Площадь в правильной треугольной пирамиде sabc. Правильная четырехугольная пирамида
В правильной треугольной пирамиде SABC — N середина ребра BC, S — вершина. Известно, что SN=6, а площадь боковой поверхности равна 72. Найдите длину отрезка AB.
Решение задачи
В данном уроке демонстрируется геометрическая задача, решение которой основывается на определении и свойствах правильной треугольной пирамиды. Утверждается, что все боковые грани правильной пирамиды являются равнобедренными треугольниками. Значит, площадь боковой поверхности данной пирамиды можно определить как бок. пов. =. Далее в ходе решения рассматривается треугольник , площадь которого равна половине произведения длины стороны на длину проведенной к этой стороне высоты. По свойству равнобедренного треугольника отрезок — это одновременно медиана и высота, следовательно, верно следующее равенство: . Выполнив соответствующую замену в формуле площади боковой поверхности пирамиды, подставляются известные по условию значения. Так как по определению правильной треугольной пирамиды в ее основании находится правильный треугольник, то найденное значение равно искомой длине отрезка .
Данная задача аналогична задачам вида В13, поэтому ее с успехом можно использовать в качестве подготовки к ЕГЭ по математике.
Задание.
В правильной треугольной пирамиде SABC с основанием АВС все ребра равны 6.
а) Постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через вершину S и перпендикулярной отрезку, соединяющему середины ребер АВ и ВС.
б) Найдите расстояние от плоскости этого сечения до центра грани SAB.
Решение:
а) Постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через вершину S и перпендикулярной отрезку, соединяющему середины ребер АВ и ВС.
Пусть точка M – середина ребра ВС, а точка N – середина ребра АВ, тогда MN – средняя линия треугольника ∆АВС. Значит, MN параллельна АС. Так как пирамида SABC правильная, то в основании лежит правильный треугольник ∆АВС, следовательно, BD – медиана и высота треугольника ∆АВС, т. е. BD перпендикулярна АС и BD перпендикулярна MN. Соединим последовательно точки B, D и S. Получим искомое сечение SBD, проходящее через вершину S и перпендикулярное отрезку, соединяющему середины ребер АВ и ВС.
б) Найдите расстояние от плоскости этого сечения до центра грани SAB .
Расстоянием от точки до плоскости называется перпендикуляр, проведенный из данной точки к плоскости. Построим центр грани SAB, для этого найдем точку пересечения медиан треугольника ∆SAB. Так как треугольник ∆SAB правильный, то точка пересечения медиан F есть центр грани SAB.
Проведем FE параллельно MN. Так как MN перпендикулярна плоскости сечения SBD, то FE перпендикулярна плоскости сечения SBD. Следовательно, FE – расстояние от плоскости сечения SBD до центра грани SAB.
Так как точки M и N – середины ребер АВ и ВС, то MN – средняя линия треугольника ∆АВС.
Так как BD – медиана и высота треугольника ∆АВС, то BP – медиана и высота треугольника ∆BMN. Следовательно, NP = MP = 1,5.
В правильной пирамиде апофемы SN и SM равны, значит, треугольник ∆SMN – равнобедренный, SP – высота треугольника ∆SMN.
Продолжаем рассматривать задачи входящие в ЕГЭ по математике. Мы уже исследовали задачи, где в условии дан и требуется найти расстояние между двумя данными точками либо угол.
Пирамида - это многогранник, основание которого является многоугольником, остальные грани - треугольники, при чём они имеют общую вершину.
Правильная пирамида — это пирамида в основании которой лежит правильный многоугольник, а его вершина проецируется в центр основания.
Правильная четырехугольная пирамида — снованием является квадрат.Вершина пирамиды проектируется в точку пересечения диагоналей основания (квадрата).
ML - апофема
∠MLO - двугранный угол при основании пирамиды
∠MCO - угол между боковым ребром и плоскостью основания пирамиды
В этой статье мы с вами рассмотрим задачи на решение правильной пирамиды. Требуется найти какой-либо элемент, площадь боковой поверхности, объём, высоту. Разумеется, необходимо знать теорему Пифагора, формулу площади боковой поверхности пирамиды, формулу для нахождения объёма пирамиды.
В статье « » представлены формулы, которые необходимы для решения задач по стереометрии. Итак, задачи:
SABCD точка O - центр основания, S вершина, SO = 51, AC = 136. Найдите боковое ребро SC .
В данном случае в основании лежит квадрат. Это означает, что диагонали AC и BD равны, они пересекаются и точкой пересечения делятся пополам. Отметим, что в правильной пирамиде высота опущенная из её вершины проходит через центр основания пирамиды. Таким образом, SO является высотой, а треугольник SOC прямоугольный. Тогда по теореме Пифагора:
Как извлекать корень из большого числа .
Ответ: 85
Решите самостоятельно:
В правильной четырехугольной пирамиде SABCD точка O - центр основания, S вершина, SO = 4, AC = 6. Найдите боковое ребро SC .
В правильной четырехугольной пирамиде SABCD точка O - центр основания, S вершина, SC = 5, AC = 6. Найдите длину отрезка SO .
В правильной четырехугольной пирамиде SABCD точка O - центр основания, S вершина, SO = 4, SC = 5. Найдите длину отрезка AC .
SABC R - середина ребра BC , S - вершина. Известно, что AB = 7, а SR = 16. Найдите площадь боковой поверхности.
Площадь боковой поверхности правильной треугольной пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему (апофема это высота боковой грани правильной пирамиды, проведённая из её вершины):
Или можно сказать так: площадь боковой поверхности пирамиды равна сумме площадей трёх боковых граней. Боковыми гранями в правильной треугольной пирамиде являются равные по площади треугольники. В данном случае:
Ответ: 168
Решите самостоятельно:
В правильной треугольной пирамиде SABC R - середина ребра BC , S - вершина. Известно, что AB = 1, а SR = 2. Найдите площадь боковой поверхности.
В правильной треугольной пирамиде SABC R - середина ребра BC , S - вершина. Известно, что AB = 1, а площадь боковой поверхности равна 3. Найдите длину отрезка SR .
В правильной треугольной пирамиде SABC L - середина ребра BC , S - вершина. Известно, что SL = 2, а площадь боковой поверхности равна 3. Найдите длину отрезка AB .
В правильной треугольной пирамиде SABC M . Площадь треугольника ABC равна 25, объем пирамиды равен 100. Найдите длину отрезка MS .
Основание пирамиды - равносторонний треугольник . Поэтому M является центром основания, а MS - высотой правильной пирамиды SABC . Объем пирамиды SABC равен: осмотреть решение
В правильной треугольной пирамиде SABC медианы основания пересекаются в точке M . Площадь треугольника ABC равна 3, MS = 1. Найдите объем пирамиды.
В правильной треугольной пирамиде SABC медианы основания пересекаются в точке M . Объем пирамиды равен 1, MS = 1. Найдите площадь треугольника ABC .
На этом закончим. Как видите, задачи решаются в одно-два действия. В будущем рассмотрим с вами другие задачи из данной части, где даны тела вращения, не пропустите!
Успехов вам!
С уважением, Александр Крутицких.
P.S: Буду благодарен Вам, если расскажете о сайте в социальных сетях.
