Дробные неравенства и системы неравенств. Рациональные неравенства — Гипермаркет знаний

Соблюдение Вашей конфиденциальности важно для нас. По этой причине, мы разработали Политику Конфиденциальности, которая описывает, как мы используем и храним Вашу информацию. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашими правилами соблюдения конфиденциальности и сообщите нам, если у вас возникнут какие-либо вопросы.

Сбор и использование персональной информации

Под персональной информацией понимаются данные, которые могут быть использованы для идентификации определенного лица либо связи с ним.

От вас может быть запрошено предоставление вашей персональной информации в любой момент, когда вы связываетесь с нами.

Ниже приведены некоторые примеры типов персональной информации, которую мы можем собирать, и как мы можем использовать такую информацию.

Какую персональную информацию мы собираем:

Когда вы оставляете заявку на сайте, мы можем собирать различную информацию, включая ваши имя, номер телефона, адрес электронной почты и т.д.

Как мы используем вашу персональную информацию:

Собираемая нами персональная информация позволяет нам связываться с вами и сообщать об уникальных предложениях, акциях и других мероприятиях и ближайших событиях.
Время от времени, мы можем использовать вашу персональную информацию для отправки важных уведомлений и сообщений.
Мы также можем использовать персональную информацию для внутренних целей, таких как проведения аудита, анализа данных и различных исследований в целях улучшения услуг предоставляемых нами и предоставления Вам рекомендаций относительно наших услуг.
Если вы принимаете участие в розыгрыше призов, конкурсе или сходном стимулирующем мероприятии, мы можем использовать предоставляемую вами информацию для управления такими программами.

Раскрытие информации третьим лицам

Мы не раскрываем полученную от Вас информацию третьим лицам.

Исключения:

В случае если необходимо - в соответствии с законом, судебным порядком, в судебном разбирательстве, и/или на основании публичных запросов или запросов от государственных органов на территории РФ - раскрыть вашу персональную информацию. Мы также можем раскрывать информацию о вас если мы определим, что такое раскрытие необходимо или уместно в целях безопасности, поддержания правопорядка, или иных общественно важных случаях.
В случае реорганизации, слияния или продажи мы можем передать собираемую нами персональную информацию соответствующему третьему лицу – правопреемнику.

Защита персональной информации

Мы предпринимаем меры предосторожности - включая административные, технические и физические - для защиты вашей персональной информации от утраты, кражи, и недобросовестного использования, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменения и уничтожения.

Соблюдение вашей конфиденциальности на уровне компании

Для того чтобы убедиться, что ваша персональная информация находится в безопасности, мы доводим нормы соблюдения конфиденциальности и безопасности до наших сотрудников, и строго следим за исполнением мер соблюдения конфиденциальности.

С помощью данного урока вы узнаете о рациональных неравенствах и их системах. Решается система рациональных неравенств с помощью эквивалентных преобразований. Рассматривается определение эквивалентности, способ замены дробно-рационального неравенства - квадратным,а также разбирается в чем отличие неравенства от уравнения и как осуществляются равносильные преобразования.

Алгебра 9 класс

Итоговое повторение курса алгебры 9-го класса

Рациональные неравенства и их системы. Системы рациональных неравенств.

1.1 Конспект.

1. Эквивалентные преобразования рациональных неравенств.

Решить рациональное неравенство означает – найти все его решения. В отличии от уравнения, при решении неравенства, как правило, возникает бесчисленное множество решений. Бесчисленное множество решений нельзя проверить методом подстановки. Поэтому, нужно так преобразовывать исходное неравенство, чтобы в каждой следующей строчке получалось неравенство с тем же множеством решений.

Рациональные неравенства решаются только с помощью эквивалентных или равносильных преобразований. Такие преобразования не искажают множество решений.

Определение . Рациональные неравенства называют эквивалентными , если множества их решений совпадают.

Для обозначения эквивалентности используют знак

2. Решение системы неравенств

Первое и второе неравенство – это дробно-рациональные неравенства. Методы их решения являются естественным продолжением методов решения линейных и квадратных неравенств.

Перенесем числа, стоящие в правой части, в левую с противоположным знаком.

В итоге в правой части останется 0. Это преобразование является эквивалентным. На это указывает знак

Выполним действия, которые предписывает алгебра. Вычтем «1» в первом неравенстве и «2» во втором.

3. Решение неравенства методом интервалов

1) Введем функцию. Нам нужно узнать, когда эта функция меньше 0.

2) Найдем область определения функции: в знаменателе не должен стоять 0. «2» - точка разрыва. При х=2 функция неопределенна.

3) Найдем корни функции. Функция равна 0,если в числителе стоит 0.

Поставленные точки разбивают числовую ось на три интервала – это интервалы знакопостоянства. На каждом интервале функция сохраняет знак. Определим знак на первом интервале. Подставим какое-нибудь значение. Например, 100. Ясно, что и числитель, и знаменатель больше 0. Значит и вся дробь положительна.

Определим знаки на остальных промежутках. При переходе через точку х=2 только знаменатель меняет знак. Значит, и вся дробь поменяет знак, и будет отрицательной. Проведем аналогичное рассуждение. При переходе через точку х=-3 только числитель меняет знак. Значит, дробь поменяет знак и будет положительной.

Выберем интервал соответствующий условию неравенства. Заштрихуем его и запишем в виде неравенства

4. Решение неравенства с помощью квадратичного неравенства

Важный факт.

При сравнении с 0 (в случае строгого неравенства) дробь можно заменить на произведение числителя на знаменатель или поменять числитель или знаменатель местами.

Это так, потому, что все три неравенства выполняются при условии, что u и v разного знака. Эти три неравенства эквивалентны.

Используем это факт и заменим дробно-рациональное неравенство квадратным.

Решим квадратное неравенство.

Введем квадратичную функцию. Найдем ее корни и построим эскиз ее графика.

Значит, ветви параболы вверх. Внутри интервала корней функция сохраняет знак. Она отрицательна.

Вне интервала корней функция положительна.

Решение первого неравенства:

5. Решение неравенства

Введем функцию:

Найдем ее интервалы знакопостоянства:

Для этого найдем корни и точки разрыва области определения функции. Точки разрыва выкалываем всегда. (х=3/2) Корни выкалываем в зависимости от знака неравенства. Наше неравенство строгое. Поэтому корень выкалываем.

Расставим знаки:

Запишем решение:

Закончим решение системы. Найдем пересечение множества решений первого неравенства и множества решений второго неравенства.

Решить систему неравенств означает найти пересечение множества решений первого неравенства и множества решений второго неравенства. Поэтому, решив первое и второе неравенство по отдельности нужно записать полученные результаты в одну систему.

Изобразим решение первого неравенства над осью Ох.

Рациональные неравенства и их системы. Системы рациональных неравенств
Итоговое повторение курса алгебры 9-го класса

Алгебра 9 класс

Итоговое повторение курса алгебры 9-го класса

Рациональные неравенства и их системы. Системы рациональных неравенств.

1.1 Конспект.

1. Эквивалентные преобразования рациональных неравенств.

Определение . Рациональные неравенства называют эквивалентными , если множества их решений совпадают.

Для обозначения эквивалентности используют знак

2. Решение системы неравенств

Перенесем числа, стоящие в правой части, в левую с противоположным знаком.

В итоге в правой части останется 0. Это преобразование является эквивалентным. На это указывает знак

Выполним действия, которые предписывает алгебра. Вычтем «1» в первом неравенстве и «2» во втором.

3. Решение неравенства методом интервалов

1) Введем функцию. Нам нужно узнать, когда эта функция меньше 0.

3) Найдем корни функции. Функция равна 0,если в числителе стоит 0.

Выберем интервал соответствующий условию неравенства. Заштрихуем его и запишем в виде неравенства

4. Решение неравенства с помощью квадратичного неравенства

Важный факт.

Используем это факт и заменим дробно-рациональное неравенство квадратным.

Решим квадратное неравенство.

Введем квадратичную функцию. Найдем ее корни и построим эскиз ее графика.

Значит, ветви параболы вверх. Внутри интервала корней функция сохраняет знак. Она отрицательна.

Вне интервала корней функция положительна.

Решение первого неравенства:

5. Решение неравенства

Введем функцию:

Найдем ее интервалы знакопостоянства:

Расставим знаки:

Запишем решение:

Изобразим решение первого неравенства над осью Ох.

Решение же второго неравенства изобразим под осью.

>>Математика:Рациональные неравенства

Рациональное неравенство с одной переменной х - это неравенство вида - рациональные выражения, т.е. алгебраические выражения, составленные из чисел и переменной х с помощью операций сложения, вычитания, умножения, деления и возведения в натуральную степень . Разумеется, переменная может быть обозначена любой другой буквой, но в математике чаще всего предпочтение отдается букве х.

При решении рациональных неравенств используются те три правила, которые были сформулированы выше в § 1. С помощью этих правил обычно преобразуют заданное рациональное неравенство к виду / (ж) > 0, где / (х) - алгебраическая дробь (или многочлен). Далее разлагают числитель и знаменатель дроби f (х) на множители вида х - а (если, конечно, это возможно) и применяют метод интервалов, который мы уже упоминали выше (см. в предыдущем параграфе пример 3).

Пример 1. Решить неравенство (х - 1) (х + 1) (х - 2) > 0.

Решение. Рассмотрим выражение f(х) = (х-1)(х + 1)(х-2).

Оно обращается в 0 в точках 1,-1,2; отметим эти точки на числовой прямой. Числовая прямая разбивается указанными точками на четыре промежутка (рис. 6), на каждом из которых выражение f (x) сохраняет постоянный знак. Чтобы в этом убедиться, проведем четыре рассуждения (для каждого из указанных промежутков в отдельности).

Возьмем любую точку х из промежутка (2, Эта точка расположена на числовой прямой правее точки -1, правее точки 1 и правее точки 2. Это значит, что х > -1, х >1, х > 2 (рис. 7). Но тогда x-1>0, х+1>0, х - 2 > 0, а значит, и f (х) > 0 (как произведение рациональное неравенство трех положительных чисел). Итак, на всем промежутке выполняется неравенство f (x) > 0.

Возьмем любую точку х из интервала (1,2). Эта точка расположена на числовой прямой правее точки-1, правее точки 1, но левее точки 2. Значит, х > -1, х > 1, но х < 2 (рис. 8), а потому x + 1>0,x-1>0,x-2<0. Но тогда f(x) <0 (как произведение двух положительных и одного отрицательного числа). Итак, на промежутке (1,2) выполняется неравенство f (x) < 0.

Возьмем любую точку х из интервала (-1,1). Эта точка расположена на числовой прямой правее точки -1, левее точки 1 и левее точки 2. Значит, х >-1, но х< 1, х <2 (рис. 9), а потому х + 1 > 0, х -1 <0, х - 2 < 0. Но тогда f (x) > 0 (как произведение двух отрицательных и одного положительного числа). Итак, на промежутке (-1,1) выполняется неравенство f (x)> 0.

Возьмем, наконец, любую точку х из открытого луча (-оо, -1). Эта точка расположена на числовой прямой левее точки -1, левее точки 1 и левее точки 2. Это значит, что x<-1, х< 1, х<2 (рис. 10). Но тогда x - 1 < 0, x + 1 < 0, х - 2 < 0, а значит, и f (x) < 0 (как произведение трех отрицательных чисел). Итак, на всем промежутке (-оо, -1) выполняется неравенство f (x) < 0.

Подведем итоги. Знаки выражения f (x) в выделенных промежутках таковы, как показано на рис. 11. Нас интересуют те из них, на которых выполняется неравенство f (x) > 0. С помощью геометрической модели , представленной на рис. 11, устанавливаем, что неравенство f (x) > 0 выполняется на интервале (-1, 1) или на открытом луче
О т в е т: -1 < х < 1; х > 2.

Пример 2. Решить неравенство
Решение. Как и в предыдущем примере, почерпнем необходимую информацию из рис. 11, но с двумя изменениями по сравнению с примером 1. Во-первых, поскольку нас интересует, при каких значениях х выполняется неравенство f (x) < 0, нам придется выбрать промежутки Во-вторых, нас устраивают и те точки, в которых выполняется равенство f (x) = 0. Это точки -1, 1, 2, отметим их на рисунке темными кружочками и включим в ответ. На рис. 12 представлена геометрическая модель ответа, от которой нетрудно перейти к аналитической записи.
Ответ:
П р и м е р 3. Решить неравенство
Решение . Разложим на множители числитель и знаменатель алгебраической дроби fх, содержащейся в левой части неравенства. В числителе имеем х 2 - х = х(х - 1).

Чтобы разложить на множители квадратный трехчлен х 2 - bх ~ 6, содержащийся в знаменателе дроби, найдем его корни. Из уравнения х 2 - 5х - 6 = 0 находим х 1 = -1, х 2 = 6. Значит, (мы воспользовались формулой разложения на множители квадратного трехчлена: ах 2 + bх + с = а(х - х 1 - х 2)).
Тем самым мы преобразовали заданное неравенство к виду

Рассмотрим выражение:

Числитель этой дроби обращается в 0 в точках 0 и 1, а обращается в 0 в точках -1 и 6. Отметим эти точки на числовой прямой (рис. 13). Числовая прямая разбивается указанными точками на пять промежутков, причем на каждом промежутке выражение fх) сохраняет постоянный знак. Рассуждая так же, как в примере 1, приходим к выводу, что знаки выражения fх) в выделенных промежутках таковы, как показано на рис. 13. Нас интересует, где выполняется неравенство f (x) < 0. С помощью геометрической модели, представленной на рис. 13, устанавливаем, что f (х) < 0 на интервале (-1, 0) или на интервале (1, 6).

0твет: -1

Пример 4. Решить неравенство

Решение. При решении рациональных неравенств, как правило, предпочитают оставлять в правой части неравенства только число 0. Поэтому преобразуем неравенство к виду

Как показывает опыт, если в правой части не(ра-венства содержится лишь число 0, удобнее проводить рассуждения, когда в левой его части и числитель и знаменатель имеют положительный старший коэффициент . А что у нас? У нас в знаменателе дроби в этом смысле все в порядке (старший коэффициент, т.е. коэффициент при х 2 , равен 6 - положительное число), но в числителе не все в порядке - старший коэффициент (коэффициент при х) равен -4 (отрицательное число). Умножив обе части неравенства на -1 и изменив при этом знак неравенства на противоположный, получим равносильное ему неравенство

Разложим числитель и знаменатель алгебраической дроби на множители. В числителе все просто:
Чтобы разложить на множители содержащийся в знаменателе дроби квадратный трехчлен

(мы снова воспользовались формулой разложения на множители квадратного трехчлена).
Тем самым заданное неравенство мы привели к виду

Рассмотрим выражение

Числитель этой дроби обращается в 0 в точке а знаменатель - в точках Отметим эти точки на числовой прямой (рис. 14), которая разбивается указанными точками на четыре промежутка, причем на каждом промежутке выражение f (х) сохраняет постоянный знак (эти знаки указаны на рис. 14). Нас интересуют те промежутки, на которых выполняется неравенство fх < 0; эти промежутки выделены штриховкой на рис. 15. По условию, нас интересуют и те точки х, в которых выполняется равенство f (х) = 0. Такая точка только одна - это точка поскольку лишь при этом значении числитель дроби f (х) обращается в нуль. Точка отмечена на рис. 15 темным кружочком. Таким образом, на рис. 15 представлена геометрическая модель решения заданного неравенства, от которой нетрудно перейти к аналитической записи.

Во всех рассмотренных примерах мы преобразовывали заданное неравенство в равносильное ему неравенство вида f {х) > 0 или f (x) <0,где
При этом количество множителей в числителе и знаменателе дроби может быть любым. Затем отмечали на числовой прямой точки а,Ь,с,д. и определяли знаки выражения f (х) на выделенных промежутках. Заметили, что на самом правом из выделенных промежутков выполняется неравенство f (х) > 0, а далее по промежуткам знаки выражения f (х) чередуются (см. рис. 16а). Это чередование удобно иллюстрировать с помощью волнообразной кривой, которая чертится справа налево и сверху вниз (рис. 166). На тех промежутках, где эта кривая (ее иногда называют кривой знаков) расположена выше оси х, выполняется неравенство f (х) > 0; где эта кривая расположена ниже оси х, выполняется неравенство f (х) < 0.

Пример 5. Решить неравенство

Решение. Имеем

(обе части предыдущего неравенства умножили на 6).
Чтобы воспользоваться методом интервалов, отметим на числовой прямой точки (в этих точках числитель дроби, содержащейся в левой части неравенства, обращается в нуль) и точки (в этих точках знаменатель указанной дроби обращается в нуль). Обычно точки отмечают схематически, учитывая порядок их следования (какое - правее, какое - левее) и не особенно обращая внимания на соблюдение масштаба. Ясно, что Сложнее обстоит дело с числами Первая прикидка показывает, что и то и другое число чуть больше, чем 2,6, откуда нельзя сделать вывод о том, какое из указанных чисел больше, а какое - меньше. Предположим (наугад), что Тогда
Получилось верное неравенство, значит, наша догадка подтвердилась: на самом деле
Итак,

Отметим указанные 5 точек в указанном порядке на числовой прямой (рис. 17а). Расставим знаки выражения
на полученных промежутках: на самом правом - знак +, а далее знаки чередуются (рис. 176). Начертим кривую знаков и выделим (штриховкой) те промежутки, на которых выполняется интересующее нас неравенство f (x) > 0 (рис. 17в). Учтем, наконец, что речь идет о нестрогом неравенстве f (x) > 0, значит, нас интересуют и те точки, в которых выражение f (x) обращается в нуль. Это - корни числителя дроби f (x), т.е. точки отметим их на рис. 17в темными кружочками (и, естественно, включим в ответ). Вот теперь рис. 17в дает полную геометрическую модель решений заданного неравенства.

С помощью данного урока вы узнаете о рациональных неравенствах и их системах. Решается система рациональных неравенств с помощью эквивалентных преобразований. Рассматривается определение эквивалентности, способ замены дробно-рационального неравенства - квадратным, а также разбирается в чем отличие неравенства от уравнения и как осуществляются равносильные преобразования.

Введение

Алгебра 9 класс

Итоговое повторение курса алгебры 9-го класса

Рациональные неравенства и их системы. Системы рациональных неравенств.

1.1 Конспект.

Эквивалентные преобразования рациональных неравенств

1. Эквивалентные преобразования рациональных неравенств.

Определение . Рациональные неравенства называют эквивалентными , если множества их решений совпадают.

Для обозначения эквивалентности используют знак

Решение системы неравенств. Эквивалентные преобразования системы

2. Решение системы неравенств

Перенесем числа, стоящие в правой части, в левую с противоположным знаком.

В итоге в правой части останется 0. Это преобразование является эквивалентным. На это указывает знак

Выполним действия, которые предписывает алгебра. Вычтем «1» в первом неравенстве и «2» во втором.

Решение первого неравенства методом интервалов

3. Решение неравенства методом интервалов

1) Введем функцию. Нам нужно узнать, когда эта функция меньше 0.

3) Найдем корни функции. Функция равна 0,если в числителе стоит 0.

Выберем интервал соответствующий условию неравенства. Заштрихуем его и запишем в виде неравенства

Прием сведения дробно-рационального неравенства к квадратному.

Решение первого неравенства путем сведения к квадратному

4. Решение неравенства с помощью квадратичного неравенства

Важный факт.

Используем это факт и заменим дробно-рациональное неравенство квадратным.

Решим квадратное неравенство.

Введем квадратичную функцию. Найдем ее корни и построим эскиз ее графика.

Значит, ветви параболы вверх. Внутри интервала корней функция сохраняет знак. Она отрицательна.

Вне интервала корней функция положительна.

Решение первого неравенства:

Решение второго неравенства

5. Решение неравенства

Введем функцию:

Найдем ее интервалы знакопостоянства:

Расставим знаки:

Запишем решение:

Пересечение множеств решений первого и второго неравенств. Форма записи решения

Изобразим решение первого неравенства над осью Ох.

Решение же второго неравенства изобразим под осью.

Решением системы будут те значения переменной, которые удовлетворяют как первому, так и второму неравенству. Итак, решение системы:

Заключение

Алгебра, 9 класс. Часть 1 из 2. Учебник (А. Г. Мордкович, П. В. Семенов) 2010Алгебра, 9 класс. Часть 2 из 2. Задачник (А. Г. Мордкович, Л. А. Александрова, Т. Н. Мишустина и др.) 2010Алгебра, 9 класс (Л. В. Кузнецова, С. Б. Суворова, Е. А. Бунимович и др.) 2010Алгебра, 9 класс. Задачник (Л. И. Звавич, А. Р. Рязановский, П. В. Семенов) 2008Алгебра, 9 класс (Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова) 2009Алгебра, 9 класс (Л. В. Кузнецова, С. Б. Суворова, Е. А. Бунимович и др.) 2010

1.3. Дополнительные веб-ресурсы

http://slovo. ws/urok/algebra -Учебные материалы (учебники, статьи) по алгебре для 9 класса. Все учебники, указанные в списке можно посмотреть в режиме онлайн, без скачивания.

http://math-portal. ru/matematika-shkolnaya/

1.4. Сделай дома

Алгебра, 9 класс. Часть 2 из 2. Задачник (А. Г. Мордкович, Л. А. Александрова, Т. Н. Мишустина и др.) 2010

Домашнее задание: 4.24; 4.28

Другие задания: 4.25; 4.26

Нужно скачать поурочный план по теме » Рациональные неравенства и их системы. Системы рациональных неравенств ?