Что такое размер физической величины. Метрология

Cтраница 3

И Размерностью физической величины называется выражение, характеризующее связь этой физической величины с основными величинами данной системы единиц. Физическая величина называется безразмерной величиной, если в выражение ее размерности все основные величины входят в нулевой степени. Числовое значение безразмерной величины не зависит от выбора системы единиц.  

Под размерностью физической величины следует понимать выражение, отражающее связь рассматриваемой величины с основными величинами системы, если принять коэффициент пропорциональности в этом выражении равным безразмерной единице. Размерность представляет собой произведение размерностей основных величин системы, возведенных с соответствующие степени.  

Итак, размерность физической величины указывает, как в данной абсолютной системе единиц изменяются единицы, служащие для измерения этой физической величины, при изменении масштабов основных единиц. Например, сила в системе LMT имеет размерность LMT 2; это значит, что при увеличении единицы длины в п раз единица силы также увеличивается в п раз; при увеличении единицы массы в п раз единица силы также увеличивается в п раз и, наконец, при увеличении единицы времени в п раз единица силы уменьшается в 2 раз.  

Соображения, касающиеся размерности физических величин, помогают в решении задач огромной практической важности, например задачи о стационарном обтекании жидкостью или газом препятствия, или, что то же самое, о движении тела в среде.  

Для указания размерности физических величин пользуются символическими обозначениями, например LpM. Это означает, что в системе LMT число, выражающее результат измерения данной физической величины, уменьшится в пр раз, если единицу длины увеличить в п раз, увеличится в п 1 раз, если единицу массы увеличить в п раз, и, наконец, увеличится в пг раз, если единицу времени увеличить в п раз.  

Результат определения размерности физической величины принято записывать условным равенством, в котором эта величина заключается в квадратные скобки.  

Если посмотреть на размерности физических величин, фактически встречающихся в физике, то нетрудно заметить, что во всех случаях числа р, q, r оказываются рациональными. Это не обязательно с, точки зрения теории размерности, а является результатом соответствующих определений физических величин.  

Таким образом, размерность физической величины представляет собой функцию, которая определяет, во сколько раз изменится численное значение этой величины при переходе от исходной системы единиц измерения к другой системе внутри данного класса.  

Определим теперь понятие размерности физической величины. Размерность показывает, как связана данная величина с основными физическими величинами. В Международной системе единиц СИ основным физическим величинам соответствуют основные единицы измерения: длина, масса, время, сила тока, температура, количество вещества и сила света.  

Путем использования анализа размерностей физических величин устанавливают функциональную связь между обобщенными переменными (уравнение подобия), а количественную зависимость получают в результате обработки экспериментальных данных.  

Если при определении размерности физической величины составляющие ее основные единицы измерения сокращаются, то такая величина называется безразмерной. Безразмерными величинами являются относительные координаты точек тела, аэродинамические коэффициенты профиля крыла, относительные деформации упругой конструкции. Постоянные и переменные безразмерные величины занимают особое место при изучении подобия физических явлений.  

Строго говоря, размерностью физической величины называются показатели степени в символическом уравнении, выражающем эту величину через основные физические величины.  

Физические величины и их размерность

Физической величиной называют свойство, общее в качественном отношении многим физическим объектам, но в количественном отношении индивидуальное для каждого объекта(Болсун, 1983)/

Совокупность ФВ связанных между собой зависимостями, называют системой физи­ческих величин. Система ФВ состоит из базовых величин , которые условно приняты в каче­стве независимых, и из производных величин , которые выражаются через основные величины системы.

Производныефизическиевеличины - это физические величины, входящие в систему и определяемые через основные величины этой системы. Математическое соотношение (форму­ла), посредством которого интересующая нас производ­ная ФВ выражается в явном виде через другие величины системы и в котором проявляется непосредственная связь между ними, принято называть определяющим уравнением . К примеру, определяющим уравнением скорости служит соотношение

V = (1)

Опыт показывает, что система ФВ, охватывающая всœе разделы физики должна быть построена на семи базовых величинах: масса, время, длина, температура, сила света͵ количество вещества, сила электрического тока.

Учёные договорились обозначать основные ФВ символами: длину (расстояние) в любых уравнениях и любых системах символом L (с этой буквы начинается на английском и немецком языках слово длина), а время – символом T (с этой буквы начинается на английском языке слово время). То же самое относится и к размерностям массы (символ М), электрического тока (символ I), термодинамической температуры (символ Θ), количества вещества (символ

N), силы света (символ J). Эти символы называются размерностями длины и времени, массы и т.д., причем независимо от размера длины или времени. (Иногда эти символы называют логическими операторами, иногда – радика-лами, но чаще всœего размерностями.) Τᴀᴋᴎᴍ ᴏϬᴩᴀᴈᴏᴍ, Размерность основной ФВ -это всœего лишь символ ФВ в виде заглавной буквы латинского или греческого алфавита. Так, к примеру, размерность скорости - ϶ᴛᴏ символ скорости в виде двух букв LT −1 (согласно формуле (1)), где Т представляет собой размерность времени, а L - длины Эти символы обозначают ФВ времени и длины независимо от их конкретного размера (секунда, минута͵ час, метр, сантиметр и т. д.). Размерность силы - MLT −2 (согласно уравнению второго закона Ньютона F = ma) . У любой производной ФВ имеется размерность, так как имеется уравнение, определяющее эту величину. В физике имеется одна чрезвычайно полезная математическая процедура, называемая анализом размерностей или проверка формулы размерностью .

По поводу понятия “размерность“ до сих пор имеются два противоположных мнения Проф. Коган И. Ш., в статье Размерность физической величины (Коган,) приводит следующие аргументы по поводу этого спора.. Более ста лет продолжаются споры о физическом смысле размерностей. Два мнения – размерность относится к физической величинœе, и размерность относится к единице измерений – уже целый век делят учёных на два лагеря. Первую точку зрения отстаивал известный физик начала ХХ века А.Зоммерфельд. Вторую точку зрения отстаивал выдающийся физик М.Планк, который считал размерность физической величины некоторой условностью. Известный метролог Л.Сена (1988) придерживался той точки зрения, согласно которой понятие размерности относится вообще не к физической величинœе, а к ее единице измерений. Эта же точка зрения изложена и в популярном учебнике по физике И.Савельева (2005).

При этом это противостояние искусственно. Размерность физической величины и ее единица измерений – различные физические категории, и их не следует сравнивать. В этом кроется суть ответа͵ решающего эту проблему.

Можно сказать, что у физической величины размерность имеется постольку, поскольку имеется уравнение, определяющее эту величину. Пока нет уравнения, нет и размерности, хотя от этого физическая величина не перестает существовать объективно. В существовании же размерности у единицы измерений физической величины объективной крайне важно сти нет.

Опять же, размерности физических величин для одних и тех же физических величин должны быть одинаковыми на любой планете в любой звездной системе. В то же время единицы измерений тех же величин могут оказаться там какими угодно и, конечно же, не похожими на наши земные.

Подобный взгляд на проблему говорит о том, что правы и А.Зоммерфельд, и М.Планк . Просто каждый из них имел в виду разное. А.Зоммерфельд имел в виду размерности физических величин, а М.Планк − единицы измерений . Противопоставляя их взгляды друг другу, метрологи безосновательно приравнивают размерности физических величин к их единицам измерений, тем самым искусственно противопоставляя точки зрения А.Зоммерфельда и М.Планка.

В настоящем пособии понятие ʼʼразмерностьʼʼ, как и полагается, относится к ФВ и с единицами ФВ не идентифицируется.

Физические величины и их размерность - понятие и виды. Классификация и особенности категории "Физические величины и их размерность" 2017, 2018.

Производные величины, как было указано в § 1, можно выразить через основные. Для этого необходимо ввести два понятия: размерность производной величины и определяющее уравнение.

Размерностью физической величины называют выражение, отражающее связь величины с основными величинами

системы, в котором коэффициент пропорциональности принят равным единице.

Определяющим уравнением производной величины называют формулу, посредством которой физическая величина может быть в явном виде выражена через другие величины системы. При этом коэффициент пропорциональности в данной формуле должен быть равным единице. Например, определяющим уравнением скорости является формула

где длина пути, пройденного телом при равномерном движении за время Определяющее уравнение силы в системе второй закон динамики поступательного движения (второй закон Ньютона):

где а - ускорение, сообщаемое силой телу массой

Найдем размерности некоторых производных величин механики в системе Заметим, что начать необходимо с таких величин, которые в явном виде выражаются только через основные величины системы. Такими величинами являются, например, скорость, площадь, объем.

Чтобы найти размерность скорости, подставим в формулу (2.1) вместо длины пути и времени их размерности и Т:

Условимся обозначать размерность величины символом Тогда размерность скорости запишется в виде

Определяющими уравнениями площади и объема являются формулы:

где а - длина стороны квадрата, длина ребра куба. Подставив вместо размерность найдем размерности площади и объема:

Найти же размерность силы по ее определяющему уравнению (2.2) было бы затруднительно, так как нам неизвестна размерность ускорения а. Прежде чем определять размерность силы, надо найти размерность ускорения,

используя формулу ускорения равнопеременного движения:

где изменение скорости тела за время

Подставив сюда уже известные нам размерности скорости и времени, получим

Теперь по формуле (2.2) найдем размерность силы:

Точно так же для получения размерности мощности по ее определяющему уравнению где А - работа, совершенная за время необходимо предварительно найти размерность работы.

Из приведенных примеров следует, что не безразлично, в какой последовательности надо расположить определяющие уравнения при построении данной системы величин, т. е. при установлении размерностей производных величин.

Последовательность расположения производных величин при построении системы должна удовлетворять следующим условиям: 1) первой должна быть величина, которая выражается только через основные величины; 2) каждая последующая должна быть величиной, которая выражается только через основные и такие производные, которые ей предшествуют.

В качестве примера приведем в таблице последовательность величин, которая удовлетворяет таким условиям:

(см. скан)

Последовательность величин, приведенная в таблице, не является единственной, удовлетворяющей указанному выше условию. Отдельные величины в таблице могут быть переставлены. Например, плотность (строка 5) и момент инерции (строка 4) или момент силы (строка 11) и давление (строка 12) можно поменять местами, так как размерности этих величин определяются независимо друг от друга.

Но плотность в этой последовательности нельзя поставить раньше объема (строка 2), так как плотность выражается через объем и для определения ее размерности необходимо знать размерность объема. Момент силы, давление и работа (строка 13) не могут быть поставлены раньше силы, так как для определения их размерности надо знать размерность силы.

Из приведенной таблицы следует, что размерность любой физической величины в системе в общем виде может быть выражена равенством

где целые числа.

В системе величин механики размерность величины выразится в общем виде формулой

Приведем в общем виде формулы размерности соответственно в системах величин: в электростатической и электромагнитной LMT, в и в любой системе с числом основных величин больше трех:

Из формул (2.5) - (2.10) следует, что размерность величины представляет собой произведение размерностей основных величин, возведенных в соответствующие степени.

Показатель степени в которую возведена размерность основной величины, входящая в размерность производной величины, называется показателем размерности физической величины. Как правило, показатели размерности являются целыми числами. Исключение составляют показатели в электростатической и

электромагнитной системах LMT, в которых они могут быть и дробными.

Некоторые показатели размерности могут оказаться равными нулю. Так, записав размерности скорости и момента инерции в системе в виде

находим, что у скорости равен нулю показатель размерности момента инерции - показатель размерности у.

Может оказаться, что все показатели размерности некоторой величины равны нулю. Такая величина называется безразмерной. Безразмерными величинами являются, например, относительная деформация, относительная диэлектрическая проницаемость.

Величина называется размерной, если в ее размерности хотя бы одна из основных величин возведена в степень, не равную нулю.

Конечно, размерности одной и той же величины в различных системах могут оказаться разными. В частности, величина безразмерная в одной системе может оказаться размерной в другой системе. Например, абсолютная диэлектрическая проницаемость в электростатической системе является безразмерной величииой, в электромагнитной системе ее размерность равна а в системе величин

Пример. Определим, как изменится момент инерции системы с увеличением линейных размеров в 2 раза и массы в 3 раза.

Равномерность момента инерции

Пользуясь формулой (2.11), получим

Следовательно, момент инерции увеличится в 12 раз.

2. Пользуясь размерностями физических величин, можно определить, как изменится размер производной единицы с изменением размеров основных единиц, через которые она выражается, а также установить соотношение единиц в разных системах (см. с. 216).

3. Размерности физических величин позволяют обнаружить ошибки при решении физических задач.

Получив в результате решения расчетную формулу, следует проверить, совпадают ли размерности левой и правой частей формулы. Несовпадение этих размерностей свидетельствует о том, что в ходе решения задачи была допущена ошибка. Конечно, совпадение размерностей еще не означает, что задача решена правильно.

Рассмотрение других практических приложений размерностей выходит за рамки настоящего пособия.

Понятие о размерности измеряемых величин

Размерность измеряемой величины является качественной ее характеристикой и обозначается символом dim , происходящим от слова dimension (измерение, размах, величина, степень, мера) .
Размерность основных физических величин обозначается соответствующими заглавными буквами.
Например, для длины, массы и времени:

dim l = L; dim m = M; dim t = T .

При определении размерности производных величин руководствуются следующими правилами:

1. Размерности левой и правой частей уравнений не могут не совпадать, так как сравниваться между собой могут только одинаковые свойства. Объединяя левые и правые части уравнений, можно прийти к выводу, что алгебраически суммироваться могут только величины, имеющие одинаковые размерности.

2. Алгебра размерностей мультипликативна , т. е. состоит из одного единственного действия - умножения.

3. Размерность произведения нескольких величин равна произведению их размерностей . Так, если зависимость между значениями величин Q , А , В , С имеет вид Q = А×В×С , то

dim Q = dim A×dim B×dim C .

4. Размерность частного при делении одной величины на другую равна отношению их размерностей , т. е. если Q = А/В , то

dim Q = dim A/dim B .

5. Размерность любой величины, возведенной в некоторую степень, равна ее размерности в той же степени.
Так, если Q = А n , то

dim Q = dim n A .

Например, если скорость определять по формуле V = l / t , то dim V = dim l/dim t = L/Т = LТ -1 .
Если сила по второму закону Ньютона F = mа , где а = V/ t - ускорение тела, то

dim F = dim m×dim а = МL/Т 2 = MLТ -2 .

Итак, всегда можно выразить размерность производной физической величины через размерности основных физических величин с помощью стеᴨенного одночлена:

dim Q = LMT ... ,

где:
L, М, Т,... - размерности соответствующих основных физических величин;
a,b ,q ,... - показатели размерности. Каждый из показателей размерности может быть положительным или отрицательным, целым или дробным числом, нулем.

Если все показатели размерности равны нулю, то такая величина называется безразмерной. Она может быть относительной, определяемой как отношение одноименных величин (например, относительная диэлектрическая проницаемость) , и логарифмической, определяемой как логарифм относительной величины (например, логарифм отношения мощностей или напряжений) .
В гуманитарных науках, искусстве, спорте, квалиметрии, где номенклатура основных величин не определена, теория размерностей не находит пока эффективного применения.

Размер измеряемой величины является количественной ее характеристикой. Получение информации о размере физической или нефизической величины является содержанием любого измерения.

Измерительные шкалы и их типы

В теории измерений принято, в основном, различать пять типов шкал: наименований, порядка, разностей (интервалов), отношений и абсолютные .

Шкалы наименований характеризуются только отношением эквивалентности (равенства) . Примером такой шкалы является распространённая классификация (оценка) цвета по наименованиям (атласы цветов до 1000 наименований) .

Шкалы порядка - это расположенные в порядке возрастания или убывания размеры измеряемой величины. Расстановка размеров в порядке их возрастания или убывания с целью получения измерительной информации по шкале порядка называется ранжированием. Для облегчения измерений по шкале порядка некоторые точки на ней можно зафиксировать в качестве опорных (реперных) . Недостатком реперных шкал является неопределённость интервалов между реперными точками.
В связи с этим баллы нельзя складывать, вычислять, перемножать, делить и т.п.
Примерами таких шкал являются: знания студентов по баллам, землетрясения по 12 -балльной системе, сила ветра по шкале Бофорта, чувствительность плёнок, твёрдость по шкале Мооса и т.д.

Шкалы разностей (интервалов) отличаются от шкал порядка тем, что по шкале интервалов можно уже судить не только о том, что размер больше другого, но и на сколько больше. По шкале интервалов возможны такие математические действия, как сложение и вычитание.
Характерным примером является шкала интервалов времени, поскольку интервалы времени можно суммировать или вычитать, но складывать, например, даты каких-либо событий не имеет смысла.

Шкалы отношений описывают свойства, к множеству самих количественных проявлений котоҏыҳ применимы отношения эквивалентности, порядка и суммирования, а следовательно, вычитания и умножения. В шкале отношений существует нулевое значение показателя свойства. Примером является шкала длин.
Любое измерение по шкале отношений заключается в сравнении неизвестного размера с известным и выражении первого через второй в кратном или дольном отношении.

Абсолютные шкалы обладают всеми признаками шкал отношений, но в них дополнительно существует естественное однозначное определение единицы измерения. Такие шкалы соответствуют относительным величинам (отношения одноимённых физических величин, описываемых шкалами отношений) . К таким величинам относятся коэффициент усиления, ослабления и т. п. Среди этих шкал существуют шкалы, значения которых находятся в пределах от 0 до 1 (коэффициент полезного действия, отражения и т.п.) .

Измерение (сравнение неизвестного с известным) происходит под влиянием множества случайных и неслучайных, аддитивных (прибавляемых) и мультипликативных (умножаемых) факторов, точный учёт которых невозможен, а результат совместного воздействия непредсказуем.

Основной постулат метрологии - отсчёт - является случайным числом.
Математическая модель измерения по шкале сравнения имеет вид:

q = (Q + V)/[Q] + U ,

где:
q - результат измерения (числовое значение величины Q );
Q - значение измеряемой величины;
[Q] - единица данной физической величины;
V - масса тары (например, при взвешивании);
U - слагаемое от аддитивного воздействия.

Из приведенной формулы можно выразить значение измеряемой величины Q :

Q = q[Q] - U[Q] - V .

При однократном измерении величины ее значение подсчитывается с учетом поправки:

Q i = q i [Q] + i ,

где:
q i [Q] - результат однократного измерения;
i = - U[Q] - V - суммарная поправка.

Значение измеряемой величины при многократном измерении может быть определено из соотношения:

Q n = 1/n×∑Q i .

размерность стандартизация сертификации

Размерность физической величины -- выражение, показывающее связь этой величины с основными величинами данной системы физических величин; записывается в виде произведения степеней сомножителей, соответствующих основным величинам, в котором численные коэффициенты опущены.

Говоря о размерности, следует различать понятия система физических величин и система единиц. Под системой физических величин понимается совокупность физических величин вместе с совокупностью уравнений, связывающих эти величины между собой. В свою очередь, система единиц представляет собой набор основных и производных единиц вместе с их кратными и дольными единицами, определенными в соответствии с установленными правилами для данной системы физических величин.

Все величины, входящие в систему физических величин, делят на основные и производные. Под основными понимают величины, условно выбранные в качестве независимых так, что никакая основная величина не может быть выражена через другие основные. Все остальные величины системы определяются через основные величины и называются производными.

Каждой основной величине сопоставляется символ размерности в виде заглавной буквы латинского или греческого алфавита, далее размерности производных величин обозначаются с использованием этих символов.

В Международной системе величин (англ. International System of Quantities, ISQ), на которой базируется Международная система единиц (СИ), в качестве основных величин выбраны длина, масса, время, электрический ток, термодинамическая температура, сила света и количество вещества. Символы их размерностей приведены в таблице.

Для указания размерностей производных величин используют символ dim.

Например, для скорости при равномерном движении выполняется

где -- длина пути, пройденного телом за время. Для того, чтобы определить размерность скорости, в данную формулу следует вместо длины пути и времени подставить их размерности:

Аналогично для размерности ускорения получается

Из уравнения второго закона Ньютона с учётом размерности ускорения для размерности силы следует:

В общем случае размерность физической величины представляет собой произведение размерностей основных величин, возведённых в различные (положительные или отрицательные, целые или дробные) степени. Показатели степеней в этом выражении называют показателями размерности физической величины. Если в размерности величины хотя бы один из показателей размерности не равен нулю, то такую величину называют размерной, если все показатели размерности равны нулю -- безразмерной.

Символы размерностей используют также для обозначения систем величин. Так, система величин, основными величинами которой являются длина, масса и время, обозначается как LMT. На её основе были образованы такие системы единиц, как СГС, МКС и МТС.

Как следует из сказанного выше, размерность физической величины зависит от используемой системы величин. Поэтому, в частности, безразмерная величина в одной системе величин может стать размерной в другой. Например, в системе LMT электрическая ёмкость имеет размерность L и отношение ёмкости сферического тела к его радиусу -- безразмерная величина, тогда как в Международной системе величин (ISQ) это отношение не является безразмерным. Однако многие используемые на практике безразмерные числа (например, критерии подобия, постоянная тонкой структуры в квантовой физике или числа Маха, Рейнольдса, Струхаля и др. в механике сплошных сред) характеризуют относительное влияние тех или иных физических факторов и являются отношением величин с одинаковыми размерностями, поэтому, несмотря на то, что входящие в них величины в разных системах могут иметь разную размерность, сами они всегда будут безразмерными.

Размер физической величины -- значения чисел, фигурирующих в значении физической величины, а размерность физической величины - это единица измерения, фигурирующая в значении физической величины. Как правило, у физической величины много различных размерностей: например, у длины -- метр, миля, дюйм, парсек, световой год и т. д. Часть таких единиц измерения (без учёта своих десятичных множителей) могут входить в различные системы физических единиц -- СИ, СГС и др. Например, автомобиль может быть охарактеризован с помощью такой физической величины, как масса. Размером данной физической величины будет 50, 100, 200 и т.д., а размерность выражена в единицах измерения массы - килограмм, центнер, тонна. Этот же автомобиль может быть охарактеризован с помощью другой физической величины -- скорости. При этом размером будет, например, число 100, а размерностью - единица измерения скорости: км/ч.