Вычисление углов эйлера. Кватернионы и действия над ними

Введение

Наконец-то мы подошли к довольно интересной теме - выбору параметров, однозначно определяющих ориентацию твердого тела в пространстве. Исторически наиболее популярными являются углы поворота - они в первую очередь упоминаются в классических учебниках теоретической механики.

Рис.1. Углы Эйлера - параметры, знакомые каждому, кто занимался компьютерной графикой и моделированием пространственного движения тел. И каждый, кому они знакомы, знает, насколько проблематичным бывает их использование.

Обычно углы поворота используют совместно с декартовой системой координат, при этом говорят, что связанная система координат может быть совмещена с базовой путем трех последовательных поворотов вокруг её осей. При этом каждый следующий поворот осуществляется вокруг оси, полученной после предыдущего поворота. Кроме того, следующий поворот не должен происходить вокруг оси, относительно которой совершен предыдущий поворот. В связи с этим существует 12 различных комбинаций углов поворота, самыми известными из которых являются углы Эйлера (рисунок 1). Базовую систему координат поворачивают на угол вокруг оси Z (угол прецессии), затем на угол вокруг оси X (угол нутации), и снова вокруг оси Z на угол (угол собственного вращения) до совмещения её со связанной системой координат.

Использование углов Эйлера всем хорошо - их число совпадает с числом вращательных степеней свободы твердого тела, а значит они не порождают избыточных уравнений связей. Но, даже не прибегая к громоздким формулам, по рисунку 1, можно догадаться, где кроется проблема.

Существует два значения угла нутации, при которых происходит вырождение кинематических уравнений Эйлера (рисунок 2) - и . Предположим, что угол нутации принял одно из этих значений - тогда угол прецессии и угол собственного вращения описывают поворот вокруг одной и той же оси Z и принципиально неразличимы друг от друга. При использовании кинематических уравнений Эйлера мы получаем ноль в знаменателе и NaN в фазовых координатах. Приплыли, процедура интегрирования рухнула.

Другой вариант углов поворота - самолетные углы: - рыскание, - тангаж и - крен (рисунок 3).

Данные параметры поворота вырождаются при тангажах , при этом неразличимы становятся крен и рыскание. Матерые симуляторщики знают, как сходит с ума КПП при выходе на крутые тангажи.

Все возможные комбинации углов поворота имеют вырождение. Для моделирования и закладки в алгоритмы систем управления ориентацией область их применения ограничивается критическими значениями параметров. В прошлой статье мы показали, что не подходят и параметры конечного поворота, а использование непосредственно компонентов тензора поворота затрудняется излишне глубокими зависимостями между ними, что порождает высокий порядок системы уравнений движения.

Однако, ещё великий Леонард Эйлер ввел в рассмотрение четыре параметра, которые не имеют вырождения. На его публикацию по этому поводу тогдашний научный мир особого внимания не обратил. Данная идея, независимо от Эйлера была развита Олидом Родригом, а в работах Уильяма Гамильтона получила окончательное теоретическое обоснование. Встречайте -

1. Кватернионы и действия над ними

Кватернионом называют число вида

Где называют компонентами кватерниона. Сами числа (1) образуют множество гиперкомплексных чисел , включающее в себя все действительные числа и множество комплексных чисел . Математики эпохи, когда работал Гамильтон, уже знали о комплексных числах и о том, как построенные на их основе методы позволяют решать задачи планиметрии и естественным было желание расширить понятие комплексного числа для применения подобных методов к пространственным задачам. Проблема была в том, что добавление второй мнимой единицы не решало проблемы. Гамильтону пришла в голову мысль, что подобные расширенные комплексные числа могут быть не трех-, а четырехкомпонентными. Работая в этом направлении, в порыве вдохновения на одной из прогулок он вывел правило умножения таких чисел, что окончательно сложило мозаику новорожденной теории.

Так вот, перемножение кватернионов сводится к алгебраической операции перемножения сумм, с той лишь разницей, что требуется определить правила умножения мнимых единиц. Традиционно, каждая из мнимых единиц возведенная в квадрат дает -1

А их попарные произведения хорошо описываются диаграммой

Смысл которой прост - если перемножать пары мнимых единиц в порядке, указанном стрелкой, то получается третья мнимая единица со знаком "+". Если порядок перемножения изменить на противоположный - получится третья мнимая единица со знаком "-". Не напоминает правило векторного перемножения ортов в декартовых координатах? Это оно и есть, то есть мы получаем

Пользуясь этими правилами перемножим два кватерниона

Ого! Не слабо, но мы смело приводим подобные слагаемые

И, ну наверняка вы видите тут до боли знакомые действия над векторами. Пусть у нас будут заданы векторы

Тогда каждый кватернион можно представить парой скаляр-вектор

А результат их умножения

Не трудно просто сравнить эту формулу с результатом умножения, которое мы выполнили, при этом считая мнимые единицы ортами декартова базиса. Таким образом, кватернионы включают в себя и векторы трехмерного пространства, и например, кватернионы вида и , будут скалярами, и их произведение эквивалентно произведению скалярных величин

А кватернионы вида и называются векторными кватернионами, и их произведение

Дает скалярное, со знаком минус, и векторное произведение составляющих их векторов.

Из-за наличия в результате произведения векторного умножения, операция умножения кватернионов не коммутативна

Ну и надо ли говорить, что обнуляя два последних коэффициента у каждого из кватернионов мы получим произведение комплексных чисел? Думаю не стоит, ибо мы не погружаемся в комплексную область, а если и говорим о комплексных числах, то там где это требуется.

Не стану так же говорить о том, что сложение кватернионов и умножение их на число аналогично соответствующим операциям в комплексной области. А вот о чем надо поговорить, так о сопряжении кватерниона

О связанной с ним операции вычисления нормы

И операции вычисления обратного кватерниона

И ещё одно полезное свойство, касающееся сопряжения произведения кватернионов

Кроме того, норма обратного кватерниона - величина обратная норме исходного

Эти операции имеют непосредственное отношение к тому, для чего в наши дни используют гиперкомплексные числа

2. Кватернион как линейный оператор поворота

Теперь посмотрим на вот такой фокус. Пусть - один кватернион, а - другой кватернион. Докажем небольшую теорему

Преобразование вида не меняет нормы кватерниона .

Проверяется это утверждение прямым вычислением

Действительно, норма кватерниона не изменяет при подобном преобразовании. А если кватернион будет векторным кватернионом, то не изменится норма вектора, которым он определяется. То есть описанное преобразование над вектором, не меняет его длины, оно будет ортогональным, или преобразованием поворота! Дело за малым - выяснить, вокруг какой оси и на какой угол происходит поворот, определяемый конкретным кватернионом. Для этого возьмем (нам ведь никто не мешает так сделать) и представим кватернион в виде

Величину, стоящую в скобках называют вензором (не путать с тензором!) кватерниона. Поупражняемся над его векторной частью

Никто не мешает делать нам эквивалентных преобразований, вот мы и делаем их. Теперь введем замену

На каком основании? Да на том, что сумма квадратов этих величин всегда даст единицу, а если это так, то никто не мешает представить данные величины как синус и косинус некоторого угла. Почему угол делим на два? Нам так хочется, потом это нам пригодится, ведь угол можно взять произвольный. Исходя из введенной замены мы можем переписать кватернион в виде

Заметим, что вектор , введенный нами, является единичным, так как

В довершении позволим себе ещё одно допущение - пусть кватернион будет единичным, то есть

Теперь аккуратно выполним ортогональное преобразование над векторным кватернионом

Теперь умножим результат (2) на обратный кватернион

Углы Эйлера описывают поворот объекта в трёхмерном евклидовом пространстве. При этом рассматриваются две прямоугольные системы координат, имеющие общий центр: неподвижная система и подвижная, связанная с объектом. На рис.1 неподвижная система координат имеет обозначение XYZ (она наклонена), а подвижная система обозначена как xyz. Углы Эйлера представляют собой углы, на которые поворачивается подвижная система координат, связанная с объектом, до совмещения с неподвижной системой. В классическом варианте первый поворот происходит на угол α вокруг оси z, связанной с объектом, до тех пор, пока не произойдет совпадение оси x, связанной с объектом, c плоскостью XY неподвижной системы. Такое совпадение произойдет по линии пересечения плоскостей XY и xy (линия N на рис. 1). Следующий поворот осуществляется на угол β вокруг нового положения оси x, связанной с объектом, до тех пор, пока не совместятся оси аппликат обеих прямоугольных систем. При этом ось y, связанная с объектом, окажется в плоскости xy неподвижной системы координат XYZ. Последний поворот производится на угол γ вокруг нового положения оси аппликат подвижной системы координат (она будет совпадать с такой же осью неподвижной системы), после чего оси координат XY и xy совместятся.

Рис. 1. Углы Эйлера

Такие повороты некоммутативны, и конечное положение подвижной системы координат зависит от порядка, в котором совершаются повороты.

Если известны координаты вектора R(r x , r y , r z) в подвижной системе координат XYZ и известны углы Эйлера (α, β, γ) подвижной системы координат xyz относительно неподвижной, то можно вычислить координаты этого вектора в неподвижной системе координат xyz. Для этого следует построить матрицы трех последовательных поворотов на углы α, β и γ:

Перемножая эти матрицы в обратном порядке, получим итоговую ортогональную матрицу:

T = T 3 × T 2 × T 1 ,

которая преобразует координаты вектора R(r x , r y , r z) подвижной системы координат в координаты вектора N(n x , n y , n z) такой же длины в неподвижной системе координат:

N = T× R ,

где N и R - матрицы-столбцы соответствующих координат.

Углы Эйлера являются наиболее естественными и понятными при выполнении различных операций вращения объектов, поскольку они соответствуют вращениям объекта, наблюдаемым в видовых окнах трехмерных графических систем. Однако их использование в системах компьютерной анимации сталкивается с рядом трудностей. Прежде всего, это необходимость выбора определенной последовательности поворотов объекта относительно осей системы координат. Если повернуть объект сначала вокруг оси X, затем вокруг оси Y и, наконец, вокруг оси Z, то это будет совсем не тот поворот, если бы повернуть этот объект на те же углы, но в другой последовательности.

Рассмотрим другой пример - создание анимации кубика при повороте его вокруг оси Z мировой системы координат на угол, превышающий 360°, например на угол 450°. Попробуем создать два ключевых кадра, между которыми кубик должен повернуться на этот угол. Для этого в программе MaxScript создайте стандартный параллелепипед:

b = box ()

После этого переместите ползунок временной шкалы анимации к кадру 10, включите режим Auto Key, а затем выполните команду:

b. rotation. z_ rotation = 450

Воспроизведите анимацию. Объект повернется только на 90°, поскольку его оборот на 360° будет игнорирован. Теперь то же самое проделайте в окне программы 3ds Max. Анимация объекта между двумя ключевыми кадрами произойдет на угол 450°. Таким образом, применение эйлеровых вращений в программах компьютерной графики, аналогичных MaxScript, ограничивается одновременным вращением на угол, не превышающий 360°. Однако это не мешает создавать анимацию вручную за экраном дисплея.

Другая проблема углов Эйлера заключается в наличии Gimbal lock, или шарнирного замка. Его появление зависит от выбора порядка поворотов объекта. Например, повернем объект вначале вокруг оси Z на угол 140°, затем вокруг оси X на угол 90°, а потом на угол 130° вокруг оси Y (рис. 2).

Если теперь заново выполнить ту же последовательность поворотов, например, на углы 10° вокруг оси Z, затем на 90° вокруг оси X, а потом на 0° вокруг оси Y, то получим тот же результат. Проблема заключается в том, что когда вращение вокруг оси X становится равным 90° или -90°, то локальная ось вращения Y становится параллельной оси Z, но с обратным направлением, и поэтому вращение вокруг нее вступает в конфликт с предыдущим вращением вокруг оси Z.

Шарнирный замок отсутствует у матриц и кватернионов. Кватернионы предоставляют удобное математическое обозначение положения и вращения объектов в пространстве. В сравнении с углами Эйлера, кватернионы позволяют проще комбинировать вращения, а также избежать проблемы, связанной с невозможностью поворота вокруг оси, независимо от совершённого вращения по другим осям. В сравнении с матрицами они обладают большей вычислительной устойчивостью и могут быть более эффективными. Кватернионы используют для выполнения вращений в компьютерной графике , робототехнике , игровых движках, навигации, молекулярной динамике и вообще везде, где возникают проблемы с углами Эйлера или матрицами.

Литература

1. Углы Эйлера и Gimbal lock [Электронный ресурс] / http://habrahabr.ru – Хабрахабр, 2006. – Режим доступа: http://habrahabr.ru/post/183116/. – Дата доступа: 10.10.2013.
2. Кватернионы и вращение пространства [Электронный ресурс] / http://ru.wikipedia.org/ – Википедия - свободная энциклопедия, 2001. – Режим доступа: http://ru.wikipedia.org/wiki/ Кватернионы_и_вращение_пространства. – Дата доступа: 11.10.2013.

Ликбез по кватернионам, часть 7: интегрирование угловых скоростей, углы Эйлера-Крылова February 27th, 2018

Интегрирование угловых скоростей

Вот мы, наконец, и подобрались к главному назначению кватернионов – к той задаче, которую они выполняют наиболее достойно и где альтернативы им не предвидится.

Для начала мы попинаем дохлую лошадь, в смысле, углы Эйлера и Крылова, надо же понять, что заставило людей изучать и применять такую эзотерическую вещь, как кватернионы (три мнимые единицы, четырёхмерное пространство, половинные углы) - разве нельзя было обойтись курсом-креном-тангажом!?

Задача такова: мы знаем ориентацию нашего изделия в начальный момент времени, и у нас есть датчики угловой скорости (ДУСы). Это могут быть старомодные механические датчики, основанные на гироскопах (именно их неправильно смонтировали на печально известном «Протоне»), либо микроэлектромеханические (MEMS) датчики, либо более точные волоконно-оптические, либо лазерные. Последние два упорно называют гироскопами, и действительно, свет там бежит по кругу, но это название всё равно не вполне корректно. Пользуясь показаниями этих датчиков, мы должны отслеживать, какой именно поворот совершило изделие, иными словами, отслеживать его ориентацию.

Надеемся, что читателю уже понятно, что накапливать углы независимо по каждой из оси датчиков – подход совершенно неверный. Возьмём для примера поворот самолёта, рассмотренный в .

Первоначально самолёт летел с нулевым креном, тангажом и курсом. Затем он совершил поворот на 90 градусов по крену, после чего на 90 градусов по курсу. Как мы увидели ранее, после этих двух поворотов самолёт начал лететь вертикально вниз, то есть его тангаж стал равен -90°, хотя непосредственно по оси тангажа мы вообще не производили поворотов!

Кроме того, данная ориентация самолёта демонстрирует явление «складывания рамок» или «шарнирного замка». Согласно ГОСТ 20058-80 и аналогичным DIN 9300 и ISO 1151-2:1985, когда мы говорим, что самолёт имеет определенный курс, тангаж и крен, это значит: соответствующая ориентация в пространстве будет достигнута, если мы начнём с горизонтального положения на север, затем повернём самолёт по курсу, вслед за этим – по тангажу и, наконец, по крену (см. рисунок). Когда тангаж равен ±90° (самолёт "смотрит" вертикально вверх или вертикально вниз), курс и крен начинают работать одинаково (курс 0° и крен 90° дадут такое же положение, как и курс 90° и крен 0°, и ещё бесконечно много других комбинаций), что и называется складыванием рамок. Если мы примем, что в данной ориентации курс равен 90°, а крен – нулю (именно так рекомендуется разрешать неоднозначность), то сколько угодно малый поворот самолёта по курсу (в смысле, в сторону крыла, т.е при работе рулём направления) заставит скачкообразно изменить показания курса до 0°, крена – до 90°, а тангаж уменьшится на этот самый малый поворот. «Скачкообразно» означает бесконечную производную в этой точке – а это явно нехорошо…

Ещё одно неожиданное препятствие: в книгах по теоретической механике рассматриваются углы Эйлера и углы Крылова. Углы Эйлера носят имена: прецессия, нутация, собственное вращение – они нашли своё применение в описании быстро вращающихся штук.

Углы Крылова: рысканье, дифферент, крен. Рысканье – то же самое, что курс, дифферент – это морской термин для тангажа. Кажется, что знакомые нам курс-тангаж-крен – это и есть углы Крылова.

Не тут-то было.
Вот как определены углы Крылова:

(боролся с искушением прифотошопить сюда лебедя, рака и щуку, тянущих в трёх взаимно-перпендикулярных направлениях)

Приведём цитату из книги Бранца В.Н. и Шмыглевского И.П. - Применение кватернионов в задачах ориентации твердого тела (1973), стр. 79:

Первый поворот выполняется вокруг оси i 3 на угол курса φ, второй поворот происходит по оси i` 2 на угол крена ψ и третий – вокруг оси e 1 на угол тангажа ϑ.

Мы можем заметить, что повороты производятся не в том порядке, как указано ранее. Определённые таким способом углы тоже имеют право на существование, и при малых отклонениях крена и тангажа не будут отличаться от ранее введенных, но уже при углах, характерных для самолётов гражданской авиации, разница будет заметна.

Возьмём всё-таки «вырожденный» пример – самолёт полетел вверх ногами, при этом, чтобы не свалиться, немного задрал нос вверх. Когда мы опишем положение самолёта через углы Крылова, окажется, что самолёт летит с отрицательным тангажом, ведь первым осуществляется поворот по крену, а только потом – на перевёрнутом самолёте – поворот по тангажу, из-за чего он и должен поменять знак – именно в этом случае нос задерётся вверх.

Однако ГОСТ 20058-80 «ДИНАМИКА ЛЕТАТЕЛЬНЫХ АППАРАТОВ В АТМОСФЕРЕ» (http://docs.cntd.ru/document/gost-20058-80) даёт несколько иное определение тангажа:
26. Угол тангажа ϑ - угол между продольной осью OX и горизонтальной плоскостью OXgZg нормальной системы координат.

То есть, когда нос смотрит вверх, тангаж всегда должен получаться положительным, без разницы, как накренён самолёт!

Даже при достаточно плавных разворотах, такая взаимозависимость углов проявится, что приведёт к ошибочному восприятию ориентации объекта в пространстве.

Да и в целом кинематические уравнения для углов не очень радостны. Приведём их для углов Эйлера и для угловых скоростей, измеренных в связанном базисе (то есть, датчики стоят на объекте и поворачиваются вместе с ним):

Разумеется, для работы с углами тангажа, курса и крена, описанными в ГОСТ 20058-80, эти формулы не годятся – нужно вывести другие. Оставим это в качестве упражнения для самых упорных читателей.

В описании ориентации твёрдого тела в виде трёх углов есть определённые преимущества:
- оно наиболее компактно, требуя лишь 3 числа,
- более-менее понятно человеку,
- иногда позволяет найти аналитическое решение кинематических уравнений - для этого Эйлер свои углы и вводил когда-то.

Всё остальное – недостатки: многоэтажные формулы с множеством тригонометрических функций, появление особых точек, в которых нужно ставить свои «костыли» или заранее сдаться, сказав – сюда не заходите, иначе мы потеряемся в пространстве! Ещё мы можем заметить, что все углы способны неограниченно расти, поэтому неплохо бы каждый из них держать в разумных рамках, прибавляя или вычитая 2π, когда понадобится. Для тангажа и вовсе неплохо бы ограничиться -π .. π, что требует коррекции не только самого тангажа, но и курса. Практически любая работа с тремя углами сложна – поворот векторов, сравнение двух положений, композиция поворотов и пр. – везде мы натыкаемся на двухэтажные выражения и особые точки.

Углы Эйлера или Крылова (или какие-либо другие) никогда на практике не использовались в бесплатформенных системах ориентации, но неявным образом участвовали в работе гироплатформ. По сути, гироплатформа – это датчик, который возвращает ориентацию аппарата в пространстве сразу же в виде углов, а в качестве бонуса интегрирующая ускорения, спроецированные на неподвижные оси! Особые точки «математики» здесь соответствовали особым точкам «в железе» - складыванию рамок, если только не предпринимались специальные шаги, такие как введение четвёртой (избыточной) рамки или и вовсе отказ от рамок в пользу вложенных сфер.

Два других представления поворота твёрдого тела - через матрицы поворота и через кватернионы - свободны от недостатков трёх углов. Все операции оказываются линейными, особых точек нет. Продолжение следует...

Вращательным движением твердого тела вокруг неподвижной точки называется такое его движение, при котором одна точка твердого тела или неизменно с ним связанная остается неподвижной относительно выбранной системы отсчета. Его еще называют сферическим движением , поскольку траектория любой точки тела лежит на поверхности сферы с центром в неподвижной точке. Примером такого движения служит волчок, у которого остается неподвижной точка опоры.

Число степеней свободы свободно движущегося в пространстве твердого тела равно шести. Если во время движения тела одна его точка остается неподвижной, то число степеней свободы такого тела при его вращении вокруг этой неподвижной точки будет равно трем и для оценки его положения необходимо задать три независимых параметра. Сделать это можно различными способами. Например, А.Н. Крылов в качестве таких параметров предложил так называемые корабельные углы, определяющие положение твердого тела (корабля) относительно системы координат, связанной своим началом с его центром тяжести (рис. 3.1).

За оси неподвижной системы координат приняты CXYZ, а за оси жестко связанные с кораблем – Cxyz (рис. 3.1). Ось СХ направлена от кормы к носу корабля, ось CZ –к его правому борту, а ось CY образует с ними правую систему координат (вертикально вверх). Положение подвижной системы координат Cxyz , неизменно связанной с кораблем, относительно неподвижной CXYZ для каждого момента времени определяется тремя углами Крылова: углом дифферента , углом крена , углом рыскания (рис. 3.2).

Как видно на рис. 3.2, плоскость CXY пересекает плоскость Cxy по некоторой прямой , образующей угол с осьюCX и угол с осью Cx . Плоскость CYZ пересекает плоскость Cхy полинии Cy 1 , образующей угол с осью Cy . Рассмотрим переход от системы CXYZ к системе Cxyz , выполненный с помощью трех поворотов.

Для совмещения системы CXYZ с системой Cxyz достаточно:

1) повернуть систему CXYZ вокруг третьей из координатных осей CZ на угол дифферента , в результате чего получим систему Cx 1 y 1 z 1 , причем Cz 1 =CZ (рис. 3.3);

2) повернуть систему вокруг первой из координатных осей на угол крена , в результате чего получим систему , при этом (рис. 3.4);

3) повернуть систему вокруг второй из координатных осей на угол рыскания (рис. 3.5), в результате чего приходим к системе Cxyz .

Формулы преобразования координат связаны следующими соотношениями:

1) от CXYZ к (рис. 3.3)

X = x 1 cos y - y 1 sin y + 0 ,

Y =x 1 sin y + y 1 cos y + 0 , (3.1)

Z = 0 + 0 + z 1 ,

или в матричной форме:

[X ] ={ a 3 y } т [x 1 ] , или , (3.2)

где - матрица, транспонированная к матрице , описывающей поворот системы CXYZ вокруг третьей координатной оси СZ на угол дифферента y,

; (3.3)

2) от системы к системе (рис. 3.4)

x 1 = x 2 + 0 + 0 ,

y 1 = 0 + y 2 - z 2 , (3.4)

z 1 = 0 + y 2 + z 2 ,

или в матричной форме

[x 1 ] = [x 2 ] , или , (3.5)

где – матрица, транспонированная к матрице , задающей преобразование поворота от осей системы к осям системы вокруг первой из координатных осей на угол крена , при этом = ,

; (3.6)

3) от системы координат к системе Cxyz (рис. 3.5)

x 2 = x cos j + 0 + z sin j,

y 2 = 0 + y + 0 , (3.7)

z 2 = -x sin j + 0 + z cos j,

или в матричной форме [x 2 ]= [x ], или

. (3.8)

Причем поворотная матрица {a 2 j } т – это матрица, транспонированная к матрице { a 2 j }, задающей преобразование поворота от осей системы к осям системы Cxyz на угол рысканияjвокруг второй из координатных осей = , имеет вид

. (3.9)

Для любой точки М тела с координатами x , y , z в подвижной системе координат, жестко связанной с ним, и с ее же координатами X , Y , Z – в неподвижной системе координат можно установить взаимосвязь проекций вектора точки на оси двух систем координат,

, (3.10)

или в матричном виде

или , (3.11)

где углы Крылова являются некоторыми функциями времени: угол дифферента ,угол крена ,угол рыскания .

Матрица транспонирована к матрице направляющих косинусов , задающей преобразование поворота от осей неподвижной системы CXYZ к осям подвижной системы Cxyz , неизменно связанной с кораблем. Очевидно, что при движении тела координаты x , y , z остаются постоянными в отличие от координат X , Y , Z.

Подставляя в (3.2) соотношения (3.5) и (3.8), получаем:

Сравнивая (3.11) и (3.12), находим, что искомая матрица является произведением трех поворотных матриц

=

=

.(3.13)

Подставляя в (3.2) соотношение (3.5), получаем промежуточное соотношение, которое может понадобиться в дальнейшем, [X ] = [x 2 ]. Промежуточная поворотная матрица = находится как произведение двух матриц поворота:

=

= (3.13a )

Углы Эйлера

В тех случаях, когда угловая скорость вращения в одном направлении значительно больше, чем в двух других (генераторы, моторы, турбины, гироскопы), для определения положения тела в качестве трех независимых параметров выбирают три угла Эйлера: угол прецессии y (t ),угол нутацииq (t ) иугол ротации (собственного вращения) j (t ). Их названия заимствованы из астрономии.

Чтобы задать эти углы, рассмотрим вращение твердого тела вокруг неподвижной точки О . Пусть даны некоторая система отсчета и связанная с ней неподвижная система координат ОXYZ , относительно которой движется твердое тело, и связанная с твердым телом система координат Оxyz , которая движется относительно первой (рис. 3.6 … 3.8). Это означает, что первая и вторая системы координат имеют общее начало O , а углы, образуемые осями Оxyz с осями ОXYZ , изменяются, т.е. система Оxyz
поворачивается вместе с твердым телом вокруг неподвижной точки О (рис. 3.5 … 3.8).

Кинематические уравнения в обобщенных координатах. Углы Эйлера, Крылова, кватернионы.

В курсе теоретической механики сферическое движение задавалось углами Эйлера (рис. 1.2) – углом прецессии y (поворот вокруг неподвижной оси Oz ), углом нутации q (поворот вокруг полуподвижной оси ОК – линии пересечения плоскостей Oxy и O ξη, называемой линией узлов) и углом собственного вращения j (поворот вокруг связанной с телом оси Oz ).

Рис. 1.2. Система ориентационных углов Эйлера твердого тела

Углы Эйлера перечислены здесь в порядке поворотов, которые надо совершить над неподвижной СК Oxyz чтобы она совместилась с подвижной СК O ξηζ. Использование углов Эйлера в сферическом движении делалось для демонстрации принципиальной возможности решения соответствующих задач кинематики. Здесь же у нас стоит задача более оптимально описать такое движение. Кинематические соотношения, выражающие проекции угловой скорости тела на оси связанной СК через угловые скорости указанных углов представляются для углов Эйлера формулами (сверены с программой КИДИМ):

(1.1)

Несмотря на лаконичность такого задания положения тела при сферическом движении (3 степени свободы, 3 координаты), в современной механике оно используется редко. Это объясняется, в частности тем, что формулы вычисления обобщенных скоростей через проекции угловой скорости тела (обратные кинематические соотношения) содержат особенности и несимметричны, что затрудняет анализ результатов и приводит к вычислительным погрешностям. Для углов Эйлера эти соотношения представляются формулами:

(1.2)

Более предпочтительным является использование параметров Родрига-Гамильтона, кватернионов, параметров Кейли-Клейна.

Докажем теорему д’Аламбера-Эйлера .

Перемещение тела, имеющего неподвижную точку, из одного положения в другое, можно осуществить поворотом вокруг некоторой оси, проходящей через неподвижную точку.

Движение тела полностью определяется движением любого треугольника, принадлежащего телу. Поэтому для сферического движения это эквивалентно движению двух точек на некоторой сфере, центр которой совпадает с неподвижной точкой, или движению дуги, соединяющей эти точки. Предположим, что в результате перемещения тела за время Dt некоторая точка А переместилась по сфере в положение В (рис. 1.3). В то же самое время точка, которая находилась в положении В , заняла новое положение С .

Рис. 1.3.

Плоскость ABC пересекает неподвижную сферу по окружности (малого или большого круга). Если D один из полюсов этого круга на сфере, то , т.к. они равнобедренные сферические и , так как они являются двумя положениями одной и той же дуги сферы АВ . по построению (равноудалены от полюса). Следовательно, может быть совмещена с при помощи вращения вокруг оси OD на угол ADB . Теорема доказана.

Параметры Родрига-Гамильтона . Для задания такого поворота, который будем называть конечным поворотом тела , очевидно, надо задать положение оси, направление и угол поворота. Ось поворота можно задать единичным вектором, направленным в ту сторону, откуда поворот тела будет наблюдаться против часовой стрелки. Этот вектор определится своими проекциями на оси некоторой СК (направляющими косинусами его углов с осями этой СК). Таким образом, конечный поворот определится четырьмя скалярными величинами ‑ проекциями единичного вектора оси и величиной угла самого поворота вокруг этой оси.

Воспользуемся для задания таких четырех величин параметрами Родрига-Гамильтона, которые обозначим здесь λ 0 , λ 1 , λ 2 , λ 3 . Последние три параметра обычно объединяют в вектор ={λ 1 , λ 2 , λ 3 } T . Таким образом, будем рассматривать совокупность скалярной и векторной величин λ 0 , . Эти параметры вводятся через элементы конечного поворота и могут быть определены следующим образом. Пусть ‑ направляющий орт оси, вокруг которой поворот совершается, а ψ ‑ величина угла поворота. Тогда