Решать дроби с десятичными дробями. Десятичные дроби: определения, запись, примеры, действия с десятичными дробями
При сложении десятичных дробей надо записать их одну под другой так, чтобы одинаковые разряды были друг под другом, а запятая - под запятой, и сложить дроби так, как складывают натуральные числа. Сложим, напрнмер, дроби 12,7 и 3,442. Первая дробь содержит одну цифру после запятой, а вторая - три. Чтобы выполнить сложение, преобразуем первую дробь так, чтобы после запятой было три цифры: , тогда
Аналогично выполняется вычитание десятичных дробей. Найдем разность чисел 13,1 и 0,37:
При умножении десятичных дробей достаточно перемножить заданные числа, не обращая внимания на запятые (как натуральные числа), а затем в результате справа отделить запятой столько цифр, сколько их стоит после запятой в обоих множителях суммарно.
Например, умножим 2,7 на 1,3. Имеем . Запятой отделим справа две цифры (сумма цифр у множителей после запятой равна двум). В итоге получаем 2,7 1,3=3,51.
Если в произведении получается меньше цифр, чем надо отделить запятой, то впереди пишут недостающие нули, например:
Рассмотрим умножение десятичной дроби на 10, 100, 1000 и т. д. Пусть нужно умножить дробь 12,733 на 10. Имеем . Отделив справа запятой три цифры, получим Но . Значит,
12 733 10=127,33. Таким образом, умножение десятичной дроби на Ю сводится к переносу запятой на одну цифру вправо.
Вообще чтобы умножить десятичную дробь на 10, 100, 1000, надо в этой дроби перенести запятую на 1, 2, 3 цифры вправо Сприписав в случае необходимости к дроби справа определенное число нулей). Например,
Деление десятичной дроби на натуральное число выполняется так же, как деление натурального числа на натуральное, а запятую в частном ставят после того, как закончено деление целой части. Пусть надо разделить 22,1 на 13:
Если целая часть делимого меньше делителя, то в ответе получается нуль целых, например:
Рассмотрим теперь деление десятичной дроби на десятичную. Пусть нужно разделить 2,576 на 1,12. Для этого и в делимом, и в делителе перенесем запятую вправо на столько цифр, сколько их имеется после запятой в делителе (в данном примере на две). Иными словами, умножим делимое и делитель на 100 - от этого частное не изменится. Тогда нужно разделить дробь 257,6 на натуральное число 112, т. е. задача сводится к уже рассмотренному случаю:
Чтобы разделить десятичную дробь на надо в этой дроби перенести запятую на цифр влево (при этом в случае необходимости слева приписывается нужное число нулей). Например, .
Как для натуральных чисел деление не всегда выполнимо, так оно не всегда выполнимо и для десятичных дробей. Разделим для примера 2,8 на 0,09:
В результате получается так называемая бесконечная десятичная дробь. В таких случаях переходят к обыкновенным дробям. Например:
Может оказаться так, что одни числа записаны в виде обыкновенных дробей, другие - в виде смешанных чисел, третьи - в виде десятичных дробей. При выполнении действий над такими числами можно поступать по-разному: либо обратить десятичные дроби в обыкновенные и применить правила действий над обыкновенными дробями, либо обратить обыкновенные дроби и смешанные числа в десятичные дроби (если это возможно) и применить правила действий над десятичными дробями.
В математике различные типы чисел изучаются с самого своего зарождения. Существует большое количество множеств и подмножеств чисел. Среди них выделяют целые числа, рациональные, иррациональные, натуральные, четные, нечетные, комплексные и дробные. Сегодня разберем информацию о последнем множестве - дробных числах.
Определение дробей
Дроби - это числа, состоящие из целой части и долей единицы. Также, как и целых чисел, существует бесконечное множество дробных, между двумя целыми. В математике действия с дробями выполняются, так как с целыми и натуральными числами. Это довольно просто и научиться этому можно за пару занятий.
В статье представлено два вида
Обыкновенные дроби
Обыкновенные дроби представляют собой целую часть a и два числа записанных через дробную черту b/c. Обыкновенные дроби могут быть крайне удобны, если дробную часть нельзя представить в рациональном десятичном виде. Кроме того, арифметические операции удобнее производить через дробную черту. Верхняя часть называется числитель, нижняя - знаменатель.
Действия с обыкновенными дробями: примеры
Основное свойство дроби. При умножении числителя и знаменателя на одно и то же число, не являющееся нулем, в результате получается число равное данному. Это свойство дроби отлично помогает привести знаменатель для сложения (об этом будет рассказано ниже) или сократить дробь, сделать ее удобнее для счета. a/b = a*c/b*c. К примеру, 36/24 = 6/4 или 9/13 = 18/26
Приведение к общему знаменателю. Чтобы привести знаменатель дроби необходимо представить знаменатель в виде множителей, а затем помножить на недостающие числа. Например, 7/15 и 12/30; 7/5*3 и 12/5*3*2. Видим, что знаменатели отличаются двойкой, поэтому умножаем числитель и знаменатель первой дроби на 2. Получаем: 14/30 и 12/30.
Составные дроби - обыкновенные дроби с выделенной целой частью. (A b/c) Чтобы представить составную дробь в виде обыкновенной, необходимо умножить число, стоящее перед дробью на знаменатель, а затем сложить с числителем: (A*c + b)/c.
Арифметические действия с дробями
Не лишним будет рассмотреть известные арифметические действия только при работе с дробными числами.
Сложение и вычитание. Складывать и вычитать обыкновенные дроби точно так же легко, как и целые числа, за исключением одной трудности - наличия дробной черты. Складывая дроби с одинаковым знаменателем, необходимо сложить лишь числители обеих дробей, знаменатели остаются без изменения. Например: 5/7 + 1/7 = (5+1)/7 = 6/7
Если же знаменатели двух дробей представляют собой разные числа сначала нужно привести их к общему (как это сделать было рассмотрено выше). 1/8 + 3/2 = 1/2*2*2 + 3/2 = 1/8 + 3*4/2*4 = 1/8 + 12/8 = 13/8. Вычитание происходит по точно такому же принципу: 8/9 - 2/3 = 8/9 - 6/9 = 2/9.
Умножение и деление. Действия с дробями по умножению происходят по следующему принципу: отдельно перемножаются числители и знаменатели. В общем виде формула умножения выглядит так: a/b *c/d = a*c/b*d. Кроме того, по мере умножения можно сократить дробь, исключая одинаковые множители из числителя и знаменателя. Выражаясь другим языком, числитель и знаменатель делится на одно и то же число: 4/16 = 4/4*4 = 1/4.
Для деления одной обыкновенной дроби на другую, нужно поменять числитель и знаменатель делителя и выполнить умножение двух дробей, по принципу, рассмотренному ранее: 5/11: 25/11 = 5/11 * 11/25 = 5*11/11*25 = 1/5
Десятичные дроби
Десятичные дроби являются более популярной и часто используемой версией дробных чисел. Их проще записать в строчку или представить на компьютере. Структура десятичной дроби такая: сначала записывается целое число, а затем, после запятой, записывается дробная часть. По своей сути десятичные дроби - это составные обыкновенные дроби, однако их дробная часть представлена числом, деленным на кратное цифре 10. Отсюда и произошло их название. Действия с дробями десятичными аналогичны действиям с целыми числами, так как они так же записаны в десятичной системе счисления. Также в отличие от обыкновенных дробей, десятичные могут быть иррациональными. Это значит, что они могут быть бесконечны. Записываются они так 7,(3). Читается такая запись: семь целых, три десятых в периоде.
Основные действия с десятичными числами
Сложение и вычитание десятичных дробей. Выполнить действия с дробями не сложнее, чем с целыми натуральными числами. Правила абсолютно аналогичны с теми, что используют при сложении или вычитании натуральных чисел. Их точно так же можно считать столбиком, однако при необходимости заменять недостающие места нулями. Например: 5,5697 - 1,12. Для того чтобы выполнить вычитание столбиком нужно уравнять количество чисел после запятой: (5,5697 - 1,1200). Так, числовое значение не измениться и можно будет считать в столбик.
Действия с десятичными дробями нельзя производить, если одно из них имеет иррациональный вид. Для этого нужно перевести оба числа в обыкновенные дроби, а затем пользоваться приемами, описанными ранее.
Умножение и деление. Умножение десятичных дробей аналогично умножению натуральных. Их также можно умножать столбиком, просто, не обращая внимания на запятую, а затем отделить запятой в итоговом значении такое же количество знаков, сколько в сумме после запятой было в двух десятичных дробях. К примеру, 1,5 * 2,23 = 3,345. Все очень просто, и не должно вызвать затруднений, если вы уже овладели умножением натуральных чисел.
Деление также совпадает с делением натуральных чисел, но с небольшим отступлением. Чтобы разделить на десятичное число столбиком необходимо отбросить запятую в делителе, и умножить делимое на число знаков, стоявших после запятой в делителе. После чего выполнять деление как с натуральными числами. При неполном делении можно добавлять нули к делимому справа, также прибавляя ноль в ответ после запятой.
Примеры действий с десятичными дробями. Десятичные дроби - очень удобный инструмент для арифметического счета. Они сочетают в себе удобство натуральных, целых чисел и точность обыкновенных дробей. К тому же довольно просто перевести одни дроби в другие. Действия с дробями не отличаются от действий с натуральными числами.
- Сложение: 1,5 + 2,7 = 4,2
- Вычитание: 3,1 - 1,6 = 1,5
- Умножение: 1,7 * 2,3 = 3,91
- Деление: 3,6: 0,6 = 6
Кроме того, десятичные дроби подходят для представления процентов. Так, 100 % = 1; 60 % = 0,6; и наоборот: 0,659 = 65,9 %.
Вот и все, что нужно знать о дробях. В статье было рассмотрено два вида дробей - обыкновенные и десятичные. Оба довольно простые в вычислении, и если вы полностью овладели натуральными числами и действиями с ними, можете смело приступать к изучению дробных.
Дроби записанные в форме 0,8; 0,13; 2,856; 5,2; 0,04 называют десятичными. На самом деле десятичные дроби это упрощенная запись обычных дробей. Эту запись удобно использовать для всех дробей, у которых знаменатели равны 10, 100, 1000 и так далее.
Рассмотрим примеры (0,5 читают как, ноль целых пять десятых);
(0,15 читают как, ноль целых пятнадцать сотых);
(5,3 читают как, пять целых три десятых).
Обратим внимание, что в записи десятичной дроби запятая отделяет целую часть числа от дробной, целая часть правильной дроби рана 0. Запись дробной части десятичной дроби содержит столько цифр, сколько нулей в записи знаменателя соответствующей обыкновенной дроби.
Рассмотрим пример, ,
,
.
В некоторых случаях бывает необходимо рассматривать натуральное число как десятичную дробь, у которой дробная часть равна нулю. Принято записывать что, 5 = 5,0; 245 = 245,0 и так далее. Заметим, что в десятичной записи натурального числа единица младшего разряда в 10 раз меньше единицы соседнего старшего разряда. Таким же свойством обладает запись десятичных дробей. Поэтому сразу после запятой идет разряд десятых, далее разряд сотых, затем разряд тысячных и так далее. Ниже приведены названия разрядов числа 31,85431 первые два столбца — целая часть, остальные столбцы — дробная часть.
Читается эта дробь как тридцать одна целая восемьдесят пять тысяч четыреста тридцать одна стотысячная.
Сложение и вычитание десятичных дробей
Первый способ, это обратить десятичные дроби в обыкновенные и произвести сложение.
как видно из примера этот способ очень неудобный и лучше воспользоваться вторым способом более правильным, не обращая десятичные дроби в обыкновенные. Для того чтобы сложить две десятичные дроби, надо:
- уравнять в слагаемых количество цифр после запятой;
- записать слагаемые друг под другом так, чтобы каждый разряд второго слагаемого оказался под соответствующим разрядом первого слагаемого;
- сложить полученные числа так, как складывают натуральные числа;
- поставить в полученной сумме запятую под запятыми в слагаемых.
Рассмотрим примеры:
- уравнять в уменьшаемом и вычитаемом количество цифр после запятой;
- записать вычитаемое под уменьшаемым так, чтобы каждый разряд вычитаемого оказался под соответствующим разрядом уменьшаемого;
- произвести вычитание так, как вычитают натуральные числа;
- поставить в полученной разности запятую под запятыми в уменьшаемом и вычитаемом.
Рассмотрим примеры:
В рассмотренных выше примерах видно, что сложение и вычитание десятичных дробей выполнялось поразрядно, то есть так, как мы производили аналогичные действия с натуральными числами. Это и есть главное преимущество десятичной формы записи дробей.
Умножение десятичных дробей
Для того чтобы умножить десятичную дробь на 10, 100, 1000 и так далее, надо в этой дроби перенести запятую вправо соответственно на 1, 2, 3 и так далее цифры. Следовательно, если запятую перенести вправо на 1, 2, 3 и так далее цифры, то дробь увеличится соответственно в 10, 100, 1000 и так далее раз. Для того чтобы перемножить две десятичные дроби, надо:
- умножить их как натуральные числа, не обращая внимания на запятые;
- в полученном произведении отделить запятой справа столько цифр, сколько их стоит после запятых в обоих множителях вместе.
Встречаются случаи, когда произведение содержит меньше цифр, чем требуется отделить запятой, слева перед этим произведением дописывают необходимое количество нулей, а затем переносят запятую влево на нужное количество цифр.
Рассмотрим примеры: 2 * 4 = 8, тогда 0,2 * 0,4 = 0,08; 23 * 35 = 805, тогда 0,023 * 0,35 = 0,00805.
Встречаются случаи, когда один из множителей равен 0,1; 0,01; 0,001 и так далее, удобнее пользоваться следующим правилом.
- Для того чтобы умножить десятичную дробь на 0,1; 0,01; 0,001 и так далее, надо в этой десятичной дроби перенести запятую влево соответственно на 1, 2, 3 и так далее цифры.
Рассмотрим примеры: 2,65 * 0,1 = 0,265; 457,6 * 0,01 = 4,576.
Свойства умножения натуральных чисел выполняются и для десятичных дробей.
- ab = ba — переместительное свойство умножения;
- (ab) c = a (bc) — сочетательное свойство умножения;
- a (b + c) = ab + ac — распределительное свойство умножения, относительно сложения.
Деление десятичных дробей
Известно, если разделить натуральное число a на натуральное число b означает найти такое натуральное число c , которое при умножении на b дает число a . Это правило остается верным, если хотя бы одно из чисел a, b, c является десятичной дробью.
Рассмотрим пример, требуется разделить 43,52 на 17 уголком, не обращая внимания на запятую. При этом запятую в частном следует поставить непосредственно перед тем, как будет использована первая цифра после запятой в делимом.
Бывают случаи когда делимое меньше делителя, тогда целая часть частного равна нулю. Рассмотрим пример:
Рассмотрим еще один интересный пример.
Процесс деления остановлен, потому что цифры делимого закончились, а в остатке нуль не получили. Известно, что десятичная дробь не изменится, если к ней справа приписать любое количество нулей. Тогда становится понятно, что цифры делимого закончится не могут.
Для того чтобы разделить десятичную дробь на 10, 100, 1000 и так далее, надо в этой дроби перенести запятую влево на 1, 2, 3 и так далее цифры. Рассмотрим пример: 5,14: 10 = 0,514; 2: 100 = 0,02; 37,51: 1000 = 0,03751.
Если делимое и делитель увеличить одновременно в 10, 100, 1000 и так далее раз, то частное не изменится.
Рассмотрим пример: 39,44: 1,6 = 24,65 увеличим делимое и делитель в 10 раз 394,4: 16 = 24,65 справедливо заметить, что делить десятичную дробь на натуральное число во втором примере легче.
Для того чтобы разделить десятичную дробь на десятичную, надо:
- перенести в делимом и в делителе запятые вправо на столько цифр, сколько их содержится после запятой в делителе;
- выполнить деление на натуральное число.
Рассмотрим пример: 23,6: 0,02 заметим, что в делителе стоит два знака после запятой, следовательно умножаем оба числа на 100 получаем 2360: 2 = 1180 делим результат на 100 и получаем ответ 11,80 или 23,6: 0,02 = 11,8.
Сравнение десятичных дробей
Существует два способа сравнения десятичных дробей. Способ первый, требуется сравнить две десятичные дроби 4,321 и 4,32 уравниваем количество знаков после запятой и начинаем сравнивать поразрядно, десятые с десятыми, сотые с сотыми и так далее в итоге получаем 4,321 > 4,320.
Второй способ сравнения десятичных дробей производится с помощью умножения, умножим вышеприведенный пример на 1000 и сравним 4321 > 4320. Какой способ удобней, каждый выбирает для себя сам.
Десятичная дробь используется, когда нужно выполнять действия с нецелыми числами. Это может показаться нерациональным. Но такой вид чисел существенно облегчает математические операции, которые с ними необходимо выполнять. Это понимание приходит со временем, когда их запись становится привычной, а прочтение не вызывает трудностей, и освоены правила десятичных дробей. Тем более что все действия повторяют уже известные, которые усвоены с натуральными числами. Только нужно запомнить некоторые особенности.
Определение десятичной дроби
Десятичная дробь — это особое представление нецелого числа со знаменателем, который делится на 10, а ответ получается в виде единицы и, возможно, нулей. Другими словами, если в знаменателе 10, 100, 1000 и так далее, то удобнее переписать число с использованием запятой. Тогда до нее будет расположена целая часть, а потом - дробная. Причем запись второй половины числа будет зависеть от знаменателя. Количество цифр, которые находятся в дробной части, должно быть равно разряду знаменателя.
Проиллюстрировать вышесказанное можно этими числами:
9/10=0,9; 178/10000=0,0178; 3,05; 56 003,7006.
Причины, по которым понадобилось применение десятичных дробей
Математикам потребовались десятичные дроби по нескольким основаниям:
Упрощение записи. Такая дробь расположена вдоль одной линии без черточки между знаменателем и числителем, при этом наглядность не страдает.
Простота в сравнении. Достаточно просто соотнести цифры, находящиеся в одинаковых позициях, в то время как с обыкновенными дробями пришлось бы приводить их к общему знаменателю.
Упрощение вычислений.
Калькуляторы не рассчитаны на введение обыкновенных дробей, они для всех операций используют десятичную запись чисел.
Как правильно прочитать такие числа?
Ответ прост: так же, как обыкновенное смешанное число со знаменателем, кратным 10. Исключение составляют только дроби без целого значения, тогда при чтении нужно произносить «ноль целых».
Например, 45/1000 нужно произнести как сорок пять тысячных , в то же время 0,045 будет звучать как ноль целых сорок пять тысячных .
Смешанное число с целой частью равной 7 и дробью 17/100, что запишется как 7,17, в обоих случаях будет прочитано как семь целых семнадцать сотых .
Роль разрядов в записи дробей
Верно отметить разряд - это то, что требует математика. Десятичные дроби и их значение могут существенно измениться, если записать цифру не в том месте. Впрочем, это было справедливо и раньше.
Для прочтения разрядов целой части десятичной дроби нужно просто воспользоваться правилами, известными для натуральных чисел. А в правой части они зеркально отражаются и по-другому читаются. Если в целой части звучало "десятки", то после запятой это будут уже "десятые".
Наглядно это можно увидеть в этой таблице.
класс | тысячи | единицы | , | дробная часть | |||||||
разряд | сот. | дес. | ед. | сот. | дес. | ед. | десятая | сотая | тысячная | десятитысячная |
Как правильно записать смешанное число десятичной дробью?
Если в знаменателе стоит число, равное 10 или 100, и прочие, то вопрос о том, как дробь перевести в десятичную, несложен. Для этого достаточно по-другому переписать все ее составные части. В этом помогут такие пункты:
немного в стороне написать числитель дроби, в этот момент десятичная запятая располагается справа, после последней цифры;
переместить запятую влево, здесь самое главное - правильно сосчитать цифры — передвинуть ее нужно на столько позиций, сколько нолей в знаменателе;
если их не хватает, то на пустых позициях должны оказаться нули;
нули, которые были в конце числителя, теперь не нужны, и их можно зачеркнуть;
перед запятой приписать целую часть, если ее не было, то здесь тоже окажется нуль.
Внимание. Нельзя зачеркивать нули, которые оказались окружены другими цифрами.
О том, как быть в ситуации, когда в знаменателе число не только из единицы и нулей, как дробь переводить в десятичную, можно прочитать чуть ниже. Это важная информация, с которой обязательно стоит ознакомиться.
Как дробь перевести в десятичную, если знаменатель - произвольное число?
Здесь возможны два варианта:
Когда знаменатель можно представить в виде числа, которое равно десяти в любой степени.
Если такую операцию проделать нельзя.
Как это проверить? Нужно разложить знаменатель на множители. Если в произведении присутствуют только 2 и 5, то все хорошо, и дробь легко преобразуется в конечную десятичную. В противном случае, если появляются 3, 7 и другие простые числа, то результат будет бесконечным. Такую десятичную дробь для удобства использования в математических операциях принято округлять. Об этом будет речь немного ниже.
Изучает, как получаются такие десятичные дроби, 5 класс. Примеры здесь будут очень кстати.
Пусть в знаменателях находятся числа: 40, 24 и 75. Разложение на простые множители для них будет такое:
- 40=2·2·2·5;
- 24=2·2·2·3;
- 75=5·5·3.
В этих примерах только первая дробь может быть представлена в виде конечной.
Алгоритм перевода обыкновенной дроби в конечную десятичную
Проверить разложение знаменателя на простые множители и убедиться в том, что оно будет состоять из 2 и 5.
Добавить к этим числам столько 2 и 5, чтобы их стало равное количество. Они дадут значение дополнительного множителя.
Произвести умножение знаменателя и числителя на это число. В результате получится обыкновенная дробь, под чертой у которой стоит 10 в некоторой степени.
Если в задаче эти действия выполняются со смешанным числом, то его сначала нужно представить в виде неправильной дроби. А уже потом действовать по описанному сценарию.
Представление обыкновенной дроби в виде округленной десятичной
Этот способ того, как дробь переводить в десятичную, кому-то покажется даже проще. Потому что в нем нет большого количества действий. Нужно только разделить значение числителя на знаменатель.
К любому числу с десятичной частью справа от запятой можно приписать бесконечное количество нулей. Этим свойством и нужно воспользоваться.
Сначала записать целую часть и поставить после нее запятую. Если дробь правильная, то написать ноль.
Потом полагается выполнить деление числителя на знаменатель. Так, чтобы количество цифр у них было одинаковым. То есть приписать справа у числителя нужное количество нолей.
Выполнять деление в столбик до тех пор, пока не будет набрано нужное количество цифр. Например, если округлить нужно будет до сотых, то в ответе их должно быть 3. В общем, цифр должно быть на одну больше, чем нужно получить в итоге.
Записать промежуточный ответ после запятой и округлить по правилам. Если последняя цифра - от 0 до 4, то ее нужно просто отбросить. А когда она равна 5-9, то стоящую перед ней нужно увеличить на единицу, отбросив последнюю.
Возврат от десятичной дроби к обыкновенной
В математике встречаются задачи, когда десятичные дроби удобнее представить в виде обыкновенных, в которых есть числитель со знаменателем. Можно вздохнуть с облегчением: эта операция возможна всегда.
Для этой процедуры нужно сделать следующее:
записать целую часть, если она равна нулю, то ничего писать не надо;
провести дробную черту;
над ней записать цифры из правой части, если первыми идут нули, то их нужно зачеркнуть;
под чертой написать единицу с таким количеством нолей, сколько цифр стоит после запятой в первоначальной дроби.
Это все, что нужно сделать, чтобы перевести десятичную дробь в обыкновенную.
Что можно делать с десятичными дробями?
В математике это будут определенные действия с десятичными дробями, которые ранее выполнялись для других чисел.
Ими являются:
сравнение;
сложение и вычитание;
умножение и деление.
Первое действие, сравнение, похоже на то, как это делалось для натуральных чисел. Чтобы определить, какое больше, нужно сравнивать разряды целой части. Если они окажутся равными, то переходят к дробной и так же по разрядам сравнивают их. То число, где окажется большая цифра в старшем разряде, и будет ответом.
Сложение и вычитание десятичных дробей
Это, пожалуй, самые простые действия. Потому что выполняются по правилам для натуральных чисел.
Так, чтобы выполнить сложение десятичных дробей, их нужно записать друг под другом, разместив запятые в столбик. При такой записи слева от запятых оказываются целые части, а справа — дробные. И теперь нужно сложить цифры поразрядно, как это делается с натуральными числами, снеся вниз запятую. Начинать сложение нужно с самого маленького разряда дробной части числа. Если в правой половине не хватает цифр, то дописывают нули.
При вычитании действуют так же. И здесь действует правило, которое описывает возможность занять единицу у старшего разряда. Если в уменьшаемой дроби после запятой меньше цифр, чем у вычитаемого, то в ней просто приписывают нули.
Немного сложнее обстоит дело с заданиями, где нужно выполнить умножение и деление десятичных дробей.
Как умножить десятичную дробь в разных примерах?
Правило, по которому производится умножение десятичных дробей на натуральное число, такое:
записать их в столбик, не обращая внимания на запятую;
перемножить, как если бы они были натуральными;
отделить запятой столько цифр, сколько их было в дробной части исходного числа.
Частным случаем является пример, в котором натуральное число равно 10 в любой степени. Тогда для получения ответа нужно просто передвинуть запятую вправо на столько позиций, сколько нулей в другом множителе. Иными словами, при умножении на 10 запятая сдвигается на одну цифру, на 100 - их будет уже две, и так далее. Если цифр в дробной части не хватает, то нужно записать на пустых позициях нули.
Правило, которым пользуются, когда в задании нужно произвести умножение десятичных дробей на другое такое же число:
записать их друг под другом, не обращая внимания на запятые;
умножить, как если бы они были натуральными;
отделить запятой столько цифр, сколько их было в дробных частях обеих исходных дробях вместе.
Частным случаем выделяются примеры, в которых один из множителей равен 0,1 или 0,01 и далее. В них нужно выполнить перемещение запятой влево на количество цифр в представленных множителях. То есть если умножается на 0,1, то запятая сдвигается на одну позицию.
Как разделить десятичную дробь в разных заданиях?
Деление десятичных дробей на натуральное число выполняется по такому правилу:
записать их для деления в столбик, как если бы они были натуральными;
делить по привычному правилу до тех пор, пока не закончится целая часть;
поставить в ответ запятую;
продолжить деление дробной составляющей до получения в остатке нуля;
если нужно, то можно приписать нужное количество нулей.
Если целая часть равна нулю, то и в ответе ее тоже не будет.
Отдельно стоит деление на числа, равные десятке, сотне и так далее. В таких задачах нужно передвинуть запятую влево на количество нулей в делителе. Бывает, что цифр в целой части не хватает, тогда вместо них используют нули. Можно заметить, что эта операция подобна умножению на 0,1 и подобным ей числам.
Чтобы выполнить деление десятичных дробей, нужно воспользоваться этим правилом:
превратить делитель в натуральное число, а для этого перенести в нем запятую вправо до конца;
выполнить перемещение запятой и в делимом на такое же число цифр;
действовать по предыдущему сценарию.
Выделяется деление на 0,1; 0,01 и прочие подобные числа. В таких примерах запятая сдвигается вправо на число цифр в дробной части. Если они закончились, то нужно приписать недостающее количество нулей. Стоит отметить, что это действие повторяет деление на 10 и подобные ему числа.
Заключение: все дело в практике
Ничто в учебе не дается легко и без усилий. Для надежного освоения нового материала требуются время и тренировка. Математика не исключение.
Чтобы тема про десятичные дроби не вызывала затруднений, нужно решать с ними примеров как можно больше. Ведь было время, когда и сложение натуральных чисел ставило в тупик. А теперь все нормально.
Поэтому, перефразируя известную фразу: решать, решать и еще раз решать. Тогда и задания с такими числами будут выполняться легко и непринужденно, как очередная головоломка.
Кстати, и головоломки поначалу решаются сложно, а потом нужно делать привычные движения. Так же и в математических примерах: пройдя по одному пути несколько раз, потом уже не будешь задумываться над тем, куда повернуть.
Инструкция
Научитесь переводить десятичные дроби в обыкновенные. Посчитайте, сколько знаков отделено запятой. Одна цифра справа от запятой означает, что знаменатель - 10, две - 100, три - 1000 и так далее. Например, десятичная дробь 6,8 как «шесть целых, восемь ». При преобразовании ее напишите сначала количество целых единиц - 6. В знаменателе напишите 10. В числителе будет стоять число 8. Получится, что 6,8 = 6 8/10. Вспомните правила сокращения. Если числитель и знаменатель делятся на одно и то же число, то дробь можно сократить на общий делитель. В данном случае это число 2. 6 8/10 = 6 2/5.
Попробуйте сложить десятичные дроби . Если вы делаете это в столбик, то будьте внимательны. Разряды всех чисел должны находиться строго друг под другом, - под запятой. Правила сложения точно такие же, как и при действии с . Прибавьте к тому же числу 6,8 другую десятичную дробь - например, 7,3. Запишите тройку под восьмеркой, запятую - под запятой, а семерку - под шестеркой. Складывать начните с последнего разряда. 3+8=11, то есть 1 запишите, 1 запомните. Далее сложите 6+7, получите 13. Прибавьте то, что оставалось в уме и запишите результат - 14,1.
Вычитание выполняется по тому же принципу. Разряды запишите друг под другом, запятую - под запятой. Ориентируйтесь всегда по ней, особенно если количество цифр после нее в уменьшаемом меньше, чем в вычитаемом. Отнимите от заданного числа, например, 2,139. Двойку запишите под шестеркой, единицу - под восьмеркой, остальные две цифры - под следующими разрядами, которые можно обозначить нулями. Получится, что уменьшаемое не 6,8, а 6,800. Выполнив данное действие, вы получите в итоге 4,661.
Действия с отрицательными выполняются точно так же, как и с числами. При сложении минус выносится за скобку, а в скобках заданные числа, и между ними ставится плюс. В итоге получается . То есть при сложении -6,8 и -7,3 вы получите тот же самый результат 14,1, но со знаком "-" перед ним. Если вычитаемое больше уменьшаемого, то минус тоже выносится за скобку, из большего числа вычитается меньшее. Вычтите из 6,8 число -7,3. Преобразуйте выражение следующим образом. 6,8 - 7,3= -(7,3 - 6,8) = -0,5.
Для того чтобы умножить десятичные дроби , на время забудьте о запятой. Перемножьте их так, перед вами целые числа. После этого сосчитайте количество знаков, стоящих справа после запятой в обоих сомножителях. Отделите столько же знаков и в произведении. Перемножив 6,8 и 7,3, в итоге вы получите 49,64. То есть справа от запятой у вас окажутся 2 знака, в то время как в множимом и множителе их было по одному.
Разделите заданную дробь на какое-нибудь целое число. Это действие выполняется точно так же, как и с целыми числами. Главное - не забыть про запятую и в начале поставить 0, если количество целых единиц не делится на делитель. Например, попробуйте разделить те же самые 6,8 на 26. В начале поставьте 0, поскольку 6 меньше, чем 26. Отделите его запятой, дальше уже пойдут десятые и сотые. В итоге получится приблизительно 0,26. На самом деле в данном случае получается бесконечная непериодическая дробь, которую можно округлить до нужной степени точности.
При делении двух десятичных дробей воспользуйтесь свойством, что при умножении делимого и делителя на одно и то же число частное не меняется. То есть преобразуйте обе дроби в целые числа, в зависимости от того, сколько знаков стоит после запятой. Если вы хотите разделить 6,8 на 7,3, достаточно умножить оба числа на 10. Получится, что делить нужно 68 на 73. Если же в одном из чисел разрядов после запятой больше, преобразуйте в целое число сначала его, а затем уже и второе число. Умножьте его на то же число. То есть при делении 6,8 на 4,136 увеличьте делимое и делитель не в 10, а в 1000 раз. Разделив 6800 на 1436, получите в результате 4,735.