Уравнение полуокружности формула.

Общее уравнение окружности имеет следующий вид:

Ах 2 +Ay 2 +2Dx+2Еу+F= 0. (7.4)

Окружностью называется множество точек плоскости, находящихся на одинаковом расстоянии от одной, называемой центром.

Обычно общее уравнение (7.4) приводят к виду нормальных уравнений окружности:

х 2 +у 2 =R 2 - уравнение окружности с центром в начале координат и радиусом R.

(х–а) 2 +(у–b) 2 =R 2 - уравнение окружности с центром (a; b).

Задача построения окружности по сравнению с параболой и гиперболой имеет небольшие отличия, связанные с приведением уравнений к виду у=f(x).

Пример 7.4. В качестве примера рассмотрим построение верхней полуокружности х 2 +у 2 =4 в диапазоне х Î[–2; 2] с шагом D=0,25.

Решение. Вставка Лист ).

Этап 1. Ввод данных. Составляем таблицу данных (х и у). х, у. Для этого в ячейку А1 вводим слово Аргумент, а в ячейку В1 - слово Окружность. В ячейку А2 вводится первое значение аргумента - левая граница диапазона (–2 ). В ячейку A3 вводится второе значение аргумента - левая граница диапазона плюс шаг построения (–1,75 ). Затем, выделив блок ячеек А2:АЗ А18 ).

Далее вводим значения верхней полуокружности. В ячейку В2 необходимо ввести ее уравнение, разрешенное относительно у=Ö(4–х 2). В2 и на панели инструментов Стандартная нажать кнопку Вставка Функция …(f x) Мастер функций - шаг 1 из 2 слева в поле Категория указаны виды функций. Выбираем вид Математические . Справа в поле Функция выбираем функцию Корень . Нажимаем кнопку ОК . Появляется диалоговое окно Корень . В рабочее поле вводим подкоренное выражение: =4–А2*А2. Нажимаем кнопку ОК . В ячейке В2 появляется 0. Теперь необходимо скопировать функцию из ячейки В2 В2:В18.

В результате должна быть получена таблица данных для построения верхней полуокружности.

На панели инструментов Стандартная необходимо нажать кнопку Мастер диаграмм . выберем тип - График , вид - График с маркерами Далее в диалоговом окне.

Этап 3. Указание диапазона. В появившемся диалоговом окне необходимо выбрать вкладку Диапазон данных и в поле Диапазон указать интервал данных.

Для этого с помощью клавиши Delete Диапазон и, убедившись, что в нем остался только мигающий курсор, навести указатель мыши на левую верхнюю ячейку данных (В1) , нажать левую кнопку мыши и, не отпуская ее, протянуть указатель мыши к правой нижней ячейке, содержащей выносимые надиаграмму данные (В18)

Далее необходимо указать в строках или столбцах расположены ряды данных. Переключатель Ряды в с помощью указателя мыши следует установить в положение столбцах (черная точка должна стоять около слова столбцах).

Мастер диаграмм (шаг 2 из 4): источник данных диаграммы необходимо выбрать вкладку Ряд (щелкнув на ней указателем мыши) ив поле Подписи оси X Аргумент). Подписи оси X (А2) , нажать левую кнопку мыши и, не отпуская ее, протянуть указатель мыши к правой нижней ячейке, содержащей выносимые на ось X подписи (А18) , затем отпустить левую кнопку мыши.

Далее .

Этап 5. Введение заголовков. Заголовки , щелкнув на ней указателем мыши. Щелкнув в рабочем поле Название диаграммы указателем мыши, ввести с клавиатуры в поле название: График полуокружности. Ось X (категорий) и Ось Y (значений) соответствующие названия: Аргумент и Значения.

Этап 6. Завершение. Необходимо нажать кнопку Готово .

На текущем листе должна появиться следующая диаграмма полуокружности .

Эллипс

Кривая второго порядка (1.1) называется эллипсом, если коэффициенты А и С имеют одинаковые знаки, то есть АС> 0. Если коэффициент В также равен нулю, то это эллипс с осями, параллельными координатным осям. Если, кроме того, коэффициенты D =Е =0, то центр эллипса находится в начале координат.

Обычно в качестве определения эллипса используют его характеристическое свойство: эллипсом называется множество точек плоскости, сумма расстояний от которых до двух данных, называемых фокусами, есть величина постоянная, большая расстояния между фокусами.

Каноническое уравнение эллипса может быть получено из его определения.

Обозначим постоянную сумму расстояний от фокусов до точек эллипса 2а, а расстояние между фокусами - 2с.

Систему координат введем следующим образом: ось х проходит через фокусы, ось у - через середину отрезка F 1 ,F 2 .

Как видно из рисунка - 2а > 2с и а > с.

1. По определению: F 1 M+F 2 M=2a

2. Запишем это равенство в координатной форме:

3. Преобразуем уравнение (7.5):

4. Возведем обе части в квадрат:

5. Возведя обе части в квадрат, получим:

х 2 с 2 –2а 2 хс+а 4 =а 2 х 2 –2а 2 хс+а 2 с 2 +а 2 у 2 ;

х 2 с 2 –х 2 а 2 +а 2 У 2 =а 2 с 2 –а 4 .

6. Группируя, получим:

x 2 (c 2 –a 2)+a 2 y 2 +a 2 (c 2 –a 2).

Пусть с 2 –а 2 =b 2 , тогда

7. Получаем

- каноническое уравнение эллипса.

Эксцентриситетом эллипса называется величина

e =c/a .

Так как а>с , то c/a <1, то есть для эллипса, если коэффициент B =0, эксцентриситет e<1. Схематичное изображение эллипса имеет вид.

Построение эллипса в MS Excel аналогично построению окружности.

Пример 7.5. В качестве примера рассмотрим построение верхней половины эллипса

в диапазоне x Î[–3,5; 3,5] с шагом D=0,5.

Решение. Открываем чистый рабочий лист (команда Вставка Лист ).

Этап 1. Ввод данных . Составляем таблицу данных (х и у). Пусть первый столбец будет значениями х, а второй соответствующими показателями у. Для этого в ячейку А1 вводим слово Аргумент, а в ячейку В1 - слово Эллипс. В ячейку А2 вводится первое значение аргумента - левая граница диапазона (–3,5). В ячейку A3 вводится второе значение аргумента - левая граница диапазона плюс шаг построения (–3). Затем, выделив блок ячеек А2:АЗ , автозаполнением получаем все значения аргумента (за правый нижний угол блока протягиваем до ячейки А16 ).

Для этого табличный курсор необходимо поставить в ячейку В2 и на панели инструментов Стандартная нажать кнопку Вставка Функции … (f x) . В появившемся диалоговом окне Мастер функций - шаг 1 из 2 слева в поле Категория выбираем Математические . Справа в поле Функция выбираем Корень . Нажимаем кнопку ОК . Появляется диалоговое окно Корень. В рабочее поле вводим подкоренное выражение: 4*(1 - А2*А2/9). Нажимаем кнопку ОК . В ячейке В2 появляется #ЧИСЛО! (при х< –3 у не существует). Теперь необходимо скопировать функцию из ячейкиВ2 . Автозаполнением копируем эту формулу в диапазон В2:В16 .

В результате должна быть получена таблица данных для построения верхней полуокружности эллипса.

Этап 2. Выбор типа диаграммы. На панели инструментов Стандартная необходимо нажать кнопку Мастер диаграмм . В появившемся диалоговом окне Мастер диаграмм (шаг 1 из 4): тип диаграммы выберем тип - График , вид - График с маркерами (левую среднюю диаграмму в правом окне). После чего нажимаем кнопку Далее в диалоговом окне.

Этап 3. Указание диапазона. В появившемся диалоговом окне Мастер диаграмм (шаг 2 из 4): источник данных диаграммы необходимо выбрать вкладку Диапазон данных и в поле Диапазон указать интервал данных.

Для этого с помощью клавиши Delete необходимо очистить рабочее поле Диапазон и, убедившись, что в нем остался только мигающийкурсор, следует навести указатель мыши на левую верхнюю ячейку данных (В1) , нажать левую кнопку мыши и, не отпуская ее, протянуть указатель мыши к правой нижней ячейке, содержащей выносимые на диаграмму данные (В16) , затем отпустить левую кнопку мыши.

Этап 4. Ввод подписей по оси X (горизонтальной). В диалоговом окне Мастер диаграмм (шаг 2 из 4): источник данных диаграммы необходимо выбрать вкладку Ряд (щелкнув на ней указателем мыши) и в поле Подписи оси X указать диапазон подписей (в примере - Аргумент). Для этого следует активизировать поле Подписи оси X , щелкнув в нем указателем мыши, и, наведя указатель мыши на левую верхнюю ячейку подписей (А2 ), нажать левую кнопку мыши и, не отпуская ее, протянуть указатель мыши к правой нижней ячейке, содержащей выносимые на ось X подписи (А16) , затем отпустить левую кнопку мыши.

После появления требуемой записи диапазона необходимо нажать кнопку Далее .

Этап 5. Введение заголовков. В третьем окне требуется ввести заголовок диаграммы и названия осей. Для этого необходимо выбрать вкладку Заголовки , щелкнув на ней указателем мыши. Щелкнув в рабочем поле Название диаграммы указателем мыши, ввести с клавиатуры в поле название: График эллипса. Затем аналогичным образом ввести в рабочие поля Ось X (категорий) и Ось Y (значений) соответствующие названия: Аргумент и Значения.

Этап 6. Завершение. Необходимо нажать кнопку Готово .

На текущем листе должна появиться следующая диаграмма верхнего полуэллипса:

Инструкция

Расстояние от точки (x, y) до центра координат равно длине отрезка, соединяющего ее с точкой (0, 0). Этот отрезок вместе с его проекциями на координатные оси составляют прямоугольный треугольник, катеты которого равны x0 и y0, а гипотенуза, по теореме Пифагора, равна √(x^2 + y^2).

Чтобы получить окружность, вам уравнение, определяющее все точки, для которых это расстояние будет равно R. Таким образом:√(x^2 + y^2) = R, а следовательно,
x^2 + y^2 = R^2.

Аналогичным способом составляется уравнение окружности радиусом R, центр которой находится в точке (x0, y0). Расстояние от произвольной точки (x, y) до заданной точки (x0, y0) равно √((x - x0)^2 + (y - y0)^2). Следовательно, уравнение нужной вам окружности будет выглядеть так:(x - x0)^2 + (y - y0)^2 = R^2.

Вам может понадобиться также составить уравнение окружности с центром в точке координат, проходящей через заданную точку (x0, y0). В этом случае радиус искомой окружности не задан в явном виде, и его придется вычислять. Очевидно, он будет равен расстоянию от точки (x0, y0) до начала координат, то есть √(x0^2 + y0^2). Подставляя это значение в уже выведенное уравнение окружности , вы получите:x^2 + y^2 = x0^2 + y0^2.

Если вам предстоит построить окружность по выведенным формулам, то их придется разрешать относительно y. Даже самое простое из этих уравнений при этом превращается в:y = ±√(R^2 - x^2).Знак ± необходим здесь , что квадратный числа всегда неотрицателен, а , что без знака ± уравнение описывает только верхнюю полуокружность.Чтобы построить окружность, удобнее составить ее параметрическое уравнение, в котором обе координаты x и y зависят от параметра t.

Согласно определению тригонометрических функций, если гипотенуза равна 1, а один из углов при гипотенузе равен φ, то прилежащий к нему катет равен cos(φ), а противолежащий - sin(φ). Таким образом, sin(φ)^2 + cos(φ)^2 = 1 для любого φ.

Предположим, вам дана окружность единичного радиуса с центром в начале координат. Возьмем любую точку (x, y) на этой окружности и проведем от нее отрезок к центру. Этот отрезок образует угол с положительной полуосью x, который может быть равен от 0 до 360° или от 0 до 2π . Обозначая этот угол t, вы получите зависимость:x = cos(t),
y = sin(t).

Эту формулу можно обобщить на случай окружности радиуса R с центром в произвольной точке (x0, y0):x = R*cos(t) + x0,
y = R*sin(t) + y0.

Источники:

уравнение окружности с заданным центром и радиусом

Стандартное уравнение окружности позволяет узнать несколько важных сведений об этой фигуре, например, координаты ее центра, длину радиуса. В некоторых задачах, наоборот, по заданным параметрам требуется составить уравнение.

Инструкция

Определите, сведениями об окружности вы располагаете, исходя из данной вам задачи. Запомните, что конечной целью является необходимость определить координаты центра, а также диаметр. Все ваши действия должны быть направлены на достижение именно этого результата.

Используйте данные о наличии точек пересечения с координатными прямыми или другими прямыми. Обратите внимание, что, если окружность проходит через ось абсцисс, вторая будет иметь координату 0, а если через ось ординат – то первая. Эти координаты позволят вам найти координаты центра окружности, а также вычислить радиус.

Не забывайте об основных свойствах секущих и касательных. В частности, наиболее полезной оказывается теорема о том, что в точке касания радиус и касательная образуют прямой угол. Но обратите внимание на то, что вас могут попросить доказать все использованные в ходе теоремы.

Прорешайте наиболее стандартные типы , чтобы научиться сразу видеть, как использовать те или иные данные для уравнения окружности. Так, помимо уже указанных задач с прямо заданными координатами и теми, в условиях которых даны сведения о наличии точек пересечения, для составления уравнения окружности можно воспользоваться знаниями о центре окружности, длине хорды и , на которой эта хорда лежит.

Для решения постройте равнобедренный треугольник, основанием которого будет данная хорда, а равные стороны – радиусами. Составьте , из которой вы легко найдете необходимые данные. Для этого достаточно воспользоваться формулой для нахождения длины отрезка в плоскости.

Видео по теме

В зависимости от условий задачи и требований, предъявленных в ней, может потребоваться обратиться к каноническому или параметрическому способу задания прямой. Решая геометрические задачи, пробуйте заранее выписать все возможные варианты уравнений.

Инструкция

Проверьте наличие всех необходимых параметров для составления параметрического уравнения. Соответственно, вам потребуются координаты точки, принадлежащей этой прямой, а также направляющего вектора. Таковым будет любой , проходящий параллельно этой прямой. Параметричское задание прямой представляет собой систему из двух уравнений х = х0+txt, y = y0+tyt, где (х0, у0) - координаты точки, лежащей на данной прямой, а (tx, ty) - координаты направляющего вектора по осям абсцисс и ординат, соответственно.

Запишите каноническое уравнение прямой, исходя из имеющихся у вас данных: координаты направляющего вектора на соответствующих осях являются множителями параметрической переменной, а координаты принадлежащей прямой точки – свободными членами параметрического уравнения.

Обратите внимание на все условия, прописанные в задаче, если вам кажется, что не хватает данных. Так, подсказкой для составления параметрического уравнения прямой может стать указание , перпендикулярных направляющему или расположенных к ней под определенным углом. Используйте условия перпендикулярности векторов: это возможно только в случае, если их равно нулю.

Составьте параметрическое уравнение прямой, проходящей через две точки: дают вам необходимые данные для определения направляющего вектора. Запишите две : в числителе должна стоять разность х и координаты по оси абсцисс одной из точек, принадлежащих прямой, в знаменателе – разность между координатами по оси абсцисс обеих данных точек. Запишите таким же образом для значений по оси ординат. Полученные дроби приравняйте к параметру (его принято обозначать буквой t) и выразите через него сперва х, затем у. Система уравнений, ставшая итогом этих преобразований, и будет параметрическим уравнением прямой.

Видео по теме

Совет 4: Как составить уравнение плоскости через точку и прямую

Любая плоскость может быть задана линейным уравнением Ax+By+Cz+D=0. Обратно, каждое такое уравнение определяет плоскость. Чтобы составить уравнение плоскости , проходящей через точку и прямую, надо знать координаты точки и уравнение прямой.

Вам понадобится

- координаты точки;
- уравнение прямой.

Инструкция

Из трех точек можно составить , однозначно задающее плоскость. Пусть имеются три точки с координатами (x1,y1,z1), (x2,y2,z2), (x3,y3,z3). Запишите детерминант:(x-x1) (y-y1) (z-z1)(x2-x1) (y2-y1) (z2-z1)(x3-x1) (y3-y1) (z3-z1)Приравняйте определитель нулю. Это и будет . Его можно оставить и в таком виде, а можно , раскрыв детерминант:(x-x1)(y2-y1)(z3-z1)+(x3-x1)(y-y1)(z2-z1)+(z-z1)(x2-x1)(y3-y1)-(z-z1)(y2-y1)(x3-x1)-(z3-z1)(y-y1)(x2-x1)-(x-x1)(z2-z1)(y3-y1). Работа кропотливая и, как правило, излишняя, ведь проще вспомнить о свойствах определителя, равного нулю.

Пример. Составьте уравнение плоскости, если известно, что она проходит через точку M(2,3,4) и прямую (x-1)/3=y/5=(z-2)/4.Решение. Вначале надо преобразовать уравнение прямой.(x-1)/(4-1)=(y-0)/(5-0)=(z-2)/(6-2). Отсюда легко выделить две точки, явно принадлежащие данной прямой. Это (1,0,2) и (4,5,6). Всё, три точки есть, можно составлять уравнение плоскости.(x-1) (y-0) (z-2)(4-1) (5-0) (6-2)(2-1) (3-0) (4-2)Детерминант приравнять нулю и упростить.

Итого: (x-1) y (z-2)3 5 41 3 2 =(x-1)·5·2+1·y·4+(z-2)·3·3-(z-2)·5·1-(x-1)·4·3-2·y·3=10x-10+4y+9z-18-5z+10-12x+12-6y=-2x-2y+4z-6=0.Ответ. Искомое уравнение плоскости -2x-2y+4z-6=0.

Полезный совет

Плоскость и прямую можно задать также каноническим, параметрическим, векторно-параметрическим и нормальным уравнением. Прямая может быть задана также в отрезках и через угловой коэффициент. Все способы задания могут быть переведены из одного в другой.

Характеристические уравнения, на основе которых вычисляются, прежде всего, собственные числа (значения), нашли большое применение в математике, физике и технике. Их можно встретить в решениях задач автоматического регулирования, решениях систем дифференциальных уравнений и т. п.

Инструкция

К ответу на вопрос следует подходить на основе рассмотрения простейших задач, для решения которых могут потребоваться характеристические уравнения. Прежде всего – это решение нормальной однородной системы однородных дифференциальных уравнений (ЛОДУ). Ее вид приведен на рисунке 1.Учитывая обозначения, приведенные на рис. 1. Перепишите систему в матричном виде.Получите Y’=AY.

Известно, что система решений (ФСР), рассматриваемой задачи, находится в виде Y=expB, где В - столбец постоянных. Тогда Y’=kY. Возникает система АY-kEY=0 (E – единичная матрица). Или (А-kE)Y=0. Требуются найти ненулевые решения, поэтому эта система имеет вырожденную матрицу и, соответственно, определитель такой равен нулю. В развернутом виде данный определитель (см. рис. 2).На рис. 2 в виде определителя записано алгебраическое уравнение n-го порядка и его решения позволяют составить ФСР исходной системы. Это уравнение характеристическим.

Теперь рассмотрите ЛОДУ n-го порядка (cм. рис. 3).Если левую его часть обозначить как линейный дифференциальный оператор L[y], то ЛОДУ перепишется в виде L[y]=0. Если искать решения ЛОДУ в виде y=exp(kx), то y’=kexp(kx), y’’=(k^2)exp(kx), …, y^(n-1)=(k^(n-1))exp(kx), y^n=(k^n)exp(kx) и, после сокращения на y=exp(kx), получится уравнение: k^n+(a1)k^(n-1)+…+a(n-1)k+an=0, которое также характеристическим.

Для того чтобы убедиться, что суть последнего характеристического уравнения осталась прежней (то есть что это не -то иной объект), перейдите от ЛОДУ n-го порядка к нормальной системе ЛОДУ путем последовательных подстановок. Первая из них y1=y, а далееy1’=y2, y2’1=y3, …, y(n-1)’ = yn, yn’=-an*y1-a(n-2)*yn-…-a1*y(n-1).

Запишите возникшую систему, составьте ее характеристическое уравнение в виде определителя, раскройте его и убедитесь в том, что получилось характеристическое уравнений для ЛОДУ n-го порядка. Заодно возникает и утверждение о фундаментальном смысле характеристического уравнения.

Перейдите к общей задаче поиска собственных чисел линейных преобразований (они могут быть и дифференциальными), что включает в себя составления характеристического уравнения. Число k называют собственным значением (числом) линейного преобразования А, если существует вектор х такой, что Ax=kx.Поскольку каждому линейному преобразованию однозначно может быть поставлена его матрица, то задача сводится к составлению характеристического уравнения для некоторой квадратной матрицы. Делается это в точности так как и в начальном примере для нормальных систем ЛОДУ. Просто замените y на х, если после записи характеристического уравнения последуют еще -то действия. Если же нет, то этого делать не стоит. Просто берите матрицу А (см. рис. 1) и записывайте в виде определителя (см. рис.2). После раскрытия определителя работа завершена.

Химическое – это реакция, выраженная с помощью формул. Химическое уравнение показывает, какие вещества вступают в реакцию и какие в итоге этой реакции получатся вещества. В основе составления химических уравнений лежит закон сохранения массы. Так же оно показывает количественное соотношение веществ, которые участвуют в химической реакции. Чтобы решить химическое уравнение, необходимо знать определенные способы, методы, подходы к этому процессу. Можно следовать такому алгоритму для решения химических уравнений.

Найти все значения `a`, при каждом из которых уравнение

`ax+\sqrt{-7-8x-x^2}=2a+3`

имеет единственный корень.

Эта задача интересна тем, что если решать ее аналитически (возводить в квадрат, анализировать ОДЗ и проч.) то докопаться до истины крайне тяжело.

Если же решать ее графическим способом, то правильный ответ получается через за несколько минут.

Итак, приступим к решению. Как обычно при решении графически,
нужно выделить функции, графики которых мы будем строить. Для этого корень оставим в левой части уравнения, а все остальное в правой. Тогда получится:

`\sqrt{-7-8x-x^2}=2a+3-ax`.

Чтобы получить удобную функцию в правой части, вынесем `-a` за скобки:

`\sqrt{-7-8x-x^2}=-a(x-2)+3`.

Введем функции `y=\sqrt{-7-8x-x^2}` и `y=-a(x-2)+3` и построим их графики. График `y=-a(x-2)+3`, очевидно, прямая с коэффициентом наклона `-a`, проходящая через точку `(2,3)`. А как будет выглядеть график первой функции?

Графиком первой функции будет полуокружность. Для того, чтобы лучше это понять, давайте возведем `y` и правую часть в квадрат (при этом запомним, что нам еще надо будет подумать про ОДЗ). Получим:

`y^2=-7-8x-x^2`.

Все перенесем в левую часть и выделим полный квадрат относительно `x`:

`y^2+x^2+8x+7=0`,
`y^2+(x^2+8x+16) - 9 = 0`,
`y^2+(x+4)^2 = 9`.

Известно, что график для полученного уравнения - это окружность с центром в точке `(-4,0)` и радиусом `3`.

Теперь вспомним, что изначально функцией нас был корень, а значит, это накладывает ОДЗ на `x` и `y`. В частности, `y` может быть только положительным (т. к. он равен корню). Подкоренное выражение будет неотрицательно при `x \in [-7,-1]`. Значит, с учетом ОДЗ получится полуокружность - верхняя часть уже нарисованной нами окружности.

Осталось совместить графики обеих функций.

Параметр `a= `
(кнопки меняют значение парамета)

Из рисунка видно, что есть несколько вариантов взаимного расположения графиков: они пересекаются в одной или двух точках, касаются, или не имеют общих точек.

Так как прямая всегда проходит через точку `(2,3)` с абсциссой `3`, и верхняя точка окружности имеет абсциссу `3`, то условие касания графиков легко видно из рисунка - прямая должна быть параллельна `Ox`, значит, коэффициент `a=0`. Строго доказать, что данная прямая будет касательной можно геометрически, показав, что она перпендикулярна радиусу проведенному в точку `(-4,3)`.

Разберем варианты пересечения графиков. При `a=-1` прямая касается графика полуокружности в точке `(-1,0)`. При увеличении `a` (нажимаем на кнопку +) угол наклона прямой будет уменьшаться (т. к. перед `a` стоит минус и коэффициент наклона будет, соответственно, увеличиваться). До тех пор пока прямая и полуокружность имеют одну точку пересечения, нас все устраивает. Вторая общая точка появится, когда прямая пересечет полуокружность в точке `(-7,0)`. Подставив эту точку в уравнение получим, что это произойдет при `a =- 1/3`. Значит, при `a\in (-\frac13,-1]` прямая и полуокружность имеют одну общую точку.

Ответ: `a\in (-\frac13,-1] \cup \{0\}`.