Правила сложения чисел. Сложение целых чисел: общее представление, правила, примеры

Ответ оставил Гость

Сложение рациональных чисел

Сложение рациональных чисел - это сложение целых и дробных положительных и отрицательных чисел. Сложение положительных (натуральных) чисел и дробей нами изучено, поэтому рассмотрим подробно сложение положительных и отрицательных чисел и дробей с одинаковыми и разными знаками.

При сложении рациональных чисел с разными знаками можно подразумевать, что положительное число - это ваш «доход», а отрицательное число - это ваш «долг». Результатом вычисления будет то, что у вас останется от «дохода», когда вы отдадите «долг».

Правило. При сложении двух чисел с разными знаками из большего модуля вычитают меньший и перед полученным числом ставят знак того слагаемого, модуль которого больше.

Два знака подряд в арифметических действиях не ставятся, их нужно разделять скобками, значит, отрицательное число в сумме чисел после знака «+» нужно всегда брать в скобки.

При сложении чисел с разными знаками и результате возможны такие варианты:

Правило. При сложении двух чисел с одинаковыми знаками складывают их модули и перед полученным числом ставят их общий знак.

При сложении чисел с одинаковыми знаками в результате возможны такие варианты:

При вычислении числовых и буквенных выражений действия с положительными и отрицательными числами можно выполнять «шаг за шагом» (по порядку записи слагаемых), тогда используются предыдущие два правила. Можно также производить вычисления с помощью законов сложения (переместительного и сочетательного).

Правило. Чтобы вычислить сумму рациональных чисел, нужно отдельно сложить все положительные числа (заключив в скобки и поставив перед скобкой знак «+») и отдельно сложить все отрицательные числа(заключив в скобки и поставив перед скобкой знак «-»). Затем из большей по модулю суммы вычесть меньшую по модулю сумму, а перед полученным результатом поставить знак той суммы, модуль которой больше.

Особенности сложения рациональных чисел с 0

Нуль - это отсутствие у вас «дохода» и «долга».

Оцени ответ

Руссева Людмила Ивановна
Должность: учитель математики
Учебное заведение: МКОУ "Октябрьский лицей"
Населённый пункт: П. Октябрьский Калачёвского района Волгоградской области
Наименование материала: Методическая разработка
Тема: "Сложение целых чисел"
Дата публикации: 21.08.2017
Раздел: среднее образование

Урок математики в 6 классе на тему «Сложение целых

чисел».

Цели:

- способствовать формированию у учащихся умения складывать

целые числа, используя игру в цветные кубики;

Развивать умение классифицировать и устанавливать логические связи;

Способствовать рефлексии собственной деятельности.

Тип урока : Изучение нового материала.

Ход урока.

Организационный момент.

Актуализация знаний.

На доске слова, которые надо разделить на две группы: выигрыш,

проигрыш, отдал, взял, прибыль, доход, расход, тепло, мороз.

По каким признакам вы разделили слова на группы? («+», «-»). На

предыдущих уроках вы познакомились с отрицательными числами. Чему

мы научились? (сравнивать, изображать на координатной прямой). Сегодня

на уроке мы продолжим работу с целыми числами. Какие числа называют

целыми? Какие числа называют натуральными?

Учитель предлагает выполнить следующее задание (слайд 1).

-15; +10; -3,2; 2; -7; 0; -4; 9,3; +7

Назовите:

1. отрицательные числа

2. натуральные числа.

3. положительные числа.

4. целые числа.

5. противоположные числа.

6. наибольшее целое число.

7. наименьшее целое число.

3. Мотивация к учебной деятельности

Какие задания можно придумать с числами данного ряда?

(Сложить, вычесть, умножить, разделить). Вы умеете сложить два

отрицательных числа?

Чему вы хотели бы научиться на уроке?

(Складывать целые числа).

Какова тема урока? Запишите её в тетрадь.

(«Сложение целых чисел»).

Сформулируйте цель урока.

Научиться складывать целые числа.

Как вы думаете, как складываются отрицательные числа?

4.Операционально-деятельностный этап.

Учитель предлагает задание: В наших опытах белый кубик будет показывать

выигрышное число очков, а чёрный – проигрышное.

1.Используя знаки «+» и «-», запишите число очков для каждого случая

2.С двумя белыми кубиками выполнили несколько опытов

Найдите в каждом случае получившуюся сумму очков. Запишите сумму

очков для каждого случая(слайд4)

3.Найдите сумму: (слайд 7)

4. Заполнить пропуски (карточки у учащихся на партах)

(+5) + (+6) = …(- 1) + (…) = -5

(…) + (+5) = +8 (-3) + (…) = -8

(…) + (+9) = +10 (…) + (-4) = - 7

Сделайте вывод:

(+) + (+) = (-) + (-) =

Выигрыш да выигрыш - получится …

Проигрыш да проигрыш - получится …

5.Бросили два кубика разных цветов. Запишите сумму для каждого случая.

(слайд 5) Найдите сумму.

(-5)+ (+3) = (-2)

6. Используя карточки, учащиеся составляют примеры на сложение целых

чисел.Может оказаться, что на двух разноцветных кубиках выпало

одинаковое число очков. Чему равна сумма в этом случае? Затем выполняют

задания на заполнение пропусков. Восстановите стертые записи:

(-4)+(+4)=… ; (-4)+(+5)= … ;

(…)+(+3)= -2 ; (-5)+(…)= -9 ;

(+6)+(…)=+11 ; (-3)+(…)=0 ;

Каким числом может быть сумма чисел с разными знаками? От чего зависит

знак суммы?

Формулируют правило сложения отрицательных и положительных чисел.

1. сумма двух положительных чисел - положительна, сумма двух

отрицательных чисел - отрицательна.

2. сумма двух чисел с разными знаками может быть как отрицательной так

и положительной; знак суммы зависит от того какое слагаемое

«перевесило».

5 этап. Первичное закрепление.

Выполняем задание из

учебника№739,№ 740.

6 этап. Самостоятельная работа.

Вариант 1 Вариант 2

(+7)+(-15) 1) (-7)+(-23)

(-8)+(-20) 2) (+16)+(-9)

(-23)+(+11) 3) (+12)+(-12)

(+25)+(-25) 4) (-26)+(+14)

5) (-13)+(+17) 5) (-15)+(+24.

взаимопроверка по ответам на слайде.

7.Рефлексивно – оценочный этап.

Пришло время подвести итог нашей работы.

Чему мы научились на уроке?

(Складывать отрицательные и положительные числа)

Каким числом является сумма положительных чисел?

Каким числом является сумма отрицательных чисел?

Сумма противоположных чисел.

определить,

каким

числом

положительным

отрицательным – является сумма двух чисел с разными знаками?

индийский

математик

Брахмагупта

излагал

правило сложения отрицательных чисел: «Сумма двух долгов есть

долг».

Что он имел в виду?

(При сложении отрицательных чисел результат – отрицательное

число)

Что важно запомнить с урока?

(Правило сложения целых чисел)

Над чем еще надо поработать?

выполнили мы намеченные цели?

Учитель предлагает учащимся продолжить предложение:

Сегодня на уроке я чувствовал себя…

Запишите домашнее задание №742,№757.Сообщение на тему: «Когда

впервые начали использовать отрицательные числа».

Конспект урока на тему «Сложение целых чисел»

Цель урока: закрепить правила сложения отрицательных чисел, сложения чисел с разными знаками.

Планируемые результаты:

Предметные: знают что значит прибавить к числу а число b;

Правило сложения отрицательных чисел;

Правило сложения чисел с разными знаками;

Чему равна сумма противоположных чисел.

умеют складывать отрицательные числа;

Складывать числа с разными знаками

Выполнять устные вычисления.

Метапредметные:

Регулятивные: учитывают правило в планировании и контроле способа решения;

Познавательные: используют поиск необходимой информации для выполнения учебных заданий с использованием учебной литературы;

Коммуникативные: учитывают разные мнения и стремятся к координации различных позиций в сотрудничестве.

Личностные: имеют способность к эмоциональному восприятию математических объектов, задач, решений, рассуждений

Тип урока: комбинированый.

Оборудование: учебник, тетрадь, карточки для работы на уроке, карточки самооценки.

Ход урока:

1. Организационный этап.

Проверка отсутствующих, готовности к уроку.

2. Проверка домашнего задания. На доске один из учащихся записывает, остальные проверяют, обсуждают, исправляют ошибки.

3. Актуализация опорных знаний.

На прошлом уроке мы познакомились с правилами сложения целых чисел.

Ответьте на вопросы:

1. Чему равен модуль положительного числа, отрицательного числа?

2. Как сложить два отрицательных числа?

3. Как сложить два числа с разными знаками?

4. На ваших партах лежат карточки. Заполните пропуски, чтобы получились верные равенства.

Карточка № 1 (работа в парах)

6 + (-4) =

3 + (…) = -10

… + (-2) = -10

9 + (..1) = -10

17 + ()= -20

4 + (+5) =

5 +(+ ..)= +1

12+(…)=+10

14+(…)= -10

Проверка по столбикам -10, -7, -8,

1, -17 и -3, +1,

6, -2, +4

4. Закрепление материала.

1) Работа с учебником выполняем номер 262 на странице 55. Ученики выполняют самостоятельно, затем проверяем ответы вместе, обсуждаем, проговариваем правила.

Ответы: а) -124 б)-586 в)+850 г)+64 д)-239 е)+223.

2) Работа с дидактическим материалом:

Сравните выражения с нулём

425+500 и 0

425+425 и 0

356+(-700) и 0

391+(-486) и 0

252+187 и 0

356+(-356) и 0

Замечаем, что в двух примерах получаем равно нулю. Обсуждаем суммы противоположных чисел и рассматриваем на примерах (доход-расход).

3) Найдите сумму:

40+(-50)+(+50)=

200+(-320)+(-80)=

40+(+40)+(-160)=

999+(-2987)+(-999)=

5. Физминутка

В понедельник я купался, (Изображаем плавание.)

А во вторник - рисовал. (Изображаем рисование.)

В среду долго умывался, (Умываемся.)

А в четверг в футбол играл. (Бег на месте.)

В пятницу я прыгал, бегал, (Прыгаем.)

Очень долго танцевал. (Кружимся на месте.)

А в субботу, воскресенье (Хлопки в ладоши.)

Целый день я отдыхал. (Дети садятся на корточки, руки под щеку - засыпают.)

6. Рефлексия.

Как вы считаете нужны ли нам эти знания в повседневной жизни?

Как вы думаете вы сможете сами выполнить домашнее задание?

Заполните карточки самоконтроля.

Ф.И.

Ставим + или -

Урок понравился (не понравился)

Материал урока понятен (не понятен)

Я смогу самостоятельно выполнять такие примеры (не смогу)

Оцени свою работу на уроке (от 2 до 5)

7. Подведение итогов. Выставление оценок. Домашнее задание.

Выполнить номера №263, № 264(для сильных учащихся)

В этой статье мы детально разберемся с тем, как выполняется сложение целых чисел . Сначала сформируем общее представление о сложении целых чисел, и посмотрим, что представляет собой сложение целых чисел на координатной прямой. Эти знания помогут нам сформулировать правила сложения положительных, отрицательных, а также целых чисел с разными знаками. Здесь же мы подробно разберем применение правил сложения при решении примеров и научимся выполнять проверку полученных результатов. В заключение статьи мы поговорим о сложении трех и большего количества целых чисел.

Навигация по странице.

Общее представление о сложении целых чисел

Приведем примеры сложения целых противоположных чисел. Сумма чисел −5 и 5 равна нулю, сумма 901+(−901) равна нулю, результатом сложения целых противоположных чисел 1 567 893 и −1 567 893 также является нуль.

Сложение произвольного целого числа и нуля

Давайте воспользуемся координатной прямой, чтобы понять, что представляет собой результат сложения двух целых чисел, одно из которых равно нулю.

Прибавление к нулю произвольного целого числа a означает перемещение из начала отсчета на расстояние a единичных отрезков. Таким образом, мы оказываемся в точке с координатой a . Следовательно, результатом сложения нуля и произвольного целого числа является прибавляемое целое число.

С другой стороны, прибавление к произвольному целому числу нуля означает переместиться из точки, координату которой задает данное целое число, на расстояние нуль. Иными словами, мы останемся в исходной точке. Следовательно, результатом сложения произвольного целого числа и нуля является данное целое число.

Итак, сумма двух целых чисел, одно из которых есть нуль, равна другому целому числу . В частности, нуль плюс нуль есть нуль.

Приведем несколько примеров. Сумма целых чисел 78 и 0 равна 78 ; результат сложения нуля и −903 равен −903 ; также 0+0=0 .

Проверка результата сложения

После того, как выполнено сложение двух целых чисел, полезно проверить полученный результат. Нам уже известно, что для проверки результата сложения двух натуральных чисел нужно от полученной суммы отнять любое из слагаемых, при этом должно получиться другое слагаемое. Проверка результата сложения целых чисел выполняется аналогично. Но вычитание целых чисел сводится к прибавлению к уменьшаемому числа, противоположного вычитаемому. Таким образом, чтобы проверить результат сложения двух целых чисел, нужно к полученной сумме прибавить число, противоположное любому из слагаемых, при этом должно получиться другое слагаемое.

Разберемся на примерах с проверкой результата сложения двух целых чисел.

Пример.

При сложении двух целых чисел 13 и −9 было получено число 4 , выполните проверку результата.

Решение.

Прибавим к полученной сумме 4 число −13 , противоположное слагаемому 13 , и посмотрим, получится ли другое слагаемое −9 .

Итак, вычислим сумму 4+(−13) . Это сумма целых чисел с противоположными знаками. Модули слагаемых равны 4 и 13 соответственно. Слагаемое, модуль которого больше, имеет знак минус, который мы и запоминаем. Теперь вычитаем из большего модуля вычитаем меньший: 13−4=9 . Осталось перед полученным числом поставить запомненный знак минус, имеем −9 .

При проверке мы получили число, равное другому слагаемому, следовательно, исходная сумма была вычислена правильно. −19 . Так как мы получили число, равное другому слагаемому, то сложение чисел −35 и −19 было выполнено верно.

Сложение трех и большего количества целых чисел

До этого момента мы говорили о сложении двух целых чисел. Иными словами, мы рассматривали суммы, состоящие из двух слагаемых. Однако сочетательное свойство сложения целых чисел позволяет нам однозначно определить сумму трех, четырех и большего количества целых чисел.

На основании свойств сложения целых чисел мы можем утверждать, что сумма трех, четырех и так далее чисел не зависит от способа расстановки скобок, указывающих порядок выполнения действий, а также от порядка следования слагаемых в сумме. Эти утверждения мы обосновывали, когда говорили о сложении трех и большего количества натуральных чисел . Для целых чисел все рассуждения полностью совпадают, и мы не будем повторяться.0+(−101) +(−17)+5 . После этого, расставив скобки любым допустимым способом, мы все равно получим число −113 .

Ответ:

5+(−17)+0+(−101)=−113 .

Список литературы.

• Виленкин Н.Я. и др. Математика. 6 класс: учебник для общеобразовательных учреждений.

К целым числам относятся натуральные числа, ноль, а также числа, противоположные натуральным.

Натуральные числа — это положительные целые числа.

К примеру: 1, 3, 7, 19, 23 и т.д. Такие числа мы используем для подсчета (на столе лежит 5 яблок, у машины 4 колеса и др.)

Латинской буквой \mathbb{N} — обозначается множество натуральных чисел .

К натуральным числам нельзя отнести отрицательные (у стула не может быть отрицательное количество ножек) и дробные числа (Иван не мог продать 3,5 велосипеда).

Числами, противоположными натуральным, являются отрицательные целые числа: −8, −148, −981, … .

Арифметические действия с целыми числами

Что можно делать с целыми числами? Их можно перемножать, складывать и вычитать друг из друга. Разберем каждую операцию на конкретном примере.

Сложение целых чисел

Два целых числа с одинаковыми знаками складываются следующим образом: производится сложение модулей этих чисел и перед полученной суммой ставится итоговый знак:

(+11) + (+9) = +20

Вычитание целых чисел

Два целых числа с разными знаками складываются следующим образом: из модуля большего числа вычитается модуль меньшего и перед полученным ответом ставят знак большего по модулю числа:

(-7) + (+8) = +1

Умножение целых чисел

Чтобы умножить одно целое число на другое нужно выполнить перемножение модулей этих чисел и поставить перед полученным ответом знак «+ », если исходные числа были с одинаковыми знаками, и знак «− », если исходные числа были с разными знаками:

(-5) \cdot (+3) = -15

(-3) \cdot (-4) = +12

Следует запомнить следующее правило перемножения целых чисел :

+ \cdot + = +

+ \cdot - = -

- \cdot + = -

- \cdot - = +

Существует правило перемножения нескольких целых чисел. Запомним его:

Знак произведения будет «+ », если количество множителей с отрицательным знаком четное и «− », если количество множителей с отрицательным знаком нечетное.

(-5) \cdot (-4) \cdot (+1) \cdot (+6) \cdot (+1) = +120

Деление целых чисел

Деление двух целых чисел производится следующим образом: модуль одного числа делят на модуль другого и если знаки чисел одинаковые, то перед полученным частным ставят знак «+ », а если знаки исходных чисел разные, то ставится знак «− ».

(-25) : (+5) = -5

Свойства сложения и умножения целых чисел

Разберем основные свойства сложения и умножения для любых целых чисел a , b и c :

1. a + b = b + a - переместительное свойство сложения;
2. (a + b) + c = a + (b + c) - сочетательное свойство сложения;
3. a \cdot b = b \cdot a - переместительное свойство умножения;
4. (a \cdot c) \cdot b = a \cdot (b \cdot c) - сочетательное свойства умножения;
5. a \cdot (b \cdot c) = a \cdot b + a \cdot c - распределительное свойство умножения.