Вычислить объем усеченной пирамиды онлайн калькулятор. Площадь боковой поверхности усеченной пирамиды
Один процент - это сотая часть от числа. Данное понятие используется, когда нужно обозначить отношение доли к целому. Кроме этого, в процентах можно сравнивать несколько величин, при этом обязательно указывая, относительного какого целого проценты вычисляются. Например, расходы выше доходов на 10 % или цена на железнодорожные билеты возросла на 15 % в сравнении с тарифами прошлого года. Число процентов выше 100 означает, что доля превышает целое, как часто бывает при статистических расчетах.
Процент как финансовое понятие - плата, заемщика кредитору за предоставление денег во временное пользование. В бизнесе встречается выражение «работать за проценты». В данном случае подразумевается, что размер вознаграждения зависит от прибыли или оборота (комиссионные). Обойтись без вычисления процентов невозможно в бухгалтерии, бизнесе, банковском деле. Чтобы упростить расчеты, разработан онлайн-калькулятор процентов.
Калькулятор позволяет вычислить:
- Процент от заданного значения.
- Процент из суммы (налог по фактической зарплате).
- Процент от разницы (НДС из ).
- И многое другое...
При решении задач на калькуляторе процентов нужно оперировать тремя значениями, одно из которых неизвестно (по заданным параметрам вычисляется переменная). Сценарий расчета следует выбирать, исходя из заданных условий.
Примеры расчетов
1. Вычисление процента от числа
Чтобы найти число, составляющее 25 % от 1 000 руб., нужно:
- 1 000 × 25 / 100 = 250 руб.
- Или 1 000 × 0,25 = 250 руб.
Для расчета на обычном калькуляторе, нужно 1 000 умножить на 25 и нажать кнопку %.
2. Определение целого числа (100 %)
Мы знаем, что 250 руб. составляет 25 % от какого-то числа. Как его вычислить?
Составим простую пропорцию:
- 250 руб. - 25 %
- Y руб. - 100 %
- Y = 250 × 100 / 25 = 1 000 руб.
3. Процент между двумя числами
Допустим, предполагалась прибыль 800 руб., а получили 1 040 руб. Каков процент превышения?
Пропорция будет такой:
- 800 руб. - 100 %
- 1 040 руб. – Y %
- Y = 1 040 × 100 / 800 = 130 %
Перевыполнения плана по прибыли - 30 %, то есть выполнение - 130 %.
4. Расчет не из 100 %
Например, в магазин, состоящий из трех отделов, приходят 100 % покупателей. В продуктовый отдел - 800 человек (67 %), в отдел бытовой химии - 55. Какой процент покупателей приходит в отдел бытовой химии?
Пропорция:
- 800 посетителей – 67 %
- 55 посетителей - Y %
- Y = 55 × 67 / 800 = 4,6 %
5. На сколько процентов одно число меньше другого
Цена товара упала с 2 000 до 1 200 руб. На сколько процентов подешевел товар или на сколько процентов 1 200 меньше 2 000?
- 2 000 - 100 %
- 1 200 – Y %
- Y = 1 200 × 100 / 2 000 = 60 % (60 % к цифре 1 200 от 2 000)
- 100 % − 60 % = 40 % (число 1 200 меньше 2 000 на 40 %)
6. На сколько процентов одно число больше другого
Зарплата выросла с 5 000 до 7 500 рублей. На сколько процентов увеличилась зарплата? На сколько процентов 7 500 больше 5 000?
- 5 000 руб. - 100 %
- 7 500 руб. - Y %
- Y = 7 500 × 100 / 5 000 = 150 % (в цифре 7 500 150 % от 5 000)
- 150 % − 100 % = 50 % (число 7 500 больше 5 000 на 50 %)
7. Увеличение числа на определенный процент
Цена товара S выше 1 000 руб. на 27 %. Какова цена товара?
- 1 000 руб. – 100 %
- S - 100 % + 27 %
- S = 1 000 × (100 + 27) / 100 = 1 270 руб.
Онлайн-калькулятор делает вычисления намного проще: вам нужно выбрать вид расчета, ввести число и процент (в случае вычисления процентного соотношения - второе число), указать точность расчета и дать команду о начале действий.
Каждый человек в своей жизни практически повседневно сталкивается с понятием процентов. Причем это касается не только получения процентного значения от одного числа, но и решения задачи, как посчитать процент от суммы чисел. В повседневной жизни и обиходе многие не обращают на это внимания, тем не менее все эти вычисления заложены в нас еще со школьной скамьи.
Что такое процент
Что касается понятия процентов, то его можно объяснить самым простым способом, не вдаваясь пока в основы математических вычислений. На самом деле процент представляет собой какую-то часть чего-то еще. Неважно, в каком показателе будет выражено соответствие процента по отношению к основному исходному источнику. Главное - понимать, что такое представление может быть в виде самого процента (%) или в виде дроби, которая в конечном итоге и определяет отношение процентной части к исходному варианту.
Использование процентов на практике
Как рассчитывать проценты, каждый из нас знает еще из школьного курса математики. В повседневной жизни мы сталкиваемся с процентными соотношениями чуть ли не каждую минуту. Любая хозяйка, готовя какое-то блюдо, использует рецептуру, в которой представлено именно процентное соотношение. Самый простой пример: берем полстакана молока… Это и есть математическая трактовка того, что представляет собой определенная часть по отношению к целой.
За основу абсолютно всех вычислений принято считать 100 процентов (100%) или единицу (1), если расчет будет производиться с использованием дробей. От этого и отталкиваются при вычислении какой-либо составляющей от начального показателя.
То же самое касается и вопроса о том, как посчитать процент от суммы, когда в качестве начального (100-процентного) показателя выступает не одно число, а несколько. Вариантов расчета здесь может быть достаточно много. Рассмотрим самые основные.
Вычисление процентов по пропорции
Сейчас мы не будем брать в расчет вычисление процентов с использованием тех же таблиц офисных программ типа Excel, которые делают это в автоматическом режиме при задании соответствующей формулы.
В некоторых случаях используется калькулятор, на котором можно задавать вычисление подобных действий. Но речь сейчас не об этом.
Рассмотрим наиболее распространенные способы вычислений, знакомые нам из школьного курса математики.
Простейшим и самым распространенным способом является решение пропорции.
В данном случае исходное число задается в виде 100 процентов (скажем, некое произвольное число «a»), а его часть (допустим, «b») - в виде неизвестной «x». В математике это выглядит так:
a = 100%;
Исходя из правил пропорции, можно вычислить неизвестное число x. Для этого используется так называемый перекрестный метод. Иными словами, нужно умножить b на 100 и разделить на a. Точно такое же правило действует, если в случае составления пропорции поменять b и x местами, когда процент известен, а нужно вычислить часть в числовом выражении.
Быстрое вычисление процентов
Конечно, вычисление процентов при помощи пропорции является фундаментальным. Однако с применением дробных чисел это процедура упрощается до невозможности. Ведь что такое 50% на самом деле? Половина. То есть 1/2 или 0,5 (исходя из начального числа 1). Теперь понятно: чтобы вычислить половину, нужно умножить искомое число или на 1/2, или на 0,5 либо разделить на 2. Такой способ, правда, годится только для чисел, которые делятся без остатка.
В случае возникновения остатка или бесконечных знаков в периоде после запятой типа 0,33333333… лучше использовать дробные выражения наподобие 1/3. Кстати, именно дроби (в некоторых случаях иррациональные) со всей точностью отражают само число, ведь периодические цифры после запятой, сколько ни задавай, все равно целого числа не дадут. А так та же одна треть четко и понятно выражает саму суть.
В тех же рецептах, естественно, треть можно определить, так сказать, на глаз. А вот в химических процессах, особенно связанных с тонкой дозировкой компонентов, скажем, в фармацевтике, такой метод не подойдет. Здесь на глаз полагаться не приходится. Необходимо использовать точные соотношения ингредиентов, даже если один из показателей имеет вид числа с цифрой в периоде или представлен в виде той же иррациональной дроби. Но, как правило, к примеру при взвешивании, такие числа могут ограничиваться после запятой десятитысячными или максимум стотысячными.
Как рассчитать процент от суммы
Очень часто приходится сталкиваться с несколькими искомыми числами или их суммой. Вопрос о том, как расчитывать проценты от суммы, решается так же просто, как и в случае использования одного начального числа. Единственное, что нужно учесть в этом случае, так это обычное представление суммы в виде единого значения.
Например, у нас имеется два числа, a и b, и начальным показателем выступает число d. В данном случае пропорция будет выглядеть следующим образом:
d = 100%;
(a + b) = x.
Заметьте, сумму (a + b) все равно можно представить в виде единого числа. Пускай это будет z. В случае, когда мы задаем формулу a + b = z, пропорция приобретает совершенно стандартный вид:
d = 100%;
Как видим, ничего сложного в этом нет.
Есть и другой вариант, когда сумма (a + b) = 100%, а d = x.
Тут решение выглядит так:
(d x 100)/(a + b) или (d/(a + b)) + 100/(a + b).
Как уже понятно, здесь используется принцип общего знаменателя для дробей.
Если сложить a и b, сумма которых равна z, то пропорция опять возвращается к стандартному виду:
z = 100%;
То же применяется и в обратном порядке.
Математическое объяснение
С точки зрения математики и ее основ решение задачи о том, как рассчитать процент от суммы, сводится только к применению простейших правил раскрытия скобок при умножении суммы на единое число и поиска общего знаменателя, который, в общем-то, им и является. Другими словами, представить в формульном выражении это можно так:
a x (b + c) = ab + ac ,
где ab и ac - произведения слагаемых в скобках (b и c) на число (коэффициент) перед скобками a.
Собственно, в пропорции действует тот же метод. Допустим, у нас есть некое число z, представляющее собой 100%, и сумма чисел a и b. Процент, который нужно вычислить, обозначим неизвестным числом y. В таком варианте пропорция принимает вид:
z = 100%;
(a + b) = y.
Отсюда простое решение:
((a + b) x 100%)/z = ((a x 100%) + (b x 100%))/z
В скобки действия взяты для того, чтобы подчеркнуть, что операции умножения выполняется в первую очередь, а сложение произведений - во вторую. Такое же действие производится, если изначально сумма чисел составляет 100%.
Обратное вычисление
Очень часто в вопросе о том, как посчитать процент от суммы, возникает и недвусмысленный обратный перевод. На практике это связано, скажем, с обратным вычислением четверти. Всем известно, что этот показатель составляет 25% от начального числа. Пусть, например, цену товара увеличили на 25%, что составило 25 рублей. Нужно найти, сколько стал стоить данный товар. Вот теперь попробуем разобраться, как вычислить не первоначальное число, зная значение процента, а всю сумму, которая должна получиться в конечном итоге. Казалось бы, решение простое:
25 = 25% (1/4 или 0,25);
x = 100%.
Нет, абсолютно неверно. Так можно получить только изначальное число, без учета 25%. Для расчета всей суммы с учетом 25% нужно использовать формулу:
25 = 25%;
x = 100% + 25%.
Или 100/0,8, что и покажет значение 125 (100 + 25), поскольку 100% плюс 25% в выражении единицы является числом 1,25 (единица плюс четвертая часть), а в обратном виде (1/x) - это именно 0,8. Произведя вычисления, получим, что х = 125.
Заключение
Как видим, ничего особо сложного в том, как посчитать процент от суммы, нет. Правда, в школьной программе обратный перевод почему-то зачастую опускается. Потом у многих бухгалтеров, работающих над отчетами с оплатой того же НДС, очень часто возникают проблемы.
Так что стоит просто учесть основные правила вычисления процентов, и проблемы исчезнут сами собой.
С другой стороны, для удобства можно применять в равной степени как пропорции, так и использование дробей. В первом случае мы имеем, так сказать, классический вариант, а во втором - простое и универсальное решение. Опять же его лучше использовать в случае деления без остатка. Зато при вычислении наиболее популярных долей типа половины, четверти, трети и т. д. такой метод является очень удобным.
Обратные вычисления, как видно из вышеприведенных примеров, тоже чем-то сложным не являются. Главное - учесть обратный коэффициент при расчете искомого числа. Думается, теперь все встало на свои места. Как говорится, простая математика.
Пирамида. Усеченная пирамида
Пирамидой называется многогранник, одна из граней которого многоугольник (основание ), а все остальные грани – треугольники с общей вершиной (боковые грани ) (рис. 15). Пирамида называется правильной , если ее основанием является правильный многоугольник и вершина пирамиды проектируется в центр основания (рис. 16). Треугольная пирамида, у которой все ребра равны, называется тетраэдром .
Боковым ребром пирамиды называется сторона боковой грани, не принадлежащая основанию Высотой пирамиды называется расстояние от ее вершины до плоскости основания. Все боковые ребра правильной пирамиды равны между собой, все боковые грани – равные равнобедренные треугольники. Высота боковой грани правильной пирамиды, проведенная из вершины, называется апофемой . Диагональным сечением называется сечение пирамиды плоскостью, проходящей через два боковых ребра, не принадлежащих одной грани.
Площадью боковой поверхности пирамиды называется сумма площадей всех боковых граней. Площадью полной поверхности называется сумма площадей всех боковых граней и основания.
Теоремы
1. Если в пирамиде все боковые ребра равнонаклонены к плоскости основания, то вершина пирамиды проектируется в центр окружности описанной около основания.
2. Если в пирамиде все боковые ребра имеют равные длины, то вершина пирамиды проектируется в центр окружности описанной около основания.
3. Если в пирамиде все грани равнонаклонены к плоскости основания, то вершина пирамиды проектируется в центр окружности вписанной в основание.
Для вычисления объема произвольной пирамиды верна формула:
где V – объем;
S осн – площадь основания;
H – высота пирамиды.
Для правильной пирамиды верны формулы:
где p – периметр основания;
h а – апофема;
H – высота;
S полн
S бок
S осн – площадь основания;
V – объем правильной пирамиды.
Усеченной пирамидой называется часть пирамиды, заключенная между основанием и секущей плоскостью, параллельной основанию пирамиды (рис. 17). Правильной усеченной пирамидой называется часть правильной пирамиды, заключенная между основанием и секущей плоскостью, параллельной основанию пирамиды.
Основания усеченной пирамиды – подобные многоугольники. Боковые грани – трапеции. Высотой усеченной пирамиды называется расстояние между ее основаниями. Диагональю усеченной пирамиды называется отрезок, соединяющий ее вершины, не лежащие в одной грани. Диагональным сечением называется сечение усеченной пирамиды плоскостью, проходящей через два боковых ребра, не принадлежащих одной грани.
Для усеченной пирамиды справедливы формулы:
(4)
где S 1 , S 2 – площади верхнего и нижнего оснований;
S полн – площадь полной поверхности;
S бок – площадь боковой поверхности;
H – высота;
V – объем усеченной пирамиды.
Для правильной усеченной пирамиды верна формула:
где p 1 , p 2 – периметры оснований;
h а – апофема правильной усеченной пирамиды.
Пример 1. В правильной треугольной пирамиде двугранный угол при основании равен 60º. Найти тангенс угла наклона бокового ребра к плоскости основания.
Решение. Сделаем рисунок (рис. 18).
 |
Пирамида правильная, значит в основании равносторонний треугольник и все боковые грани равные равнобедренные треугольники. Двугранный угол при основании – это угол наклона боковой грани пирамиды к плоскости основания. Линейным углом будет угол a
между двумя перпендикулярами: и т.е. Вершина пирамиды проектируется в центре треугольника (центр описанной окружности и вписанной окружности в треугольник АВС
). Угол наклона бокового ребра (например SB
) – это угол между самим ребром и его проекцией на плоскость основания. Для ребра SB
этим углом будет угол SBD
. Чтобы найти тангенс необходимо знать катеты SO
и OB
. Пусть длина отрезка BD
равна 3а
. Точкой О
отрезок BD
делится на части: и Из находим SO
: 
Из находим: 
Ответ:
Пример 2. Найти объем правильной усеченной четырехугольной пирамиды, если диагонали ее оснований равны см и см, а высота 4 см.
Решение. Для нахождения объема усеченной пирамиды воспользуемся формулой (4). Чтобы найти площади оснований необходимо найти стороны квадратов-оснований, зная их диагонали. Стороны оснований равны соответственно 2 см и 8 см. Значит площади оснований и Подставив все данные в формулу, вычислим объем усеченной пирамиды:
Ответ: 112 см 3 .
Пример 3. Найти площадь боковой грани правильной треугольной усеченной пирамиды, стороны оснований которой равны 10 см и 4 см, а высота пирамиды 2 см.
Решение. Сделаем рисунок (рис. 19).
Боковая грань данной пирамиды является равнобокая трапеция. Для вычисления площади трапеции необходимо знать основания и высоту. Основания даны по условию, остается неизвестной только высота. Ее найдем из где А
1 Е
перпендикуляр из точки А
1 на плоскость нижнего основания, A
1 D
– перпендикуляр из А
1 на АС
. А
1 Е
= 2 см, так как это высота пирамиды. Для нахождения DE
сделаем дополнительно рисунок, на котором изобразим вид сверху (рис. 20). Точка О
– проекция центров верхнего и нижнего оснований. так как (см. рис. 20) и С другой стороны ОК
– радиус вписанной в окружности и 
ОМ
– радиус вписанной в окружности:
MK = DE .
По теореме Пифагора из
Площадь боковой грани: 
Ответ:
Пример 4. В основании пирамиды лежит равнобокая трапеция, основания которой а и b (a > b ). Каждая боковая грань образует с плоскостью основания пирамиды угол равный j . Найти площадь полной поверхности пирамиды.
Решение. Сделаем рисунок (рис. 21). Площадь полной поверхности пирамиды SABCD равна сумме площадей и площади трапеции ABCD .
Воспользуемся утверждением, что если все грани пирамиды равнонаклонены к плоскости основания, то вершина проектируется в центр вписанной в основание окружности. Точка О – проекция вершины S на основание пирамиды. Треугольник SOD является ортогональной проекцией треугольника CSD на плоскость основания. По теореме о площади ортогональной проекции плоской фигуры получим:
Аналогично и значит 
Таким образом задача свелась к нахождению площади трапеции АВСD
. Изобразим трапецию ABCD
отдельно (рис.22). Точка О
– центр вписанной в трапецию окружности.
Так как в трапецию можно вписать окружность, то или Из по теореме Пифагора имеем
Умение вычислять объем пространственных фигур является важным при решение ряда практических задач по геометрии. Одной из распространенных фигур является пирамида. В данной статье рассмотрим пирамиды как полной, так и усеченной.
Пирамида как объемная фигура
Каждый знает о египетских пирамидах, поэтому хорошо представляет, о какой фигуре пойдет речь. Тем не менее египетские каменные сооружения являются лишь частным случаем огромного класса пирамид.
Рассматриваемый геометрический объект в общем случае представляет собой многоугольное основание, каждая вершина которого соединена с некоторой точкой в пространстве, не принадлежащей плоскости основания. Данное определение приводит к фигуре, состоящей из одного n-угольника и n треугольников.
Любая пирамида состоит из n+1 граней, 2*n ребер и n+1 вершины. Поскольку рассматриваемая фигура является совершенным полиэдром, то числа отмеченных элементов подчиняются равенству Эйлера:
2*n = (n+1) + (n+1) - 2.
Многоугольник, находящийся в основании, дает название пирамиды, например, треугольная, пятиугольная и так далее. Набор пирамид с разными основаниями приведен на фото ниже.
Точка, в которой n треугольников фигуры соединяются, называется вершиной пирамиды. Если из нее опустить на основание перпендикуляр и он пересечет его в геометрическом центре, тогда такая фигура будет называться прямой. Если это условие не выполняется, то имеет место наклонная пирамида.
Прямая фигура, основание которой образовано равносторонним (равноугольным) n-угольником, называется правильной.
Формула объема пирамиды
Для вычисления объема пирамиды воспользуемся интегральным исчислением. Для этого разобьем фигуру параллельными основанию секущими плоскостями на бесконечное число тонких слоев. Рисунок ниже показывает четырехугольную пирамиду высотой h и длиной стороны L, в которой четырехугольником отмечен тонкий слой сечения.
Площадь каждого такого слоя можно вычислить по формуле:
A(z) = A 0 *(h-z) 2 /h 2 .
Здесь A 0 - площадь основания, z - значение вертикальной координаты. Видно, что если z = 0, то формула дает значение A 0 .
Чтобы получить формулу объема пирамиды, следует вычислить интеграл по всей высоте фигуры, то есть:
V = ∫ h 0 (A(z)*dz).
Подставляя зависимость A(z) и вычисляя первообразную, приходим к выражению:
V = -A 0 *(h-z) 3 /(3*h 2)| h 0 = 1/3*A 0 *h.
Мы получили формулу объема пирамиды. Чтобы найти величину V, достаточно умножить высоту фигуры на площадь основания, а затем результат поделить на три.
Заметим, что полученное выражение справедливо для вычисления объема пирамиды произвольного типа. То есть она может быть наклонной, а ее основание представлять собой произвольный n-угольник.
и ее объем
Полученную в пункте выше общую формулу для объема можно уточнить в случае пирамиды с правильным основанием. Площадь такого основания вычисляется по следующей формуле:
A 0 = n/4*L 2 *ctg(pi/n).
Здесь L является длиной стороны правильного многоугольника с n вершинами. Символ pi - это число пи.
Подставляя выражение для A 0 в общую формулу, получаем объем правильной пирамиды:
V n = 1/3*n/4*L 2 *h*ctg(pi/n) = n/12*L 2 *h*ctg(pi/n).
Например, для треугольной пирамиды эта формула приводит к следующему выражению:
V 3 = 3/12*L 2 *h*ctg(60 o) = √3/12*L 2 *h.
Для правильной четырехугольной пирамиды формула объема приобретает вид:
V 4 = 4/12*L 2 *h*ctg(45 o) = 1/3*L 2 *h.
Определение объемов правильных пирамид требует знания стороны их основания и высоты фигуры.
Пирамида усеченная
Предположим, что мы взяли произвольную пирамиду и отсекли у нее часть боковой поверхности, содержащей вершину. Оставшаяся фигура называется усеченной пирамидой. Она состоит уже из двух n-угольных оснований и n трапеций, которые их соединяют. Если секущая плоскость была параллельна основанию фигуры, тогда образуется усеченная пирамида с параллельными подобными основаниями. То есть длины сторон одного из них можно получить, умножая длины другого на некоторый коэффициент k.
Рисунок выше демонстрирует усеченную правильную Видно, что верхнее основание ее так же, как и нижнее, образовано правильным шестиугольником.
Формула которую можно вывести, используя подобное приведенному интегральное исчисление, имеет вид:
V = 1/3*h*(A 0 + A 1 + √(A 0 *A 1)).
Где A 0 и A 1 - площади нижнего (большого) и верхнего (маленького) оснований соответственно. Переменной h обозначается высота усеченной пирамиды.
Объем пирамиды Хеопса
Любопытно решить задачу на определение объема, который заключает внутри себя самая большая египетская пирамида.
В 1984 году британские египтологи Марк Легнер (Mark Lehner) и Джон Гудман (Jon Goodman) установили точные размеры пирамиды Хеопса. Ее первоначальная высота равнялась 146,50 метра (в настоящее время около 137 метров). Средняя длина каждой из четырех сторон сооружения составила 230,363 метра. Основание пирамиды с высокой точностью является квадратным.
Воспользуемся приведенными цифрами для определения объема этого каменного гиганта. Поскольку пирамида является правильной четырехугольной, тогда для нее справедлива формула:
Подставляем цифры, получаем:
V 4 = 1/3*(230,363) 2 *146,5 ≈ 2591444 м 3 .
Объем пирамиды Хеопса равен практически 2,6 млн м 3 . Для сравнения отметим, что олимпийский бассейн имеет объем 2,5 тыс. м 3 . То есть для заполнения всей пирамиды Хеопса понадобится больше 1000 таких бассейнов!
