Как вычисляются первая и вторая космические скорости. Вывод формулы первой космической скорости

В плену гравитации

Земля - дом человечества, его колыбель. Но она же совсем до недавнего времени была и его темницей. Сила, сформировавшая его облик, - сила гравитации удерживала человека на планете и не давала ему возможности отправиться к мирам, сиявшим над его головой. Первая космическая скорость до совсем недавнего времени была для него недостижимой.

Неумолимые законы

Если сильно бросить камень, то скорость его будет недостаточной для преодоления земной гравитации, и она в конце концов притянет его к себе. Однако чем сильнее бросать воображаемый камень, тем больше будет его скорость, и тем больше она будет уравновешивать силу земного притяжения. Наконец, настанет момент, когда камень начнет как бы бесконечно падать на Землю - им будет достигнута первая космическая скорость. Это можно пояснить, если прикрепить на веревке груз и раскручивать его по окружности. Веревка будет играть роль силы тяжести, удерживающей груз от прямолинейного равномерного движения и заставляющей его вместо этого двигаться по окружности с центром в руке, держащей веревку.

В бесконечном падении

Поскольку небесные тела обладают разной массой и плотностью, первая космическая скорость у поверхности каждого из них будет различаться. Она упрощенно высчитывается как квадратный корень произведения ускорения свободного падения на радиус небесного тела. Для Земли минимальная скорость начала движения тела по орбите вокруг нее у земной поверхности составляет 7,9 км/с. Чем больше высота над Землей, тем эта скорость меньше. При бесконечном падении вес тела и всех предметов, находящихся на нем или в нем равен нулю; говорят, что наступает состояние невесомости. При этом, однако, масса предметов остается неизменной.

Освобождение ракетой

Вплоть до середины 50-х годов XX века ни мускульная сила человека, ни энергия животных, пара или двигателя внутреннего сгорания не могли разогнать движимые ими аппараты до соответствующей скорости. Однако еще в конце XIX века русским изобретателем и ученым-самоучкой Константином Циолковским было математически доказано, что первая космическая скорость орбитального полета может быть достигнута летательным аппаратом, использующим для движения реактивную тягу, то есть ракетой. Чем мощнее будет ее двигатель, чем лучше топливо и чем легче конструкция, тем больших скоростей можно достичь.

В ближнем космосе...

Впервые в истории человечества первая космическая скорость была сообщена простейшему спутнику межконтинентальной баллистической ракетой Р-7, созданными в СССР. День запуска первого спутника - 4 октября 1957 года - считается первым днем Космической Эры человечества. На сегодняшний день на околоземной орбите находится более 10 тысяч действующих и неработающих космических аппаратов, ракетных ступеней, узлов и частей, а также космического мусора. Вес самого маленького спутника едва дотягивает до 10 кг, вес самого крупного - Международной космической станции - превышает 417 тонн.

...и в космосе дальнем

Если увеличивать орбитальную скорость до тех пор, пока замкнутый эллипс околоземной орбиты не превратится в параболу или гиперболу по отношению к Земле, то космический аппарат приобретет вторую космическую скорость, идентичную той, с которой происходит движение планет и других небесных тел вокруг Солнца. В этом случае космический аппарат перейдет на орбиту искусственного спутника Солнца. Дальнейшее увеличение скорости превысит гравитационное притяжение нашей звезды, и космический аппарат, приобретя третью космическую скорость, отправится в межзвездное путешествие, обращаясь вокруг центра нашей галактики Млечный Путь.

Для определения двух характерных «космических» скоростей, связанных с размерами и полем тяготения некоторой планеты. Планету будем считать одним шаром.

Рис. 5.8. Различные траектории движения спутников вокруг Земли

Первой космической скоростью называют такую горизонтально направленную минимальную скорость, при которой тело могло бы двигаться вокруг Земли по круговой орбите, то есть превратиться в искусственный спутник Земли.

Это, конечно идеализация, во-первых планета не шар, во-вторых, если у планеты есть достаточно плотная атмосфера, то такой спутник - даже если его удастся запустить - очень быстро сгорит. Другое дело, что, скажем спутник Земли, летающий в ионосфере на средней высоте над поверхностью в 200 км имеет радиус орбиты отличающийся от среднего радиуса Земли всего, примерно, на 3 %.

На спутник, движущийся по круговой орбите радиусом (рис. 5.9), действует сила притяжения Земли, сообщающая ему нормальное ускорение

Рис. 5.9. Движение искусственного спутника Земли по круговой орбите

По второму закону Ньютона имеем

Если спутник движется недалеко от поверхности Земли, то

Поэтому для на Земле получаем

Видно,что действительно определяется параметрами планеты:её радиусом и массой.

Период обращения спутника вокруг Земли равен

где - радиус орбиты спутника, а - его орбитальная скорость.

Минимальное значение периода обращения достигается при движении по орбите, радиус которой равен радиусу планеты:

так что первую космическую скорость можно определить и так: скорость спутника на круговой орбите с минимальным периодом обращения вокруг планеты.

Период обращения растет с увеличением радиуса орбиты.

Если период обращения спутника равен периоду обращения Земли вокруг своей оси и их направления вращения совпадают, а орбита расположена в экваториальной плоскости, то такой спутник называется геостационарным .

Геостационарный спутник постоянно висит над одной и той же точкой поверхности Земли (рис. 5.10).

Рис. 5.10. Движение геостационарного спутника

Для того чтобы тело могло выйти из сферы земного притяжения, то есть могло удалиться на такое расстояние, где притяжение к Земле перестает играть существенную роль, необходима вторая космическая скорость (рис. 5.11).

Второй космической скоростью называют наименьшую скорость, которую необходимо сообщить телу, чтобы его орбита в поле тяготения Земли стала параболической, то есть чтобы тело могло превратиться в спутник Солнца.

Рис. 5.11. Вторая космическая скорость

Для того чтобы тело (при отсутствии сопротивления среды) могло преодолеть земное притяжение и уйти в космическое пространство, необходимо, чтобы кинетическая энергия тела на поверхности планеты была равна (или превосходила) работу, совершаемую против сил земного притяжения. Напишем закон сохранения механической энергии Е такого тела. На поверхности планеты, конкретно - Земли

Скорость получится минимальной,если на бесконечном удалении от планеты тело будет покоиться

Приравнивая эти два выражения,получаем

откуда для второй космической скорости имеем

Для сообщения запускаемому объекту необходимой скорости (первой или второй космической) выгодно использовать линейную скорость вращения Земли, то есть запускать его как можно ближе к экватору, где эта скорость составляет, как мы видели, 463 м/с (точнее 465,10 м/с). При этом направление запуска должно совпадать с направлением вращения Земли - с запада на восток. Легко подсчитать, что таким способом можно выиграть несколько процентов в энергетических затратах.

В зависимости от начальной скорости , сообщаемой телу в точке бросания А на поверхности Земли, возможны следующие виды движения (рис. 5.8 и 5.12):

Рис. 5.12. Формы траектории частицы в зависимости от скорости бросания

Совершенно аналогично рассчитывается движение в гравитационном поле любого другого космического тела,например, Солнца. Чтобы преодолеть силу притяжения светила и покинуть Солнечную систему,объекту,покоящемусю относительно Солнца и находящемуся от него на расстоянии, равном радиусу земной орбиты (см. выше), необходимо сообщить минимальную скорость , определяемую из равенства

где , напомним, это радиус земной орбиты, а - масса Солнца.

Отсюда следует формула, аналогичная выражению для второй космической скорости, где надо заменить массу Земли на массу Солнца и радиус Земли на радиус земной орбиты:

Подчеркнем, что - это минимальная скорость, которую надо придать неподвижному телу, находящемуся на земной орбите, чтобы оно преодолело притяжение Солнца.

Отметим также связь

с орбитальной скоростью Земли . Эта связь, как и должно быть - Земля спутник Солнца, такая же, как и между первой и второй космическими скоростями и .

На практике мы запускаем ракету с Земли, так что она заведомо участвует в орбитальном движении вокруг Солнца. Как было показано выше, Земля движется вокруг Солнца с линейной скоростью

Ракету целесообразно запускать в направлении движения Земли вокруг Солнца.

Скорость, которую необходимо сообщить телу на Земле, чтобы оно навсегда покинуло пределы Солнечной системы, называется третьей космической скоростью .

Скорость зависит от того, в каком направлении космический корабль выходит из зоны действия земного притяжения. При оптимальном запуске эта скорость составляет приблизительно = 6,6 км/с.

Понять происхождение этого числа можно также из энергетических соображений. Казалось бы, достаточно ракете сообщить относительно Земли скорость

в направлении движения Земли вокруг Солнца, и она покинет пределы Солнечной системы. Но это было бы правильно, если бы Земля не имела собственного поля тяготения. Такую скорость тело должно иметь, уже удалившись из сферы земного притяжения. Поэтому подсчет третьей космической скорости очень похож на вычисление второй космической скорости, но с дополнительным условием - тело на большом расстоянии от Земли должно все еще иметь скорость :

В этом уравнении мы можем выразить потенциальную энергию тела на поверхности Земли (второе слагаемое в левой части уравнения) через вторую космическую скорость в соответствии с полученной ранее формулой для второй космической скорости

Отсюда находим

Дополнительная информация

http://www.plib.ru/library/book/14978.html - Сивухин Д.В. Общий курс физики, том 1, Механика Изд. Наука 1979 г. - стр. 325–332 (§61, 62): выведены формулы для всех космических скоростей (включая третью), решены задачи о движении космических аппаратов, законы Кеплера выведены из закона всемирного тяготения.

http://kvant.mirror1.mccme.ru/1986/04/polet_k_solncu.html - Журнал «Квант» - полет космического аппарата к Солнцу (А. Бялко).

http://kvant.mirror1.mccme.ru/1981/12/zvezdnaya_dinamika.html - журнал «Квант» - звездная динамика (А.Чернин).

http://www.plib.ru/library/book/17005.html - Стрелков С.П. Механика Изд. Наука 1971 г. - стр. 138–143 (§§ 40, 41): вязкое трение, закон Ньютона.

http://kvant.mirror1.mccme.ru/pdf/1997/06/kv0697sambelashvili.pdf - журнал «Квант» - гравитационная машина (А. Самбелашвили).

http://publ.lib.ru/ARCHIVES/B/""Bibliotechka_""Kvant""/_""Bibliotechka_""Kvant"".html#029 - А.В. Бялко «Наша планета - Земля». Наука 1983 г., гл. 1, пункт 3, стр. 23–26 - приводится схема положения солнечной системы в нашей галактике, направления и скорости движения Солнца и Галактики относительно реликтового излучения.

Пе́рвая косми́ческая ско́рость (кругова́я ско́рость) - минимальная скорость , которую необходимо придать объекту, чтобы вывести его на геоцентрическую орбиту. Иными словами, первая космическая скорость - это минимальная скорость, при которой тело, движущееся горизонтально над поверхностью планеты, не упадёт на неё, а будет двигаться по круговой орбите.

Вычисление и понимание

В инерциальной системе отсчёта на объект, движущийся по круговой орбите вокруг Земли будет действовать только одна сила - сила тяготения Земли. При этом движение объекта не будет ни равномерным, ни равноускоренным. Происходит это потому, что скорость и ускорение (величины не скалярные, а векторные) в данном случае не удовлетворяют условиям равномерности/равноускоренности движения - то есть движения с постоянной (по величине и направлению) скоростью/ускорением. Действительно - вектор скорости будет постоянно направлен по касательной к поверхности Земли, а вектор ускорения - перпендикулярно ему к центру Земли, при этом по мере движения по орбите эти векторы постоянно будут менять своё направление. Поэтому в инерциальной системе отсчета такое движение часто называют «движение по круговой орбите с постоянной по модулю скоростью».

Часто для удобства вычисления первой космической скорости переходят к рассмотрению этого движения в неинерциальной системе отсчета - относительно Земли. В этом случае объект на орбите будет находиться в состоянии покоя, так как на него будут действовать уже две силы: центробежная сила и сила тяготения . Соответственно, для вычисления первой космической скорости необходимо рассмотреть равенство этих сил.

Точнее, на тело действует одна сила - сила тяготения. Центробежная сила действует на Землю. Центростремительная сила, вычисляемая из условия вращательного движения, равна силе тяготения. Скорость рассчитывается исходя из равенства данных сил.

$m\frac{v_1^2}{R}=G\frac{Mm}{R^2}$ , $v_1=\sqrt{G\frac{M}{R}}$ ,

где m - масса объекта, M - масса планеты, G - гравитационная постоянная , $v_1$ - первая космическая скорость, R - радиус планеты. Подставляя численные значения (для Земли M = 5,97·10 24 кг, R = 6 371 км), найдем

$v_1\approx$ 7,9 км/с

Первую космическую скорость можно определить через ускорение свободного падения . Поскольку $g = \frac{GM}{R^2}$ , то

$v_1=\sqrt{gR}$ .

См. также

Напишите отзыв о статье "Первая космическая скорость"

Ссылки



Законы и задачи

Небесная сфера

Параметры орбит

Движение небесных тел

Астродинамика

Космический полёт

Орбиты КА

Отрывок, характеризующий Первая космическая скорость

И он опять обратился к Пьеру.
– Сергей Кузьмич, со всех сторон, – проговорил он, расстегивая верхнюю пуговицу жилета.
Пьер улыбнулся, но по его улыбке видно было, что он понимал, что не анекдот Сергея Кузьмича интересовал в это время князя Василия; и князь Василий понял, что Пьер понимал это. Князь Василий вдруг пробурлил что то и вышел. Пьеру показалось, что даже князь Василий был смущен. Вид смущенья этого старого светского человека тронул Пьера; он оглянулся на Элен – и она, казалось, была смущена и взглядом говорила: «что ж, вы сами виноваты».
«Надо неизбежно перешагнуть, но не могу, я не могу», думал Пьер, и заговорил опять о постороннем, о Сергее Кузьмиче, спрашивая, в чем состоял этот анекдот, так как он его не расслышал. Элен с улыбкой отвечала, что она тоже не знает.
Когда князь Василий вошел в гостиную, княгиня тихо говорила с пожилой дамой о Пьере.
– Конечно, c"est un parti tres brillant, mais le bonheur, ma chere… – Les Marieiages se font dans les cieux, [Конечно, это очень блестящая партия, но счастье, моя милая… – Браки совершаются на небесах,] – отвечала пожилая дама.
Князь Василий, как бы не слушая дам, прошел в дальний угол и сел на диван. Он закрыл глаза и как будто дремал. Голова его было упала, и он очнулся.
– Aline, – сказал он жене, – allez voir ce qu"ils font. [Алина, посмотри, что они делают.]
Княгиня подошла к двери, прошлась мимо нее с значительным, равнодушным видом и заглянула в гостиную. Пьер и Элен так же сидели и разговаривали.
– Всё то же, – отвечала она мужу.
Князь Василий нахмурился, сморщил рот на сторону, щеки его запрыгали с свойственным ему неприятным, грубым выражением; он, встряхнувшись, встал, закинул назад голову и решительными шагами, мимо дам, прошел в маленькую гостиную. Он скорыми шагами, радостно подошел к Пьеру. Лицо князя было так необыкновенно торжественно, что Пьер испуганно встал, увидав его.
– Слава Богу! – сказал он. – Жена мне всё сказала! – Он обнял одной рукой Пьера, другой – дочь. – Друг мой Леля! Я очень, очень рад. – Голос его задрожал. – Я любил твоего отца… и она будет тебе хорошая жена… Бог да благословит вас!…
Он обнял дочь, потом опять Пьера и поцеловал его дурно пахучим ртом. Слезы, действительно, омочили его щеки.
– Княгиня, иди же сюда, – прокричал он.
Княгиня вышла и заплакала тоже. Пожилая дама тоже утиралась платком. Пьера целовали, и он несколько раз целовал руку прекрасной Элен. Через несколько времени их опять оставили одних.
«Всё это так должно было быть и не могло быть иначе, – думал Пьер, – поэтому нечего спрашивать, хорошо ли это или дурно? Хорошо, потому что определенно, и нет прежнего мучительного сомнения». Пьер молча держал руку своей невесты и смотрел на ее поднимающуюся и опускающуюся прекрасную грудь.

Любой предмет, будучи подброшенным вверх, рано или поздно оказывается на земной поверхности, будь то камень, лист бумаги или простое перышко. В то же время, спутник, запущенный в космос полвека назад, космическая станция или Луна продолжают вращаться по своим орбитам, словно на них вовсе не действует нашей планеты. Почему так происходит? Почему Луне не грозит упасть на Землю, а Земля не движется навстречу к Солнцу? Неужели на них не действует всемирное тяготение?

Из школьного курса физики мы знает, что всемирное тяготение воздействует на любое материальное тело. Тогда логично будет предположить, что есть некая сила, нейтрализующая действие гравитации. Эту силу принято называть центробежной. Ее действие легко ощутить привязав на один конец нитки небольшой груз и раскрутив его по окружности. При этом чем больше скорость вращения тем сильнее натяжение нити, а чем медленнее вращаем мы груз тем больше вероятность, что он упадет вниз.

Таким образом мы вплотную приблизились к понятию «космическая скорость». В двух словах ее можно описать как скорость, позволяющую любому объекту преодолеть тяготение небесного тела. В качестве может выступать планета, ее или другая система. Космическая скорость есть у каждого объекта, который движется по орбите. К слову сказать, размер и форма орбиты зависят от величины и направления скорости, которую данный объект получил на момент выключения двигателей, и высоты, на которой произошло данное событие.

Космическая скорость бывает четырех видов. Самая меньшая из них - это первая. Это наименьшая скорость, которая должна быть у чтобы он вышел на круговую орбиту. Ее значение можно определить по такой формуле:

V1=√µ/r, где

µ - геоцентрическая гравитационная постоянная (µ = 398603 * 10(9) м3/с2);

r — расстояние от точки запуска до центра Земли.

Из-за того, что форма нашей планеты не является идеальным шаром (на полюсах она как бы немного приплюснута), то расстояние от центра до поверхности больше всего на экваторе - 6378,1 . 10(3) м, а меньше всего на полюсах - 6356,8 . 10(3) м. Если взять среднюю величину - 6371 . 10(3) м, то получим V1 равной 7,91 км/с.

Чем больше космическая скорость будет превышать данную величину, тем более вытянутую форму будет приобретать орбита, удаляясь от Земли на все большее расстояние. В какой-то момент эта орбита разорвется, примет форму параболы, и космический аппарат отправится бороздить космические просторы. Для того чтобы покинуть планету, у корабля должна быть вторая космическая скорость. Ее можно рассчитать по формуле V2=√2µ/r. Для нашей планеты эта величина равна 11,2 км/с.

Астрономы давно уже определили, чему равна космическая скорость, как первая, так и вторая, для каждой планеты нашей родной системы. Их несложно рассчитать по вышеприведенным формулам, если заменить константу µ на произведение fM, в котором M - масса интересующего небесного тела, а f - постоянная тяготения (f= 6,673 х 10(-11) м3/(кг х с2).

Третья космическая скорость позволит любому преодолеть тяготение Солнца и покинуть родную Солнечную систему. Если рассчитывать ее относительно Солнца, то получится значение 42,1 км/с. А для того чтобы с Земли выйти на околосолнечную орбиту, понадобится разогнаться до 16,6 км/с.

Ну и, наконец, четвертая по счету космическая скорость. С ее помощью можно преодолеть притяжение непосредственно самой галактики. Ее величина варьируется в зависимости от координат галактики. Для нашего эта величина составляет примерно 550 км/с (если рассчитывать относительно Солнца).

Нашей планеты. Объект при этом будет двигаться неравномерно и неравноускоренно. Это происходит потому, что ускорение и скорость в данном случае не будут удовлетворять условиям с постоянной по направлению и величине скоростью/ускорением. Эти два вектора (скорости и ускорения) по мере движения по орбите будут всё время менять свое направление. Поэтому такое движение иногда называют движением с постоянной скоростью по круговой орбите

Первая космическая - скорость, которую нужно придать телу, чтобы вывести его на круговую орбиту. При этом оно станет подобно Другими словами, первая космическая - скорость, достигнув которую тело, движущееся над поверхностью Земли, не упадёт на неё, а будет продолжать движение по орбите.

Для удобства вычислений можно рассматривать это движение как происходящее в неинерциальной системе отсчета. Тогда тело на орбите можно будет считать находящимся в состоянии покоя, так как на него будут действовать две и тяготения. Следовательно, первая будет вычисляться, исходя из рассмотрения равенства этих двух сил.

Рассчитывается она по определённой формуле, в которой учитывается масса планеты, масса тела, гравитационная постоянная. Подставив известные значения в определённую формулу, получают: первая космическая скорость - 7,9 километров в секунду.

Кроме первой космической существуют вторая и третья скорости. Каждая из космических скоростей вычисляется по определённым формулам и интерпретируется физически как скорость, при которой любое тело, запускаемое с поверхности планеты Земля, становится либо искусственным спутником (это произойдет при достижении первой космической скорости), либо выходит из поля тяготения Земли (это происходит при достижении второй космической скорости), либо уйдёт из Солнечной системы, преодолевая притяжение Солнца (это происходит при третьей космической скорости).

Набрав скорость, равную 11,18 километров в секунду (вторая космическая), может лететь в сторону планет в Солнечной системе: Венеры, Марса, Меркурия, Сатурна, Юпитера, Нептуна, Урана. Но чтобы достичь какой-либо из них, нужно учитывать их движение.

Раньше учёные полагали, что движение планет равномерное и происходит по окружности. И только И. Кеплер установил настоящую форму их орбит и закономерность, по которой изменяются скорости движения небесных тел при их вращении вокруг Солнца.

Понятие космической скорости (первой, второй или третьей) применяется при расчёте движения искусственного тела в любой планеты или её естественного спутника, а также Солнца. Так можно определить космическую скорость, например, для Луны, Венеры, Меркурия и других небесных тел. Эти скорости должны вычисляться по формулам, в которых учитывается масса небесного тела, силу тяготения которой нужно преодолеть

Третья космическая может быть определена исходя из условия, что космический аппарат должен иметь по отношению к Солнцу параболическую траекторию движения. Для этого во время запуска у поверхности Земли и на высоте около двухсот километров его скорость должна быть равной примерно 16,6 километров в секунду.

Соответственно космические скорости могут быть рассчитаны также и для поверхностей других планет и их спутников. Так, например, для Луны первая космическая составит 1,68 километров в секунду, вторая — 2,38 километров в секунду. Вторая космическая скорость для Марса и Венеры, соответственно, равна 5,0 километров в секунду и 10,4 километра в секунду.