Угол между прямыми в призме.
ПОДГОТОВКА К ЕГЭ ПО МАТЕМАТИКЕ.
РЕШЕНИЕ ЗАДАНИЙ С2.
ПРИМЕР 2.
В правильной треугольной призме АВСА 1 В 1 С 1 , все рёбра которой равны, точка К – середина В 1 С 1 . Найдите угол между плоскостью АВС и плоскостью В 1 КР, где точка Р – середина АА 1 .
Решение:
1 способ
1. Перенесем плоскость АВС в плоскость А 1 В 1 С 1 . Дополним плоскость В 1 КР до плоскости В 1 С 1 Р. Тогда вместо угла между плоскостями АВС и В 1 КР, будем искать угол между плоскостями А 1 В 1 С 1 и В 1 С 1 Р.
В 1 С 1 – общая прямая между плоскостями А 1 В 1 С 1 и В 1 С 1 Р. Для нахождения линейного угла двугранного угла проведем перпендикуляры к прямой В 1 С 1 в плоскостях А 1 В 1 С 1 и В 1 С 1 Р.
2. Треугольник В 1 С 1 Р – равнобедренный, т.к. РВ 1 =РС 1 (из равенства треугольников РА 1 В 1 и РА 1 С 1 (т.к. А 1 В 1 = А 1 С 1 , а Р 1 А – общий катет)).
Значит, РК – высота и медиана треугольника В 1 С 1 Р.
3. Треугольник А 1 В 1 С 1 – равносторонний (т.к. призма правильная).
Значит, А 1 К – высота и медиана треугольника А 1 В 1 С 1 .
4. – линейный угол двугранного угла А 1 В 1 С 1 Р.
Значит, – искомый угол.
5. Пусть А 1 С 1 = а.
Ответ: 30 о.
2 способ
1. Плоскость А 1 В 1 С 1 имеет уравнение y = 0 или 0x + 1y + 0z = 0.
2. Составим уравнение плоскости В 1 С 1 Р в отрезках.
Плоскость В 1 С 1 Р пересекает ось x в точке В 1 . То есть x = a.
А ось y она пересекает в точке Р. Значит, .
Ось z плоскость В 1 С 1 Р пересекает в точке Е. Значение z в точке Е найдём из треугольника А 1 В 1 Е.
Значит в точке Е.
Тогда уравнение плоскости В 1 С 1 Р в отрезках выглядит следующим образом:
3. Угол между плоскостями А 1 В 1 С 1 и В 1 С 1 Р (обозначим его ) найдём по формуле.
Задание.
В правильной треугольной призме ABCA 1 B 1 C 1 стороны основания равны 3, боковые ребра равны 1, точка D – середина ребра CC 1 .
а) Постройте прямую пересечения плоскостей ABC и ADB 1 .
б) Найдите угол между плоскостями ABC и ADB 1 .
Решение:
а) Постройте прямую пересечения плоскостей ABC и ADB 1 .
Построим плоскость ADB 1 . Точки A и B 1 лежат в одной плоскости, проведем прямую AB 1 . Точки A и D лежат в одной плоскости, проведем прямую AD. Точки D и B 1 лежат в одной плоскости, проведем прямую DB 1 . Получили сечение плоскостью ADB 1 .
Построим прямую пересечения плоскостей ABC и ADB 1 . Так как прямая B 1 D и прямая BC лежат в одной плоскости BCC 1 , то они пересекаются в точке К. Точка К лежит в плоскостях АВС и ADB 1 . Точки К и А лежат в плоскостях АВС и ADB 1 , следовательно, плоскости ABC и ADB 1 пересекаются по прямой AК. Искомая прямая пересечения плоскостей ABC и BED 1 построена.
б) Найдите угол между плоскостями ABC и ADB 1 .
Отрезок DC перпендикулярен плоскости АВС, из точки D опустим перпендикуляр DH на прямую AК. Точка H лежит в плоскости АВС, тогда CH – проекция наклонной DH на плоскость АВС. Через точку H проходит прямая AK, перпендикулярная наклонной DH, тогда по теореме о трех перпендикулярах отрезок CH перпендикулярен прямой AК.
Угол ∠DHC является линейным углом двугранного угла, образованного плоскостями ABC и ADB 1 . Угол ∠DHC – искомый угол между плоскостями ABC и ADB 1 . Найдем величину этого угла.
Рассмотрим прямоугольный треугольник DHC (∠C = 90˚):
Так как точка D – середина отрезка CC 1 , то DC = DC 1 = 0,5.
Треугольники DCK и DC 1 B 1 подобны, тогда
Так как призма ABCA 1 B 1 C 1 – правильная, то ∠ACB = 60°. Углы ∠ACB и ∠ACК – смежные углы, тогда ∠ACК = 120°.
Так как AC = CK = 3, то треугольник ACK – равнобедренный треугольник и CH – высота и биссектриса.
Рассмотрим прямоугольный треугольник ACH – прямоугольный (∠H = 90˚). Угол ∠ACH = 60°, ∠CAH = 30°. По свойству прямоугольного треугольника: против угла в 30° лежит катет, равный половине гипотенуза, получим
Угол между прямыми в призме. Для вас очередной материал – мы рассмотрим пару задач с призмами. Требуется определить угол между прямыми проходящими через указанные вершины призмы. Дело в том, что эти прямые не лежат в одной плоскости. Такие прямые называют скрещивающимися.
Если вы с ними уже знакомы, то задачки решите сразу сходу после построения эскиза без всяких вычислений. Если нет, то посмотрите соответствующую теорию, можете посмотреть , материал подан достаточно наглядно.
Принцип прост – необходимо одну из прямых переместить до пересечения со второй параллельным переносом. Либо установить — имеется ли параллельная ей прямая в одной плоскости со второй прямой. Рассмотрим задачи:
316553. В правильной шестиугольной призме ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 все ребра которой равны 8, найдите угол между прямыми FA и D 1 Е 1 . Ответ дайте в градусах.
Построим прямые, переместим параллельным переносом прямую D 1 Е 1 до пересечения с прямой AF. Полученная прямая будет проходить через DE:
Зная свойства правильного шестиугольника, а именно, то что углы при его вершинах равны 120 градусам, мы уже можем записать ответ. Угол между указанными прямыми равен 60 0 . Если посмотреть на призму сверху, то эскиз будет выглядеть так:
*Как видим, на самом деле, чему равна длина ребра не имеет значения.
316558. В правильной треугольной призме ABCA 1 B 1 C 1 , все ребра которой равны 3, найдите угол между прямыми AA 1 и BC 1 . Ответ дайте в градусах.
Построим указанные прямые и параллельным переносом «передвинем» прямую AA 1 до грани BCC 1 B 1 через которую проходит BC 1:
Так как в условии сказано, что все рёбра равны 3, то это значит что грань BCC 1 B 1 является квадратом. Прямая BC 1 является диагональю этого квадрата и она пересекает все прямые параллельные боковым рёбрам под углом 45 градусов. Наглядно это можно увидеть на проекции призмы:
*Небольшая оговорка. В обеих задачах мы перемещали прямые как бы «стягивая» их по соединяющему их перпендикуляру (обозначен красным пунктиром). Необязательно это делать именно так. Важно, чтобы одна из прямых была перемещена до пересечения с другой именно параллельным сдвигом. Во второй задаче это можно было сделать и так:
На этом закончим. Так что если встретите скрещивающиеся прямые на ЕГЭ в задаче кратким ответом, не пугайтесь, решаются они устно. Важно понимать, каким образом переместить прямую до пересечения с другой. А уж угол найти, как говорится, это дело техники.
С уважением, Александр.
P.S: Буду благодарен Вам, если расскажете о сайте в социальных сетях.
