Как привести к тригонометрической функции угла. Тригонометрические функции

Определения

Определения тригонометрическим функциям даются с помощью тригонометрической окружности, под которой понимается окружность единичного радиуса с центром в начале координат.

Рассмотрим два радиуса этой окружности: неподвижный (где точка) и подвижный (где точка). Пусть подвижный радиус образует с неподвижным угол.

Число, равное ординате конца единичного радиуса, образующего угол с неподвижным радиусом, называется синусом угла : .

Число, равное абсциссе конца единичного радиуса, образующего угол с неподвижным радиусом, называется косинусом угла : .

Таким образом, точка, являющаяся концом подвижного радиуса, образующего угол, имеет координаты.

Тангенсом угла называется отношение синуса этого угла к его косинусу: , .

Котангенсом угла называется отношение косинуса этого угла к его синусу: , .

Геометрический смысл тригонометрических функций

Геометрический смысл синуса и косинуса на тригонометрической окружности понятен из определения: это абсцисса и ординат точки пересечения подвижного радиуса, составляющего угол с неподвижным радиусом, и тригонометрической окружности. То есть, .

Рассмотрим теперь геометрический смысл тангенса и котангенса. Треугольники подобен по трем углам (,), тогда имеет место отношение. С другой стороны, в, следовательно.

Также подобен по трем углам (,), тогда имеет место отношение. С другой стороны, в, следовательно.

С учетом геометрического смысла тангенса и котангенса вводят понятие оси тангенсов и оси котангенсов.

Осями тангенсов называются оси, одна из которых касается тригонометрической окружности в точке и направлена вверх, вторая касается окружности в точке и направлена вниз.

Осями котангенсов называются оси, одна из которых касается тригонометрической окружности в точке и направлена вправо, вторая касается окружности в точке и направлена влево.

Свойства тригонометрических функций

Рассмотрим некоторые основные свойства тригонометрических функций. Остальные свойства будут рассмотрены в разделе, посвященном графикам тригонометрических функций.

Область определения и область значений

Как уже было сказано ранее, синус и косинус существуют для любых углов, т.е. областью определения этих функций является множество действительных чисел. По определению тангенс не существует для углов , а котангенс для углов, .

Поскольку синус и косинус являются ординатой и абсциссой точки на тригонометрической окружности, их значения лежат в промежутке. Областью значения тангенса и котангенса является множество действительных чисел (в этом нетрудно убедиться, глядя на оси тангенсов и котангенсов).

Четность/нечетность

Рассмотрим тригонометрические функции двух углов (который соответствует подвижному радиусу) и (который соответствует подвижному радиусу). Поскольку, значит точка имеет координаты. Поэтому, т.е. синус - функция нечетная; , т.е. косинус - функция четная; , т.е. тангенс нечетен; , т.е. котангенс также нечетен.

Промежутки знакопостоянства

Знаки тригонометрических функций для различных координатных четвертей следуют из определения этих функций. Следует отметить, что поскольку тангенс и котангенс являются отношениями синуса и косинуса, они положительны, когда синус и косинус угла имеют одинаковые знаки и отрицательны когда разные.

Периодичность

Периодичность синуса и косинуса основана на том факте, что углы, отличающиеся на целое количество полных оборотов, соответствуют одному и тому же взаимному расположению подвижного и неподвижного лучей. Соответственно и координаты точки пересечения подвижного луча и тригонометрической окружности будут одинаковы для углов, отличающихся на целое количество полных оборотов. Таким образом, периодом синуса и косинуса является и, где.

Очевидно, что также является периодом для тангенса и котангенса. Но существует ли меньший период для этих функций? Докажем, что наименьшим периодом для тангенса и котангенса является.

Рассмотрим два угла и. Оп геометрическому смыслу тангенса и котангенса, . По стороне и прилежащим к ней углам равны треугольники и, значит равны и их стороны, значит и. Аналогичным образом можно доказать, то, где. Таким образом, периодом тангенса и котангенса является.

Тригонометрические функции основных углов

Формулы тригонометрии

Для успешного решения тригонометрических задач необходимо владеть многочисленными тригонометрическими формулами. Тем не менее, нет необходимости заучивать все формулы. Знать наизусть нужно лишь самые основные, а остальные формулы нужно уметь при необходимости вывести.

Основное тригонометрическое тождество и следствия из него

Все тригонометрические функции произвольного угла связаны между собой, т.е. зная одну функции всегда можно найти остальные. Эту связь дают формулы, рассматриваемые в данном разделе.

Теорема 1 (Основное тригонометрическое тождество) . Для любого справедливо тождество

Доказательство состоит в применении теоремы Пифагора для прямоугольного треугольника с катетами, и гипотенузой.

Справедлива и более общая теорема.

Теорема 2 . Для того, чтобы два числа можно было принять за косинус и синус одного и того же вещественного угла, необходимо и достаточно, чтобы сумма их квадратов была равна единице:

Рассмотрим следствия из основного тригонометрического тождества.

Выразим синус через косинус и косинус через синус:

В данный формулах знак плюс или минус перед корнем выбирается в зависимости от четверти, в которой лежит угол.

Подставляя полученные выше формулы в формулы, определяющие тангенс и котангенс, получаем:

Разделив основное тригонометрическое тождество почленно на или получим соотвественно:

Эти соотношения можно переписать в виде:

Следующие формулы дают связь между тангенсом и котангенсом. Поскольку при, а при, то имеет место равенство:

Формулы приведения

С помощью формул приведения можно выразить значения тригонометрических функций произвольных углов через значения функций острого угла. Все формулы приведения могут быть обобщены с помощью следующего правила.

Любая тригонометрическая функция угла, по абсолютной величине равна той же функции угла, если число - четное, и ко-функции угла, если число - нечетное. При этом если функция угла, положительна, когда - острый положительный угол, то знаки обеих функций одинаковы, если отрицательна, то различны.

Формулы суммы и разность углов

Теорема 3 . Для любых вещественных и справедливы следующие формулы:

Доказательство остальных формул основано на формулах приведения и четности/нечетности тригонометрических функций.

Что и требовалось доказать.

Теорема 4 . Для любых вещественных и, таких, что

1. , справедливы следующие формулы

2. , справедливы следующие формулы

Доказательство. По определению тангенса

Последнее преобразование получено делением числителя и знаменателя этой дроби на.

Аналогично для котангенса (числитель и знаменатель в этом случае делятся на):

Что и требовалось доказать.

Следует обратить внимание на тот факт, что правые и левые части последних равенств имеют разные области допустимых значений. Поэтому применение этих формул без ограничений на возможные значения углов может привести к неверным результатам.

Формулы двойного и половинного угла

Формулы двойного угла позволяют выразить тригонометрические функции произвольного угла через функции угла в два раза меньше исходного. Эти формулы являются следствиями формул суммы двух углов, если положить в них углы равными друг другу.

Последнюю формулу можно преобразовать с помощью основного тригонометрического тождества:

Таким образом, для косинуса двойного угла существует три формулы:

Следует отметить, что данная формула справедлива только при

Последняя формула справедлива при, .

Аналогично функциям двойного угла могут быть получены функции тройного угла. Здесь данные формулы приводятся без доказательства:

Формулы половинного угла являются следствиями формул двойного угла и позволяют выразить тригонометрические функции некоторого угла через функции угла в два раза больше исходного.

1. Тригонометрические функции представляют собой элементарные функции, аргументом которых является угол . С помощью тригонометрических функций описываются соотношения между сторонами и острыми углами в прямоугольном треугольнике. Области применения тригонометрических функций чрезвычайно разнообразны. Так, например, любые периодические процессы можно представить в виде суммы тригонометрических функций (ряда Фурье). Данные функции часто появляются при решении дифференциальных и функциональных уравнений.

2. К тригонометрическим функциям относятся следующие 6 функций: синус , косинус , тангенс ,котангенс , секанс и косеканс . Для каждой из указанных функций существует обратная тригонометрическая функция.

3. Геометрическое определение тригонометрических функций удобно ввести с помощью единичного круга . На приведенном ниже рисунке изображен круг радиусом r=1. На окружности обозначена точка M(x,y). Угол между радиус-вектором OM и положительным направлением оси Ox равен α.

4. Синусом угла α называется отношение ординаты y точки M(x,y) к радиусу r:
sinα=y/r.
Поскольку r=1, то синус равен ординате точки M(x,y).

5. Косинусом угла α называется отношение абсциссы x точки M(x,y) к радиусу r:
cosα=x/r

6. Тангенсом угла α называется отношение ординаты y точки M(x,y) к ee абсциссе x:
tanα=y/x,x≠0

7. Котангенсом угла α называется отношение абсциссы x точки M(x,y) к ее ординате y:
cotα=x/y,y≠0

8. Секанс угла α − это отношение радиуса r к абсциссе x точки M(x,y):
secα=r/x=1/x,x≠0

9. Косеканс угла α − это отношение радиуса r к ординате y точки M(x,y):
cscα=r/y=1/y,y≠0

10. В единичном круге проекции x, y точки M(x,y) и радиус r образуют прямоугольный треугольник, в котором x,y являются катетами, а r − гипотенузой. Поэтому, приведенные выше определения тригонометрических функций в приложении к прямоугольному треугольнику формулируются таким образом:
Синусом угла α называется отношение противолежащего катета к гипотенузе.
Косинусом угла α называется отношение прилежащего катета к гипотенузе.
Тангенсом угла α называется противолежащего катета к прилежащему.
Котангенсом угла α называется прилежащего катета к противолежащему.
Секанс угла α представляет собой отношение гипотенузы к прилежащему катету.
Косеканс угла α представляет собой отношение гипотенузы к противолежащему катету.

11. График функции синус
y=sinx, область определения: x∈R, область значений: −1≤sinx≤1

12. График функции косинус
y=cosx, область определения: x∈R, область значений: −1≤cosx≤1

13. График функции тангенс
y=tanx, область определения: x∈R,x≠(2k+1)π/2, область значений: −∞

14. График функции котангенс
y=cotx, область определения: x∈R,x≠kπ, область значений: −∞

15. График функции секанс
y=secx, область определения: x∈R,x≠(2k+1)π/2, область значений:secx∈(−∞,−1]∪∪. Все понимают, что их дурят, но никто не понимает, в чем заключается обман.

С точки зрения математики, Зенон в своей апории наглядно продемонстрировал переход от величины к . Этот переход подразумевает применение вместо постоянных. Насколько я понимаю, математический аппарат применения переменных единиц измерения либо ещё не разработан, либо его не применяли к апории Зенона. Применение же нашей обычной логики приводит нас в ловушку. Мы, по инерции мышления, применяем постоянные единицы измерения времени к обратной величине. С физической точки зрения это выглядит, как замедление времени до его полной остановки в момент, когда Ахиллес поравняется с черепахой. Если время останавливается, Ахиллес уже не может перегнать черепаху.

Если перевернуть привычную нам логику, всё становится на свои места. Ахиллес бежит с постоянной скоростью. Каждый последующий отрезок его пути в десять раз короче предыдущего. Соответственно, и время, затрачиваемое на его преодоление, в десять раз меньше предыдущего. Если применять понятие "бесконечность" в этой ситуации, то правильно будет говорить "Ахиллес бесконечно быстро догонит черепаху".

Как избежать этой логической ловушки? Оставаться в постоянных единицах измерения времени и не переходить к обратным величинам. На языке Зенона это выглядит так:

За то время, за которое Ахиллес пробежит тысячу шагов, черепаха в ту же сторону проползёт сто шагов. За следующий интервал времени, равный первому, Ахиллес пробежит ещё тысячу шагов, а черепаха проползет сто шагов. Теперь Ахиллес на восемьсот шагов опережает черепаху.

Этот подход адекватно описывает реальность без всяких логических парадоксов. Но это не полное решение проблемы. На Зеноновскую апорию "Ахиллес и черепаха" очень похоже утверждение Эйнштейна о непреодолимости скорости света. Эту проблему нам ещё предстоит изучить, переосмыслить и решить. И решение нужно искать не в бесконечно больших числах, а в единицах измерения.

Другая интересная апория Зенона повествует о летящей стреле:

Летящая стрела неподвижна, так как в каждый момент времени она покоится, а поскольку она покоится в каждый момент времени, то она покоится всегда.

В этой апории логический парадокс преодолевается очень просто - достаточно уточнить, что в каждый момент времени летящая стрела покоится в разных точках пространства, что, собственно, и является движением. Здесь нужно отметить другой момент. По одной фотографии автомобиля на дороге невозможно определить ни факт его движения, ни расстояние до него. Для определения факта движения автомобиля нужны две фотографии, сделанные из одной точки в разные моменты времени, но по ним нельзя определить расстояние. Для определения расстояния до автомобиля нужны две фотографии, сделанные из разных точек пространства в один момент времени, но по ним нельзя определить факт движения (естественно, ещё нужны дополнительные данные для расчетов, тригонометрия вам в помощь). На что я хочу обратить особое внимание, так это на то, что две точки во времени и две точки в пространстве - это разные вещи, которые не стоит путать, ведь они предоставляют разные возможности для исследования.

среда, 4 июля 2018 г.

Очень хорошо различия между множеством и мультимножеством описаны в Википедии . Смотрим.

Как видите, "во множестве не может быть двух идентичных элементов", но если идентичные элементы во множестве есть, такое множество называется "мультимножество". Подобную логику абсурда разумным существам не понять никогда. Это уровень говорящих попугаев и дрессированных обезьян, у которых разум отсутствует от слова "совсем". Математики выступают в роли обычных дрессировщиков, проповедуя нам свои абсурдные идеи.

Когда-то инженеры, построившие мост, во время испытаний моста находились в лодке под мостом. Если мост обрушивался, бездарный инженер погибал под обломками своего творения. Если мост выдерживал нагрузку, талантливый инженер строил другие мосты.

Как бы математики не прятались за фразой "чур, я в домике", точнее "математика изучает абстрактные понятия", есть одна пуповина, которая неразрывно связывает их с реальностью. Этой пуповиной являются деньги. Применим математическую теорию множеств к самим математикам.

Мы очень хорошо учили математику и сейчас сидим в кассе, выдаем зарплату. Вот приходит к нам математик за своими деньгами. Отсчитываем ему всю сумму и раскладываем у себя на столе на разные стопки, в которые складываем купюры одного достоинства. Затем берем с каждой стопки по одной купюре и вручаем математику его "математическое множество зарплаты". Поясняем математику, что остальные купюры он получит только тогда, когда докажет, что множество без одинаковых элементов не равно множеству с одинаковыми элементами. Вот здесь начнется самое интересное.

В первую очередь, сработает логика депутатов: "к другим это применять можно, ко мне - низьзя!". Дальше начнутся уверения нас в том, что на купюрах одинакового достоинства имеются разные номера купюр, а значит их нельзя считать одинаковыми элементами. Хорошо, отсчитываем зарплату монетами - на монетах нет номеров. Здесь математик начнет судорожно вспоминать физику: на разных монетах имеется разное количество грязи, кристаллическая структура и расположение атомов у каждой монеты уникально...

А теперь у меня самый интересный вопрос: где проходит та грань, за которой элементы мультимножества превращаются в элементы множества и наоборот? Такой грани не существует - всё решают шаманы, наука здесь и близко не валялась.

Вот смотрите. Мы отбираем футбольные стадионы с одинаковой площадью поля. Площадь полей одинакова - значит у нас получилось мультимножество. Но если рассматривать названия этих же стадионов - у нас получается множество, ведь названия разные. Как видите, один и тот же набор элементов одновременно является и множеством, и мультимножеством. Как правильно? А вот здесь математик-шаман-шуллер достает из рукава козырный туз и начинает нам рассказывать либо о множестве, либо о мультимножестве. В любом случае он убедит нас в своей правоте.

Чтобы понять, как современные шаманы оперируют теорией множеств, привязывая её к реальности, достаточно ответить на один вопрос: чем элементы одного множества отличаются от элементов другого множества? Я вам покажу, без всяких "мыслимое как не единое целое" или "не мыслимое как единое целое".

воскресенье, 18 марта 2018 г.

Сумма цифр числа - это пляска шаманов с бубном, которая к математике никакого отношения не имеет. Да, на уроках математики нас учат находить сумму цифр числа и пользоваться нею, но на то они и шаманы, чтобы обучать потомков своим навыкам и премудростям, иначе шаманы просто вымрут.

Вам нужны доказательства? Откройте Википедию и попробуйте найти страницу "Сумма цифр числа". Её не существует. Нет в математике формулы, по которой можно найти сумму цифр любого числа. Ведь цифры - это графические символы, при помощи которых мы записываем числа и на языке математики задача звучит так: "Найти сумму графических символов, изображающих любое число". Математики эту задачу решить не могут, а вот шаманы - элементарно.

Давайте разберемся, что и как мы делаем для того, чтобы найти сумму цифр заданного числа. И так, пусть у нас есть число 12345. Что нужно сделать для того, чтобы найти сумму цифр этого числа? Рассмотрим все шаги по порядку.

1. Записываем число на бумажке. Что же мы сделали? Мы преобразовали число в графический символ числа. Это не математическое действие.

2. Разрезаем одну полученную картинку на несколько картинок, содержащих отдельные цифры. Разрезание картинки - это не математическое действие.

3. Преобразовываем отдельные графические символы в числа. Это не математическое действие.

4. Складываем полученные числа. Вот это уже математика.

Сумма цифр числа 12345 равна 15. Вот такие вот "курсы кройки и шитья" от шаманов применяют математики. Но это ещё не всё.

С точки зрения математики не имеет значения, в какой системе счисления мы записываем число. Так вот, в разных системах счисления сумма цифр одного и того же числа будет разной. В математике система счисления указывается в виде нижнего индекса справа от числа. С большим числом 12345 я не хочу голову морочить, рассмотрим число 26 из статьи про . Запишем это число в двоичной, восьмеричной, десятичной и шестнадцатеричной системах счисления. Мы не будем рассматривать каждый шаг под микроскопом, это мы уже сделали. Посмотрим на результат.

Как видите, в разных системах счисления сумма цифр одного и того же числа получается разной. Подобный результат к математике никакого отношения не имеет. Это всё равно, что при определении площади прямоугольника в метрах и сантиметрах вы получали бы совершенно разные результаты.

Ноль во всех системах счисления выглядит одинаково и суммы цифр не имеет. Это ещё один аргумент в пользу того, что . Вопрос к математикам: как в математике обозначается то, что не является числом? Что, для математиков ничего, кроме чисел, не существует? Для шаманов я могу такое допустить, но для ученых - нет. Реальность состоит не только из чисел.

Полученный результат следует рассматривать как доказательство того, что системы счисления являются единицами измерения чисел. Ведь мы не можем сравнивать числа с разными единицами измерения. Если одни и те же действия с разными единицами измерения одной и той же величины приводят к разным результатам после их сравнения, значит это не имеет ничего общего с математикой.

Что же такое настоящая математика? Это когда результат математического действия не зависит от величины числа, применяемой единицы измерения и от того, кто это действие выполняет.

Ой! А это разве не женский туалет?
- Девушка! Это лаборатория по изучению индефильной святости душ при вознесении на небеса! Нимб сверху и стрелочка вверх. Какой еще туалет?

Женский... Нимб сверху и стрелочка вниз - это мужской.

Если у вас перед глазами несколько раз в день мелькает вот такое вот произведение дизайнерского искусства,

Тогда не удивительно, что в своем автомобиле вы вдруг обнаруживаете странный значок:

Лично я делаю над собой усилие, чтобы в какающем человеке (одна картинка), увидеть минус четыре градуса (композиция из нескольких картинок: знак минус, цифра четыре, обозначение градусов). И я не считаю эту девушку дурой, не знающей физику. Просто у неё дугой стереотип восприятия графических образов. И математики нас этому постоянно учат. Вот пример.

1А - это не "минус четыре градуса" или "один а". Это "какающий человек" или число "двадцать шесть" в шестнадцатеричной системе счисления. Те люди, которые постоянно работают в этой системе счисления, автоматически воспринимают цифру и букву как один графический символ.