Свойства деления натуральных чисел. Проверка результата деления натуральных чисел делением

Математика Дата «___»_______ ____ г Класс 3- «Б» (1 четверть) Урок 26 Тема урока: Деление 0 на натуральное число, невозможность деления на 0 Цель: Формировать умения выполнять особые случаи умножения и деления с числом 0. Задачи урока: 1. познакомить учащихся с правилами умно¬жения с числом 0; формировать знания о невозможности деления числа на 0 и учить применять данные правила при вычислениях; учить решать составные задачи. 2. Закреплять мышление, речь, внимание. 3. Воспитывать познавательную активность, умение работать в коллективе, умение оценивать себя и одноклассников Тип урока: урок усвоения новых знаний; Этапы и структура урока. 1. Организационный момент. Эмоциональный настрой. Мотивация. Громко прозвенел звонок, Начинается урок. Наши ушки на макушке, Глазки широко открыты, Слушаем, запоминаем, Ни минуты не теряем! 2. Актуализация знаний Можно предложить математический диктант «Да-нет». Уча¬щиеся ставят знак «+», если согласны с утверждением, и знак «-», если утверждение неправильное. Произведение чисел 7 и 1 равно 7. 21: 1 = 22 Частное чисел 3 и 1 равно 3. Сумма чисел 2 и 3 равна 6. 4 увеличить на 4 равно 8. 1 - 5 получится 5. Если число разделить на 1, то получится то же самое число. Если число умножить на 1, то получится то же число. №6 Выбери три шарика так, чтобы набрать указанную сумму. 100 99 88 77 66 40 45 15 22 18 37 23 48 33 13 40 66 20 43 15 73 54 44 40 16 10 27 24 50 34 13 44 16 78 66 11 20 50 33 44 22 11 34 55 21 1 3. Постановка проблемы - Ребята, сегодня вам предстоит сделать важное открытие. Кто готов провести это исследование? На доске: 4. Открытие нового знания - Сравните выражения. Чем они похожи? Чем отличаются? - Как вы думаете, чему равны значения этих произведений? (ребята высказывают свои предположения) -Как же убедиться, кто из вас прав? Ученик: - Мы же знаем, что умножение можно заменить сложением. Оно-то нам и поможет. Учитель: - Верно! Действуйте! (один ученик идёт и выполняет замену на доске: 0+0+0+0+0+0+0+0 = = 0 8 = 0) - Что заметили? (везде получается 0) - Кто попробует записать эту закономерность в общем виде? (Ученик идёт к доске, ребята записывают самостоятельно. После сверки записей, вспоминают о переместительном законе умножения. В итоге получается запись:) а 0 = 0 0 а = 0 - Молодцы! №1 – сделать вывод №2 – Почему нельзя делить на 0? Проблемная ситуация: Лена, Айнаш, Камила делили 5 на 0 и у них получились такие результаты: 0 5 1 Кто их девочек прав? Или все не правы? Докажите. Проверяем каждый ответ. 5: 0 = 0, Если мы умножим результат деления на делитель, то должны получить 5. Получим? (НЕТ) 5: 0 = 5, Если мы умножим результат деления 5 на делитель 0 , то должны получить 5. Получим? (НЕТ) 5: 0 = 1, Если мы умножим результат деления на делитель 0, то должны получить 5. Получим? (НЕТ) А есть ли такое число, при умножении на 0 дающее 5? (НЕТ такого числа не существует, мы только что открыли правило что при умножении на 0 всегда будет 0) Можно ли разделить на 0? (НЕТ на 0 делить нельзя, это невозможно) Итак, мы делаем вывод, что все девочки не правы. 5. Первичное закрепление № 3 – с комментированием Динамическая пауза 6. Самостоятельная работа. № 4- Самопроверка 7. Повторение Затем учащиеся под руководством учителя анализируют за¬дачу №5 (а), оставляют план решения: 1) узнать, сколько кефира привезли, для этого уменьшить количество молока на 50 литров; 2) узнать, сколько привезли ряженки, для этого уменьшить количество молока на 40 литров: 3) зная, сколько литров молока, кефира и ряженки привезли в киоск, узнать, сколько всего литров. Для этого сложить количество молока с найденным количеством кефира и с вычислен¬ным количеством ряженки; и решают задачу самостоятельно. Задачу №5 (б) учащиеся решают самостоятельно, а затем вы- полняют проверку. №5 а) В молочный киоск привезли 120 л молока, кефира - на 50 л меньше, чем молока, а ряженки - на 40 л меньше, чем мо¬лока. Сколько всего литров молочных продуктов привезли? б) Составь по краткой записи две задачи: в одно и два дей¬ствия. Сметана - 650 тенге. Молоко - ? тг., на 500 тенге дешевле. 1) 120 – 50 = 70 (л) – кефира 2) 120 – 40 = 80 (л) – ряженки 3) 120 + 70 + 80 = 270 (л) 8. Рефлексия – Вам понравился урок? – Чему вы сегодня научились на уроке? – В своих тетрадях нарисуйте личико, которое отобразит ваше настроение. Если хорошее – то личико смеется, если плохое, то оно плачет 9.Д/З стр. 49 № 6

Деление на десятичную дробь сводится к делению на натуральное число.

Правило деления числа на десятичную дробь

Чтобы разделить число на десятичную дробь, надо и в делимом, и в делителе запятую перенести на столько цифр вправо, сколько их в делителе после запятой. После этого выполнить деление на натуральное число.

Примеры.

Выполнить деление на десятичную дробь:

Чтобы разделить на десятичную дробь, нужно и в делимом, и в делителе перенести запятую на столько цифр вправо, сколько их после запятой в делителе, то есть, на один знак. Получаем: 35,1: 1,8 =351: 18. Теперь выполняем деление уголком. В итоге получаем: 35,1: 1,8 = 19,5.

2) 14,76: 3,6

Чтобы выполнить деление десятичных дробей, и в делимом, и в делителе переносим запятую вправо на один знак: 14,76: 3,6 = 147,6: 36. Теперь выполняемна натуральное число. Результат: 14,76: 3,6 = 4,1.

Чтобы выполнить деление на десятичную дробь натурального числа, надо и в делимом, и в делителе перенести на столько знаков вправо, сколько их в делителе после запятой. Поскольку в делителе в этом случае запятая не пишется, недостающее количество знаков заполняем нулями: 70: 1,75 = 7000: 175. Делим уголком полученные натуральные числа: 70: 1,75 = 7000: 175 =40.

4) 0,1218: 0,058

Чтобы разделить одну десятичную дробь на другую, переносим запятую вправо и в делимом, и в делителе на столько знаков, сколько их в делителе после запятой, то есть на три знака. Таким образом, 0,1218: 0,058 = 121,8: 58. Деление на десятичную дробь заменили делением на натуральное число. Делим уголком. Имеем: 0,1218: 0,058 = 121,8: 58 = 2,1.

5) 0,0456: 3,8

В рамках этой статьи мы изучим общие представления, связанные с делением натуральных чисел. Их принято называть свойствами процесса деления. Мы разберем основные из них, поясним их значение и подкрепим свои рассуждения примерами.

Деление двух равных натуральных чисел

Чтобы понять, как разделить одно натуральное число на другое, равное ему, нужно вернуться к пониманию смысла самого процесса деления. От того, какой смысл мы придаем делителю, зависит конечный результат. Разберем два возможных варианта.

Итак, мы имеем a предметов (a – произвольно взятое натуральное число). Распределим предметы по группам поровну, при этом число групп должно быть равно a. Очевидно, что в каждой группе при этом будет всего один предмет.

Переформулируем немного иначе: как распределить a предметов в группы по a предметов в каждой? Сколько групп получится в итоге? Конечно, всего одна.

Подведем итоги и выведем первое свойство деления натуральных чисел одинаковой величины:

Определение 1

Деление натурального числа на равное ему дает в итоге единицу. Иначе говоря, a: a = 1 (a – любое натуральное число).

Разберем для наглядности два примера:

Пример 1

Если 450 разделить на 450 , будет 1 . Если 67 разделить на 67 , получится 1 .

Как видно, от конкретных цифр тут ничего не зависит, результат будет один и тот же при условии равенства делимого и делителя.

Деление натурального числа на единицу

Как и в предыдущем пункте, начнем с задач. Допустим, что у нас имеются любые предметы в количестве, равном a . Необходимо разделить их на некоторое количество частей по одному предмету в каждой. Понятно, что у нас выйдет a частей.

А если мы спросим: сколько предметов будет в группе, если в нее поместить a предметов? Ответ очевиден – a .

Таким образом, мы подходим к формулированию свойства деления натуральных чисел на 1:

Определение 2

При делении любого натурального числа на единицу получится то же самое число, то есть a: 1 = a .

Разберем 2 примера:

Пример 2

Если разделить 25 на 1 , получится 25 .

Пример 3

Если разделить 11 345 на 1 , результатом будет 11 345 .

Отсутствие переместительного свойства для деления натуральных чисел

В случае с умножением мы свободно можем поменять множители местами и получить тот же результат, однако на деление это правило не распространяется. Менять местами делимое и делитель можно только в случае, если они являются равными натуральными числами (это свойство мы уже рассматривали в первом пункте). То есть можно сказать, что переместительное свойство распространяется только на случай, если в делении участвуют равные натуральные числа.

В остальных случаях менять местами делимое с делителем нельзя, поскольку это приведет к искажению результата. Объясним подробнее, почему.

Разделять любые натуральные числа на другие, также произвольно взятые, мы можем не всегда. Например, если делимое меньше делителя, то такой пример решить мы не можем (как делить натуральные числа с остатком, мы разберем в отдельном материале). Иными словами, если некоторое натуральное число, равное a , мы можем разделить на b ? И их значения при этом не равны, то a будет больше b , а запись b: a смысла иметь не будет. Выведем правило:

Определение 3

Деление суммы 2-х натуральных чисел на другое натуральное число

Чтобы лучше объяснить это правило, возьмем наглядные примеры.

У нас есть группа детей, между которыми надо поровну разделить мандарины. Фрукты сложены в два пакета. Возьмем условие, что количество мандаринов таково, что можно поделить их на всех детей без остатка. Можно пересыпать мандарины в один общий пакет, а потом поделить и раздать. А можно поделить сначала фрукты из одного пакета, а потом из другого. Очевидно, что и в том, и в другом случае никто не будет в обиде и все будет разделено поровну. Следовательно, мы можем сказать:

Определение 4

Результат деления суммы 2 -х натуральных чисел на другое натуральное число равен результату сложения частных от деления каждого слагаемого на то же натуральное число, т.е. (a + b) : c = a: c + b: c . При этом значения всех переменных – это натуральные числа, значение a можно разделить на c , и b также можно разделить на c без остатка.

У нас получилось равенство, в правой части которого первым выполняется деление, а вторым – сложение (вспомним, как правильно выполнять арифметические действия по порядку).

Докажем справедливость получившегося равенства на примере.

Пример 4

Возьмем для него подходящие натуральные числа: (18 + 36) : 6 = 18: 6 + 36: 6 .

Теперь вычислим и узнаем, верное ли оно. Подсчитаем значение левой части: 18 + 36 = 54 , и (18 + 36) : 6 = 54: 6 .

Результат мы помним из таблицы умножения (если забыли, найдите в ней нужное значение): 54: 6 = 9 .

Вспоминаем, сколько будет 18: 6 = 3 и 36: 6 = 6 . Значит, 18: 6 + 36: 6 = 3 + 6 = 9 .

Получается верное равенство: (18 + 36) : 6 = 18: 6 + 36: 6 .

Сумма натуральных чисел, которая стоит в примере в качестве делимого, может быть не только 2 , но и 3 и больше. Это свойство в комбинации с сочетательным свойством сложения натуральных чисел дает нам возможность выполнять и такие подсчеты.

Пример 5

Так, (14 + 8 + 4 + 2) : 2 будет равно 14: 2 + 8: 2 + 4: 2 + 2: 2 .

Деление разности 2-х натуральных чисел на другое натуральное число

Подобным образом можно вывести правило для разности натуральных чисел, которую мы будем делить на другое натуральное число:

Определение 5

Результат деления разности двух натуральных чисел на третье равен тому, что мы получим, отняв от частного уменьшаемого и третьего числа частное вычитаемого и третьего числа.

Т.е. (a - b) : c = a: c – b: c . Значения переменных – натуральные числа, при этом a больше b или равно ему, a и b можно разделить на c .

Докажем справедливость этого правила на примере.

Пример 6

Подставим подходящие значения в равенство и вычислим: (45 - 25) : 5 = 45: 5 - 25: 5 . 45 - 25 = 20 (о том, как находить разность натуральных чисел, мы уже писали ранее). (45 - 25) : 5 = 20: 5 .

По таблице умножения вспоминаем, что результат будет равен 4 .

Считаем правую часть: 45: 5 - 25: 5 . 45: 5 = 9 , а 25: 5 = 5 , в итоге 45: 5 - 25: 5 = 9 - 5 = 4 . 4 = 4 , выходит, что (45 - 25) : 5 = 45: 5 - 25: 5 – верное равенство.

Деление произведения двух натуральных чисел на другое натуральное число

Вспомним о том, какая связь существует между делением и умножением, тогда свойство деления произведения на натуральное число, равное одному из множителей, будет нам очевидно. Выведем правило:

Определение 6

Если разделить произведение двух натуральных чисел на третье, равное одному из множителей, в итоге мы получим число, равное другому множителю.

В буквенном виде это можно записать как (a · b) : a = b или (a · b) : b = a (значения a и b представляют собой натуральные числа).

Пример 7

Так, результат деления произведения 2 и 8 на 2 будет равен 8 , а (3 · 7) : 7 = 3 .

А как быть в случае, если делитель не равен ни одному из множителей, которые образуют делимое? Тогда здесь действует другое правило:

Определение 7

Результат деления произведения двух натуральных чисел на третье натуральное число равен тому, что получится, если разделить на это число один из множителей и результат умножить на другой множитель.

Мы получили весьма неочевидное на первый взгляд утверждение. Однако если учесть, что умножение натуральных чисел, по сути, сводится к сложению равных по значению слагаемых (см. материал об умножении натуральных чисел), то можно вывести этой свойство из другого, о котором мы говорили чуть выше.

Запишем это правило в буквенном виде (значения всех переменных – натуральные числа).

Если a мы можем разделить на c , то будет верно (a · b) : c = (a: c) · b .

Если b делится на c , то верно (a · b) : c = a · (b: c) .

Если и a , и b делятся на c , то можем приравнять одно равенство к другому: (a · b) : c = (a: c) · b = a · (b: c) .

С учетом рассмотренного выше свойства деления произведения на другое натуральное число будут верны равенства (8 · 6) : 2 = (8: 2) · 6 и (8 · 6) : 2 = 8 · (6: 2) .

Мы можем записать их в виде двойного равенства: (8 · 6) : 2 = (8: 2) · 6 = 8 · (6: 2) .

Деление натурального числа на произведение 2-х других натуральных чисел

И вновь мы начнем с примера. У нас есть некоторое количество призов, обозначим его a . Их надо поровну распределить между участниками команд. Обозначим число участников буквой c , а команд – буквой b . При этом возьмём такие значения переменных, при которых запись деления будет иметь смысл. Задачу можно решить двумя разными способами. Рассмотрим оба.

1. Можно вычислить общее количество участников, умножив b на c , после чего разделить все призы на полученное число. В буквенном виде это решение можно записать как a: (b · c) .

2. Можно поделить сначала призы на количество команд, а потом распределить их внутри каждой команды. Запишем это как (a: b) : c .

Очевидно, что оба способа дадут нам идентичные ответы. Поэтому оба равенства мы можем приравнять друг к другу: a: (b · c) = (a: b) : c . Это и будет буквенная запись свойства деления, которое мы рассматриваем в этом пункте. Сформулируем правило:

Определение 8

Результат деления натурального числа на произведение равен числу, которое мы получим, разделив это число на один из множителей и получившееся частное разделить на другой множитель.

Пример 8

Приведем пример задачи. Докажем, что справедливо равенство 18: (2 · 3) = (18: 2) : 3 .

Подсчитаем левую часть: 2 · 3 = 6 , а 18: (2 · 3) – это 18: 6 = 3 .

Считаем правую часть: (18: 2) : 3 . 18: 2 = 9 , а 9: 3 = 3 , тогда (18: 2) : 3 = 3 .

У нас получилось, что 18: (2 · 3) = (18: 2) : 3 . Это равенство иллюстрирует нам свойство деления, которое мы привели в данном пункте.

Деление нуля на натуральное число

Что такое нуль? Ранее мы условились, что он означает отсутствие чего-либо. Нуль мы не относим к натуральным числам. Получается, что, если мы разделим нуль на натуральное число, это будет равнозначно попытке разделить пустоту на части. Понятно, что в итоге мы все равно получим «ничто», на сколько бы частей мы его не делили. Выводим отсюда правило:

Определение 9

При делении нуля на любое натуральное число мы получим нуль. В буквенном виде это записывается как 0: a = 0 , при этом значение переменной может быть любое.

Пример 9

Так, например, 0: 19 = 0 , и 0: 46869 тоже будет равно нулю.

Деление натурального числа на нуль

Это действие выполнить нельзя. Давайте выясним, почему именно.

Возьмем произвольное число a и предположим, что его можно разделить на 0 и получить в итоге некое число b . Запишем это как a: 0 = b . Теперь вспомним, как связано между собой умножение и деление, и выведем равенство b · 0 = a , которое также должно быть справедливым.

Но ранее мы уже поясняли свойство умножения натуральных чисел на ноль. Согласно ему b · 0 = 0 . Если сопоставить полученные равенства, у нас получится, что a = 0 , а это противоречит исходному условию (ведь нуль не является натуральным числом). Выходит, что у нас получилось противоречие, которое доказывает невозможность такого действия.

Определение 10

Делить натуральное число на нуль нельзя.

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

Рассмотрим понятие деление на задаче:
В корзине лежало 12 яблок. Шестеро детей разобрали яблоки. У каждого ребенка получилось одинаковое количество яблок. Сколько яблок у каждого ребенка?

Решение:
Нам нужно 12 яблок поделить на шестерых детей. Запишем математически задачу 12:6.
Или по-другому можно сказать. На какое число нужно умножить число 6, чтобы получилось число 12? Запишем в виде уравнения задачу. Количество яблок нам неизвестно, поэтому обозначим их за переменную x.

Чтобы найти неизвестное x нам нужно 12:6=2
Ответ: по 2 яблока у каждого ребенка.

Рассмотрим подробно пример 12:6=2:

Число 12 называется делимым . Это число, которое делят.
Число 6 называется делителем . Это число, на которое делят.
И результат деления число 2 называют частным . Частное показывает во сколько раз делимое больше делителя.

В буквенном виде деление выглядит так:
a:b=c
a – делимое,
b – делитель,
c – частное.

Так что же такое деление?

Деление – это действие, обратное одного множителя мы можем найти другой множитель.

Деление проверяется умножением, то есть:
a : b = c , проверка с⋅ b = a
18:9=2, проверка 2⋅9=18

Неизвестный множитель.

Рассмотрим задачу:
В каждой упаковке по 3 штуки елочных шаров. Чтобы нарядить елку нам нужно 30 шаров. Сколько нам нужно взять упаковок с елочными шарами?

Решение:
x – неизвестное количество упаковок шаров.
3 – штуки в одной упаковки шаров.
30 – всего шаров.

x⋅3=30 нам нужно столько раз взять по 3, чтобы получилось в итоге 30. x – это неизвестный множитель. То есть, чтобы найти неизвестный нужно, произведение поделить на известный множитель.
х=30:3
х=10.

Ответ: 10 упаковок шаров.

Неизвестное делимое.

Рассмотрим задачу:
В каждой упаковке по 6 цветных карандашей. Всего упаковок 3 штуки. Сколько всего карандашей было, до того пока их не разложили по упаковкам?

Решение:
x – всего карандашей,
6 – карандашей в каждой упаковке,
3 – упаковки карандашей.

Запишем уравнение задачи в виде деления.
x:6=3
x – это неизвестное делимое. Чтобы найти неизвестное делимое надо, частное умножить на делитель.
х=3⋅6
х=18

Ответ: 18 карандашей.

Неизвестный делитель.

Разберём задачу:
Было 15 шаров в магазине. За день в магазин пришло 5 покупателей. Покупатели купили равное количество шаров. Сколько шаров купил каждый покупатель?

Решение:
х – количество шаров, которое купил один покупатель,
5 – количество покупателей,
15 – количество шаров.
Запишем уравнение задачи в виде деления:
15:х=5
х – в данном уравнении является неизвестным делителем. Чтобы найти неизвестный делитель, мы делимое делим на частное.
х=15:5
х=3

Ответ: по 3 шара у каждого покупателя.

Свойства деления натурального числа на единицу.

Правило деления:
Любое число, деленное на 1 результатом будет тоже самое число.

7:1=7
a :1= a

Свойства деления натурального числа на нуль.

Рассмотрим пример: 6:2=3, проверить правильно ли мы поделили можно умножением 2⋅3=6.
Если мы 3:0, то сделать проверку мы не сможем, потому что любое число умноженное на нуль будет нуль. Поэтому запись 3:0 не имеет смысла.
Правило деления:
Делить на нуль нельзя.

Свойства деления нуля на натуральное число.

0:3=0 эта запись имеет смысл. Если мы ничего поделим на три части то получим ничего.
0: a =0
Правило деления:
При делении 0 на любое натуральное число не равное нулю, результат всегда будет равен 0.

Свойство деления одинаковых чисел.

3:3=1
a : a =1
Правило деления:
При делении любого числа на себя, не равное нулю, результат будет равен 1.

Вопросы по теме “Деление”:

В записи a:b=c назовите, что здесь является частным?
Ответ: a:b и c.

Что такое частное?
Ответ: частное показывает во сколько раз делимое больше делителя.

При каком значении m запись 0⋅m=5?
Ответ: при умножении на нуль в ответе всегда будет 0. Запись не имеет смысла.

Существует ли такое n, что 0⋅n=0?
Ответ: да, запись имеет смысл. При умножении любого числа на 0 будет 0, поэтому n – любое число.

Пример №1:
Найдите значение выражение: а) 0:41 б) 41:41 в) 41:1
Ответ: а) 0:41=0 б) 41:41=1 в) 41:1=41

Пример №2:
При каких значениях переменных верно равенство: а) х:6=8 б) 54:х=9

а) х – в данном примере является делимым. Чтобы найти делимое нужно частное умножить на делитель.
х – неизвестное делимое,
6 – делитель,
8 – частное.
х=8⋅6
х=48

б) 54 – делимое,
х – делитель,
9 – частное.
Чтобы найти неизвестный делитель, нужно делимое поделить на частное.
х=54:9
х=6

Задача №1:
У Саши 15 марок, а Миши 45 марок. Во сколько раз у Миши марок больше чем у Саши?
Решение:
Можно задачу решить двумя способами. Первый способ:
15+15+15=45
Нужно 3 числа 15, чтобы получить 45, следовательно, в 3 раза у Миши марок больше, чем у Саши.
Второй способ:
45:15=3

Ответ: в 3 раза у Миши марок больше, чем у Саши.

Несмотря на то что математика кажется большинству людей наукой сложной, это далеко не так. Многие математические операции довольно легко понять, особенно если знать правила и формулы. Так, зная таблицу умножения, можно быстро перемножать в уме Главное - постоянно тренироваться и не забывать правил умножения. То же самое можно сказать и о делении.

Давайте же разберем деление целых чисел, дробных и отрицательных. Вспомним об основных правилах, приемах и методах.

Операция деления

Начнем, пожалуй, с самого определения и названия чисел, которые участвуют в данной операции. Это значительно облегчит дальнейшее изложение и восприятие информации.

Деление - одна из четырех основных математических операций. Изучение ее начинается еще в начальной школе. Именно тогда детям показывают первый пример деления числа на число, объясняют правила.

В операции участвуют два числа: делимое и делитель. Первое - число, которое делят, второе - на которое делят. Результатом деления является частное.

Имеется несколько обозначений для записи данной операции: «:», «/» и горизонтальная черта - запись в виде дроби, когда вверху находится делимое, а внизу, под чертой - делитель.

Правила

При изучении той или иной математической операции учитель обязан познакомить учеников с основными правилами, которые следует знать. Правда, не всегда они запоминаются так хорошо, как хотелось бы. Именно поэтому мы решили немного освежить в вашей памяти четыре фундаментальных правила.

Основные правила деления чисел, которые стоит помнить всегда:

1. Делить на ноль нельзя. Это правило следует запомнить в первую очередь.

2. Делить ноль можно на любое число, но в итоге всегда будет ноль.

3. Если число поделить на единицу, мы получим то же число.

4. Если число разделить на само себя, мы получим единицу.

Как видите, правила довольно простые и легко запоминаются. Хотя некоторые и могут забывать такое простое правило, как невозможность или же путать с ним деление ноля на число.

на число

Одно из наиболее полезных правил - признак, по которому определяется возможность деления натурального числа на другое без остатка. Так, выделяют признаки делимости на 2, 3, 5, 6, 9, 10. Рассмотрим их подробнее. Они существенно облегчают выполнение операций над числами. Также приведем для каждого правила пример деления числа на число.

Данные правила-признаки довольно широко используются математиками.

Признак делимости на 2

Наиболее простой для запоминания признак. Число, которое оканчивается на четную цифру (2, 4, 6, 8) или 0, всегда делится на два нацело. Довольно просто для запоминания и использования. Так, число 236 оканчивается на четную цифру, а значит, делится на два нацело.

Проверим: 236:2 = 118. Действительно, 236 делится на 2 без остатка.

Данное правило наиболее известно не только взрослым, но и детям.

Признак делимости на 3

Как правильно выполнить деление чисел на 3? Запомнить следующее правило.

Число делится на 3 нацело в том случае, если сумма его цифр кратна трем. Для примера возьмем число 381. Сумма всех цифр будет составлять 12. Данное трем, а значит делится на 3 без остатка.

Также проверим данный пример. 381: 3 = 127, значит все верно.

Признак делимости чисел на 5

Тут также все просто. Разделить на 5 без остатка можно лишь те числа, которые оканчиваются на 5 либо же на 0. Для примера возьмем такие числа, как 705 или же 800. Первое заканчивается на 5, второе - на ноль, следовательно они оба делятся на 5. Это одно из простейших правил, которое позволяет быстро осуществлять деление на однозначное число 5.

Проверим данный признак на таких примерах: 405:5 = 81; 600:5 = 120. Как видите, признак действует.

Делимость на 6

Если вы хотите узнать, делится ли число на 6, то вам сначала нужно выяснить, делится ли оно на 2, а затем - на 3. Если да, то число можно без остатка разделить на 6. К примеру, число 216 делится и на 2, так как заканчивается на четную цифру, и на 3, так как сумма цифр равна 9.

Проверим: 216:6 = 36. Пример показывает, что данный признак действует.

Делимость на 9

Поговорим также и о том, как осуществить деление чисел на 9. На данное число делятся те сумма цифр которых кратна 9. Аналогично правилу деления на 3. Например, число 918. Сложим все цифры и получим 18 - число, кратное 9. Значит, оно делится на 9 без остатка.

Решим данный пример для проверки: 918:9 = 102.

Делимость на 10

Последний признак, который стоит знать. На 10 делятся только те числа, которые оканчиваются на 0. Данную закономерность довольно просто и легко запомнить. Так, 500:10 = 50.

Вот и все основные признаки. Запомнив их, вы сможете облегчить себе жизнь. Конечно, есть и другие числа, для которых существуют признаки делимости, но мы с вами выделили лишь основные из них.

Таблица деления

В математике существует не только таблица умножения, но и таблица деления. Выучив ее, можно с легкостью выполнять операции. По сути, таблица деления представляет собой таблицу умножения наоборот. Составить ее самостоятельно не представляет труда. Для этого следует переписать каждую строку из таблицы умножения таким образом:

1. Ставим произведение числа на первое место.

2. Ставим знак деления и записываем второй множитель из таблицы.

3. После знака равенства записываем первый множитель.

Например, возьмем следующую строку из таблицы умножения: 2*3= 6. Теперь перепишим ее согласно алгоритму и получим: 6 ÷ 3 = 2.

Довольно часто детей просят самостоятельно составить таблицу, таким образом развивая их память и внимание.

Если же у вас нет времени на ее написание, то можете воспользоваться представленной в статье.

Виды деления

Поговорим немного о видах деления.

Начнем с того, что можно выделить деление целых чисел и дробных. При этом в первом случае можно говорить об операциях с целыми числами и десятичными дробями, а во втором - только о дробных числах. При этом дробным может являться как делимое или делитель, так и оба одновременно. связано с тем, что операции над дробями отличаются от операций с целыми числами.

Исходя из чисел, которые участвуют в операции, можно выделить два вида деления: на однозначные числа и на многозначные. Наиболее простым считается деление на однозначное число. Здесь вам не нужно будет проводить громоздкие вычисления. К тому же хорошо может помочь таблица деления. Делить же на другие - двух-, трехзначные числа - тяжелее.

Рассмотрим примеры для данных видов деления:

14:7 = 2 (деление на однозначное число).

240:12 = 20 (деление на двузначное число).

45387: 123 = 369 (деление на трехзначное число).

Последним можно выделить деление, в котором участвуют положительные и отрицательные числа. При работе с последними следует знать правила, по которым происходит присвоение результату положительного или отрицательного значения.

При делении чисел с разными знаками (делимое - число положительное, делитель - отрицательное, или наоборот) мы получаем отрицательное число. При делении чисел с одним знаком (и делимое, и делитель - положительные или же наоборот) - получаем число положительное.

Рассмотрим для наглядности следующие примеры:

Деление дробей

Итак, мы с вами разобрали основные правила, привели пример деления числа на число, теперь поговорим о том, как правильно выполнять эти же операции с дробями.

Несмотря на то что деление дробей поначалу кажется довольно тяжелым делом, в действительности работать с ними не так уж и трудно. Деление дроби выполняется практически так же, как и умножение, но с одним отличием.

Для того чтобы разделить дробь, следует сначала умножить числитель делимого на знаменатель делителя и зафиксировать полученный результат в виде числителя частного. Затем умножить знаменатель делимого на числитель делителя и записать результат как знаменатель частного.

Можно сделать и проще. Переписать дробь делителя, поменяв местами числитель со знаменателем, а затем перемножить полученные числа.

Например, разделим две дроби: 4/5:3/9. Для начала перевернем делитель, получим 9/3. Теперь перемножим дроби: 4/5 * 9/3 = 36/15.

Как видите, все довольно легко и не сложнее, чем деление на однозначное число. Примеры на решаются просто, если не забывать данное правило.

Выводы

Деление - одна из математических операций, которые каждый ребенок изучает еще в начальной школе. Есть определенные правила, которые следует знать, приемы, облегчающие выполнение данной операции. Деление бывает с остатком и без, бывает деление отрицательных и дробных чисел.

Запомнить особенности данной математической операции довольно легко. Мы с вами разобрали наиболее важные моменты, рассмотрели не один пример деления числа на число, даже поговорили о том, как работать с дробными числами.

Если вы хотите улучшить свое знание математики, советуем вам запомнить эти несложные правила. Кроме того, можем посоветовать вам развивать память и навыки счета в уме, выполняя математические диктанты или просто пытаясь высчитать устно частное двух случайных чисел. Поверьте, эти навыки никогда не будут лишними.