Проекции вектора на другой вектор. Основная формула векторной алгебры

Введение…………………………………………………………………………3

1. Значение вектора и скаляра………………………………………….4

2. Определение проекции, оси и координатой точки………………...5

3. Проекция вектора на ось……………………………………………...6

4. Основная формула векторной алгебры……………………………..8

5. Вычисление модуля вектора по его проекциям…………………...9

Заключение……………………………………………………………………...11

Литература……………………………………………………………………...12

Введение:

Физика неразрывно связана с математикой. Математика дает физике средства и приемы общего и точного выражения зависимости между физическими величинами, которые открываются в результате эксперимента или теоретических исследований.Ведь основной метод исследований в физике – экспериментальный. Это значит – вычисления ученый выявляет с помощью измерений. Обозначает связь между различными физическими величинами. Затем, все переводится на язык математики. Формируется математическая модель. Физика - есть наука, изучающая простейшие и вместе с тем наиболее общие закономерности. Задача физики состоит в том, чтобы создать в нашем сознании такую картину физического мира, которая наиболее полно отражает свойства его и обеспечивает такие соотношения между элементами модели, какие существуют между элементами.

Итак, физика создает модель окружающего нас мира и изучает ее свойства. Но любая модель является ограниченной. При создании моделей того или иного явления принимаются во внимание только существенные для данного круга явлений свойства и связи. В этом и заключается искусство ученого - из всего многообразия выбрать главное.

Физические модели являются математическими, но не математика является их основой. Количественные соотношения между физическими величинами выясняются в результате измерений, наблюдений и экспериментальных исследований и лишь выражаются на языке математики. Однако другого языка для построения физических теорий не существует.

1. Значение вектора и скаляра.

В физике и математике вектор - это величина, которая характеризуется своим численным значением и направлением. В физике встречается немало важных величин, являющихся векторами, например сила, положение, скорость, ускорение, вращающий момент, импульс, напряженность электрического и магнитного полей. Их можно противопоставить другим величинам, таким, как масса, объем, давление, температура и плотность, которые можно описать обычным числом, и называются они "скалярами" .

Они записываются либо буквами обычного шрифта, либо цифрами (а, б, t, G, 5, −7….). Скалярные величины могут быть положительными и отрицательными. В то же время некоторые объекты изучения могут обладать такими свойствами, для полного описания которых знание только числовой меры оказывается недостаточным, необходимо ещё охарактеризовать эти свойства направлением в пространстве. Такие свойства характеризуются векторными величинами (векторами). Векторы, в отличие от скаляров, обозначаются буквами жирного шрифта: a, b, g, F, С ….
Нередко вектор обозначают буквой обычного (нежирного) шрифта, но со стрелкой над ней:

Кроме того, часто вектор обозначают парой букв (обычно заглавных), причём первая буква обозначает начало вектора, а вторая - его конец.

Модуль вектора, то есть длину направленного прямолинейного отрезка, обозначают теми же буквами, как и сам вектор, но в обычном (не жирном) написании и без стрелки над ними, либо точно также как и вектор (то есть жирным шрифтом или обычным, но со стрелкой), но тогда обозначение вектора заключается в вертикальные черточки.
Вектор – сложный объект, который одновременно характеризуется и величиной и направлением.

Не бывает также положительных и отрицательных векторов. А вот равными между собой векторы быть могут. Это когда, например, aиb имеют одинаковые модули и направлены в одну сторону. В этом случае справедлива запись a = b. Надо также иметь в виду, что перед символом вектора может стоять знак минус, например, - с, однако, этот знак символически указывает на то, что вектор -с имеет такой же модуль, как и вектор с, но направлен в противоположную сторону.

Вектор -с называют противоположным (или обратным) вектору с.
В физике же каждый вектор наполнен конкретным содержанием и при сравнении однотипных векторов (например, сил) могут иметь существенное значение и точки их приложения.

2.Определение проекции, оси и координатой точки.

Ось – это прямая, которой придается какое–то направление.
Ось обозначается какой-либо буквой: X , Y , Z , s , t … Обычно на оси выбирается (произвольно) точка, которая называется началом отсчета и, как правило, обозначается буквой О. От этой точки отсчитываются расстояния до других интересующих нас точек.

Проекцией точки на ось называется основание перпендикуляра, опущенного из этой точки на данную ось. То есть, проекцией точки на ось является точка.

Координатой точки на данной оси называется число, абсолютная величина которого равна длине отрезка оси (в выбранном масштабе), заключённого между началом оси и проекцией точки на эту ось. Это число берется со знаком плюс, если проекция точки располагается в направлении оси от ее начала и со знаком минус, если в противоположном направлении.

3.Проекция вектора на ось.

Проекцией вектора на ось называется вектор, который получается в результате перемножения скалярной проекции вектора на эту ось и единичного вектора этой оси. Например, если а x – скалярная проекция вектора а на ось X, то а x ·i - его векторная проекция на эту ось.

Обозначим векторную проекцию также, как и сам вектор, но с индексом той оси на которую вектор проектируется. Так, векторную проекцию вектора а на ось Х обозначим а x (жирная буква, обозначающая вектор и нижний индекс названия оси) или

(нежирная буква, обозначающая вектор, но со стрелкой наверху (!) и нижний индекс названия оси).

Скалярной проекцией вектора на ось называется число , абсолютная величина которого равна длине отрезка оси (в выбранном масштабе), заключённого между проекциями точки начала и точки конца вектора. Обычно вместо выражения скалярная проекция говорят просто – проекция . Проекция обозначается той же буквой, что и проектируемый вектор (в обычном, нежирном написании), с нижним (как правило) индексом названия оси, на которую этот вектор проектируется. Например, если на ось Х проектируется вектора, то его проекция обозначается а x . При проектировании этого же вектора на другую ось, если ось Y , его проекция будет обозначаться а y .

Чтобы вычислить проекцию вектора на ось (например, ось X) надо из координаты точки его конца вычесть координату точки начала, то есть

а x = х к − x н.

Проекция вектора на ось - это число. Причем, проекция может быть положительной, если величина х к больше величины х н,

отрицательной, если величина х к меньше величины х н

и равной нулю, если х к равно х н.

Проекцию вектора на ось можно также найти, зная модуль вектора и угол, который он составляет с этой осью.

Из рисунка видно, что а x = а Cos α

То есть, проекция вектора на ось равна произведению модуля вектора на косинус угла между направлением оси и направлением вектора . Если угол острый, то
Cos α > 0 и а x > 0, а, если тупой, то косинус тупого угла отрицателен, и проекция вектора на ось тоже будет отрицательна.

Углы, отсчитываемые от оси против хода часовой стрелки, принято считать положительными, а по ходу - отрицательными. Однако, поскольку косинус – функция четная, то есть, Cos α = Cos (− α), то при вычислении проекций углы можно отсчитывать как по ходу часовой стрелки, так и против.

Чтобы найти проекцию вектора на ось надо модуль этого вектора умножить на косинус угла между направлением оси и направлением вектора.

4. Основная формула векторной алгебры.

Спроектируемвектор а на оси Х и Y прямоугольной системы координат. Найдем векторные проекции вектора а на эти оси:

а x = а x ·i, а y = а y ·j.

Но в соответствии справилом сложения векторов

а = а x + а y .

а = а x ·i + а y ·j.

Таким образом, мы выразили вектор через его проекции и орты прямоугольной системы координат (или через его векторные проекции).

Векторные проекции а x и а y называютсясоставляющими или компонентами вектора а. Операция, которую мы выполнили, называется разложением вектора по осямпрямоугольной системы координат.

Если вектор задан в пространстве, то

а = а x ·i + а y ·j + а z ·k.

Эта формула называется основной формулой векторной алгебры. Конечно, ее можно записать и так.

Многие физические величины полностью определяются заданием некоторого числа. Это, например, объем, масса, плотность, температура тела и др. Такие величины называются скалярными. В связи с этим числа иногда называют скалярами. Но есть и такие величины, которые определяются заданием не только числа, но и некоторого направления. Например, при движении тела следует указать не только скорость, с которой движется тело, но и направление движения. Точно так же, изучая действие какой-либо силы, необходимо указать не только значение этой силы, но и направление ее действия. Такие величины называются векторными. Для их описания было введено понятие вектора, оказавшееся полезным для математики.

Определение вектора

Любая упорядоченная пара точек А к В пространства определяет направленный отрезок , т.е. отрезок вместе с заданным на нем направлением. Если точка А первая, то ее называют началом направленного отрезка, а точку В - его концом. Направлением отрезка считают направление от начала к концу.

Определение
Направленный отрезок называется вектором.

Будем обозначать вектор символом $\overrightarrow{AB} $, причем первая буква означает начало вектора, а вторая - его конец.

Вектор, у которого начало и конец совпадают, называется нулевым и обозначается $\vec{0} $ или просто 0.

Расстояние между началом и концом вектора называется его длиной и обозначается $|\overrightarrow{AB}| $ или $|\vec{a}| $.

Векторы $\vec{a} $ и $\vec{b} $ называются коллинеарными , если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых. Коллинеарные векторы могут быть направлены одинаково или противоположно.

Теперь можно сформулировать важное понятие равенства двух векторов.

Определение
Векторы $\vec{a} $ и $\vec{b} $ называются равными ($\vec{a} = \vec{b} $), если они коллинеарны, одинаково направлены и их длины равны.

На рис. 1 изображены слева неравные, а справа - равные векторы $\vec{a} $ и $\vec{b} $. Из определения равенства векторов следует, что если данный вектор перенести параллельно самому себе, то получится вектор, равный данному. В связи с этим векторы в аналитической геометрии называют свободными.

Проекция вектора на ось

Пусть в пространстве заданы ось $u $ и некоторый вектор $\overrightarrow{AB} $. Проведем через точки А и В плоскости, перпендикулярные оси $u $. Обозначим через А" и В" точки пересечения этих плоскостей с осью (см. рисунок 2).

Проекцией вектора $\overrightarrow{AB} $ на ось $u $ называется величина А"В" направленного отрезка А"В" на оси $u $. Напомним, что
$A"B" = |\overrightarrow{A"B"}| $ , если направление $\overrightarrow{A"B"} $ совпадает c направлением оси $u $,
$A"B" = -|\overrightarrow{A"B"}| $ , если направление $\overrightarrow{A"B"} $ противоположно направлению оси $u $,
Обозначается проекция вектора $\overrightarrow{AB} $ на ось $u $ так: $Пр_u \overrightarrow{AB} $.

Теорема
Проекция вектора $\overrightarrow{AB} $ на ось $u $ равна длине вектора $\overrightarrow{AB} $ , умноженной на косинус угла между вектором $\overrightarrow{AB} $ и осью $u $ , т.е.

$Пр_u \overrightarrow{AB} = |\overrightarrow{AB}|\cos \varphi $ где $\varphi $ - угол между вектором $\overrightarrow{AB} $ и осью $u $.

Замечание
Пусть $\overrightarrow{A_1B_1}=\overrightarrow{A_2B_2} $ и задана какая-то ось $u $. Применяя к каждому из этих векторов формулу теоремы, получаем

$Пр_u \overrightarrow{A_1B_1} = Пр_u \overrightarrow{A_2B_2} $ т.е. равные векторы имеют равные проекции на одну и ту же ось.

Проекции вектора на оси координат

Пусть в пространстве заданы прямоугольная система координат Oxyz и произвольный вектор $\overrightarrow{AB} $. Пусть, далее, $X = Пр_u \overrightarrow{AB}, \;\; Y = Пр_u \overrightarrow{AB}, \;\; Z = Пр_u \overrightarrow{AB} $. Проекции X, Y, Z вектора $\overrightarrow{AB} $ на оси координат называют его координатами. При этом пишут
$\overrightarrow{AB} = (X;Y;Z) $

Теорема
Каковы бы ни были две точки A(x 1 ; y 1 ; z 1) и B(x 2 ; y 2 ; z 2), координаты вектора $\overrightarrow{AB} $ определяются следующими формулами:

X = x 2 -x 1 , Y = y 2 -y 1 , Z = z 2 -z 1

Замечание
Если вектор $\overrightarrow{AB} $ выходит из начала координат, т.е. x 2 = x, y 2 = y, z 2 = z, то координаты X, Y, Z вектора $\overrightarrow{AB} $ равны координатам его конца:
X = x, Y = y, Z = z.

Направляющие косинусы вектора

Пусть дан произвольный вектор $\vec{a} = (X;Y;Z) $; будем считать, что $\vec{a} $ выходит из начала координат и не лежит ни в одной координатной плоскости. Проведем через точку А плоскости, перпендикулярные осям. Вместе с координатными плоскостями они образуют прямоугольный параллелепипед, диагональю которого служит отрезок ОА (см. рисунок).

Из элементарной геометрии известно, что квадрат длины диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов длин трех его измерений. Следовательно,
$|OA|^2 = |OA_x|^2 + |OA_y|^2 + |OA_z|^2 $
Но $|OA| = |\vec{a}|, \;\; |OA_x| = |X|, \;\; |OA_y| = |Y|, \;\;|OA_z| = |Z| $; таким образом, получаем
$|\vec{a}|^2 = X^2 + Y^2 + Z^2 $
или
$|\vec{a}| = \sqrt{X^2 + Y^2 + Z^2} $
Эта формула выражает длину произвольного вектора через его координаты.

Обозначим через $\alpha, \; \beta, \; \gamma $ углы между вектором $\vec{a} $ и осями координат. Из формул проекции вектора на ось и длины вектора получаем
$\cos \alpha = \frac{X}{\sqrt{X^2 + Y^2 + Z^2}} $
$\cos \beta = \frac{Y}{\sqrt{X^2 + Y^2 + Z^2}} $
$\cos \gamma = \frac{Z}{\sqrt{X^2 + Y^2 + Z^2}} $
$\cos \alpha, \;\; \cos \beta, \;\; \cos \gamma $ называются направляющими косинусами вектора $\vec{a} $ .

Возводя в квадрат левую и правую части каждого из предыдущих равенств и суммируя полученные результаты, имеем
$\cos^2 \alpha + \cos^2 \beta + \cos^2 \gamma = 1 $
т.е. сумма квадратов направляющих косинусов любого вектора равна единице.

Линейные операции над векторами и их основные свойства

Линейными операциями над векторами называются операции сложения и вычитания векторов и умножения векторов на числа.

Сложение двух векторов

Пусть даны два вектора $\vec{a} $ и $\vec{b} $. Суммой $\vec{a} + \vec{b} $ называется вектор, который идет из начала вектора $\vec{a} $ в конец вектора $\vec{b} $ при условии, что вектор $\vec{b} $ приложен к концу вектора $\vec{a} $ (см. рисунок).

Замечание
Действие вычитания векторов обратно действию сложения, т.е. разностью $\vec{b} - \vec{a} $ векторов $\vec{b} $ и $\vec{a} $ называется вектор, который в сумме с вектором$\vec{a} $ дает вектор $\vec{b} $ (см. рисунок).

Замечание
Определив сумму двух векторов, можно найти сумму любого числа данных векторов. Пусть, например, даны три вектора $\vec{a},\;\; \vec{b}, \;\; \vec{c} $. Сложив $\vec{a} $ и $\vec{b} $, получим вектор $\vec{a} + \vec{b} $. Прибавив теперь к нему вектор $\vec{c} $, получим вектор $\vec{a} + \vec{b} + \vec{c} $

Произведение вектора на число

Пусть даны вектор $\vec{a} \neq \vec{0} $ и число $\lambda \neq 0 $. Произведением $\lambda \vec{a} $ называется вектор, который коллинеарен вектору $\vec{a} $, имеет длину, равную $|\lambda| |\vec{a}| $, и направление такое же, как и вектор $\vec{a} $ , если $\lambda > 0 $, и противоположное, если $\lambda Геометрический смысл операции умножения вектора \(\vec{a} \neq \vec{0} $ на число $\lambda \neq 0 $ можно выразить следующим образом: если $|\lambda| >1 $, то при умножении вектора $\vec{a} $ на число $\lambda $ вектор $\vec{a} $ «растягивается» в $\lambda $ раз, а если $|\lambda| 1 $.

Если $\lambda =0 $ или $\vec{a} = \vec{0} $, то произведение $\lambda \vec{a} $ считаем равным нулевому вектору.

Замечание
Используя определение умножения вектора на число нетрудно доказать, что если векторы $\vec{a} $ и $\vec{b} $ коллинеарны и $\vec{a} \neq \vec{0} $, то существует (и притом только одно) число $\lambda $ такое, что $\vec{b} = \lambda \vec{a} $

Основные свойства линейных операций

1. Переместительное свойство сложения
$\vec{a} + \vec{b} = \vec{b} + \vec{a} $

2. Сочетательное свойство сложения
$(\vec{a} + \vec{b})+ \vec{c} = \vec{a} + (\vec{b}+ \vec{c}) $

3. Сочетательное свойство умножения
$\lambda (\mu \vec{a}) = (\lambda \mu) \vec{a} $

4. Распределительное свойство относительно суммы чисел
$(\lambda +\mu) \vec{a} = \lambda \vec{a} + \mu \vec{a} $

5. Распределительное свойство относительно суммы векторов
$\lambda (\vec{a}+\vec{b}) = \lambda \vec{a} + \lambda \vec{b} $

Замечание
Эти свойства линейных операций имеют фундаментальное значение, так как дают возможность производить над векторами обычные алгебраические действия. Например, в силу свойств 4 и 5 можно выполнять умножение скалярного многочлена на векторный многочлен «почленно».

Теоремы о проекциях векторов

Теорема
Проекция суммы двух векторов на ось равна сумме их проекций на эту ось, т.е.
$Пр_u (\vec{a} + \vec{b}) = Пр_u \vec{a} + Пр_u \vec{b} $

Теорему можно обобщить на случай любого числа слагаемых.

Теорема
При умножении вектора $\vec{a} $ на число $\lambda $ его проекция на ось также умножается на это число, т.е. $Пр_u \lambda \vec{a} = \lambda Пр_u \vec{a} $

Следствие
Если $\vec{a} = (x_1;y_1;z_1) $ и $\vec{b} = (x_2;y_2;z_2) $, то
$\vec{a} + \vec{b} = (x_1+x_2; \; y_1+y_2; \; z_1+z_2) $

Следствие
Если $\vec{a} = (x;y;z) $, то $\lambda \vec{a} = (\lambda x; \; \lambda y; \; \lambda z) $ для любого числа $\lambda $

Отсюда легко выводится условие коллинеарности двух векторов в координатах.
В самом деле, равенство $\vec{b} = \lambda \vec{a} $ равносильно равенствам $x_2 = \lambda x_1, \; y_2 = \lambda y_1, \; z_2 = \lambda z_1 $ или
$\frac{x_2}{x_1} = \frac{y_2}{y_1} = \frac{z_2}{z_1} $ т.е. векторы $\vec{a} $ и $\vec{b} $ коллинеарны в том и только в том случае, когда их координаты пропорциональны.

Разложение вектора по базису

Пусть векторы $\vec{i}, \; \vec{j}, \; \vec{k} $ - единичные векторы осей координат, т.e. $|\vec{i}| = |\vec{j}| = |\vec{k}| = 1 $, и каждый из них одинаково направлен с соответствующей осью координат (см. рисунок). Тройка векторов $\vec{i}, \; \vec{j}, \; \vec{k} $ называется базисом.
Имеет место следующая теорема.

Теорема
Любой вектор $\vec{a} $ может быть единственным образом разложен по базису $\vec{i}, \; \vec{j}, \; \vec{k}\; $, т.е. представлен в виде
$\vec{a} = \lambda \vec{i} + \mu \vec{j} + \nu \vec{k} $
где $\lambda, \;\; \mu, \;\; \nu $ - некоторые числа.

а на ось или какой-либо другой вектор существуют понятия ее геометрической проекции и числовой (или алгебраической) проекции. Результатом геометрической проекции будет вектор, а результатом алгебраической – неотрицательное действительное число. Но перед тем, как перейти к этим понятиям вспомним необходимую информацию.

Предварительные сведения

Основное понятие – непосредственно понятие вектора. Для того, чтобы ввести определение геометрического вектора вспомним, что такое отрезок . Введем следующее определение.

Определение 1

Отрезком будем называть часть прямой, которая имеет две границы в виде точек.

Отрезок может иметь 2 направления. Для обозначения направления будем называть одну из границ отрезка его началом, а другую границу - его концом. Направление указывается от его начала к концу отрезка.

Определение 2

Вектором или направленным отрезком будем называть такой отрезок, для которого известно, какая из границ отрезка считается началом, а какая его концом.

Обозначение: Двумя буквами: $\overline{AB}$ – (где $A$ его начало, а $B$ – его конец).

Одной маленькой буквой: $\overline{a}$ (рис. 1).

Введем еще несколько понятий, связанных с понятием вектора.

Определение 3

Два ненулевых вектора будем называть коллинеарными, если они лежат на одной и той же прямой или на прямых, параллельных друг другу (рис.2).

Определение 4

Два ненулевых вектора будем называть сонаправленными, если они удовлетворяют двум условиям:

Эти векторы коллинеарны.
Если они будут направлены в одну сторону (рис. 3).

Обозначение: $\overline{a}\overline{b}$

Определение 5

Два ненулевых вектора будем называть противоположно направленными, если они удовлетворяют двум условиям:

Эти векторы коллинеарны.
Если они направлены в разные стороны (рис. 4).

Обозначение: $\overline{a}↓\overline{d}$

Определение 6

Длиной вектора $\overline{a}$ будем называть длину отрезка $a$.

Обозначение: $|\overline{a}|$

Перейдем к определению равенства двух векторов

Определение 7

Два вектора будем называть равными, если они удовлетворяют двух условиям:

Они сонаправлены;
Их длины равны (рис. 5).

Геометрическая проекция

Как мы уже сказали ранее, результатом геометрической проекции будет вектор.

Определение 8

Геометрической проекцией вектора $\overline{AB}$ на ось будем называть такой вектор, который получается следующим образом: Точка начала вектора $A$ проецируется на данную ось. Получаем точку $A"$ - начало искомого вектора. Точка конца вектора $B$ проецируется на данную ось. Получаем точку $B"$ - конец искомого вектора. Вектор $\overline{A"B"}$ и будет искомым вектором.

Рассмотрим задачу:

Пример 1

Постройте геометрическую проекцию $\overline{AB}$ на ось $l$, изображенные на рисунке 6.

Проведем из точки $A$ перпендикуляр к оси $l$, получим на ней точку $A"$. Далее проведем из точки $B$ перпендикуляр к оси $l$, получим на ней точку $B"$ (рис. 7).

Предварительные сведения

Определение 1

Отрезком будем называть часть прямой, которая имеет две границы в виде точек.

Определение 2

Обозначение: Двумя буквами: $\overline{AB}$ – (где $A$ его начало, а $B$ – его конец).

Одной маленькой буквой: $\overline{a}$ (рис. 1).

Введем еще несколько понятий, связанных с понятием вектора.

Определение 3

Определение 4

Два ненулевых вектора будем называть сонаправленными, если они удовлетворяют двум условиям:

Эти векторы коллинеарны.
Если они будут направлены в одну сторону (рис. 3).

Обозначение: $\overline{a}\overline{b}$

Определение 5

Два ненулевых вектора будем называть противоположно направленными, если они удовлетворяют двум условиям:

Эти векторы коллинеарны.
Если они направлены в разные стороны (рис. 4).

Обозначение: $\overline{a}↓\overline{d}$

Определение 6

Длиной вектора $\overline{a}$ будем называть длину отрезка $a$.

Обозначение: $|\overline{a}|$

Перейдем к определению равенства двух векторов

Определение 7

Два вектора будем называть равными, если они удовлетворяют двух условиям:

Они сонаправлены;
Их длины равны (рис. 5).

Геометрическая проекция

Как мы уже сказали ранее, результатом геометрической проекции будет вектор.

Определение 8

Рассмотрим задачу:

Пример 1

Постройте геометрическую проекцию $\overline{AB}$ на ось $l$, изображенные на рисунке 6.

Пусть в пространстве даны два вектора и . Отложим от произвольной точки O векторы и . Углом между векторами и называется наименьший из углов . Обозначается .

Рассмотрим ось l и отложим на ней единичный вектор (т.е. вектор, длина которого равна единице).

Под углом между вектором и осью l понимают угол между векторами и .

Итак, пусть l – некоторая ось и – вектор.

Обозначим через A 1 и B 1 проекции на ось l соответственно точек A и B . Предположим, что A 1 имеет координату x 1 , а B 1 – координату x 2 на оси l .

Тогда проекцией вектора на ось l называется разность x 1 – x 2 между координатами проекций конца и начала вектора на эту ось.

Проекцию вектора на ось l будем обозначать .

Ясно, что если угол между вектором и осью l острый, то x 2 > x 1 , и проекция x 2 – x 1 > 0; если этот угол тупой, то x 2 < x 1 и проекция x 2 – x 1 < 0. Наконец, если вектор перпендикулярен оси l , то x 2 = x 1 и x 2 – x 1 =0.

Таким образом, проекция вектора на ось l – это длина отрезка A 1 B 1 , взятая с определённым знаком. Следовательно, проекция вектора на ось это число или скаляр.

Аналогично определяется проекция одного вектора на другой. В этом случае находятся проекции концов даного вектора на ту прямую, на которой лежит 2-ой вектор.

Рассмотрим некоторые основные свойства проекций .

ЛИНЕЙНО ЗАВИСИМЫЕ И ЛИНЕЙНО НЕЗАВИСИМЫЕ СИСТЕМЫ ВЕКТОРОВ

Рассмотрим несколько векторов .

Линейной комбинацией данных векторов называется любой вектор вида , где - некоторые числа. Числа называются коэффициентами линейной комбинации. Говорят также, что в этом случае линейно выражается через данные векторы , т.е. получается из них с помощью линейных действий.

Например, если даны три вектора то в качестве их линейной комбинации можно рассматривать векторы:

Если вектор представлен как линейная комбинация каких-то векторов, то говорят, что он разложен по этим векторам.

Векторы называются линейно зависимыми , если существуют такие числа, не все равные нулю, что . Ясно, что заданные векторы будут линейно зависимыми, если какой-либо из этих векторов линейно выражается через остальные.

В противном случае, т.е. когда соотношение выполняется только при , эти векторы называются линейно независимыми .

Теорема 1. Любые два вектора линейно зависимы тогда и только тогда, когда они коллинеарны.

Доказательство :

Аналогично можно доказать следующую теорему.

Теорема 2. Три вектора линейно зависимы тогда и только тогда, когда они компланарны.

Доказательство .

БАЗИС

Базисом называется совокупность отличных от нулей линейно независимых векторов. Элементы базиса будем обозначать .

В предыдущем пункте мы видели, что два неколлинеарных вектора на плоскости линейно независимы. Поэтому согласно теореме 1, из предыдущего пункта, базисом на плоскости являются любые два неколлинеарных вектора на этой плоскости.

Аналогично в пространстве линейно независимы любые три некомпланарных вектора. Следовательно, базисом в пространстве назовём три некомпланарных вектора.

Справедливо следующее утверждение.

Теорема. Пусть в пространстве задан базис . Тогда любой вектор можно представить в виде линейной комбинации , где x , y , z – некоторые числа. Такое разложение единственно.

Доказательство .

Таким образом, базис позволяет однозначно сопоставить каждому вектору тройку чисел – коэффициенты разложения этого вектора по векторам базиса: . Верно и обратное, каждой тройке чисел x, y, z при помощи базиса можно сопоставить вектор, если составить линейную комбинацию .

Если базис и , то числа x, y, z называются координатами вектора в данном базисе. Координаты вектора обозначают .

ДЕКАРТОВА СИСТЕМА КООРДИНАТ

Пусть в пространстве задана точка O и три некомпланарных вектора .

Декартовой системой координат в пространстве (на плоскости) называется совокупность точки и базиса, т.е. совокупность точки и трёх некомпланарных векторов (2-х неколлинеарных векторов), выходящих из этой точки.

Точка O называется началом координат; прямые, проходящие через начало координат в направлении базисных векторов, называются осями координат – осью абсцисс, ординат и аппликат. Плоскости, проходящие через оси координат, называют координатными плоскостями.

Рассмотрим в выбранной системе координат произвольную точку M . Введём понятие координаты точки M . Вектор , соединяющий начало координат с точкой M . называется радиус-вектором точки M .

Вектору в выбранном базисе можно сопоставить тройку чисел – его координаты: .

Координаты радиус-вектора точки M . называются координатами точки M . в рассматриваемой системе координат. M(x,y,z) . Первая координата называется абсциссой, вторая – ординатой, третья – аппликатой.

Аналогично определяются декартовы координаты на плоскости. Здесь точка имеет только две координаты – абсциссу и ординату.

Легко видеть, что при заданной системе координат каждая точка имеет определённые координаты. С другой стороны, для каждой тройки чисел найдётся единственная точка, имеющая эти числа в качестве координат.

Если векторы, взятые в качестве базиса, в выбранной системе координат, имеют единичную длину и попарно перпендикулярны, то система координат называется декартовой прямоугольной.

Несложно показать, что .

Направляющие косинусы вектора полностью определяют его направление, но ничего не говорят о его длине.