Указать однородное дифференциальное уравнение первого порядка. Основные проблемы при изучении
В настоящее время по базовому уровню изучения математики на изучение математики в старших классах предусмотрено всего 4 часа (2 часа алгебры, 2 часа геометрии). В сельских малокомплектных школах стараются увеличить количество часов за счет школьного компонента. Но если класс гуманитарный, то школьный компонент добавляется на изучение предметов гуманитарного направления. В маленьком селе зачастую школьнику выбирать не приходится, он учится в том классе; какой имеется в школе. Становиться же юристом, историком или журналистом (бывают такие случаи) не собирается, а хочет стать инженером или экономистом, поэтому ЕГЭ по математике должен сдать на высокие балы. При таких обстоятельствах, учителю математики приходится находить свой выход из создавшейся ситуации, к тому же по учебнику Колмогорова изучение темы «однородные уравнения» не предусмотрено. В прошлые годы для введения данной темы и закрепления мне требовалось два сдвоенных урока. К сожалению, проверка образовательного надзора у нас запретила сдвоенные уроки в школе, поэтому количество упражнений пришлось сократить до 45 минут, и соответственно уровень сложности упражнений понизить до среднего. Предлагаю вашему вниманию план-конспект урока по данной теме в 10 классе с базовым уровнем изучения математики в сельской мало комплектной школе.
Тип урока : традиционный.
Цель : научиться решать типичные однородные уравнения.
Задачи :
Познавательные :
Развивающие :
Воспитательные :
- Воспитание трудолюбия через терпеливое выполнение заданий, чувства товарищества через работу в парах и группах.
Ход урока
I. Организационный этап (3 мин.)
II. Проверка знаний, необходимых для усвоения нового материала (10 мин.)
Выявить основные затруднения с дальнейшим разбором выполненных заданий. Ребята выполняют по выбору 3 варианта. Задания, дифференцированные по степени сложности и по уровню подготовленности ребят, с последующим объяснением у доски.
1 уровень . Решите уравнения:
- 3(х+4)=12,
- 2(х-15)=2х-30
- 5(2-х)=-3х-2(х+5)
- x 2 -10х+21=0 Ответы: 7;3
2 уровень . Решите простейшие тригонометрические уравнения и биквадратное уравнение:
ответы:
б) x 4 -13x 3 +36=0 Ответы: -2; 2; -3; 3
3 уровень. Решение уравнений методом замены переменных:
б) x 6 -9x 3 +8=0 Ответы:
III. Сообщение темы, установка целей и задач.
Тема: Однородные уравнения
Цель : научиться решать типичные однородные уравнения
Задачи :
Познавательные :
- познакомиться с однородными уравнениями, научиться решать наиболее часто встречаемые виды таких уравнений.
Развивающие :
- Развитие аналитического мышления.
- Развитие математических навыков: научиться выделять основные признаки, по которым однородные уравнения отличаются от других уравнений, уметь устанавливать сходство однородных уравнений в их различных проявлениях.
IV. Усвоение новых знаний (15 мин.)
1. Лекционный момент.
Определение 1 (Записываем в тетрадь). Уравнение вида P(x;y)=0 называется однородным, если P(x;y) однородный многочлен.
Многочлен от двух переменных х и у называют однородным, если степень каждого его члена равна одному и тому же числу к.
Определение 2 (Просто ознакомление). Уравнения вида
называют однородным уравнением степени n относительно u(x) и v(x). Поделив обе части уравнения на (v(x))n, можно с помощью замены получить уравнение
Что позволяет упростить исходное уравнение. Случай v(x)=0 необходимо рассмотреть отдельно, так как на 0 делить нельзя.
2. Примеры однородных уравнений:
Поясните: почему они однородные, приведите свои примеры таких уравнений.
3. Задание на определение однородных уравнений:
Среди заданных уравнений определить однородные уравнения и объяснить свой выбор:
После того как объяснили свой выбор на одном из примеров показать способ решения однородного уравнения:
4. Решить самостоятельно:
Ответ:
б) 2sin x – 3 cos x =0
Разделим обе части уравнения на cos x, получим 2 tg x -3=0, tg x=⅔ , x=arctg⅔ +
5. Показать решение примера из брошюры «П.В. Чулков. Уравнения и неравенства в школьном курсе математики. Москва Педагогический университет «Первое сентября» 2006 стр.22». Как один из возможных примеров ЕГЭ уровня С.
V . Решить для закрепления по учебнику Башмакова
стр 183 № 59 (1,5) или по учебнику под редакцией Колмогорова: стр81 №169 (а, в)
ответы:
VI . Проверочная, самостоятельная работа (7 мин.)
1 вариант | 2 вариант |
Решить уравнения: | |
а) sin 2 x-5sinxcosx+6cos 2 x=0 | а) 3sin 2 x+2sin x cos x-2cos 2 x=0 |
б) cos 2 -3sin 2 =0 |
б) |
Ответы к заданиям:
1 вариант а) Ответ: arctg2+πn,n € Z; б) Ответ: ±π/2+ 3πn,n € Z; в)
2 вариант а) Ответ: arctg(-1±31/2)+πn,n € Z; б) Ответ: -arctg3+πn, 0,25π+πk, ; в) (-5;-2); (5;2)
VII . Домашнее задание
№169 по Колмогорову, №59 по Башмакову.
2) 3sin 2 x+2sin x cos x =2 Указание: в правой части использовать основное тригонометрическое тождество 2(sin 2 x + cos 2 x)
Ответ: arctg(-1±√3) +πn ,
Использованная литература:
- П.В. Чулков. Уравнения и неравенства в школьном курсе математики. – М.: Педагогический университет «Первое сентября», 2006. стр. 22
- А. Мерзляк, В. Полонский, Е. Рабинович, М. Якир. Тригонометрия. – М.: «АСТ-ПРЕСС», 1998, стр. 389
- Алгебра для 8 класса под редакцией Н.Я. Виленкина. – М.: «Просвещение», 1997.
- Алгебра для 9 класса под редакцией Н.Я. Виленкина. Москва «Просвещение», 2001.
- М.И. Башмаков. Алгебра и начала анализа. Для 10-11 классов – М.: «Просвещение» 1993
- Колмогоров, Абрамов, Дудницын. Алгебра и начала анализа. Для 10-11 классов. – М.: «Просвещение», 1990.
- А.Г. Мордкович. Алгебра и начала анализа. Часть 1 Учебник 10-11 классы. – М.: «Мнемозина», 2004.
Однородное дифференциальное уравнение первого порядка
- это уравнение вида
,
где f
- функция.
Как определить однородное дифференциальное уравнение
Для того, чтобы определить, является ли дифференциальное уравнение первого порядка однородным, нужно ввести постоянную t
и заменить y
на ty
и x
на tx
:
y → ty
,
x → tx
.
Если t
сократится, то это однородное дифференциальное уравнение
. Производная y′
при таком преобразовании не меняется.
.
Пример
Определить, является ли данное уравнение однородным
Решение
Делаем замену y → ty
,
x → tx
.
Делим на t 2
.
.
Уравнение не содержит t
.
Следовательно, это однородное уравнение.
Метод решения однородного дифференциального уравнения
Однородное дифференциальное уравнение первого порядка приводится к уравнению с разделяющимися переменными с помощью подстановки y = ux
.
Покажем это. Рассмотрим уравнение:
(i)
Делаем подстановку:
y = ux
,
где u
- функция от x
.
Дифференцируем по x
:
y′ =
Подставляем в исходное уравнение (i)
.
,
,
(ii)
.
Разделяем переменные. Умножаем на dx
и делим на x ( f(u)
- u )
.
При f(u)
- u ≠ 0
и x ≠ 0
получаем:
Интегрируем:
Таким образом, мы получили общий интеграл уравнения (i)
в квадратурах:
Заменим постоянную интегрирования C
на ln
C
,
тогда
Опустим знак модуля, поскольку нужный знак определяется выбором знака постоянной C
.
Тогда общий интеграл примет вид:
Далее следует рассмотреть случай f(u)
- u = 0
.
Если это уравнение имеет корни, то они являются решением уравнения (ii)
. Поскольку уравнение (ii)
не совпадает с исходным уравнением, то следует убедиться, что дополнительные решения удовлетворяют исходному уравнению (i)
.
Всякий раз, когда мы, в процессе преобразований, делим какое либо уравнение на некоторую функцию, которую обозначим как g(x, y) , то дальнейшие преобразования справедливы при g(x, y) ≠ 0 . Поэтому следует отдельно рассматривать случай g(x, y) = 0 .
Пример решения однородного дифференциального уравнения первого порядка
Решить уравнение
Решение
Проверим, является ли данное уравнение однородным. Делаем замену y → ty
,
x → tx
.
При этом y′ → y′
.
,
,
.
Сокращаем на t
.
Постоянная t
сократилась. Поэтому уравнение является однородным.
Делаем подстановку y = ux
,
где u
- функция от x
.
y′ = (ux)
′ = u′ x + u (x)
′ = u′ x + u
Подставляем в исходное уравнение.
,
,
,
.
При x ≥ 0
,
|x| = x
.
При x ≤ 0
,
|x| = - x
.
Мы пишем |x| = ± x
подразумевая, что верхний знак относится к значениям x ≥ 0
,
а нижний - к значениям x ≤ 0
.
,
Умножаем на ± dx
и делим на .
При u 2 - 1 ≠ 0
имеем:
Интегрируем:
Интегралы табличные ,
.
Применим формулу:
(a + b)(a - b)
= a 2
- b 2
.
Положим a = u
,
.
.
Возьмем обе части по модулю и логарифмируем,
.
Отсюда
.
Таким образом имеем:
,
.
Опускаем знак модуля, поскольку нужный знак обеспечивается выбором знака постоянной C
.
Умножаем на x
и подставляем ux = y
.
,
.
Возводим в квадрат.
,
,
.
Теперь рассмотрим случай, u 2 - 1 = 0
.
Корни этого уравнения
.
Легко убедиться, что функции y = ± x
удовлетворяют исходному уравнению.
Ответ
,
,
.
Использованная литература:
Н.М. Гюнтер, Р.О. Кузьмин, Сборник задач по высшей математике, «Лань», 2003.
Функция f(x,y) называется однородной функцией своих аргументов измерения n , если справедливо тождество f(tx,ty) \equiv t^nf(x,y) .
Например, функция f(x,y)=x^2+y^2-xy есть однородная функция второго измерения, так как
F(tx,ty)=(tx)^2+(ty)^2-(tx)(ty)=t^2(x^2+y^2-xy)=t^2f(x,y).
При n=0 имеем функцию нулевого измерения. Например, \frac{x^2-y^2}{x^2+y^2} есть однородная функция нулевого измерения, так как
{f(tx,ty)=\frac{(tx)^2-(ty)^2}{(tx)^2+(ty)^2}=\frac{t^2(x^2-y^2)}{t^2(x^2+y^2)}=\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}=f(x,y).}
Дифференциальное уравнение вида \frac{dy}{dx}=f(x,y) называется однородным относительно x и y , если f(x,y) есть однородная функция своих аргументов нулевого измерения. Однородное уравнение всегда можно представить в виде
\frac{dy}{dx}=\varphi\!\left(\frac{y}{x}\right).
Вводя новую искомую функцию u=\frac{y}{x} , уравнение (1) можно привести к уравнению с разделяющими переменными:
X\frac{du}{dx}=\varphi(u)-u.
Если u=u_0 есть корень уравнения \varphi(u)-u=0 , то решение однородного уравнения будет u=u_0 или y=u_0x (прямая, проходящая через начало координат).
Замечание. При решении однородных уравнений необязательно приводить их к виду (1). Можно сразу делать подстановку y=ux .
Пример 1. Решить однородное уравнение xy"=\sqrt{x^2-y^2}+y .
Решение. Запишем уравнение в виде y"=\sqrt{1-{\left(\frac{y}{x}\right)\!}^2}+\frac{y}{x} так что данное уравнение оказывается однородным относительно x и y . Положим u=\frac{y}{x} , или y=ux . Тогда y"=xu"+u . Подставляя в уравнение выражения для y и y" , получаем x\frac{du}{dx}=\sqrt{1-u^2} . Разделяем переменные: \frac{du}{1-u^2}=\frac{dx}{x} . Отсюда интегрированием находим
\arcsin{u}=\ln|x|+\ln{C_1}~(C_1>0) , или \arcsin{u}=\ln{C_1|x|} .
Так как C_1|x|=\pm{C_1x} , то, обозначая \pm{C_1}=C , получаем \arcsin{u}=\ln{Cx} , где |\ln{Cx}|\leqslant\frac{\pi}{2} или e^{-\pi/2}\leqslant{Cx}\leqslant{e^{\pi/2}} . Заменяя u на \frac{y}{x} , будем иметь общий интеграл \arcsin{y}{x}=\ln{Cx} .
Отсюда общее решение: y=x\sin\ln{Cx} .
При разделении переменных мы делили обе части уравнения на произведение x\sqrt{1-u^2} , поэтому могли потерять решение, которые обращают в ноль это произведение.
Положим теперь x=0 и \sqrt{1-u^2}=0 . Но x\ne0 в силу подстановки u=\frac{y}{x} , а из соотношения \sqrt{1-u^2}=0 получаем, что 1-\frac{y^2}{x^2}=0 , откуда y=\pm{x} . Непосредственной проверкой убеждаемся, что функции y=-x и y=x также являются решениями данного уравнения.
Пример 2. Рассмотреть семейство интегральных кривых C_\alpha однородного уравнения y"=\varphi\!\left(\frac{y}{x}\right) . Показать, что касательные в соответственных точках к кривым, определяемым этим однородным дифференциальным уравнением, параллельны между собой.
Примечание: Будем называть соответственными те точки на кривых C_\alpha , которые лежат на одном луче, выходящем из начала координат.
Решение. По определению соответственных точек имеем \frac{y}{x}=\frac{y_1}{x_1} , так что в силу самого уравнения y"=y"_1 , где y" и y"_1 - угловые коэффициенты касательных к интегральным кривым C_\alpha и C_{\alpha_1} , в точках M и M_1 соответственно (рис. 12).
Уравнения, приводящиеся к однородным
А. Рассмотрим дифференциальное уравнение вида
\frac{dy}{dx}=f\!\left(\frac{ax+by+c}{a_1x+b_1y+c_1}\right).
где a,b,c,a_1,b_1,c_1 - постоянные, а f(u) - непрерывная функция своего аргумента u .
Если c=c_1=0 , то уравнение (3) является однородным и оно интегрируется, как указано выше.
Если хотя бы одно из чисел c,c_1 отлично от нуля, то следует различать два случая.
1) Определитель \Delta=\begin{vmatrix}a&b\\a_1&b_1\end{vmatrix}\ne0 . Вводя новые переменные \xi и \eta по формулам x=\xi+h,~y=\eta+k , где h и k - пока неопределенные постоянные, приведем уравнение (3) к виду
\frac{d\eta}{d\xi}=f\!\left(\frac{a\xi+b\eta+ah+bk+c}{a_1\xi+b_2\eta+a_1h+b_1k+c_1}\right).
Выбирая h и k как решение системы линейных уравнений
\begin{cases}ah+bk+c=0,\\a_1h+b_1k+c_1=0\end{cases}~(\Delta\ne0),
получаем однородное уравнение \frac{d\eta}{d\xi}=f\!\left(\frac{a\xi+b\eta}{a_1\xi+b_1\eta}\right) . Найдя его общий интеграл и заменив в нем \xi на x-h , a \eta на y-k , получаем общий интеграл уравнения (3).
2) Определитель \Delta=\begin{vmatrix}a&b\\a_1&b_1\end{vmatrix}=0 . Система (4) в общем случае не имеет решений и изложенный выше метод неприменим; в этом случае \frac{a_1}{a}=\frac{b_1}{b}=\lambda , и, следовательно, уравнение (3) имеет вид \frac{dy}{dx}=f\!\left(\frac{ax+by+c}{\lambda(ax+by)+c_1}\right) . Подстановка z=ax+by приводит его к уравнению с разделяющимися переменными.
Пример 3. Решить уравнение (x+y-2)\,dx+(x-y+4)\,dy=0 .
Решение. Рассмотрим систему линейных алгебраических уравнений \begin{cases}x+y-2=0,\\x-y+4=0.\end{cases}
Определитель этой системы \Delta=\begin{vmatrix}\hfill1&\hfill1\\\hfill1&\hfill-1\end{vmatrix}=-2\ne0 .
Система имеет единственное решение x_0=-1,~y_0=3 . Делаем замену x=\xi-1,~y=\eta+3 . Тогда уравнение (5) примет вид
(\xi+\eta)\,d\xi+(\xi-\eta)\,d\eta=0.
Это уравнение является однородным уравнением. Полагая \eta=u\xi , получаем
(\xi+\xi{u})\,d\xi+(\xi-\xi{u})(\xi\,du+u\,d\xi)=0 , откуда (1+2u-u^2)\,d\xi+\xi(1-u)\,du=0 .
Разделяем переменные \frac{d\xi}{\xi}+\frac{1-u}{1+2u-u^2}\,du=0.
Интегрируя, найдем \ln|\xi|+\frac{1}{2}\ln|1+2u-u^2|=\ln{C} или \xi^2(1+2u-u^2)=C .
Возвращаемся к переменным x,~y :
(x+1)^2\left=C_1 или x^2+2xy-y^2-4x+8y=C~~(C=C_1+14).
Пример 4. Решить уравнение (x+y+1)\,dx+(2x+2y-1)\,dy=0 .
Решение. Система линейных алгебраических уравнений \begin{cases}x+y+1=0,\\2x+2y-1=0\end{cases} несовместна. В этом случае метод, примененный в предыдущем примере, не подходит. Для интегрирования уравнения применяем подстановку x+y=z , dy=dz-dx . Уравнение примет вид
(2-z)\,dx+(2z-1)\,dz=0.
Разделяя переменные, получаем
Dx-\frac{2z-1}{z-2}\,dz=0 отсюда x-2z-3\ln|z-2|=C.
Возвращаясь к переменным x,~y , получаем общий интеграл данного уравнения
X+2y+3\ln|x+y-2|=C.
Б. Иногда уравнение можно привести к однородному заменой переменного y=z^\alpha . Это имеет место в том случае, когда в уравнении все члены оказываются одинакового измерения, если переменному x приписать измерение 1, переменному y - измерение \alpha и производной \frac{dy}{dx} - измерение \alpha-1 .
Пример 5. Решить уравнение (x^2y^2-1)\,dy+2xy^3\,dx=0 .
Решение. Делаем подстановку y=z^\alpha,~dy=\alpha{z^{\alpha-1}}\,dz , где \alpha пока произвольное число, которое мы выберем позже. Подставляя в уравнение выражения для y и dy , получим
\alpha(x^2x^{2\alpha}-1)z^{\alpha-1}\,dz+2xz^{3\alpha}\,dx=0 или \alpha(x^2z^{3\alpha-1}-z^{\alpha-1})\,dz+2xz^{3\alpha}\,dx=0,
Заметим, что x^2z^{3\alpha-1} имеет измерение 2+3\alpha-1=3\alpha+1, z^{\alpha-1} имеет измерение \alpha-1 , xz^{3\alpha} имеет измерение 1+3\alpha . Полученное уравнение будет однородным, если измерения всех членов одинаковы, т.е. если выполняется условие 3\alpha+1=\alpha-1 , или \alpha-1 .
Положим y=\frac{1}{z} ; исходное уравнение принимает вид
\left(\frac{1}{z^2}-\frac{x^2}{z^4}\right)dz+\frac{2x}{z^3}\,dx=0 или (z^2-x^2)\,dz+2xz\,dx=0.
Положим теперь z=ux,~dz=u\,dx+x\,du . Тогда это уравнение примет вид (u^2-1)(u\,dx+x\,du)+2u\,dx=0 , откуда u(u^2+1)\,dx+x(u^2-1)\,du=0 .
Разделяем переменные в этом уравнении \frac{dx}{x}+\frac{u^2-1}{u^3+u}\,du=0 . Интегрируя, найдем
\ln|x|+\ln(u^2+1)-\ln|u|=\ln{C} или \frac{x(u^2+1)}{u}=C.
Заменяя u через \frac{1}{xy} , получаем общий интеграл данного уравнения 1+x^2y^2=Cy.
Уравнение имеет еще очевидное решение y=0 , которое получается из общего интеграла при C\to\infty , если интеграл записать в виде y=\frac{1+x^2y^2}{C} , а затем перейти к пределу при C\to\infty . Таким образом, функция y=0 является частным решением исходного уравнения.
В вашем браузере отключен Javascript.Чтобы произвести расчеты, необходимо разрешить элементы ActiveX!
Однородные
На данном уроке мы рассмотрим так называемые однородные дифференциальные уравнения первого порядка . Наряду с уравнениями с разделяющимися переменными и линейными неоднородными уравнениями этот тип ДУ встречается практически в любой контрольной работе по теме диффуров. Если Вы зашли на страничку с поисковика или не очень уверенно ориентируетесь в дифференциальных уравнениях, то сначала настоятельно рекомендую проработать вводный урок по теме – Дифференциальные уравнения первого порядка . Дело в том, что многие принципы решения однородных уравнений и используемые технические приемы будут точно такими же, как и для простейших уравнений с разделяющимися переменными.
В чём отличие однородных дифференциальных уравнений от других типов ДУ? Это проще всего сразу же пояснить на конкретном примере.
Пример 1
Решение:
Что в первую очередь
следует проанализировать при решении любого
дифференциального уравнения первого порядка
? В первую очередь необходимо проверить, а нельзя ли сразу разделить переменные с помощью «школьных» действий? Обычно такой анализ проводят мысленно или пытаются разделить переменные на черновике.
В данном примере переменные разделить нельзя (можете попробовать поперекидывать слагаемые из части в часть, повыносить множители за скобки и т.д.). Кстати, в данном примере, тот факт, что переменные разделить нельзя, достаточно очевиден ввиду наличия множителя .
Возникает вопрос – как же решить этот диффур?
Нужно проверить, а не является ли данное уравнение однородным ? Проверка несложная, и сам алгоритм проверки можно сформулировать так:
В исходное уравнение:
вместо подставляем , вместо подставляем , производную не трогаем :
Буква лямбда – это условный параметр, и здесь он играет следующую роль: если в результате преобразований удастся «уничтожить» ВСЕ лямбды и получить исходное уравнение, то данное дифференциальное уравнение является однородным .
Очевидно, что лямбды сразу сокращаются в показателе степени:
Теперь в правой части выносим лямбду за скобки:
и обе части делим на эту самую лямбду:
В результате все лямбды исчезли как сон, как утренний туман, и мы получили исходное уравнение.
Вывод: Данное уравнение является однородным
Как решить однородное дифференциальное уравнение?
У меня очень хорошая новость. Абсолютно все однородные уравнения можно решить с помощью одной-единственной (!) стандартной замены.
Функцию «игрек» следует заменить произведением некоторой функции (тоже зависящей от «икс») и «икса»:
Почти всегда пишут коротко:
Выясняем, во что превратится производная при такой замене, используем правило дифференцирования произведения. Если , то:
Подставляем и в исходное уравнение :
Что даст такая замена? После данной замены и проведенных упрощений мы гарантировано получим уравнение с разделяющимися переменными. ЗАПОМИНАЕМ как первую любовь:) и, соответственно, .
После подстановки проводим максимальные упрощения:
Поскольку – это функция, зависящая от «икс», то её производную можно записать стандартной дробью: .
Таким образом:
Разделяем переменные, при этом в левой части нужно собрать только «тэ», а в правой части – только «иксы»:
Переменные разделены, интегрируем:
Согласно моему первому техническому совету из статьи Дифференциальные уравнения первого порядка
константу во многих случаях целесообразно «оформить» в виде логарифма.
После того, как уравнение проинтегрировано, нужно провести обратную замену
, она тоже стандартна и единственна:
Если , то
В данном случае:
В 18-19 случаях из 20 решение однородного уравнения записывают в виде общего интеграла .
Ответ: общий интеграл:
Почему почти всегда ответ однородного уравнения даётся в виде общего интеграла?
В большинстве случаев невозможно выразить «игрек» в явном виде (получить общее решение), а если и возможно, то чаще всего общее решение получается громоздким и корявым.
Так, например, в рассмотренном примере, общее решение получить можно, навешиваем логарифмы на обе части общего интеграла:
– ну, еще куда ни шло. Хотя, согласитесь, все равно кривовато.
Кстати, в данном примере я не совсем «прилично» записал общий интеграл. Это не ошибка , но в «хорошем» стиле, напоминаю, общий интеграл принято записывать в виде . Для этого сразу после интегрирования уравнения, константу следует записать без всякого логарифма (вот и исключение из правила!) :
И после обратной замены получить общий интеграл в «классическом» виде:
Полученный ответ можно проверить. Для этого нужно продифференцировать общий интеграл, то есть найти производную от функции, заданной неявно
:
Избавляемся от дробей, умножая каждую часть уравнения на :
Получено исходное дифференциальное уравнение, значит, решение найдено правильно.
Желательно всегда проводить проверку. Но однородные уравнения неприятны тем, что проверять их общие интегралы обычно трудно – для этого необходима весьма и весьма приличная техника дифференцирования. В рассмотренном примере в ходе проверки уже пришлось находить не самые простые производные (хотя сам по себе пример достаточно простой). Если сможете проверить – проверяйте!
Пример 2
Проверить уравнение на однородность и найти его общий интеграл.
Ответ записать в виде
Это пример для самостоятельного решения – чтобы вы освоились в самом алгоритме действий. Проверку проведёте на досуге, т.к. здесь она достаточно сложнА, и я даже не стал её приводить, а то вы больше не придёте к такому маньяку:)
А теперь обещанный важный момент, упомянутый ещё в самом начале темы,
выделю жирными чёрными буквами:
Если в ходе преобразований мы «сбрасываем» множитель (не константу) в знаменатель, то РИСКУЕМ потерять решения!
И на самом деле с этим мы столкнулись в первом же примере вводного урока о дифференциальных уравнениях . В процессе решения уравнения «игрек» оказался в знаменателе: , но , очевидно, является решением ДУ и в результате неравносильного преобразования (деления) есть все шансы его потерять! Другое дело, что оно вошло в общее решение при нулевом значении константы. Сброс «икса» в знаменатель тоже можно не принимать во внимание, т.к. не удовлетворяет исходному диффуру.
Аналогичная история с третьим уравнением того же урока, в ходе решения которого мы «сбросили» в знаменатель. Строго говоря, здесь следовало проверить, а не является ли решением данного диффура? Ведь является! Но и тут «всё обошлось», поскольку эта функция вошла в общий интеграл при .
И если с «разделяющимися» уравнениями такое часто;) «прокатывает», то с однородными и некоторыми другими диффурами может и «не прокатить». С высокой вероятностью.
Проанализируем уже прорешанные задачи этого урока: в Примере 1 был «сброс» икса, однако не может быть решением уравнения . А вот в Примере 2 мы разделили на , но это тоже «сошло с рук»: поскольку , то решения потеряться не могли, их тут попросту нет. Но «счастливые случаи» я, конечно же, устроил специально, и не факт, что на практике попадутся именно они:
Пример 3
Решить дифференциальное уравнение
Не правда ли простой пример? ;-)
Решение: однородность этого уравнения очевидна, но всё равно – на первом шаге ОБЯЗАТЕЛЬНО проверяем, нельзя ли разделить переменные . Ибо уравнение тоже однородно, но переменные в нём преспокойно разделяются. Да, бывают и такие!
После проверки на «разделяемость» проводим замену и максимально упрощаем уравнение:
Разделяем переменные, слева собираем «тэ», справа – «иксы»:
И вот здесь СТОП. При делении на мы рискуем потерять сразу две функции. Так как , то это функции:
Первая функция, очевидно, является решением уравнения . Проверяем вторую – подставляем и её производную в наш диффур:
– получено верное равенство, значит, функция является решением.
И эти решения мы рискуем потерять .
Кроме того, в знаменателе оказался «икс», однако замена подразумевает, что он не равен нулю. Запомните это факт. Но! Обязательно проверяем , является ли решением ИСХОДНОГО дифференциального уравнения. Нет, не является.
Берём всё это на заметку и продолжаем:
Надо сказать, с интегралом левой части повезло, бывает гораздо хуже.
Собираем в правой части единый логарифм, и сбрасываем оковы:
И вот только теперь обратная замена :
Умножим все слагаемые на :
Теперь следует проверить – вошли ли в общий интеграл «опасные» решения . Да, оба решения вошли в общий интеграл при нулевом значении константы: , поэтому их не нужно дополнительно указывать в ответе :
общий интеграл:
Проверка
. Даже не проверка, а сплошное удовольствие:)
Получено исходное дифференциальное уравнение, значит, решение найдено верно.
Для самостоятельного решения:
Пример 4
Выполнить проверку на однородность и решить дифференциальное уравнение
Общий интеграл проверить дифференцированием.
Полное решение и ответ в конце урока.
Рассмотрим пару примеров, когда однородное уравнение задано с готовыми дифференциалами.
Пример 5
Решить дифференциальное уравнение
Это очень интересный пример, прямо целый триллер!
Решение будем привыкать оформлять компактнее. Сначала мысленно либо на черновике убеждаемся в том, что переменные тут разделить нельзя, после чего проводим проверку на однородность – на чистовике её обычно не проводят (если специально не требуется) . Таким образом, почти всегда решение начинается с записи: «Данное уравнение является однородным, проведем замену: … ».
Если однородное уравнение содержит готовые дифференциалы, то его можно решить модифицированной заменой:
Но я не советую использовать такую подстановку, поскольку получится Великая китайская стена дифференциалов, где нужен глаз да глаз. С технической точки зрения выгоднее перейти к «штриховому» обозначению производной, для этого делим все члены уравнения на :
И уже здесь мы совершили «опасное» преобразование!
Нулевому дифференциалу соответствует – семейство прямых, параллельных оси . Являются ли они корнями нашего ДУ? Подставим и в исходное уравнение:
Данное равенство справедливо, если , то есть, при делении на мы рисковали потерять решение , и мы его потеряли – так как оно уже не удовлетворяет полученному уравнению .
Следует заметить, что если бы нам изначально было дано уравнение , то о корне речи бы не шло. Но у нас он есть, и мы его вовремя «отловили».
Продолжаем решение стандартной заменой :
:
После подстановки максимально упрощаем уравнение:
Разделяем переменные:
И вот здесь снова СТОП: при делении на мы рискуем потерять две функции. Так как
, то это функции:
Очевидно, что первая функция является решением уравнения . Проверяем вторую – подставляем и её производную :
– получено верное равенство
, значит, функция тоже является решением дифференциального уравнения.
И при делении на мы эти решения рискуем потерять. Впрочем, они могут войти в общий интеграл. Но могут и не войти
Берём это на заметку и интегрируем обе части:
Интеграл левой части стандартно решается с помощью выделения полного квадрата , но в диффурах гораздо удобнее использовать метод неопределенных коэффициентов :
Используя метод неопределенных коэффициентов, разложим подынтегральную функцию в сумму элементарных дробей:
Таким образом:
Находим интегралы:
– так как у нас нарисовались одни логарифмы, то константу тоже заталкиваем под логарифм.
Перед обратной заменой снова упрощаем всё, что можно упростить
:
Сбрасываем цепи:
И обратная замена
:
Теперь вспоминаем о «потеряшках»: решение вошло в общий интеграл при , а вот – «пролетело мимо кассы», т.к. оказалось в знаменателе. Поэтому в ответе оно удостаивается отдельной фразы, и да – не забываем о потерянном решении , которое, к слову, тоже оказалось внизу.
Ответ: общий интеграл: . Ещё решения:
Здесь не так трудно выразить общее решение:
, но это уже понты.
Удобные, впрочем, для проверки. Найдём производную:
и подставим в левую часть уравнения:
– в результате получена правая часть уравнения, что и требовалось проверить.
Следующий диффур – самостоятельно:
Пример 6
Решить дифференциальное уравнение
Полное решение и ответ в конце урока. Попробуйте заодно для тренировки и здесь выразить общее решение.
В заключительной части урока рассмотрим еще пару характерных задач по теме:
Пример 7
Решить дифференциальное уравнение
Решение:
Идём проторенной дорогой. Данное уравнение является однородным, проведем замену :
С «иксом» тут всё в порядке, но вот что с квадратным трёхчленом? Поскольку он неразложим на множители : , то решений мы точно не теряем. Всегда бы так! Выделяем в левой части полный квадрат и интегрируем:
Упрощать тут нечего, а посему обратная замена :
Ответ: общий интеграл:
Пример 8
Решить дифференциальное уравнение
Это пример для самостоятельного решения.
Итак :
При неравносильных преобразованиях ВСЕГДА проверяйте (по крайне мере, устно) , не теряете ли вы решения! Какие это преобразования? Как правило, сокращение на что-то или деление на что-то. Так, например, при делении на нужно проверить, являются ли функции решениями дифференциального уравнения. В то же время при делении на необходимость в такой проверке уже отпадает – по причине того, что этот делитель не обращается в ноль.
Вот ещё одна опасная ситуация:
Здесь, избавляясь от , следует проверить, не является ли решением ДУ. Часто в качестве такого множителя встречается «икс», «игрек», и сокращая на них, мы теряем функции , которые могут оказаться решениями.
С другой стороны, если что-то ИЗНАЧАЛЬНО находится в знаменателе, то повода для такого беспокойства нет. Так, в однородном уравнении можно не беспокоиться о функции , так как она «заявлена» в знаменателе.
Перечисленные тонкости не теряют актуальность, даже если в задаче требуется найти только частное решение. Существует пусть маленький, но шанс, что мы потеряем именно требуемое частное решение. Правда задача Коши в практических заданиях с однородными уравнениями запрашивается довольно редко. Тем не менее, такие примеры есть в статье Уравнения сводящиеся к однородным , которую я рекомендую изучить «по горячим следам» чтобы закрепить свои навыки решения.
Существуют и более сложные однородные уравнения. Сложность состоит не в замене переменной или упрощениях, а в достаточно трудных или редких интегралах, которые возникают в результате разделения переменных. У меня есть примеры решений таких однородных уравнений – страшненькие интегралы и страшненькие ответы. Но о них не будем, потому что на ближайших уроках (см. ниже) ещё успею вас замучить я хочу вас видеть свежими и оптимистичными!
Успешного продвижения!
Решения и ответы:
Пример 2: Решение:
проверим уравнение на однородность, для этого в исходное уравнение вместо
подставим , а вместо
подставим :
В результате получено исходное уравнение, значит, данное ДУ является однородным.