Как найти периметр трапеции известна площадь. По известным высоте, боковым сторонам и верхнему основанию

Найдите периметр трапеции. Здравствуйте! В этой публикации мы с вами рассмотрим решение типовых задачек входящих в состав экзамена по математике. Требуется вычислить периметр трапеции. Можно сказать, что это задания для устных вычислений, они просты. Перед решением рекомендую посмотреть статью « » . Рассмотрим задачи:

27834. В равнобедренной трапеции основания равны 12 и 27, острый угол равен 60 0 . Найдите ее периметр.

Для того, чтобы найти периметр нам необходимо вычислить боковую сторону. Из вершин меньшего основания опустим высоты:

AD является гипотенузой в прямоугольном треугольнике ADF. Её мы можем вычислить воспользовавшись определением косинуса:

AF мы можем вычислить:

Следовательно:

Таким образом периметр равен 12+27+15+15=69.

*При решении задачи также можно было воспользоваться свойством катета лежащего против угла 30°. Посмотрите:

∠ADF равен 30°, катет AF равен половине гипотенузы AD. AF=7,5 следовательно AD будет равно 15.

27835. Прямая, проведенная параллельно боковой стороне трапеции через конец меньшего основания, равного 4, отсекает треугольник, периметр которого равен 15. Найдите периметр трапеции.

Ход решения очевиден! Давайте посмотрим на эскиз: AD и AE это часть периметра, DE=CB – противолежащие стороны параллелограмма. То есть

Остаётся прибавить DC и EB. В условии сказано, что DC=4. Так DC и EB являются противолежащими сторонами параллелограмма, то они равны:

Таким образом периметр равен 15+4+4=23.

На этом всё, успеха вам!

С уважением, Александр Крутицких.

Трапеция – это двухмерная геометрическая фигура, имеющая четыре вершины и лишь две параллельные стороны. Если длина 2-х ее непараллельных сторон идентична, то трапеция именуется равнобедренной либо равнобокой. Рубеж такого многоугольника, составленную из его сторон, принято обозначать греческим словом «периметр». В зависимости от комплекта начальных данных вычислять длину периметра надобно по различным формулам.

Инструкция

1. Если знамениты длины обоих оснований (a и b) и длина боковой стороны (c), то периметр (P) этой геометрической фигуры рассчитывается дюже примитивно. Потому что трапеция равнобедренна, то ее боковые стороны имеют идентичную длину, а это значит, что вам знамениты длины всех сторон – примитивно сложите их: P = a+b+2*c.

2. Если длины обоих оснований трапеции незнакомы, но дана длина средней линии (l) и боковой стороны (c), то и этих данных довольно для вычисления периметра (P). Средняя линия параллельна обоим основаниям и по длине равна их полусумме. Удвойте это значение и добавьте к нему тоже удвоенную длину боковой стороны – это и будет периметром равнобедренной трапеции: P = 2*l+2*c.

3. Если из условий задачи знамениты длины обоих оснований (a и b) и высота (h) равнобедренной трапеции, то с подмогой этих данных дозволено восстановить длину недостающей боковой стороны. Сделать это дозволено разглядев прямоугольный треугольник, в котором гипотенузой будет незнакомая сторона, а катетами – высота и короткий отрезок, тот, что она отсекает от длинного основания трапеции. Длину этого отрезка дозволено вычислить, поделив напополам разность между длинами большего и меньшего оснований: (a-b)/2. Длина гипотенузы (боковой стороны трапеции), согласно теореме Пифагора, будет равна квадратному корню из суммы возведенных в квадрат длин обоих вестимых катетов. Замените в формуле из первого шага длину боковой стороны полученным выражением, и вы получите такую формулу периметра: P = a+b+2*?(h?+(a-b)?/4).

4. Если в условиях задачи даны длины меньшего основания (b) и боковой стороны (c), а также высота равнобедренной трапеции (h), то рассматривая тот же вспомогательный треугольник, что и в предыдущем шаге, вам придется вычислять длину катета. Опять воспользуйтесь теоремой Пифагора – желанная величина будет равна корню из разности между возведенной в квадрат длиной боковой стороны (гипотенузы) и высотой (катетом): ?(c?-h?). По этому отрезку незнакомого основания трапеции дозволено восстановить его длину – удвойте это выражение и добавьте к итогу длину короткого основания: b+2*?(c?-h?). Подставьте это выражение в формулу из первого шага и обнаружьте периметр равнобедренной трапеции: P = b+2*?(c?-h?)+b+2*c = 2*(?(c?-h?)+b+c).

Совет 2: Как обнаружить боковые стороны равнобедренной трапеции

Трапеция представляет собой четырехугольник с двумя параллельными сторонами. Эти стороны именуются основаниями. Их финальные точки объединены отрезками, которые именуются боковыми сторонами. У равнобедренной трапеции боковые стороны равны.

Вам понадобится

Инструкция

1. Постройте трапецию согласно условиям задачи. Вам обязаны быть даны несколько параметров. Как водится, это оба основания и высота. Но допустимы и другие данные - одно из оснований, его наклона к нему боковой стороны и высота. Обозначьте трапецию как АBCD, основания пускай будут a и b, высоту обозначьте как h, а боковые стороны - х. От того что трапеция равнобедренная, боковые стороны у нее равны.

2. Из вершин B и С проведите высоты к нижнему основанию. Точки пересечения обозначьте как M и N. К вас получилось два прямоугольных треугольника - AМВ и СND. Они равны, от того что по условиям задачи равны их гипотенузы АВ и CD, а также катеты ВМ и СN. Соответственно, отрезки АМ и DN также равны между собой. Обозначьте их длину как y.

3. Для того, дабы обнаружить длину суммы этих отрезков, нужно из длины основания a вычесть длину основания b. 2у=a-b. Соответственно, один такой отрезок будет равен разности оснований, деленной на 2. y=(a-b)/2.

4. Обнаружьте длину боковой стороны трапеции, которая единовременно является и гипотенузой прямоугольного треугольника с вестимыми вам катетами. Вычислите ее по теореме Пифагора. Она будет равна квадратному корню из суммы квадратов высоты и разности оснований, деленной на 2. То есть x=?y2+h2=?(a-b)2/4+h2.

5. Зная высоту и угол наклона боковой стороны к основанию, сделайте те же самые построения. Разность оснований в этом случае вычислять не надобно. Воспользуйтесь теоремой синусов. Гипотенуза равна длине катета, умноженной на синус противолежащего ему угла. В данном случае x=h*sinCDN либо x=h*sinBAM.

6. Если вам дан угол наклона боковой стороны трапеции не к нижнему, а к верхнему основанию, обнаружьте необходимый угол, исходя из свойства параллельных прямых. Припомните одно из свойств равнобедренной трапеции, согласно которому углы между одним из оснований и боковыми сторонами равны.

Обратите внимание!
Повторите свойства равнобедренной трапеции. Если поделить оба ее основания напополам и повести через эти точки линию, то она будет осью этой геометрической фигуры.Если опустить высоту из одной вершины верхнего основания на нижнее, то на этом последнем получатся два отрезка. Скажем, в данном случае это отрезки АМ и DМ. Один из них равен полусумме оснований а и b, а иной - половине их разности.

Совет 3: Как обнаружить среднюю линию равнобедренной трапеции

Трапецией считают четырехугольник, имеющий лишь две параллельные стороны – они именуются основаниями этой фигуры. Если при этом длины 2-х других – боковых – сторон идентичны, трапеция именуется равнобедренной либо равнобокой. Линия, которая соединяет середины боковых сторон, именуется средней линией трапеции и может быть рассчитана несколькими методами.

Инструкция

1. Если знамениты длины обоих оснований (А и В), для вычисления длины средней линии (L) используйте основное качество этого элемента равнобедренной трапеции – она равна полусумме длин оснований: L = ?*(А+В). Скажем, в трапеции с основаниями, имеющими длины 10см и 20см, средняя линия должна быть равна?*(10+20) = 15см.

2. Средняя линия (L) совместно с высотой (h) равнобокой трапеции является сомножителем в формуле вычисления площади (S) этой фигуры. Если эти два параметра даны в начальных условиях задачи, для вычисления длины средней линии разделяете площадь на высоту: L = S/h. Скажем, при площади в 75 см? равнобедренная трапеция высотой в 15см должна иметь среднюю линию длиной в 75/15 = 5см.

3. При вестимых периметре (Р) и длине боковой стороны (С) равнобедренной трапеции рассчитать среднюю линию (L) фигуры тоже нетрудно. Отнимите от периметра две длины боковых сторон, а оставшаяся величина будет суммой длин оснований – поделите ее напополам, и задача будет решена: L = (P-2*С)/2. Скажем, при периметре, равном 150см, и боковой стороне длиной в 25см длина средней линии должна составить (150-2*25)/2 = 50см.

4. Зная длины периметра (P) и высоты (h), а также величину одного из острых углов (?) равнобедренной трапеции, тоже дозволено вычислить длину ее средней линии (L). В треугольнике, составленном высотой, боковой стороной и частью основания, один из углов является прямым, а величина иного вестима. Это дозволит вычислить длину боковой стороны по теореме синусов – поделите высоту на синус вестимого угла: h/sin(?). После этого подставьте это выражение в формулу из предыдущего шага и вы получите такое равенство: L = (P-2*h/sin(?))/2 = P/2-h/sin(?). Скажем, если вестимый угол имеет величину в 30°, высота равна 10см, а периметр составляет 150см, длина средней линии должна быть рассчитана так: 150/2-10/sin(30°) = 75-20 = 55см.

Совет 4: Как обнаружить периметр равнобедренного треугольника

Периметр - это сумма всех сторон многоугольника. В верных многоугольниках сурово определенная связанность между сторонами разрешает упростить нахождение периметра.

Инструкция

1. В произвольной фигуре, ограниченной различными отрезками ломаной линии, периметр определяется последовательным измерением сторон и суммированием итогов измерения. Для положительных многоугольников нахождение периметра допустимо вычислением по формулам, рассматривающим связи между сторонами фигуры.

2. В произвольном треугольнике со сторонами а, b, с периметр Р вычисляется по формуле: Р=а+b+с. У равнобедренного треугольника две стороны равны между собой: а=b, и формула нахождения периметра упрощается до Р=2*а+с.

3. Если в равнобедренном треугольнике по условию даны размеры не всех сторон, то для нахождения периметра дозволено применять другие вестимые параметры, скажем площадь треугольника, его углы, высоты, биссектрисы и медианы. Скажем, если знамениты только две равные стороны равнобедренного треугольника и всякий из его углов, то третью сторону обнаружьте по теореме синусов, из которой следует, что отношение стороны треугольника к синусу противолежащего угла есть величина непрерывная для данного треугольника. Тогда незнакомая сторона может быть выражена через знаменитую: a=b*SinА/SinВ, где А – угол супротив неведомой стороны а, В – угол вопреки знаменитой стороны b.

4. Если знаменита площадь S равнобедренного треугольника и его основание b, то из формулы для определения площади треугольника S=b*h/2 обнаружьте высоту h: h=2*S/b. Эта высота, опущенная на основание b, делит данный равнобедренный треугольник на два равных прямоугольных треугольника. Боковые стороны a начального равнобедренного треугольника являются гипотенузами прямоугольных треугольников. По теореме Пифагора квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов b и h. Тогда периметр P равнобедренного треугольника вычисляется по формуле:P=b+2*?(b?/4) +4*S?/b?).

Совет 5: Как обнаружить основание равнобедренной трапеции

Трапецией называют четырехугольник, основания которого лежат на 2-х параллельных прямых, при этом две другие стороны параллельными не являются. Нахождение основания равнобедренной трапеции требуется как при сдаче теории и решении задач в учебных заведениях, так и в ряде профессий (инженерных, архитектурных, дизайнерских).

Инструкция

1. У равнобедренной (либо равнобокой) трапеции непараллельные стороны как и углы, которые образуются при пересечении нижнего основания, равны.

2. Трапеция имеет два основания, и дабы их обнаружить, надобно вначале обозначить фигуру. Пускай дана равнобедренная трапеция ABCD с основаниями AD и BC. При этом вестимы все параметры, помимо оснований. Боковая сторона AB=CD=a, высота BH=h и площадь равна S.

3. Для решения задачи об основании трапеции проще каждого будет составить систему уравнений, дабы через взаимосвязанные величины обнаружить надобные основания.

4. Обозначьте отрезок BC за x, а AD за y, дабы в будущем было комфортно обращаться с формулами и понимать их. Если не сделать этого сразу, дозволено запутаться.

5. Выпишите все формулы, которые сгодятся при решении поставленной задачи, применяя знаменитые данные. Формула площади равнобедренной трапеции: S=((AD+BC)*h)/2. Теорема Пифагора: a*a = h*h +AH*AH .

6. Припомните качество равнобедренной трапеции: высоты, выходящие из вершины трапеции, отсекают равные отрезки на большом основании. Отсель следует, что два основания дозволено связать по формуле, вытекающей из этого свойства: AD=BC+2AH либо y=x+2AH

7. Обнаружьте катет AH, следуя теореме Пифагора, которую вы теснее записали. Пускай он будет равен некому числу k. Тогда формула, вытекающая из свойства равнобедренной трапеции будет выглядеть так: y=x+2k.

8. Выразите через площадь трапеции неведомую величину. У вас должно получиться: AD=2*S/h-BC либо y=2*S/h-x.

9. Позже этого подставьте данные числовые значения в полученную систему уравнений и решите ее. Решение всякий системы уравнений дозволено обнаружить механически в программе MathCAD.

Полезный совет
Усердствуйте неизменно при решении задач максимально упростить обозначения и формулы. Так решение найдется значительно стремительней.

Трапеция представляет собой четырехугольник с двумя параллельными и двумя не параллельными сторонами. Дабы вычислить ее периметр, необходимо знать размеры всех сторон трапеции. При этом данные в задачах могут быть различными.

Вам понадобится

  • – калькулятор;
  • – таблицы синусов, косинусов и тангенсов;
  • – бумага;
  • – чертежные принадлежности.

Инструкция

1. Самый примитивный вариант задачи – когда даны все стороны трапеции. В этом случае их надобно примитивно сложить. Дозволено воспользоваться дальнейшей формулой: p=a+b+c+d, где p – периметр, а буквами a, b, c и d обозначены стороны, противолежащие углам, обозначенным соответствующими прописными буквами.

2. Есть дана равнобедренная трапеция, довольно сложить два ее основания и прибавить к ним удвоенный размер стороны. То есть периметр в этом случае вычисляется по формуле: p=a+c+2b, где b – сторона трапеции, а и с – основания.

3. Расчеты будут несколько больше долгими, если какую-то из сторон нужно вычислить. Скажем, знаменито длинное основание, прилежащие к нему углы и высота. Вам надобно вычислить короткое основание и сторону. Для этого начертите трапецию ABCD, из верхнего угла B проведите высоту BE. У вас получится треугольник АВЕ. Вам знаменит угол А, соответственно, вы знаете его синус. В данных задачи указана также высота BE, которая единовременно является катетом прямоугольного треугольника, противолежащим знаменитому вам углу. Дабы обнаружить гипотенузу АВ которая единовременно является стороной трапеции, довольно BE поделить на sinA. Верно так же обнаружьте длину 2-й стороны. Для этого необходимо провести высоту из иного верхнего угла, то есть CF. Сейчас вам знамениты большее основание и стороны. Для вычисления периметра этого немного, надобен еще размер меньшего основания. Соответственно, в 2-х образовавшихся внутри трапеции треугольниках нужно обнаружить размеры отрезков AE и DF. Это дозволено сделать, скажем, через косинусы вестимых вам углов А и D. Косинус – это отношение прилежащего катета к гипотенузе. Дабы обнаружить катет, надобно гипотенузу умножить на косинус. Дальше периметр вычислите по той же формуле, что и в первом шаге, то есть сложив все стороны.

4. Еще один вариант: даны два основания, высота и одна из сторон, надобно обнаружить вторую сторону. Это также отличнее делать с применением тригонометрических функций. Для этого начертите трапецию. Возможен, вам знамениты основания АD и ВС, а также сторона АВ и высота BF. По этим данным вы можете обнаружить угол A (через синус, то есть отношение высоты к знаменитой стороне), отрезок АF (через косинус либо тангенс, от того что угол вам теснее вестим. Припомните также свойства углов трапеции – сумма углов, прилежащих к одной стороне, составляет 180°. Проведите высоту CF. У вас получился еще один прямоугольный треугольник, в котором вам надобно обнаружить гипотенузу CD и катет DF. Начните с катета. Вычтите из длины нижнего основания длину верхнего, а из полученного итога – длину теснее вестимого вам отрезка АF. Сейчас в прямоугольном треугольнике СFD вам знамениты два катета, то есть вы можете обнаружить тангенс угла D, а по нему – и сам угол. Позже этого останется через синус этого же угла вычислить сторону CD, как теснее было описано выше.

Видео по теме

Инструкция

Если известны длины обоих оснований (a и b) и длина боковой стороны (c), то периметр (P) этой геометрической фигуры рассчитывается очень просто. Так как трапеция равнобедренна, то ее боковые стороны имеют одинаковую длину, а , что вам известны длины всех сторон - просто сложите их: P = a+b+2*c.

Если длины обоих оснований неизвестны, но дана длина линии (l) и боковой стороны (c), то и этих данных достаточно для вычисления периметра (P). Средняя линия параллельна обоим основаниям и по длине равна их полусумме. Удвойте это и добавьте к нему тоже удвоенную длину боковой стороны - это и будет периметром равнобедренной трапеции: P = 2*l+2*c.

Если из условий задачи известны длины обоих оснований (a и b) и высота (h) равнобедренной трапеции, то с этих данных можно восстановить длину недостающей боковой стороны. Сделать это можно рассмотрев треугольник, в котором гипотенузой будет неизвестная сторона, а катетами - высота и короткий отрезок, который она отсекает от длинного основания трапеции. Длину этого отрезка можно вычислить, поделив пополам разность между длинами большего и меньшего оснований: (a-b)/2. Длина гипотенузы (боковой стороны трапеции), согласно теореме Пифагора, будет равна квадратному корню из суммы возведенных в длин обоих известных катетов. Замените в формуле из первого шага длину боковой стороны полученным выражением, и вы получите такую формулу периметра: P = a+b+2*√(h²+(a-b)²/4).

Если в задачи даны длины меньшего основания (b) и боковой стороны (c), а также высота равнобедренной трапеции (h), то рассматривая тот же вспомогательный треугольник, что и в предыдущем шаге, вам придется вычислять длину катета. Вновь воспользуйтесь теоремой Пифагора - искомая величина будет равна корню из разности между возведенной в квадрат длиной боковой стороны (гипотенузы) и высотой (): √(c²-h²). По этому неизвестного основания трапеции можно восстановить его длину - удвойте это выражение и добавьте к результату длину короткого основания: b+2*√(c²-h²). Подставьте это выражение в формулу из первого шага и найдите периметр равнобедренной трапеции: P = b+2*√(c²-h²)+b+2*c = 2*(√(c²-h²)+b+c).

Источники:

  • периметр трапеции

Совет 2: Как найти боковые стороны равнобедренной трапеции

Трапеция представляет собой четырехугольник с двумя параллельными сторонами. Эти стороны называются основаниями. Их конечные точки соединены отрезками, которые называются боковыми сторонами. У равнобедренной трапеции боковые стороны равны.

Вам понадобится

  • - равнобедренная трапеция;
  • - длины оснований трапеции;
  • - высота трапеции;
  • - лист бумаги;
  • - карандаш;
  • - линейка.

Инструкция

Постройте согласно условиям задачи. Вам должны быть даны несколько параметров. Как , это оба и высота. Но возможны и другие условия - одно из оснований, его наклона к нему боковой стороны и высота. Обозначьте трапецию как АBCD, основания пусть будут a и b, высоту обозначьте как h, а боковые стороны - х. Поскольку трапеция равнобедренная, боковые стороны у нее равны.

Из вершин B и С проведите высоты к нижнему основанию. Точки обозначьте как M и N. К вас получилось два прямоугольных треугольника - AМВ и СND. Они равны, поскольку по условиям задачи равны их гипотенузы АВ и CD, а также катеты ВМ и СN. Соответственно, отрезки АМ и DN также равны между собой. Обозначьте их длину как y.

Для того, чтобы найти длину суммы этих отрезков, необходимо из длины основания a вычесть длину основания b. 2у=a-b. Соответственно, один такой отрезок будет оснований, деленной на 2. y=(a-b)/2.

Найдите длину боковой стороны трапеции, которая одновременно является и гипотенузой треугольника с известными вам катетами. Вычислите ее по теореме Пифагора. Она будет квадратному корню из суммы квадратов высоты и разности оснований, деленной на 2. То есть x=√y2+h2=√(a-b)2/4+h2.

Зная высоту и угол наклона боковой стороны к основанию, сделайте те же самые построения. Разность оснований в этом случае вычислять не нужно. Воспользуйтесь теоремой синусов. Гипотенуза равна длине катета, умноженной на синус противолежащего ему угла. В данном случае x=h*sinCDN или x=h*sinBAM.

Если вам дан угол наклона боковой стороны трапеции не к нижнему, а к верхнему основанию, найдите нужный угол, исходя из параллельных прямых. Вспомните одно из свойств трапеции, согласно которому углы между одним из оснований и боковыми сторонами равны.

Обратите внимание

Повторите свойства равнобедренной трапеции. Если разделить оба ее основания пополам и повести через эти точки линию, то она будет осью этой геометрической фигуры.

Если опустить высоту из одной вершины верхнего основания на нижнее, то на этом последнем получатся два отрезка. Например, в данном случае это отрезки АМ и DМ. Один из них равен полусумме оснований а и b, а другой - половине их разности.

Источники:

  • в равнобедренной трапеции основания найти боковые стороны

Совет 3: Как найти среднюю линию равнобедренной трапеции

Трапецией считают четырехугольник, имеющий лишь две параллельные стороны - они называются основаниями этой фигуры. Если при этом длины двух других - боковых - сторон одинаковы, трапеция называется равнобедренной или равнобокой. Линия, которая соединяет середины боковых сторон, называется средней линией трапеции и может быть рассчитана несколькими способами.

Инструкция

Если известны длины обоих оснований (А и В), для вычисления длины (L) используйте свойство этого элемента трапеции - она равна полусумме длин оснований: L = ½*(А+В). Например, с , имеющими длины 10см и 20см, средняя линия должна быть равна ½*(10+20) = 15см.

Средняя линия (L) вместе с высотой (h) равнобокой трапеции является сомножителем в формуле вычисления площади (S) этой фигуры. Если эти два параметра даны в исходных задачи, для вычисления длины средней линии делите площадь на высоту: L = S/h. Например, при площади в 75 см² равнобедренная трапеция высотой в 15см должна иметь среднюю длиной в 75/15 = 5см.

При известных периметре (Р) и длине боковой стороны (С) равнобедренной трапеции рассчитать среднюю линию (L) фигуры тоже несложно. Отнимите от периметра две длины боковых сторон, а оставшаяся величина будет суммой длин оснований - поделите ее пополам, и задача будет решена: L = (P-2*С)/2. Например, при периметре, равном 150см, и боковой длиной в 25см длина средней линии должна (150-2*25)/2 = 50см.

Зная длины периметра (P) и высоты (h), а также величину одного из острых углов (α) равнобедренной трапеции, тоже можно вычислить длину ее средней линии (L). В треугольнике, составленном высотой, боковой стороной и частью основания, один из углов является прямым, а величина другого известна. Это позволит вычислить длину боковой стороны по теореме синусов - разделите высоту на синус известного угла: h/sin(α). Затем подставьте это выражение в формулу из предыдущего шага и вы получите равенство: L = (P-2*h/sin(α))/2 = P/2-h/sin(α). Например, если известный угол имеет величину в 30°, высота равна 10см, а периметр составляет 150см, длина средней линии должна быть рассчитана так: 150/2-10/sin(30°) = 75-20 = 55см.

Совет 4: Как найти периметр равнобедренного треугольника

Периметр - это сумма всех сторон многоугольника. В правильных многоугольниках строго определенная зависимость между сторонами позволяет упростить нахождение периметра.

Инструкция

В произвольной фигуре, ограниченной разными отрезками ломаной линии, периметр определяется последовательным измерением сторон и суммированием результатов измерения. Для правильных многоугольников возможно вычислением по формулам, учитывающим связи между сторонами фигуры.

В произвольном треугольнике со сторонами а, b, с периметр Р вычисляется по формуле: Р=а+b+с. У равнобедренного треугольника две стороны равны между собой: а=b, и нахождения периметра упрощается до Р=2*а+с.

Если в равнобедренном треугольнике по условию даны размеры не всех сторон, то для нахождения периметра можно использовать другие известные параметры, например площадь треугольника, его углы, высоты, биссектрисы и медианы. Например, если известны только две равные стороны равнобедренного треугольника и любой из его углов, то третью сторону найдите по теореме синусов, из которой следует, что отношение стороны треугольника к синусу противолежащего угла есть величина постоянная для данного треугольника. Тогда неизвестная сторона может быть выражена через известную: a=b*SinА/SinВ, где А - угол против неизвестной стороны а, В - угол против известной стороны b.

Если известна площадь S равнобедренного треугольника и его основание b, то из формулы для определения площади треугольника S=b*h/2 найдите высоту h: h=2*S/b. Эта высота, опущенная на основание b, делит заданный равнобедренный треугольник на два равных прямоугольных треугольника. Боковые стороны a исходного равнобедренного гипотенузами прямоугольных треугольников. По теореме Пифагора квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов b и h. Тогда периметр P равнобедренного треугольника вычисляется по формуле:
P=b+2*√(b²/4) +4*S²/b²).

Трапецией называют четырехугольник, основания которого лежат на двух параллельных прямых, при этом две другие стороны параллельными не являются. Нахождение основания равнобедренной трапеции требуется как при сдаче теории и решении задач в учебных заведениях, так и в ряде профессий (инженерных, архитектурных, дизайнерских).

Инструкция

У равнобедренной (или равнобокой) трапеции непараллельные стороны как и углы, которые образуются при пересечении нижнего основания, равны.

Трапеция имеет два основания, и чтобы их найти, нужно сначала обозначить фигуру. Пусть дана равнобедренная ABCD с основаниями AD и BC. При этом известны все параметры, кроме оснований. Боковая сторона AB=CD=a, высота BH=h и площадь равна S.

Для решения задачи об основании трапеции проще всего будет составить систему уравнений, чтобы через взаимосвязанные величины найти нужные основания.

Обозначьте отрезок BC за x, а AD за y, чтобы в дальнейшем было удобно обращаться с формулами и понимать их. Если не сделать этого сразу, можно запутаться.

Выпишите , которые пригодятся при решении поставленной задачи, используя известные данные. Формула площади равнобедренной трапеции: S=((AD+BC)*h)/2. Теорема Пифагора: a*a = h*h +AH*AH .

Вспомните свойство равнобедренной трапеции: высоты, выходящие из вершины трапеции, отсекают равные отрезки на большом основании. Отсюда следует, что два основания можно связать по формуле, вытекающей из этого свойства: AD=BC+2AH или y=x+2AH

Содержимое:

Трапеция – это четырехугольник с двумя параллельными сторонами. Чтобы найти периметр трапеции, нужно сложить длины всех четырех сторон. Зачастую в задачах длины некоторых сторон не даны, но известны другие величины, например, высота или угол трапеции. При помощи известных величин, а также геометрических и тригонометрических правил можно найти неизвестные стороны трапеции.

Шаги

1 По известным боковым сторонам и основаниям

  1. 1 Запишите формулу для вычисления периметра трапеции. Формула: P = T + B + L + R
  2. 2 В формулу подставьте известные длины сторон. Не используйте этот метод, если не даны значения всех четырех сторон.
    • Например, верхнее основание трапеции равно 2 см, нижнее основание равно 3 см, а каждая боковая сторона равна 1 см. В этом случае формула примет следующий вид:
      P = 2 + 3 + 1 + 1 3 Сложите длины сторон. Так вы найдете периметр трапеции.
      • В нашем примере:
        P = 2 + 3 + 1 + 1

        2 По известным высоте, боковым сторонам и верхнему основанию

        1. 2 Обозначьте каждую высоту.
        2. 3 Эта часть равна верхнему основанию (то есть верхней стороне прямоугольника), так как противоположные стороны прямоугольника равны. Не используйте этот метод, если не дано значение верхнего основания.
        3. 4 Формула: a 2 + b 2 = c 2
        4. 5 Боковую сторону трапеции подставьте вместо c 6 Возведите в квадрат известные значения. Затем при помощи вычитания обособьте переменную b 7 Извлеките квадратный корень, чтобы найти b .) Вы найдете основание первого прямоугольного треугольника. Напишите найденное значение под основанием соответствующего треугольника.
          • В нашем примере:
            b 2 = 45 8 Найдите неизвестную сторону второго прямоугольного треугольника. Для этого запишите теорему Пифагора для второго треугольника и действуйте так, как описано выше. Если дана равнобедренная трапеция, у которой боковые стороны равны, то два прямоугольных треугольника являются равными, то есть любая сторона одного треугольника равна соответствующей стороне другого.
            • Например, если вторая боковая сторона трапеции равна 7 см, то формула запишется так:
              a 2 + b 2 = c 2 9 Периметр любого многоугольника равен сумме всех его сторон: P = T + B + L + R

              3 По известным высоте, основаниям и нижним углам

              1. 1 Разбейте трапецию на прямоугольник и два прямоугольных треугольника. Для этого из каждой вершины трапеции проведите высоту.
                • Если одна сторона трапеции перпендикулярна основаниям, вы не сможете получить два прямоугольных треугольника. В этом случае боковая сторона, перпендикулярная основаниям, равна высоте, а трапеция разбивается на прямоугольник и один прямоугольный треугольник.
              2. 2 Обозначьте каждую высоту. Так как высоты являются противоположными сторонами прямоугольника, они равны.
                • Например, высота трапеции равна 6 см. Из вершин трапеции проведите две высоты (к нижнему основанию). Возле каждой высоты напишите «6 см» (без кавычек).
              3. 3 Обозначьте среднюю часть нижнего основания (она является нижней стороной прямоугольника). Эта часть равна верхнему основанию (то есть верхней стороне прямоугольника), так как противоположные стороны прямоугольника равны.
                • Например, если верхнее основание трапеции равно 6 см, то средняя часть нижнего основания также равна 6 см.
              4. 4 Напишите функцию (формулу) синуса угла первого прямоугольного треугольника. Функция: sin ⁡ θ = B H 5 В формулу синуса подставьте известные величины. Вместо противоположной стороны подставьте высоту треугольника. Вы найдете гипотенузу, то есть боковую сторону трапеции.
                • Например, если нижний угол трапеции равен 35 градусов, а высота треугольника равна 6 см, то формула запишется так:
                  sin ⁡ (35) = 6 H 6 Найдите синус угла. Это делается при помощи научного калькулятора, а именно клавиши SIN. Найденное значение подставьте в формулу.
                  • При помощи калькулятора вы найдете, что синус угла в 35 градусов приблизительно равен 0,5738. Таким образом, формула примет следующий вид:
                    0 , 5738 = 6 H 7 Найдите переменную H. Для этого каждую сторону уравнения (формулы) умножьте на Н, а затем каждую сторону уравнения разделите на синус угла. Или просто разделите высоту треугольника на синус угла.
                    • В нашем примере:
                      0 , 5738 = 6 H 8 Найдите гипотенузу второго прямоугольного треугольника. Напишите функцию (формулу) синуса угла второго прямоугольного треугольника: sin ⁡ θ = B H 9 Запишите теорему Пифагора для первого прямоугольного треугольника. Формула: a 2 + b 2 = c 2 10 В формулу подставьте известные величины первого треугольника. Боковую сторону трапеции подставьте вместо c 11 Найдите b 12 Найдите основание второго прямоугольного треугольника. Для этого воспользуйтесь теоремой Пифагора (a 2 + b 2 = c 2 13 Сложите значения всех сторон трапеции. Периметр любого многоугольника равен сумме всех его сторон: P = T + B + L + R или треугольник 90-45-45) существуют формулы, при помощи которых можно найти неизвестные стороны без использования функции синуса или теоремы Пифагора.
                    • Чтобы найти синус угла, воспользуйтесь научным калькулятором – введите угол, а затем нажмите клавишу SIN. Или используйте тригонометрические таблицы.

                    Что вам понадобится

                    • Калькулятор
                    • Карандаш
                    • Бумага

Трапеция - это такой четырехугольник, у которого 2 параллельных основания, а остальные стороны не параллельны друг другу. У прямоугольной трапеции один угол прямой, как вы уже наверняка догадались.

Шаг 1. Формула вычисления периметра прямоугольной трапеции

Периметр прямоугольной трапеции вычисляется с помощью суммирования длин всех сторон, что весьма логично. Тут она от остальных фигур ну ничем не отличается:

Шаг 2. Решение задач на тему определения периметра прямоугольной трапеции

Задача №1

Нужно найти периметр прямоугольной трапеции, когда даны длины всех сторон. Тут всё просто. Складываем все 4 значения , и готово. Это самый лёгкий вариант нахождения периметра. Остальные задачи в итоге всё равно сводятся к нему, но нужно рассмотреть и остальные варианты, интересно же!

Задача №2

Нужно найти периметр всё той же прямоугольной трапеции, но в этом случае мы знаем длину нижнего основания AD , которая равна a . Одна из боковых сторон CD , которая не перпендикулярна ему, равна d . Угол между этим основанием и стороной равен Альфа .

Решение задачи №2

Катеты находятся по таким формулам: CE = CD*sin(ADC) , в свою очередь ED = CD*cos(ADC) . Верхнее основание вычисляется так: BC = AD - ED = a - CD*cos(ADC) = a - d*cos(Альфа) . Длина перпендикулярной стороны считается по формуле: AB = CE = d*sin(Альфа) . После этих действий вы будете обладать драгоценными знаниями о длине всех сторон трапеции.

Задача №3

Требуется найти периметр трапеции, когда даны длины его оснований. AD = a , BC=c . Также мы знаем длину перпендикулярной стороны AB , которая равна b . Острый угол при неперпендикулярной стороне равен Альфа .

Решение задачи №3

Для начала проведите высоту трапеции на большее основание, начало которой будет лежать в вершине С . После этого восхитительного действия мы получаем отрезок CE и делим трапецию на 2 фигуры: прямоугольник ABCE , а также треугольник ECD (прямоугольный). Гипотенузой треугольника в нашем случае будет известная нам сторона CD , один из катетов будет равен перпендикулярной боковой стороне нашей трапеции (опираемся на правило прямоугольника, по которому параллельные стороны равны). Длина другого отрезка будет равна разности оснований трапеции. И опять вроде всё просто.

Для начала снова проводим перпендикуляр CE и так же получаем прямоугольник ABCE вместе с треугольником CED . Осталось найти длину гипотенузы того треугольника, который мы получили, мы с уверенностью можем сказать, что CD = AB/sin(ADC) = b/sin(Альфа) . Мы снова нашли все длины сторон. Осталось только их сложить. Надеемся, вы сможете сделать это без нас.

Похожие публикации