Потенцирование логарифмов примеры. Метод потенцирования

Урок 19

ЛОГАРИФМИРОВАНИЕ И ПОТЕНЦИРОВАНИЕ ВЫРАЖЕНИЙ

Цели :

дидактическая :

повторение, систематизация и обобщение знаний;

закрепление умений решать практические задачи по теме;

воспитательная :

воспитывать самостоятельность формирования умозаключений; воспитывать общие компетенции - работать в коллективе и в команде;

развивающая :

развитие логического мышления алгоритмической культуры;

развитие умения доказывать свои умозаключения, анализировать ответы друг друга;

продолжить формировать умение правильно воспринимать и активно запоминать новую информацию.

Тип урока : комбинированный урок

Методическое обеспечение : учебники, план-конспект урока, карточки.

Ход урока:

1. Организационный момент

Перед началом урока преподаватель проводит проверку подготовленности кабинета к занятию.

Приветствие обучающихся, определение отсутствующих, заполнение группового журнала. Сообщается тема и цель урока.

2. Повторение ранее изученного материала

3. Изучение нового материала

ПОВТОРЕНИЕ ИЗУЧЕННОГО МАТЕРИАЛА

1. Проверка домашнего задания, работа у доски над затруднительными моментами.

2. Дайте определение понятию логарифм.

Логарифм числа b по основанию а – это показатель степени, в которую нужно возвести число а, чтобы получить число b.

3. Приведите пример записи логарифма. Что означает эта запись?

3. Для того, чтобы проверить уровень усвоения материала, предлагается решить некоторые задания. На доске таблица, которую необходимо заполнить, указав решение примера и номер свойства из ранее записанного конспекта урока.

Пример

Решение. Ответ

Номер свойства

5, 1

ИЗУЧЕНИЕ НОВОГО МАТЕРИАЛА

Логарифмирование – это нахождение логарифмов заданных чисел или выражений.

Пример : Найдем логарифм

Решение .

Последовательно воспользуемся сразу всеми тремя основными свойствами логарифмов, которые изложены выше (логарифм произведения, логарифм частного и логарифм степени):

Логарифмирование – это преобразование, при котором логарифм выражения с переменными приводится к сумме или разности логарифмов переменных.

Необходимо четко различать сумму логарифмов lga + lgb и логарифм суммы lg ( a + b ) . Сумма логарифмов равна логарифму произведения, а для логарифма суммы формулы нет.

Пример . Дано, где a >0, b >0, c >0. Найти lg x .

Решение . Логарифмируя, получим:

Потенцирование – это преобразование, обратное логарифмированию.

Потенцировать – значит освобождаться от знаков логарифмов в процессе решения логарифмического выражения.

При решении уравнений потенцированием выражения преобразовывают с помощью свойств логарифмов, приводя их к виду

либо к виду

Например , надо решить уравнение log 2 3x = log 2 9.

Убираем знаки логарифмов – то есть потенцируем:

3х = 9.

В результате получаем простое уравнение, которое решается за несколько секунд:

х = 9: 3 = 3.

Но потенцирование не сводится к простому и произвольному убиранию значков логарифмов. Для этого в обоих частях уравнения как минимум должно быть одинаковое значение основания (в нашем случае это основание 2).

Потенциирование применяется при решении логарифмических уравнений, с которыми мы познакомимся на следующем занятии.

ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАДАНИЯ

Группа разбивается на подгруппы по два-три человека. Каждая подгруппа составляет один пример для логарифмирования, передает его соседней подгруппе для решения. После чего подгруппы решают пример и передают его следующей подгруппе для решения. В итоге каждая подгруппа должна выставить оценку своим одногруппникам, решившим составленное выражение.

ДОМАШНЯЯ РАБОТА

Прологорифмируйте выражение по основанию 10 при условии, что все переменные положительные:

Выполните потенцирование выражения:

Число c {\displaystyle c} называется n -й степенью числа a {\displaystyle a} , если

c = a ⋅ a ⋅ . . . ⋅ a ⏟ n {\displaystyle c=\underbrace {a\cdot a\cdot ...\cdot a} _{n}} .

Свойства:

(a b) n = a n b n {\displaystyle \left(ab\right)^{n}=a^{n}b^{n}}
(a b) n = a n b n {\displaystyle \left({a \over b}\right)^{n}={{a^{n}} \over {b^{n}}}}
a n a m = a n + m {\displaystyle a^{n}a^{m}=a^{n+m}}
a n a m = a n − m {\displaystyle \left.{a^{n} \over {a^{m}}}\right.=a^{n-m}}
(a n) m = a n m {\displaystyle \left(a^{n}\right)^{m}=a^{nm}}
запись не обладает свойством ассоциативности (сочетательности), то есть в общем случае левая ассоциативность не равна правой ассоциативности (a n) m ≠ a (n m) {\displaystyle (a^{n})^{m}\neq a^{\left({n^{m}}\right)}} , результат будет зависеть от последовательности действий, например, (2 2) 3 = 4 3 = 64 {\displaystyle (2^{2})^{3}=4^{3}=64} , а 2 (2 3) = 2 8 = 256 {\displaystyle 2^{\left({2^{3}}\right)}=2^{8}=256} . Принято считать запись a n m {\displaystyle a^{n^{m}}} равнозначной a (n m) {\displaystyle a^{\left({n^{m}}\right)}} , а вместо (a n) m {\displaystyle (a^{n})^{m}} можно писать просто a n m {\displaystyle a^{nm}} , пользуясь предыдущим свойством. Впрочем некоторые языки программирования не придерживаются этого соглашения (см. );
возведение в степень не обладает свойством коммутативности (переместительности) : вообще говоря, a b ≠ b a {\displaystyle a^{b}\neq b^{a}} , например, 2 5 = 32 {\displaystyle 2^{5}=32} , но 5 2 = 25 {\displaystyle 5^{2}=25} .

Вещественная степень

Пусть a ⩾ 0 , r {\displaystyle a\geqslant 0,r} - вещественные числа, причём r {\displaystyle r} - иррациональное число . Определим значение следующим образом.

Как известно, любое вещественное число можно приблизить, сверху и снизу, двумя рациональными числами, то есть можно подобрать для r {\displaystyle r} рациональный интервал [ p , q ] {\displaystyle } с любой степенью точности. Тогда общая часть всех соответствующих интервалов [ a p , a q ] {\displaystyle } состоит из одной точки, которая и принимается за a r {\displaystyle a^{r}} .

Другой подход основан на теории рядов и логарифмов (см. ).

Потенцирование

a b = (r e θ i) b = (e Ln ⁡ (r) + θ i) b = e (Ln ⁡ (r) + θ i) b . {\displaystyle a^{b}=(re^{{\theta }i})^{b}=(e^{\operatorname {Ln} (r)+{\theta }i})^{b}=e^{(\operatorname {Ln} (r)+{\theta }i)b}.}

Следует иметь в виду, что комплексный логарифм - многозначная функция, так что, вообще говоря, комплексная степень определена неоднозначно.

Ноль в степени ноль

Выражение 0 0 {\displaystyle 0^{0}} (ноль в нулевой степени) многие учебники считают неопределённым и лишённым смысла. Некоторые авторы предлагают принять соглашение о том, что это выражение равно 1. В частности, тогда разложение в ряд экспоненты:

e x = 1 + ∑ n = 1 ∞ x n n ! {\displaystyle e^{x}=1+\sum _{n=1}^{\infty }{x^{n} \over n!}}

можно записать короче:

e x = ∑ n = 0 ∞ x n n ! . {\displaystyle e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{x^{n} \over n!}.}

В любом случае соглашение 0 0 = 1 {\displaystyle 0^{0}=1} чисто символическое, и оно не может использоваться ни в алгебраических, ни в аналитических преобразованиях из-за разрывности функции в этой точке.

Степень как функция

Поскольку в выражении используются два символа ( x {\displaystyle x} и y {\displaystyle y} ), то его можно рассматривать как одну из трёх функций:

Полезные формулы

x y = a y log a ⁡ x {\displaystyle x^{y}=a^{y\log _{a}x}} x y = e y ln ⁡ x {\displaystyle x^{y}=e^{y\ln x}} x y = 10 y lg ⁡ x {\displaystyle x^{y}=10^{y\lg x}}

Последние две формулы используют для возведения положительных чисел в произвольную степень на электронных калькуляторах (включая компьютерные программы), не имеющих встроенной функции x y {\displaystyle x^{y}} , и для приближенного возведения в нецелую степень или для целочисленного возведения в степень, когда числа слишком велики для того, чтобы записать результат полностью.

Употребление в устной речи

Запись a n {\displaystyle a^{n}} обычно читается как «a в n {\displaystyle n} -ой степени» или «a в степени n ». Например, 10 4 {\displaystyle 10^{4}} читается как «десять в четвёртой степени», 10 3 / 2 {\displaystyle 10^{3/2}} читается как «десять в степени три вторых (или: полтора)».

Для второй и третьей степени существуют специальные названия: возведение в квадрат и в куб соответственно. Так, например, 10 2 {\displaystyle 10^{2}} читается как «десять в квадрате», 10 3 {\displaystyle 10^{3}} читается как «десять в кубе». Такая терминология возникла из древнегреческой математики . Древние греки формулировали алгебраические конструкции на языке геометрической алгебры (англ.) русск. . В частности, вместо употребления слова «умножение» они говорили о площади прямоугольника или об объёме параллелепипеда : вместо a 2 {\displaystyle a^{2}} , a 3 {\displaystyle \ a^{3}} древние греки говорили «квадрат на отрезке a », «куб на a ». По этой причине четвёртую степень и выше древние греки избегали .

№	Правила логарифмирования	Правила потенцирования
1.
2.
3.
4.
5.
6.

Логарифмическая функция

Функция вида у = , где, а - заданное число, а> 0, а ≠ 0, называется логарифмической .

или

Вспомнили и повторили теорию! А теперь немного отступления.

Начало XX века. Франция. Париж. Проходя по площади Экзюпери, господин Команьон указал на дом Денизо: «Что-то больше не слышно о провидице, общавшейся со святыми. Меня водил туда Лакарель, правитель канцелярии префекта. Она сидела в кресле, закрыв глаза, а человек десять почитателей задавали вопросы… На все вопросы она отвечала в поэтическом стиле и без особого затруднения. Когда черед дошел до меня, я задал самый простой вопрос: «Каков логарифм 9?». Она мне ничего не ответила. Как же так? Провидица не знает логарифма 9? Да виданное ли это дело! Все были смущены. Я ушел, провожаемый общим неодобрением».

«Ох, опять логарифмы», - подумаете вы. А мне хочется сказать: «Ах, эти логарифмы». И рассмотрим приложения логарифмической функции в самых различных областях науки и техники. Поистине, безграничны приложения логарифмической функции в самых различных областях науки и техники, а ведь придумывали логарифмы для облегчения вычислений. Более трех столетий прошли с того дня, как в 1614 году были опубликованы первые логарифмические таблицы, составленные Джоном Непером . Они помогали астрономам и инженерам. Сокращая время на вычисления, и тем самым. Как сказал знаменитый французский ученый Лаплас: «Удлиняя жизнь вычислителям».

Ещё недавно трудно было представить инженера без логарифмической линейки в кармане, изобретенная через десяток лет после появления логарифмов Непера английским математиком Гунтером. Она позволяла быстро получать ответ, с инженерного обихода вытеснила микрокалькулятор, но без логарифмической линейки не были бы построены ни первые компьютеры, ни калькуляторы.

Звезды, шум и логарифмы.

Этот заголовок связывает столь, казалось бы, несоединимые вещи. Шум и звезды объединяются здесь потому, что громкость шума и яркость звезд оценивается одинаковым образом – по логарифмической шкале. Астрономы делят звезды по степени яркости на видимые и абсолютные звездные величины – звезды первой величины, второй, третьей и т.д. Последовательность видимых звездных величин, воспринимаемых глазом, представляет собой арифметическую прогрессию. Но физическая по иному закону: яркости звезд составляют геометрическую прогрессию со знаменателем 2,5. Легко понять, что “величина” звезды представляет собой логарифм ее физической яркости. Короче говоря, оценивая яркость звезд, астроном оперирует таблицей логарифмов, составленной при основании 2,5. Аналогично оценивается и громкость шума. Вредное влияние промышленных шумов на здоровье рабочих и на производительность труда побудило выработать приемы точной числовой оценки громкости шума. Единицей громкости звука служит “бел”, но практически используется единица громкости, равные его десятой доле, - так называемый “децибелы”. Последовательные степени громкости 1 бел, 2 бела, 3 бела, и т.д. Составляют арифметическую прогрессию… Физические же величины, характеризующие шумы (энергия, интенсивность звука и др.), составляют геометрическую прогрессию со знаменателем 10. Громкость, выраженная в белах, равна десятичному логарифму соответствующей физической величины.

Логарифмы и ощущения

Ощущения, воспринимаемые органами чувств человека, могут вызываться раздражениями, отличающимися друг от друга во много миллионов и даже миллиардов раз. Удары молота о скользкую плиту в сто раз громче, чем тихий шелест листьев, а яркость вольтовой дуги в триллионы раз превосходит яркость какой-нибудь слабо звезды, едва видимой на ночном небе. Но никакие физиологические процессы не позволяют дать такого диапазона ощущений. Опыты показали, что организм как бы “логарифмирует” полученные им раздражения, т.е. величина ощущения приблизительно пропорциональна десятичному логарифму величины раздражения. Как видим, логарифмы вторгаются и в область психологии.

Логарифмическая спираль.

Так как это уравнение связано с логарифмической функцией, то вычисленную по этой формуле спираль называют логарифмической. Живые существа обычно растут, сохраняя общее очертание своей формы. При этом они растут всего во всех направлениях – взрослое существо и выше и толще детеныша. Но раковины морских животных могут расти лишь в одном направлении. Чтобы не слишком вытягиваться в длину, им приходится скручиваться, причем каждый следующий виток подобен предыдущему. А такой рост может совершать лишь по логарифмической спирали или ее некоторым пространственным аналогам. Поэтому раковины многих моллюсков, улиток, а также рога таких млекопитающих, как архары (горный козел), закручены по логарифмической спирали. Можно сказать, что эта спираль является математическим символом соотношения форм роста. Великий немецкий поэт Иоганн Вольфгант Гете считал ее даже математическим символом жизни и духовного развития. Очертания, выраженные логарифмической спиралью, имеют не только раковины, в нити вокруг центра по логарифмической спирали. По логарифмическим спиралям закручены и многие галактики, в частности, Галактика, которой принадлежит Солнечная система.

Подумайте и ответьте!

В связи, с чем возникла необходимость в логарифмах?

Что нового вы узнали о логарифмах и их приложениях?

Кого из ученых, внесших вклад в развитие логарифмов, вы запомнили?

Что надо учитывать, решая различные задания с логарифмами?

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) ; 7) ;

8) ; 9) ; 10)

; 11) ; 12) ; 13) ; 14) .

1. Математика. Базовый курс / Гусев и др. – СПО. Москва, 2010. – Глава 10, 79-89. ил.

2. Математика: Учебник / Под ред. Н. В. Макаровой. – М.: для техникумов, 2009. –768с.

Самостоятельная работа №6.

«Основные свойства логарифмов» - Тождество. Подбрасывание кубика. Логарифмическая шкала и её применение. Основные понятия теории вероятности. Основное свойство логарифма Непера. Фракталы и размерность. Логарифмическая шкала. Психология и физиология. Логарифм. Логарифм произведения равен сумме логарифмов множителей. Свойства логарифмов.

«Натуральный логарифм» - Логарифм по основанию е называется натуральным логарифмом. Вычислить площадь фигуры, ограниченной прямыми y=0, x=1, x=e и гиперболой. Функция вида y=lnx, свойства и график. Десятичные логарифмы для наших потребностей являются весьма удобными. Натуральные логарифмы. «Логарифмический дартс». Составить уравнение касательной к графику функции y=lnx в точке x=e.

«Урок Логарифмы» - Достигли ли вы поставленной цели? Ход урока. Таблица ответов: Большему числу соответствует больший логарифм. Таблица кодов: Логарифмическая диковинка. Общее решение. Компьютерная самостоятельная работа. Логарифмом числа b по основанию a называется показатель степени. Дайте определение логарифма. Электронный тест.

«Выражения с логарифмами» - Удовлетворяет всем условиям системы. Астрономы. Определение логарифма. Громкость шума. Звезды, шум и логарифмы. Громкость. Шум и звезды. Всё о логарифмах. Построение графиков. Основные методы решения уравнений. Методы решения неравенств. Функция. Логарифмы на ЕГЭ. Мини-экзамен. Решите неравенство. Музыка и логарифмы.

«Логарифмические функции» - Свойства логарифмов. Логарифмическая функция. Понятие логарифма. В зависимости от значения основания приняты два обозначения. Решение логарифмических уравнений. Логарифм степени. Графики логарифмических функций. Логарифм произведения равен сумме логарифмов множителей. Свойства натуральных логарифмов.

«Свойства логарифмов» - 5. Почему не имеют смысла выражения log15 ; log-381 ? Основное логарифмическое тождество. 3. Сформулируйте основные свойства логарифмов и вычислите: log618 + log62 ; log553 ; log318 – log32 ; log2 lg4 + lg25 ; Если a>0 и a ?1, х > 0, у > 0, р? R, то: Иоганн Генрих Песталоцци. Счет и вычисления – основа порядка в голове.

Всего в теме 14 презентаций

«Уравнения по алгебре» - Домашнее задание. Д е т и. Целеполагание. О-оох… Структура урока: Организационный момент. Цель: Актуализация опорных знаний. . Отработка умений и навыков. Алгебра 7 класс. Рефлексия, итог урока.

«Решение логарифмических уравнений» - Если в уравнении содержатся логарифмы с разными основаниями, то прежде всего следует свести все логарифмы к одному основанию, используя формулы перехода. Решение простейшего логарифмического уравнения основано на применении определения логарифма и решении равносильного уравнения. Обобщить материал по свойствам логарифмов, логарифмической функции; рассмотреть основные методы решения логарифмических уравнений; развивать навыки устной работы.

«Решение дробно-рациональных уравнений» - 3) 4 и 3. Дать определение целого уравнения. Не рассчитывай на завтра, Помни: все в твоих руках. 2) 3. Как решить дробно рациональное уравнение? 1) 0 и 1. Какое уравнение называют дробным рациональным? Наш девиз: Торопись, ведь дни проходят, Ты у времени в гостях. Решение дробных рациональных уравнений.

«Решение систем уравнений» - Х+2у =3 5х-3у= 2. 6х +у = 18 6х = 18 –у |: 6 х= 3 – 1/6у у = 18 – 6х. Проверьте себя! Графический метод Решите графически {. Проверь себя! Алгоритм решения. Решить систему: {. 4х +2у =20 4х =20 - 2у | : 4 х=5 – 0,5 у 2у = 20 – 4х| : 2 у = 10 – 2х. Сложение и вычитание одночленов. Методы решения систем уравнений.

«Урок Логарифмические уравнения» - ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ (5 итоговый урок). 1.logx5 = 1 2.logx(x2-1) = 0 3.log5(2x+1) = log5(x+2). Найдите область допустимых значений уравнений. x > 0 a > 0 a ? 1. logax = b.

«Тригонометрические уравнения» - Тригонометрические уравнения. Введём новую переменную t = sinx. Решение. Верно ли, что: Пример 1. Решить уравнение 2 sin2x + sinx - 1 = 0. Cледовательно, sinx = 1/2 или sinx = -1. Имеют ли смысл выражения: Тогда данное уравнение примет вид 2t2 + t - 1 = 0. Решить уравнение:

Всего в теме 49 презентаций