Математическое выражение теоремы штейнера имеет вид формула. Теорема штейнера или теорема параллельных осей для вычисления момента инерции

Вавилов Сергей Иванович
Родился: 12 (24) марта 1891 года.
Умер: 25 января 1951 года.

Биография

Сергей Иванович Вавилов (12 (24) марта 1891, Москва - 25 января 1951, Москва) - советский физик, основатель научной школы физической оптики в СССР, действительный член (1932) и президент Академии наук СССР (1945-1951), общественный деятель и популяризатор науки. Лауреат четырёх Сталинских премий (1943, 1946, 1951; 1952 посмертно). Младший брат Н. И. Вавилова, советского учёного-генетика.

Сергей Вавилов родился 12 (24) марта 1891 года в Москве в семье богатого фабриканта обуви, гласного Московской городской думы Ивана Ильича Вавилова (1863-1928). Учился в коммерческом училище на Остоженке, затем, с 1909 года, на физико-математическом факультете Московского университета, который окончил в 1914 году. Во время Первой мировой войны С. И. Вавилов служил в различных инженерных частях. В 1914 году он поступил вольноопределяющимся в 25-й сапёрный батальон Московского военного округа. На фронте Сергей Вавилов закончил экспериментально-теоретическую работу под названием «Частоты колебаний нагруженной антенны».

В 1918 - 1932 годах преподавал физику в Московском высшем техническом училище (МВТУ, доцент, профессор), в Московском высшем зоотехническом институте (МВЗИ, профессор) и в Московском государственном университете (МГУ, профессор, заведующий кафедрой). Параллельно в это же время заведовал отделением физической оптики в Институте физики и биофизики Наркомздрава РСФСР.

В 1931 году избран членом-корреспондентом, в 1932 году действительным членом, в 1945 - Президентом Академии наук СССР.

Работа в ГОИ

В сентябре 1932 года Вавилов был назначен научным руководителем ГОИ и оставался им вплоть до избрания в 1945 году президентом АН СССР. Внёс большой вклад в научную деятельность института, организовал и возглавил лабораторию люминесцентного анализа, которой руководил до последних дней жизни. Активно участвовал в развитии оптико-механической промышленности страны и ГОИ как отраслевого научного центра. Отстаивал необходимость тесной связи науки и производства, выступал против деления науки на «большую» и «малую».

Директор ФИАН

Летом 1932 года по предложению вице-президента АН СССР В. Л. Комарова Вавилов возглавил Физический отдел небольшого, расположенного в Ленинграде, Физико-математического института АН СССР. Весь штат института составлял в то время менее 10 сотрудников. В апреле 1934 года институт был разделён на два самостоятельных - Физический институт АН СССР (ФИАН), которому по предложению Вавилова было присвоено имя П. Н. Лебедева, и МИАН имени В. А. Стеклова. Несмотря на переезд ФИАНа в августе 1934 года в Москву, его директором был назначен Вавилов. Он пригласил для работы в институте уже известных к тому времени физиков - Д. И. Блохинцева, В. И. Векслера, Г. С. Ландсберга, В. Л. Лёвшина, М. А. Леонтовича, Л. И. Мандельштама, П. А. Ребиндера, С. Н. Ржевкина, И. Е. Тамма и ряд других, возглавивших созданные лаборатории по актуальным направлениям физики. Также, как и в ГОИ, Вавилов организовал в ФИАНе под своим руководством лабораторию люминесценции.

В 1940 году С. И. Вавилов узнал об аресте своего брата - Н. И. Вавилова. В связи с этим он добился приёма у В. М. Молотова и Л. П. Берия с целью освободить брата из-под ареста. Однако, Н. И. Вавилов не был освобождён и 26 января 1943 года умер в Саратовской тюрьме. С. И. Вавилов узнал о смерти брата 5 июля 1943 года из телеграммы Олега, сына Н. И. Вавилова. Официальное извещение он получил от НКВД только 26 октября 1943 года.

1941-1945

Во время Великой Отечественной войны Сергей Вавилов был в эвакуации в Йошкар-Оле. В июне 1943 года он был назначен уполномоченным ГКО СССР по развитию и координации научной работы в области инфракрасной техники. В связи с 300-летием со дня рождения Исаака Ньютона, отмечавшимся в январе 1943 года, С. И. Вавиловым написаны его научная биография и исследование «Эфир, свет и вещество в физике Ньютона», переведены с латинского «Лекции по оптике».

Президент Академии наук СССР (1945-1951)

17 июля 1945 года избран президентом Академии наук СССР, сменив на этом посту В. Л. Комарова. 6 марта 1947 года вошёл в первый состав учёного совета физико-технического факультета МГУ (в дальнейшем - МФТИ).

С. И. Вавилов был популяризатором науки, инициатором создания Всесоюзного общества по распространению политических и научных знаний и первым его председателем (1947-1951); во многом именно его усилиями имя М. В. Ломоносова утвердилось как символ российской науки, по его предложению в структуре АН СССР был организован музей М. В. Ломоносова.

Главный редактор Полного собрания сочинений М. В. Ломоносова в десяти томах (1950-1957; 11 том вышел в 1983 году).

Главный редактор второго издания Большой советской энциклопедии (1-7 тома; 1949-1951).

Депутат ВС РСФСР (1938-1947). Депутат ВС СССР от Ленинского района Москвы (1946-1951).

Скончался в 4 часа 45 минут утра 25 января 1951 года в Москве от инфаркта миокарда. Похоронен на Новодевичьем кладбище (участок № 1).

Жена - Вавилова (урождённая Багриновская) Ольга Михайловна (1894-1978)

Сын - Вавилов Виктор Сергеевич (1921-1999), физик.

Награды и премии

два ордена Ленина (1943, 1945)
орден Трудового Красного Знамени (1939)
медаль «За доблестный труд в Великой Отечественной войне 1941-1945 гг.» (1945)
медаль «В память 800-летия Москвы» (1947)
Сталинская премия второй степени (1943) - за научные работы по физической оптике «Теория концентрационного тушения флюоресценции растворов», «Теория концентрационной деполяризации флюоресценции в растворах», «Визуальные измерения квантовых флюктуаций» (1942)
Сталинская премия первой степени (1946) - за открытие и исследование излучения электронов при движении их в веществе со сверхсветовой скоростью, результаты которых обобщены и опубликованы в «Трудах ФИАН имени П. Н. Лебедева» (1944)
Сталинская премия второй степени (1951) - за разработку люминесцентных ламп
Сталинская премия первой степени (1952 - посмертно) - за научные труды «Микроструктура света» и «Глаз и Солнце» (1950)

Адреса в Ленинграде

C 1932 года по 1946 год проживал в Ленинграде:
1932-1941 - по адресу Биржевая линия, дом 12;
1941 - Биржевая линия, дом 4, квартира 3;
1945-1946 - Биржевая линия, дом 4.

Научная деятельность

Основным направлением в науке для С. И. Вавилова были исследования в области физической оптики, в частности явления люминесценции. В 1925 году совместно с В. Л. Левшиным он провёл ряд опытов, в ходе которых было обнаружено уменьшение показателя поглощения уранового стекла при больших интенсивностях света. Наблюдаемый эффект лёг в основу нелинейной оптики. Ввёл понятие квантового выхода люминесценции и исследовал зависимость этого параметра от длины волны возбуждающего света (закон Вавилова). Исследовал явление поляризации люминесценции, стал основоположником нового направления - микрооптики, много сделал для развития нелинейной оптики. Вместе со своим аспирантом П. А. Черенковым в 1934 году открыл эффект Вавилова - Черенкова (излучение Вавилова - Черенкова); за это открытие Черенков в 1958 году, уже после смерти Вавилова, был удостоен Нобелевской премии. Сам С. И. Вавилов был номинирован на Нобелевскую премию два раза (в 1957 и 1958 гг.).

В 1920-х годах по инициативе С. И. Вавилова начались исследования, направленные на создание новых для того времени источников света - люминесцентных ламп. Затем под его руководством работы продолжились одновременно в трёх научных организациях - в ФИАН имени П. Н. Лебедева, ГОИ, во ВЭИ имени В. И. Ленина. Незадолго до начала войны, 30 мая 1941 года, на Общем собрании АН СССР С. И. Вавилов сделал доклад «Люминесцентные источники света», сопроводив его демонстрацией первых образцов люминесцентных ламп. В дальнейшем, в послевоенные годы, при самом активном участии С. И. Вавилова началось их широкое промышленное производство.

Изданные сочинения

Собрание сочинений, т. 1-4. - М.: Изд-во АН СССР. - 1952-1956.
Экспериментальные основания теории относительности. - М.-Л.: Госиздат. - 1928. - 168 с.
Исаак Ньютон (1643-1727). 4 изд. (доп.) - М.: Изд-во «Наука». - 1989. - 271 с.
Ломоносов и русская наука. 2 изд. - М.: Военное изд-во Мин. Воор. Сил СССР. - 1947. - 46 с.
О «теплом» и «холодном» свете (Тепловое излучение и люминесценция). - М.- Л.: Изд-во АН СССР. - 1949. - 75с.
Микроструктура света (Исследования и очерки. - М.: Изд-во АН СССР. - 1950. - 199 с.
Глаз и Солнце. - М., 1927, 1932 , 1938 , 1941 , 1950 , 195? , 1956 , 1961 , 1976 , 1981 , 2006 [переиздание, «Амфора»]. ISBN 5-367-00060-6.

Память

Государственный оптический институт имени С. И. Вавилова (Ленинград).
Институт истории естествознания и техники имени С. И. Вавилова РАН (1991).
До присвоения Институту физических проблем РАН имени П. Л. Капицы институт носил имя С. И. Вавилова.
Золотая медаль имени С. И. Вавилова (присуждается ежегодно за выдающиеся работы в области физики). Учреждена в 1951 году Президиумом АН СССР.
улицы в различных населённых пунктах государств бывшего СССР.
Научно-исследовательские суда «Сергей Вавилов» и «Академик Сергей Вавилов».
В честь С. И. Вавилова и его брата Н. И. Вавилова названа малая планета (2862) Вавилов, открытая астрономом Крымской астрофизической обсерватории Н. С. Черных 15 мая 1977 года.
Кратер на обратной стороне Луны.
Всероссийский научно-исследовательский проектно-конструкторский светотехнический институт им. С. И. Вавилова (Москва).
Мемориальные доски на здании Государственного оптического института, на старом здании Физического института АН РАН (Миусская площадь) и на доме, где жил С. И. Вавилов
Памятник С. И. Вавилову перед главным корпусом Государственного оптического института (1968)
Минский механический завод им. С. И. Вавилова (1957, с 1971 в составе БелОМО)

Момент инерции тела. Теорема Гюйгенса-Штейнера. Примеры вычисления моментов инерции тел

Момент инерции тела аддитивная величина, равная сумме моментов инерции всех частиц тела:

Здесь m i - масса i -той частицы, которую можно связать с плотностью вещества r i и объёмом частицы:

m i = r i DV i .

Тогда .

Если тело однородно, то есть его плотность повсюду одинакова, то r можно вынести за знак суммы:

Разделяя тело на всё более мелкие частицы, сведём задачу отыскания момента инерции к вычислению интеграла:

Интегрирование проводится по всему объёму тела V .

В качестве примера вычислим момент инерции тонкого однородного стержня относительно оси z , проходящей через его центр масс - точку С (рис. 9.3). Длина стержня - l , его масса - M .

На расстоянии x от оси вращения выделим элемент dx , масса которого dm = .

Рис. 9.3

Момент инерции этой частицы стержня равен:

Вычислив подобным образом, моменты инерции всех элементов стержня, сложим их, взяв интеграл:

Таким образом:

I z = . (9.7)

Интегрирование проведено по x в пределах от до .

Как изменится момент инерции этого стержня, если ось вращения перенести в другое место? Провести её, например, через край стержня?

В этом случае прежний интеграл нужно рассмотреть в пределах от 0 до l :

. (9.8)

Новое значение момента инерции того же стержня заметно возросло. Связано это с тем, что момент инерции тела определяется не только его массой, но и её распределением относительно оси вращения.

Вычислим момент инерции ещё одного тела: сплошного цилиндра относительно его геометрической оси.

Рис. 9.4

Пусть M - масса, а R - радиус цилиндра (рис. 9.4). Выделим в этом цилиндре цилиндрический слой радиусом r и толщиной dr . Масса этого слоя:

dm = r × dV = r × 2pr × dr × l ,

где: r - плотность материала цилиндра;

l - его длина.

Все частицы этого слоя находятся на одинаковом расстоянии от оси вращения - геометрической оси цилиндра, значит, момент инерции слоя равен:

dI = dm × r 2 = r × 2pr × dr × l × r 2 .

Для отыскания момента инерции цилиндра проинтегрируем последнее выражение:

Отметим, что pR 2 l = V - объём цилиндра, а rpR 2 l = rV = M - его масса.

Тогда момент инерции цилиндра относительно его геометрической оси можно окончательно записать в таком виде:

Момент инерции тела относительно произвольной оси (I) равен сумме момента инерции I c относительно оси, параллельной данной и проходящей через центр масс тела, и произведения массы тела М на квадрат расстояния между осями :

I = I c + Ma 2 , (9.9)

где а - расстояние между осями.

На рисунке 9.5 оси вращения перпендикулярны плоскости чертежа: через точку 0 проходит произвольная ось; параллельная ей ось проведена через центр масс тела - точку С . Расстояние между осями - а .

Выделим элемент тела массой Dm i . Его момент инерции относительно оси 0 равен:

Как следует из рисунка , откуда:

. (9.11)

Рис. 9.5

Теперь момент инерции частицы Dm i (9.10) можно представить такой суммой:

Для отыскания момента инерции всего тела, нужно сложить моменты инерции всех его частиц:

Здесь за знак суммы вынесена постоянная величина - расстояние между осями а . Первое слагаемое справа = Ма 2 , так как = М - масса тела. Второе слагаемое = I С - момент инерции тела, относительно оси, проходящей через центр масс. Третье слагаемое равно нулю, так как сумма равна произведению массы тела на вектор , проведённый от оси С к центру масс тела. Но ось С проходит через центр масс, поэтому = 0 и = М = 0.

Собрав эти результаты в уравнение (9.12), получим выражение теоремы Гюйгенса-Штейнера:

I O = I C + Ma 2 .

Эта теорема значительно упрощает задачу вычисления моментов инерции.

Известен, например, момент инерции стержня относительно оси, проходящей через его центр масс (9.7):

Воспользовавшись теоремой Гюйгенса-Штейнера, легко вычислим момент инерции этого же стержня относительно оси z ’, проходящей, например, через край стержня (рис. 9.3):

I z ’ = I z + Ma 2 , a = l /2.

Это значение момента инерции совпадает с результатом (9.8), который был получен методом прямого интегрирования.

Лекция 10 «Механика твёрдого тела»

План лекции:

1. Полная система уравнений, описывающая произвольное движение твердого тела. Условия его равновесия и покоя.

2. Энергия движущегося тела.

2.1. Кинетическая энергия твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси

2.2. Кинетическая энергия тела при плоском движении.

3. Скатывание тела с наклонной плоскости.

Предположим, что мы умеем вычислять моменты инерции относительно любой оси, проходящей через центр масс. Теперь возникает задача вычисления момента инерции тела относительно произвольной оси. Она решается с помощью теоремы Штейнера.

Эта теорема утверждает, что момент инерции тела относительно любой оси вращения равен моменту инерции относительно параллельной ей оси, проходящей через центр масс, сложенному с произведением массы тела на квадрат расстояния центра масс тела от оси вращения.

Для доказательства теоремы рассмотрим некую ось С , проходящую через центр масс и параллельную ей ось О , отстоящую от оси С на расстоянии а. Ось О может находиться и вне тела. Обе оси перпендикулярны плоскости чертежа (рис. 2.12).

Рис. 2.12. К доказательству теоремы Штейнера

Из рис. 2.12 видно, что положение элемента массы относительно этих осей определяется векторами и , связь между которыми имеет вид:

Квадрат расстояния равен скалярному произведению

Тогда момент инерции тела относительно оси О можно представить в следующем виде:

Последнее слагаемое в этом выражении есть момент инерции тела относительно оси, проходящей через центр масс. Обозначим его через Сумма . Напомним, что оси О и С параллельны и следовательно, вектор перпендикулярен оси С. Поэтому скалярное произведение Таким образом, мы получаем:

(2.10.1)

Уравнение движения твердого тела.

Абсолютно твердое тело имеет шесть степеней свободы и, следовательно, его движение описывается с помощью шести дифференциальных уравнений второго порядка. Три из них описывают движение центра масс твердого тела:

, , , (2.11.1)

где — координаты центра масс тела, — проекции внешних сил на оси координат, m — масса тела. Три других являются уравнениями моментов относительно осей ОХ , ОУ и ОZ в декартовой системе координат:

, , , (2.11.2)

где L x , L y , L z — моменты импульса системы относительно осей ОХ , ОУ , ОZ , а M x , M y , M z — моменты внешних сил относительно этих же осей.

Если перемещать точку приложения силы вдоль линии ее действия, то моменты сил и результирующие силы не будут меняться, если мы имеем дело с абсолютно твердым телом. В этом случае не будут меняться и уравнения движения (2.11.1), (2.11.2).

Если найдены решения уравнений (2.11.1), (2.11.2), при известных начальных условиях, то определены и шесть координат, характеризующих движение твердого тела. Эти координаты являются функциями времени. Однако системы уравнений (2.11.1) и (2.11.2) не всегда позволяют получить решение в аналитической форме. В этом случае говорят, что уравнение движения не удается проинтегрировать, и решение уравнений находят путем численного интегрирования.

Эта теорема утверждает, чтомомент инерции тела относительно любой оси вращения равен моменту инерции относительно параллельной ей оси, проходящей через центр масс, сложенному с произведением массы тела на квадрат расстояния центра масс тела от оси вращения.

Рис. 2.12. К доказательству теоремы Штейнера

Квадрат расстояния равен скалярному произведению

Тогда момент инерции тела относительно оси О можно представить в следующем виде:

(2.10.1)

\ 2.11. Уравнение движения твердого тела.

, , , (2.11.1)

где - координаты центра масс тела, - проекции внешних сил на оси координат, m - масса тела. Три других являются уравнениями моментов относительно осей ОХ , ОУ и ОZ в декартовой системе координат:

, , , (2.11.2)

где L x , L y , L z - моменты импульса системы относительно осей ОХ , ОУ , ОZ , а M x , M y , M z - моменты внешних сил относительно этих же осей.

При математическом описании вращательного движения важно знать момент инерции системы относительно оси. В общем случае процедура нахождения этой величины предполагает реализацию процесса интегрирования. Облегчить вычисления позволяет так называемая теорема Штейнера. Рассмотрим ее подробнее в статье.

Что такое момент инерции?

До того как привести формулировку теоремы Штейнера, следует разобраться с самим понятием момента инерции. Допустим, имеется некоторое тело определенной массы и произвольной формы. Этим телом может быть, как материальная точка, так и любой двумерный и трехмерный объект (стержень, цилиндр, шар и т.д.). Если рассматриваемый объект совершает круговое движение вокруг некоторой оси с постоянным угловым ускорением α, тогда можно записать следующее уравнение:

Здесь величина M представляет суммарный момент сил, который придает ускорение α всей системе. Коэффициент пропорциональности между ними - I, называется моментом инерции. Эта физическая величина рассчитывается по следующей общей формуле:

Здесь r - это дистанция между элементом с массой dm и осью вращения. Это выражение означает, что необходимо найти сумму произведений квадратов расстояний r 2 на элементарную массу dm. То есть момент инерции не является чистой характеристикой тела, что его отличает от линейной инерции. Он зависит от распределения массы по всему объекту, который вращается, а также от расстояния до оси и от ориентации тела относительно нее. Например, стержень будет иметь разный I, если его вращать относительно центра масс и относительно конца.

Момент инерции и теорема Штейнера

Известный швейцарский математик, Якоб Штейнер, доказал теорему о параллельных осях и моменте инерции, которая теперь носит его фамилию. Эта теорема постулирует, что момент инерции для абсолютно любого твердого тела произвольной геометрии относительно некоторой оси вращения равен сумме момента инерции относительно оси, которая пересекает центр масс тела и параллельна первой, и произведения массы тела на квадрат дистанции между этими осями. Математически эта формулировка записывается так:

I Z и I O - моменты инерции относительно оси Z и параллельной ей оси O, которая проходит через центр масс тела, l - расстояние между прямыми Z и O.

Теорема позволяет, зная величину I O , рассчитать любой другой момент I Z относительно оси, которая параллельна O.

Доказательство теоремы

Формулу теоремы Штейнера можно легко получить самостоятельно. Для этого рассмотрим произвольное тело на плоскости xy. Пусть начало координат проходит через центр масс этого тела. Рассчитаем момент инерции I O которая проходит через начало координат перпендикулярно плоскости xy. Поскольку расстояние до любой точки тела выражается формулой r = √ (x 2 + y 2), тогда получаем интеграл:

I O = ∫ m (r 2 *dm) = ∫ m ((x 2 +y 2) *dm)

Теперь переместим параллельно ось вдоль оси x на расстояние l, например, в положительном направлении, тогда расчет для новой оси момента инерции будет выглядеть следующим образом:

I Z = ∫ m (((x+l) 2 +y 2)*dm)

Раскроем полный квадрат в скобках и разделим подынтегральные суммы, получим:

I Z = ∫ m ((x 2 +l 2 +2*x*l+y 2)*dm) = ∫ m ((x 2 +y 2)*dm) + 2*l*∫ m (x*dm) + l 2 *∫ m dm

Первое из этих слагаемых является величиной I O , третье слагаемое, после проведения интегрирования, дает член l 2 *m, а вот второе слагаемое равно нулю. Обнуление указанного интеграла связано с тем, что он берется от произведения иксов на элементы массы dm, что в среднем дает ноль, так как центр масс находится в начале координат. В итоге, получается формула теоремы Штейнера.

Рассмотренный случай на плоскости можно обобщить на объемное тело.

Проверка формулы Штейнера на примере стержня

Приведем простой пример, на котором продемонстрируем, как пользоваться рассмотренной теоремой.

Известно, что для стержня длиной L и массой m момент инерции I O (ось проходит через центр масс) равен m*L 2 /12, а момент I Z (ось проходит через конец стержня) равен m*L 2 /3. Проверим эти данные, воспользовавшись теоремой Штейнера. Поскольку расстояние между двумя осями равно L/2, тогда получаем момент I Z:

I Z = I O + m*(L/2) 2 = m*L 2 /12 + m*L 2 /4 = 4*m*L 2 /12 = m*L 2 /3

То есть мы проверили формулу Штейнера и получили такое же значение для I Z , что и в источнике.

Аналогичные вычисления можно проводить и для других тел (цилиндра, шара, диска), получая при этом необходимые моменты инерции, и не производя интегрирования.

Момент инерции и перпендикулярные оси

Рассмотренная теорема касается параллельных осей. Для полноты информации полезно также привести теорему для перпендикулярных осей. Она формулируется так: для плоского объекта произвольной формы момент инерции относительно перпендикулярной ему оси будет равен сумме двух моментов инерции относительно двух взаимно перпендикулярных и лежащих в плоскости объекта осей, при этом все три оси должны проходить через одну точку. Математически это записывается так:

Здесь z, x, y - три взаимно перпендикулярные оси вращения.

Существенное отличие этой теоремы от теоремы Штейнера заключается в том, что она применима только к плоским (двумерным) твердым объектам. Тем не менее на практике ее достаточно широко используют, мысленно разрезая тело на отдельные слои, а затем, складывая полученные моменты инерции.