Нормальное уравнение прямой. Задача определения расстояния от точки до прямой

МАТЕМАТИКА

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

(типовой расчет)

Методические указания и контрольные задания

для самостоятельной работы студентов

горных специальностей очной формы обучения

Составитель М. К. Курчин

Утверждено на заседании кафедры

учебно-методической комиссией

специальности 130403

Протокол № 10 от 27.04.2009

Электронная копия хранится

в библиотеке главного корпуса

ГУ КузГТУ

Данная работа служит качественному выполнению типового расчета студентами первого курса в первом учебном семестре по темам «линейной алгебры» и «аналитической геометрии». В качестве основного учебника рекомендуется «Курчин М. К. Алгебра и геометрия для инженеров: Учеб. пособие / ГУ КузГТУ. – Кемерово, 2004. – 158с.» Именно, по этому учебнику указаны в приводимых решениях задач параграфы для самостоятельной работы. Методические указания содержат пример выполнения типового расчета (из шести задач) и контрольные задания в количестве 36 вариантов. В конце методических указаний приведены ответы ко всем задачам.

Пример выполнения типового расчета

Задача 1 . Решить систему

а) методом последовательного исключения неизвестных;

б) методом определителей; в) матричным методом.

Решение. а) Нам следует (§1) выписать матрицу из коэффициентов системы, присоединить к ней столбец из свободных членов, для удобства отделенный вертикальной чертой, и все преобразования выполнять над строками этой расширенной матрицы.

Подвергнем преобразованиям расширенную матрицу этой системы: . Дальнейшие преобразования расширенной матрицы не требуются.

Мы приходим, следовательно, к системе уравнений

или

обладающей единственным решением х = –1, y = -2, z = 1.

Исходная система оказалась определенной.

б). Для нашей системы (§5 и §6) вычисляем все нужные определители. Здесь:

,

,

,

,

Теперь находим .

в) Матрица из коэффициентов при неизвестных будет:

. Ее определитель D = |А | = 2, поэтому обратная матрица А - 1 существует (§44 и §45), причем

Матрица-столбец из свободных членов уравнений системы будет: . Решением системы будет матрица:

, т. е.

Задача 2 . Вершины треугольника находятся в точках A (–5; 1; 3), B (–5; 4; 7) и C (5; –4; –7). Найти координаты центра тяжести треугольника, величину угла А и направляющие косинусы биссектрисы этого угла.

Решение. Для того чтобы найти координаты точки F – центр тяжести треугольника, заметим, что она делит медиану BD в отношении 2:1, считая от вершины B , а точка D делит сторону AD пополам (§§7-15). Найдем координаты точки D , для чего воспользуемся формулами деления отрезка пополам:

Итак, и точка F делит отрезок BD в отношении

.

Находим координаты точки F :

А центр тяжести треугольника находится в точке

Для того чтобы найти величину угла А , укажем векторы (рис.1)

и

(из координат конца вычитаем координаты начала) и найдем их длины:

Тогда
,

а сам угол А будет равен »37,17 градусам.

Направляющие косинусы биссектрисы угла А можно найти двумя способами. Рассмотрим их.

1 способ . Биссектриса внутреннего угла треугольника делит противоположную сторону на части, пропорциональные прилежащим сторонам. На основании этого, заключаем, что точка K делит отрезок СВ в отношении

Находим координаты точки K :

так, и вектор биссектрисы

Его длина

2 способ . По направлениям векторов рассмотрим единичные векторы

и .

Если сложить эти векторы, то параллелограмм AMLN будет являться в то же время и ромбом, а его диагональ AL будет биссектрисой угла А . Следовательно,

Найдем длину этого вектора:

Задача 3 . Вычислить расстояние от точки K (2; –1; –2) до плоскости Р , проходящей через точку M 1 (3; –3; –5) и прямую Р из точки K .

Решение. Заданная прямая проходит через точку M 0 (6; 1; 2) параллельно вектору = {6; 8; –5} (§27, задача 4). Найдем вектор ={–3; –4; –7}. Нормальный вектор плоскости Р перпендикулярен векторам и , так что в качестве нормального вектора можно взять векторное произведение векторов и .

Рис. 3. К задаче 3

.

Нам удобнее взять за вектор , вектор в –19 раз короче, т. е. = {4; –3; 0}. Теперь запишем уравнение плоскости, проходящей через точку M 1 перпендикулярно вектору :

4(x – 3) – 3(y + 3) = 0, P : 4x – 3y – 21 = 0.

Остается вычислить расстояние точки K от плоскости Р :

.

И записать уравнение перпендикуляра, опущенного из точки K на плоскость Р :

.

Задача 4 . Даны уравнения х – 2у – 1 = 0, х + 3у – 6 = 0 и 3х – у + 2 = 0 двух сторон треугольника и медианы. Составить уравнения третьей стороны треугольника и его высоты, опущенной на эту сторону.

Решение. Пусть уравнения сторон

AB : х – 2у – 1 = 0 и BC : х + 3у – 6 = 0.

Находим (§28) координаты вершины B : B (3; 1).

Координаты вершины B уравнению медианы не удовлетворяют: 3·3 – 1 – 6 ¹ 0. Пусть медиана проведена из вершины A к стороне BC . Найдем координаты вершины

Рис. 4. К задаче 4

A : A (–1; –1).

Найдем теперь координаты точки K пересечения медианы AK со стороной BC :

K : K (0; 2).

Точка C делит отрезок BK внешним образом в отношении .

Следовательно, C (–3; 3).

Вектор , а уравнение стороны AC , как проходящей через точку A , параллельно вектору , запишется:

или 2x + y + 3 = 0.

Высота BH проходит через вершину B и в качестве нормального вектора можно взять вектор . Тогда ее уравнение запишется:

–2(x – 3) + 4(y – 1) = 0 или x – 2y – 1 = 0.

Задача 5 . Через точку В (8; -3) провести прямую так, чтобы площадь треугольника, образованного ею и осями координат, была равна одной квадратной единице.

Решение . Уравнение прямой возьмем в виде уравнения прямой в отрезках , где а и b – величины отрезков, отсекаемых прямой на координатных осях (§28).

Рис. 5. К задаче 5

Задача имеет 2 решения. Одна прямая L 1 пересекает первый координатный угол, для которого a > 0, b > 0 и ab > 0. Другая прямая L 2 пересекает третий координатный угол, для которого a < 0, b < 0 и ab > 0.

Площадь треугольника а так как у нас в любом случае

К тому же искомая прямая проходит через точку В и координаты последней удовлетворяют уравнению прямой.

Таким образом, по условию задачи имеем систему

Решаем эту систему:

Или

Решением этой системы будут две пары значений:

и

Следовательно, искомые прямые имеют уравнения:

или x + 2y – 2 = 0;

или 9x + 32y – 24 = 0.

Ответ: х + 2у -2 = 0; 9х +32у –24 = 0.

Задача 6 . Из точки B (4; 0) направлен луч под углом arctg к прямой x – 2y

Решение. 1). Пусть падающий луч направлен по прямой BA , так что угол BAC x – 2y BA , получается поворотом вектора против часовой стрелки на угол φ. Воспользуемся формулами вычисления координат вектора, получающегося путем поворота против часовой стрелки данного вектора на некоторый угол (§20):

(1)

В качестве вектора можно взять растянутый вектор , т. е. . Формулы (1) тогда примут вид:

или с данными задачи

.

Найдем уравнение прямой AB , проходящей через точку B и имеющей нормальный вектор (§28):

4(x – 4) –3(y –0) = 0 или 4x – 3y = 16.

Находим координаты точки A :

Для отраженного луча нормальный вектор может быть получен поворотом вектора на тот же угол φ, но теперь по часовой стрелке. Заменяя в формулах вычисления координат преобразованного вектора угол φ на угол –φ, получим систему:

или с данными задачи

Чтобы координаты вектора задавались целыми числами, возьмем вектор . Тогда уравнение отраженного луча запишется:

0(x – 10) – 5(y – 8) = 0 или y = 8.

2). Пусть теперь падающий луч направлен по прямой BC , так что угол BCA равен φ = arctg . Нормальный вектор заданной прямой x – 2y + 6 = 0 будет и вектор , нормальный вектор падающего луча – прямой BC , получается поворотом вектора против часовой стрелки на угол π – φ, что равносильно – с точностью до выбора направления – повороту вектора по часовой стрелке на угол φ. Но это и будет как раз вектор . Уравнение падающего луча BC запишется: 0(x – 4) – 5(y – 0) = 0 или y = 0. Тогда С (–6; 0) и для отраженного луча нормальный вектор будет . Наконец, уравнение отраженного луча запишется: 4(x + 6) – 3(y – 0) = 0 или 4x – 3y + 24 = 0.

Ответ: 1) y = 8; 2) 4x – 3y + 24 = 0.

Контрольные задания

1. Линейная алгебра.

Решить систему линейных уравнений а) методом последовательного исключения неизвестных; б) методом определителей; в) матричным методом.

1. 2. 3.

4. 5. 6.

7. 8. 9.

10. 11. 12.

13. 14. 15.

16. 17. 18.

19. 20. 21.

22. 23. 24.

25. 26. 27.

28. 29. 30.

31. 32. 33.

34. 35. 36.

2. Векторная алгебра.

Вершины треугольника находятся в точках А , В и С . Найти координаты центра тяжести треугольника, направляющие косинусы биссектрисы угла А и величину этого угла.

3. Плоскость и прямая в пространстве.

1. Вычислить расстояние от точки K (–5; 3; –2) до плоскости Р , проходящей через точку M 0 (3; 2; 4) параллельно вектору и перпендикулярно плоскости 4x + y – 3z – 7 = 0, Р из точки K .

2. Вычислить расстояние от точки K (1; –1; 4) до плоскости Р , проходящей через точку M 0 (–2; –5; 3) перпендикулярно прямой и записать уравнения перпендикуляра, опущенного на плоскость Р из точки K .

3. Вычислить расстояние от точки K (–3; 0; 1) до плоскости Р , проходящей через прямую параллельно вектору , и записать уравнения перпендикуляра, опущенного на плоскость Р из точки K .

4. Вычислить расстояние от точки K (1; 1; 5) до плоскости Р , проходящей через точку M 0 (2;–1;–3) перпендикулярно двум плоскостям 5x – 2y + 12z + 4 = 0 и 10x + 7y + 24z Р из точки K .

5. Вычислить расстояние от точки K (2; 5; 3) до плоскости Р , проходящей через точку M 0 (–4; 3; –1) параллельно двум прямым и , и записать уравнения перпендикуляра, опущенного на плоскость Р из точки K .

6. Вычислить расстояние от точки K (4; –1; –2) до плоскости Р , проходящей через прямую перпендикулярно плоскости –4x + 7z + 3 = 0, и записать уравнения перпендикуляра, опущенного на плоскость Р из точки K .

7. Вычислить расстояние от точки K (4; 1; 3) до плоскости Р , проходящей через две точки M 1 (5; 3; –4) и M 2 (–8; 4; 8) Р из точки K .

8. Вычислить расстояние от точки K (4; –5; –2) до плоскости Р и , и записать уравнения перпендикуляра, опущенного на плоскость Р из точки K .

9. Вычислить расстояние от точки K (1; –2; 3) до плоскости Р , проходящей через точку M 0 (4; –3; 1) параллельно двум векторам Р из точки K .

10. Вычислить расстояние от точки K (1; –1; 0) до плоскости Р , проходящей через точку M 0 (5; 2; –2) и прямую , и записать уравнения перпендикуляра, опущенного на плоскость Р из точки K .

11. Вычислить расстояние от точки K (2; –1; –2) до плоскости Р , проходящей через точку M 0 (2; –4; 0) параллельно вектору и перпендикулярно плоскости y + 3z Р из точки K .

12. Вычислить расстояние от точки K (3; 1; 2) до плоскости Р , проходящей через точку M 0 (–4; –5; 1) перпендикулярно прямой и записать уравнения перпендикуляра, опущенного на плоскость Р из точки K .

13. Вычислить расстояние от точки K (2; –3; 4) до плоскости Р , проходящей через прямую параллельно вектору , и записать уравнения перпендикуляра, опущенного на плоскость Р из точки K .

14. Вычислить расстояние от точки K (–3; 4; –8) до плоскости Р , проходящей через точку M 0 (–1; 3; –5) перпендикулярно двум плоскостям 4x – 2y + 3z – 1 = 0 и 5x + z + 9 = 0, и записать уравнения перпендикуляра, опущенного на плоскость Р из точки K .

15. Вычислить расстояние от точки K (7; 2; 5) до плоскости Р , проходящей через точку M 0 (3; –2; 11) параллельно двум прямым и , и записать уравнения перпендикуляра, опущенного на плоскость Р из точки K .

16. Вычислить расстояние от точки K (3; 1; 6) до плоскости Р , проходящей через прямую перпендикулярно плоскости –8x + 3y + 5z – 1 = 0, и записать уравнения перпендикуляра, опущенного на плоскость Р из точки K .

17. Вычислить расстояние от точки K (3; 6; –6) до плоскости Р , проходящей через две точки M 1 (2; 4; –5) и M 2 (2; 5; –6) параллельно вектору , и записать уравнения перпендикуляра, опущенного на плоскость Р из точки K .

18. Вычислить расстояние от точки K (–2; –1; 7) до плоскости Р , проходящей через две параллельные прямые и , и записать уравнения перпендикуляра, опущенного на плоскость Р из точки K .

19. Вычислить расстояние от точки K (2; 1; 6) до плоскости Р , проходящей через точку M 0 (–1; –4; 8) параллельно двум векторам и , и записать уравнения перпендикуляра, опущенного на плоскость Р из точки K .

20. Вычислить расстояние от точки K (1; 3; 1) до плоскости Р , проходящей через точку M 0 (5;2;–2) и прямую , и записать уравнения перпендикуляра, опущенного на плоскость Р из точки K .

21. Вычислить расстояние от точки K (6; 3; 3) до плоскости Р , проходящей через точку M 0 (4; –3; 5) параллельно вектору и перпендикулярно плоскости 7x + 4y + 3z – 2 = 0, и записать уравнения перпендикуляра, опущенного на плоскость Р из точки K .

22. Вычислить расстояние от точки K (–3; 5; 3) до плоскости Р , проходящей через точку M 0 (–3; 1; 2) перпендикулярно прямой и записать уравнения перпендикуляра, опущенного на плоскость Р из точки K .

23. Вычислить расстояние от точки K (1; –2; 4) до плоскости Р , проходящей через прямую параллельно вектору , и записать уравнения перпендикуляра, опущенного на плоскость Р из точки K .

24. Вычислить расстояние от точки K (7; 2; 5) до плоскости Р , проходящей через точку M x + 3y – 4z + 8 = 0 и y + z Р из точки K .

25. Вычислить расстояние от точки K (–1; 4; –3) до плоскости Р , проходящей через точку M 0 (4; –5; –2) параллельно двум прямым и , и записать уравнения перпендикуляра, опущенного на плоскость Р из точки K .

26. Вычислить расстояние от точки K (–1; –1; –9) до плоскости Р , проходящей через прямую перпендикулярно плоскости 3x + z + 4 = 0, и записать уравнения перпендикуляра, опущенного на плоскость Р из точки K .

27. Вычислить расстояние от точки K (–6; –1; –4) до плоскости Р , проходящей через две точки M 1 (–1; 2; –6) и M 2 (4; –1; 2) параллельно вектору , и записать уравнения перпендикуляра, опущенного на плоскость Р из точки K .

28. Вычислить расстояние от точки K (2; 3; –3) до плоскости Р , проходящей через две параллельные прямые и , и записать уравнения перпендикуляра, опущенного на плоскость Р из точки K .

29. Вычислить расстояние от точки K (–2; 3; –1) до плоскости Р , проходящей через точку M 0 (1; –2; 3) параллельно двум векторам и , и записать уравнения перпендикуляра, опущенного на плоскость Р из точки K .

30. Вычислить расстояние от точки K (0; –1; –2) до плоскости Р , проходящей через точку M 0 (3; –3; –5) и прямую , и записать уравнения перпендикуляра, опущенного на плоскость Р из точки K .

31. Вычислить расстояние от точки K (0; 2; –1) до плоскости Р , проходящей через точку M 0 (–1; 1; –2) параллельно вектору и перпендикулярно плоскости 2x + 5y + 6 = 0, и записать уравнения перпендикуляра, опущенного на плоскость Р из точки K .

32. Вычислить расстояние от точки K (2; 4; 1) до плоскости Р , проходящей через точку M 0 (5; 2; –4) перпендикулярно прямой и записать уравнения перпендикуляра, опущенного на плоскость Р из точки K .

33. Вычислить расстояние от точки K (4; –2; 3) до плоскости Р , проходящей через прямую параллельно вектору , и записать уравнения перпендикуляра, опущенного на плоскость Р из точки K .

34. Вычислить расстояние от точки K (7; 2; –4) до плоскости Р , проходящей через точку M 0 (2; –4; 1) перпендикулярно двум плоскостям 4x + 3y – 4z + 8 = 0 и y + z – 3 = 0, и записать уравнения перпендикуляра, опущенного на плоскость Р из точки K .

35. Вычислить расстояние от точки K (–3; –2; –5) до плоскости Р , проходящей через точку M 0 (1; 4; –3) параллельно двум прямым и , и записать уравнения перпендикуляра, опущенного на плоскость Р из точки K .

36. Вычислить расстояние от точки K (2; –4; 1) до плоскости Р , проходящей через прямую перпендикулярно плоскости 7x – 4y – 3 = 0, и записать уравнения перпендикуляра, опущенного на плоскость Р из точки K .

4. Прямая на плоскости.

1. Даны уравнения 2х + 7у – 4 = 0 и 4х – 5у + 30 = 0 двух смежных сторон параллелограмма и точка М (–6; 5) пересечения его диагоналей. Написать уравнения двух других сторон и диагоналей параллелограмма.

2. Составить уравнения сторон и вычислить координаты вершин ромба, зная одну из его вершин А (6; –1), точку O (0; 1) пересечения диагоналей и точку F (2; 3) на одной из сторон.

3. В прямоугольнике АВСD даны уравнения х + 3у – 17 = 0 и х + 3у + 3 = 0 двух его сторон и уравнение х + 7у – 37 = 0 диагонали. Найти уравнения двух других сторон и второй диагонали прямоугольника.

4. Даны две С (–3; 2) и D (1; 4) смежные вершины параллелограммаАВСD и точка Q (0; –1) пересечения его диагоналей. Составить уравнения всех сторон и высоты, проведенной из вершины А к стороне ВС параллелограмма.

5. Вычислить координаты вершин и записать уравнения сторон ромба, если известны уравнения х – 7у + 38 = 0 и х – 7у + 8 = 0 двух его сторон и уравнение х – 2у + 8 = 0 одной из его диагоналей.

6. Даны две вершины В (3; 7) и С (–11; –7) треугольника и точка Р (4; 3) пересечения его высот. Составить уравнения сторон и медианы, проведенной из третьей вершины треугольника.

7. В треугольнике АВС даны: уравнение стороны АВ : х + у + 1 = 0 и уравнения двух высот: АН : 3х – 8у + 3 = 0 и ВK : 3х + 2у + 9 = 0. Написать уравнение медианы, проведенной из вершины, противолежащей заданной стороне.

8. Найти координаты вершин и составить уравнения сторон треугольника, зная одну из его вершин А (1; 3) и уравнения 4х + 7у – 1 = 0 и х – 4у – 13 = 0 двух высот. Записать уравнение третьей его высоты.

9. Даны уравнения х – 2у – 4 = 0, 5х – у + 7 = 0 и х + у – 1 = 0 двух сторон треугольника и медианы. Составить уравнения третьей стороны треугольника и его высоты, опущенной на эту сторону.

10. Составить уравнения сторон треугольника, зная одну его вершину В (–1; 5), а также уравнения высоты 3х + у + 5 = 0 и медианы 3х + 2у + 4 = 0, проведенных из одной вершины.

11. Составить уравнения сторон и вычислить координаты вершин ромба, зная одну из его вершин В (2; 1), точку S (3; 3) пересечения диагоналей и точку R (1; 2) на одной из сторон (проходящих через вершину В ).

12. Даны уравнения х + 3у + 7 = 0, 3х – 8у + 4 = 0 и 4х – 5у – 6 = 0 двух сторон треугольника и медианы. Составить уравнения третьей стороны треугольника и его высоты, опущенной на эту сторону.

13. В прямоугольнике АВСD даны уравнения 4х – у + 34 = 0 и 4х – у – 17 = 0 двух его сторон и уравнение 7х + 11у – 17 = 0 диагонали. Найти уравнения двух других сторон и второй диагонали прямоугольника.

14. Даны две вершины С (–4; –4) и А (3; –3) треугольника и точка Q (–1; 5) пересечения его высот. Составить уравнения сторон и медианы, проведенной из третьей вершины треугольника.

15. Даны две D (4; 1) и А (–2; 3) смежные вершины параллелограммаАВСD и точка R (1; 0) пересечения его диагоналей. Составить уравнения всех сторон и высоты, проведенной из вершины В к стороне СD параллелограмма.

16. Найти координаты вершин и составить уравнения сторон треугольника, зная одну из его вершин В (–3; 4) и уравнения х – 5у + 4 = 0 и 4х – 3у + 5 = 0 двух высот. Записать уравнение третьей его высоты.

17. Вычислить координаты вершин и записать уравнения сторон ромба, если известны уравнения 13х – у + 28 = 0 и 13х – у – 108 = 0 двух его сторон и уравнение 3х + 5у – 4 = 0 одной из его диагоналей.

18. Составить уравнения сторон треугольника, зная одну его вершину С (5; 2), а также уравнения высоты 2х – у – 2 = 0 и медианы х – у = 0, проведенных из одной вершины.

19. Даны уравнения 2х + у + 5 = 0 и 4х + 7у = 0 двух смежных сторон параллелограмма и точка М (1; –2) пересечения его диагоналей. Написать уравнения двух других сторон и диагоналей параллелограмма.

20. В треугольнике АВС даны: уравнение стороны ВС : 7х – 2у + 13 = 0 и уравнения двух высот: СР : 5х + 2у – 1 = 0 и ВR : 3х – 5у – 11 = 0. Написать уравнение медианы, проведенной из вершины, противолежащей заданной стороне.

21. В прямоугольнике АВСD даны уравнения х – у + 2 = 0 и х – у + 6 = 0 двух его сторон и уравнение 3х – 7у + 26 = 0 диагонали. Найти уравнения двух других сторон и второй диагонали прямоугольника.

22. Даны две вершины А (–10; 8) и В (11; 1) треугольника и точка Н (5; –7) пересечения его высот. Составить уравнения сторон и медианы, проведенной из третьей вершины треугольника.

23. Даны две А (2; –4) и В (4; 2) смежные вершины параллелограмма АВСD и точка O (1; –1) пересечения его диагоналей. Составить уравнения всех сторон и высоты, проведенной из вершины С к стороне АD параллелограмма.

24. Найти координаты вершин и составить уравнения сторон треугольника, зная одну и его вершин С (–2; –4) и уравнения 6х + 5у – 16 = 0 и х + 2у – 6 = 0 двух высот. Записать уравнение третьей его высоты.

25. Вычислить координаты вершин и записать уравнения сторон ромба, если известны уравнения х + 4у + 9 = 0 и х + 4у – 21 = 0 двух его сторон и уравнение х – у – 1 = 0 одной из его диагоналей.

26. Составить уравнения сторон треугольника, зная одну его вершину А (3; –7), а также уравнения высоты 2х + 3у + 5 = 0 и медианы х + 3у + 7 = 0, проведенных из одной вершины.

27. Даны уравнения 3х – 5у + 7 = 0 и х + 5у + 9 = 0 двух смежных сторон параллелограмма и точка Р (1; 0) пересечения его диагоналей. Написать уравнения двух других сторон и диагоналей параллелограмма.

28. В треугольнике АВС даны: уравнение стороны АС : х – 3у – 10 = 0 и уравнения двух высот: АQ: 3х + у = 0 и СМ : х – 5у – 4 = 0. Написать уравнение медианы, проведенной из вершины, противолежащей заданной стороне.

29. Составить уравнения сторон и вычислить координаты вершин ромба, зная одну из его вершин D (–4; 1), точку N ( 2; – 1) пересечения диагоналей и точку Т (–5; –1) на одной из сторон.

30. Даны уравнения х – у + 4 = 0, 2х + 3у – 17 = 0 и у – 3 = 0 двух сторон треугольника и медианы. Составить уравнение третьей стороны треугольника и его высоты, опущенной на эту сторону.

31. Даны две В (–3; 1) и С (1; –4) смежные вершины параллелограмма АВСD и точка Н (2; 2) пересечения его диагоналей. Составить уравнения всех сторон и высоты, проведенной из вершины D к стороне АВ параллелограмма.

32. Найти координаты вершин и составить уравнения сторон треугольника, зная одну из его вершин А (3; –3) и уравнения 7х – 4у + 2 = 0 и х – 7у + 11 = 0 двух высот. Записать уравнение третьей его высоты.

33. Вычислить координаты вершин и записать уравнения сторон ромба, если известны уравнения х – 8у + 11 = 0 и х – 8у – 49 = 0 двух его сторон и уравнение 2х – у – 8 = 0 одной из его диагоналей.

34. Составить уравнения сторон треугольника, зная одну его вершину В (–9; –6), а также уравнения высоты 4х + у + 13 = 0 и медианы 2х – у + 5 = 0, проведенных из одной вершины.

35. Даны уравнения 7х + 4у + 63 = 0 и 3х + 10у + 27 = 0 двух смежных сторон параллелограмма и точка K (–2; –5) пересечения его диагоналей. Написать уравнения двух других сторон и диагоналей параллелограмма.

36. В треугольнике АВС даны: уравнение стороны АВ : х + у + 2 = 0 и уравнения двух высот: АN : 4х + у + 11 = 0 и ВD : 6х – у + 5 = 0. Написать уравнение медианы, проведенной из вершины, противолежащей заданной стороне.

5. Уравнение прямой в отрезках.

Через точку С провести прямую так, чтобы площадь треугольника, образованного ею и осями координат, была равна S квадратным единицам.

6. Поворот вектора на угол.

1. Даны уравнения двух сторон квадрата: x – 3y + 8 = 0 и x – 3y – 2 = 0. Составить уравнения двух других его сторон при условии, что точка A (–6; –6) лежит на стороне этого квадрата.

2. Точка B (1; 4) является вершиной квадрата, диагональ которого лежит на прямой 3x – 4y – 12 = 0. Найти координаты остальных вершин квадрата.

3. В прямоугольном треугольнике при вершине С (4; –1) острый угол равен arctg3 и уравнение противолежащего катета 2x + y – 2 = 0. Найти координаты остальных вершин прямоугольника.

4. Даны две противоположные вершины квадрата A (5; 1) и С (–4; 2). Найти координаты двух других вершин и составить уравнения диагоналей квадрата.

5. Из точки F (0; –4) направлен луч под углом arctg2 к прямой 2x – y + 6 = 0. Найти уравнение луча, отраженного от этой прямой.

6. Точка С (–4; –5) является вершиной квадрата, одна из сторон которого лежит на прямой x – 2y + 4 = 0. Найти координаты остальных вершин квадрата.

7. Найти координаты вершин прямоугольного равнобедренного треугольника, зная уравнение гипотенузы 2x – 3y – 5 = 0 и вершину прямого угла A (–1; 2).

8. Даны уравнения двух сторон квадрата x + 2y – 9 = 0 и x + 2y + 6 = 0. Составить уравнения двух других его сторон при условии, что точка F (–4; 4) лежит на стороне этого квадрата.

9. Точка С (2; 5) является вершиной квадрата, диагональ которого лежит на прямой 2x + 3y – 6 = 0. Найти координаты остальных вершин квадрата.

10. В прямоугольном треугольнике при вершине А (–9; 5) острый угол равен arctg5 и уравнение противолежащего катета x + 2y + 4 = 0. Найти координаты остальных вершин прямоугольника.

11. Даны две противоположные вершины квадрата В (–3; 1) и D (3; 3). Найти координаты двух других вершин и составить уравнения диагоналей квадрата.

12. Из точки N (–8; 8) под углом arctg4 к прямой 3x – 2y – 12 = 0 направлен луч. Найти уравнение луча отраженного от этой прямой.

13. Точка D (–5; 1) является вершиной квадрата, одна из сторон которого лежит на прямой x + 2y – 7 = 0. Найти координаты остальных вершин квадрата.

14. Найти координаты вершин прямоугольного равнобедренного треугольника, зная уравнение гипотенузы 2x + 3y = 0 и вершину прямого угла В (3; 5).

15. Даны уравнения двух сторон квадрата 4x + y + 33 = 0 и 4x + y – 18 = 0. Составить уравнения двух других его сторон при условии, что точка N (–1; 5) лежит на стороне этого квадрата.

16. Точка D (–8; –5) является вершиной квадрата, диагональ которого лежит на прямой 3x + 5y + 15 = 0. Найти координаты остальных вершин квадрата.

17. В прямоугольном треугольнике при вершине В (5; 1) острый угол равен arctg2 и уравнение противолежащего катета 2x – y + 6 = 0. Найти координаты остальных вершин треугольника.

18. Даны две противоположные вершины квадрата С (6; 2) и А (–5; 3). Найти координаты двух других вершин и составить уравнения диагоналей квадрата.

19. Из точки Р (1; 4) направлен луч под углом к прямой x + 3y – 3 = 0. Найти уравнение луча, отраженного от этой прямой.

20. Точка А (2; 4) является вершиной квадрата, одна из сторон которого лежит на прямой 7x + 5y + 40 = 0. Найти координаты остальных вершин квадрата.

21. Найти координаты вершин прямоугольного равнобедренного треугольника, зная уравнение гипотенузы 11x – 5y – 13 = 0 и вершину прямого угла С (6; –4).

22. Даны уравнения двух сторон квадрата 2x – 5y – 45 = 0 и 2x – 5y + 13 = 0. Составить уравнения двух других его сторон при условии, что точка Р (3; –2) лежит на стороне этого квадрата.

23. Точка А (–1; –4) является вершиной квадрата, диагональ которого лежит

§ 14. Нормальное уравнение прямой. Задача определения расстояния от точки до прямой

Пусть на плоскости хОу дана прямая. Проведём через начало коорди­нат перпендикуляр к данной прямой и назовём его нормалью. Обозначим

через Р точку пересечения нормали с данной прямой и установим положительное направление нормали от точки О к точке Р.

Если а есть полярный угол нормали, p - длина отрезка (черт.10), то уравнение данной пря­ мой может быть записано в виде

х cos α + у sin α - р = 0;

уравнение этого вида называется нормальным.

Пусть дана какая-нибудь прямая и произвольная точка

Черт. 10 М*; обозначим через d расстояние точки М* от данной прямой. Отклонением точки М* от прямой называется число +d, если данная точка и начало координат лежат по разные стороны от данной прямой, и - и, если данная точка и начало координат расположены по одну сторону от данной пря­мой. (Для точек, лежащих на самой прямой, = 0.)

Если даны координаты x*, у* точки М* и нормальное уравнение прямой х cos α + у sin α -р = 0; то отклонение https://pandia.ru/text/79/428/images/image003_21.gif" width="15" height="19"> = х* соs α а + у*sin α - р.

Таким образом, чтобы найти отклонение какой-нибудь точки М* от данной прямой, нужно в левую часть нормального уравнения этой прямой вместо текущих координат подставить координаты точки М*. Полученное число будет равно искомому отклонению.

Чтобы найти расстояние d от точки до прямой, достаточно вычислить отклонение и взять его модуль: d =

Если дано общее уравнение прямой Аx+Bу+С=0, то, чтобы приве­сти его к нормальному виду, нужно все члены этого уравнения умножить на нормирующий множитель μ., определяемый формулой

Знак нормирующего множителя выбирается противоположным знаку сво­бодного члена нормируемого уравнения.

309. Определить, какие из следующих уравнений прямых являются нормальными:

1) x - y -3=0; 2) EN-US style="color:black"">x - y -1 = 0;

3) https://pandia.ru/text/79/428/images/image010_3.gif" width="21" height="41 src=">у + 2 = 0; 4) -color:black">+color:black">- 2 = 0;

5) - х + 2 = 0; 6) х - 2 = 0; 7) у + 2 = 0; 8) - у - 2 = 0.

310. Привести общее уравнение прямой к нормальному виду в каждом из следующих случаев:

1) 4х -3у -10 = 0; 2) x -y +10 = 0;

3) 12х - 5у + 13 = 0; 4) х + 2 = 0; 5) 2х - у -= 0.

311. Даны уравнения прямых:

1) х -2 = 0; 2) х + 2 = 0; 3) у -3 = 0; 4) у + 3 = 0;

5) х +у -6 = 0; 6) х -у +2 = 0; 7) х + у +2 = 0;

8) x cos b -y sin b - q = 0, q >0; b - острый угол;

9) x cos b + y sin b + q = 0, q > 0; b - острый угол.

Определить полярный угол нормали a и отрезок р для каждой из данных прямых; по полученным значениям параметров a и р построить эти прямые на чертеже (в последних двух случаях построение прямой выполнить, считая b = 30 ° и q = 2).

312. Вычислить величину отклонения d и расстояние d точки от прямой в каждом из следующих случаев:

1)А (2;-1)) 4х + 3у +10 = 0;

2) В (0; - 3), 5х -12у -23=0;

3) Р (-2; 3), 3х -4у -2 = 0;

4) Q (l; -2), х -2у -5 = 0.

313. Уcтaнoвить, лежит ли точка М (1; -3) и начало коорди­нат по одну или по разные стороны каждой из следующих прямых:

1) 2х -у + 5 = 0; 2) х -3у -5 = 0; 3) 3х +2у -1 = 0;

2) х -3у + 2 = 0; 5) 10х + 24у +15 = 0.

314. Точка А (2; -5) является ве2шиной квадрата, одна из сторон которого лежит на прямой

х - 2у - 7 = 0.

Вычислить площадь этого квадрата.

315. Даны уравнения двух сторон прямоугольника

3х -2у - 5 = 0, 2х + 3у + 7 = 0

и одна из его вершин А (-2; 1). Вычислить площадь этого прямо­угольника.

316. Дoкaзaть, что прямая

2х +у +3 = 0

пересекает отрезок, ограниченный точками А (-5; 1) и В (3; 7).

317. Доказать, что прямая

2х -3у +6 = 0

не пересекает отрезка, ограниченного точками М1(- 2; -3) и М2(1; -2).

318. Последовательные вершины четырёхугольника суть точки А (-3; 5), В(- 1; -4), С(7; - 1) и D (2; 9). Установить, является ли этот четырёхугольник выпуклым.

319. Последовательные вершины четырёхугольника суть точки А (-1; 6), B (1; -3), С (4; 10) и D (9; 0). Установить, является ли этот четырёхугольник выпуклым.

320. Даны вершины треугольника: А (-10; -13), В(- 2; 3) и С (2; 1). Вычислить длину перпендикуляра, опущенного из вершины В на медиану, проведённую из вершины С.

321. Стороны АВ, ВС и СА треугольника ABC соответственно даны уравнениями

х + 21у - 22 = 0, 5х - 12у + 7 = 0, 4х - 33у + 146 = 0.

Вычислить расстояние от центра тяжести этого треугольника до стороны ВС.

322. Вычислить расстояние d между параллельными прямыми в каждом из следующих случаев:

1) 3х -4у -10 = 0, 2) 5х -12у + 26 = 0,

6х -8у + 5 = 0; 5х -12у -13 = 0;

3) 4х - 3у + 15 = 0, 4) 24х -10у + 39 = 0,

8х -6у + 25 = 0; 12х -2у -26 = 0.

323. Две стороны квадрата лежат на прямых

5х - 12у - 65 = 0, 5х - 12у + 26 = 0.

Вычислить его площадь.

324. Доказать, что прямая

5х - 2у - 1 = 0

Параллельна прямым

5х -2у + 7 = 0, 5х -2у -9 = 0

и делит расстояние между ними пополам.

325. Даны три параллельные прямые

10х +15у -3 = 0, 2х +3у + 5 = 0, 2х +3у -9 = 0.

Установить, что первая из них лежит между двумя другими, и вычислить отношение, в котором она делит расстояние между ними.

326. Доказать, что через точку Р(2; 7) можно провести две прямые так, чтобы их расстояния от точки Q (l; 2) были равны 5. Составить уравнения этих прямых.

327. Доказать, что через точку Р (2; 5) можно провести две прямые так, чтобы их расстояния от точки Q (5; 1) были равны 3. Составить уравнения этих прямых.

328. Доказать, что через точку С (7; - 2) можно провести только одну прямую так, чтобы расстояние её от точки А(4; - 6) было равно 5. Составить её уравнение.

329. Доказать, что через точку В (4; -5) невозможно провести прямую так, чтобы расстояние её от точки С(- 2; 3) было равно 12.

330. Вывести уравнение геометрического места точек, отклоне­ние которых от прямой 8х -15у - 25 = 0 равно -2.

331. Составить уравнения прямых, параллельных прямой 3х -4у - 10 = 0 и отстоящих от неё на расстоянии d =3.

332. Даны две смежные вершины квадрата А (2; 0) и В(-1; 4). Составить уравнения его сторон.

333. Точка А (5; -1) является вершиной квадрата, одна из сторон которого лежит на прямой

4х - 3у - 7 = 0.

Составить уравнения прямых, на которых лежат остальные стороны этого квадрата.

334. Даны уравнения двух сторон квадрата

4х -3у + 3 = 0, 4х -3у -17 = 0

и одна из его вершин А (2; -3). Составить уравнения двух дру­гих сторон этого квадрата.

335. Даны уравнения двух сторон квадрата

5х +12у -10 = 0, 5х +12у +29 = 0.

Составить уравнения двух других его сторон при условии, что точка M 1(-3; 5) лежит на стороне этого квадрата.

336. Отклонения точки М от прямых

5х -12у -13=0 и 3х -4у -19 = 0

равны соответственно - 3 и - 5. Определить координаты точки М.

337. Составить уравнение прямой, проходящей через точку Р(-2; 3) на одинаковых расстояниях от точек А (5; - 1) и В (3; 7).

338. Составить уравнение геометрического места точек, равно­удалённых от двух параллельных прямых:

1) 3х - у + 7 = 0, 2) х - 2у + 3 = 0, 3) 5х - 2у - 6 = 0,

3х - у - 3 = 0; х -2у + 7 = 0; х -4у + 3 = 0.

339. Составить уравнения биссектрис углов, образованных двумя пересекающимися прямыми:

1) х - 3у + 5 = 0, 2) х - 2у - 3 = 0, 3) 3х + 4у - 1 = 0,

3х -у -2 = 0; 2х + 4у + 7 = 0; 5х + 12у - 2 = 0.

340. Составить уравнения прямых, которые проходят через точку Р (2; -1) и вместе с прямыми

2х - у + 5 = 0, 3х + 6у - 1 = 0

образуют равнобедренные треугольники.

341. Определить, лежат ли точка М (1; -2) и начало коорди­нат в одном, в смежных или вертикальных углах, образованных при пересечении двух прямых:

1) 2х -у -5 = 0, 2) 4х +3у -10 = 0, 3) х - 2у - 1=0,

3х +у +10 = 0; 12х -5у -5 = 0; 3х -у -2 = 0.

342. Определить, лежат ли точки М (2; 3) и N (5; -1) в одном, в смежных или вертикальных углах, образованных при пересечении двух прямых:

1) х -3у -5 = 0, 2)2х +7у -5 = 0, 3) 12х +у - 1=0,

2х +9у -2 = 0; х + 3у + 7 = 0; 13х + 2у -5 = 0.

343. Определить, лежит ли начало координат внутри или вне треугольника, стороны которого даны уравнениями

7х -5у -11=0, 8х + 3у + 31=0, х + 8у -19 = 0.

344. Определить, лежит ли точка М (- 3; 2) внутри или вне треугольника, стороны которого даны уравнениями

х + у -4 = 0, 3х - 7у + 8 = 0, 4х - у - 31 = 0.

345. Определить, какой из углов, острый или тупой, образован­ных двумя прямыми

3х - 2у + 5 = 0 и 2х + у - 3 = 0,

содержит начало координат.

346. Определить, какой из углов, острый или тупой, образован­ных двумя прямыми

3х -5у -4 = 0 и х + 2у + 3 = 0,

содержит точку М (2; - 5).

347. Составить уравнение биссектрисы угла между прямыми 3х -у- 4= 0 и 2х +6у +3 = 0, в котором лежит начало коор­динат.

348.

х -7у+5 = 0, 5х+ 5у- 3 = 0,

смежного с углом, содержащим начало координат.

349. Составить уравнение биссектрисы угла между прямыми х + 2у -11 = 0 и 3х - 6у - 5 = 0, в котором лежит точка М(1; -3).

350. Составить уравнение биссектрисы угла между прямыми

2х - 3у - 5 = 0, 6х - 4у + 7 = О,

смежного с углом, содержащим точку С (2; -1).

351. Составить уравнение биссектрисы острого угла, образован­ного двумя прямыми

3x +4y -5 = 0, 5х -12у +3 = 0.

352. Составить уравнение биссектрисы тупого угла, образован­ного двумя прямыми х - 3у + 5 = 0, 3х - у +15 = 0.

1. 137 кв. ед. 2. 10; 20. 3. 4.
,
,
. 5.
и
6.
,
,
. 7.
,
,
,
. 8.
,
,
. 9.1) окружность с центром в полюсе и радиусом 6. 2) луч, выходящий из полюса, наклоненный к полярной оси под углом . 3) прямая, перпендикулярная к полярной оси, отсекающая на ней считая, от полюса, отрезок
. 4) прямая, расположенная в верхней полуплоскости, параллельная полярной оси, отстоящая от нее на расстоянии равном 6. 5) окружность с центром
и радиусом 3. 6) окружность с центром
и радиусом 1. 10. эллипс
,
,
,
,
. 11. гипербола
.
,
,
. 12. гипербола
. 13. парабола: б) в)
14. а) -7, б) -21, в) -139, г) –2. 15.
. 16.
. 17.
,
,
,
. 18. -2. 19. -2. 20.
. 21.
. 22.
,
. 23.
,
. 24.
,
. 25.
. 26.
. 27. -29. 28.
- правая тройка. 29.
куб. ед. 30. - 6.

31. . 32. . 33. . 34.
. 35.
. 36.
. 37.
и
.. 38.
. 39.
. 40.
. 41.
. 42.
. 43.
. 44.
.

45. 1)
, 2)
, 3)
, 4) , 5)
.

47. ,
. 48.
, где
.

49.
,
,
,

. 50. а)
, б)
. 51.
,
,
.

52. а) да, б) нет. 53. - любое число. 54. да. 55. а) проектирование на плоскость У
, б) отражение относительно оси
. 56. Оператор линейный;

–его матрица в базисе
.

57.
,
,
.

58. Собственные значения:
,
,
, собственные векторы: для
,
, где
; для
,
, где
; для
,
где
.

ВАРИАНТ №23

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ: ПРОСТЕЙШИЕ ЗАДАЧИ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПЛОСКОСТИ; ПРЯМАЯ НА ПЛОСКОСТИ; ЛИНИИ ВТОРОГО ПОРЯДКА НА ПЛОСКОСТИ

1. Даны две смежные вершины квадрата А (2, 1) и В (6, -1). Вычислить его площадь.

2. Даны три вершины А (4, -6), В (6, -6), С (-1, 6) параллелограмма АВС D , четвертая вершина D противоположна В . Определить длину диагоналей этого праллелограмма.

3. Найти координаты точки М 1 , сииметричной точке М 2 (0, 1) относительно прямой, проходящей через точки А (8, 2), В (5, 0).

4. Даны вершины треугольника А (4, 1), В (1, –1), С (5, 2). Составить уравнение его высот.

5. Отрезок, ограниченный точками А (7, 10) и В (13, 13), разделен на три равные части. Определить координаты точек деления.

6. Даны две вершины А (–5, 2) и В (3, –2) треугольника АВС и точка N (2, 2) пересечения его высот. Составить уравнения сторон этого треугольника.

7. Точка А (–2, 5) является вершиной квадрата, диагональ которого лежит на прямой
. Составить уравнения сторон этого квадрата.

8. Составить уравнения сторон треугольника АВС , если даны одна из вершин А (2, 8) и уравнения двух медиан
,
.

Указание. Убедиться, что точка А
и точка А
. Пусть
и
- вершины треугольника, расположеные на медианах и соответственно, а точки
и
- середины отрезков АВ и АС соответственно. Далее следует найти координаты вершин В и С треугольника. Так как точки М и С лежат на медиане , то
. Затем из соотношения
найдите
; далее подставив численное значение
в уравнение для , найдите
. Затем, зная
и
, найдите
по формуле
. Далее, подставив численное значение
в уравнение для , найдите . Зная и , из соотношения
найдите . Наконец, зная координаты всех вершин треугольника, найдите общие уравнения его сторон.

9. Установить, какие линии определяются в полярных координатах следующими уравнениями (построить их на чертеже):

а)
; б)
; в)
; г)
;

д)
; е)
.

10. Установить, какая линия определяется уравнением . Найти координаты ее центра, полуоси, эксцентриситет. Сделать чертеж.

11. Составить уравнение гиперболы и найти координаты ее центра и полуоси, если известно, что левая вершина гиперболы находится в правом фокусе эллипса: , при этом правая вершина гиперболы находится в вершине параболы
, эксцентриситет гиперболы равен .

12. Составить уравнение линии, для каждой точки которой расстояние от точки А (1, 2) вдвое дальше, чем от прямой
. Определить, какая это линия; сделать чертеж.

13. Линия задана уравнением
в полярной системе координат.

Требуется: а) построить линию по точкам, начиная от
до
и придавая значения через промежуток ;

б) найти уравнение данной линии в декартовой прямоугольной системе координат, у которой начало совпадает с полюсом, а положительная полуось – с полярной осью;

в) по полученному уравнению определить, какая это линия.

Определители. Базис в пространстве. Координаты вектора

14. Вычислить определители:

а) по правилу треугольника;

б) разложением по элементам первой строки;

в) разложением по элементам второго столбца;

г) сведением к треугольному виду:

а)
, б)
, в)
, г) .

15. Даны векторы: 1 =(3, -2, 1); 2 =(0, -1, 3); 3 =(2, 4, 0); =(-9, 4, 3) в некотором базисе. Показать, что первые три вектора сами образуют базис и найти координаты вектора в этом базисе.

3. Линейные операции над векторами. Проекция вектора на ось. Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов.

16. Найти координаты единичного вектора (орта) , сонаправленного с вектором =(7, -4, 4).

17. Два вектора =(6, 2, -3) и =(-1, –2, 2) приложены к одной точке. Найти координаты:

а) ортов и векторов и ;

б) вектора +;

в) вектора , направленного по биссектрисе угла между векторами и при условии, что
.

18. Найти проекцию вектора =(2, 4, 3) на направление вектора
.

19. Найти проекцию вектора
на ось, составляющую с координатными осями
и
углы
а с осью
тупой угол .

20. Дан квадрат ABCD (обозначение вершин принято по ходу часовой стрелки), длина стороны которого равна 8. Точка О выбрана в плоскости квадрата так, что
,
. Найти
.

а) ввести декартову прямоугольную систему координат
с началом в точке О так, чтобы ось
была направлена по вектору
, а ось
направить в сторону расположения квадрата;

б) подсчитав длину
диагонали квадрата, убедиться (по теореме Пифагора), что
- прямоугольный (
), а поэтому
;

в) найти координаты вектора
, найти координаты векторов
и
(очевидно
), используя равенство
, найти координаты вектора
;

г) зная координаты векторов
и
, найти
, где
, и
.

21. Векторы
(0, -2, -4) и
являются сторонами параллелограмма ОАСВ . Точка N – середина стороны ВС . Найти
.

22. Дано
2,
3,
. Найти и величину угла между векторами и , если
.

23. Вычислить координаты векторного произведения
и его длину
, если =(1, 3, 0),
.

24. Даны вершины треугольника АВС: А (1, -1, 2),В (2, 1, 0) и С (6, 3, 4). Найти площадь треугольника и длину высоты, опущенной из вершины А .

25. Вектор , ортогонален к оси
и вектору
(-3, 4, 1) и образует с осью
острый угол. Найти координаты вектора , если
15.

26. Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах
и
, если
,
и
.

27. Вычислить смешанное произведение векторов
,
(1, -2, 0),
(-1, 0, 2).

28. В правом базисе
заданы векторы:
,
,
. Показать, что эти три вектора не компланарны; установить ориентацию тройки векторов
.

29. Вычислить объем пирамиды, вершины которой А (1, 2, 1), В (–2, 3, –3), С (1, 3, 3), D (2, 1, -3).

30. Вектор перпендикулярен к векторам и . Вычислить
, если
,
, 1,
4, а тройка векторов
– левая.

4.Аналитическая геометрия в пространстве: плоскость и прямая в пространстве; поверхности второго порядка

31. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М 0 (1, 2, -1), параллельную плоскости
.

32. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М 0 (3, 4, 0) и прямую
.

33. Составить уравнение плоскости, проходящей через прямую
перпендикулярно плоскости
.

34. Составить уравнение плоскости, которая проходит через точку М 0 (3, 0, 2) перпендикулярно к двум плоскостям
и .

35. Найти расстояние от точки М 0 (2, 2, -1) до плоскости .

36. Даны вершины треугольника А (2, 2, -1), В (4, 3, 1), С (2, –3, –2). Составить канонические уравнения биссектрисы его внутреннего угла при вершине В .

37. На оси
найти координаты точек, отстоящих от плоскости на расстоянии =2.

38. Составить канонические уравнения прямой, проходящей через точку М 0 (1, 2, –1), параллельно прямой,
,
,
.

39. Найти координаты точки пересечения прямой
и плоскости
.

40. Найти проекцию точки Р (3, 3, 0) на прямую
,
+1,
.

41. Найти координаты точки Q , симметричной точке Р (3, 3, 4) относительно плоскости
.

42. Найти координаты точки Q , симметричной точке Р (5, 2, 4) относительно прямой
.

43. Вычислить растояние от точки Р (1, -2, –2) до прямой
.

44. Найти канонические уравнения прямой , которая проходит через точку М 0 (5, 1, 7) параллельно плоскости и пересекает прямую
.

Указание. Использовать последовательность действий:

а) составить уравнение плоскости
, проходящей через точку М 0 , параллельную плоскости
;

б) найти координаты точки М 1 пересечения прямой с плоскостью
(см. задачу 39);

в) составить канонические уравнения прямой, проходящей через точки М 0 и М 1.

45. Даны координаты вершин пирамиды А 1 (–1, 3, 3), А 2 (4, 2, 4), А 3 (2, 0, 1), А 4 (3, 3, 5). Найти:

угол между ребрами А 1 А 2 и А 1 А 4 ;

угол между ребром А 1 А 4 и гранью А 1 А 2 А 3 ;

уравнение прямой А 1 А 2 ;

уравнение плоскости А 1 А 2 А 3 ;

5) уравнение высоты, опущенной из вершины А 4 на грань А 1 А 2 А 3 .

46. Построить эскиз тела, ограниченного поверхностями:

а)
,
,
(
).

б)
,
,
.

5. Элементы линейной алгебры: системы линейных уравнений; матрицы; линейное векторное пространство; линейные операторы

47. Решить систему линейных уравнений методом Гаусса

48. Найти все вещественные матрицы, перестановочные с матрицей
.

49. Найти матрицу , где

А=
, В=
, С=
.

50. Найти ранг матриц:

а)
; б)
.

51. Дана система линейных уравнений

Доказать ее совместность и решить тремя способами:

а) методом Гаусса;

б) средствами матричного исчисления;

в) по формулам Крамера.

52. Является ли вещественными линейными пространствами:

а) множество всех вещественных матриц второго порядка вида
, где
;

б) множество всех вещественных матриц второго порядка вида
, где
.

53. Найти все значения , при которых вектор
линейно выражается через векторы
, если =(1, –2, ), =(-1, -1, -1), =(1, 1, 2), =(2, 4, 6).

54. Выяснить, является ли данная система векторов из линейно зависимой? =(1, 2, 0, 1), =(2, 1, -1, -1), =(1, 2, 2, 2), =(3, 3, -1, 0).

55. Выяснить геометрический смысл действия линейных операторов, данных в обычном пространстве Оху z , матрицы которых относительно ортонормированного базиса
имеют вид:

а)
; б)
.

56. В пространстве Р 2 всех многочленов степени
вида
, где
оператор действует так:
. Доказать, что оператор линеен и найти его матрицу в базисе
,
,
.

57. В обычном пространстве линейный оператор зеркально отражает векторы относительно прямой
, а линейный оператор ортогонально проецирует векторы на плоскость
. Найти матрицы линейных операторов , ,
в базисе
.

58. Найти собственные значения и собственные векторы линейного преобразования, заданного в некотором базисе матрицей
.