Производная функции. Геометрический смысл производной

1- Производная, смысл в разных задачах и свойства

1.1. Понятие производной

Пусть функция у – f (x ) определена на промежутке D . Возьмем некоторое значение X0 D и рассмотрим приращение ∆х : х0 +∆х D . Если существует предел отношения изменения (приращения) функции к соответствующему приращению аргумента, когда последнее стремится к нулю, то он называется производной функции у = f (x ) в точке х = х0:

https://pandia.ru/text/78/516/images/image003_45.jpg" width="331" height="39 src=">

Процесс нахождения производных называется дифференцировани­ем .

Если f "(x ) конечна при каждом x D , то функция у = f (x ) назы­вается дифференцируемой в D . Точная формулировка дифференцируе­мости функции и критерий дифференцируем ости функции будут даны в п. 1.5.

Пользуясь определением производной, получим некоторые правила дифференцирования и производные основных элементарных функций, которые затем сведем в таблицы.

10. Производная константы есть нуль:

https://pandia.ru/text/78/516/images/image006_35.jpg" width="236" height="27">

Действительно,

В частности,

30 . Для функции у = х­­­2 производная у’ =2х.

Для вывода этой формулы найдем приращение функции:

https://pandia.ru/text/78/516/images/image011_23.jpg" width="72" height="35">.jpg" width="104 height=33" height="33">Используя формулу бинома Ньютона, можно показать, что для степенной функции

1.2. Понятие односторонней производной

В основах математического анализа для функции у =f (х) были введены понятия левого и правого пределов в точке а :

https://pandia.ru/text/78/516/images/image015_18.jpg" width="358" height="37 src=">

правосторонняя производная -

Напомним, что для существования конечного предела функции у = f (x ) в точке х = а необходимо и достаточно, чтобы левый и пра­вый пределы функции в этой точке были конечны и равны:

(x - 0) = f ’(x + 0).

1.3. Понятие производных высших порядков

Пусть для функции у = f (x ) , определенной на множестве D , су­ществует производная у" = f "(x ) при каждом x D ,т. e. производная является функцией и для нее можно ставить вопрос о существовании про­изводной. Производная от первой производной, если она существует - вторая производная данной функции или производная второ­го порядка

https://pandia.ru/text/78/516/images/image019_12.jpg" width="127" height="46 src=">

производная п - го порядка

0, у"" = 0,...у(n) = 0. Для функции у = х2 производная у’ = 2х. Тогда у" = 2, у"" = 0,.., у(n) = 0.

1.4. Геометрическое и механическое истолкования производной

1.4.1. Механический смысл производной. Задача о скорости и ускорении неравномерного движения

Пусть зависимость пути, пройденного телом за время t , описывается функцией s = s (t ), а скорость движения и ускорение соответственно функциями v = v (t ), a = a (t ). Если тело движется равномерно, то, как известно из физики, s = vּt , т. e. v = s / t . Если тело движется рав­ноускоренно и vo = 0, то ускорение a = v / t .

Если же движение не является равномерным и равноускоренным, то средняя величина скорости и ускорения за промежуток времени Δ t , очевидно, равны соответственно.

Пусть v (t )- скорость движения, a (t )- ускорение в момент времени t .

Тогда, Таким образом,

При условии, что последние пределы существуют.

Механический смысл производной: производная пути s = s (t ) no времени t есть мгновенная скорость движения материальной точки, т. е. v (t )= s "(t ). Вторая производная пути по времени - ускорение, т. е. s ""(t )= v "(t )=а(t ).

С введением понятия производной функции, по словам Ф. Энгель­са, в математику пришло движение, так как производная означает скорость изменения любого процесса, например: процесса нагрева или охлаждения тела, скорость протекания химической или ядерной реакции и т. д.

Пример 1.1. Количество электричества (в кулонах), протекающее через проводник, определяется законом Q = 2 t 2 + 3 t + 4 . Найдите силу тока в конце третьей секунды.

Решение. Сила тока I = Q " = 4 t +3. При t = 3 I =15 k /с=15 А.

1.4.2.3адача о касательной. Геометрический смысл производной

Пусть функция у = f (x ) определена и непрерывна в точке х = х0 ­­­­ и в некоторой окрестности этой точки. Выясним геометрический смысл производной функции.

Для решение данной задачи поступим следующим образом. Возь­мем на графике функции (рис. 1.1) точку М(х0 + Δх, у0 + Δу) и проведем секущую М0М. Устремим точку М к точке М0, т. е. Δх → 0. Точка М() неподвижна, поэтому секущая в пределе займет положение касательной К.

Касательной к графику функции у = f (x ) e точке M 0 называется предельное положение секущей М0М при условии, что точка М стре­мится к точке М0 по кривой Г f - графику функции y = f (x ).

Тогда угловой коэффициент секущей М0М

в пределе станет равным угловому коэффициенту касательной:

{ x 0 ) = tgα , где α - угол меж­ду касательной и положительным направлением оси Ох (см. рис. 1.1).

Как известно из аналитической геометрии, уравнение прямой, про­ходящей через точку (х0, у0 ) и имеющей угловой коэффициент k будет

у – у0 = k (х-х0).

Тогда, с учетом геометрического смысла производной, уравнение касательной (К) к графику функции у = f (x ) в точке (х0,у0) имеет вид

(К) у = f (x 0 ) + f "(x 0 )(x - x 0 ).

Уравнение нормали (N ) - перпендикуляра к касательной в точке касания:

https://pandia.ru/text/78/516/images/image028_9.jpg" width="500" height="41 src=">

(О(х) - о -малое от Δх).

Теорема. Для того чтобы функция у = f (х) была дифференцируе­мой в точке x D ), необходимо и достаточно, чтобы она в этой точке име­ла конечную производную у’ = f "(x ).

Доказательство . Необходимость. Пусть функция y = f (x ) дифференцируема в точке x D , т. е. выполнено соотношение (1.1). Тогда, по определению производной, с учетом (1.1)

https://pandia.ru/text/78/516/images/image030_9.jpg" width="130" height="45 src=">

Тогда на основании теоремы о связи между функцией, ее пределом и бесконечно малой величиной

https://pandia.ru/text/78/516/images/image032_8.jpg" width="221" height="28 src=">

может быть представлено в виде суммы двух слагаемых, первое из кото­рых пропорционально приращению аргумента Δх с коэффициентом пропорциональности f ’(х), а второе - является бесконечно малой более высокого порядка, чем Δх , т. е выполнено (1.1), и, стало быть, функция дифференцируема в точке x D .

Заметим, что соотношение

https://pandia.ru/text/78/516/images/image034_10.jpg" width="170" height="64 src=">

https://pandia.ru/text/78/516/images/image036_10.jpg" width="232" height="52">(-0 )=-1, у"(+0)=1, но функция непрерывна при х = 0.

1.6. Правила дифференцирования

1 . Дифференцирование алгебраической суммы функций. Алгеб­раическая сумма конечного числа дифференцируемых функций есть диф­ференцируемая функция, при этом производная алгебраической суммы функций равна алгебраической сумме производных. Например: для двух функций

https://pandia.ru/text/78/516/images/image039_8.jpg" width="280" height="91 src=">

Рассмотрим изменение функции и ± v при изменении аргумента Δх:

https://pandia.ru/text/78/516/images/image041_9.jpg" width="260" height="55 src=">

Так как предел каждого слагаемого по условию существует и конечен, то предел алгебраической суммы равен алгебраической сумме пределов. т. е. функция (и ± v ) дифференцируема в произвольной точке х и (u ± v )" = u ’ ± v ’ . Утверждение доказано.

2°.Дифференцирование произведения функций . Произведение двух дифференцируемых функций есть функция дифференцируемая, при этом производная произведения равна произведению производной первого со­множителя на второй без изменения плюс первый сомножитель, умножен­ный на производную второго:

(и v ) = и" v + uv".

Приведенное правило легко может быть обобщено и произведение любого конечного числа дифференцируемых функций, например.

Доказательство. По условию в произвольной точке x D

При изменении Δх изменение функции

представим в виде
https://pandia.ru/text/78/516/images/image046_7.jpg" width="501" height="95">

Так как в силу дифференцируемости, а

lim Δ v = 0 в силу непрерывности функции, то по свойствам пределов

Δх → О

(uv)" = u"v + uv".

Как следствие правила дифференцирования произведения функций пред­лагаем читателям получить производную степенной функции ип, n N :

(и n )’ = nun -1 и’

3°.Следствие из 2°. Постоянный множитель можно вынести за знак

производной:

https://pandia.ru/text/78/516/images/image048_6.jpg" width="136" height="58 src=">

Доказательство. При изменении Δх рассмотрим изменения дифференцируемых функций и = и(х), v = v(x) ≠ 0:

Δи = [и(х + Δх) - и(х)], Δv = [ v (x + Δх) - v (x)].

Измененные значения функций будут: и + Aw, v + Av,

https://pandia.ru/text/78/516/images/image050_7.jpg" width="416" height="67 src=">

Функции и = w(x),v = v(x) ≠ 0 дифференцируемы по условию, а, стало быть, и непрерывны, т. е.

По свойствам пределов

https://pandia.ru/text/78/516/images/image054_6.jpg" width="160" height="58 src=">

6 . Дифференцирование сложной функции . Пусть функция у = f (и ) дифференцируема по х , функция и = и(х) дифференцируема по х . Тогда сложная функция у = f (u (x )) дифференцируема по х , и

у"= f "(u )∙ u "

Доказательство . В силу дифференцируемоcти функций f (u ), u (x ) и свойств пределов

F(u)-u"(v)"v"(x).

70­­. Дифференцирование обратной функции . Пусть функция у = f (x ) дифференцируема по х и у"х ≠ 0. Тогда обратная функция х = g (у ) дифференцируема по у и х"у =1/у"х

Доказательство. Действительно,

Для удобства в использовании основные правила дифференцирования представим в таблице 1.

Таблица 1

Правила дифференцирования

Номер формулы

с = const, с" = 0.

(u ± v )" =u "± v ", и = и(х), v = v (x ).

(u ∙ v) = c ∙ v" + u ∙ v" .

(c ∙ v)" = c ∙ v", с = const.

y = f(u), u = u(x)=>y" = f"(u) ∙ u.

y= f(x\ x = g{y)=>x" у =

(uv)"=vuv-1u"+uv ln u ∙ v"


1.7.

Используя определение производной функции и правила дифференци­рования, найдем производные основных элементарных функций, которые представлены ниже в таблице 2.

Таблица 2

Производные основных элементарных функций

Простые функции

Сложные функции

Производная функции - одна из сложных тем в школьной программе. Не каждый выпускник ответит на вопрос, что такое производная.

В этой статье просто и понятно рассказано о том, что такое производная и для чего она нужна . Мы не будем сейчас стремиться к математической строгости изложения. Самое главное - понять смысл.

Запомним определение:

Производная - это скорость изменения функции.

На рисунке - графики трех функций. Как вы думаете, какая из них быстрее растет?

Ответ очевиден - третья. У нее самая большая скорость изменения, то есть самая большая производная.

Вот другой пример.

Костя, Гриша и Матвей одновременно устроились на работу. Посмотрим, как менялся их доход в течение года:

На графике сразу все видно, не правда ли? Доход Кости за полгода вырос больше чем в два раза. И у Гриши доход тоже вырос, но совсем чуть-чуть. А доход Матвея уменьшился до нуля. Стартовые условия одинаковые, а скорость изменения функции, то есть производная , - разная. Что касается Матвея - у его дохода производная вообще отрицательна.

Интуитивно мы без труда оцениваем скорость изменения функции. Но как же это делаем?

На самом деле мы смотрим, насколько круто идет вверх (или вниз) график функции. Другими словами - насколько быстро меняется у с изменением х. Очевидно, что одна и та же функция в разных точках может иметь разное значение производной - то есть может меняться быстрее или медленнее.

Производная функции обозначается .

Покажем, как найти с помощью графика.

Нарисован график некоторой функции . Возьмем на нем точку с абсциссой . Проведём в этой точке касательную к графику функции. Мы хотим оценить, насколько круто вверх идет график функции. Удобная величина для этого - тангенс угла наклона касательной .

Производная функции в точке равна тангенсу угла наклона касательной, проведённой к графику функции в этой точке.

Обратите внимание - в качестве угла наклона касательной мы берем угол между касательной и положительным направлением оси .

Иногда учащиеся спрашивают, что такое касательная к графику функции. Это прямая, имеющая на данном участке единственную общую точку с графиком, причем так, как показано на нашем рисунке. Похоже на касательную к окружности.

Найдем . Мы помним, что тангенс острого угла в прямоугольном треугольнике равен отношению противолежащего катета к прилежащему. Из треугольника :

Мы нашли производную с помощью графика, даже не зная формулу функции. Такие задачи часто встречаются в ЕГЭ по математике под номером .

Есть и другое важное соотношение. Вспомним, что прямая задается уравнением

Величина в этом уравнении называется угловым коэффициентом прямой . Она равна тангенсу угла наклона прямой к оси .

.

Мы получаем, что

Запомним эту формулу. Она выражает геометрический смысл производной.

Производная функции в точке равна угловому коэффициенту касательной, проведенной к графику функции в этой точке.

Другими словами, производная равна тангенсу угла наклона касательной.

Мы уже сказали, что у одной и той же функции в разных точках может быть разная производная. Посмотрим, как же связана производная с поведением функции.

Нарисуем график некоторой функции . Пусть на одних участках эта функция возрастает, на других - убывает, причем с разной скоростью. И пусть у этой функции будут точки максимума и минимума.

В точке функция возрастает. Касательная к графику, проведенная в точке , образует острый угол ; с положительным направлением оси . Значит, в точке производная положительна.

В точке наша функция убывает. Касательная в этой точке образует тупой угол ; с положительным направлением оси . Поскольку тангенс тупого угла отрицателен, в точке производная отрицательна.

Вот что получается:

Если функция возрастает, ее производная положительна.

Если убывает, ее производная отрицательна.

А что же будет в точках максимума и минимума? Мы видим, что в точках (точка максимума) и (точка минимума) касательная горизонтальна. Следовательно, тангенс угла наклона касательной в этих точках равен нулю, и производная тоже равна нулю.

Точка - точка максимума. В этой точке возрастание функции сменяется убыванием. Следовательно, знак производной меняется в точке с «плюса» на «минус».

В точке - точке минимума - производная тоже равна нулю, но ее знак меняется с «минуса» на «плюс».

Вывод: с помощью производной можно узнать о поведении функции всё, что нас интересует.

Если производная положительна, то функция возрастает.

Если производная отрицательная, то функция убывает.

В точке максимума производная равна нулю и меняет знак с «плюса» на «минус».

В точке минимума производная тоже равна нулю и меняет знак с «минуса» на «плюс».

Запишем эти выводы в виде таблицы:

возрастает точка максимума убывает точка минимума возрастает
+ 0 - 0 +

Сделаем два небольших уточнения. Одно из них понадобится вам при решении задачи . Другое - на первом курсе, при более серьезном изучении функций и производных.

Возможен случай, когда производная функции в какой-либо точке равна нулю, но ни максимума, ни минимума у функции в этой точке нет. Это так называемая :

В точке касательная к графику горизонтальна, и производная равна нулю. Однако до точки функция возрастала - и после точки продолжает возрастать. Знак производной не меняется - она как была положительной, так и осталась.

Бывает и так, что в точке максимума или минимума производная не существует. На графике это соответствует резкому излому, когда касательную в данной точке провести невозможно.

А как найти производную, если функция задана не графиком, а формулой? В этом случае применяется

Сегодня мы продолжаем изучать задачи на экстремум функции из ЕГЭ по математике. И вновь перед нами довольно сложный пример, где придется считать производную частного.

Найдите точку максимума функции:

Алгоритм решения

Перед тем, как решать эту задачу, давайте вспомним, как вообще решаются все примеры на поиск экстремума функции. Обратите внимание: не наибольшего и наименьшего значения, а именно точки экстремума функции.

Первый шаг будет один и тот же: нужно найти производную функции:

Второй этап в этих задачах тоже одинаковый: мы приравниваем ${y}"$ к нулю и находим какие-то $x$:

\[{y}"=0;{{x}_{1}},{{x}_{2}}...\]

А вот третий этап уже существенно отличается от того, что мы делали при решении примеров на нахождение наибольшего и наименьшего значения на отрезке. Напомню, что раньше мы выбирали те значения, которые лежат на заданном отрезке. Но в нашем примере, во-первых, вообще нет никакого отрезка, а во-вторых, отбор корней нам никак не поможет в поисках точки экстремума функции. Поэтому в задачах на поиски точки экстремума функции на третьем этапе мы чертим координатную ось $x$ и отмечаем на ней все корни, а затем смотрим на знаки производной между ними. Там будет стоять либо плюс, либо минус. Как именно искать эти корни, и какие значения лучше всего подставлять в ${y}"$ — обо всем этом мы будем говорить при решении конкретного примера.

Наконец, четвертым шагом мы внимательно смотрим на каждый из наших корней и вспоминаем замечательное правило: если в каком-то корне ${y}"$ меняет свой знак с плюса на минус, то это означает, что эта точка является точкой максимума, т. е. как раз той точкой экстремума, которую от нас требуется найти в условие задачи. А если в заданной точке экстремума функции минус переходит в плюс, то данный корень является точкой минимума.

Шаг 1: Считаем производную частного

Перед нами производная частного, поэтому напомню следующую формулу:

\[{{\left(\frac{f}{g} \right)}^{\prime }}=\frac{{f}"\cdot \text{g}-\text{f}\cdot \text{{g}"}}{{{g}^{2}}}\]

Вот такая на первый взгляд сложная формула, но на самом деле в ней нет ничего сложного. Достаточно немножко попрактиковаться, и вы будете считать ${y}"$ частного без каких-либо затруднений. Давайте теперь решать:

\[{y}"={{\left(\frac{{{(x-3)}^{3}}}{{{(x+3)}^{2}}} \right)}^{\prime }}=\frac{{{\left({{(x-3)}^{3}} \right)}^{\prime }}\text{ }\!\!\cdot\!\!\text{ (}x+\text{3}{{\text{)}}^{\text{2}}}-{{\left({{(x+3)}^{2}} \right)}^{\prime }}\text{ }\!\!\cdot\!\!\text{ (}x-\text{3}{{\text{)}}^{\text{3}}}}{{{\left({{(x-3)}^{2}} \right)}^{2}}}\]

Производная сложной функции — частный случай

И вот тут возникает еще один очень тонкий момент: мы видим, что под знаком производной у нас стоит куб разности и квадрат суммы. Многие ученики сразу хотят раскрыть куб разности и квадрат суммы по формулам сокращенного умножения и затем от полученных многочленов найти ${y}"$. Ни в коем случае делать этого не нужно! Потому что если с кубом и квадратом вы еще справитесь, но если вместо 3 или 2 будет стоять 70-ая степень, раскрыть скобки в 70-ой степени вы уже не сможете. Возникает логичный вопрос: а как же тогда поступить? Очень просто. Вспоминаем формулу:

\[{{\left({{x}^{n}} \right)}^{\prime }}=n\cdot {{x}^{n-1}}\]

А теперь замечательное правило: если мы заменяем $x$ на линейное выражение\, то от него мы тоже можем считать ${y}"$ по тому же самому правилу, т. е.

\[\left({{\left(kx+b \right)}^{n}} \right)=n\cdot {{\left(kb+b \right)}^{n-1}}\cdot k\]

Вообще эта формула является частным случаем ${y}"$. Однако в сегодняшнем уроке мы не будем применять тяжелую артиллерию, а просто воспользуемся этой формулой, которая существенно сокращает вычисления. Итак, получим:

\[{y}"=\frac{{{\left({{\left(x-3 \right)}^{3}} \right)}^{\prime }}\text{ }\!\!\cdot\!\!\text{ }{{\left(x+3 \right)}^{2}}-{{\left({{\left(x+3 \right)}^{2}} \right)}^{\prime }}\text{ }\!\!\cdot\!\!\text{ }{{\left(x-3 \right)}^{3}}}{{{\left({{\left(x-3 \right)}^{2}} \right)}^{2}}}=\]

\[=\frac{3\text{ }\!\!\cdot\!\!\text{ }{{\left(x-3 \right)}^{2}}\text{ }\!\!\cdot\!\!\text{ 1 }\!\!\cdot\!\!\text{ }{{\left(x+3 \right)}^{2}}-2\text{ }\!\!\cdot\!\!\text{ }{{\left(x+3 \right)}^{1}}\cdot \text{1}{{\left(x-3 \right)}^{3}}}{{{\left(x+3 \right)}^{4}}}\]

Отлично, давайте избавимся от лишних множителей в числителе:

\[{y}"=\frac{3\text{ }\!\!\cdot\!\!\text{ }{{\left(x-3 \right)}^{2}}\text{ }\!\!\cdot\!\!\text{ 1 }\!\!\cdot\!\!\text{ }{{\left(x+3 \right)}^{2}}-2\text{ }\!\!\cdot\!\!\text{ }{{\left(x+3 \right)}^{1}}\text{ }\!\!\cdot\!\!\text{ 1}{{\left(x-3 \right)}^{3}}}{{{\left(x+3 \right)}^{4}}}=\]

\[=\frac{3{{\left(x-3 \right)}^{2}}{{\left(x+3 \right)}^{2}}-2\left(x+3 \right){{\left(x-3 \right)}^{3}}}{{{\left(x-3 \right)}^{4}}}=\]

\[=\frac{{{\left(x-3 \right)}^{2}}\left(x+3 \right)\left(3\left(x+3 \right)-2{{\left(x-3 \right)}^{1}} \right)}{{{\left(x+3 \right)}^{4}}}=\]

\[=\frac{{{\left(x-3 \right)}^{2}}\left(x+15 \right)}{{{\left(x+3 \right)}^{3}}}\]

Шаг 2: Приравниваем производную функции к нулю

Теперь переходим ко второму шагу и приравниваем ${y}"$ к нулю, получим:

\[\frac{{{(x-3)}^{2}}(x+15)}{{{(x+3)}^{3}}}=0\]

Дробь равна нулю, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. В свою очередь, числитель равен нулю, когда

Считаем и получаем:

Это корень второй кратности, потому что изначально множитель стоял во второй степени.

Это корень первой кратности, потому что он был в первой степени.

Это корень тоже нечетной кратности, но в этот раз третьей.

Шаг 3: Отмечаем нули производной на числовой прямой

Прекрасно, мы нашли два значения, в которых ${y}"$ равна 0, а также одно значение, в которой ${y}"$ не существует. Теперь отмечаем все три точки на прямой, т. е. выполняем третий шаг нашего алгоритма:

Обратите внимание! Здесь многие ученики спросят: а зачем мы обще отмечаем -3, ведь она же выколота и, следовательно, ни в коем случае не может являться точкой экстремума? Да. Безусловно, она не может являться экстремумом. Однако знак производной в ней может точно также меняться, как и в ее нулях. И, следовательно, если ее не отметить, мы получим неверную расстановку плюсов и минусов и, как следствие, неправильный ответ. Поэтому помните: на третьем шаге мы отмечаем не только нули, полученные на втором, но также и такие, в которых ${y}"$ не существует. Однако эти значения отмечаются выколотыми, и в дальнейшем решении не участвуют, они влияют только на знак. Давайте найдем его. Для этого отметим на нашей оси кратности корней.

Теперь берем любое число, большее, чем каждый из этих корней, например, 500, и подставляем в наше выражение. Первый у нас получился «плюс». Затем мы проходим через корень 3 — это корень второй кратности, следовательно, при переходе через него знак не поменяется, т. е. останется «плюс». Теперь при переходе через -3, поскольку это корень 3-ей кратности, т. е. нечетной кратности, знак поменяется, мы получим «минус». Затем мы проходим через точку -15. она у нас первой кратности и, следовательно, знак также поменяется, потому что 1 — это нечетное число. Получаем «плюс»:

Шаг 4: вычисление точки максимума

Переходим к последнему этапу. Смотрим: от нас требуется найти точку максимума, т. е. ту точку экстремума, в которой «плюс» поменяется на «минус». На нашем рисунке такая только одна — $x=-15$, слева от нее стоит «плюс», а справа - «минус».

Напомню, что счет этих самых плюсов и минусов всегда идет слева направо, т. е. в ту сторону, куда направленная положительная сторона оси $x$.

Все, можно записывать ответ: $x=-15$.

Выводы: как решать задачи B15 быстро и правильно

В заключении хотел бы еще раз обратить ваше внимание на два ключевых момента в решении этого примера на нахождение экстремума:

  1. Первое — это переход от переменной функции к линейно функции\, при этом новая конструкция продолжает считаться с помощью табличных производных, однако в конце добавляется коэффициент $k$.
  2. Второй очень важный пункт, на котором многие делают ошибку, состоит в том, что на третьем этапе мы отмечаем на координатной оси $x$ не только корни, но также и те значения, в которых ${y}"$ не существует. При этом нужно понимать, что они отмечаются выколотыми, другими словами, они не могут быть экстремумом функции и не участвуют в дальнейшем решении. Однако знак при переходе через них может меняться, в чем мы лично убедились, когда решали сегодняшний пример: при переходе через -3 знак поменялся с плюса на минус, если считать справа налево.

Начальный уровень

Производная функции. Исчерпывающее руководство (2019)

Представим себе прямую дорогу, проходящую по холмистой местности. То есть она идет то вверх, то вниз, но вправо или влево не поворачивает. Если ось направить вдоль дороги горизонтально, а - вертикально, то линия дороги будет очень похожа на график какой-то непрерывной функции:

Ось - это некий уровень нулевой высоты, в жизни мы используем в качестве него уровень моря.

Двигаясь вперед по такой дороге, мы также движемся вверх или вниз. Также можем сказать: при изменении аргумента (продвижение вдоль оси абсцисс) изменяется значение функции (движение вдоль оси ординат). А теперь давай подумаем, как определить «крутизну» нашей дороги? Что это может быть за величина? Очень просто: на сколько изменится высота при продвижении вперед на определенное расстояние. Ведь на разных участках дороги, продвигаясь вперед (вдоль оси абсцисс) на один километр, мы поднимемся или опустимся на разное количество метров относительно уровня моря (вдоль оси ординат).

Продвижение вперед обозначим (читается «дельта икс»).

Греческую букву (дельта) в математике обычно используют как приставку, означающую «изменение». То есть - это изменение величины, - изменение; тогда что такое? Правильно, изменение величины.

Важно: выражение - это единое целое, одна переменная. Никогда нельзя отрывать «дельту» от «икса» или любой другой буквы! То есть, например, .

Итак, мы продвинулись вперед, по горизонтали, на. Если линию дороги мы сравниваем с графиком функции, то как мы обозначим подъем? Конечно, . То есть, при продвижении вперед на мы поднимаемся выше на.

Величину посчитать легко: если в начале мы находились на высоте, а после перемещения оказались на высоте, то. Если конечная точка оказалась ниже начальной, будет отрицательной - это означает, что мы не поднимаемся, а спускаемся.

Вернемся к «крутизне»: это величина, которая показывает, насколько сильно (круто) увеличивается высота при перемещении вперед на единицу расстояния:

Предположим, что на каком-то участке пути при продвижении на км дорога поднимается вверх на км. Тогда крутизна в этом месте равна. А если дорога при продвижении на м опустилась на км? Тогда крутизна равна.

А теперь рассмотрим вершину какого-нибудь холма. Если взять начало участка за полкилометра до вершины, а конец - через полкилометра после него, видно, что высота практически одинаковая.

То есть, по нашей логике выходит, что крутизна здесь почти равна нулю, что явно не соответствует действительности. Просто на расстоянии в км может очень многое поменяться. Нужно рассматривать более маленькие участки для более адекватной и точной оценки крутизны. Например, если измерять изменение высоты при перемещении на один метр, результат будет намного точнее. Но и этой точности нам может быть недостаточно - ведь если посреди дороги стоит столб, мы его можем просто проскочить. Какое расстояние тогда выберем? Сантиметр? Миллиметр? Чем меньше, тем лучше!

В реальной жизни измерять расстояние с точностью до милиметра - более чем достаточно. Но математики всегда стремятся к совершенству. Поэтому было придумано понятие бесконечно малого , то есть величина по модулю меньше любого числа, которое только можем назвать. Например, ты скажешь: одна триллионная! Куда уж меньше? А ты подели это число на - и будет еще меньше. И так далее. Если хотим написать, что величина бесконечно мала, пишем так: (читаем «икс стремится к нулю»). Очень важно понимать, что это число не равно нулю! Но очень близко к нему. Это значит, что на него можно делить.

Понятие, противоположное бесконечно малому - бесконечно большое (). Ты уже наверняка сnалкивался с ним, когда занимался неравенствами: это число по модулю больше любого числа, которое только можешь придумать. Если ты придумал самое большое из возможных чисел, просто умножь его на два, и получится еще больше. А бесконечность еще больше того, что получится. Фактически бесконечно большое и бесконечно малое обратны друг другу, то есть при, и наоборот: при.

Теперь вернемся к нашей дороге. Идеально посчитанная крутизна - это куртизна, вычисленная для бесконечно малого отрезка пути, то есть:

Замечу, что при бесконечно малом перемещении изменение высоты тоже будет бесконечно мало. Но напомню, бесконечно малое - не значит равное нулю. Если поделить друг на друга бесконечно малые числа, может получиться вполне обычное число, например, . То есть одна малая величина может быть ровно в раза больше другой.

К чему все это? Дорога, крутизна… Мы ведь не в автопробег отправляемся, а математику учим. А в математике все точно так же, только называется по-другому.

Понятие производной

Производная функции это отношение приращения функции к приращению аргумента при бесконечно малом приращение аргумента.

Приращением в математике называют изменение. То, насколько изменился аргумент () при продвижении вдоль оси, называется приращением аргумента и обозначается То, насколько изменилась функция (высота) при продвижении вперед вдоль оси на расстояние, называется приращением функции и обозначается.

Итак, производная функции - это отношение к при. Обозначаем производную той же буквой, что и функцию, только со штрихом сверху справа: или просто. Итак, запишем формулу производной, используя эти обозначения:

Как и в аналогии с доро́гой здесь при возрастании функции производная положительна, а при убывании - отрицательна.

А бывает ли производная равна нулю? Конечно. Например, если мы едем по ровной горизонтальной дороге, крутизна равна нулю. И правда, высота ведь не совсем меняется. Так и с производной: производная постоянной функции (константы) равна нулю:

так как приращение такой функции равно нулю при любом.

Давай вспомним пример с вершиной холма. Там получалось, что можно так расположить концы отрезка по разные стороны от вершины, что высота на концах оказывается одинаковой, то есть отрезок располагается параллельно оси:

Но большие отрезки - признак неточного измерения. Будем поднимать наш отрезок вверх параллельно самому себе, тогда его длина будет уменьшаться.

В конце концов, когда мы будем бесконечно близко к вершине, длина отрезка станет бесконечно малой. Но при этом он остался параллелен оси, то есть разность высот на его концах равна нулю (не стремится, а именно равна). Значит, производная

Понять это можно так: когда мы стоим на самой вершине, меленькое смещение влево или вправо изменяет нашу высоту ничтожно мало.

Есть и чисто алгебраическое объяснение: левее вершины функция возрастает, а правее - убывает. Как мы уже выяснили ранее, при возрастании функции производная положительна, а при убывании - отрицательна. Но меняется она плавно, без скачков (т.к. дорога нигде не меняет наклон резко). Поэтому между отрицательными и положительными значениями обязательно должен быть. Он и будет там, где функция ни возрастает, ни убывает - в точке вершины.

То же самое справедливо и для впадины (область, где функция слева убывает, а справа - возрастает):

Немного подробнее о приращениях.

Итак, мы меняем аргумент на величину. Меняем от какого значения? Каким он (аргумент) теперь стал? Можем выбрать любую точку, и сейчас будем от нее плясать.

Рассмотрим точку с координатой. Значение функции в ней равно. Затем делаем то самое приращение: увеличиваем координату на. Чему теперь равен аргумент? Очень легко: . А чему теперь равно значение функции? Куда аргумент, туда и функция: . А что с приращением функции? Ничего нового: это по-прежнему величина, на которую изменилась функция:

Потренируйся находить приращения:

  1. Найди приращение функции в точке при приращении аргумента, равном.
  2. То же самое для функции в точке.

Решения:

В разных точках при одном и том же приращении аргумента приращение функции будет разным. Значит, и производная в каждой точке своя (это мы обсуждали в самом начале - крутизна дороги в разных точках разная). Поэтому когда пишем производную, надо указывать, в какой точке:

Степенная функция.

Степенной называют функцию, где аргумент в какой-то степени (логично, да?).

Причем - в любой степени: .

Простейший случай - это когда показатель степени:

Найдем ее производную в точке. Вспоминаем определение производной:

Итак, аргумент меняется с до. Каково приращение функции?

Приращение - это. Но функция в любой точке равна своему аргументу. Поэтому:

Производная равна:

Производная от равна:

b) Теперь рассмотрим квадратичную функцию (): .

А теперь вспомним, что. Это значит, что значением приращения можно пренебречь, так как оно бесконечно мало, и поэтому незначительно на фоне другого слагаемого:

Итак, у нас родилось очередное правило:

c) Продолжаем логический ряд: .

Это выражение можно упростить по-разному: раскрыть первую скобку по формуле сокращенного умножения куб суммы, или же разложить все выражение на множители по формуле разности кубов. Попробуй сделать это сам любым из предложенных способов.

Итак, у меня получилось следующее:

И снова вспомним, что. Это значит, что можно пренебречь всеми слагаемыми, содержащими:

Получаем: .

d) Аналогичные правила можно получить и для больших степеней:

e) Оказывается, это правило можно обобщить для степенной функции с произвольным показателем, даже не целым:

(2)

Можно сформулировать правило словами: «степень выносится вперед как коэффициент, а потом уменьшается на ».

Докажем это правило позже (почти в самом конце). А сейчас рассмотрим несколько примеров. Найди производную функций:

  1. (двумя способами: по формуле и используя определение производной - посчитав приращение функции);
  1. . Не поверишь, но это степенная функция. Если у тебя возникли вопросы типа «Как это? А где же степень?», вспоминай тему « »!
    Да-да, корень - это тоже степень, только дробная: .
    Значит, наш квадратный корень - это всего лишь степень с показателем:
    .
    Производную ищем по недавно выученной формуле:

    Если в этом месте снова стало непонятно, повторяй тему « »!!! (про степень с отрицательным показателем)

  2. . Теперь показатель степени:

    А теперь через определение (не забыл еще?):
    ;
    .
    Теперь, как обычно, пренебрегаем слагаемым, содержащим:
    .

  3. . Комбинация предыдущих случаев: .

Тригонометрические функции.

Здесь будем использовать один факт из высшей математики:

При выражение.

Доказательство ты узнаешь на первом курсе института (а чтобы там оказаться, надо хорошо сдать ЕГЭ). Сейчас только покажу это графически:

Видим, что при функция не существует - точка на графике выколота. Но чем ближе к значению, тем ближе функция к. Это и есть то самое «стремится».

Дополнительно можешь проверить это правило с помощью калькулятора. Да-да, не стесняйся, бери калькулятор, мы ведь не на ЕГЭ еще.

Итак, пробуем: ;

Не забудь перевести калькулятор в режим «Радианы»!

и т.д. Видим, что чем меньше, тем ближе значение отношения к.

a) Рассмотрим функцию. Как обычно, найдем ее приращение:

Превратим разность синусов в произведение. Для этого используем формулу (вспоминаем тему « »): .

Теперь производная:

Сделаем замену: . Тогда при бесконечно малом также бесконечно мало: . Выражение для принимает вид:

А теперь вспоминаем, что при выражение. А также, что если бесконечно малой величиной можно пренебречь в сумме (то есть при).

Итак, получаем следующее правило: производная синуса равна косинусу :

Это базовые («табличные») производные. Вот они одним списком:

Позже мы к ним добавим еще несколько, но эти - самые важные, так как используются чаще всего.

Потренируйся:

  1. Найди производную функции в точке;
  2. Найди производную функции.

Решения:

  1. Сперва найдем производную в общем виде, а затем подставим вместо его значение:
    ;
    .
  2. Тут у нас что-то похожее на степенную функцию. Попробуем привести ее к
    нормальному виду:
    .
    Отлично, теперь можно использовать формулу:
    .
    .
  3. . Ээээээ….. Что это????

Ладно, ты прав, такие производные находить мы еще не умеем. Здесь у нас комбинация нескольких типов функций. Чтобы работать с ними, нужно выучить еще несколько правил:

Экспонента и натуральный логарифм.

Есть в математике такая функция, производная которой при любом равна значению самой функции при этом же. Называется она «экспонента», и является показательной функцией

Основание этой функции - константа - это бесконечная десятичная дробь, то есть число иррациональное (такое как). Его называют «число Эйлера», поэтому и обозначают буквой.

Итак, правило:

Запомнить очень легко.

Ну и не будем далеко ходить, сразу же рассмотрим обратную функцию. Какая функция является обратной для показательной функции? Логарифм:

В нашем случае основанием служит число:

Такой логарифм (то есть логарифм с основанием) называется «натуральным», и для него используем особое обозначение: вместо пишем.

Чему равен? Конечно же, .

Производная от натурального логарифма тоже очень простая:

Примеры:

  1. Найди производную функции.
  2. Чему равна производная функции?

Ответы: Экспонента и натуральный логарифм - функции уникально простые с точки зрения производной. Показательные и логарифмические функции с любым другим основанием будут иметь другую производную, которую мы с тобой разберем позже, после того как пройдем правила дифференцирования.

Правила дифференцирования

Правила чего? Опять новый термин, опять?!...

Дифференцирование - это процесс нахождения производной.

Только и всего. А как еще назвать этот процесс одним словом? Не производнование же... Дифференциалом математики называют то самое приращение функции при. Происходит этот термин от латинского differentia — разность. Вот.

При выводе всех этих правил будем использовать две функции, например, и. Нам понадобятся также формулы их приращений:

Всего имеется 5 правил.

Константа выносится за знак производной.

Если - какое-то постоянное число (константа), тогда.

Очевидно, это правило работает и для разности: .

Докажем. Пусть, или проще.

Примеры.

Найдите производные функций:

  1. в точке;
  2. в точке;
  3. в точке;
  4. в точке.

Решения:

  1. (производная одинакова во всех точках, так как это линейная функция, помнишь?);

Производная произведения

Здесь все аналогично: введем новую функцию и найдем ее приращение:

Производная:

Примеры:

  1. Найдите производные функций и;
  2. Найдите производную функции в точке.

Решения:

Производная показательной функции

Теперь твоих знаний достаточно, чтобы научиться находить производную любой показательной функции, а не только экспоненты (не забыл еще, что это такое?).

Итак, где - это какое-то число.

Мы уже знаем производную функции, поэтому давай попробуем привести нашу функцию к новому основанию:

Для этого воспользуемся простым правилом: . Тогда:

Ну вот, получилось. Теперь попробуй найти производную, и не забудь, что эта функция - сложная.

Получилось?

Вот, проверь себя:

Формула получилась очень похожая на производную экспоненты: как было, так и осталось, появился только множитель, который является просто числом, но не переменной.

Примеры:
Найди производные функций:

Ответы:

Это просто число, которое невозможно посчитать без калькулятора, то есть никак не записать в более простом виде. Поэтому в ответе его в таком виде и оставляем.

Производная логарифмической функции

Здесь аналогично: ты уже знаешь производную от натурального логарифма:

Поэтому, чтобы найти произвольную от логарифма с другим основанием, например, :

Нужно привести этот логарифм к основанию. А как поменять основание логарифма? Надеюсь, ты помнишь эту формулу:

Только теперь вместо будем писать:

В знаменателе получилась просто константа (постоянное число, без переменной). Производная получается очень просто:

Производные показательной и логарифмической функций почти не встречаются в ЕГЭ, но не будет лишним знать их.

Производная сложной функции.

Что такое «сложная функция»? Нет, это не логарифм, и не арктангенс. Данные функции может быть сложны для понимания (хотя, если логарифм тебе кажется сложным, прочти тему «Логарифмы» и все пройдет), но с точки зрения математики слово «сложная» не означает «трудная».

Представь себе маленький конвейер: сидят два человека и проделывают какие-то действия с какими-то предметами. Например, первый заворачивает шоколадку в обертку, а второй обвязывает ее ленточкой. Получается такой составной объект: шоколадка, обернутая и обвязанная ленточкой. Чтобы съесть шоколадку, тебе нужно проделать обратные действия в обратном порядке.

Давай создадим подобный математический конвейер: сперва будем находить косинус числа, а затем полученное число возводить в квадрат. Итак, нам дают число (шоколадка), я нахожу его косинус (обертка), а ты затем возводишь то, что у меня получилось, в квадрат (обвязываешь ленточкой). Что получилось? Функция. Это и есть пример сложной функции: когда для нахождения ее значения мы проделываем первое действие непосредственно с переменной, а потом еще второе действие с тем, что получилось в результате первого.

Мы вполне можем проделывать те же действия и в обратном порядке: сначала ты возводишь в квадрат, а я затем ищу косинус полученного числа: . Несложно догадаться, что результат будет почти всегда разный. Важная особенность сложных функций: при изменении порядка действий функция меняется.

Другими словами, сложная функция - это функция, аргументом которой является другая функция : .

Для первого примера, .

Второй пример: (то же самое). .

Действие, которое делаем последним будем называть «внешней» функцией , а действие, совершаемое первым - соответственно «внутренней» функцией (это неформальные названия, я их употребляю только для того, чтобы объяснить материал простым языком).

Попробуй определить сам, какая функция является внешней, а какая внутренней:

Ответы: Разделение внутренней и внешней функций очень похоже на замену переменных: например, в функции

  1. Первым будем выполнять какое действие? Сперва посчитаем синус, а только потом возведем в куб. Значит, внутренняя функция, а внешняя.
    А исходная функция является их композицией: .
  2. Внутренняя: ; внешняя: .
    Проверка: .
  3. Внутренняя: ; внешняя: .
    Проверка: .
  4. Внутренняя: ; внешняя: .
    Проверка: .
  5. Внутренняя: ; внешняя: .
    Проверка: .

производим замену переменных и получаем функцию.

Ну что ж, теперь будем извлекать нашу шоколадку - искать производную. Порядок действий всегда обратный: сначала ищем производную внешней функции, затем умножаем результат на производную внутренней функции. Применительно к исходному примеру это выглядит так:

Другой пример:

Итак, сформулируем, наконец, официальное правило:

Алгоритм нахождения производной сложной функции:

Вроде бы все просто, да?

Проверим на примерах:

Решения:

1) Внутренняя: ;

Внешняя: ;

2) Внутренняя: ;

(только не вздумай теперь сократить на! Из под косинуса ничего не выносится, помнишь?)

3) Внутренняя: ;

Внешняя: ;

Сразу видно, что здесь трехуровневая сложная функция: ведь - это уже сама по себе сложная функция, а из нее еще извлекаем корень, то есть выполняем третье действие (шоколадку в обертке и с ленточкой кладем в портфель). Но пугаться нет причин: все-равно «распаковывать» эту функцию будем в том же порядке, что и обычно: с конца.

То есть сперва продифференцируем корень, затем косинус, и только потом выражение в скобках. А потом все это перемножим.

В таких случаях удобно пронумеровать действия. То есть, представим, что нам известен. В каком порядке будем совершать действия, чтобы вычислить значение этого выражения? Разберем на примере:

Чем позже совершается действие, тем более «внешней» будет соответствующая функция. Последовательность действий - как и раньше:

Здесь вложенность вообще 4-уровневая. Давай определим порядок действий.

1. Подкоренное выражение. .

2. Корень. .

3. Синус. .

4. Квадрат. .

5. Собираем все в кучу:

ПРОИЗВОДНАЯ. КОРОТКО О ГЛАВНОМ

Производная функции - отношение приращения функции к приращению аргумента при бесконечно малом приращении аргумента:

Базовые производные:

Правила дифференцирования:

Константа выносится за знак производной:

Производная суммы:

Производная произведения:

Производная частного:

Производная сложной функции:

Алгоритм нахождения производной от сложной функции:

  1. Определяем «внутреннюю» функцию, находим ее производную.
  2. Определяем «внешнюю» функцию, находим ее производную.
  3. Умножаем результаты первого и второго пунктов.
Похожие публикации