Квадратные неравенства. Решение при помощи формулы для решения квадратного уравнения

Переменные и постоянные величины – это не совсем просто

Школьная математика всегда убеждала и продолжает убеждать нас в том, что вопрос о переменных и постоянных величинах решается очень просто. Переменными считаются величины, которые в условиях данной задачи могут принимать различные значения. Постоянными считаются величины, которые в условиях данной задачи свои значения не меняют.

При этом дополнительно сообщается, что деление величин на переменные и постоянные достаточно условно и зависит от обстоятельств, сопровождающих процесс решения задачи . Одна и та же величина, которая в одних условиях считалась постоянной, в других условиях должна рассматриваться как переменная. Классический пример: сопротивление проводника считается постоянным, пока мы не оказываемся вынужденными учитывать зависимость величины его сопротивления от температуры окружающей среды.

Но, как показывает практика, всего вышеуказанного для корректного решения той или иной задачи бывает недостаточно.

Что такое величина, каждому ясно интуитивно. Уточним это понятие.

В общем случае содержанием процесса решения задачи есть преобразование величин. При этом следует понимать, что в общефилософском смысле величина, представляющая результат решения задачи, уже содержится в её формулировке в неявном виде. Нужно только правильно построить процесс преобразования величин задачи, чтобы этот результат представить явно.

Определение

Будем называть величиной любой математический объект, который несет (или может нести) информацию о том или ином значении.

Форма представления величин может быть различной. Например, величина с числовым значением, равным действительной единице, может быть представлена десятичной констант ой 1,0, функцией Cos(0), а также арифметическим выражением 25,0 – 15,0 – 9,0.

Значения величин можно менять. Так, в результате выполнения действия x = 1,0 величина в форме переменной x оказывается носителем значения действительной единицы. При этом предыдущее значение переменной x теряется. Приведённые примеры уже несколько с иных позиций показывают, что величины могут быть переменными и постоянными.

Определение

Переменные величины обладают тем свойством, что их значения могут быть изменены в результате выполнения тех или иных действий. И это значит, что понятие “переменная величина” отражает возможность, но не факт изменения.

Постоянной величиной (константой) следует считать ту, значение которой, в отличие от переменной, изменить принципиально невозможно.

Например, значение постоянной величины в виде выражения 12+3 равно 15, и изменить его нельзя. При этом необходимо фиксировать смысл знаков, с помощью которых представляется величина. В противном случае, если считать, например, знаки этого выражения цифрами в системе счисления с основанием 5, то тогда его значение окажется равным 10.

Определение

Итак, в математических текстах носителями значений, то есть величинами, являются переменные, константы, обращения к функциям (или просто функции), а также выражения.

Особенности переменных

Обозначения, с которыми связываются определённые значения, в математике называют переменными (термин употребляется как имя существительное).

Например, значение переменной величины x+1 зависит от значения, связанного с обозначением x. Здесь обозначение x используется в качестве переменной. Изменив значение переменной x, мы тем самым изменим и значение переменной величины x+1.

Таким образом, значения переменных величин зависят от значений переменных, которые входят в их состав. Отличительным свойством переменной является то, что конкретное её значение должно быть ей просто приписано (назначено).

Математический подход, определяющий возможность вычисления значений переменных, в данном контексте оказывается неправильным. В математике можно вычислять только значения выражений.

Основное условие использования переменной в математических текстах в окончательном виде таково: для обращения к переменной достаточно указать её обозначение.

Особенности констант

В математических текстах могут быть использованы две разновидности констант: константы-лексемы и именованные константы.

Кстати, программисты на языках высокого уровня, пользуются этим на вполне формальных (законных) основаниях.

С помощью констант-лексем значения постоянных величин указываются непосредственно без выполнения каких-либо операций. Например, для получения значения постоянной величины 12+3, которая является выражением, необходимо выполнить сложение двух констант-лексем 12 и 3.

Определение

Именованная константа представляет собой обозначение, сопоставленное конкретному значению, указанному в виде константы-лексемы.

Такой приём широко используется в естественных науках из соображений удобства записи физических, химических, математических и иных формул. Например: g = 9,81523 – ускорение свободного падения на широте Москвы; π = 3,1415926 – число $π$.

Помимо компактной записи выражений, именованные константы обеспечивают наглядность и значительные удобства в работе с математическими текстами.

Своё значение именованная константа приобретает как результат предварительной договорённости.

Важное свойство любой именованной константы состоит в том, что её значение не рекомендуется менять в пределах некоторого математического текста.

Выражения

Выражения являются составными частями подавляющего большинства математических текстов. С помощью выражений задают порядок вычисления новых значений на основании других заранее известных значений.

В общем случае в составе выражений используют операнды, знаки операций и регулирующие круглые (квадратные, фигурные) скобки.

Определение

Операнды – это общее название объектов, значения которых используют при выполнении операций. Операндами могут быть переменные, константы и функции. Кстати, этот термин весьма популярен в среде программистов. Фрагмент выражения, заключённый в регулирующие скобки, рассматривается как отдельный составной операнд.

Знак операции символизирует вполне определённую совокупность действий, которые должны быть выполнены над соответствующими операндами. Регулирующие скобки устанавливают нужный порядок выполнения операций, который может отличаться от предусмотренного приоритетом операций.

Простейшим случаем выражения является отдельный операнд. В таком выражении нет знаков операций.

Операнд-функция имеет свои особенности. Как правило, такой операнд представляет собой наименование (или знак) функции с последующим указанием в круглых скобках перечня её аргументов. В данном случае круглые скобки являются неотъемлемой принадлежностью функций и к регулирующим не относятся. Отметим, что во многих случаях в операндах-функциях обходятся без скобок (например, 5! – вычисление факториала целого числа 5).

Математические операции

Основные особенности математических операций таковы:

• знаки операций могут быть указаны с помощью специальных символов, а также с помощью специально оговоренных слов;
• операции могут быть унарными (выполняемыми над одним операндом) и бинарными (выполняемыми над двумя операндами);
• для операций установлены четыре уровня приоритетов, определяющих порядок вычисления выражения.

Правила вычисления сложного выражения, содержащего цепочку операций при отсутствии регулирующих скобок, следующие:

1. cначала вычисляются значения всех функций;
2. затем поочерёдно выполняются операции в порядке убывания их приоритета;
3. операции равного приоритета выполняются по порядку слева направо.

При наличии регулирующих скобок выражение содержит составные операнды, значения которых должны быть вычислены в первую очередь.

Некоторые особенности записи математических выражений:

• не рекомендуется пропускать знаки операций, хотя во многих случаях можно пропустить знак умножения;
• аргументы функций желательно указываться в круглых скобках;
• указание подряд двух и более знаков бинарных операций недопустимо; формально допустимо использование нескольких знаков унарных операций подряд, в том числе и вместе с бинарной.

Кубические уравнения имеют вид ax 3 + bx 2 + cx + d = 0). Способ решения таких уравнений известен уже несколько столетий (он был открыт в 16 веке итальянскими математиками). Решить некоторые кубические уравнения довольно сложно, но при правильном подходе (и хорошем уровне теоретических знаний) вы сможете решать даже самые сложные кубические уравнения.

Шаги

Решение при помощи формулы для решения квадратного уравнения

Как отмечалось выше, кубические уравнения имеют вид a x 3 + b x 2 + c x + d = 0 {\displaystyle ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0} , где коэффициенты c {\displaystyle c} и d {\displaystyle d} могут быть равны 0 {\displaystyle 0} , то есть кубическое уравнение может состоять только из одного члена (с переменной в третьей степени). Сначала проверьте, имеет ли данное вам кубическое уравнение свободный член, то есть d {\displaystyle d} . Если свободного члена нет, вы можете решить данное кубическое уравнение при помощи формулы для решения квадратного уравнения .

• Если свободный член есть, используйте другой метод решения (смотрите следующие разделы).

1. Так как в данном уравнении свободного члена нет, то все члены этого уравнения содержат переменную x {\displaystyle x} , которую можно вынести за скобки: x (a x 2 + b x + c) {\displaystyle x(ax^{2}+bx+c)} .

   • Пример. 3 x 3 + − 2 x 2 + 14 x = 0 {\displaystyle 3x^{3}+-2x^{2}+14x=0} . Если вынести x {\displaystyle x} за скобки, вы получите x (3 x 2 + − 2 x + 14) = 0 {\displaystyle x(3x^{2}+-2x+14)=0} .

2. Обратите внимание, что уравнение в скобках - это квадратное уравнение вида ( a x 2 + b x + c {\displaystyle ax^{2}+bx+c} ), которое можно решить при помощи формулы ({-b +/-√ (). Решите квадратное уравнение, и вы решите кубическое уравнение.

   • В нашем примере подставьте значения коэффициентов a {\displaystyle a} , b {\displaystyle b} , c {\displaystyle c} ( 3 {\displaystyle 3} , − 2 {\displaystyle -2} , 14 {\displaystyle 14} ) в формулу: − b ± b 2 − 4 a c 2 a {\displaystyle {\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}} − (− 2) ± ((− 2) 2 − 4 (3) (14) 2 (3) {\displaystyle {\frac {-(-2)\pm {\sqrt {((-2)^{2}-4(3)(14)}}}{2(3)}}} 2 ± 4 − (12) (14) 6 {\displaystyle {\frac {2\pm {\sqrt {4-(12)(14)}}}{6}}} 2 ± (4 − 168 6 {\displaystyle {\frac {2\pm {\sqrt {(4-168}}}{6}}} 2 ± − 164 6 {\displaystyle {\frac {2\pm {\sqrt {-164}}}{6}}}
   • Решение 1: 2 + − 164 6 {\displaystyle {\frac {2+{\sqrt {-164}}}{6}}} 2 + 12.8 i 6 {\displaystyle {\frac {2+12.8i}{6}}}
   • Решение 2: 2 − 12.8 i 6 {\displaystyle {\frac {2-12.8i}{6}}}

3. Помните, что квадратные уравнения имеют два решения, а кубические - три решения. Вы нашли два решения квадратного, а следовательно и кубического уравнения. В случаях, когда вы выносите "х" за скобки, третье решение всегда равно 0 {\displaystyle 0} .

   • Это верно, так как любое число или выражение, умноженное на 0 {\displaystyle 0} , равно 0 {\displaystyle 0} . Так как вы вынесли x {\displaystyle x} за скобки, то вы разложили кубическое уравнение на два множителя ( x {\displaystyle x} и квадратное уравнение), один из которых должен быть равен 0 {\displaystyle 0} , чтобы все уравнение равнялось 0 {\displaystyle 0} .

   Нахождение целых решений при помощи разложения на множители

   1. Проверьте, имеет ли данное вам кубическое уравнение свободный член. Описанный в предыдущем разделе метод не годится для решения кубических уравнений, в которых присутствует свободный член. В этом случае вам придется воспользоваться методом, который описан в этом или следующем разделах.

      • Пример. 2 x 3 + 9 x 2 + 13 x = − 6 {\displaystyle 2x^{3}+9x^{2}+13x=-6} . Здесь перенесите свободный член d = − 6 {\displaystyle d=-6} на левую сторону уравнения, чтобы на правой стороне получить 0 {\displaystyle 0} : 2 x 3 + 9 x 2 + 13 x + 6 = 0 {\displaystyle 2x^{3}+9x^{2}+13x+6=0} .

   2. Найдите множители коэффициента a {\displaystyle a} (коэффициент при x 3 {\displaystyle x^{3}} ) и свободного члена d {\displaystyle d} . Множители числа - это числа, которые при перемножении дают исходное число. Например, множителями числа 6 {\displaystyle 6} являются числа 1 {\displaystyle 1} , 2 {\displaystyle 2} , 3 {\displaystyle 3} , 6 {\displaystyle 6} ( 6 × 1 {\displaystyle 6\times 1} и 2 × 3 {\displaystyle 2\times 3} ).

      • В нашем примере a = 2 {\displaystyle a=2} и d = 6 {\displaystyle d=6} . Множители 2 {\displaystyle 2} - это числа 1 {\displaystyle 1} и 2 {\displaystyle 2} . Множители 6 {\displaystyle 6} - это числа 1 {\displaystyle 1} , 2 {\displaystyle 2} , 3 {\displaystyle 3} , и 6 {\displaystyle 6} .

   3. Разделите множители коэффициента a {\displaystyle a} на множители свободного члена d {\displaystyle d} . Вы получите дроби и целые числа. Целым решением данного вам кубического уравнения будет либо одно из этих целых чисел, либо отрицательное значение одного из этих целых чисел.

      • В нашем примере разделите множители a {\displaystyle a} ( 1 {\displaystyle 1} , 2 {\displaystyle 2} ) на множители d {\displaystyle d} ( 1 {\displaystyle 1} , 2 {\displaystyle 2} , 3 {\displaystyle 3} , 6 {\displaystyle 6} ) и получите: 1 {\displaystyle 1} , , , , 2 {\displaystyle 2} и . Теперь добавьте к этому ряду чисел их отрицательные значения: 1 {\displaystyle 1} , − 1 {\displaystyle -1} , 1 2 {\displaystyle {\frac {1}{2}}} , − 1 2 {\displaystyle -{\frac {1}{2}}} , 1 3 {\displaystyle {\frac {1}{3}}} , − 1 3 {\displaystyle -{\frac {1}{3}}} , 1 6 {\displaystyle {\frac {1}{6}}} , − 1 6 {\displaystyle -{\frac {1}{6}}} , 2 {\displaystyle 2} , − 2 {\displaystyle -2} , 2 3 {\displaystyle {\frac {2}{3}}} и − 2 3 {\displaystyle -{\frac {2}{3}}} . Целые решения данного вам кубического уравнения находятся в этом ряду чисел.

   4. Теперь вы можете найти целые решения вашего кубического уравнения, подставив в него целые числа из найденного ряда чисел. Но если вы не хотите тратить время на это, воспользуйтесь . Такая схема подразумевает деление целых чисел на значения a {\displaystyle a} , b {\displaystyle b} , c {\displaystyle c} , d {\displaystyle d} данного кубического уравнения. Если остаток равен 0 {\displaystyle 0} , целое число является одним из решений кубического уравнения.

      • Деление по схеме Горнера - непростая тема; для получения дополнительной информации по ней перейдите по ссылке, указанной выше. Вот пример того, как найти одно из решений данного вам кубического уравнения при помощи деления по схеме Горнера: -1 | 2 9 13 6 __| -2-7-6 __| 2 7 6 0 Так как остаток 0 {\displaystyle 0} , то одним из решений уравнения является целое число − 1 {\displaystyle -1} .

   Использование дискриминанта

   1. В этом методе вы будете работать со значениями коэффициентов a {\displaystyle a} , b {\displaystyle b} , c {\displaystyle c} , d {\displaystyle d} . Поэтому лучше выписать значения этих коэффициентов заранее.

      • Пример. math>x^3-3x^2+3x-1. Здесь a = 1 {\displaystyle a=1} , b = − 3 {\displaystyle b=-3} , c = 3 {\displaystyle c=3} , d = − 1 {\displaystyle d=-1} . Не забывайте, что когда перед x {\displaystyle x} коэффициента нет, то это значит, что коэффициент равен 1 {\displaystyle 1} .

   2. Вычислите △ = b 2 − 3 a c {\displaystyle \triangle _{0}=b^{2}-3ac} . В этом методе потребуется провести несколько сложных вычислений, но если вы уясните его, вы сможете решать самые сложные кубические уравнения. Для начала вычислите △ 0 {\displaystyle \triangle _{0}} , одну из нескольких важных величин, которые нам понадобятся, подставив соответствующие значения в формулу.

      • В нашем примере: b 2 − 3 a c {\displaystyle b^{2}-3ac} (− 3) 2 − 3 (1) (3) {\displaystyle (-3)^{2}-3(1)(3)} 9 − 3 (1) (3) {\displaystyle 9-3(1)(3)} 9 − 9 = 0 = △ 0 {\displaystyle 9-9=0=\triangle _{0}} 2 (− 27) − 9 (− 9) + 27 (− 1) {\displaystyle 2(-27)-9(-9)+27(-1)} − 54 + 81 − 27 {\displaystyle -54+81-27} 81 − 81 = 0 = △ 1 {\displaystyle 81-81=0=\triangle _{1}}

   3. Вычислите Δ = Δ1 2 - 4Δ0 3) ÷ -27a 2 . Теперь вычислите дискриминант уравнения при помощи найденных значений Δ0 и Δ1. Дискриминант - это число, дающее вам информацию о корнях многочлена (вы, возможно, уже знаете, что дискриминант квадратного уравнения равен b 2 - 4ac ). В случае кубического уравнения, если дискриминант положительный, то уравнение имеет три решения; если дискриминант равен нулю, то уравнение имеет одно или два решения; если дискриминант отрицательный, то уравнение имеет только одно решение. Кубическое уравнение всегда имеет по крайней мере одно решение, потому что график такого уравнения пересекает ось X по крайней мере в одной точке.

      • Если подставить в эту формулу соответствующие значения величин, вы получите возможные решения данного вам кубического уравнения. Подставьте их в исходное уравнение и если равенство соблюдено, то решения правильные. Например, если, подставив значения в формулу, вы получили 1, подставьте 1 в x 3 - 3x 2 + 3x - 1 и получите 0. То есть равенство соблюдено, и 1 является одним из решений данного вам кубического уравнения.

Сравнивать величины и количества при решении практических задач приходилось ещё с древних времён. Тогда же появились и такие слова, как больше и меньше, выше и ниже, легче и тяжелее, тише и громче, дешевле и дороже и т.д., обозначающие результаты сравнения однородных величин.

Понятия больше и меньше возникли в связи со счётом предметов, измерением и сравнением величин. Например, математики Древней Греции знали, что сторона любого треугольника меньше суммы двух других сторон и что против большего угла в треугольнике лежит большая сторона. Архимед, занимаясь вычислением длины окружности, установил, что периметр всякого круга равен утроенному диаметру с избытком, который меньше седьмой части диаметра, но больше десяти семьдесят первых диаметра.

Символически записывать соотношения между числами и величинами с помощью знаков > и b. Записи, в которых два числа соединены одним из знаков: > (больше), С числовыми неравенствами вы встречались и в младших классах. Знаете, что неравенства могут быть верными, а могут быть и неверными. Например, \(\frac{1}{2} > \frac{1}{3} \) верное числовое неравенство, 0,23 > 0,235 - неверное числовое неравенство.

Неравенства, в которые входят неизвестные, могут быть верными при одних значениях неизвестных и неверными при других. Например, неравенство 2x+1>5 верное при х = 3, а при х = -3 - неверное. Для неравенства с одним неизвестным можно поставить задачу: решить неравенство. Задачи решения неравенств на практике ставятся и решаются не реже, чем задачи решения уравнений. Например, многие экономические проблемы сводятся к исследованию и решению систем линейных неравенств. Во многих разделах математики неравенства встречаются чаще, чем уравнения.

Некоторые неравенства служат единственным вспомогательным средством, позволяющим доказать или опровергнуть существование определённого объекта, например, корня уравнения.

Числовые неравенства

Вы умеете сравнивать целые числа, десятичные дроби. Знаете правила сравнения обыкновенных дробей с одинаковыми знаменателями, но разными числителями; с одинаковыми числителями, но разными знаменателями. Здесь вы научитесь сравнивать любые два числа с помощью нахождения знака их разности.

Сравнение чисел широко применяется на практике. Например, экономист сравнивает плановые показатели с фактическими, врач сравнивает температуру больного с нормальной, токарь сравнивает размеры вытачиваемой детали с эталоном. Во всех таких случаях сравниваются некоторые числа. В результате сравнения чисел возникают числовые неравенства.

Определение. Число а больше числа b, если разность а-b положительна. Число а меньше числа b, если разность а-b отрицательна.

Если а больше b, то пишут: а > b; если а меньше b, то пишут: а Таким образом, неравенство а > b означает, что разность а - b положительна, т.е. а - b > 0. Неравенство а Для любых двух чисел а и b из следующих трёх соотношений a > b, a = b, a Сравнить числа а и b - значит выяснить, какой из знаков >, = или Теорема. Если a > b и Ь > с, то а > с.

Теорема. Если к обеим частям неравенства прибавить одно и то же число, то знак неравенства не изменится.
Следствие. Любое слагаемое можно перенести из одной части неравенства в другую, изменив знак этого слагаемого на противоположный.

Теорема. Если обе части неравенства умножить на одно и то же положительное число, то знак неравенства не изменится. Если обе части неравенства умножить на одно и то же отрицательное число, то знак неравенства изменится на противоположный.
Следствие. Если обе части неравенства разделить на одно и то же положительное число, то знак неравенства не изменится. Если обе части неравенства разделить на одно и то же отрицательное число, то знак неравенства изменится на противоположный.

Вы знаете, что числовые равенства можно почленно складывать и умножать. Далее вы научитесь выполнять аналогичные действия с неравенствами. Умения почленно складывать и умножать неравенства часто применяются на практике. Эти действия помогают решать задачи оценивания и сравнения значений выражений.

При решении различных задач часто приходится складывать или умножать почленно левые и правые части неравенств. При этом иногда говорят, что неравенства складываются или умножаются. Например, если турист прошёл в первый день более 20 км, а во второй - более 25 км, то можно утверждать, что за два дня он прошёл более 45 км. Точно так же если длина прямоугольника меньше 13 см, а ширина меньше 5 см, то можно утверждать, что площадь этого прямоугольника меньше 65 см2.

При рассмотрении этих примеров применялись следующие теоремы о сложении и умножении неравенств:

Теорема. При сложении неравенств одинакового знака получается неравенство того же знака: если а > b и c > d, то a + c > b + d.

Теорема. При умножении неравенств одинакового знака, у которых левые и правые части положительны, получается неравенство того же знака: если а > b, c > d и а, b, с, d - положительные числа, то ac > bd.

Неравенства со знаком > (больше) и 1/2, 3/4 b, c Наряду со знаками строгих неравенств > и Точно так же неравенство \(a \geq b \) означает, что число а больше или равно b, т. е. а не меньше b.

Неравенства, содержащие знак \(\geq \) или знак \(\leq \), называют нестрогими. Например, \(18 \geq 12 , \; 11 \leq 12 \) - нестрогие неравенства.

Все свойства строгих неравенств справедливы и для нестрогих неравенств. При этом если для строгих неравенств противоположными считались знаки > и Вы знаете, что для решения ряда прикладных задач приходится составлять математическую модель в виде уравнения или системы уравнений. Далее вы узнаете, что математическими моделями для решения многих задач являются неравенства с неизвестными. Будет введено понятие решения неравенства и показано, как проверить, является ли данное число решением конкретного неравенства.

Неравенства вида
\(ax > b, \quad ax в которых а и b - заданные числа, а x - неизвестное, называют линейными неравенствами с одним неизвестным .

Определение. Решением неравенства с одним неизвестным называется то значение неизвестного, при котором это неравенство обращается в верное числовое неравенство. Решить неравенство - это значит найти все его решения или установить, что их нет.

Решение уравнений вы осуществляли путём приведения их к простейшим уравнениям. Аналогично при решении неравенств их стремятся с помощью свойств привести к виду простейших неравенств.

Решение неравенств второй степени с одной переменной

Неравенства вида
\(ax^2+bx+c >0 \) и \(ax^2+bx+c где x - переменная, a, b и c - некоторые числа и \(a \neq 0 \), называют неравенствами второй степени с одной переменной .

Решение неравенства
\(ax^2+bx+c >0 \) или \(ax^2+bx+c можно рассматривать как нахождение промежутков, в которых функция \(y= ax^2+bx+c \) принимает положительные или отрицательные значения. Для этого достаточно проанализировать, как расположен график функции \(y= ax^2+bx+c \) в координатной плоскости: куда направлены ветви параболы - вверх или вниз, пересекает ли парабола ось x и если пересекает, то в каких точках.

Алгоритм решения неравенств второй степени с одной переменной:
1) находят дискриминант квадратного трехчлена \(ax^2+bx+c \) и выясняют, имеет ли трехчлен корни;
2) если трехчлен имеет корни, то отмечают их на оси x и через отмеченные точки проводят схематически параболу, ветви которой направлены вверх при a > 0 или вниз при a 0 или в нижней при a 3) находят на оси x промежутки, для которых точки параболы расположены выше оси x (если решают неравенство \(ax^2+bx+c >0 \)) или ниже оси x (если решают неравенство
\(ax^2+bx+c Решение неравенств методом интервалов

Рассмотрим функцию
f(x) = (х + 2)(х - 3)(х - 5)

Областью определения этой функции является множество всех чисел. Нулями функции служат числа -2, 3, 5. Они разбивают область определения функции на промежутки \((-\infty; -2), \; (-2; 3), \; (3; 5) \) и \((5; +\infty) \)

Выясним, каковы знаки этой функции в каждом из указанных промежутков.

Выражение (х + 2)(х - 3)(х - 5) представляет собой произведение трех множителей. Знак каждого из этих множителей в рассматриваемых промежутках указан в таблице:

Вообще пусть функция задана формулой
f(x) = (x-x 1)(x-x 2) ... (x-x n),
где x–переменная, а x 1 , x 2 , ..., x n – не равные друг другу числа. Числа x 1 , x 2 , ..., x n являются нулями функции. В каждом из промежутков, на которые область определения разбивается нулями функции, знак функции сохраняется, а при переходе через нуль ее знак изменяется.

Это свойство используется для решения неравенств вида
(x-x 1)(x-x 2) ... (x-x n) > 0,
(x-x 1)(x-x 2) ... (x-x n) где x 1 , x 2 , ..., x n - не равные друг другу числа

Рассмотренный способ решения неравенств называют методом интервалов.

Приведем примеры решения неравенств методом интервалов.

Решить неравенство:

Наносим на числовую ось нули функции и вычисляем знак на каждом промежутке:

Выбираем те промежутки, на которых функция меньше или равна нулю и записываем ответ.

Ответ:
\(x \in \left(-\infty; \; 1 \right) \cup \left[ 4; \; +\infty \right) \)

Ее к стандартному виду: A*x²+B*x+C=y(x), где A − старший коэффициент при x², B − средний коэффициент при x, C − свободный член. Обратите внимание, чтобы коэффициент при x² не равнялся нулю, это будет уже не квадратичная функция.

Координата вершины параболы x0 по оси абсцисс по формуле: x0=-B/2A. В случае приведенного квадратного уравнения, то есть, когда A=1, упрощается: x0=-B/2. Если в уравнении нет «икс а» в первой степени, значит, коэффициент B=0, и тогда x0 тоже обращается в нуль.

Итак, исследование аналитически заданной функции дало вам точку на с координатами (x0;y0). Если старший коэффициент A > 0, то ветви параболы направлены вверх, и в промежуток убывания будет сменяться промежутком возрастания. Если же A

Если необходимо отметить «икс

Т.к. x0 − точка экстремума функции, то ее числовое значение можно найти и при помощи дифференцирования. Найдите первую производную функции. Приравняйте ее нулю и решите полученное уравнение. Ему будет удовлетворять единственное значение x, которое и является координатой вершины параболы.

Если необходимо отметить «икс » на графике, проведите из вершины параболы пунктирной линией перпендикуляр к оси абсцисс. Точку, в которой перпендикуляр пересечет ось x, обозначьте за x0. Чтобы увидеть на графике «игрек нулевое», проведите из вершины перпендикуляр соответственно к оси ординат.

Инструкция

Нулевую скорость можно найти несколькими способами, каждый из которых применим к задачам, содержащим те или иные известные компоненты.

Если в условии задачи даны расстояние, которое прошло тело (S), время, которое потребовалось телу для преодоления расстояния (t), ускорение, с которым двигалось тело (a), то найти нулевую скорость можно с помощью формулы: S=V0t+at^2/2, где V0 – нулевая скорость, t^2 – t . Пусть S=100 м, t=5 c, a=2 м/c в .

Чтобы найти нулевую скорость (V0) с помощью формулы, указанной выше, воспользуйтесь правилом нахождения неизвестного слагаемого: «Чтобы найти неизвестное слагаемое, нужно из суммы вычесть известное слагаемое». Получится: V0t= S- at^2/2.

Предположим что x - это просто действительное число. Записывают это так: x∈ℝ - читается x принадлежит множеству действительных чисел. Всему множеству, элемент 0 тоже туда входит. И никакого подвоха с элементами x тут нет: бесконечность не является частью множества, которому принадлежит x, при этом x не является первообразной.

Предложу ещё один вариант решения, пока не упомянутый здесь:

Для начала введем некоторое определение:
Группой является множество элементов произвольной природы с введённой между ними (единственной!) операцией (обозначаемой в данном случае +), обладающей следующими свойствами:
(Обозначим нашу группу буквой G)
1) Замкнутость: ∀x,y ∈ G ⇒ x+y ∈ G. Читается так: для любых двух элементов x и y из группы G следует что их сумма так же является элементом группы G

2) Ассоциативность: ∀x,y,z ∈ G ⇒ (x+y)+z = x+(y+z). Читается так: для любых трёх элементов x,y,z принадлежащих группе G следует что можно сперва применить групповую операцию к элементам x и y, и в результате получить некоторый элемент (x+y) ∈ G, а затем применить групповую операцию к элементам (x+y) и z. Полученный в результате элемент должен быть равен элементу, который был получен в результате применения операции сперва к y и z, а затем к x и (y+z). То есть говоря проще перестановка скобок не меняет результата: (x+y)+z = x+(y+z)
3) ∀x ∈ G ⇒ ∃e ∈ G: x + e = e+ x = x. Читается так: В группе должен быть элемент e (называемый единицей группы), такой, что если применить групповую операцию e + x, а затем x + e - должен получаться один и тот же элемент x. То есть единица группы при прибавлении слева и справа не "сдвигает" элемент группы.

4) ∀x ∈ G ⇒ ∃x⁻¹: x + x⁻¹ = x⁻¹ + x = e. Читается так: У любого элемента x в группе G есть обратный, такой, что результат операции между x и x⁻¹ слева и справа равен единице группы.

Нужно понимать, что операция + в группе может быть совершенно любой. Символ + это всего лишь обозначение данной операции. Правильнее всего сказать что x+y = f(x,y)
где f - некоторая функция, возвращающая элемент группы.

Примеры групп и не групп. (Этот абзац можно пропустить):
Например множество ℤ (целых чисел) является группой если ввести в ней операцию обычного привычного всем нам сложения. Она замкнута, для любого x ∈ ℤ обратным является элемент -x, т.к. x + (-x) = 0. В качестве единицы группы выступает 0. И ассоциативность, разумеется, выполняется.
Однако если рассматривать множество ℤ с введенной на ней операцией стандартного умножения, то такая структура уже не будет являться группой - несмотря на то что имеется единица: x*1 = x и она ассоциативна: (x*y)*z = x*(y*z), во множестве целых чисел не существует обратных элементов ни для каких эементов кроме единицы. Действительно. Например обратным относительно умножения элементом для числа 4 является 1/4, т.к. 4 * (1/4) = 1. Но 1/4 не входит во множество целых чисел. 1/4 - это рациональное число.
Но если убрать из множества ℚ (рациональных чисел) элемент 0, то если ввести на ℚ операцию стандартного умножения, то ℚ будет группой, т.к. там есть и обратные и единица и она ассоциативна и замкнута.

Таким образом попробуем посмотреть. какой должна быть операция на множестве ℝ (действительных чисел), чтобы в нём существовало решение уравнения x⊕1=x. Где ⊕ - это обозначение групповой операции.

Введём операцию x⊕y = x+y-1
Тогда единицей нашей группы будет элемент 1, т.к. x⊕1 = 1⊕x = x + 1 - 1 = x.
То есть x⊕1 = x.
Обратным будет элемент: (2-x), т.к. x⊕(2-x) = (2-x)⊕x = x + (2-x) - 1 = 1 (единица группы)
Ассоциативность, очевидно. выполнена:
(x⊕y)⊕z = (x + y - 1)⊕z = x + y - 1 + z - 1 = x + y + z - 2
x⊕(y⊕z) = x⊕(y+z-1) = x + y + z - 1 - 1 = x + y + z - 2 = (x⊕y)⊕z
Кроме того легко видеть что наша группа замкнута относительно введённой операции.

Итак, мы проверили что множество с введённой нами операцией является группой, посмотрим, как там поживает наше уравнение, если x принадлежит построенной нами группе.

x⊕1 = x. Но когда мы проверяли является ли построенная нами структура группой уже выяснили, что 1 в нашей группе является единицей группы и свойство x⊕1=x в ней очевидно выполняется для любых элементов построенной нами группы.

Занятно, что в построенной нами группе 0⊕0 = -1:)

Автор, очевидно, намекал, что операция + является сложением. Но с точки зрения теории групп - множество ℝ с введенной в ней операцией обычного сложения ничем не отличается от множества ℝ/{0} (множество действительных чисел, но в нём убрали один элемент - 0) с введённой в ней операцией привычного умножения. И в алгебре + обычно означает что используется именно множество ℝ (без выкидывания нуля). В решении это учтено - в самом начале я упомянул, что 0∈ℝ.
Если бы ни это условие, можно было бы просто считать что x⊕y = x*y.