В какой многоугольник можно вписать окружность. Правила для многоугольников которые можно вписать в окружность и описать окружность вокруг них

«Описанная окружность» мы видели, что вокруг всякого треугольника можно описать окружность. То есть, для всякого треугольника найдётся такая окружность, что все три вершины треугольника «сидят» на ней. Вот так:

Вопрос: а можно ли то же самое сказать о четырехугольнике? Правда ли, что всегда найдётся окружность, на которой будут «сидеть» все четыре вершины четырехугольника?

Вот оказывается, что это НЕПРАВДА! НЕ ВСЕГДА четырехугольник можно вписать в окружность . Есть очень важное условие:

На нашем рисунке:

Посмотри, углы и лежат друг напротив друга, значит, они противоположные. А что же тогда с углами и? Они вроде бы тоже противоположные? Можно ли вместо углов и взять углы и?

Конечно, можно! Главное, чтобы у четырехугольника нашлись какие-то два противоположных угла, сумма которых будет. Оставшиеся два угла тогда сами собой тоже дадут в сумме. Не веришь? Давай убедимся. Смотри:

Пусть. Помнишь ли ты, чему равна сумма всех четырех углов любого четырехугольника? Конечно, . То есть - всегда! . Но, → .

Волшебство прямо!

Так что запомни крепко-накрепко:

Если четырехугольник вписан в окружность, то сумма любых двух его противоположных углов равна

и наоборот:

Если у четырехугольника есть два противоположных угла, сумма которых равна, то такой четырехугольник вписанный.

Доказывать всё это мы здесь не будем (если интересно, заглядывай в следующие уровни теории). Но давай посмотрим, к чему приводит этот замечательный факт о том, что у вписанного четырехугольника сумма противоположных углов равна.

Вот, например, приходит в голову вопрос, а можно ли описать окружность вокруг параллелограмма? Попробуем сперва «методом тыка».

Вот как-то не получается.

Теперь применим знание:

предположим, что нам как-то удалось посадить на параллелограмм окружность. Тогда непременно должно быть: , то есть.

А теперь вспомним о свойствах параллелограмма:

у всякого параллелограмма противоположные углы равны.

У нас получилось, что

А что же углы и? Ну, то же самое конечно.

Вписанный → →

Параллелограмм→ →

Потрясающе, правда?

Получилось, что если параллелограмм вписан в окружность, то все его углы равны, то есть это прямоугольник!

И ещё при этом - центр окружности совпадает с точкой пересечения диагоналей этого прямоугольника . Это, так сказать, в качестве бонуса прилагается.

Ну, вот значит, выяснили, что параллелограмм, вписанный в окружность - прямоугольник .

А теперь поговорим о трапеции. Что будет, если трапецию вписать в окружность? А оказывается, будет равнобедренная трапеция . Почему?

Вот пусть трапеция вписана в окружность. Тогда опять, но из-за параллельности прямых и.

Значит, имеем: → → трапеция равнобокая.

Даже проще чем с прямоугольником, правда? Но запомнить нужно твёрдо - пригодиться:

Давай ещё раз перечислим самые главные утверждения , касающиеся четырехугольника, вписанного в окружность:

1. Четырехугольник вписан в окружность тогда и только тогда, когда сумма двух его противоположных углов равна
2. Параллелограмм, вписанный в окружность - непременно прямоугольник и центр окружности совпадает с точкой пересечения диагоналей
3. Трапеция, вписанная в окружность - равнобокая.

Вписанный четырехугольник. Средний уровень

Известно, что для всякого треугольника существует описанная окружность (это мы доказывали в теме «Описанная окружность»). Что же можно сказать о четырёхугольнике? Вот, оказывается, что НЕ ВСЯКИЙ четырехугольник можно вписать в окружность , а есть такая теорема:

Четырёхугольник вписан в окружность тогда и только тогда, когда сумма его противоположных углов равна .

На нашем рисунке -

Давай попробуем понять, почему так? Другими словами, мы сейчас докажем эту теорему. Но прежде чем доказывать, нужно понять, как устроено само утверждение. Ты заметил в утверждении слова «тогда и только тогда»? Такие слова означают, что вредные математики впихнули два утверждения в одно.

Расшифровываем:

1. «Тогда» означает: Если четырехугольник вписан в окружность, то сумма любых двух его противоположных углов равна.
2. «Только тогда» означает: Если у четырёхугольника найдутся два противоположных угла, сумма которых равна, то такой четырехугольник можно вписать в окружность.

Прямо как у Алисы: «думаю, что говорю» и «говорю, что думаю».

А теперь разбираемся, отчего же верно и 1, и 2?

Сначала 1.

Пусть четырехугольник вписан в окружность. Отметим её центр и проведём радиусы и. Что же получится? Помнишь ли ты, что вписанный угол вдвое меньше соответствующего центрального? Если помнишь - сейчас применим, а если не очень - загляни в тему «Окружность. Вписанный угол» .

Вписанный

Вписанный

Но посмотри: .

Получаем, что если - вписанный, то

Ну, и ясно, что и тоже в сумме составляет. (нужно так же рассмотреть и).

Теперь и «наоборот», то есть 2.

Пусть оказалось так, что у четырехугольника сумма каких - то двух противоположных углов равна. Скажем, пусть

Мы пока не знаем, можем ли описать вокруг него окружность. Но мы точно знаем, что вокруг треугольника мы гарантированно окружность описать можем. Так и сделаем это.

Если точка не «села» на окружность, то она неминуемо оказалась или снаружи или внутри.

Рассмотрим оба случая.

Пусть сначала точка - снаружи. Тогда отрезок пересекает окружность в какой-то точке. Соединим и. Получился вписанный (!) четырехугольник.

Про него уже знаем, что сумма его противоположных углов равна, то есть, а по условию у нас.

Получается, что должно бы быть так, что.

Но это никак не может быть поскольку - внешний угол для и значит, .

А внутри? Проделаем похожие действия. Пусть точка внутри.

Тогда продолжение отрезка пересекает окружность в точке. Снова - вписанный четырехугольник, а по условию должно выполняться, но - внешний угол для и значит, то есть опять никак не может быть так, что.

То есть точка не может оказаться ни снаружи, ни внутри окружности - значит, она на окружности!

Доказали всю-всю теорему!

Теперь посмотрим, какие же хорошие следствия даёт эта теорема.

Следствие 1

Параллелограмм, вписанный в окружность, может быть только прямоугольником.

Давай-ка поймём, почему так. Пусть параллелограмм вписан в окружность. Тогда должно выполняться.

Но из свойств параллелограмма мы знаем, что.

И то же самое, естественно, касательно углов и.

Вот и получился прямоугольник - все углы по.

Но, кроме того, есть ещё дополнительный приятный факт: центр окружности, описанной около прямоугольника, совпадает с точкой пересечения диагоналей.

Давай поймём почему. Надеюсь, ты отлично помнишь, что угол, опирающийся на диаметр - прямой.

Диаметр,

Диаметр

а значит, - центр. Вот и всё.

Следствие 2

Трапеция, вписанная в окружность - равнобедренная.

Пусть трапеция вписана в окружность. Тогда.

И так же.

Всё ли мы обсудили? Не совсем. На самом деле есть ещё один, «секретный» способ, как узнавать вписанный четырехугольник. Мы этот способ сформулируем не очень строго (но понятно), а докажем только в последнем уровне теории.

Если в четырёхугольнике можно наблюдать такую картинку, как здесь на рисунке (тут углы, «смотрящие» на сторону из точек и, равны), то такой четырехугольник - вписанный.

Это очень важный рисунок - в задачах часто бывает легче найти равные углы, чем сумму углов и.

Несмотря на совершенное отсутствие строгости в нашей формулировке, она верна, и более того, всегда принимается проверяющими ЕГЭ. Ты должен писать примерно так:

« - вписанный» - и всё будет отлично!

Не забывай этот важный признак - запомни картинку, и, возможно, она тебе вовремя бросится в глаза при решении задачки.

Вписанный четырехугольник. Краткое описание и основные формулы

Если четырехугольник вписан в окружность, то сумма любых двух его противоположных углов равна

и наоборот:

Если у четырехугольника есть два противоположных угла, сумма которых равна, то такой четырехугольник вписанный.

Четырехугольник вписан в окружность тогда и только тогда, когда сумма двух его противоположных углов равна.

Параллелограмм, вписанный в окружность - непременно прямоугольник , и центр окружности совпадает с точкой пересечения диагоналей.

Трапеция , вписанная в окружность - равнобокая .

Рассказывает Дмитрий Шилов, юрист независимого аналитического агентства «Инвесткафе»:

Брачный договор - сравнительно новый институт современного отечественного права, который был создан с принятием и введением в действие с 01 марта 1996 года Семейного кодекса Российской Федерации. Одной из основных причин его появления стала необходимость регулировать имущественные отношения супругов в рамках отношений частной собственности - они, кстати, только зарождались в середине 90-х годов прошлого века. Соответственно, государство предоставило гражданам, состоящим в браке, возможность регулировать свои имущественные отношения - на основе договора.

Прошло более пятнадцати лет, как институт брачного договора регулируется нормами семейного права. Тем не менее, у многих россиян осталось весьма не позитивное отношение к возможности заключения брачного договора. Связано это, как правило, с отсутствием точных знаний и понимания такого рода договорных отношений супругов, а также с национальными обычаями, устоями и взглядами, сложившимися за многие годы и даже поколения. Для некоторых супругов, например, предложение другого супруга заключить брачный договор означает, как минимум, недоверие. Плюс, внутрисемейные имущественные отношения - это сугубо личное дело каждой семьи, и каждая семья вправе сама решать - каким образом регулировать эти отношения в период брака.

Правила игры

Итак, что же такое брачный договор? Брачным договором признается соглашение лиц, вступающих в брак (будущих супругов), или соглашение супругов, определяющее имущественные права и обязанности супругов в браке и (или) в случае его расторжения. Сразу хочу особо отметить то, что брачный договор регулирует только права и обязанности, связанные с имущественными взаимоотношениями супругов. И не может ограничивать правоспособность или дееспособность супругов, их право на обращение в суд за защитой своих прав, не может регулировать личные неимущественные отношения между супругами, права и обязанности супругов в отношении детей, не может предусматривать положения, ограничивающие право нетрудоспособного нуждающегося супруга на получение содержания, содержать другие условия, которые ставят одного из супругов в крайне неблагоприятное положение или противоречат основным началам семейного законодательства.

По общему правилу брачный договор заключается в письменной форме и подлежит нотариальному удостоверению. В противном случае такой договор будет считаться не заключенным и не влекущим для сторон, его подписавших, каких-либо правовых последствий. Брачный договор действует в период брака, зарегистрированного в соответствии с правилами семейного законодательства. Причем его возможно заключить супругам как уже в период брака, так и до вступления в брак. Соответственно, заключить брачный договор на период т.н. «гражданского брака» не представляется возможным.

Преимущества

Брачным договором супруги вправе изменить установленный законом режим совместной собственности, суть которого заключается в том, что приобретенное супругами в период брака имущество является их совместной собственностью (без определения долей), и распоряжение таким имуществом осуществляется ТОЛЬКО по взаимному согласию супругов. Причем брачным договором можно установить режим совместной, долевой или т.н. «раздельной» собственности как на все имущество супругов, так и на его отдельные виды, либо на имущество каждого из супругов. Брачный договор может быть заключен как в отношении имеющегося, так и в отношении будущего (приобретенного после заключения брачного договора) имущества супругов. К примеру, возможно не только разделить имеющуюся у супругов недвижимость, но и определить их права и обязанности по ее взаимному содержанию, а также способы участия в доходах друг друга, порядок несения каждым из них семейных расходов; определить имущество, которое будет передано каждому из супругов в случае расторжения брака, а также включить в брачный договор любые иные положения, касающиеся имущественных отношений супругов.

Брачный договор может быть изменен или расторгнут в любое время по соглашению супругов. Соглашение об изменении или о расторжении брачного договора совершается в той же форме, что и сам брачный договор (т.е. в письменной форме с обязательным удостоверением такого соглашения нотариусом). Также закон предусматривает возможность по требованию одного из супругов в судебном порядке изменить либо расторгнуть брачный договор. Кроме того, действие брачного договора прекращается с момента прекращения брака, за исключением тех обязательств, которые предусмотрены брачным договором на период после прекращения брака.

По роду своей практической деятельности я часто сталкиваюсь с ситуациями, касающимися раздела имущества супругов. Такие ситуации, как правило, возникают при расторжении брака и, соответственно раздел имущества - психологически сложный для бывших супругов процесс. Несомненно, общеизвестный слоган «С милым рай в шалаше» имеет в какой-то мере свою актуальность, но, по моему мнению, регулирует именно личные неимущественные взаимоотношения супругов. Я также являюсь сторонником мнения, что принятие решения о заключении брачного договора - процесс сугубо индивидуальный и что такое решение должно приниматься только супругами и без какого-либо вмешательства извне. Кроме, конечно государства, регулирующего на законодательном уровне правила этой «игры».

Кстати

На Западе практика брачных договоров гораздо более распространена, чем у нас, тем более если речь идёт о богатых и знаменитых. Причём в случае последних содержание «супружеского соглашения» зачастую становится достоянием общественности, и в результате весь мир узнаёт довольно пикантные подробности семейной жизни некоторых звёзд.

Например, актёр и режиссёр Бен Аффлек , женясь на певице Дженнифер Лопес , письменно обязался исполнять свой супружеский долг не менее чем 4 раза в неделю. Кроме того, один из пунктов брачного контракта устанавливал «штраф» за измену в размере миллиона долларов в пользу обманутого супруга. Неизвестно, кто именно настоял на этом условии, однако Аффлек всегда был в голливудской тусовке известным ловеласом.

Ещё один не совсем обычный контракт заключили актриса Николь Кидман и рок-музыкант Кит Урбан . Выходя замуж за Урбана, Николь взяла с него обещание остепениться и забыть образ жизни рок-звезды; а в качестве гарантии в брачном контракте появился пункт, согласно которому Урбан никогда не будет употреблять кокаин. Если он будет соблюдать это условие, за каждый год семейной жизни он будет получать «зарплату» в размере 640 тысяч долларов. Если же сорвётся - не получит ничего.

А вот пример неудачного брачного договора - это контракт между моделью Клаудией Шиффер и бизнесменом Тимом Джеффи , который в итоге стал причиной их расставания. Аккурат накануне свадьбы Тим потратил 60 тысяч долларов из кармана своей будущей жены, поэтому в контракте она указала, что он может тратить только самостоятельно заработные деньги. Обиженный Тим назвал Шиффер чересчур меркантильной и расторг помолвку.

Для треугольника всегда возможны и вписанная окружность и описанная окружность.

Для четырехугольника окружность можно вписать только в том случае, если суммы его противоположных сторон одинаковы. Из всех параллелограммов только в ромб и квадрат можно вписать окружность. Ее центр лежит на пересечении диагоналей.

Вокруг четырехугольника окружность можно описать только если сумма противоположных углов равна 180°. Из всех параллелограммов только около прямоугольника и квадрата можно описать окружность. Ее центр лежит на пересечении диагоналей.

Вокруг трапеции возможно описать окружность или в трапецию можно вписать окружность если трапеция равнобокая.

Центр описанной окружности

Теорема. Центр описанной около треугольника окружности является точкой пересечениясерединных перпендикуляров к сторонам треугольника.

Центр описанной около многоугольника окружности является точкой пересечения серединных перпендикуляров к сторонам этого многоугольника.

Центр Вписанная окружность

Определение . Вписанная в выпуклый многоугольник окружность - это окружность, которая касается всех сторон этого многоугольника (то есть каждая из сторон многоугольника является для окружностикасательной).

Центр вписанной окружности лежит внутри многоугольника.

Многоугольник, в который вписана окружность, называется описанным.

В выпуклый многоугольник можно вписать окружность, если биссектрисы всех его внутренних углов пересекаются в одной точке.

Центр вписанной в многоугольник окружности - точка пересечения его биссектрис.

Центр вписанной окружности равноудален от сторон многоугольника. Расстояние от центра до любой стороны равно радиусу вписанной окружности По свойству касательных, проведённых из одной точки, любая вершина описанного многоугольника равноудалена от точек касания, лежащих на сторонах, выходящих из этой вершины.

В любой треугольник можно вписать окружность. Центр вписанной в треугольник окружности называется инцентром.

В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда суммы длин его противолежащих сторон равны. В частности, в трапецию можно вписать окружность, если сумма её оснований равна сумме боковых сторон.

В любой правильный многоугольник можно вписать окружность. Около любого правильного многоугольника можно также описать окружность. Центр вписанной и описанной окружностей лежат в центре правильного многоугольника.

Для любого описанного многоугольника радиус вписанной окружности может быть найден по формуле

Где S - площадь многоугольника, p - его полупериметр.

Правильный n-угольник - формулы

Формулы длины стороны правильного n-угольника

1. Формула стороны правильного n-угольника через радиус вписанной окружности:

2. Формула стороны правильного n-угольника через радиус описанной окружности:

Формула радиуса вписанной окружности правильного n-угольника

Формула радиуса вписанной окружности n-угольника через длину стороны:

4. Формула радиуса описанной окружности правильного треугольника через длину стороны:

6. Формула площади правильного треугольника через радиус вписанной окружности: S = r 2 3√3

7. Формула площади правильного треугольника через радиус описанной окружности:

4. Формула радиуса описанной окружности правильного четырехугольника через длину стороны:

2. Формула стороны правильного шестиугольника через радиус описанной окружности: a = R

3. Формула радиуса вписанной окружности правильного шестиугольника через длину стороны:

6. Формула площади правильного шестиугольника через радиус вписанной окружности: S = r 2 2√3

7. Формула площади правильного шестиугольника через радиус описанной окружности:

8. Угол между сторонами правильного шестиугольника: α = 120°

Значение числа (произносится «пи» ) - математическая константа, равная отношению

длины окружности к длине её диаметра, оно выражается бесконечной десятичной дробью.

Обозначается буквой греческого алфавита «пи». Чему равно число пи? В простых случаях хватает знать первые 3 знака (3,14).

53. Найдем длину дуги окружности радиуса R, отвечающей центральному углу в n°

Центральный угол, опирающийся на дугу, длина которой равна радиусу окружности, называется углом в 1 радиан.

Градусная мера угла в 1 радиан равна:

Так как дуга длиной π R (полуокружность), стягивает центральный угол в 180° , то дуга длиной R, стягивает угол в π раз меньший, т.е.

И наоборот

Так как π = 3,14, то 1 рад = 57,3°

Если угол содержит a радиан, то его градусная мера равна

И наоборот

Обычно при обозначении меры угла в радианах наименование «рад» опускают.

Например, 360° = 2π рад, пишут 360° = 2π

В таблице указаны наиболее часто встречающиеся углы в градусной и радианной мере.

Сленговое выражение «вписка» уже давно используется в общении. В этом посте мы подробно разберем значение слова, которое стало очень популярным среди молодежи.

Что это значит?

Итак, на сленге — приглашение весело провести время в шумной компании на чьей-то квартире. Кстати, жаргонизм появился еще во времена СССР, когда молодежь искала свободную квартиру для развлечений и отдыха.

Основателями необычного слова стали участниками субкультуры хиппи. Ребята частенько путешествовали по стране и из-за недостатка финансов останавливались на ночлег в домах или на квартирах своих друзей, знакомых, а то и посторонних людей. Такие ночевки было принято называть «вписками».

На сегодняшний день вписки у подростков — это посещения вечеринок на дому или на квартире, которые предполагают последующую ночевку. Подобные сборища обещают быть шумными и продолжительными. На вписках распиваются спиртные напитки.

Очень часто такие мероприятия проводятся у кого-то из знакомых, когда родители подростков уезжают в отпуск или же в командировку. Самое главное — наличие пустой квартиры, дома или даже дачи.

В некоторых случаях вписка на молодежном сленге может означать временное проживание в чьей-то квартире в течение нескольких дней.

Основная цель мероприятия

С какой же целью собирают такие тусовки? Все просто. Молодежный движ организовывается вдали от взрослых, которые часто надоедают подросткам поучениями, наставлениями и советами. Ребята хотят побыть вдали от старших и как следует повеселиться.

Кстати, иногда вписку рассматривают только в качестве ночлега. Например, у человека нет денег на гостиницу или аренду жилья, но необходимо где-то переночевать. Или же кто-то просто опоздал на последний автобус или трамвай, а хозяин квартиры, чтобы не выгонять гостя в столь позднее время, оставляет его на ночь (подобные случаи называются «незапланированной впиской»).

Виды вечеринок

Что же делают на так называемых «вписках»? Все зависит от вида такого мероприятия. Сейчас мы подробнее расскажем о каждом из них.

Легион

Одна из самых безопасных и безобидных вписок. На такое мероприятие приходят люди, которые отлично знают друг друга. Они собираются не только для распития спиртного, но и для интересного общения. Маленький нюанс: изначально на легионах собираются парни, а потом они приглашают в гости незнакомых девушек. Это часто делается через социальные сети.

Флэт

Еще один вполне безобидный вид вписки. Ребята собираются только для того, чтобы вместе заняться любимым делом. Это может быть прослушивание музыки или игра в компьютерные игры.

Подводная лодка

Молодежный сленг изобилует подобным выражением. Что же оно значит? Оказывается, подводная лодка — это необычная вписка, на которой молодежь запирается в квартире или на даче с целью повеселиться. Ее цель — отрешение от привычного мира. Пока длится «подводная лодка», нельзя выходить из помещения, дома или квартиры, запрещено пользоваться мобильными телефонами и электроприборами.

На стороне

Такая вписка считается небезопасной, ведь на нее приходят незнакомые друг с другом люди. Еще одна проблема мероприятия в том, что его могут отменить в последний момент.

Road party

Тусовка по дороге куда-либо. Обычно молодежь собирается в купе спального вагона.

Hustle

Слово в переводе с английского означает «толкотня». Это вписки с таким огромным количеством человек, что в квартире просто не остается свободного места. Кстати, далеко не всем подросткам нравится такое положение вещей. Но с другой стороны это отличная возможность познакомиться с кем-нибудь, кто пригласит на следующую тусовку.

Вписка-сосиска

Вечеринка, на которую не пришла ни одна из приглашенных девушек.

Как попасть на вписку?

Попасть на вписку несложно. Можно просто воспользоваться поиском в социальной сети «ВКонтакте». Там легко найти пользователя, который собирает у себя дома ребят для тусовки на одну или несколько ночей.

Но стоит помнить, что, посещая такие мероприятия, следует соблюдать осторожность, ведь последствия могут быть самыми непредсказуемыми!

Есть ли какие-то правила?

Чтобы «вписаться» в какую-либо тусовку вам следует знать, что есть определенные правила поведения на таких мероприятиях.

Обязательное условие — вежливость по отношению к присутствующим. Считается неприличным спрашивать, где устроиться на ночлег в квартире. Хозяин может сам указать на спальное место, но обычно гости располагаются прямо на полу.

Запрещено брать вещи, которые принадлежат владельцу дома и тем более без спроса выносить их за пределы жилища. Использовать телефон и ванную комнату можно только с согласия хозяина.

Еду и спиртные напитки желательно принести на вписку с собой!

Еще больше интересной информации о вписках вы можете узнать из видео:

Теперь вы знаете об этих тусовках всё!

Определения

Окружность \(S\) вписана в угол \(\alpha\) , если \(S\) касается сторон угла \(\alpha\) .

Окружность \(S\) вписана в многоугольник \(P\) , если \(S\) касается всех сторон \(P\) .

В этом случае многоугольник \(P\) называется описанным около окружности.

Теорема

Центр вписанной в угол окружности лежит на его биссектрисе.

Доказательство

Пусть \(O\) – центр некоторой окружности, вписанной в угол \(BAC\) . Пусть \(B"\) – точка касания окружности и \(AB\) , а \(C"\) – точка касания окружности и \(AC\) , тогда \(OB"\) и \(OC"\) – радиусы, проведённые в точки касания, следовательно, \(OC"\perp AC\) , \(OB"\perp AB\) , \(OC" = OB"\) .

Значит, треугольники \(AC"O\) и \(AB"O\) – прямоугольные треугольники, у которых равны катеты и общая гипотенуза, следовательно, они равны, откуда \(\angle CAO = \angle BAO\) , что и требовалось доказать.

Теорема

В любой треугольник можно вписать единственную окружность, причём центр этой вписанной окружности есть точка пересечения биссектрис треугольника.

Доказательство

Проведем биссектрисы углов \(\angle A\) и \(\angle B\) . Пусть они пересеклись в точке \(O\) .

Т.к. \(O\) лежит на биссектрисе \(\angle A\) , то расстояния от точки \(O\) до сторон угла равны: \(ON=OP\) .

Т.к. \(O\) также лежит на биссектрисе \(\angle B\) , то \(ON=OK\) . Таким образом, \(OP=OK\) , следовательно, точка \(O\) равноудалена от сторон угла \(\angle C\) , следовательно, лежит на его биссектрисе, т.е. \(CO\) – биссектриса \(\angle C\) .

Таким образом, точки \(N, K, P\) равноудалены от точки \(O\) , то есть лежат на одной окружности. По определению это и есть вписанная в треугольник окружность.

Данная окружность единственна, т.к. если предположить, что существует другая вписанная в \(\triangle ABC\) окружность, то она будет иметь тот же центр и тот же радиус, то есть будет совпадать с первой окружностью.

Таким образом, попутно была доказана следующая теорема:

Следствие

Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.

Теорема о площади описанного треугольника

Если \(a,b,c\) – стороны треугольника, а \(r\) – радиус вписанной в него окружности, то площадь треугольника \ где \(p=\dfrac{a+b+c}2\) – полупериметр треугольника.

Доказательство

\(S_{\triangle ABC}=S_{\triangle AOC}+S_{\triangle AOB}+S_{\triangle BOC}=\frac12OP\cdot AC+\frac12 ON\cdot AB+\frac12 OK\cdot BC\) .

Но \(ON=OK=OP=r\) – радиусы вписанной окружности, следовательно,

Следствие

Если в многоугольник вписана окружность и \(r\) – ее радиус, то площадь многоугольника равна произведению полупериметра многоугольника на \(r\) : \

Теорема

В выпуклый четырёхугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда суммы его противоположных сторон равны.

Доказательство

Необходимость. Докажем, что если в \(ABCD\) вписана окружность, то \(AB+CD=BC+AD\) .

Пусть \(M,N,K,P\) – точки касания окружности и сторон четырехугольника. Тогда \(AM, AP\) – отрезки касательных к окружности, проведенные из одной точки, следовательно, \(AM=AP=a\) . Аналогично, \(BM=BN=b, \ CN=CK=c, \ DK=DP=d\) .

Тогда: \(AB+CD=a+b+c+d=BC+AD\) .

Достаточность. Докажем, что если суммы противоположных сторон четырехугольника равны, то в него можно вписать окружность.

Проведем биссектрисы углов \(\angle A\) и \(\angle B\) , пусть они пересекутся в точке \(O\) . Тогда точка \(O\) равноудалена от сторон этих углов, то есть от \(AB, BC, AD\) . Впишем окружность в \(\angle A\) и \(\angle B\) с центром в точке \(O\) . Докажем, что эта окружность будет касаться и стороны \(CD\) .

Предположим, что это не так. Тогда \(CD\) либо является секущей, либо не имеет общих точек с окружностью. Рассмотрим второй случай (первый будет доказываться аналогично).

Проведем касательную прямую \(C"D" \parallel CD\) (как показано на рисунке). Тогда \(ABC"D"\) – описанный четырехугольник, следовательно, \(AB+C"D"=BC"+AD"\) .

Т.к. \(BC"=BC-CC", \ AD"=AD-DD"\) , то:

Получили, что в четырехугольнике \(C"CDD"\) сумма трех сторон равна четвертой, что невозможно*. Следовательно, предположение ошибочно, значит, \(CD\) касается окружности.

Замечание*. Докажем, что в выпуклом четырехугольнике не может сторона равняться сумме трех других.

Т.к. в любом треугольнике сумма двух сторон всегда больше третьей, то \(a+x>d\) и \(b+c>x\) . Складывая данные неравенства, получим: \(a+x+b+c>d+x \Rightarrow a+b+c>d\) . Следовательно, сумма любых трех сторон всегда больше четвертой стороны.

Теоремы

1. Если в параллелограмм вписана окружность, то он – ромб (рис. 1).

2. Если в прямоугольник вписана окружность, то он – квадрат (рис. 2).

Верны и обратные утверждения: в любой ромб и квадрат можно вписать окружность, и притом только одну.

Доказательство

1) Рассмотрим параллелограмм \(ABCD\) , в который вписана окружность. Тогда \(AB+CD=BC+AD\) . Но в параллелограмме противоположные стороны равны, т.е. \(AB=CD, \ BC=AD\) . Следовательно, \(2AB=2BC\) , а значит, \(AB=BC=CD=AD\) , т.е. это ромб.

Обратное утверждение очевидно, причем центр этой окружности лежит на пересечении диагоналей ромба.

2) Рассмотрим прямоугольник \(QWER\) . Т.к. прямоугольник является параллелограммом, то согласно первому пункту \(QW=WE=ER=RQ\) , т.е. это ромб. Но т.к. все углы у него прямые, то это квадрат.

Обратное утверждение очевидно, причем центр этой окружности лежит на пересечении диагоналей квадрата.