Найдите площадь диагонального сечения правильной усеченной пирамиды. Тест « пирамида

Цели урока:

дать понятие усеченной пирамиды;

рассмотреть различные виды усеченных пирамид;

доказать формулу нахождения площади поверхности усеченной пирамиды; научиться применять полученный знания при решении задач;

Ход урока

I. Организационный момент

Собрать тетради с домашней работой для проверки.

II . Анализ самостоятельной работы

Подводятся итоги самостоятельной работы, решения показываются с помощью слайда 1.

III . Актуализация знаний (слайд № 2, слайд № 3)

Вопросы к классу:

1. Что называется пирамидой? Правильной пирамидой?

2. Что называется площадью боковой поверхности пирамиды?

3. Что называется площадью полной поверхности пирамиды?

4. Что называется трапецией? Равнобедренной? Прямоугольной?

5. Как найти площадь трапеции?

6. Устно решите задачи (а, б) (слайд № 4)

Дано: ABCD - трапеция; ∠ BAD = 45°. ВС = 6 см, AD = 8 см.

Найти: S - ?

Решение:

(Ответ: S = 7 см 2 )

Задача 2 (устно)

Дано: ABCD - трапеция. АВСК - квадрат. ВС = 4√3 см. ∠ CDK = 30°.

Найти: AD - ?

Решение: (Ответ: )

IV. Постановка целей и мотивации темы урока

Учитель показывает слайд №5 с изображением церкви и других строений, одна из частей которых - пирамида.

V. Объяснение темы

Задание (вызывается ученик к доске).

Изобразить произвольную пирамиду P A 1 A 2 ... А n (ученик работает на доске, класс в тетрадях). Учитель: «Возьмем произвольную пирамиду Р А1А2 ... А n и проведем секущую плоскость β, параллельно плоскости α основания пирамиды и пересекающую боковые ребра в точках В 1 , В 2 , ... В n . Плоскость β разбивает пирамиду на два многогранника. Многогранник, гранями которого являются n -угольники А 1 А 2 , ... А n и В 1 В 2 , ... В n (нижнее и верхнее основания), расположенные в параллельных плоскостях, и n -четырехугольников А 1 А 2 В 2 В 1 , А 2 А 3 В 3 В 2 , ... А n А 1 В 1 В n (боковые грани), называется усеченной пирамидой.

Отрезки A 1 B 1 , А 2 В 2 , ... А n В n называются боковыми ребрами усеченной пирамиды. Усеченную пирамиду с основаниями А1А2...А n и В1В2...В n обозначают так: А1А2...А n В1В2...В n . Перпендикуляр, проведенный из какой-нибудь точки одного основания к плоскости другого основания, называется высотой усеченной пирамиды».

По рис. 76 (стр. 64 учебника) назовите верхнее и нижнее основания, боковые грани и ребра усеченной пирамиды, высоту усеченной пирамиды.

Вопрос: Докажите, что боковая грань усеченной пирамиды - трапеция? А1А2В2В1 - трапеция (А1В1 || А2В2).

Усеченная пирамида называется правильной, если она получена сечением правильной пирамиды плоскостью, параллельной основанию. Основания правильной усеченной пирамиды - правильные многоугольники, а боковые грани - равнобедренные трапеции. Высоты этих трапеций называются апофемами. Как найти сумму площадей ее боковых граней?

Площадью боковой поверхности усеченной пирамиды называется сумма площадей ее боковых граней.

где р 1 и р 2 - периметры оснований, h - апофема.

Теорема

Площадь боковой поверхности правильной усеченной пирамиды равна произведению полусуммы периметров оснований на апофему

VI. Решение задач

№ 268 (решает учитель)

Дано: MABCD - правильная пирамида, А1В1С1 || АВС, МО1: O 1 O = 1: 2, NK - апофема, NK = 4 дм, Syc .пи p . = 186 дм2

Найти: ОО1 - ?

Решение: Рассмотрите ΔМКО. Так как NO 1 || KO , то МО1: МО = O 1 N : OK , значит, стороны В1С1: ВС = МО1: МО. В1С1 = 1: 3. Пусть В1С1 = х, ВС = 3х. Имеем (не удовлетворяет условию задачи); В1С1 = 3 (см), N О = 1,5 (см); ВС = 9 (см), ОК = 4,5 (см); KF = OK – NO 1 = 3. Из Δ KNF по теореме Пифагора (Ответ: √7 дм.)

№ 269. Дано: АВСА1В1С1 - усеченная пирамида. АВ = ВС = АС = 4 см; A 1 B 1 = B 1 C 1 = A 1 C 1 = 2 см; АА1 = 2 см.

Найти: МК- ? A \ F \ - ?

Решение: Пусть О и О1 - центры оснований пирамиды.

1) Из ΔАВС имеем: АВ = R √3, R = АО.

2) Из ΔА1 B 1 C 1 находим

3) EK = О K - OE , ОЕ = O 1М, отсюда

4) Из Δ AA 1 F имеем:

5) Из ΔМЕК имеем: (Ответ: )

VII. Подведение итогов

Домашнее задание

Тест (В-1), (В-2).

Тест (см. приложение)

Оценка ставится в зависимости от суммы баллов, набранных учеником, причем правильный ответ оценивается в 2 балла, неправильный - в 1, ответ «не знаю» оценивается в 0 баллов.

Примерная шкала оценок.

Оценки: 3 4 5

Баллы: 3-7 8-10 12

Ответы

Вариант I

Вариант II



Приложение

Т-1.

Вариант I

1. Из данных утверждений выберите верное: а) все ребра правильной пирамиды равны; б) площадь поверхности пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему; в) боковые грани усеченной пирамиды - трапеции; г) утверждения a -в не верны.

2. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды, все грани которой наклонены к основанию под углом 60°, а в основании лежит прямоугольный треугольник с катетами 3 см и 6 см.

а) 9 см2, б) 10 см2, в) 12 см2, г) другой ответ.

3. В правильной четырехугольной пирамиде сторона основания равна 5 см, а плоский угол при вершине пирамиды 60°. Найдите боковое ребро пирамиды.

а) 6 см, б) в) 5 см, г) д) другой ответ.

4. В основании пирамиды SABC лежит равнобедренный треугольник ABC , в котором ВС = 12 см, а АВ = АС = 10 см. Найдите площадь сечения ASM , если оно перпендикулярно плоскости основания, а все боковые ребра пирамиды равны 10 см.

а) б) в) 31 см2, г) другой ответ.

5. Боковые ребра пирамиды SABC равны между собой. SD - высота пирамиды. Точка D лежит внутри Δ ABC . Треугольник ABC :

а) прямоугольный;

б) остроугольный;

в) тупоугольный;

г) недостаточно данных.

6. Найдите площадь диагонального сечения правильной усеченной четырехугольной пирамиды, если ее высота равна √2 см, а стороны основания 1 см и 4 см.

а) 10 см2, б) 2,5 см2, в) 5 см2, г) другой ответ.

Вариант II

1. Из данных утверждений выберите верное: а) все грани правильной пирамиды равны; б) площадь боковой поверхности правильной усеченной пирамиды равна произведению суммы периметров оснований на апофему; в) боковые грани усеченной пирамиды - трапеции; г) утверждения а- b не верны.

2. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды, все грани которой наклонены к основанию над углом 45°, а в основании лежит квадрат с диагональю, равной 18√2 см.

а) 324√2 см2, б) 162√2 см2, в) 81√2, г) другой ответ.

3. В правильной треугольной пирамиде сторона основания равна 4√3 см, а плоский угол при вершине пирамиды равен 90°. Найдите высоту пирамиды,

а) 2√2 см, б) 3√2 см, в) √2 см, г) 4√2 , д) другой ответ.

4. В основании пирамиды ABCD , все боковые ребра которой равны √74 см, лежит прямо угольник со сторонами АВ = 8 см и ВС = 6 см. Найдите площадь сечения MSN , если оно перпендикулярно плоскости основании, а ВМ: МС = 2: 1.

а) 14√ l 4 см, б) 14√15 см, в) 15√15 см, г) другой ответ.

5. Боковые ребра пирамиды SABC равны между собой. SD - высота пирамиды. Точка D - середина ребра ВС. Треугольник A ВС:

а) прямоугольный,

б) остроугольный,

в) тупоугольный,

г) недостаточно данных.

6. Площадь диагонального сечения в правильной усеченной четырехугольной пирамиды равна 20 см2, а стороны основания 2 см и 8 см. Найдите ее высоту.

а) 4√2 см, б) 3√2 см, в) 4√2 см, г) другой ответ

Пирамида. Усеченная пирамида

Пирамидой называется многогранник, одна из граней которого многоугольник (основание ), а все остальные грани – треугольники с общей вершиной (боковые грани ) (рис. 15). Пирамида называется правильной , если ее основанием является правильный многоугольник и вершина пирамиды проектируется в центр основания (рис. 16). Треугольная пирамида, у которой все ребра равны, называется тетраэдром .

Боковым ребром пирамиды называется сторона боковой грани, не принадлежащая основанию Высотой пирамиды называется расстояние от ее вершины до плоскости основания. Все боковые ребра правильной пирамиды равны между собой, все боковые грани – равные равнобедренные треугольники. Высота боковой грани правильной пирамиды, проведенная из вершины, называется апофемой . Диагональным сечением называется сечение пирамиды плоскостью, проходящей через два боковых ребра, не принадлежащих одной грани.

Площадью боковой поверхности пирамиды называется сумма площадей всех боковых граней. Площадью полной поверхности называется сумма площадей всех боковых граней и основания.

Теоремы

1. Если в пирамиде все боковые ребра равнонаклонены к плоскости основания, то вершина пирамиды проектируется в центр окружности описанной около основания.

2. Если в пирамиде все боковые ребра имеют равные длины, то вершина пирамиды проектируется в центр окружности описанной около основания.

3. Если в пирамиде все грани равнонаклонены к плоскости основания, то вершина пирамиды проектируется в центр окружности вписанной в основание.

Для вычисления объема произвольной пирамиды верна формула:

где V – объем;

S осн – площадь основания;

H – высота пирамиды.

Для правильной пирамиды верны формулы:

где p – периметр основания;

h а – апофема;

H – высота;

S полн

S бок

S осн – площадь основания;

V – объем правильной пирамиды.

Усеченной пирамидой называется часть пирамиды, заключенная между основанием и секущей плоскостью, параллельной основанию пирамиды (рис. 17). Правильной усеченной пирамидой называется часть правильной пирамиды, заключенная между основанием и секущей плоскостью, параллельной основанию пирамиды.

Основания усеченной пирамиды – подобные многоугольники. Боковые грани – трапеции. Высотой усеченной пирамиды называется расстояние между ее основаниями. Диагональю усеченной пирамиды называется отрезок, соединяющий ее вершины, не лежащие в одной грани. Диагональным сечением называется сечение усеченной пирамиды плоскостью, проходящей через два боковых ребра, не принадлежащих одной грани.

Для усеченной пирамиды справедливы формулы:

(4)

где S 1 , S 2 – площади верхнего и нижнего оснований;

S полн – площадь полной поверхности;

S бок – площадь боковой поверхности;

H – высота;

V – объем усеченной пирамиды.

Для правильной усеченной пирамиды верна формула:

где p 1 , p 2 – периметры оснований;

h а – апофема правильной усеченной пирамиды.

Пример 1. В правильной треугольной пирамиде двугранный угол при основании равен 60º. Найти тангенс угла наклона бокового ребра к плоскости основания.

Решение. Сделаем рисунок (рис. 18).

Пирамида правильная, значит в основании равносторонний треугольник и все боковые грани равные равнобедренные треугольники. Двугранный угол при основании – это угол наклона боковой грани пирамиды к плоскости основания. Линейным углом будет угол a между двумя перпендикулярами: и т.е. Вершина пирамиды проектируется в центре треугольника (центр описанной окружности и вписанной окружности в треугольник АВС ). Угол наклона бокового ребра (например SB ) – это угол между самим ребром и его проекцией на плоскость основания. Для ребра SB этим углом будет угол SBD . Чтобы найти тангенс необходимо знать катеты SO и OB . Пусть длина отрезка BD равна 3а . Точкой О отрезок BD делится на части: и Из находим SO : Из находим:

Ответ:

Пример 2. Найти объем правильной усеченной четырехугольной пирамиды, если диагонали ее оснований равны см и см, а высота 4 см.

Решение. Для нахождения объема усеченной пирамиды воспользуемся формулой (4). Чтобы найти площади оснований необходимо найти стороны квадратов-оснований, зная их диагонали. Стороны оснований равны соответственно 2 см и 8 см. Значит площади оснований и Подставив все данные в формулу, вычислим объем усеченной пирамиды:

Ответ: 112 см 3 .

Пример 3. Найти площадь боковой грани правильной треугольной усеченной пирамиды, стороны оснований которой равны 10 см и 4 см, а высота пирамиды 2 см.

Решение. Сделаем рисунок (рис. 19).

Боковая грань данной пирамиды является равнобокая трапеция. Для вычисления площади трапеции необходимо знать основания и высоту. Основания даны по условию, остается неизвестной только высота. Ее найдем из где А 1 Е перпендикуляр из точки А 1 на плоскость нижнего основания, A 1 D – перпендикуляр из А 1 на АС . А 1 Е = 2 см, так как это высота пирамиды. Для нахождения DE сделаем дополнительно рисунок, на котором изобразим вид сверху (рис. 20). Точка О – проекция центров верхнего и нижнего оснований. так как (см. рис. 20) и С другой стороны ОК – радиус вписанной в окружности и ОМ – радиус вписанной в окружности:

MK = DE .

По теореме Пифагора из

Площадь боковой грани:

Ответ:

Пример 4. В основании пирамиды лежит равнобокая трапеция, основания которой а и b (a > b ). Каждая боковая грань образует с плоскостью основания пирамиды угол равный j . Найти площадь полной поверхности пирамиды.

Решение. Сделаем рисунок (рис. 21). Площадь полной поверхности пирамиды SABCD равна сумме площадей и площади трапеции ABCD .

Воспользуемся утверждением, что если все грани пирамиды равнонаклонены к плоскости основания, то вершина проектируется в центр вписанной в основание окружности. Точка О – проекция вершины S на основание пирамиды. Треугольник SOD является ортогональной проекцией треугольника CSD на плоскость основания. По теореме о площади ортогональной проекции плоской фигуры получим:

Аналогично и значит Таким образом задача свелась к нахождению площади трапеции АВСD . Изобразим трапецию ABCD отдельно (рис.22). Точка О – центр вписанной в трапецию окружности.

Так как в трапецию можно вписать окружность, то или Из по теореме Пифагора имеем

ТЕСТ « ПИРАМИДА»

Вариант 1

1.Сколько ребер у шестиугольной пирамиды?

а) 6; б) 12; в) 18; г) 24; д) 8

2. Какое наименьшее число граней может иметь пирамида?

а) 5; б) 12; в) 10; г) 6; д) 4

А) многогранник, составленный из n треугольников, называется пирамидой;

Б) все боковые ребра усеченной пирамиды равны;

Г) высота боковой грани правильной пирамиды, проведенная из ее вершины, называется апофемой;

Д) площадью боковой поверхности усеченной пирамиды называется сумма площадей всех ее граней.

4. Боковые ребра треугольной пирамиды 7 см, 12 см, 5 см, одно из них перпендикулярно к плоскости основания. Чему равна высота пирамиды?

а) нельзя определить; б) 12; в) 5 г) 7; д) 8

5. Найдите площадь диагонального сечения правильной усеченной четырехугольной пирамиды, если ее высота см, а стороны оснований 1 см и 4см.

а)10; б) 2,5; в) 5; г) свой вариант ответа

6. Боковые ребра пирамиды SABCравны между собой. SD – высота пирамиды. Точка D лежит внутри треугольника ABC. Треугольник ABC:

1) Высоту пирамиды;

5) Площадь полной поверхности пирамиды

Вариант 2

1.Сколько граней у шестиугольной пирамиды?

а) 6; б) 7; в) 8; г) 10; д) 12

2. Какое наименьшее чисел ребер может иметь пирамида?

а) 6; б) 5; в) 4; г) 7; д) 8

3. Выберите верное утверждение:

А) высота пирамиды называется апофемой;

Б) боковые грани усеченной пирамиды - прямоугольники;

В) пирамида называется правильной, если ее основание правильный многоугольник;

Г) площадь боковой поверхности пирамиды равна произведению периметра основания на высоту;

Д) усеченная пирамида называется правильной, если она получена сечением правильной пирамиды плоскостью, параллельной основанию.

4. Боковые ребра треугольной пирамиды 3 см, 4 см, 7 см. одно из них перпендикулярно к плоскости основания. Чему равна высота пирамиды?

а) нельзя определить; б) 7; в) 5; г) 4; д) 3

5. Найдите высоту правильной усеченной четырехугольной пирамиды, если площадь ее диагонального сечения равна 20 см2, а стороны оснований 2 см и 8см.

а) 4; б) 3; в) 2; г) свой вариант ответа

6. Боковые ребра пирамиды SABCравны между собой. SD – высота пирамиды. Точка D – середина ребра BC. Треугольник ABC:

а) прямоугольный; б) остроугольный; в)тупоугольный; г) нельзя определить

7. В правильной треугольной пирамиде сторона основания равна 12 см, а боковое ребро 10 см. Найдите:

1) Высоту пирамиды;

2) Угол, образованный боковым ребром и плоскостью основания пирамиды;

3) Угол между боковой гранью и плоскостью основания пирамиды;

4) Площадь боковой поверхности пирамиды;

5) Площадь полной поверхности пирамиды;