Задачи по стереометрии в первой части ЕГЭ по математике. Приемы и секреты

1. Прямоугольный параллелепипед описан около цилиндра, радиус основания и высота которого равны 1. Найдите объем параллелепипеда.

2. Прямоугольный параллелепипед описан около цилиндра, радиус основания которого равен 4. Объем параллелепипеда равен 16. Найдите высоту цилиндра.

3. В куб вписан шар радиуса 1. Найдите объем куба.

4. В основании прямой призмы лежит прямоугольный треугольник с катетами 6 и 8. Боковые ребра равны

5. В основании прямой призмы лежит квадрат со стороной 2. Боковые ребра равны . Найдите объем цилиндра, описанного около этой призмы.

6. Цилиндр и конус имеют общие основание и высоту. Объём конуса равен 25. Найдите объём цилиндра.

7. Шар вписан в цилиндр. Площадь полной поверхности цилиндра равна 18. Найдите площадь поверхности шара.

8. Из единичного куба вырезана правильная четырехугольная призма со стороной основания 0,5 и боковым ребром 1. Найдите площадь поверхности оставшейся части куба.

9. Цилиндр и конус имеют общие основание и высоту. Найдите объем конуса, если объем цилиндра равен 150.

10. Объём куба, описанного около сферы, равен 216. Найдите радиус сферы.

11. Конус описан около правильной четырехугольной пирамиды со стороной основания 4 и высотой 6. Найдите его объем, деленный на .

12. Во сколько раз объем конуса, описанного около правильной четырехугольной пирамиды, больше объема конуса, вписанного в эту пирамиду?

13. В куб с ребром 3 вписан шар. Найдите объем этого шара, деленный на .

14. Около куба с ребром описан шар. Найдите объем этого шара, деленный на .

15. Вершина куба с ребром 1,6 является центром сферы, проходящей через точку . Найдите площадь части сферы, содержащейся внутри куба. В ответе запишите величину .

Считайте, что радиус сферы меньше ребра куба.

16. Середина ребра куба со стороной 1,9 является центром шара радиуса 0,95. Найдите площадь части поверхности шара, лежащей внутри куба. В ответе запишите .

17. Объём тетраэдра равен 19. Найдите объём многогранника, вершинами которого являются середины рёбер данного тетраэдра.

18. Площадь поверхности тетраэдра равна 12. Найдите площадь поверхности многогранника, вершинами которого являются середины рёбер данного тетраэдра.

19.

Цилиндр описан около шара. Объем цилиндра равен 33. Найдите объем шара.

20. Цилиндр описан около шара. Объем шара равен 24. Найдите объем цилиндра.

21. Конус и цилиндр имеют общее основание и общую высоту (конус вписан в цилиндр). Вычислите объём цилиндра, если объём конуса равен 5.

22. Конус вписан в шар. Радиус основания конуса равен радиусу шара. Объем шара равен 28. Найдите объем конуса.

23. Конус вписан в шар. Радиус основания конуса равен радиусу шара. Объем конуса равен 6. Найдите объем шара.

24. Правильная четырехугольная призма описана около цилиндра, радиус основания которого равен 2. Площадь боковой поверхности призмы равна 48. Найдите высоту цилиндра.

25. Куб вписан в шар радиуса . Найдите объем куба.

26. Около конуса описана сфера (сфера содержит окружность основания конуса и его вершину). Центр сферы находится в центре основания конуса. Образующая конуса равна . Найдите радиус сферы.

27. Около конуса описана сфера (сфера содержит окружность основания конуса и его вершину). Центр сферы находится в центре основания конуса. Радиус сферы равен . Найдите образующую конуса.

28. Шар вписан в цилиндр. Площадь поверхности шара равна 111. Найдите площадь полной поверхности цилиндра.

29. Шар, объём которого равен 6π, вписан в куб. Найдите объём куба.

30. Цилиндр и конус имеют общие основание и высоту. Высота цилиндра равна радиусу основания. Площадь боковой поверхности цилиндра равна Найдите площадь боковой поверхности конуса.

31. Правильная четырехугольная призма описана около цилиндра, радиус основания и высота которого равны 1. Найдите площадь боковой поверхности призмы.

32. Найдите площадь боковой поверхности правильной треугольной призмы, описанной около цилиндра, радиус основания которого равен , а высота равна 2.

33. Найдите площадь боковой поверхности правильной треугольной призмы, вписанной в цилиндр, радиус основания которого равен , а высота равна 2.

34. Найдите площадь боковой поверхности правильной шестиугольной призмы, описанной около цилиндра, радиус основания которого равен , а высота равна 2.

Вы уже знаете, что задачи по стереометрии в первой части ЕГЭ на самом деле простые. Правильный чертеж, элементарная логика, внимательность, плюс некоторые приемы, о которых мы рассказали в первой части статьи и еще расскажем - вот и всё, что вам нужно. Перейдем сразу к практике.

. Объем параллелепипеда равен . Найдите объем треугольной пирамиды .

Мы помним, что объем параллелепипеда равен . А объем пирамиды равен . Иными словами, если у параллелепипеда и пирамиды одинаковые основания и одинаковые высоты, то объем пирамиды будет в три раза меньше, чем объем параллелепипеда. А у нашей пирамиды еще и площадь основания в два раза меньше. Значит, ее объем в шесть раз меньше объема параллелепипеда.

Ответ: .

. Объем куба равен . Найдите объем четырехугольной пирамиды, основанием которой является грань куба, а вершиной - центр куба.

Об одном из способов решения этой задачи мы уже рассказали . Посчитайте, сколько нужно четырехугольных пирамидок, чтобы сложить из них такой кубик.

Есть и второй способ. Если бы пирамида и куб имели одинаковые высоты, объем пирамиды был бы в раза меньше объема куба (поскольку площади основания у них одинаковые). А у нашей пирамиды высота в два раза меньше, чем у куба. Значит, ее объем будет в раз меньше, чем у куба.

Ответ: .

Радиусы трех шаров равны , и . Найдите радиус шара, объем которого равен сумме их объемов.

На самом деле это задача по алгебре, причем элементарная. Объем шара равен . Осталось решить уравнение:

Как извлечь кубический корень из этого числа? Очень просто - разложите его на множители.

Ответ: .

. Найдите высоту правильной треугольной пирамиды, стороны основания которой равны , а объем равен .

Мы говорили, что в основании правильной треугольной пирамиды лежит правильный треугольник. У него все углы равны и все стороны тоже равны. Площадь его проще всего найти по формуле
. Она равна . Поскольку ,
высота равна .

. Найдите объем конуса, образующая которого равна и наклонена к плоскости основания под углом градусов. В ответе укажите .

Если вы вдруг забыли, что такое образующая, - смотрите нашу таблицу с формулами. А что значит «наклонена к плоскости основания»? Вспомним, что угол между прямой и плоскостью - это угол между прямой и ее проекцией на эту плоскость, то есть угол .

Из прямоугольного треугольника находим, что . Объем конуса найдем по известной формуле и поделим на .
Ответ: .

Найдите объем призмы, в основаниях которой лежат правильные шестиугольники со сторонами , а боковые ребра равны и наклонены к плоскости основания под углом градусов.

Нарисуйте вид сверху, то есть правильный шестиугольник. У него все стороны равны, все углы тоже равны.

Как найти площадь правильного шестиугольника, если специальную формулу вы не знаете? Проще всего разбить его на одинаковых равносторонних треугольников. Формула площади равностороннего треугольника вам известна:
.

Итак, площадь основания равна . Осталось найти высоту.

Высота призмы - это отрезок, перпендикулярный ее основаниям. Из прямоугольного треугольника АСН находим:
.

Ответ: .

. Диагональ прямоугольного параллелепипеда равна и образует углы , и градусов с плоскостями граней параллелепипеда. Найдите объем параллелепипеда.

Мы уже говорили, что угол между прямой и плоскостью - это угол между прямой и ее проекцией на данную плоскость.

Обозначим вершины параллелепипеда.

Проекцией диагонали на нижнее основание будет отрезок . Пусть диагональ образует угол градусов именно с плоскостью нижнего основания.
Рассмотрим прямоугольный треугольник . По теореме Пифагора, . Итак, мы нашли высоту параллелепипеда.

Проекцией на переднюю грань будет отрезок .
Из прямоугольного треугольника найдем . Мы нашли ширину параллелепипеда. А его длина (то есть отрезок ) находится аналогично. Она тоже равна . Объем параллелепипеда равен .

Ответ: .

Боковые ребра треугольной пирамиды взаимно перпендикулярны, каждое из них равно . Найдите объем пирамиды.

Если решать «в лоб», считая, что - основание, то у нас получится задача по стереометрии из второй части ЕГЭ. Но зачем такие сложности? Развернем пирамиду.

Объем пирамиды равен . В основании лежит равнобедренный прямоугольный треугольник, площадь которого равна . Тогда объем пирамиды равен .

Ответ: .

. Объем треугольной пирамиды , являющейся частью правильной шестиугольной пирамиды , равен . Найдите объем шестиугольной пирамиды.

У треугольной и шестиугольной пирамид, о которых говорится в условии, одинаковые высоты. Разные только площади основания. Нарисуем вид снизу.

Видим, что площадь основания треугольной пирамиды в раз меньше, чем у шестиугольной.

Ответ: .

Если в условии задачи по стереометрии дан рисунок - значит, повезло. Рисунок - это уже половина решения. А если его нет? Значит, рисуйте сами, как умеете. Отговорки «не умею» или «рисование у нас было только в детском саду» - не принимаются. Вам ведь не девочку на шаре надо изобразить, а намного более простые объекты:-)

. Середина ребра куба со стороной является центром шара радиуса . Найдите площадь части поверхности шара, лежащей внутри куба. В ответе запишите .

Обратите внимание, что . Значит, сторона куба является диаметром шара. Осталось понять, какая часть шара лежит внутри куба.

Правильный ответ: .

Вершина куба со стороной является центром сферы, проходящей через точку . Найдите площадь части сферы, содержащейся внутри куба. В ответе запишите величину .

Здесь главное - понять, какая часть шара лежит внутри куба. Порисуйте кубики и шарики. Пока есть возможность, возьмите яблоко (оно почти шарообразной формы), потренируйтесь. Жаль, что на ЕГЭ вам не выдадут килограмма яблок для отработки пространственного мышления.

Правильный ответ: .

Если вы его не получили, смотрите подсказку в конце статьи.

. Объем треугольной пирамиды равен . Плоскость проходит через сторону основания этой пирамиды и пересекает противоположное боковое ребро в точке, делящей его в отношении , считая от вершины пирамиды. Найдите больший из объемов пирамид, на которые плоскость разбивает исходную пирамиду.

Прежде всего, что значит «точка делит боковое ребро в отношении , считая от вершины»? Это значит, что она делит его на отрезки, длины которых и .

Плоскость делит пирамиду на две. У пирамид и общее основание . Ясно, что отношение их объемов равно отношению высот.

Проведем перпендикуляры и к плоскости основания пирамиды. - высота пирамиды , - высота пирамиды . Очевидно, что отрезок параллелен отрезку , поскольку два перпендикуляра к одной плоскости параллельны друг другу. Через две параллельные прямые можно провести плоскость, причем только одну. Итак, точки и лежат в одной плоскости, то есть мы от стереометрической задачи перешли к плоской, планиметрической.

Треугольники и подобны, .

Значит, . Объем пирамиды равен объема пирамиды .

Ответ: .

. Ребра тетраэдра равны . Найдите площадь сечения, проходящего через середины четырех его ребер.

Прежде всего, все ребра равны, значит, тетраэдр - правильный. В его основании лежит равносторонний треугольник, а вершина проецируется в центр этого треугольника.

Как вы думаете, какая фигура получится в сечении?

Заметим, что отрезок параллелен (поскольку является средней линией треугольника . И отрезок тоже параллелен , потому что является средней линией треугольника . Значит, параллелен . Аналогично параллелен . Мы помним, что средняя линия треугольника не только параллельна основанию - она равна половине основания. А у нашего тетраэдра все ребра равны. Значит, - ромб, все стороны которого равны . Уже хорошо.

Мы уже сказали, что у правильного тетраэдра вершина (точка ) проецируется в центр основания (точка ). В основании - правильный треугольник. Значит, точка будет точкой пересечения биссектрис, медиан и высот этого треугольника, и тогда перпендикулярен .

Вспомним теорему о трех перпендикулярах. является проекцией на плоскость основания, следовательно, отрезок тоже перпендикулярен . И тогда - квадрат. Его площадь равна .

А теперь - самые сложные задачи по стереометрии из первой части варианта ЕГЭ. Для их решения существуют секретные приемы. Конечно же, лучше знать их заранее, чем изобретать на экзамене.

. Объем тетраэдра равен . Найдите объем многогранника, вершинами которого являются середины сторон данного тетраэдра.

Можно долго искать формулу объема октаэдра (а именно он там и находится, в серединке), а можно поступить умнее. Помните, как в задаче мы считали площадь неудобно расположенных фигур?

В нашей задаче про тетраэдр и многогранник можем поступить аналогично. Как получился этот многогранник в серединке? От исходного тетраэдра отрезали четыре маленьких тетраэдра, объем каждого из которых в раз меньше, чем объем большого (об этом мы уже говорили). Получаем: .

Ответ: .

. Объем параллелепипеда равен . Найдите объем треугольной пирамиды .

Обратите внимание, нарисован куб, а написано - параллелепипед. Мы знаем, что его объем равен , но не знаем, чему равны его длина, ширина и высота. Обозначим их и . Не так-то просто найти площадь основания и высоту пирамиды . Так может, и не надо этого делать? Есть более удобный способ - тот же, что и в предыдущей задаче. Ведь пирамида получается, если мы отрежем от параллелепипеда четыре пирамиды по углам - , , и . А объем каждой из них легко посчитать - мы делали это в первой задаче этой статьи. Например, объем пирамиды равен объема параллелепипеда. Объем четырех всех пирамид, которые отрезали, равен объема параллелепипеда. Значит, объем пирамиды равен объема параллелепипеда.

Ответ: .

Поздравляем! Задачи по стереометрии из первой части ЕГЭ по математике освоены - от простых до самых сложных. Заходите чаще на наш сайт.

Подсказка к задаче :

ЕГЭ без ошибок. Считаем быстро и без калькулятора

Вы хотите хорошо сдать ЕГЭ по математике? Тогда вам просто необходимо уметь считать быстро, правильно и без калькулятора. Ведь главная причина потери баллов на ЕГЭ по математике – вычислительные ошибки.

По правилам проведения ЕГЭ, пользоваться калькулятором на экзамене по математике не разрешено. За использование калькулятора или мобильного телефона может быть начислен штраф в размере от трех до десяти тысяч рублей.

На самом деле калькулятор на ЕГЭ по математике не нужен. Все задачи решаются без него. Главное – внимание, аккуратность и некоторые секретные приемы, о которых мы расскажем.

1. Начнем с главного правила. Если какое-то вычисление можно упростить – упростите его.

Вот, например, такое «дьявольское уравнение»:

Семьдесят процентов выпускников решают его «в лоб». Считают дискриминант по формуле b 2 4ac, после чего говорят, что корень невозможно извлечь без калькулятора. Но ведь можно разделить левую и правую части уравнения на 333. Получится
2 2 3 2 0

Какой способ проще? :-)

2. Многие школьники не любят умножение в «столбик». Никому не нравилось в четвертом классе решать скучные «примеры». Однако перемножить числа во многих случаях можно и без «столбика», в строчку. Это намного быстрее.

385 7 300 7 80 7 5 7 2100 560 35 2660 35 2695

18 17 18 10 18 7 180 10 7 8 7 180 70 56 250 56 306

Обратите внимание, что мы начинаем не с меньших разрядов, а с бoльших. Это удобно.

3. Теперь – деление. Нелегко «в столбик» разделить 9450 на 2100. Но вспомним, что знак деления: и дробная черта – одно и то же. Запишем 9450: 2100 в виде дроби и сократим дробь:

Другой пример.

4. Как быстро и без всяких столбиков возвести в квадрат двузначное число? Применяем формулы сокращенного умножения:

(а+b) 2 а 2 2ab b 2

23 2 (20+3) 2 20 2 2 20 3 3 2 400 120 9 529

39 2 (30 9) 2 30 2 2 30 9 9 2 900 540 81 1521

44 2 (40 4) 2 40 2 2 40 4 4 2 1600 320 16 1936.

Иногда удобно использовать и другую формулу:

(а-b) 2 = а 2 - 2ab b 2

78 2 = (80 – 2) 2 = 6400 – 320 4 = 6084

89 2 = (90 – 1) 2 = 8100 – 180 1 = 7201

5. Числа, оканчивающиеся на 5, в квадрат возводятся моментально.

Допустим, надо найти квадрат числа А5 (А - не обязательно цифра, любое натуральное число). Умножаем А на А+1 и к результату приписываем 25. Всё!

Например: 45 2 2025 (4 5 20 и приписали 25).

65 2 4225 (6 7 42 и приписали 25).

125 2 15625 (12 13 156 и приписали 25).

Этот способ полезен не только для возведения в квадрат, но для извлечения квадратного корня из чисел, оканчивающихся на 25.

6. А как вообще извлечь квадратный корень без калькулятора? Покажем два способа.

Первый способ – разложение подкоренного выражения на множители.

Например, найдем
Число 6561 делится на 3 (так как сумма его цифр делится на 3). Разложим 6561 на множители:

6561 3 3 3 3 81 81 81
81

Найдем. Это число делится на 2. На 3 оно тоже делится. Раскладываем 2916 на множители.

Еще пример.

Есть и второй способ. Он удобен, если число, из которого надо извлечь корень, никак не получается разложить на множители.

Например, надо найти. Число под корнем – нечетное, оно не делится на 3, не делится на 5, не делится на 7... Можно и дальше искать, на что же оно все-таки делится, а можно поступить проще – найти этот корень подбором.

Очевидно, что в квадрат возводили двузначное число, которое находится между числами 70 и 80, поскольку 70 2 4900, 80 2 6400, а число 5041 находится между ними. Первую цифру в ответе мы уже знаем, это 7.

Последняя цифра в числе 5041 равна 1. Поскольку 1 2 1, 9 2 81, последняя цифра в ответе – либо 1, либо 9. Проверим:
71 2 (70 1) 2 4900 140 1 5041. Получилось!

50 2 2500, 60 2 3600. Значит, первая цифра в ответе – пятерка.

В числе 2809 последняя цифра – девятка. 3 2 9, 7 2 49. Значит, последняя цифра в ответе – либо 3, либо 9.

Проверим:
53 2 (50 3) 2 2500 300 9 2809.

Если число, из которого надо извлечь квадратный корень, заканчивается на 2, 3, 7 или 8 – значит, квадратный корень из него будет числом иррациональным. Потому что ни один квадрат целого числа не заканчивается на 2, 3, 7 или 8. Помните, что в задачах части В вариантов ЕГЭ по математике ответ должен быть записан в виде целого числа или конечной десятичной дроби, то есть должен являться рациональным числом.

7. Квадратные уравнения встречаются нам в задачах В3, В10 и В12 вариантов ЕГЭ, а также в части С. В них нужно считать дискриминант, а затем извлекать из него корень. И совсем не обязательно искать корни из пятизначных чисел. Во многих случаях дискриминант удается разложить на множители.

Например, в уравнении

9. Еще одна ситуация, в которой выражение под корнем можно разложить на множители, взята из задачи В4.

Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 39, один из катетов равен 36, найти второй катет.

По теореме Пифагора, он равен. Можно долго считать в столбик, но проще применить формулу сокращенного умножения.

А теперь расскажем самое интересное - из-за чего все-таки выпускники теряют на ЕГЭ драгоценные баллы. Ведь ошибки в вычислениях возникают не просто так.

1. Верный путь к потере баллов - неаккуратные вычисления, в которых что-то исправлено, зачеркнуто, одна цифра написана поверх другой. Посмотрите на свои черновики. Возможно, они выглядят так же? :-)

Пишите разборчиво! Не экономьте бумагу. Если что-то неправильно – не исправляйте одну цифру на другую, лучше напишите заново.

2. Почему-то многие школьники, считая в столбик, стараются сделать это 1) очень-очень быстро, 2) очень мелкими цифрами, в уголке тетради и 3) карандашом. В результате получается вот что:

Разобрать что-либо невозможно. Что ж тогда удивляться, что оценка за ЕГЭ ниже, чем ожидали?

3. Многие школьники привыкли игнорировать скобки в выражениях. Иногда встречается и такое:

Помните, что знак равенства ставится не где попало, а только между равными величинами. Пишите грамотно, даже на черновике.

4. Огромное количество вычислительных ошибок связано с дробями. Если вы делите дробь на дробь – пользуйтесь тем, что.

Здесь нарисован «гамбургер», то есть многоэтажная дробь. Крайне сложно при таком способе получить правильный ответ.

Подведем итоги.

Проверка заданий части В – автоматическая. Здесь не бывает «почти правильного» ответа. Либо он правилен, либо нет. Одна вычислительная ошибка – и привет, задача не засчитывается. Поэтому в ваших интересах научиться считать быстро, правильно и без калькулятора.

Задания части С проверяет эксперт. Позаботьтесь о нем! Пусть ему будет понятен и ваш почерк, и логика решения.

Самое главное – ваши вычисления должны быть максимально простыми. Есть известный принцип, применяемый в программировании и дизайне. По-английски он звучит так: «Keep it simple, stupid!» и легко запоминается как KISS:-)

Задача по стереометрии В9
Часть 1: Просто применяем формулы

Стереометрия на ЕГЭ по математике - это задачи В9 и С2. Сначала расскажем, как решать задачи В9. Они простые. Вам понадобится лишь знание формул и элементарная логика.

Все формулы есть в наших таблицах.

Куб, параллелепипед, призма, пирамида. Объем и площадь поверхности

Цилиндр, конус, шар. Объем и площадь поверхности

Часто в задачах ЕГЭ, посвященных стереометрии, требуется посчитать объем тела или площадь его поверхности. Или как-то использовать эти данные. Поэтому заглянем в толковый словарь русского языка и уточним понятия.

Объем - величина чего-нибудь в длину, ширину и высоту, измеряемая в кубических единицах.
Другими словами, чем больше объем, тем больше места тело занимает в трехмерном пространстве.

Площадь - величина чего-нибудь в длину и ширину, измеряемая в кубических единицах.
Представьте себе, что вам нужно оклеить всю поверхность объемного тела. Сколько квадратных сантиметров (или метров) вы бы обклеили? Это и есть его площадь поверхности.

Объемные тела - это многогранники (куб, параллелепипед, призма, пирамида) и тела вращения (цилиндр, конус, шар). Если в задаче по стереометрии речь идет о многограннике, вам встретятся термины «вершины» «грани» и «ребра». Вот они, на картинке.

Чтобы найти площадь поверхности многогранника, сложите площади всех его граней.

Вам могут также встретиться понятия «прямая призма, правильная призма, правильная пирамида».

Прямой называется призма, боковые ребра которой перпендикулярны основанию.
Если призма - прямая и в ее основании лежит правильный многоугольник, призма будет называться правильной .
А правильная пирамида - такая, в основании которой лежит правильный многоугольник, а вершина проецируется в центр основания.

Перейдем к практике.

1. Одна из самых распространенных задач В9 - такая, где надо посчитать объем или площадь поверхности многогранника, из которого какая-нибудь часть вырезана. Например, такого:

Что тут нарисовано? Очевидно, это большой параллелепипед, из которого вырезан «кирпичик», так что получилась «полочка». Если вы увидели на рисунке что-то другое - обратите внимание на сплошные и штриховые линии. Сплошные линии - видимы. Штриховыми линиями показываются те ребра, которые мы не видим, потому что они находятся сзади.

Объем найти просто. Из объема большого «кирпича» вычитаем объем маленького. Получаем: 754 71.

А как быть с площадью поверхности? Почему-то многие школьники пытаются посчитать ее по аналогии с объемом, как разность площадей большого и малого «кирпичей». В ответ на такое «решение» я обычно предлагаю детскую задачу - если у четырехугольного стола отпилить один угол, сколько углов у него останется? :-)

На самом деле нам нужно посчитать сумму площадей всех граней - верхней, нижней, передней, задней, правой, левой, а также сумму площадей трех маленьких прямоугольников, которые образуют «полочку». Можно сделать это «в лоб», напрямую. Но есть и способ попроще.

Прежде всего, если бы из большого параллелепипеда ничего не вырезали, его площадь поверхности была бы равна 110. А как повлияет на него вырезанная «полочка»?
Давайте посчитаем сначала площадь всех горизонтальных участков, то есть «дна», «крыши» и нижней поверхности «полочки». С дном - все понятно, оно прямоугольное, его площадь равна 55 25. А вот сумма площадей «крыши» и горизонтальной грани «полочки» тоже равна 25! Посмотрите на них сверху.

…В этот момент и наступает понимание. Кому-то проще нарисовать вид сверху. Кому-то - представить, что мы передвигаем дно и стенки полочки и получаем целый большой параллелепипед, площадь поверхности которого равна 110. Каким бы способом вы ни решали, результат один - площадь поверхности будет такой же, как и у целого параллелепипеда, из которого ничего не вырезали.

Ответ: 110.

Следующую задачу, попроще, вы теперь решите без труда. Здесь тоже надо найти площадь поверхности многогранника:

2122152202 72. Из площади поверхности «целого кирпича» вычитаем площади двух квадратиков со стороной 1 - на верхней и нижней гранях.

2. А здесь нарисована прямоугольная плитка с «окошком». Задание то же самое - надо найти площадь поверхности.

Сначала посчитайте сумму площадей всех граней. Представьте, что вы дизайнер, а эта штучка - украшение. И вам надо оклеить эту штуку чем-то ценным, например, бриллиантами Сваровски. И вы их покупаете на свои деньги. (Я не знаю почему, но эта фраза мгновенно повышает вероятность правильного ответа!) Оклеивайте все грани плитки. Но только из площадей передней и задней граней вычтите площадь «окошка». А затем - само «окошко». Оклеивайте всю его «раму».
Правильный ответ: 96.

Следующий тип задач В9 - когда одно объемное тело вписано в другое.

3. Прямоугольный параллелепипед описан около цилиндра, радиус основания и высота которого равны 1. Найдите объем параллелепипеда.

Прежде всего, заметим, что высота цилиндра равна высоте параллелепипеда. Нарисуйте вид сверху, то есть круг, вписанный в прямоугольник. Тут сразу и увидите, что этот прямоугольник - на самом деле квадрат, а сторона его в два раза больше, чем радиус вписанной в него окружности. Итак, площадь основания параллелепипеда равна 4, высота равна 1, объем равен 4.

4. В основании прямой призмы лежит прямоугольный треугольник с катетами 6 и 8. Боковые ребра равны 4. Найдите объем цилиндра, описанного около этой призмы. В ответ запишите V/π.

Очевидно, высота цилиндра равна боковому ребру призмы, то есть 4. Осталось найти радиус его основания.
Рисуем вид сверху. Прямоугольный треугольник вписан в окружность. Где будет находиться радиус этой окружности? Правильно, посередине гипотенузы. Гипотенузу находим по теореме Пифагора, она равна 10. Тогда радиус основания цилиндра равен пяти. Находим объем цилиндра по формуле и записываем ответ: 100.

5. В прямоугольный параллелепипед вписан шар радиуса 1. Найдите объем параллелепипеда.

Эта задача тоже проста. Нарисуйте вид сверху. Или сбоку. Или спереди. В любом случае вы увидите одно и то же - круг, вписанный в прямоугольник. Очевидно, этот прямоугольник будет квадратом. Можно даже ничего не рисовать, а просто представить себе шарик, который положили в коробочку так, что он касается всех стенок, дна и крышки. Ясно, что такая коробочка будет кубической формы. Длина, ширина и высота этого куба в два раза больше, чем радиус шара.

Следующий тип задач - такие, в которых увеличили или уменьшили какой-либо линейный размер (или размеры) объемного тела. А узнать нужно, как изменится объем или площадь поверхности.

6. В сосуд, имеющий форму правильной треугольной призмы, налили воду. Уровень воды достигает 12 см. На какой высоте будет находиться уровень воды, если ее перелить в другой такой же сосуд, у которого сторона основания в 2 раза больше, чем у первого? Ответ выразите в сантиметрах.

Слова «другой такой же сосуд» означают, что другой сосуд тоже имеет форму правильной треугольной призмы. То есть в его основании - правильный треугольник, у которого все стороны в два раза больше, чем у первого. Мы уже говорили о том, что площадь этого треугольника будет больше в 4 раза. Объем воды остался неизменным. Следовательно, в 4 раза уменьшится высота.
Ответ: 3.

7. Одна цилиндрическая кружка вдвое выше второй, зато вторая в два раза шире. Найдите отношение объема второй кружки к объему первой.

Давайте вспомним, как мы решали стандартные задачи В12 , на движение и работу. Мы рисовали таблицу, верно? И здесь тоже нарисуем таблицу. Мы помним, что объем цилиндра равен πR 2 h.

Считаем объем второй кружки. Он равен π(2R) 2 h 2πR 2 h. Получается, что он в два раза больше, чем объем первой.

8. Следующая задача тоже решается сразу и без формул.

Через среднюю линию основания треугольной призмы, объем которой равен 32, проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Найдите объем отсеченной треугольной призмы.

Высота меньшей призмы высота такая же, как и у большой. А какой же будет ее площадь основания? Очевидно, в 4 раза меньше. Вспомните свойство средней линии треугольника - она равна половине основания. Значит, объем отсеченной призмы равен 8.

И еще одна классическая задача В9. Никаких формул!

9. Во сколько раз увеличится площадь поверхности октаэдра, если все его ребра увеличить в 3 раза?

Только не надо обмирать от ужаса при слове «октаэдр». Тем более - он здесь нарисован и представляет собой две сложенные вместе четырехугольные пирамиды. А мы уже говорили - если все ребра многогранника увеличить в три раза, площадь поверхности увеличится в 9 раз, поскольку 3 2 9.
Ответ: 9.

Следующий тип задач - такие, в которых надо найти объем части конуса, или части пирамиды. Они тоже решаются элементарно.

10. Найдите объем V части цилиндра, изображенной на рисунке. В ответе укажите V/π.

Изображен не целый цилиндр, а его часть. Из него, как из круглого сыра, вырезали кусок. Надо найти объем оставшегося «сыра».
Какая же часть цилиндра изображена? Вырезан кусок с углом 60 градусов, а 60° - это одна шестая часть полного круга. Значит, от всего объема цилиндра осталось пять шестых. Находим объем всего цилиндра, умножаем на пять шестых, делим на π, записываем ответ: 937,5.

Теперь вы знаете, что стереометрия в заданиях ЕГЭ вовсе не сложная. Что ж, нам осталось разобрать другие типы задач В9 . Удачи вам в подготовке к ЕГЭ!

Задача по стереометрии В9.
Часть 2: Приемы и секреты

Вы уже знаете, что задача В9 на самом деле простая. Правильный чертеж, элементарная логика, внимательность, плюс некоторые приемы, о которых мы рассказали в первой части статьи и еще расскажем - вот и всё, что вам нужно. Задача В9 - из тех, которые вы без труда освоите и получите нужные баллы на ЕГЭ по математике. Перейдем сразу к практике.

1. Объем параллелепипеда равен 9. Найдите объем треугольной пирамиды АВDА 1 .

Мы помним, что объем параллелепипеда равен S осн h. А объем пирамиды равен
S осн h. Иными словами, если у параллелепипеда и пирамиды одинаковые основания и одинаковые высоты, то объем пирамиды будет в три раза меньше, чем объем параллелепипеда. А у нашей пирамиды еще и площадь основания в два раза меньше. Значит, ее объем в шесть раз меньше объема параллелепипеда.
Ответ: 1,5.

2. Объем куба равен 12. Найдите объем четырехугольной пирамиды, основанием которой является грань куба, а вершиной - центр куба.

Об одном из способов решения этой задачи мы уже рассказали . Посчитайте, сколько нужно четырехугольных пирамидок, чтобы сложить из них такой кубик.
Есть и второй способ. Если бы пирамида и куб имели одинаковые высоты, объем пирамиды был бы в 3 раза меньше объема куба (поскольку площади основания у них одинаковые). А у нашей пирамиды высота в два раза меньше, чем у куба. Значит, ее объем будет в 6 раз меньше, чем у куба.
Ответ: 2.

3. Радиусы трех шаров равны 6, 8 и 10. Найдите радиус шара, объем которого равен сумме их объемов.

На самом деле это задача по алгебре, причем элементарная. Объем шара равен πR 3 . Осталось решить уравнение:

π6 3 π8 3 π10 3 π R 3

6 3 8 3 10 3 R 3

Как извлечь кубический корень из этого числа? Очень просто - разложите его на множители.

1728 8216 2 3 6 3

4. Найдите высоту правильной треугольной пирамиды, стороны основания которой равны 2, а объем равен.

Мы говорили, что в основании правильной треугольной пирамиды лежит правильный треугольник. У него все углы равны 60° и все стороны тоже равны. Площадь его проще всего найти по формуле
S a 2 sin 60°. Она равна. Поскольку V S h, высота равна 3.

5. Найдите объем V конуса, образующая которого равна 2 и наклонена к плоскости основания под углом 30 градусов. В ответе укажите V/π.

Если вы вдруг забыли, что такое образующая, - смотрите нашу таблицу с формулами . А что значит «наклонена к плоскости основания»? Вспомним, что угол между прямой и плоскостью - это угол между прямой и ее проекцией на эту плоскость, то есть угол OАS.

Из прямоугольного треугольника AOS находим, что OS h 1, АО R . Объем конуса найдем по известной формуле и поделим на π.
Ответ: 1.

6. Найдите объем призмы, в основаниях которой лежат правильные шестиугольники со сторонами 2, а боковые ребра равны 2 и наклонены к плоскости основания под углом 30 градусов.

Нарисуйте вид сверху, то есть правильный шестиугольник. У него все стороны равны, все углы тоже равны.

Как найти площадь правильного шестиугольника, если специальную формулу вы не знаете? Проще всего разбить его на 6 одинаковых равносторонних треугольников. Формула площади равностороннего треугольника вам известна:
S a 2 sin 60°.
Итак, площадь основания равна 6. Осталось найти высоту.

Высота призмы - это отрезок, перпендикулярный ее основаниям. Из прямоугольного треугольника АСН находим:
h AC = .

7. Диагональ прямоугольного параллелепипеда равна и образует углы 30, 30 и 45 градусов с плоскостями граней параллелепипеда. Найдите объем параллелепипеда.

Мы уже говорили, что угол между прямой и плоскостью - это угол между прямой и ее проекцией на данную плоскость.

Обозначим вершины параллелепипеда.

Проекцией диагонали BD 1 на нижнее основание будет отрезок BD. Пусть диагональ образует угол 45 градусов именно с плоскостью нижнего основания.
Рассмотрим прямоугольный треугольник BDD 1 . По теореме Пифагора, BD BD 1 sin 45° 1. Итак, мы нашли высоту параллелепипеда.

Проекцией BD 1 на переднюю грань будет отрезок А 1 В.
Из прямоугольного треугольника A 1 BD 1 найдем А 1 D 1 BD 1 sin 30° . Мы нашли ширину параллелепипеда. А его длина (то есть отрезок C 1 D 1) находится аналогично. Она тоже равна. Объем параллелепипеда равен.

Ответ: 0,5.

8. Боковые ребра треугольной пирамиды взаимно перпендикулярны, каждое из них равно 3. Найдите объем пирамиды.

Если решать задачу «в лоб», считая, что АВС - основание, то задача потянет на С2. Но зачем такие сложности? Развернем пирамиду.

Объем пирамиды равен S осн h. В основании лежит равнобедренный прямоугольный треугольник, площадь которого равна 4,5. Тогда объем пирамиды равен 4,5.
Ответ: 4,5.

9. Объем треугольной пирамиды SABC, являющейся частью правильной шестиугольной пирамиды SABCDEF, равен 1. Найдите объем шестиугольной пирамиды.

У треугольной и шестиугольной пирамид, о которых говорится в условии, одинаковые высоты. Разные только площади основания. Нарисуем вид снизу.

Видим, что площадь основания треугольной пирамиды в 6 раз меньше, чем у шестиугольной.

Если в условии задачи В9 есть рисунок - значит, повезло. Рисунок - это уже половина решения. А если его нет? Значит, рисуйте сами, как умеете. Отговорки «не умею» или «рисование у нас было только в детском саду» - не принимаются. Вам ведь не девочку на шаре надо изобразить, а намного более простые объекты:-)

10. Середина ребра куба со стороной 1,9 является центром шара радиуса 0,95. Найдите площадь части поверхности шара, лежащей внутри куба. В ответе запишите S/π.

Обратите внимание, что 0,95 2 1,9. Значит, сторона куба является диаметром шара. Осталось понять, какая часть шара лежит внутри куба.

Правильный ответ: 0,9025.

11. Вершина A куба ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 со стороной 1,6 является центром сферы, проходящей через точку A 1 . Найдите площадь S части сферы, содержащейся внутри куба. В ответе запишите величину S/π.

Здесь главное - понять, какая часть шара лежит внутри куба. Порисуйте кубики и шарики. Пока есть возможность, возьмите яблоко (оно почти шарообразной формы), потренируйтесь. Жаль, что на ЕГЭ вам не выдадут килограмма яблок для отработки пространственного мышления.

Правильный ответ: 1,28.
Если вы его не получили, смотрите подсказку в конце статьи.

12. Объем треугольной пирамиды равен 15. Плоскость проходит через сторону основания этой пирамиды и пересекает противоположное боковое ребро в точке, делящей его в отношении 1: 2, считая от вершины пирамиды. Найдите больший из объемов пирамид, на которые плоскость разбивает исходную пирамиду.

Эта задача В9 уже поинтереснее - ей и до С2 недалеко. Прежде всего, что значит «точка делит боковое ребро в отношении 1: 2, считая от вершины»? Это значит, что она делит его на отрезки, длины которых х и 2х.

Плоскость АВМ делит пирамиду АВСS на две. У пирамид АВСM и ABCS общее основание АВС. Ясно, что отношение их объемов равно отношению высот.

Проведем перпендикуляры SO и MH к плоскости основания пирамиды. SO - высота пирамиды АВСS, МН - высота пирамиды АВСМ. Очевидно, что отрезок SО параллелен отрезку МН, поскольку два перпендикуляра к одной плоскости параллельны друг другу. Через две параллельные прямые можно провести плоскость, причем только одну. Итак, точки S, М, С, О и Н лежат в одной плоскости, то есть мы от стереометрической задачи перешли к плоской, планиметрической.

Треугольники SOC и МНС подобны, МС: SС МН: SO 2: 3.
Значит, МН SO. Объем пирамиды АВСM равен объема пирамиды ABCS.

13. Ребра тетраэдра равны 1. Найдите площадь сечения, проходящего через середины четырех его ребер.

Прежде всего, все ребра равны, значит, тетраэдр - правильный. В его основании лежит равносторонний треугольник, а вершина проецируется в центр этого треугольника.
Как вы думаете, какая фигура получится в сечении?

Заметим, что отрезок KL параллелен BS (поскольку является средней линией треугольника ASB. И отрезок MN тоже параллелен ВS, потому что является средней линией треугольника BSC. Значит, KL параллелен MN. Аналогично LM параллелен KN. Мы помним, что средняя линия треугольника не только параллельна основанию - она равна половине основания. А у нашего тетраэдра все ребра равны. Значит, KLMN - ромб, все стороны которого равны 0,5. Уже хорошо.

Мы уже сказали, что у правильного тетраэдра вершина (точка S) проецируется в центр основания (точка О). В основании - правильный треугольник. Значит, точка О будет точкой пересечения биссектрис, медиан и высот этого треугольника, и тогда ОВ перпендикулярен АС.

Вспомним теорему о трех перпендикулярах. OВ является проекцией SB на плоскость основания, следовательно, отрезок SB тоже перпендикулярен АС. И тогда KLMN - квадрат. Его площадь равна 0,25.

А теперь - самые сложные задачи В9. Для их решения существуют секретные приемы. Конечно же, лучше знать их заранее, чем изобретать на экзамене.

14. Объем тетраэдра равен 1,9. Найдите объем многогранника, вершинами которого являются середины сторон данного тетраэдра.

Можно долго искать формулу объема октаэдра (а именно он там и находится, в серединке), а можно поступить умнее. Помните, как в задаче В6 мы считали площадь неудобно расположенных фигур?

В нашей задаче про тетраэдр и многогранник можем поступить аналогично. Как получился этот многогранник в серединке? От исходного тетраэдра отрезали четыре маленьких тетраэдра, объем каждого из которых в 8 раз меньше, чем объем большого (об этом мы уже говорили). Получаем: V V V.
Ответ: 0,95.

15. Объем параллелепипеда равен 4,5. Найдите объем треугольной пирамиды AD1CB1.

Обратите внимание, нарисован куб, а написано - параллелепипед. Мы знаем, что его объем равен 4,5, но не знаем, чему равны его длина, ширина и высота. Обозначим их a, b и c. Не так-то просто найти площадь основания и высоту пирамиды AD 1 CB 1 . Так может, и не надо этого делать? Есть более удобный способ - тот же, что и в предыдущей задаче. Ведь пирамида AD 1 CB 1 получается, если мы отрежем от параллелепипеда четыре пирамиды по углам - ABCB 1 , D 1 B 1 CC 1 , AA 1 D 1 B 1 и ADCD 1 . А объем каждой из них легко посчитать - мы делали это в первой задаче этой статьи. Например, объем пирамиды ABCB 1 равен объема параллелепипеда. Объем четырех всех пирамид, которые отрезали, равен объема параллелепипеда. Значит, объем пирамиды AD 1 CB 1 равен объема параллелепипеда.

Растений. Основными задачами при лечении... Е и К - жирорастворимые; витамины В1 , В2 , В5 , В6, В12 , никотиновая и фолиевая кислоты, биотин... абсцессе - наиболее правильный выбор . Траумель, в... медицине не всегда решают проблему лечения некоторых...

Объем параллелепипеда равен 9 . Найдите объем треугольной пирамиды АВDА 1 .

Мы помним, что объём призмы (в нашем случае параллелепипеда):

S осн h. А объем пирамиды равен S осн h.

Иными словами, если у параллелепипеда и пирамиды одинаковые основания и одинаковые высоты, то объем пирамиды будет в три раза меньше, чем объем параллелепипеда. А у нашей пирамиды еще и площадь основания в два раза меньше. Значит, ее объем в шесть раз меньше объема параллелепипеда.
Ответ: 1,5.

3 . Радиусы трех шаров равны 6 , 8 и 10 . Найдите радиус шара, объем которого равен сумме их объемов.

На самом деле это задача по алгебре, причем элементарная. Объем шара равен πR 3 . Осталось решить уравнение:

π6 3 π8 3 π10 3 π R 3

6 3 8 3 10 3 R 3

Как извлечь кубический корень из этого числа? Очень просто - разложите его на множители.

1728 8216 2 3 6 3

4 . Найдите высоту правильной треугольной пирамиды, стороны основания которой равны 2 , а объем равен .

Мы говорили, что в основании правильной треугольной пирамиды лежит правильный треугольник. У него все углы равны 60° и все стороны тоже равны. Площадь его проще всего найти по формуле
S a 2 sin 60°. Она равна . Поскольку V S h, высота равна 3.

5 . Найдите объем V конуса, образующая которого равна 2 и наклонена к плоскости основания под углом 30 градусов. В ответе укажите V/π.

Если вы вдруг забыли, что такое образующая, - смотрите нашу таблицу с формулами. А что значит «наклонена к плоскости основания»? Вспомним, что угол между прямой и плоскостью - это угол между прямой и ее проекцией на эту плоскость, то есть уголOАS.

Из прямоугольного треугольника AOS находим, что OS h 1, АО R . Объем конуса найдем по известной формуле и поделим на π.
Ответ: 1.

6 . Найдите объем призмы, в основаниях которой лежат правильные шестиугольники со сторонами 2 , а боковые ребра равны 2 и наклонены к плоскости основания под углом 30 градусов.

Нарисуйте вид сверху, то есть правильный шестиугольник. У него все стороны равны, все углы тоже равны.

Как найти площадь правильного шестиугольника, если специальную формулу вы не знаете? Проще всего разбить его на 6 одинаковых равносторонних треугольников. Формула площади равностороннего треугольника вам известна:
S a 2 sin 60°.
Итак, площадь основания равна 6. Осталось найти высоту.

Высота призмы - это отрезок, перпендикулярный ее основаниям. Из прямоугольного треугольника АСН находим:
h AC = .

7 . Диагональ прямоугольного параллелепипеда равна и образует углы 30 , 30 и 45 градусов с плоскостями граней параллелепипеда. Найдите объем параллелепипеда.

Мы уже говорили, что угол между прямой и плоскостью - это угол между прямой и ее проекцией на данную плоскость.

Обозначим вершины параллелепипеда.

Проекцией диагонали BD 1 на нижнее основание будет отрезок BD. Пусть диагональ образует угол 45 градусов именно с плоскостью нижнего основания.
Рассмотрим прямоугольный треугольник BDD 1 . По теореме Пифагора, BD BD 1 sin 45° 1. Итак, мы нашли высоту параллелепипеда.

Проекцией BD 1 на переднюю грань будет отрезок А 1 В.
Из прямоугольного треугольника A 1 BD 1 найдем А 1 D 1 BD 1 sin 30° . Мы нашли ширину параллелепипеда. А его длина (то есть отрезок C 1 D 1) находится аналогично. Она тоже равна . Объем параллелепипеда равен .

Ответ: 0,5.

8 . Боковые ребра треугольной пирамиды взаимно перпендикулярны, каждое из них равно 3 . Найдите объем пирамиды.

Если решать задачу «в лоб», считая, что АВС - основание, то задача потянет на С2. Но зачем такие сложности? Развернем пирамиду.

Объем пирамиды равен S осн h. В основании лежит равнобедренный прямоугольный треугольник, площадь которого равна 4,5. Тогда объем пирамиды равен 4,5.
Ответ: 4,5.

9 . Объем треугольной пирамиды SABC , являющейся частью правильной шестиугольной пирамиды SABCDEF , равен 1 . Найдите объем шестиугольной пирамиды.

У треугольной и шестиугольной пирамид, о которых говорится в условии, одинаковые высоты. Разные только площади основания. Нарисуем вид снизу.

Видим, что площадь основания треугольной пирамиды в 6 раз меньше, чем у шестиугольной.

Если в условии задачи В9 или В11 есть рисунок - значит, повезло. Рисунок - это уже половина решения. А если его нет? Значит, рисуйте сами, как умеете. Отговорки «не умею» или «рисование у нас было только в детском саду» - не принимаются. Вам ведь не девочку на шаре надо изобразить, а намного более простые объекты:-)

10 . Середина ребра куба со стороной 1,9 является центром шара радиуса 0,95 . Найдите площадь части поверхности шара, лежащей внутри куба. В ответе запишите S/π.

Обратите внимание, что 0,95 2 1,9. Значит, сторона куба является диаметром шара. Осталось понять, какая часть шара лежит внутри куба.

Правильный ответ: 0,9025.

11 . Вершина A куба ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 со стороной 1,6 является центром сферы, проходящей через точку A 1 . Найдите площадь S части сферы, содержащейся внутри куба. В ответе запишите величину S/π .

Здесь главное - понять, какая часть шара лежит внутри куба. Порисуйте кубики и шарики. Пока есть возможность, возьмите яблоко (оно почти шарообразной формы), потренируйтесь. Жаль, что на ЕГЭ вам не выдадут килограмма яблок для отработки пространственного мышления.

Правильный ответ: 1,28.
Если вы его не получили, смотрите подсказку в конце статьи.

12 . Объем треугольной пирамиды равен 15 . Плоскость проходит через сторону основания этой пирамиды и пересекает противоположное боковое ребро в точке, делящей его в отношении 1: 2 , считая от вершины пирамиды. Найдите больший из объемов пирамид, на которые плоскость разбивает исходную пирамиду.

Эта задача В11 уже поинтереснее - ей и до С2 недалеко. Прежде всего, что значит «точка делит боковое ребро в отношении 1: 2, считая от вершины»? Это значит, что она делит его на отрезки, длины которых х и 2х.

Плоскость АВМ делит пирамиду АВСS на две. У пирамид АВСM и ABCS общее основание АВС. Ясно, что отношение их объемов равно отношению высот.

Проведем перпендикуляры SO и MH к плоскости основания пирамиды. SO - высота пирамиды АВСS, МН - высота пирамидыАВСМ. Очевидно, что отрезок SО параллелен отрезку МН, поскольку два перпендикуляра к одной плоскости параллельны друг другу. Через две параллельные прямые можно провести плоскость, причем только одну. Итак, точки S, М, С, О и Н лежат в одной плоскости, то есть мы от стереометрической задачи перешли к плоской, планиметрической.

Треугольники SOC и МНС подобны, МС: SС МН: SO 2: 3.
Значит, МН SO. Объем пирамиды АВСM равен объема пирамиды ABCS.

13 . Ребра тетраэдра равны 1 . Найдите площадь сечения, проходящего через середины четырех его ребер.

Прежде всего, все ребра равны, значит, тетраэдр - правильный. В его основании лежит равносторонний треугольник, а вершина проецируется в центр этого треугольника.
Как вы думаете, какая фигура получится в сечении?

Заметим, что отрезок KL параллелен BS (поскольку является средней линией треугольника ASB. И отрезок MN тоже параллелен ВS, потому что является средней линией треугольника BSC. Значит, KL параллелен MN. Аналогично LM параллеленKN. Мы помним, что средняя линия треугольника не только параллельна основанию - она равна половине основания. А у нашего тетраэдра все ребра равны. Значит, KLMN - ромб, все стороны которого равны 0,5. Уже хорошо.

Мы уже сказали, что у правильного тетраэдра вершина (точка S) проецируется в центр основания (точка О). В основании - правильный треугольник. Значит, точка О будет точкой пересечения биссектрис, медиан и высот этого треугольника, и тогда ОВперпендикулярен АС.

Вспомним теорему о трех перпендикулярах. OВ является проекцией SB на плоскость основания, следовательно, отрезок SB тоже перпендикулярен АС. И тогда KLMN - квадрат. Его площадь равна 0,25.

А теперь - самые сложные задачи В11. Для их решения существуют секретные приемы. Конечно же, лучше знать их заранее, чем изобретать на экзамене.

14 . Объем тетраэдра равен 1,9 . Найдите объем многогранника, вершинами которого являются середины сторон данного тетраэдра.