Значение коэффициента готовности оборудования равно. Коэффициент готовности системы обработки данных с основным и резервным узлами

Рассматриваются системы обработки данных с двумя узлами, упрощенная модель надежности дублированной системы на базе модели восстанавливаемых элементов и усовершенствованная модель системы с основным и резервным узлом на базе модели элементов с тремя состояниями с учетом конечного времени активации узлов и различной интенсивности отказов основного и резервного узлов. Также приводятся аналитические формулы для расчета коэффициента готовности системы обработки данных с основным и резервным узлами, и примеры расчета для различных случаев.

система обработки данных

восстанавливаемый элемент

коэффициент готовности

цепь Маркова с непрерывным временем

1. Черкесов Г.Н. Надежность аппаратно-програм­мных комплексов. СПб.: Питер, 2005.

2. Половко А.М., Гуров С.В. Основы теории надежности. 2-е изд. СПб.: БХВ-Петербург, 2006.

3. Martin L. Shooman. Reliability of computer systems and networks. John Wiley & Sons Inc., 2002.

4. Каяшев А.И., Рахман П.А., Шарипов М.И. Анализ показателей надежности двухуровневых магистральных сетей // Вестник Уфимского государственного авиационного технического университета. 2014. Т. 18. № 2 (63). С. 197-207.

5. Каяшев А.И., Рахман П.А., Шарипов М.И. Анализ показателей надежности локальных компьютерных сетей // Вестник Уфимского государственного авиационного технического университета. 2013. Т. 17. № 5 (58). С. 140-149.

6. Каяшев А.И., Рахман П.А., Шарипов М.И. Анализ показателей надежности избыточных дисковых массивов // Вестник Уфимского государственного авиационного технического университета. 2013. Т. 17. № 2 (55). С. 163-170.

7. Рахман П.А., Каяшев А.И., Шарипов М.И. Марковская цепь гибели и размножения в моделях надежности технических систем // Вестник Уфимского государственного авиационного технического университета. 2015. Т. 19. № 1. С. 140-154.

8. Рахман П.А., Каяшев А.И., Шарипов М.И. Модель надежности отказоустойчивой пограничной маршрутизации с двумя интернет-провайдерами // Вестник Уфимского государственного авиационного технического университета. 2015. Т. 19. № 1. С. 131-139.

9. Рахман П.А., Каяшев А.И., Шарипов М.И. Модель надежности отказоустойчивых систем хранения данных // Вестник Уфимского государственного авиационного технического университета. 2015. Т. 19. № 1. С. 155-166.

10. Рахман П.А., Шарипов М.И. Модель надежности двухузлового кластера приложений высокой готовности в системах управления предприятием // Экономика и менеджмент систем управления, 2015. № 3 (17). С. 85-102.

Введение

В настоящее время наблюдается бурное развитие информационных технологий и их внедрение в самые различные сферы деятельности человека. С информацией человек имеет дело ежедневно - создает, хранит и обрабатывает, передает ее, используя персональные компьютеры и мобильные устройства. На предприятиях используются специализированные системы хранения и обработки данных, на базе которых функционируют информационные системы, обеспечивающие те или иные бизнес-процессы предприятия.

Особое место в современном мире занимают распределенные системы обработки и хранения данных, в частности, кластеры высокой готовности для систем управления базами данных, обеспечивающие отказоустойчивое хранение и обработку данных. Для таких систем важно знать их показатели надежности для оценки рисков для бизнес-процессов и степени снижения этих рисков за счет применения отказоустойчивых технологий. В такой ситуации разработка моделей надежности и анализ показателей надежности систем обработки данных является достаточно актуальной задачей.

На сегодняшний день существует множество обобщенных моделей надежности и методов расчетов показателей надежности, изложенных в отечественной литературе , и ряд упрощенных моделей для вычислительных систем и сетей, изложенных в зарубежной литературе . Однако эти модели, в основном базируются на модели восстанавливаемых элементов и не учитывают специфику систем обработки данных, различную интенсивность отказов в различных режимах работы узлов, конечное время подключения резервного узла.

В такой ситуации возникает необходимость в разработке специализированной модели надежности кластера высокой готовности и выведении расчетных формул для показателей надежности. Соответственно, в рамках научных исследований автора в области надежности систем обработки и передачи данных перед автором возникла научная задача разработки специализированной модели надежности системы с основным и резервным узлами обработки данных, для последующего использования полученных результатов при проектировании систем обработки данных для промышленных предприятий.

Упрощенная модель надежности дублированной системы. В упрощенной модели надежности дублированной системы мы рассматриваем узлы обработки данных как простейшие восстанавливаемые элементы с двумя состояниями: работоспособный и неработоспособный (рис. 1). Работоспособный узел отказывает с интенсивностью λ A и переходит в неработоспособное состояние. Неработоспособный узел восстанавливается с интенсивностью μ N и переходит в работоспособное состояние.

Рис. 1. Граф состояний узла с двумя состояниями

В дублированной системе с независимыми узлами оба узла могут находиться одном из двух состояний независимо друг от друга, и система считается готовой обслуживать запросы пользователей, когда хотя бы один узлов находиться в работоспособном состоянии.

Более того, одни и те же запросы пользователей могут одновременно обрабатываться на обоих узлах, если оба узла работоспособны. Рассмотрим множество состояний системы:

Состояние 0 - оба узла работоспособны и обрабатывают запросы пользователей. Из этого состояния система с интенсивностью 2λ A (отказ одного из работоспособных узлов) может перейти в состояние 1.

Состояние 1 - один из узлов работоспособен и обрабатывает запросы пользователей, другой неработоспособен. Из этого состояния система либо с интенсивностью λ A (отказ работоспособного узла) может перейти в состояние 2, либо с интенсивностью μ N (восстановление неработоспособного узла) перейти в состояние 0.

Состояние 2 - оба узла неработоспособны, и система не обрабатывает запросы пользователей. Из этого состояния система с интенсивностью 2μ N (восстановление одного из неработоспособных узлов) может перейти в состояние 1.

Тогда, с учетом вышесказанного имеем следующий граф состояний (рис. 2):

Рис. 2. Упрощенная модель надежности дублированной системы

Соответственно, стационарный коэффициент готовности дублированной системы, с учетом того, что в состояниях 0 и 1 система обрабатывает запросы пользователей:

(1)

Модель системы с основным и резервным узлами. Для учета конечного времени подключения резерва и учета различной интенсивности отказов узлов в нагруженном и ненагруженном режимах в усовершенствованной модели системы будем рассматривать узлы как элементы с тремя состояниями: пассивный, активный и неработоспособный (рис. 3).

Только в активном состоянии узел обрабатывает запросы пользователей. Пассивный узел либо отказывает с интенсивностью λ P и переходит в неработоспособное состояние, либо переходит в активное состояние с интенсивностью γ N . Активный узел отказывает с интенсивностью λ A и переходит в неработоспособное состояние. Неработоспособный узел восстанавливается с интенсивностью μ N и переходит в пассивное состояние.

Рис. 3. Граф состояний узла с тремя состояниями

Будем считать, что в системе с одним основным и одним резервным узлом в каждый момент времени только один узел может быть активным (иметь доступ к общей базе данных и обрабатывать запросы пользователей). Соответственно, если оба узла находятся в пассивном состоянии, то только один из них переводится в активное состояние. Что касается отказов и восстановлений узлов, для упрощения модели будем считать, что узлы независимы по отказам и восстановлениям. Рассмотрим множество состояний системы:

Состояние 0 - оба узла работоспособны, но пассивны. Из этого состояния система с интенсивностью γ N (активация одного пассивного узла, используемого в качестве основного) может перейти в состояние 1, либо с интенсивностью 2λ P (отказ любого из двух пассивных узлов) перейти в состояние 2.

Состояние 1 - оба узла работоспособны, и один из узлов активен, другой - пассивен. Из этого состояния система с интенсивностью λ A (отказ активного узла) может перейти в состояние 2, либо с интенсивностью λ P (отказ пассивного узла) перейти в состояние 3. В состоянии 1 система может обрабатывать запросы пользователей.

Состояние 2 - один узел неработоспособен, другой работоспособен, но пассивен. Из этого состояния система с интенсивностью γ N (активация пассивного узла) может перейти в состояние 3, либо с интенсивностью λ P (отказ пассивного узла) перейти в состояние 4, либо с интенсивностью μ N (восстановление неработоспособного узла) перейти в состояние 0.

Состояние 3 - один узел неработоспособен, другой работоспособен и активен. Из этого состояния система с интенсивностью λ A (отказ активного узла) может перейти в состояние 4, либо с интенсивностью μ N (восстановление неработоспособного узла) перейти в состояние 1. В состоянии 3 система может обрабатывать запросы пользователей.

Состояние 4 - оба узла неработоспособны. Из этого состояния система с интенсивностью 2μ N (любой из двух неработоспособных узлов может восстановиться) может перейти в состояние 2.

Тогда, с учетом вышесказанного имеем следующий граф состояний (рис. 4):

Рис. 4. Модель надежности системы с основным и резервным узлом

Математическая модель (система уравнений Колмогорова-Чепмена):

Мы ограничимся выводом аналитического решения для стационарного случая при , когда марковский процесс становится установившимся, и производные вероятностей по времени стремятся к нулю. Тогда мы имеем дело с системой алгебраических уравнений, и, решая ее, получаем формулы для стационарных вероятностей всех состояний:

Тогда, с учетом того, что система обрабатывает запросы пользователей только в состояниях 1 и 3, получаем стационарный коэффициент готовности :

Примечание 1. При быстрой активации узлов γ N →∞, коэффициент готовности:

.

Если при этом еще интенсивности отказов активного и пассивного узлов совпадают λ A =λ P , то приходим к упрощенной формуле

Пример расчета коэффициента готовности

Пусть имеется система с двумя узлами обработки данных. Интенсивность отказов активного узла λ A = 1/8760 час -1 (в среднем раз в год). Интенсивность восстановления узла: μ N =1/24 час -1 (восстановление в среднем в течение 24 часов).

Что касается интенсивности отказов и интенсивности активации пассивного узла, рассмотрим три случая:

Горячий резерв с быстрой активацией: интенсивность отказов пассивного узла λ P =1/8760 час -1 , интенсивность активации γ N =1200 час -1 (в среднем активация происходит в течение 3 секунд).

Теплый резерв со средней активацией: интенсивность отказов пассивного узла час -1 , интенсивность активации γ N =20 час -1 (в среднем активация происходит в течение 3 минут).

Холодный резерв с медленной активацией: интенсивность отказов пассивного узла λ P =0 час -1 , интенсивность активации γ N =1/3 час -1 (в среднем активация происходит в течение 3 часов).

В упрощенной модели для дублированной системы во всех трех случаев по формуле 1 мы получаем коэффициент готовности:

K DS ≈0,9999925349

В усовершенствованной модели системы с основным и резервным элементом по формуле 2 мы получаем:

В случае горячего резерва с быстрой активацией:

K AP ≈0,9999924397

В случае теплого резерва со средней активацией:

K AP ≈0,9999886897

В случае холодного резерва с медленной активацией:

K AP ≈09996543268

Нетрудно заметить, что усовершенствованная модель, учитывающая конечное время активации узлов и различные интенсивности отказов в активном и пассивном состояниях, дает более низкую и реалистичную оценку коэффициента готовности системы с основным и резервным узлом, нежели чем известная упрощенная модель.

Заключение

Таким образом, в рамках данной статьи рассмотрена предложенная автором модель надежности системы обработки данных с одним основным и одним резервным узлом. Выведены формулы для расчета коэффициента готовности системы. Также приведен пример расчета коэффициента готовности для различных случаев.

Полученные теоретические результаты использовались в многолетней практике эксплуатации, развития и проектирования систем хранения и обработки данных НИУ МЭИ (ТУ), Балаковской АЭС, ОАО «Красный Пролетарий» и ряда других предприятий.

Библиографическая ссылка

Настоящие методические указания носят предварительный характер и основаны на статистических данных, подлежащих сбору для уже эксплуатируемого ВС, являющегося объектом АЛП, либо для его аналога, если ВС только разрабатывается.

Согласно , оперативная готовность A 0 (по ГОСТ 27.002) есть вероятность того, что

при использовании в установленных условиях объект(конечное изделие) окажется работоспособным в произвольно выбранный момент времени в установившемся процессе эксплуатации. При определении этого показателя учитывается время нахождения в резерве и время простоя по административным и логистическим причинам.

Величина A 0 рассчитывается по формуле:

OT – время функционирования за календарный год (час);ST – время нахождения в резерве за год;

TPM – полная продолжительность планового обслуживания за год;TCM – полная продолжительность непланового обслуживания за год;ALDT – продолжительность административных простоев.

Недостатком формулы является отсутствие ясности в отношении единиц измерения входящих в нее параметров. Согласно отечественной практике продолжительность обслуживания, простоев по различным причинам и нахождения в резерве учитывается в днях(сутках). По этой же причине время нахождения изделия в исправном состоянии(.е. в состоянии готовности к использованию) имеет смысл оценивать в тех же единицах.

С учетом этого замечания введем следующие обозначения:

AD (Annual Days ) – число дней в году, в течение которых изделие могло бы быть использовано по назначению (по умолчанию 365 дней в году).

AWT (Annual Work Order Time ) – среднее время (число дней) пребывания изделия в исправном состоянии в течение года (в работе и в резерве).

ADT (Annual Downtime ) – среднее время простоев изделия по различным причинам в течение года.

В этих обозначениях из (52) можно получить:

Из (53), (54) и(55) следует:

Подставляя (53) и(56) в(52), получим:

Эта формула позволяет определить коэффициент оперативной готовности по статистическим данным.

Для одного из бортов самолета ТУ214 в течении трех лет эксплуатации зафиксированы статистические данные, приведенные в следующей таблице.

Таблица 15. Статистические данные о простоях самолета ТУ214

Полагая AD = 365, по формуле(57)получим:

A0 = (365- 96 ,3) / 365= 0 ,736

Для получения более достоверных оценок следует брать выборку по парку ВС, эксплуатируемых в сходных условиях, например, по авиакомпании в целом, и за большее число лет, чтобы в выборку попадали«тяжелые» формы обслуживания. Усреднение при этом надо проводить и по годам, и по бортам (на 1 ВС за 1 год). Если при этом число бортов, эксплуатируемых в наблюдаемый период, меняется, следует брать в расчет среднее число эксплуатируемых бортов.

Согласно принятой методике расчета коэффициента технической готовности этот коэффициент (k тг ) определяется как вероятность того, что в произвольный момент времени ВС не будет находиться на плановом ТО и его вылет не будет задержан сверх допустимого времени или отменен из-за его неисправности. Это определение близко по смыслу к приведенному выше определениюA 0 .

Коэффициент k тг зависит от двух величин:

· коэффициента планируемого применения (k пп )– вероятности того, что в произ-

вольный момент времени ВС не будет находиться на плановом ТО(определяется суммарной продолжительностью планового технического обслуживания);

· коэффициента готовности к вылету(k гв )– вероятности того, что запланиро-

ванный на определенное время вылет ВС не будет задержан или отменен из-за его неисправности (определяется суммарной продолжительностью устранения случайных отказов).

В соответствии с приведенными определениями, эти коэффициенты можно определить через введенные выше параметры:

Здесь величины ALDT p иALDT c обозначают время простоев ВС по логистическим и административным причинам при плановом и неплановом обслуживании соответственно.

Подставляя формулы (59) в(58), получим:

Периодом нормальной работы. Для этого периода характерна постоянная интенсив- ность отказов. Последний, третий период - это период старения. Так как период нор- мальной работы является основным, то в расчетах надежности принимается λ(t) = λ = const. В этом случае при экспоненциальном законе распределения функция надежности имеет вид: Р(t) = exp(- λ t). (5.26) Среднее время жизни соответственно равно: ∞ T0 = ∫ exp(-λ t) dt = 1/λ. (5.27) 0 Поэтому функцию надежности можно записать и так: Р(t) = еxp(-t/T0). (5.28) Если время работы элемента мало по сравнению со средним временем жизни, то можно использовать приближенную формулу Р(t) ≈ 1 – t/T0. (5.29) Пример 5.2. По данным эксплуатации генератора установлено, что наработка до отказа подчиняется экспоненциальному закону с параметром λ = 2.10-5 1/час. Найти вероятность безотказной работы за время t = 100 часов. Определить ма- тематическое ожидание наработки до отказа. Решение. Определим вероятность безотказной работы по формуле (5.26): P(t) = e- λ t = exp(-2.10-5.100) = 0,998. Математическое ожидание наработки до отказа определяем по формуле (5.27): M0 = 1/λ = 1/(2.10-5) = 5.104 ч. Ответ: P(t) = 0,998; M0 = 5.104 ч. Пример 5.3. Построить кривую интенсивности отказов по данным табл. 5.1. На испытания поставлено N элементов (N = 200), испытания проводились в течение t = 100 ч. Таблица 5.1. Результаты испытаний элемента (к примеру 5.3.) № Δt, ч Δn n(t) № Δt, ч Δn n(t) п/п п/п 1 0-10 10 190 6 50-60 2 168 2 10-20 8 182 7 60-70 2 166 3 20-30 6 176 8 70-80 4 162 4 30-40 4 172 9 80-90 5 157 5 40-50 2 170 10 90-100 8 149 31 Обозначения: Δt - интервал испытаний; Δn - число отказов; n(t) - число не- отказавших элементов. Для построения кривой (рис.5.3.) вычислим интенсивность отказов λ(ti) ч-1 по формуле (5.25): λ(t1) = 10/(10.190) = 0,0052; λ(t2) = 8/(10.182) = 0,0044; λ(t3) = 6/(10.176) = 0,0034; λ(t4) = 4/(10.172) = 0,0023; λ(t5) = 2/(10.170) = 0,0011; λ(t6) = 2/(10.168) = 0,0011; λ(t7) = 2/(10.166) = 0,0012; λ(t8) = 4/(10.162) = 0,0024; λ(t9) = 5/(10.157) = 0,0032; λ(t10) = 8/(10.149) = 0,0053. λ(t)10-3, ч-1 t, ч Рис. 5.3. Кривая интенсивности отказов во времени 5.2. Показатели надежности восстанавливаемого элемента Большинство сложных технических систем с длительными сроками службы яв- ляются восстанавливаемыми, т.е. возникающие в процессе эксплуатации отказы систем устраняют при ремонте. Технически исправное состояние изделий в процессе эксплуа- тации поддерживают проведением профилактических и восстановительных работ. Для осуществляемых в процессе эксплуатации изделий работ по поддержанию и восстановлению их работоспособности характерны значительные затраты труда, мате- риальных средств и времени. Как правило, эти затраты за время эксплуатации изделия значительно превышают соответствующие затраты на его изготовление. Совокупность работ по поддержанию и восстановлению работоспособности и ресурса изделий под- разделяют на техническое обслуживание, и ремонт, которые, в свою очередь, подраз- деляют на профилактические работы, осуществляемые в плановом порядке и аварий- ные, проводимые по мере возникновения отказов или аварийных ситуаций. Свойство ремонтопригодности изделий влияет на материальные затраты и дли- тельность простоев в процессе эксплуатации. Ремонтопригодность тесно связана с без- отказностью и долговечностью изделий. Так, для изделий, с высоким уровнем безот- 32 казности, как правило, характерны низкие затраты труда и средств на поддержание их работоспособности. Показатели безотказности и ремонтопригодности изделий являют- ся составными частями комплексных показателей, таких как коэффициенты готовности Kг. и технического обслуживания Kт.и.. К показателям надежности, присущим только восстанавливаемым элементам, следует отнести среднюю наработку на отказ, наработку между отказами, вероятность восстановления, среднее время восстановления, коэффициент готовности и коэффици- ент технического использования. Средняя наработка на отказ - наработка восстанавливаемого элемента, при- ходящаяся, в среднем, на один отказ в рассматриваемом интервале суммарной наработ- ки или определенной продолжительности эксплуатации: m Tо = 1/m Σ ti (5.30) t=1 где ti - наработка элемента до i-го отказа; m - число отказов в рассматриваемом ин- тервале суммарной наработки. Наработка между отказами определяется объемом работы элемента от i-гo от- каза до (i + 1)-го, где i =1, 2,..., m. Среднее время восстановления одного отказа в рассматриваемом интервале суммарной наработки или определенной продолжительности эксплуатации m Tв = 1/m Σ tвi (5.31) i=1 где tвi - время восстановления i-го отказа; т - число отказов в рассматриваемом ин- тервале суммарной наработки. Коэффициент готовности Kг. представляет собой вероятность того, что изделие будет работоспособно в произвольный момент времени, кроме периодов выполнения планового технического обслуживания, когда применение изделия по назначению ис- ключено. Этот показатель является комплексным, так как он количественно характери- зует одновременно два показателя: безотказность и ремонтопригодность. В стационарном (установившемся) режиме эксплуатации и при любом виде за- кона распределения времени работы между отказами и времени восстановления коэф- фициент готовности определяют по формуле Kr = То/(То + Тв) (5.32) где То- наработка на отказ; Тв - среднее время восстановления отказа. Таким образом, анализ формулы показывает, что надежность изделия является функцией не только безотказности, но и ремонтопригодности. Это означает, что низкая надежность может быть несколько компенсирована улучшением ремонтопригодности. Чем выше интенсивность восстановления, тем выше готовность изделия. Если время простоя велико, то готовность будет низкой. Другой важной характеристикой ремонтопригодности является коэффициент технического использования, который представляет собой отношение наработки изде- лия в единицах времени за некоторый период эксплуатации к сумме этой наработки и времени всех простоев, обусловленных устранением отказов, техническим обслужива- нием и ремонтами за этот период. Коэффициент технического использования представ- 33 ляет собой вероятность того, что изделие будет работать в надлежащем режиме за вре- мя Т. Таким образом, Kи определяется двумя основными факторами - надежностью и ремонтопригодностью. Коэффициент технического использования характеризует долю времени нахож- дения элемента в работоспособном состоянии относительно рассматриваемой продол- жительности эксплуатации. Период эксплуатации, для которого определяется коэффи- циент технического использования, должен содержать все виды технического обслу- живания и ремонтов. Коэффициент технического использования учитывает затраты времени на плановые и неплановые ремонты, а также регламенты, и определяется по формуле Kи = tн/(tн + tв + tр + tо), (5.33) где tн - суммарная наработка изделия в рассматриваемый промежуток времени; tв, tр и tо - соответственно суммарное время, затраченное на восстановление, ремонт и техни- ческое обслуживание изделия за тот же период времени. Пример 5.4. Определить коэффициент готовности системы, если известно, что среднее время восстановления одного отказа равно Tв = 5 ч, а среднее значение нара- ботки на отказ составляет Tо = 500 ч. Решение. Для определения коэффициента готовности воспользуемся формулой (5.32) Kг = Tс/(Tс + tв) = 500/(500 + 5) = 0,99. Ответ: Kг = 0,99. Пример 5.5. Определить коэффициент технического использования машины, если известно, что машину эксплуатируют в течение года (Tэ = 8760 ч). За этот период эксплуатации машины суммарное время восстановления отказов составило tв = 40 ч. Время проведения регламента составляет tо = 20 ч. Суммарное время, затраченное на ремонтные работы за период эксплуатации составляет 15 суток, т.е. tр = 15.24 = 360 ч. Решение. Коэффициент технического использования вычислим по формуле (5.33), но сначала определим суммарное время наработки машины: tн = Tэ – (tв + tр + tо) = 8760 – (40 + 360 + 20) = 8340. Kи = tн/(tн + tв + tр + tо) = tн/Tэ = 8340/8760 = 0,952. Ответ: Kи = 0,952. Пример 5.6. При эксплуатации сложной технической системы получены стати- стические данные, которые сведены в табл.5.2. Определить коэффициент готовности системы. Таблица 5.2 Статистические данные, полученные при эксплуатации сложной технической системы (к примеру 5.6) Число от- Время, ч Номер казов восстановление работы Суммарное восста- системы mi отказа tр новление tв,i mitв,i 34 1 2 1 200 2 2 5 2 300 10 3 6 4 400 24 4 4 3 300 12 5 8 2 600 16 6 10 5 700 50 7 15 2 900 30 8 20 3 1000 60 Итого 70 - 4400 204 Наработка на отказ 8 8 Tо = Σtр/Σmi = 4400/70 = 62,8 ч. i=1 i=1 Среднее время восстановления 8 8 Tв = Σmi tв.i/Σmi = 204/70 = 2,9 ч. i=1 i=1 По формуле (5.32) по вычисленным значениям Tо и Tв находим коэффициент го- товности системы: Kr = 62,8/(62,8+2,9) = 0,95. 5.3. Показатели надежности системы, состоящей из независимых элементов Всякая система характеризуется безотказностью и ремонтопригодностью. В ка- честве основной характеристики безотказности системы служит функция надежности, которая представляет собой вероятность безотказной работы в течение некоторого вре- мени t. Пусть система состоит из n элементов, функции надежности которых обозначим через p1(t), p2(t),…pn(t). Так как элементы, входящие в состав системы, являются неза- висимыми, то вероятность безотказной работы системы определяется как произведение вероятностей составляющих ее элементов Р(t) = p1(t)p2(t)...pn(t). (5.34) В частном случае, когда функции надежности составляющих элементов имеют экспоненциальное распределение с постоянными интенсивностями отказов, функция надежности системы определяется по формуле n P(t) = exp[-(λ1 + λ2 +…+ λn)t] = exp[- Σλi t] (5.35) i=1 Одной из важнейших характеристик безотказности системы является среднее время жизни, которое вычисляют, используя выражение ∞ 35 TC = - ∫P(T)DT. (5.36) 0 Для случая экспоненциального распределения среднее время жизни системы равно ∞ n Tc = ∫ exp[- Σλi t]dt = 1/(λ1 + λ2 +…+ λn) (5.37) 0 i=1 Среднее время жизни системы или наработку на отказ по результатам статисти- ческих данных вычисляют по формуле Тc = T/m, (5.38) где T - суммарная наработка системы, полученная по результатам испытаний или экс- плуатации; т - суммарное число отказов, зафиксированное в процессе испытаний или эксплуатации. Коэффициент оперативной готовности характеризует надежность системы, не- обходимость применения которой возникает в произвольный момент времени (кроме планируемых периодов, в течение которых применение системы по назначению не предусматривается), начиная с которого система будет работать безотказно в течение заданного времени T. Значение коэффициента оперативной готовности определяют из выражения Kо = Kг P(t) = Р(t).Tc/(Tc +Тв). (5.39) Пример 5.6. Определить коэффициент оперативной готовности системы за пе- риод времени t = 10 ч, если известно, что система состоит из пяти элементов с соот- ветствующими интенсивностями отказов, ч-1: λ1 = 2.10-5; λ2 = 5.10-5; λ3 = 10-5; λ4 = 20.10-5; λ5 = 50.10-5, а среднее время восстановления при отказе одного элемента равно Tв = 10 ч. Результатами испытаний установлено, что распределение наработки на отказ подчиняется экспоненциальному закону. Решение. Вероятность безотказной работы определим по формуле (5.35) Р(t) = ехр[-Σλi t] ≈ l - (λl+λ2+λз+λ4+λ5)10-5 = =1- (2+5+1+20+50)10-5.10 = 0,992. Значение Tc определяем по формуле (5.37) Tc = 1/(λ1 + λ2 + λ3 + λ4 + λ5) = 105/78 = 1282 ч. Используя формулу (5.39), вычислим коэффициент оперативной готовности Ko = P(t)Tc/(Tc + Tв) P(t) = 0,992.1282/(1282 + 10) = 0,984. Ответ: Ko = 0,984. Пример 5.7. При эксплуатации в течении одного года (Tэ = 1 год = 8760 ч.) из- делий специального назначения было зафиксировано пять отказов (m = 5). На восста- новление каждого отказа в среднем затрачено двадцать часов (Tв = 20 ч.). За указанный период эксплуатации был проведен один регламент (техническое обслуживание). Вре- мя регламента составило десять суток (Tр = 240 ч.). Определить коэффициенты: готов- ности (Kг) и технического использования (Kи). 36 Решение. Коэффициент готовности определим по формуле Kг = 1 – (m Tв/Tэ) = 1 – (5.20/8760) = 0,9886. Коэффициент технического использования равен: Kи = 1 – (m Tв + Tр)/Tэ = 1 – (5.20 + 240)/8760 = 0,9612. Ответ: Kг = 0,9886; Kи = 0,9612. 6. Расчет показателей надежности технических систем 6.1. Структурные модели надежности сложных систем Большинство технических систем являются сложными системами, состоящими из отдельных узлов, деталей, агрегатов, систем управления и т.п. Под сложной сис- темой понимается объект, предназначенный для выполнения заданных функций, ко- торый может быть расчленен на элементы (компоненты), каждый из которых также выполняет определенные функции и находится во взаимодействии с другими элемен- тами системы. С позиций надежности сложная система обладает как отрицательными, так и положительными свойствами. Факторы, отрицательно влияющие на надежность сложных систем, следующие: - во-первых, это большое число элементов, отказ каждого из которых может привести к отказу всей системы; - во-вторых, оценить работоспособность сложных систем весьма затруднительно с точки зрения статистических данных, т.к. они часто являются уникальными или имеются в небольших количествах; - в-третьих, даже у систем одинакового предназначения каждый экземпляр име- ет свои незначительные вариации свойств отдельных элементов, что сказывается на выходных параметрах системы. Чем сложнее система, тем большими индивидуальны- ми особенностями она обладает. Однако сложные системы обладают и такими свойствами, которые положи- тельно влияют на их надежность: - во-первых, сложным системам свойственна самоорганизация, саморегулиро- вание или самоприспособление, когда система способна найти наиболее устойчивое для своего функционирования состояние; - во-вторых, для сложной системы часто возможно восстановление работоспо- собности по частям, без прекращения ее функционирования; - в-третьих, не все элементы системы одинаково влияют на надежность слож- ной системы. Анализ работоспособности сложной системы связан с изучением ее структуры и тех взаимосвязей, которые определяют ее надежное функционирование. При анализе надежности сложных систем их разбивают на элементы (компонен- ты) с тем, чтобы вначале рассмотреть параметры и характеристики элементов, а затем оценить работоспособность всей системы. Под элементом можно понимать составную часть сложной системы, которая может характеризоваться самостоятельными входны- 37 ми и выходными параметрами. При исследовании надежности системы элемент не рас- членяется на составные части, и показатели безотказности и долговечности относятся к элементу в целом. При этом возможно восстановление работоспособности элемента не- зависимо от других частей и элементов системы. Анализ надежности сложных систем имеет свои специфические особенности. Влияние различных отказов и снижение работоспособности элементов системы по- разному скажутся на надежности всей системы. При анализе надежности сложной системы все ее элементы и компоненты целе- сообразно разделить на следующие группы. 1) Элементы, отказ которых практически не влияет на работоспособность сис- темы (деформация ограждающего кожуха машины, изменение окраски по- верхности и т.п.). Отказы (т.е. неисправное состояние) этих элементов могут рассматриваться изолированно от системы. 2) Элементы, работоспособность которых за рассматриваемый период времени практически не изменяется (станины и корпусные детали, малонагруженные элементы с большим запасом прочности). 3) Элементы, ремонт или регулировка которых возможна при работе изделия или во время остановок, не влияющих на его эффективность (подналадка и замена режущего инструмента на станке, регулировка холостого хода кар- бюратора автомобильного двигателя). 4) Элементы, отказ которых приводит к отказам системы. Таким образом, рассмотрению и анализу надежности подлежат лишь элементы последней группы. Как правило, имеется ограниченное число элементов, которые в основном и определяют надежность изделия. Эти элементы и подсистемы выявляются при рассмотрении структурной схемы параметрической надежности. Модели надежности устанавливают связь между подсистемами (или элемента- ми системы) и их влиянием на работу всей системы. Структурная схема надежности определяет функциональную взаимосвязь между работой подсистем (или элементов) в определенной последовательности. Эту схему составляют по принципу функциональ- ного назначения соответствующих подсистем (или элементов) при выполнении ими определенной части работы, выполняемой системой в целом. Техническая система мо- жет быть сконструирована таким образом, что для успешного ее функционирования необходима исправная работа всех ее элементов. В этом случае ее называют последо- вательной системой. Есть также системы, в которых при отказе одного элемента дру- гой элемент способен выполнить его функции. Такую систему называют параллельной. Очень часто системы обладают свойствами как параллельных, так и последовательных систем - системы со смешанным соединением. При расчете надежности необходимо исследовать действия системы, основываясь на ее функциональной структуре и исполь- зуя вероятностные соотношения. Такое исследование структуры позволяет выявить узкие места в конструкции системы с точки зрения ее надежности, а на этапе проектирования разработать конст- руктивные меры по устранению подобных узких мест. Например, можно заранее под- считать, сколько резервных элементов необходимо для обеспечения заданного уровня надежности системы. Далее можно рассчитать надежность системы, построенной из элементов с известной надежностью, или наоборот, исходя из требования к надежности системы, предъявить требования к надежности элементов. 38 6.2. Структурная схема надежности системы с последовательным соединением элементов Имеются структурные схемы надежности системы с последовательным соеди- нением элементов (рис. 6.1), когда отказ одного элемента вызывает отказ другого эле- мента, а затем третьего и т.д. Например, большинство приводов машин и механизмы передач подчиняются этому условию. Так, если в приводе машины выйдет из строя любая шестерня, подшипник, муфта, рычаг управления, электродвигатель, насос смазки, то весь привод перестанет функционировать. При этом отдельные элементы в этом приводе не обязательно должны быть соединены последовательно. Такую структурную схему называют схемой с последовательным соединением зависимых элементов. В этом случае надежность системы определяют по теореме ум- ножения для зависимых событий. Рассмотрим систему, состоящую из двух или более элементов. Пусть А - собы- тие, состоящее в том, что система работает безотказно. a Ai (i=1, 2,..., п) - события, со- стоящие в исправной работе всех ее элементов. Далее предположим, что событие А имеет место тогда и только тогда, когда имеют место все события Ai, т.е. система ис- правна тогда и только тогда, когда исправны все ее элементы. В этом случае систему называют последовательной системой. р1 р2 рn Рис.6.1. Структурная схема надежности системы с последовательным соединением элементов Известно, что отказ любого элемента такой системы приводят, как правило, к отказу системы. Поэтому вероятность безотказной работы системы определяют как произведение вероятностей для независимых событий. Таким образом, надежность всей системы равна произведению надежностей подсистем или элементов: n P(A) = ΠP(Ai). (6.1) i=1 Обозначив Р(А) = Р; Р(Аi) = pi, получим n P = Πpi, (6.2) i=1 где Р - надежность. 39 Сложные системы, состоящие из элементов высокой надежности, могут обла- дать низкой надежностью за счет наличия большого числа элементов. Например, если узел состоит всего из 50 деталей, а вероятность безотказной работы каждой детали за выбранный промежуток времени составляет Pi = 0, 99, то вероятность безотказной ра- боты узла будет P(t) = (0,99)50 = 0,55. Если же узел с аналогичной безотказностью элементов состоит из 400 деталей, то P(t) = (0,99)400 = 0,018, т.е. узел становится практически неработоспособным. Пример 6.1. Определить надежность автомобиля (системы) при движении на заданное расстояние, если известны надежности следующих подсистем: системы зажи- гания p1 = 0,99; системы питания топливом и смазкой p2 = 0,999; системы охлаждения p3 = 0,998; двигателя р4 = 0,995; ходовой части р5 = 0,997. Решение. Известно, что отказ любой подсистемы приводит к отказу автомобиля. Для определения надежности автомобиля используем формулу (6.2) Р = p1 p2 p3 p4 p5 = 0,99.0,999.0,998.0,985.0,997 = 0,979. Ответ: Р = 0,979. 6.3. Структурные схемы надежности систем с параллельным соединением элементов В практике проектирования сложных технических систем часто используют схемы с параллельным соединением элементов (рис. 6.2.), которые построены таким образом, что отказ системы возможен лишь в случае, когда отказывают все ее элемен- ты, т.е. система исправна, если исправен хотя бы один ее элемент. Такое соединение часто называют резервированием. В большинстве случаев резервирование оправдывает себя, несмотря на увеличение стоимости. Наиболее выгодным является резервирование отдельных элементов, которые непосредственно влияют на выполнение основной ра- боты. При конструировании технических систем в зависимости от выполняемой систе- мой задачи применяют горячее или холодное резервирование. Горячее резервирование применяют тогда, когда не допускается перерыв в рабо- те на переключение отказавшего элемента на резервный с целью выполнения задачи в установленное время. Чаще всего горячему резервированию подвергают отдельные элементы. Используют горячее резервирование элементов и подсистем, например ис- точников питания (аккумуляторные батареи дублируются генератором и т.п.). Холодное резервирование используют в тех случаях, когда необходимо увеличе- ние ресурса работы элемента, и поэтому предусматривают время на переключение от- казавшего элемента на резервный. Существуют технические системы с частично параллельным резервированием, т. е. системы, которые оказываются работоспособными даже в случае отказа несколь- ких элементов. 40

Практически каждый специалист по ИТ сталкивался с ситуацией, когда необходимо рассчитать готовность системы, а даных, мягко говоря, маловато. Сегодня мы расскажем о том, как сделать примерный, но вполне практический расчет.

Начнем с определений к основным понятиям. Во-первых, для понимания того, насколько «высокой» должна быть готовность для различных классов систем, необходимо понимать основые термины. В чем измеряется степень готовности системы?

Степень готовности системы описывается через коэффициент готовности, при этом он является безразмерной величиной и не может быть больше 1

Кстати, зачем вообще проводить расчет готовности системы? И как понимать полученный в результате коэффициент? Понятно, что более глубокий и детальный подход с большим количеством показателей даст более точные результаты, но, обычно, необходимо получить данные о существующей или предлагаемой системе, которые позволили бы начать практическую работу.

На самом деле полученный коэффициент отражает тот временной интервал, который система может «позволить себе» простаивать за период времени.

Как же можно посчитать этот коэффициент? Согласно ГОСТ 27.002-89 коэффициент готовности это «вероятность того, что объект окажется в работоспособном состоянии в произвольный момент времени, кроме планируемых периодов, в течение которых применение объекта по назначению не предусматривается» . В свою очередь, работоспособное состояние по ГОСТ 27.002-89 - это «состояние объекта, при котором значения всех параметров, характеризующих способность выполнять заданные функции, соответствуют требованиям нормативно-технической и (или) конструкторской (проектной) документации» . В общем случае это можно записать следующим образом:

Но где взять эти временные показатели, чтобы посчитать коэффициент? Обычно в распоряжении ИТ-специалистов есть совсем другие данные – количество серверов, процессоров, памяти и т.д. На самом деле, для нахождения нужных параметров, нужно проделать следующие шаги:

1. Составить архитектурную схему системы
2. Преобразовать ее в логическую
3. Разбить на модули с последовательным/параллельным соединением компонентов
4. Выполнить расчет готовности по модулям
5. Выполнить расчет готовности для системы в целом

Итак, продемонстрируем эти шаги.

Архитектурная схема системы представляет собой набор включенных в схему объектов (оборудования) вместе с их коммуникациями. Наглядно одна из схем, описывающей архитектуру системы показана на следующем рисунке:

Рис.1 . Схема, отражающая архитектуру системы

На Рис.2 наглядно показан процесс преобразования из одного типа системы в другой.

Рис.2 . Преобразование архитекурной схемы в логическую и разделение ее на модули

Обычно полагают, что чем выше готовность системы, тем лучше – вполне логично. Также обычно полагают, что если систему задублировать, то готовность системы будет выше вдвое.

Однако это не так. Логика данного суждения понятна: была одна система - стало две, в 2 раза больше элементов, а если одна упадет, вторая «поддержит» - значит и готовность системы должна стать в два раза больше.

Мы обещали не загромождать статью громоздкими выводами формул, поэтому приводим их ниже лишь для иллюстрации наших рассуждений. Главное, что при расчете учитывается, КАК внутри системы связаны объекты (оборудование). Для последовательного или параллельного соединения готовность считается по-разному, что в итоге существенно сказывается на окончательном результате для всей системы.

Вероятность безотказной работы системы рассчитывается как:

- для последовательного соединения

- для параллельного соединения

Для примера предположим, что коэффициент готовности отдельного сервера равен 0,99 . В случае кластера коэффициент готовности системы будет, согласно формулам, составлять 0,9999 :

Надо отметить, что готовность повысилась не в 2 раза, а на 2 порядка, т.е. стала лучше в 100 (!) раз.

Рассмотрим пример, который мы раньше приводили на Рис.1 . Предположим, для каждого элемента уже имеются значения К г поэтому рассчитать коэффициент готовности для каждого модуля довольно просто:

Итоговое значение:

Также на основе указанных формул можно отметить, что:

Коэффициент готовности системы не может быть выше наименьшего коэффициента готовности среди компонентов данной системы в случае последовательного соединения.

При создании кластера коэффициент готовности системы повышается минимум в 10 раз при условии, что К г элемента больше 0,9.

Итак, получен результат:

Вернемся к вопросу в начале статьи: что же означает это число? Ниже приведена таблица соответствия коэффициента готовности и времени простоя системы.

Таблица 1 . Соответствие коэффициента готовности и времени простоя

Итак, полученный результат коэффициента готовности из примера на картинке означает, что суммарное время простоя всей системы в год будет составлять 2,8 минуты. Если рассмотреть другой пример, описанный в этой статье, то наличие одного сервера с К г = 0,99 означало простой системы на 3,65 дня , добавление еще одного сервера в кластер позволило снизить время простоя до 52 минут .

Итак, коэффициент готовности обозначет то время, которое бизнес перестает получать поддержку своих сервисов от ИТ-системы. Здесь надо очень четко понимать, что из полученного времени простоя системы необходимо далее получить следующие данные:

1. Сколько в деньгах потеряет бизнес при отсутствии поддержки от ИТ за определенное по расчетам время? Дело в том, что в зависимости от специфики производства/бизнеса, отсутствие поддержки может как очень сильно отразиться на бизнесе, так и почти совсем не повлиять. Например, для крупного телекоммуникационного провайдера или банка останов биллинговой системы мгновенно начинает приносить огромные убытки. А вот для некоторых производств ничего особенно «страшного» не произойдет – особенно там, где непосредственный производственный процесс контролируется людьми, а компьютерные системы лишь обрабатывают вторичную информацию.
2. Учесть косвенные потери (ущерб для имиджа, переход клиентов к конкурентам или отказ от сервисов и т.д.

Здесь надо четко понимать, решение о необходимом уровне готовности принимает бизнес, а не ИТ. Что это означает? Это означает, что в идеале, CIOпредставляет бизнес-руководителям таблицу, где отмечены следующие колонки:

• Коэффициент готовности (разные варианты или уровни)
• Времена простоя, соответствующие этим коэффициентам
• Сколько нужно денег для закупки – чтобы достичь того или иного уровня
• Пустая колонка, которую должен заполнить бизнес: сколько денег теряет бизнес при тех или иных временах простоя, с учетом косвенных потерь

Не надо забывать, что коэффициент готовности элемента инфраструктуры больше 0,999 встречается

Большинство сложных технических систем с длительными сроками службы являются восстанавливаемыми , т.е. возникающие в процессе эксплуатации отказы систем устраняют при ремонте. Технически исправное состояние изделий в процессе эксплуатации поддерживают проведением профилактических и восстановительных работ. При эксплуатации изделий для осуществления работ по поддержанию и восстановлению их работоспособности необходимы значительные затраты труда и материальных средств, а также и времени. Как показывает производственный опыт, эти затраты за время эксплуатации изделий обычно значительно превышают соответствующие затраты на их изготовление.

Совокупность работ по поддержанию и восстановлению работоспособности и ресурса изделий подразделяют на техническое обслуживание и ремонт, которые, в свою очередь, подразделяют на профилактические работы, осуществляемые в плановом порядке, и аварийные, проводимые по мере возникновения отказов или аварийных ситуаций.

Свойство ремонтопригодности изделий влияет на материальные затраты и длительность простоев в процессе эксплуатации. Ремонтопригодность тесно связана с безотказностью и долговечностью изделий. Так, для изделий с высоким уровнем безотказности, как правило, характерны низкие затраты труда и средств на поддержание их работоспособности.

Показатели безотказности и ремонтопригодности изделий являются составными частями комплексных показателей, таких как коэффициенты готовности К и технического использования К ти. К показателям надежности, присущим только восстанавливаемым элементам, следует отнести среднюю наработку на отказ, наработку между отказами, вероятность восстановления, среднее время восстановления, коэффициент готовности и коэффициент технического использования. Средняя наработка на отказ – наработка восстанавливаемого элемента, приходящаяся в среднем на один отказ в рассматриваемом интервале суммарной наработки или определенной продолжительности эксплуатации:

где t i – наработка элемента до i -го отказа; т – число отказов в рассматриваемом интервале суммарной наработки.

Наработка между отказами определяется объемом работы элемента от i -го отказа до (i + 1)-го отказа, где i = 1, 2, ..., т.

Среднее время восстановления одного отказа в рассматриваемом интервале суммарной наработки или определенной продолжительности эксплуатации

где t вi – время восстановления i -го отказа; т – число отказов в рассматриваемом интервале суммарной наработки.

Коэффициент готовности K r представляет собой вероятность того, что изделие будет работоспособно в произвольный момент времени, кроме периодов выполнения планового технического обслуживания, когда применение изделия по назначению исключено. Этот показатель является комплексным, так как он количественно характеризует одновременно два показателя: безотказность и ремонтопригодность. В стационарном (установившемся) режиме эксплуатации и при любом виде закона распределения времени работы между отказами и времени восстановления коэффициент готовности определяют по формуле

(2.19)

где Т o – средняя наработка на отказ; Т в – среднее время восстановления одного отказа.

Таким образом, анализ формулы (2.19) показывает, что надежность изделия является функцией не только безотказности, но и ремонтопригодности. Это означает, что низкая надежность может быть несколько компенсирована улучшением ремонтопригодности. Чем выше интенсивность восстановления, тем выше готовность изделия. Если время простоя велико, то готовность будет низкой.

Другой важной характеристикой ремонтопригодности является коэффициент технического использования К ти, который представляет собой отношение наработки изделия в единицах времени за некоторый период эксплуатации к сумме этой наработки и времени всех простоев, обусловленных устранением отказов, техническим обслуживанием и ремонтами за этот период. Коэффициент технического использования представляет собой вероятность того, что изделие будет работать в надлежащем режиме за время Т. Таким образом, К ти определяется двумя основными факторами – надежностью и ремонтопригодностью.

Коэффициент технического использования характеризует долю времени нахождения элемента в работоспособном состоянии относительно рассматриваемой продолжительности эксплуатации.

Период эксплуатации, для которого определяется коэффициент технического использования, должен содержать все виды технического обслуживания и ремонтов. Коэффициент технического использования учитывает затраты времени на плановые и неплановые ремонты, а также установленные регламенты и определяется по формуле

(2.20)

где t н – суммарная наработка изделия в рассматриваемый промежуток времени; t в, t p и t o – соответственно суммарное время, затраченное на восстановление, ремонт и техническое обслуживание изделия за тот же период времени.

Пример 2.4

Определить коэффициент готовности системы, если известно, что среднее время восстановления одного отказа равно T в = 5 ч, а среднее значение наработки на отказ составляет T o = 500 ч.

Решение

Для определения коэффициента готовности воспользуемся формулой (2.19):

Пример 2.5

Определить коэффициент технического использования машины, если известно, что машину эксплуатируют в течение года (7", = 8760 ч). За этот период эксплуатации машины суммарное время восстановления отказов составило t в = 40 ч. Время проведения регламента – t o = 20 ч. Суммарное время, затраченное на ремонтные работы за период эксплуатации, – 15 сут, т.е. t p = 15 24 = 360 ч.

Решение

Коэффициент технического использования вычислим по формуле (2.20), но сначала определим суммарное время наработки машины:

Ответ: К т = 0,952.

Пример 2.6

При эксплуатации сложной технической системы получены статистические данные, которые приведены в табл. 2.4. Определить коэффициент готовности системы.

Таблица 2.4

Статистические данные, полученные при эксплуатации сложной технической системы

Наработка на отказ Среднее время восстановления

По формуле (2.19) с использованием вычисленных значений Т о и Т в находим коэффициент готовности системы:

Для объектов и устройств разного назначения применяются различные показатели надежности . В настоящее время можно выделить четыре группы объектов, различающиеся показателями и методами оценки надежности :

• неремонтируемые объекты, применяемые до первого отказа;
• ремонтируемые объекты, восстановление которых в процессе применения невозможно (невосстанавливаемые объекты);
• ремонтируемые, восстанавливаемые в процессе применения объекты, для которых недопустимы перерывы в работе;
• ремонтируемые, восстанавливаемые в процессе применения объекты, для которых допустимы кратковременные перерывы в работе.

• Математические модели расчета показателей надежности восстанавливаемых и невосстанавливаемых систем S-, Р-, С-, Ζ-, X-, W-типов представлены в гл. 5.