Система упражнений для решения квадратных уравнений. Неполные квадратные уравнения

Задачи на квадратное уравнение изучаются и в школьной программе и в ВУЗах. Под ними понимают уравнения вида a*x^2 + b*x + c = 0 ,где x - переменная, a,b,c – константы; a<>0 . Задача состоит в отыскании корней уравнения.

Геометрический смысл квадратного уравнения

Графиком функции, которая представлена квадратным уравнением является парабола. Решения (корни) квадратного уравнения - это точки пересечения параболы с осью абсцисс (х) . Из этого следует, что есть три возможных случая:
1) парабола не имеет точек пересечения с осью абсцисс. Это означает, что она находится в верхней плоскости с ветками вверх или нижней с ветками вниз. В таких случаях квадратное уравнение не имеет действительных корней (имеет два комплексных корня).

2) парабола имеет одну точку пересечения с осью Ох . Такую точку называют вершиной параболы, а квадратное уравнение в ней приобретает свое минимальное или максимальное значение. В этом случае квадратное уравнение имеет один действительный корень (или два одинаковых корня).

3) Последний случай на практике интересный больше - существует две точки пересечения параболы с осью абсцисс. Это означает, что существует два действительных корня уравнения.

На основе анализа коэффициентов при степенях переменных можно сделать интересные выводы о размещении параболы.

1) Если коэффициент а больше нуля то парабола направлена ветками вверх, если отрицательный - ветки параболы направлены вниз.

2) Если коэффициент b больше нуля то вершина параболы лежит в левой полуплоскости, если принимает отрицательное значение - то в правой.

Вывод формулы для решения квадратного уравнения

Перенесем константу с квадратного уравнения

за знак равенства, получим выражение

Умножим обе части на 4а

Чтобы получить слева полный квадрат добавим в обеих частях b^2 и осуществим преобразование

Отсюда находим

Формула дискриминанта и корней квадратного уравнения

Дискриминантом называют значение подкоренного выраженияЕсли он положительный то уравнение имеет два действительных корня, вычисляемые по формулеПри нулевом дискриминант квадратное уравнение имеет одно решение (два совпадающих корня), которые легко получить из приведенной выше формулы при D=0 При отрицательном дискриминант уравнения действительных корней нет. Однако исують решения квадратного уравнения в комплексной плоскости, и их значение вычисляют по формуле

Теорема Виета

Рассмотрим два корня квадратного уравнения и построим на их основе квадратное уравнение.С записи легко следует сама теорема Виета: если имеем квадратное уравнение видато сумма его корней равна коэффициенту p , взятому с противоположным знаком, а произведение корней уравнения равен свободному слагаемому q . Формульная запись вышесказанного будет иметь видЕсли в классическом уравнении константа а отлична от нуля, то нужно разделить на нее все уравнение, а затем применять теорему Виета.

Расписание квадратного уравнения на множители

Пусть поставлена задача: разложить квадратное уравнение на множители. Для его выполнения сначала решаем уравнение (находим корни). Далее, найденные корни подставляем в формулу разложения квадратного уравненияНа этом задача будет разрешен.

Задачи на квадратное уравнение

Задача 1. Найти корни квадратного уравнения

x^2-26x+120=0 .

Решение: Запишем коэффициенты и подставим в формулу дискриминанта

Корень из данного значения равен 14 , его легко найти с калькулятором, или запомнить при частом использовании, однако для удобства, в конце статьи я Вам дам список квадратов чисел, которые часто могут встречаться при подобных задачах.
Найденное значение подставляем в формулу корней

и получаем

Задача 2. Решить уравнение

2x 2 +x-3=0.

Решение: Имеем полное квадратное уравнение, выписываем коэффициенты и находим дискриминант


По известным формулам находим корни квадратного уравнения

Задача 3. Решить уравнение

9x 2 -12x+4=0.

Решение: Имеем полное квадратное уравнение. Определяем дискриминант

Получили случай когда корни совпадают. Находим значения корней по формуле

Задача 4. Решить уравнение

x^2+x-6=0 .

Решение: В случаях когда есть малые коэффициенты при х целесообразно применять теорему Виета. По ее условию получаем два уравнения

С второго условия получаем, что произведение должно быть равно -6 . Это означает, что один из корней отрицателен. Имеем следующую возможную пару решений{-3;2}, {3;-2} . С учетом первого условия вторую пару решений отвергаем.
Корни уравнения равны

Задача 5. Найти длины сторон прямоугольника, если его периметр 18 см, а площадь 77 см 2 .

Решение: Половина периметра прямоугольника равна сумме соседних сторон. Обозначим х – большую сторону, тогда 18-x меньшая его сторона. Площадь прямоугольника равна произведению этих длин:
х(18-х)=77;
или
х 2 -18х+77=0.
Найдем дискриминант уравнения

Вычисляем корни уравнения

Если х=11 , то 18-х=7 , наоборот тоже справедливо (если х=7 , то 21-х=9 ).

Задача 6. Разложить квадратное 10x 2 -11x+3=0 уравнения на множители.

Решение: Вычислим корни уравнения, для этого находим дискриминант

Подставляем найденное значение в формулу корней и вычисляем

Применяем формулу разложения квадратного уравнения по корнями

Раскрыв скобки получим тождество.

Квадратное уравнение с параметром

Пример 1. При каких значениях параметра а , уравнение (а-3)х 2 +(3-а)х-1/4=0 имеет один корень?

Решение: Прямой подстановкой значения а=3 видим, что оно не имеет решения. Далее воспользуемся тем, что при нулевом дискриминанте уравнение имеет один корень кратности 2 . Выпишем дискриминант

упростим его и приравняем к нулю

Получили квадратное уравнение относительно параметра а , решение которого легко получить по теореме Виета. Сумма корней равна 7 , а их произведение 12 . Простым перебором устанавливаем, что числа 3,4 будут корнями уравнения. Поскольку решение а=3 мы уже отвергли в начале вычислений, то единственным правильным будет - а=4 . Таким образом, при а=4 уравнение имеет один корень.

Пример 2. При каких значениях параметра а , уравнение а(а+3)х^2+(2а+6)х-3а-9=0 имеет более одного корня?

Решение: Рассмотрим сначала особые точки, ими будут значения а=0 и а=-3 . При а=0 уравнение упростится до вида 6х-9=0; х=3/2 и будет один корень. При а= -3 получим тождество 0=0 .
Вычислим дискриминант

и найдем значения а при котором оно положительно

С первого условия получим а>3 . Для второго находим дискриминант и корни уравнения


Определим промежутки где функция принимает положительные значения. Подстановкой точки а=0 получим 3>0 . Итак, за пределами промежутка (-3;1/3) функция отрицательная. Не стоит забывать о точке а=0 , которую следует исключить, поскольку в ней исходное уравнение имеет один корень.
В результате получим два интервала, которые удовлетворяют условию задачи

Подобных задач на практике будет много, постарайтесь разобраться с заданиями самостоятельно и не забывайте учитывать условия, которые взаимоисключают друг друга. Хорошо изучите формулы для решения квадратных уравнений, они довольна часто нужны при вычислениях в разных задачах и науках.

КВАДРАТНЫЙ ТРЕХЧЛЕН III

§ 50 Квадратные уравнения

Уравнения вида

ax 2 + bx + c = 0, (1)

где х - неизвестная величина, а, b, с - данные числа (а =/= 0), называются квадратными.

Выделяя в левой части квадратного уравнения полный квадрат (см. формулу (1) § 49), получаем:

Очевидно, что уравнение (2) эквивалентно уравнению (1) (см. § 2). Уравнение (2) может иметь действительные корни только тогда, когда или b 2 - 4ас > 0 (поскольку 4а 2 > 0).

Ввиду той особой роли, которую играет выражение D = b 2 - 4ас при решении уравнения (1), этому выражению дано специальное название - дискриминант квадратного уравнения ax 2 + bx + c = 0 (или дискриминант квадратного трехчлена ax 2 + bx + c ). Итак, если дискриминант квадратного уравнения отрицателен, то уравнение не имеет действительных корней .

Если же D =b 2 - 4ас > 0, то из (2) получаем:

Если дискриминант квадратного уравнения неотрицателен, то это уравнение имеет действительные корни. Они записываются в виде дроби, в числителе которой стоит коэффициент уравнения при х , взятый с противоположным знаком, плюс-минус корень квадратный из дискриминанта, а в знаменателе - удвоенный коэффициент при х 2 .

Если дискриминант квадратного уравнения положителен, то уравнение имеет два различных действительных корня:

Если дискриминант квадратного уравнения равен нулю, то уравнение имеет один действительный корень:

х = - b / 2 a

(В этом случае иногда говорят, что уравнение имеет два равных корня: x 1 = x 2 = - b / 2 a )

Примеры.

1) Для уравнения 2х 2 - х - 3 = 0 дискриминант D = (- 1) 2 - 4 2 (- 3) = 25 > 0. Уравнение имеет два различных корня:

2) Для уравнения 3х 2 - 6х + 3 = 0 D = (- 6) 2 - 4 3 3 = 0. Это уравнение имеет один действительный корень

3) Для уравнения 5х 2 + 4х + 7 = 0 D = 4 2 - 4 5 7 = - 124 < 0. Это уравнение не имеет действительных корней.

4) Выяснить, при каких значениях а квадратное уравнение х 2 + ах + 1 = 0:

а) имеет один корень;

б) имеет два разных корня;

в) вообще не имеет корней,

Дискриминант данного квадратного уравнения равен

D = а 2 - 4.

Если | а | = 2, тo D = 0; в этом случае уравнение имеет один корень.

Если | а | > 2, то D > 0; в этом случае уравнение имеет два разных корня.

Наконец, если | а | < 2, то данное уравнение не имеет корней.

Упражнения

Решить уравнения (№ 364-369):

364. 6х 2 - х - 1 = 0. 367. - х 2 + 8х - 16 = 0.

365. 3х 2 - 5х + 1 = 0. 368. 2х 2 - 12х + 12 == 0.

366. х 2 - х + 1 = 0. 369. 2х - х 2 - 6 = 0.

370. Можно ли число 15 представить в виде суммы двух чисел так, чтобы их произведение было равно 70?

371. При каких значениях а уравнение

х 2 - 2ах + а (1 + а ) = 0

а) имеет два различных корня;

б) имеет только один корень;

в) не имеет корней?

372. При каких значениях а уравнение

(1 - а ) х 2 - 4ах + 4 (1 - а ) = 0

а) не имеет корней;

б) имеет не более одного корня;

в) имеет не менее одного корня?

373. При каком значении а уравнение х 2 + ах + 1 = 0 имеет единственный корень? Чему он равен?

374. В каких пределах заключено число а , если известно, что уравнения

х 2 + х + а = 0 и х 2 + х - а = 0

375. Что вы можете сказать о величине а , если уравнения

4а (х 2 + х ) = а - 2,5 и х (х - 1) = 1,25 - а

имеют одинаковое число корней?

376. Поезд был задержан на станции на t мин. Чтобы наверстать потерянное время, машинист увеличил скорость на а км/ч и на следующем перегоне в b км ликвидировал опоздание. С какой скоростью поезд шел до задержки на станции?

377. Два подъемных крана, работая вместе, разгрузили баржу за t ч. За какое время может разгрузить баржу каждый кран в отдельности, если один из них тратит на это на а ч меньше другого?

378. Один из заводов выполняет некоторый заказ на 4 дня быстрее, чем другой. За какое время может выполнить заказ каждый завод, работая отдельно, если известно, что при совместной работе за 24 дня они выполнили заказ в 5 раз больший?

Решить уравнения (№ 379, 380).

(Обратите внимание на та, что в этих уравнениях неизвестное содержится в знаменателях дробей. Полученные корни необходимо будет проверить!)

381*. При каких значениях а уравнения

х 2 + ах + 1 = 0 и х 2 + х + а = 0

имеют хотя бы один общий корень?

Квадратные уравнения применяются при решении многих задач. Значительная часть задач, легко решаемых при помощи уравнений первой степени, может быть решена и чисто арифметически, хотя иногда гораздо более трудным, длинным и часто искусственным путём. Задачи же, приводящие к квадратным уравнениям, как правило, совсем не поддаются арифметическому решению. А к таким задачам приводят многочисленные и самые разнообразные вопросы физики, механики, гидромеханики, аэродинамики и многих других прикладных наук.

Основные этапы составления квадратных уравнений по условиям задачи те же, что и при решении задач, приводящих к уравнениям первой степени. Приведём примеры.

Задача. 1. Две машинистки перепечатали рукопись за 6 час. 40 мин. Во сколько времени могла бы перепечатать рукопись каждая машинистка, работая одна, если первая затратила бы на эту работу на 3 часа больше второй?

Решение. Пусть вторая машинистка затратит на перепечатку рукописи х часов. Значит, первая машинистка затратит на эту же работу часов.

Узнаем, какую часть всей работы выполняет за один час каждая машинистка и какую - обе вместе.

Первая машинистка выполняет за час часть

Вторая часть.

Обе машинистки выполняют часть.

Отсюда имеем:

По смыслу задачи положительное число

Умножим обе части уравнения на После упрощения получим квадратное уравнение:

Так как , то уравнение имеет два корня. По формуле (В) найдём:

Но так как должно быть то значение не является допустимым для данной задачи.

Ответ. Первая машинистка затратит на работу часов, вторая 12 часов.

Задача 2. Собственная скорость самолёта км в час. Расстояние в 1 км самолёт пролетел дважды: сначала по ветру, затем против ветра, причём на второй перелёт он затратил на часов больше. Вычислить скорость ветра.

Ход решения изобразим в виде схемы.

Фарафонова Наталия Игоревна

Тема: Неполные квадратные уравнения.

Цели урока: - Ввести понятие неполного квадратного уравнения;

Научить решать неполные квадратные уравнения.

Задачи урока: - Уметь определять вид квадратного уравнения;

Решать неполные квадратные уравнения.

Уебник: Алгебра: Учеб. для 8 кл. общеобразоват. учреждений/ Ш. А. Алимов, Ю. М. Колягин, Ю. В. Сидоров и др. - М. : Просвещение, 2010.

Ход урока.

1. Напомнить учащимся о том, что прежде, чем решать любое квадратное уравнение, необходимо привести его к стандартному виду. Вспомнить определение полного квадратного уравнения: ax 2 + bx + c = 0, a ≠ 0.

В данных квадратных уравнениях назвать коэффициенты a, b, c:

а) 2x 2 - x + 3 = 0; б) x 2 + 4x - 1 = 0; в) x 2 - 4 = 0; г) 5x 2 + 3x = 0.

2. Дать определение неполного квадратного уравнения:

Квадратное уравнение ax 2 + bx + c = 0 называют неполным , если хотя бы один из коэффициентов, bили c, равен 0. Обратить внимание, что коэффициент а ≠ 0. Из уравнений представленных выше, выбрать неполные квадратные уравнения.

3. Виды неполных квадратных уравнений с примерами решений удобнее представить в виде таблице:

1. Не решая, определите количество корней для каждого неполного квадратного уравнения:

а) 2x 2 - 3 = 0; б) 3x 2 + 4 = 0; в) 5x 2 - x = 0; г) 0,6x 2 = 0; д) -8x 2 - 4 = 0.

1. Решить неполные квадратные уравнения (решение уравнений, с проверкой у доски, 2 варианта):

в) 2x 2 + 15 = 0

г) 3x 2 + 2x = 0

д) 2x 2 - 16 = 0

е) 5(x 2 + 2) = 2(x 2 + 5)

ж) (x + 1) 2 - 4 = 0

в) 2x 2 + 7 = 0

г) x 2 + 9x = 0

д) 81x 2 - 64 = 0

е) 2(x 2 + 4) = 4(x 2 + 2)

ж) (x - 2) 2 - 8 = 0.

6. Самостоятельная работа по вариантам:

1 вариант

а) 3x 2 - 12 = 0

б) 2x 2 + 6x = 0

д) 7x 2 - 14 = 0

2 вариант

б) 6x 2 + 24 = 0

в) 9y 2 - 4 = 0

г) -y 2 + 5 = 0

д) 1 - 4y 2 = 0

е) 8y 2 + y = 0

3 вариант

а) 6y - y 2 = 0

б) 0,1y 2 - 0,5y = 0

в) (x + 1)(x -2) = 0

г) x(x + 0,5) = 0

д) x 2 - 2x = 0

е) x 2 - 16 = 0

4 вариант

а) 9x 2 - 1 = 0

б) 3x - 2x 2 = 0

г) x 2 + 2x - 3 = 2x + 6

д) 3x 2 + 7 = 12x+ 7

5 вариант

а) 2x 2 - 18 = 0

б) 3x 2 - 12x = 0

г) x 2 + 16 = 0

д) 6x 2 - 18 = 0

е) x 2 - 5x = 0

6 вариант

б) 4x 2 + 36 = 0

в) 25y 2 - 1 = 0

г) -y 2 + 2 = 0

д) 9 - 16y 2 = 0

е) 7y 2 + y = 0

7 вариант

а) 4y - y 2 = 0

б) 0,2y 2 - y = 0

в) (x + 2)(x - 1) = 0

г) (x - 0,3)x = 0

д) x 2 + 4x = 0

е) x 2 - 36 = 0

8 вариант

а) 16x 2 - 1 = 0

б) 4x - 5x 2 = 0

г) x 2 - 3x - 5 = 11 - 3x

д) 5x 2 - 6 = 15x - 6

Ответы к самостоятельной работе:

1 вариант: а)2, б)0;-3; в)0; г)корней нет; д);

2 вариант а)0; б)корней; в); г); д); е)0;- ;

3 вариант а)0;6; б)0;5; в)-1;2; г)0;-0,5; д)0;2; е)4

4 вариант а); б)0;1,5; в)0;3; г)3; д)0;4 е)5

5 вариант а)3; б)0;4; в)0; г)корней нет; д) е)0;5

6 вариант а)0; б)корней нет; в) г) д)е)0;-

7 вариант а)0;4; б)0;5; в)-2;1; г)0;0,03; д)0;-4; е)6

8 вариант а) б)0; в)0;7; г)4; д)0;3; е)

Итоги урока: Сформулировано понятие «неполное квадратное уравнение»; показаны способы решения разных видов неполных квадратных уравнений. В ходе выполнения различных заданий отработаны навыки решения неполных квадратных уравнений.

7. Домашнее задание: №№ 421(2), 422(2), 423(2,4), 425.

Дополнительное задание:

При каких значениях a уравнение является неполным квадратным уравнением? Решите уравнение при полученных значениях a:

а) x 2 + 3ax + a - 1 = 0

б) (a - 2)x 2 + ax = 4 - a 2 = 0

Урок был запланирован, как подведение итогов достижения ожидаемых результатов, которые предполагалось получить в процессе совместной деятельности учащихся при их обучении, воспитании и развитии. В ходе урока ставились следующие цели.

Образовательные:

• систематизация и обобщение знаний учащихся по теме;
• прививание навыков устного решения квадратных уравнений;
• расширение круга знаний образовательного уровня обучения учащихся.

Развивающая:

• развитие логического мышления, памяти, внимания, умения сравнивать и обобщать.

Воспитательные:

1. воспитание трудолюбия, взаимопомощи, математической культуры учеников;
2. повышение интереса учащихся к истории математики;
3. повышение уровня мотивации обучения и, как следствие, уровня их качества знаний;
4. становление и укрепление нравственного облика через русские народные пословицы и поговорки;
5. активизация связей родителей со школой.

Чтобы придать показательную значимость темы, на урок были приглашены учителя-математики школы, учащиеся других восьмых классов, родители.

На этом уроке ученики проверяют и показывают свои умения и навыки по этой теме, делают для себя определенные выводы. Это урок повторения, обобщения и закрепления всего материала темы через индивидуальные задания каждому ученику, который стремиться убедить окружающих, и, прежде всего себя, в том, что он может решать квадратные уравнения (КУ) быстро, правильно и красиво.

На уроке создается атмосфера комфортности, учащиеся раскрепощены. Работа проходит в группах (5-6 человек) разного уровня обучения, в духе “математического состязания”. В каждой группе есть консультант, который ведет учет активности каждого ученика, организует ребят к деятельности. Таким образом, развивается чувство взаимопомощи, сотрудничества, создается коллектив. Ученик в группе утверждается как личность.

Контроль усвоенных знаний основан на самоконтроле и осуществляется через индивидуальные оценочные листы путём разноуровневых заданий, дифференцированных в соответствии с посильностью и доступностью индивидуальных возможностей учеников. Выполняя практическую работу, ребята сами распределяют между собой задания, выбирая их “по вкусу”. Таким образом, на уроке, создаются условия для работы на различных уровнях сложности с учетом индивидуальных возможностей. Такая организация учебной деятельности на уроке – лучший способ организовать внимание школьников, у которых нет ни времени, ни желания, ни возможности отвлекаться. Каждый из них – участник учебного процесса.

На протяжении всего урока наблюдается высокая активность ребят. Учитель имеет возможность опросить всех. Плохих оценок на уроке нет. Это урок сотрудничества: ученик – учитель, ученик – ученик.

Исходя из типа урока, целей, содержания учебного материала, отобраны следующие методы обучения :

• словесный (урок проходит в свободном словесном общении);
• наглядный (используется: красочный учебно-методический и дидактический материал; презентация, выполненная в Power Point);
• практический (закрепление происходит в ходе выполнения практических заданий);
• программированный (используется учебный материал с выбором ответа);
• исследовательский и частично поисковый (организация самостоятельной работы учащихся выполняется по ходу проблемных и познавательных заданий, выдвигается коллективная гипотеза).

Считаю, что выбранные методы оптимальны для данного урока и позволяют решать задачи личностно-ориентированного подхода в обучении.

В соответствии с содержанием урока и особенностям класса выбраны следующие формы обучения :

• общеклассная (на определенных этапах урока ведется работа со всем классом, что необходимо для закрепления материала обязательного уровня всеми учениками класса);
• групповая (практические задания рассчитаны на группу ребят);
• индивидуальная (учащиеся работают по своему желанию и своим возможностям).

Для того, чтобы ребята восприняли урок как логически законченный, целостный, ограниченный по времени отрезок учебно-воспитательного процесса, он начинается с постановки обоснования задач и заканчивается подведением итогов и постановкой задач к выполнению следующей творческой домашней работы исследовательского характера.

Для успешности урока используются следующие технические средства и наглядность:

• компьютер и мультимедийный проектор;
• опорные таблицы;
• различный учебно-методический и дидактический материал;
• русские народные пословицы и поговорки, которые украшают урок, характеризуя определенную деятельность учащихся на данном этапе урока;
• листы учета индивидуальных знаний (для самоконтроля и оценки знаний ребят общим мнением группы).

Ход урока

Испокон века
Книга растит человека

I. Организационный момент

Урок – это книга, которую можно с интересом читать, перелистывая страницу за страницей, обогащаясь знаниями, “расти” умом.

Сегодня мы с вами ещё раз повторим и перескажем прочитанную и изученную нами главу “Квадратные уравнения” – очень важную для изучения курса математики средней школы. Покажем не только знания, но и свои умения, навыки по этой теме.

Предлагаю, по ходу урока, собрать всю приобретённую по этой теме информацию в наш “”.

II. Актуализация опорных знаний

§ 1. “Не тот хорош, кто лицом пригож, тот хорош, кто для дела гож ”.

Кто из ребят для дела гож, подтвердит опрос учащихся по теме “Квадратные уравнения” (Приложение 1) . Здесь проверяется обязательный уровень обученности учащихся. Открывается опорный конспект (Приложение 2) и общие формулы корней квадратных уравнений (Приложение 3 , Слайд 1).

III. Способы решения квадратных уравнений

§ 2. “Не работа дорога – а умение” . Здесь ребята показывают знания умелого нахождения корней квадратного уравнения.

Мы с вами выяснили, как решаются неполные квадратные уравнения и определили общую формулу корней квадратных уравнений. Эти способы можно назвать традиционными. Существуют ли другие методы решения квадратных уравнений? Чем хороши знания и умения этих способов решения? Они позволяют быстро, рационально и правильно решать квадратные уравнения, облегчают прохождения многих тем курса математики. Назовите эти способы.

По формуле корней квадратного уравнения, в котором b – четное число (через D 1 ) (Приложение 3 , Слайд 2).

Выделением квадрата двучлена.

Способ подбора корней (по обратной теореме Виета) (Приложение 3 , Слайд 4).

По теореме о сумме коэффициентов (Приложение 3 , Слайд 5).

• Определить удобный способ решения квадратных уравнений:

1). 5x 2 - 11x + 2 = 0;	6). 4 - x 2 = 0;
2). 35x 2 + 2x - 1 = 0;	7). x 2 - 9x + 14 = 0;
3). 9y 2 + 30y + 25 = 0;	8). 2x 2 - 11x + 9 = 0;
4). 3x 2 - 15 = 0;	9). -3x 2 + 7x + 10 = 0.
5). 0,5x 2 - 3,5x = 0;

• Предлагается в группах составить проект (программу, алгоритм) решения квадратных уравнений. Зачитываются проекты каждой группы, и утверждается единый проект решения квадратных уравнений умелым способом:

1. Упростить уравнение;
2. Проанализировать и определить его вид;
3. Выбрать удобный способ его решения;
4. Найти корни;
5. Выполнить проверку (как можно это сделать?) – необязательный пункт, так как ОДЗ квадратных уравнений – любые числа.

IV. Решение квадратных уравнений

§ 3. “В одиночку не обойдёшь и кочку” – а вместе всё у нас получится.

Ученики в группах совместно распределяют между собой уравнения.

1). 35x 2 + 2x - 1 = 0;	5). 4 - x 2 = 0;
2). 9y 2 + 30y + 25 = 0;	6). x 2 - 9x + 14 = 0;
3). 3x 2 - 15 = 0;	7). 2x 2 - 11x + 9 = 0;
4). 0,5x 2 - 3,5x = 0;	8). -3x 2 + 7x + 10 = 0.

Они самостоятельно организуют свой труд дифференцировано. Оценивая собственные силы, выбирают для себя тот уровень задания, который соответствует их потребностям и возможностям в данный момент. Решают их. Выбирают правильный ответ, т.е. нужную букву, заполняют таблицу и объявляют найденное слово.

Ответ: БХАСКАРЫ .

V. Применение квадратных уравнений при решении задач

Мы научились решать квадратные уравнения. А зачем это нужно? С помощью квадратных уравнений решаются задачи из различных сфер деятельности: в геометрии, в физике, на шахматных турнирах, на полях и даже в кинотеатрах. Задачи на квадратные уравнения впервые встречается в работах индийских учёных в 499 году. В Древней Индии были распространены публичные соревнования в решении трудных задач. Задачи часто облекались в стихотворную форму. Например:

§ 4. Задача Бхаскары (знаменитый индийский математик XII века):

Обезьянок резвых стая,
Всласть поевши, развлекалась.
Их в квадрате часть восьмая
На полянке забавлялась.
А двенадцать по лианам
Стали прыгать, повисая.
Сколько ж было обезьянок,
Ты скажи мне, в этой стае?

Решение . x – число обезьян, тогда

(х/8) 2 + 12 = х, х 2 /64 - х + 12 = 0, х 2 - 64х + 768 = 0.

D 1 = 1024 - 768 = 256, х 1 = 16, х 2 = 48.

Ответ : 16 или 48.

VI. Знаки корней

Если уравнение имеет корни, как можно, не решая его, определить их знаки?

Ответ: по состоянию коэффициентов, при условии а > 0 (Приложение 3, Слайд 6).

Ученикам предлагается проанализировать уравнения

1) 5x 2 - 11x + 2 = 0;	3) 9y 2 + 30y + 25 = 0;
2) 35x 2 + 2x - 1 = 0;	4) -3x 2 + 7x + 10 = 0.

и определить знаки корней (представитель от каждой группы защищает коллективный анализ своего решения у доски).

Ответы :

1. а > 0, с > 0, следовательно, (х 1 и х 2) – одинаковых знаков и оба положительны (b < 0);
2. а > 0, с < 0, следовательно, (х 1 и х 2) – разных знаков, больший по модулю – отрицательный (b > 0);
3. а > 0, с > 0, следовательно, (х 1 и х 2) – одинаковых знаков и оба отрицательны (b > 0);
4. а > 0 , с < 0, следовательно, (х 1 и х 2) – разных знаков, больший по модулю – положительны (b < 0);

VII. Открытия продолжаются

§ 6. “Век живи – век учись”

Практически все страницы главы “Квадратные уравнения” нашей книги перелистаны. Но процесс познаний бесконечен, как бесконечны открытия, совершаемые человечеством. Итак, открытия продолжаются.

Решите уравнения (Приложение 3 , Слайд 7):

1. х 2 - 5х + 6 = 0 (Ответ : 2; 3)
2. 6у 2 - 5у + 1 = 0 (Ответ : 1/3; 1/2)

Сравните в этих уравнениях коэффициенты, свободные члены и корни между собой. Какая наблюдается закономерность между ними? Какую гипотезу можно выдвинуть для таких уравнений? (Приложение 3 , Слайд 8).

Ученикам предлагается, в качестве творческой домашней работы, составить несколько пар уравнений такого вида, исследовать их и доказать выдвинутое предположение в общем виде. (Необходимо напомнить свойство произведения взаимно обратных чисел? произведение взаимно обратных чисел равно 1 и использовать его при доказательстве.)

Эпилог: “Добрый конец всему делу венец”.

Учащиеся в группах совместно оценивают работу каждого ученика и выставляют ему предварительную оценку. Листы учёта знаний и рабочие тетради, в которых выполнялась индивидуальная работа, сдаются учителю на проверку. На основании этого, учитель выставляет итоговую оценку каждому ученику.

Лист учёта знаний учащихся

Подведя итоги урока, ученики приходят к выводу: “Чем больше познаём, тем больше понимаем, что знаем мало” (Приложение 3 , Слайд 9).

IХ. Домашнее задание

Индивидуальная творческая работа исследовательского характера по доказательству выдвинутой гипотезы на уроке (№ 647 ).

Групповая работа по составлению проекта “Энциклопедический словарь юного математика ” по теме “Квадратные уравнения и способы их решения”.

Список используемой литературы к уроку

1. Глейзер Г.И. История математики в школе 7-8 классы. Пособие для учителей.- М.: Просвещение, 1982.
2. Киселёв А.П. Алгебра. Теория квадратных уравнений. Учебно-методическая газета, № 42, 2001.
3. Круглов Ю.Г. Русские народные пословицы и поговорки. - М.: Просвещение, 1990.
4. Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г. Алгебра 8 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений. - М.: Просвещение, 2000.
5. Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г. Алгебра в 6-8 классах. Пособие для учителя. - М.: Просвещение, 1984.