Введение в геометрию.

Укажите номера верных утверждений 1. Через любые две точки проходит не более одной прямой. 2.Если при пересечении двух прямых третьей прямой внутренние односторонние углы равны, то эти две прямые параллельны. 3. Если две параллельные прямые пересечены третьей прямой, то внутренние накрест лежащие углы составляют в сумме Если угол равен 30 о, то смежный с ним угол равен 150 о. Ответ. 1, 4.

Укажите номера верных утверждений 1. Если две стороны одного треугольника соответственно равны двум сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны. 2. В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является одновременно биссектрисой и высотой. 3. Каждая сторона треугольника больше суммы двух других сторон. 4. В треугольнике против большего угла лежит меньшая сторона. Ответ. 2.

Укажите номера верных утверждений 1.Сумма острых углов прямоугольного треугольника меньше 180 о. 2.Если один из углов равнобедренного треугольника равен 100 о, то один из оставшихся углов равен 40 о. 3.Внешний угол треугольника больше каждого внутреннего угла, не смежного с ним. 4.В треугольнике ABC, для которого A = 40 o, B = 50 o, C = 90 o, сторона AC – наименьшая. Ответ. 1, 2, 3.

Укажите номера верных утверждений 1. Если расстояние от центра окружности до прямой больше радиуса окружности, то эти прямая и окружность пересекаются. 2. Касательная к окружности перпендикулярна радиусу этой окружности. 3. Через любые три точки, не принадлежащие одной прямой, проходит не менее одной окружности. 4. Если радиусы двух окружностей равны 3 и 5, а расстояние между их центрами равно 1, то эти окружности пересекаются. Ответ. 3.

Укажите номера верных утверждений 1. Вписанный угол измеряется величиной дуги окружности, на которую он опирается. 2. Центральный угол измеряется половиной дуги окружности, на которую он опирается. 3. Если вписанный угол равен 30 о, то центральный угол, опирающийся на ту же дугу, равен 60 о. 4. Если дуга окружности составляет 80 о, то центральный угол, опирающийся на эту дугу, равен 80 о. Ответ. 3, 4.

Укажите номера верных утверждений 1. Сумма углов выпуклого четырехугольника не превосходит 360 о. 2. Сумма двух противоположных углов параллелограмма равна Средняя линия трапеции параллельна основаниям и меньше их суммы. 4. Если одна диагональ параллелограмма равна 5, то другая его диагональ равна 5. Ответ. 1, 3.

Укажите номера верных утверждений 1. Если все стороны четырехугольника равны и один из его углов равен 90 о, то этот четырехугольник – квадрат. 2. Если в четырехугольнике диагонали перпендикулярны, то этот четырехугольник является ромбом. 3. Если сумма двух углов выпуклого четырехугольника равна 100 о, то сумма двух оставшихся углов равна 80 о. 4. Если основания трапеции равны 6 и 8, то средняя линия этой трапеции равна 14. Ответ. 1.

Укажите номера верных утверждений 1. Около всякого треугольника можно описать не менее одной окружности. 2. Если стороны треугольника равны 3, 4, 5, то радиус описанной около него окружности, равен 2,5. 3. В любой параллелограмм можно вписать окружность. 4. В любой правильный многоугольник можно вписать не более одной окружности. Ответ. 1, 2, 4.

Укажите номера верных утверждений 1. Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны. 2. Катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 60, равен половине гипотенузы. 3. Если катет и гипотенуза прямоугольного треугольника равны соответственно 5 и 13, то второй катет этого треугольника равен Квадрат любой стороны треугольника не превосходит суммы квадратов двух других сторон без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними. Ответ. 3, 4.

Укажите номера верных утверждений 1. Площадь параллелограмма равна произведению его стороны на высоту. 2. Площадь треугольника равна произведению двух его сторон на синус угла между ними. 3. Площадь трапеции равна произведению ее основания на высоту. 4. Если диагонали ромба равна 3 и 4, то его площадь равна 6. Ответ. 4.

Математика, ГИА-9, Задания 15, 2012.

1) Правильный шестиугольник имеет центр симметрии.
2) В любой треугольник можно вписать не менее одной окружности.
3) Центром симметрии ромба является точка пересечения его диагоналей.
4) Если сторона треугольника равна 5, а высота, проведенная к этой стороне, равна 4, то площадь этого треугольника равна 20.

Какие из следующих утверждений верны?
1) Если все стороны треугольника меньше 1, то и все его высоты меньше 1.
2) Если расстояние от точки до прямой больше 1, то и длина любой наклонной, проведенной из данной точки к прямой, больше 1.
3) Если две стороны треугольника равны 4 и 5, а угол между ними равен, то площадь этого треугольника равна 5.
4) Если дуга окружности составляет, то вписанный угол, опирающийся на эту дугу окружности, равен.

Какие из следующих утверждений верны?
1) Если два угла треугольника равны и, то третий угол равен.
2) Через любые две точки проходит не менее одной окружности.
3) Около любого правильного многоугольника можно описать не более одной окружности.
4) Если один угол треугольника больше, то два других его угла меньше.

Примеры.
1. Какие из следующих утверждений верны?
1) Если две параллельные прямые пересечены третьей прямой, то внутренние односторонние углы равны.
2) Смежные углы равны.
3) Через любые две точки проходит не менее одной прямой.
4) Если угол равен, то смежный с ним равен.

2. Какие из следующих утверждений верны?
1) Если расстояние от точки до прямой меньше 1, то и длина любой наклонной, проведенной из данной точки к прямой, меньше 1.
2) Через любую точку проходит ровно одна прямая.
3) Любые три прямые имеют не более одной общей точки.
4) Любые две прямые имеют не менее одной общей точки.

3. Какие из следующих утверждений верны?
1) Если при пересечении двух прямых третьей прямой внутренние накрест лежащие углы составляют в сумме, то эти две прямые параллельны.
2) Через любые две точки проходит не менее одной прямой.

4) Если расстояние от точки до прямой больше 1, то и длина любой наклонной, проведенной из данной точки к прямой, больше 1.

4. Какие из следующих утверждений верны?
1) Если при пересечении двух прямых третьей прямой внутренние накрест лежащие углы равны, то две прямые параллельны.

3) Любые три прямые имеют не менее одной общей точки.
4) Через любые две точки проходит не менее одной прямой.

5. Какие из следующих утверждений верны?
1) Если расстояние от точки до прямой больше 1, то и длина любой наклонной, проведенной из данной точки к прямой, больше 1.
2) Через любые три точки проходит ровно одна прямая.
3) Если две прямые перпендикулярны третьей прямой, то эти две прямые перпендикулярны.
4) Через любые три точки проходит не более одной прямой.

Бесплатно скачать электронную книгу в удобном формате, смотреть и читать:
Скачать книгу Математика, ГИА-9, Задания 15, 2012 - fileskachat.com, быстрое и бесплатное скачивание.

Скачать doc
Ниже можно купить эту книгу по лучшей цене со скидкой с доставкой по всей России.

3. Отрезок , луч , ломаная линия - простейшие геометрические фигуры на плоскости.

Часть прямой линии , ограниченная с двух сторон точками , называется отрезком прямой, или отрезком . Эти точки называются концами отрезка.

Отрезок изображается так: ЕМ, АВ.

Луч - это направленная полупрямая, которая имеет точку начала и не имеет конца. Луч изображается так: А В

Если на прямой вы поставили точку , то этой точкой прямая разбивается на два луча , противоположно направленных. Такие лучи называются дополнительными .

АВ и АС – дополнительные лучи.

Ломаная линия - это несколько отрезков , соединенных между собой так, что конец первого отрезка является началом второго отрезка, а конец второго отрезка - началом третьего отрезка и т. д., при этом соседние (имеющие одну общую точку ) отрезки расположены не на одной прямой. Если конец последнего отрезка не совпадает с началом первого, то такая ломаная линия называется незамкнутой.

На рисунке изображена трехзвенная ломаная линия .

4. Угол (лат.слово angulus – «угол») - это геометрическая фигура, которая состоит из точки и двух лучей, исходящих из этой точки. Лучи называются сторонами угла , а точка - вершиной угла. Или угол - это часть плоскости, ограниченная двумя лучами, исходящими из одной точки, называемой вершиной угла .

Если плоскость круга разделить на 360 равных частей радиусами, то 1/360 часть круга - это угловой градус (лат. слово gradus – «шаг», «ступень»), который обозначается знаком « ° » (читается - «градус»). Следовательно, 1° = 1/360 часть круга.

Круг составит 1/360 * 360 = 1° * 360 = 360°.

Угол, равный плоскости круга, составляет 360° и называется полным углом .

5. Угол называется развёрнутым , если обе его стороны лежат на одной прямой. Развёрнутый угол равен 180°.

Если плоскость круга разделить диаметром (двумя радиусами, расположенными на одной прямой линии) на две равные части, то плоскость полукруга составит угол в 360°: 2 = 180°.

Если плоскость круга разделить двумя диаметрами (горизонтальной и вертикальной линиями) на четыре равные части, то плоскость одной части составит угол в 360°: 4 = 90°.

6. Угол называется прямым , если он равен 90°, он равен четвертой части круга

7. Две геометрические фигуры называются равными, если их можно совместить наложением.

Углы равны , если равны их градусные меры или у них при наложении одного угла на другой совпадают вершины и соответствующие стороны углов.

8. Угол называется острым , если он меньше 90° (т.е. меньше прямого угла).

Все острые углы имеют градусную меру в пределах: больше 0° и меньше 90°.

9. Угол называется тупым , если он больше 90°, но меньше 180° (т.е. больше прямого, но меньше развёрнутого).

Угол 135°

10. Середина отрезка - это точка отрезка, делящая его пополам, т.е. на два равных отрезка.

АС = ВС =1/2 АВ

11. Биссектрисой (от лат. bi - "двойное", и sectio - "разрезание") угла называется луч, который исходит из вершины угла и делит угол на две равные части (пополам)

12. Два угла, у которых одна сторона общая, а две другие являются продолжениями одна другой, называются смежными. Сумма смежных углов равна 180°.

∠ АОВ + ∠ ВОС = 180° .

13. Два угла называются вертикальными (лат. слово verticalis – «вершинный»), если стороны одного угла являются продолжениями сторон другого. Вертикальные углы равны.

∠АОВ=∠COD, ∠ АОС = ∠ ВOD.

14. Две пересекающиеся прямые называются перпендикулярными , если они образуют четыре прямых угла (перпендикуляр - лат. perpendicularis «отвесный»).

Если прямые AС и ВD пересекаются и ∠1 = ∠2 = ∠3 = ∠4 = 90°, то AС ⊥ ВD .

или

Две прямые, пересекающиеся под прямым углом, называются перпендикулярными .

Если прямая а и прямая в пересекаются в точке О и ∠СОВ = 90°, то а ⊥ в .

Перпендикулярность прямых (или их отрезков) обозначают знаком перпендикулярности «⊥».