Справочник по теории вероятностей математической статистике. Теория вероятностей и математическая статистика - Кремер Н.Ш

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ

РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«Нижегородский государственный университет

им. Н.И. Лобачевского»

Экономический факультет

Кафедра экономической информатики

СПРАВОЧНИК ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

для студентов экономических специальностей.

для студентов высших учебных заведений, обучающихся

по направлению «Прикладная информатика в экономике»

г.Н.Новгород

Справочник по теории вероятностей для студентов экономических специальностей. – Учебное пособие.

Составитель: Е.Н. Вышинская – Н.Новгород. 2011 – 23 с.

В учебном пособии дана краткая теоретическая справка по дисциплине, основные формулы курса «Теория вероятностей и математическая статистика», рассматривается решение типовых задач по основным темам курса. Пособие обеспечивает методическую поддержку лекций и практических занятий по теории вероятностей и математической статистике для студентов, обучающихся на экономическом факультете по направлению «Прикладная информатика в экономике».

Пособие содержит хорошо структурированный справочный материал, охватывающий разделы, наиболее часто используемые в экономических приложениях. Справочник может использоваться при изучении студентами других дисциплин, таких как «Информационные технологии», «Имитационное моделирование экономических процессов» и т.п.

В пособии рассмотрен широкий круг задач, особое внимание уделено задачам с экономическим содержанием.

Рецензент: доцент, к.т.н. Громницкий В.С.

© Вышинская Е.Н., 2011

© Нижегородский государственный

университет им. Н.И. Лобачевского, 2011

СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ.

Основные понятия:

Испытание - комплекс условий появления какого-либо случайного явления.

Событие - исход испытания.

Частота события - отношение числа наступлений события к числу испытаний.

Вероятность события - мера объективной возможности появления события.

Классификация событий.

Достоверное - событие, которое обязательно наступает при испытании.

Невозможное - событие, которое не может наступить при испытании.

Несовместные события - наступление одного исключает наступление других.

Независимые события - вероятности наступления событий не зависят от наступления других событий.

Полная система событий - совокупность несовместимых событий, хотя бы одно из которых обязательно наступит при испытании.

Если при испытании может наступить только два события и одно из них исключает наступление другого, то они называются противоположными.

Классическое определение вероятности события :

где А - событие, Р(А) - вероятность события, n - число всех исходов (несовместных, единственно возможных и равновозможных), m – число исходов, связанных с наступлением данного события А.

Пример 1.1. Брошены две игральные кости. Найти вероятность того, что сумма очков, выпавших на верхних гранях равна 6.

Решение. А – событие, состоящее в том, что сумма выпавших на двух игральных костях очков равна 6. Согласно классическому определению вероятности события: где n =6 2 =36 – число всех возможных исходов (несовместных, единственно возможных и равновозможных); m =5 (1+5=5+1=2+4=4+2=3+3=6) – все возможные варианты получения в сумме 6 очков при подбрасывании двух игральных костей.

Пример 1.2. В городе имеется одиннадцать различных.коммерческих банков. Господин «N» открыл по одному счету в пяти различных банках. Позднее четыре банка из одиннадцати изменили ставки процентов по вкладам. Найти вероятность того, что по двум вкладам господина ставки остались неизменными.

Решение. Господин выбирал банки случайным образом. Испытание -выбор пяти банков из имеющихся одиннадцати. А - событие состоящее в том, что по двум вкладам господина, из имеющихся пяти, ставки остались неизменными, и, следовательно, по трем другим изменились.

Р(А)= , где n =
=462 - число всех исходов испытания (несовместных, единственно возможных и равновозможных); m =
=21*4=84- число исходов, связанных с наступлением события А (m 1 - число вариантов выбора двух банков, изимеющихся семи, не изменивших ставки процентов, m 2 - число вариантов выбора трех банков, из имеющихся четырех, изменивших ставки процентов).

Пример 1.3 . Номер телефона включает шесть цифр (от ноля до девяти). Найти вероятность того, что случайно набранный номер окажется верным.

Решение. Испытание - набор любых шести цифр, причем каждая из них может быть любой из десяти - от ноля до девяти. А - событие состоящее в том, что случайно набранный номер верен. Р(А)= , где n =10 6 - число всех исходов испытания (несовместимых, единственно возможных и равновозможных); m = 1 – число исходов, связанных с наступлением события А .
.

Пример 1. 4. Из букв разрезной азбуки составлено слово «ананас». Ребенок, не умеющий читать, рассыпал эти буквы, а затем собрал в произвольном порядке. Найти вероятность того, что у него снова получилось исходное слово.

Решение. А – событие, состоящее в том, что случайно собрано слово «ананас». где n =6! – число всех возможных исходов (несовместных, единственно возможных и равновозможных); m = 3!2! – число благоприятных исходов, так как повторяющиеся буквы «а» и «н» можно произвольным образом переставлять между собой.

ОПЕРАЦИИ НАД СОБЫТИЯМИ.

Определения:

Под суммой нескольких событий понимается событие, состоящее в том, что хотя бы одно из суммируемых событий произойдет.

Под произведением нескольких событий понимается событие, состоящее в совместном наступлении всех событий.

Теорема сложения вероятностей несовместных событий:

Следствия:

Теорема сложения вероятностей двух совместных событий:

P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB).

Теорема умножения вероятностей :

где события А i (
) - могут быть, в общем случае, зависимыми; - условные вероятности событий.

Теорема умножения вероятностей независимых событий:

Полная вероятность события:

Если о событии A известно, что оно может появляться только вместе с одним из событий полной системы событий:
то

- полная вероятность события А , формула полной вероятности;

- вероятность «гипотезы», формула Байеса.

Пример 2.1. Два стрелка по очереди стреляют в мишень. Если не попадет один, то начинает стрелять другой. Найти вероятность того, что после трех выстрелов в мишени будет две пробоины; если вероятность попадания в мишень для первого стрелка, начинающего стрельбу - 0.7, для второго - 0.8.

Решение. А i - событие, состоящее в том, что первый стрелок при i-ом выстреле попадет, а - не попадет в цель. В i - событие состоящее в том, что. второй стрелок при i-том выстреле попадет, а - не попадет в цель.

P(А i )=0,7; P(В i )=0,8; P()= 1-0,7 = 0,3; Р() = 1-0,8 = 0,2.

Все события А i ,, В i ,- независимы друг от друга. С- событие, состоящее в том, что после трех выстрелов в мишени будет две пробоины. С помощью теоремы сложения вероятностей несовместных событий и теоремы умножения вероятностей для независимых событий можно найти вероятность данного события.

Пример 2.2. На рынке ценных бумаг предлагались к продаже пакеты акций пяти различных предприятий. Господин «N» приобрел три пакета акций различных предприятий. Два предприятия отказались выплачивать дивиденды по итогам текущего года. Найти вероятность того, что не менее двух пакетов акций принесли дивиденды данному господину.

Решение. Предположим, что господин выбирал пакеты акций случайным образом. Для каждого i-того выбранного пакета может наступить одно из событий: не будут выплачены дивиденды или будут - А i . События А i , - зависимы друг от друга.

Рассмотрим событие В, состоящее в том, что не менее двух пакетов акций из трех (т.е. или два или три) принесут дивиденды данному господину.

По теореме сложения вероятностей несовместных событий:

По теореме умножения вероятностей для зависимых событий и классической. формулы вероятности события можно найти вероятность данного события.

Пример 2.3 . В магазин поступили соответственно 20, 15, и 10 пальто трех различных фирм, Известно, что доля высококачественных изделий среди продукции первой фирмы в среднем составляет 70%, второй -80%, третьей - 60%. Наудачу выбранное пальто оказалось плохим. Найти вероятность того, что оно поставлено второй фирмой.

Решение. Для выбранного пальто могут наступить события: H i - оно поставлено i-той фирмой, A - оно оказалось плохим. Группа событий:
- является полной, причем событие A может появиться только вместе с одним из них. По условию задачи:

Полная вероятность события А :

Выбранное пальто оказалось плохим, наступило событие А . Определим вероятность «гипотезы, состоящей в том, что пальто поставлено в магазин второй фирмой» по формуле Байеса:

Пример 2.4. Имеются две урны. В первой – семь красных шаров и три черных, во второй – три красных и четыре черных. Из первой урны переложили во вторую один шар, затем, перемешав шары, из второй урны переложили в первую один шар. Найти вероятность того, что шар, извлеченный после этого из первой урны, окажется красным. Из первой урны после перекладывания шаров достали наугад красный шар. Какова вероятность того, что количество красных шаров в урне после перекладывания не изменилось?

Решение. Поскольку после перекладывания шаров мы достоверно не знаем сколько в урне находится красных, а сколько черных шаров, то можно выдвинуть гипотезы H i относительно количества красных и черных шаров в первой урне. Всего шаров как было, так и осталось 10, из них число красных могло уменьшиться на один (H 1 ), остаться прежним (H 2 ) или увеличиться на один шар (H 3 ). Событие А – достать из первой урны красный шар. Группа событий: - является полной, причем событие A может появиться только вместе с одним из них. Расчеты в данной задаче можно оформить в виде следующей таблицы:

3. ПОВТОРНЫЕ НЕЗАВИСИМЫЕ ИСПЫТАНИЯ.

Испытания называются независимыми по отношению к некоторому событию А, если вероятность наступления данного события в каждом испытании постоянная и не зависит от результатов других испытаний.

Введем обозначения: Р(А) = р, P () = 1-p = q.

Рассмотрим событие, состоящее в том, что событие А наступит в n независимых испытаниях m раз. Для определения вероятности данного события применяется формула Бернулли:

Пример 3.1. В среднем 20% продукции предприятия изготавливается на экспорт. Найти вероятность того, что из пяти наудачу избранных изделий предприятия на экспорт пойдет: а) три изделия: б) менее двух.

Решение. Событие А состоит в том, что наудачу выбранное изделие пойдет на экспорт. Для всех изделий вероятность данного события одинакова. Р(А)=0,2=р ; P()=0,8 = q . Имеют место независимые повторные испытания, число которых невелико n =5 . Для определения вероятности того, что событие А в серии из n независимых испытаний наступит ровно m раз следует применить формулу Бернулли.

три изделия из выбранных пяти пойдут на экспорт:

менее двух изделий означает либо одно, либо ни одного:

Задач по теории вероятностей и математической статистике: учеб. пособие для вузов. - М.: Высш. шк., 2002 Справочник по теории вероятностей ...

Библиотека > Книги по математике > Теория вероятностей и математическая статистика

Теория вероятностей и математическая статистика

• Агекян Т.А. Основы теории ошибок для астрономов и физиков (2-е изд.). М.: Наука, 1972 (djvu)
• Агекян Т.А. Теория вероятностей для астрономов и физиков. М.: Наука, 1974 (djvu)
• Андерсон Т. Статистический анализ временных рядов. М.: Мир, 1976 (djvu)
• Бакельман И.Я. Вернер А.Л. Кантор Б.Е. Введение в дифференциальную геометрию "в целом". М.: Наука, 1973 (djvu)
• Бернштейн С.Н. Теория вероятностей. М.-Л.: ГИ, 1927 (djvu)
• Биллингсли П. Сходимость вероятностных мер. М.: Наука, 1977 (djvu)
• Бокс Дж. Дженкинс Г. Анализ временных рядов: прогноз и управление. Выпуск 1. М.: Мир, 1974 (djvu)
• Бокс Дж. Дженкинс Г. Анализ временных рядов: прогноз и управление. Выпуск 2. М.: Мир, 1974 (djvu)
• Борель Э. Вероятность и достоверность. М.: Наука, 1969 (djvu)
• Ван дер Варден Б.Л. Математическая статистика. М.: ИЛ, 1960 (djvu)
• Вапник В.Н. Восстановление зависимостей по эмпирическим данным. М.: Наука, 1979 (djvu)
• Вентцель Е.С. Введение в исследование операций. М.: Советское радио, 1964 (djvu)
• Вентцель Е.С. Элементы теории игр (2-е изд.). Серия: Популярные лекции по математике. Выпуск 32. М.: Наука, 1961 (djvu)
• Венцтель Е.С. Теория вероятностей (4-е изд.). М.: Наука, 1969 (djvu)
• Венцтель Е.С., Овчаров Л.А. Теория вероятностей. Задачи и упражнения. М.: Наука, 1969 (djvu)
• Виленкин Н.Я., Потапов В.Г. Задачник-практикум по теории вероятностей с элементами комбинаторики и математической статистики. М.: Просвещение, 1979 (djvu)
• Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике (3-е изд.). М.: Высш. шк., 1979 (djvu)
• Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика (4-е изд.). М.: Высшая школа, 1972 (djvu)
• Гнеденко Б.В., Колмогоров А.Н. Предельные распределения для сумм независимых случайных величин. М.-Л.: ГИТТЛ, 1949 (djvu)
• Гнеденко Б.В., Хинчин А.Я. Элементарное введение в теорию вероятностей (7-е изд.). М.: Наука, 1970 (djvu)
• Дуб Дж.Л. Вероятностные процессы. М.: ИЛ, 1956 (djvu)
• Дэйвид Г. Порядковые статистики. М.: Наука, 1979 (djvu)
• Ибрагимов И.А., Линник Ю.В. Независимые и стационарно связанные величины. М.: Наука, 1965 (djvu)
• Идье В., Драйард Д., Джеймс Ф., Рус М., Садуле Б. Статистические методы в экспериментальной физике. М.: Атомиздат, 1976 (djvu)
• Кассандрова О.Н., Лебедев В.В. Обработка результатов наблюдений. М.: Наука, 1970 (djvu)
• Кац М. Вероятность и смежные вопросы в физике. М.: Мир, 1965 (djvu)
• Кац М. Несколько вероятностных задач физики и математики. М.: Наука, 1967 (djvu)
• Кац М. Статистическая независимость в теории вероятностей, анализе и теории чисел. М.: ИЛ, 1963 (djvu)
• Камалов М.К. Распределение квадратичных форм в выборках из нормальной совокупности. Ташкент: АН УзССР, 1958 (djvu)
• Кендалл М., Моран П. Геометрические вероятности. М.: Наука, 1972 (djvu)
• Кендалл М., Стюарт А. Том. 1. Теория распределений. М.: Наука, 1965 (djvu)
• Кендалл М., Стюарт А. Том 2. Статистические выводы и связи. М.: Наука, 1973 (djvu)
• Кендалл М., Стюарт А. Том 3. Многомерный статистический анализ и временные ряды. М.: Наука, 1976 (djvu)
• Колмогоров А.Н. Основные понятия теории вероятностей (2-е изд.) М.: Наука, 1974 (djvu)
• Колчин В.Ф., Севастьянов Б.А., Чистяков В.П. Случайные размещения. М.: Наука, 1976 (djvu)
• Крамер Г. Математические методы статистики (2-е изд.). М.: Мир, 1976 (djvu)
• Леман Э. Проверка статистических гипотез. М.: Наука. 1979 (djvu)
• Линник Ю.В., Островский И.В. Разложения случайных величин и векторов. М.: Наука, 1972 (djvu)
• Лихолетов И.И., Мацкевич И.П. Руководство к решению задач по высшей математике, теории вероятностей и математической статистике (2-е изд.). Мн.: Выш. школа, 1969 (djvu)
• Лоэв М. Теория вероятностей. М.: ИЛ, 1962 (djvu)
• Малахов A.H. Кумулянтный анализ случайных негауссовых процессов и их преобразований. М.: Сов. радио, 1978 (djvu)
• Мешалкин Л.Д. Сборник задач по теории вероятностей. М.: МГУ, 1963 (djvu)
• Митропольский А.К. Теория моментов. М.-Л.: ГИКСЛ, 1933 (djvu)
• Митропольский А.К. Техника статистических вычислений (2-е изд.). М.: Наука, 1971 (djvu)
• Мостеллер Ф., Рурке Р., Томас Дж. Вероятность. М.: Мир, 1969 (djvu)
• Налимов В.В. Применение математической статистики при анализе вещества. М.: ГИФМЛ, 1960 (djvu)
• Невё Ж. Математические основы теории вероятностей. М.: Мир, 1969 (djvu)
• Престон К. Математика. Новое в зарубежной науке No.7. Гиббсовские состояния на счетных множествах. М.: Мир, 1977

Название : Теория вероятностей и математическая статистика. 2004.

Это не только учебник, но и краткое руководство к решению задач. Излагаемые основы теории вероятностей и математической статистики сопровождаются большим количеством задач (в том числе экономических), приводимых с решениями и для самостоятельной работы. При этом упор делается на основные понятия курса, их теоретико-вероятностный смысл и применение. Приводятся примеры использования вероятностных и математико-статистических методов в задачах массового обслуживания и моделях финансового рынка.

Оглавление
Предисловие 10
Введение 12
Раздел I. Теория вероятностей 15
Глава 1. Основные понятия и теоремы теории вероятностей 16
1.1. Классификация событий 16
1.2. Классическое определение вероятности 18
1.3. Статистическое определение вероятности 20
1.4. Геометрическое определение вероятности 22
1.5. Элементы комбинаторики 24
1.6. Непосредственное вычисление вероятностей 28
1.7. Действия над событиями 34
1.8. Теорема сложения вероятностей 36
1.9. Условная вероятность события. Теорема умножения вероятностей. Независимые события 38
1.10. Решение задач 46
1.11. Формула полной вероятности. Формула Байеса 51
1.12. Теоретико-множественная трактовка основных понятий и аксиоматическое построение теории вероятностей 56
Глава 2. Повторные независимые испытания 68
2.1. Формула Бернулли 68
2.2. Формула Пуассона 71
2.3. Локальная и интегральная формулы Муавра-Лапласа 73
2.4. Решение задач 79
2.5. Полиноминальная схема 83
Глава 3. Случайные величины 89
3.1. Понятие случайной величины. Закон распределения дискретной случайной величины 89
3.2. Математические операции над случайными величинами 93
3.3. Математическое ожидание дискретной случайной величины 97
3.4. Дисперсия дискретной случайной величины 101
3.5. Функция распределения случайной величины 106
3.6. непрерывные случайные величины. Плотность вероятности ПО
3.7. Мода и медиана. Квантили. Моменты случайных величин. Асимметрия и эксцесс 118
3.8. Решение задач 124
Глава 4. Основные законы распределения 144
4.1. Биномиальный закон распределения 144
4.2. Закон распределения Пуассона 148
4.3. Геометрическое распределение 151
4.4. Гипергеометрическое распределе1ше 153
4.5. Равномерный закон распределения 155
4.6. Показательный (экспоненциальной) закон распределения 157
4.7. Нормальный закон распределения 161
4.8. Логарифмически-нормальное распределение 170
4.9. Распределение некоторых случайных величин, представляющих функции нормальных величин 173
Глава 5. Многомерные случайные величины 179
5.1. Понятие многомерной случайной величины и закон ее распределения 179
5.2. Функция распределения многомерной случайной величины 183
5.3. Плотность вероятности двумерной случайной величины 186
5.4. Условные законы распределения. Числовые характеристики двумерной случайной величины. Регрессия 194
5.5. Зависимые и независимые случайные величины 196
5.6. Ковариация и коэффициент корреляции 201
5.7. Двумерный (n-мерный) нормальный закон распределения 208
5.8. Функция случайных величин. Композиция законов распределения 212
Глава 6. Закон больших чисел и предельные теоремы 223
6.1. Неравенство Маркова (лемма Чебышева) 223
6.2. Неравенство Чебышева 225
6.3. Теорема Чебышева 229
6.4. Теорема Бернулли 234
6.5. Центральная предельная теорема 237 Упражнения 242
Глава 7. Элементы теории случайных процессов и теории массового обслуживания 245
7.1. Определение случайного процесса и его характеристики 245
7.2. Основные понятия теории массового обслуживания 248
7.3. Понятие марковского случайного процесса 250
7.4. Потоки событий 252
7.5. Уравнения Колмогорова. Предельные вероятности состояний 256
7.6. Процессы гибели и размножения 261
7.7. СМО с отказами 263
7.8. Понятие о методе статистических испытаний (методе Монте-Карло) 269
Раздел II. Математическая статистика 273
Глава 8. Вариационные ряды и их характеристики 274
8.1. Вариационные ряды и их графическое изображение 274
8.2. Средние величины 280
8.3. Показатели вариации 284
8.4. Упрощенный способ расчета средней арифметической и дисперсии 288
8.5. Начальные и центральные моменты вариационного ряда 290
Глава 9. Основы математической теории выборочного метода 295
9.1. Общие сведения о выборочном методе 295
9.2. Понятие оценки параметров 298
9.3. Методы нахождения оценок 303
9.4. Оценка параметров генеральной совокупности по собственно-случайной выборке 307
9.5. Определение эффективных оценок с помощью неравенства Рао-Крамера-Фреше 316
9.6. Понятие интервального оценивания. Доверительная вероятность и предельная ошибка выборки 319
9.7. Оценка характеристик генеральной совокупности по малой выборке 329
Глава 10. Проверка статистических гипотез 344
10.1. Принцип практической уверенности 344
10.2. Статистическая гипотеза и общая схема ее проверки 345
10.3. Проверка гипотез о равенстве средних двух и более совокупностей 354
10.4. Проверка гипотез о равенстве долей признака в двух и более совокупностях 360
10.5. Проверка гипотез о равенстве дисперсий двух и более совокупностей 363
10.6. Проверка гипотез о числовых значениях параметров 368
10.7. Построение теоретического закона распределения по опытным данным. Проверка гипотез о законе распределения 373
10.8. Проверка гипотез об однородности выборок 383
Глава 11. Дисперсионный анализ 392
11.1. Однофакторный дисперсионный анализ 392
11.2. Понятие о двухфакторном дисперсионном анализе 400
Глава 12. Корреляционный анализ 409
12.1. Функциональная, статистическая и корреляционная зависимости 409
12.2. Линейная парная регрессия 412
12.3. Коэффициент корреляции 421
12.4. Основные положения корреляционного анализа. Двумерная модель 427
12.5. Проверка значимости и интервальная оценка параметров связи 430
12.6. Корреляционное отношение и индекс корреляции 435
12.7. Понятие о многомерном корреляционном анализе. Множественный и частный коэффициенты корреляции 440
12.8. Ранговая корреляция 446
Глава 13. Регрессионный анализ 457
13.1. Основные положения регрессионного анализа. Парная регрессионная модель 457
13.2. Интервальная оценка функции регрессии 459
13.3. Проверка значимости уравнения регрессии. Интервальная оценка параметров парной модели 464
13.4. Нелинейная регрессия 469
13.5. Множествеш1ыи регрессионный анализ 473
13.6. Корреляционная матрица и ее выборочная оценка 482
13.7. Определение доверительных интервалов для коэффициентов и функции регрессии 484
13.8. Оценка взаимосвязи перемешшгх. Проверка значимости уравнения множественной регрессии 488
13.9. Мулътиколлииеарность 492
13.10. Понятие о других методах многомерного статистического анализа 494
Глава 14. Введение в анализ временных рядов 500
14.1. Общие сведения о временных рядах и задачах их анализа 500
14.2. Стационарные временные ряды и их характеристики. Автокорреляционная функция 502
14.3. Аналитическое выравнивание (сглаживание) временного ряда (выделение неслучайной компоненты) 505
14.4. Временные ряды и прогнозирование. Автокорреляция возмущений 510
14.5. Авторегрессионная модель 516
Глава 15. Линейные регрессионные модели финансового рынка 519
15.1. Регрессионные модели 519
15.2. Рыночная модель 521
15.3. Модели зависимости от касательного портфеля 523
15.4. Неравновесные и равновесные модели 526
15.5. Модель оценки финансовых активов (САРМ) 528
15.6. Связь между ожидаемой доходностью и риском оптимального портфеля 529
15.7. Многофакторные модели 530
Библиографический список 533
Ответы к упражнениям 535
Приложения. Математико-статистические таблицы 553
Предметный указатель.

Независимости событий .
Говоря о независимости событий, отметим следующее.
1. В основе независимости событий лежит их физическая независимость, означающая, что множества случайных факторов, приводящих к тому или иному исходу испытания, не пересекаются (или почти не пересекаются). Например, если в цехе имеются две установки, никак не связанные между собой по условиям производства, то простой каждой установки - события независимые. Если эти установки связаны единым технологическим циклом, то простой одной из установок зависит от состояния работы другой.

Вместе с тем, если множества случайных факторов пересекаются, то появляющиеся в результате испытания события не обязательно зависимые.
Пусть, например, рассматриваются события:
А - извлечение наудачу из колоды карты пиковой масти;
В - извлечение наудачу из колоды туза.
Необходимо выяснить, являются ли события А и В зависимыми. На первый взгляд, можно предполагать зависимость событий А и В в силу пересечения случаев, им благоприятствующих: среди карт пиковой масти есть туз, а среди тузов - карта пиковой масти.