если натуральное число не делится нацело на однозначное натуральное число, можно продолжить поразрядное деление и получить в частном десятичную дробь.

Например , 64 разделим на 5.

6 десятков делим на 5, получаем 1 десяток и 1 десяток в остатке.
Оставшийся десяток переводим в единицы, добавляем 4 из разряда единиц, получаем 14.
14 единиц делим на 5, получаем 2 единицы и 4 единицы в остатке.
4 единицы переводим в десятые, получаем 40 десятых.
40 десятых делим на 5, получаем 8 десятых.

Значит, 64: 5 = 12,8

Таким образом, если при делении натурального числа на натуральное однозначное или многозначное число получается остаток, то можно поставить в частном запятую, остаток перевести в единицы следующего, меньшего разряда и продолжать деление.