Объем параллелепипеда определяется по формуле. Параллелепипеды в реальной жизни
Перед тем как мы перейдем к практической части статьи, где будем искать объем параллелепипеда, давайте вспомним, что это за фигура такая, и узнаем, для чего эти расчеты могут нам понадобиться.
Существует три определения, и все они эквивалентны. Так, параллелепипедом является:
1. Многогранник, имеющий шесть граней, каждая из которых представляет собой параллелограмм.
2. Шестигранник, который имеет три пары граней, параллельных меж собой.
3. Призма, в основании которой находится параллелограмм.
Самые, пожалуй, распространенные в нашей реальной жизни типы рассматриваемой геометрической фигуры - это прямоугольный параллелепипед и куб. Кроме того, различают наклонный и прямой параллелепипед.
Прямоугольный параллелепипед: объем
Прямоугольный параллелепипед отличает то, что каждая грань его - это прямоугольник. В качестве бытового примера этой фигуры можно привести обычную коробку (обувную, подарочную, почтовую).
Для начала необходимо найти значения двух сторон основания параллелепипеда, которые расположены друг к другу перпендикулярно (на плоскости бы они назывались ширина и длина).
П = А*Б, где А - длина, Б - ширина.
Теперь делаем еще одно измерение - высоты заданной фигуры, которую назовем Н.
Ну а искомый объем мы узнаем, если умножим высоту на площадь основания, то есть:
Объем параллелепипеда прямого
Параллелепипед прямой отличается тем, что боковые его грани - прямоугольники в силу того, что они перпендикулярны основаниям фигуры.
Объем вычисляется аналогично, разница лишь в том, что высота здесь - не есть ребро параллелепипеда. В данном случае она представляет собой линию, которая соединяет две противолежащие грани фигуры и перпендикулярна ее основанию.
Поскольку основанием вашего параллелепипеда является параллелограмм, а не прямоугольник, то и формула для расчета площади основания несколько усложняется. Теперь она будет выглядеть таким вот образом:
П = А * Б * sin(а), где А, Б - длина и, соответственно, ширина основания, а «а» - угол, который они образуют при своем пересечении.
Как найти объем параллелепипеда наклонного?
Наклонным признается любой параллелепипед, который прямым не является.
В силу того, что грани этой фигуры основанию не перпендикулярны, сначала необходимо отыскать высоту. Помножив же ее на площадь основания (формулу смотрите выше), вы и получите объем:
V = П*Н, где П - площадь основания, Н - высота.
Объем параллелепипеда с квадратными гранями
Куб - это такой прямоугольный параллелепипед, каждая из шести граней которого представляет собой квадрат. Отсюда вытекает и свойство данной фигуры - все ее ребра меж собой равны. В качестве примера представим такую детскую игрушку, как кубики.
Ну, с нахождением объема куба все вообще предельно просто. Для этого вам потребуется произвести всего лишь одно измерение (ребра) и возвести полученное значение в третью степень. Вот так:
V = А³.
Как же объем параллелепипеда может пригодиться нам в жизни?
Допустим, что вы озадачены такой проблемой, как количество коробок, которое может разместиться в багажнике вашего авто. Для этого вам нужно вооружиться линейкой или рулеткой, ручкой, листом бумаги, а также вышеприведенными формулами прямоугольного параллелепипеда.
Измерив объем одной коробки и помножив значение на количество имеющихся у вас коробок, вы узнаете, сколько кубических сантиметров потребуется для их размещения в багажнике машины.
И да, помните, что в некоторых случаях кубические сантиметры целесообразно будет переводить в метры. Так, если в результате вы получили объем коробки, равный 50 см в кубе, то для перевода просто умножьте эту цифру на 0,001. Так вы получите кубические метры. А если же вы хотите узнать объем в литрах, то результат в кубометрах умножьте на 1000.
Введение:
Как вы ду-ма-е-те, что тя-же-лее: 1 кг пуха или 1 кг гвоз-дей? А что за-ни-ма-ет боль-ше места? Вот об этом мы се-год-ня будем го-во-рить. Будем раз-би-рать-ся, в чем же раз-ни-ца между объ-е-мом и мас-сой.
Определение объема
Объем - это то, сколь-ко места в про-стран-стве за-ни-ма-ет объ-ект, а масса - это то, сколь-ко он весит. Вот литр - это объем или масса? И как он свя-зан с ки-ло-грам-мом? В ма-га-зине мо-ло-ко про-да-ет-ся в лит-ро-вых бу-тыл-ках, вода про-да-ет-ся 1,5-2-лит-ро-вых бу-тыл-ках, сме-та-на про-да-ет-ся в бан-ках по 250 грамм. А что такое 0,33 л?
Измерение объема
Итак, да-вай-те возь-мем весы, бу-тыл-ку и на-льем в нее 600 грамм масла. Потом возь-мем дру-гую такую же бу-тыл-ку и на-льем в нее 600 грамм воды. А те-перь мы возь-мем тесто для блин-чи-ков и на-льем в такую же бу-тыл-ку 600 грамм. По-смот-ри-те, мы везде на-ли-ва-ли 600 грамм - одну и ту же массу, а уро-вень жид-ко-стей по-лу-чил-ся раз-ный, но масса не из-ме-ни-лась (см. рис. 1).
Рис. 1. Срав-не-ние уров-ней жид-ко-стей: масла, воды и теста для блин-чи-ков
Что же ме-ня-лось? Ме-ня-лось ко-ли-че-ство за-ни-ма-е-мо-го места. Как раз это - ко-ли-че-ство за-ни-ма-е-мо-го места - на-зы-ва-ют объ-е-мом. Масса у нас везде была одна и та же, а объем по-лу-чил-ся раз-ный.
Так что же такое, спро-си-те вы, литр? Возь-мем колбу и на-льем в нее 1 кг воды. Так вот, 1 кг воды, то есть то место, ко-то-рое за-ни-ма-ет 1 кг воды, до-го-во-ри-лись на-зы-вать лит-ром.
Да-вай-те еще раз сфор-му-ли-ру-ем. Объем - это число, по-ка-зы-ва-ю-щее, сколь-ко места в про-стран-стве за-ни-ма-ет объ-ект. А чем же, кроме лит-ров, ме-ря-ют объ-ект? Так же, как и у длины, и у пло-ща-ди су-ще-ству-ет много раз-ных спе-ци-аль-ных ве-ли-чин из-ме-ре-ния. На-при-мер, бар-рель. Бар-рель - это ко-ли-че-ство нефти, ко-то-рое по-ме-ща-ет-ся в бочку, опре-де-лен-но-го раз-ме-ра (см. рис. 2).
Рис. 2. Бар-рель
Или есть такая ве-ли-чи-на как гал-лон. Гал-лон - это ве-ли-чи-на, ко-то-рой поль-зу-ют-ся для из-ме-ре-ния в Ан-глии и в Аме-ри-ке. Но обыч-но объ-е-мы ме-ря-ют ку-би-че-ски-ми де-ци-мет-ра-ми, ку-би-че-ски-ми сан-ти-мет-ра-ми, ку-би-че-ски-ми мет-ра-ми. А как же со-от-но-сит-ся литр с ку-би-че-ским де-ци-мет-ром или мет-ром? На самом деле литр - это один ку-би-че-ский де-ци-метр (см. рис. 3).
Рис. 3. Литр - ку-би-че-ский де-ци-метр
То есть внутрь этого ку-би-ка по-ме-ща-ет-ся ровно 1 кг воды. Дело не в том, какой формы ко-роб-ка, а сколь-ко туда по-ме-ща-ет-ся. Да-вай-те по-про-бу-ем в ку-би-че-ский де-ци-метр на-сы-пать муки. Или можно пе-ре-сы-пать муку в пакет - и все равно по-лу-чит-ся 1 литр (или 1 ку-би-че-ский де-ци-метр). То, что там внут-ри, будет литр или ку-би-че-ский де-ци-метр, по-то-му что не важно, какой формы, - важно, сколь-ко за-ни-ма-ет места.
Объем прямоугольного параллелепипеда
Очень по-хо-же об-сто-ят дела с объ-е-мом пря-мо-уголь-но-го па-рал-ле-ле-пи-пе-да.
Объем куба со сто-ро-ной 1 еди-ни-ца - это 1 ку-би-че-ская еди-ни-ца. Опять же, ис-ход-ные ли-ней-ные ве-ли-чи-ны могут быть лю-бы-ми: мил-ли-мет-ры, сан-ти-мет-ры, дюймы.
На-при-мер, 1 см3 - это объем куба со сто-ро-ной 1 см, а 1 км3 - это объем куба со сто-ро-ной 1 км.
Най-дем объем пря-мо-уголь-но-го па-рал-ле-ле-пи-пе-да со сто-ро-на-ми 7 см, 5 см, 4 см. (Рис. 7.)
Рис. 7. Пря-мо-уголь-ный па-рал-ле-ле-пи-пед
Ре-ше-ние
Объем на-ше-го пря-мо-уголь-но-го па-рал-ле-ле-пи-пе-да - это ко-ли-че-ство еди-нич-ных кубов, по-ме-ща-ю-щих-ся в него.
Уло-жим на дно ряд еди-нич-ных ку-би-ков со сто-ро-ной 1 см вдоль длин-ной сто-ро-ны. По-ме-сти-лось 7 штук. Уже по опыту ра-бо-ты с пря-мо-уголь-ни-ком мы знаем, что на дно по-ме-стит-ся всего 5 таких рядов, по 7 штук в каж-дом. То есть всего:
На-зо-вем это слой. Сколь-ко таких слоев мы можем уло-жить друг на друга?
Это за-ви-сит от вы-со-ты. Она равна 4 см. Зна-чит, укла-ды-ва-ет-ся 4 слоя в каж-дом по 35 штук. Всего:
А от-ку-да у нас по-яви-лось число 35? Это 75. То есть ко-ли-че-ство ку-би-ков мы по-лу-чи-ли пе-ре-мно-же-ни-ем длин всех трех сто-рон.
Но это и есть объем на-ше-го пря-мо-уголь-но-го па-рал-ле-ле-пи-пе-да.
Ответ: 140
Те-перь мы можем за-пи-сать фор-му-лу и в общем виде. (Рис. 8.)
Рис. 8. Объем па-рал-ле-ле-пи-пе-да
Объем пря-мо-уголь-но-го па-рал-ле-ле-пи-пе-да со сто-ро-на-ми , , равен про-из-ве-де-нию всех трех сто-рон.
Если длины сто-рон даны в сан-ти-мет-рах, то объем по-лу-чит-ся в ку-би-че-ских сан-ти-мет-рах (см3).
Если в мет-рах, то объем в ку-би-че-ских мет-рах (м3).
Ана-ло-гич-но объем может быть из-ме-рен в ку-би-че-ских мил-ли-мет-рах, ки-ло-мет-рах и т. д.
Задача 1
Стек-лян-ный куб со сто-ро-ной 1 м на-пол-нен водой це-ли-ком. Ка-ко-ва масса воды? (Рис. 9.)
Рис. 9. Куб
Ре-ше-ние
Куб яв-ля-ет-ся еди-нич-ным. Сто-ро-на - 1 м. Объем - 1 м3.
Если мы знаем, сколь-ко весит 1 ку-би-че-ский метр воды (со-кра-щен-но го-во-рят ку-бо-метр), то за-да-ча ре-ше-на.
Но если мы этого не знаем, то нетруд-но по-счи-тать.
Длина сто-ро-ны .
По-счи-та-ем объем в дм3.
Но 1 дм3 имеет от-дель-ное на-зва-ние, 1 литр. То есть у нас 1000 лит-ров воды.
Нам всем из-вест-но, что масса од-но-го литра воды равна 1 кг. То есть у нас 1000 кг воды, или 1 тонна.
По-нят-но, что такой куб, на-пол-нен-ный водой, не под силу пе-ре-дви-нуть ни од-но-му обыч-но-му че-ло-ве-ку.
Ответ: 1 т.
Задача 2
Рис. 10. Хо-ло-диль-ник
Хо-ло-диль-ник имеет вы-со-ту 2 метра, ши-ри-ну 60 см и глу-би-ну 50 см. Найти его объем.
Ре-ше-ние
Пре-жде чем мы вос-поль-зу-ем-ся фор-му-лой объ-е-ма - про-из-ве-де-ние длин всех сто-рон - необ-хо-ди-мо пе-ре-ве-сти длины в оди-на-ко-вые еди-ни-цы из-ме-ре-ния.
Мы можем пе-ре-ве-сти все в метры или все в сан-ти-мет-ры.
Со-от-вет-ствен-но, и объем мы по-лу-чим или в ку-би-че-ских мет-рах, или ку-би-че-ских сан-ти-мет-рах.
Сде-ла-ем и так, и так.
Ответ: или
Думаю, вы со-гла-си-тесь, что в ку-би-че-ских мет-рах объем более по-ня-тен.
Че-ло-век на глаз плохо от-ли-ча-ет число с пятью ну-ля-ми от числа с ше-стью ну-ля-ми, а ведь одно в 10 раз боль-ше, чем дру-гое.
Перевод единиц объема
Часто нам нужно пе-ре-ве-сти одну еди-ни-цу объ-е-ма в дру-гую. На-при-мер, ку-бо-мет-ры в ку-би-че-ские де-ци-мет-ры. Тя-же-ло за-пом-нить все эти со-от-но-ше-ния. Но этого и не нужно де-лать. До-ста-точ-но по-нять общий прин-цип.
На-при-мер, сколь-ко ку-би-че-ских сан-ти-мет-ров в ку-би-че-ском метре?
Да-вай-те по-смот-рим, сколь-ко ку-би-ков со сто-ро-ной 1 сан-ти-метр по-ме-стит-ся в куб со сто-ро-ной 1 м. (Рис. 11.)
Рис. 11. Куб
В один ряд укла-ды-ва-ет-ся 100 штук (ведь в одном метре 100 см).
В один слой укла-ды-ва-ет-ся 100 рядов или ку-би-ков.
Всего по-ме-ща-ет-ся 100 слоев.
Таким об-ра-зом,
То есть если ли-ней-ные ве-ли-чи-ны свя-за-ны со-от-но-ше-ни-ем «в одном метре 100 см», то чтобы по-лу-чить со-от-но-ше-ние для ку-би-че-ских ве-ли-чин, нужно воз-ве-сти 100 в 3 сте-пень (). И не нужно каж-дый раз чер-тить кубы.
Часто ученики возмущенно спрашивают: «Как мне в жизни это пригодится?». На любую тему каждого предмета. Не становится исключением и тема про объем параллелепипеда. И вот здесь как раз можно сказать: «Пригодится».
Как, например, узнать, поместится ли в почтовую коробку посылка? Конечно, можно методом проб и ошибок выбрать подходящую. А если такой возможности нет? Тогда на выручку придут вычисления. Зная вместимость коробки, можно рассчитать объем посылки (хотя бы приблизительно) и ответить на поставленный вопрос.
Параллелепипед и его виды
Если дословно перевести его название с древнегреческого, то получится, что это фигура, состоящая из параллельных плоскостей. Существуют такие равносильные определения параллелепипеда:
- призма с основанием в виде параллелограмма;
- многогранник, каждая грань которого - параллелограмм.
Его виды выделяются в зависимости от того, какая фигура лежит в его основании и как направлены боковые ребра. В общем случае говорят о наклонном параллелепипеде , у которого основание и все грани — параллелограммы. Если у предыдущего вида боковые грани станут прямоугольниками, то его нужно будет называть уже прямым . А у прямоугольного и основание тоже имеет углы по 90º.
Причем последний в геометрии стараются изображать так, чтобы было заметно, что все ребра параллельны. Здесь, кстати, наблюдается основное отличие математиков от художников. Последним важно передать тело с соблюдением закона перспективы. И в этом случае параллельность ребер совсем незаметна.
О введенных обозначениях
В приведенных ниже формулах справедливы обозначения, указанные в таблице.
Формулы для наклонного параллелепипеда
Первая и вторая для площадей:
Третья для того, чтобы вычислить объем параллелепипеда:
Так как основание - параллелограмм, то для расчета его площади нужно будет воспользоваться соответствующими выражениями.
Формулы для прямоугольного параллелепипеда
Аналогично первому пункту - две формулы для площадей:
И еще одна для объема:
Первая задача
Условие. Дан прямоугольный параллелепипед, объем которого требуется найти. Известна диагональ — 18 см - и то, что она образует углы в 30 и 45 градусов с плоскостью боковой грани и боковым ребром соответственно.
Решение. Чтобы ответить на вопрос задачи, потребуется узнать все стороны в трех прямоугольных треугольниках. Они дадут необходимые значения ребер, по которым нужно сосчитать объем.
Сначала нужно выяснить, где находится угол в 30º. Для этого нужно провести диагональ боковой грани из той же вершины, откуда чертилась главная диагональ параллелограмма. Угол между ними и будет тем, что нужен.
Первый треугольник, который даст одно из значений сторон основания, будет следующим. В нем содержатся искомая сторона и две проведенные диагонали. Он прямоугольный. Теперь потребуется воспользоваться отношением противолежащего катета (стороны основания) и гипотенузы (диагонали). Оно равно синусу 30º. То есть неизвестная сторона основания будет определяться как диагональ, умноженная на синус 30º или ½. Пусть она будет обозначена буквой «а».
Вторым будет треугольник, содержащий известную диагональ и ребро, с которым она образует 45º. Он тоже прямоугольный, и можно опять воспользоваться отношением катета к гипотенузе. Другими словами, бокового ребра к диагонали. Оно равно косинусу 45º. То есть «с» вычисляется как произведение диагонали на косинус 45º.
с = 18 * 1/√2 = 9 √2 (см).
В этом же треугольнике требуется найти другой катет. Это необходимо для того, чтобы потом сосчитать третью неизвестную - «в». Пусть она будет обозначена буквой «х». Ее легко вычислить по теореме Пифагора:
х = √(18 2 - (9√2) 2) = 9√2 (см).
Теперь нужно рассмотреть еще один прямоугольный треугольник. Он содержит уже известные стороны «с», «х» и ту, что нужно сосчитать, «в»:
в = √((9√2) 2 - 9 2 = 9 (см).
Все три величины известны. Можно воспользоваться формулой для объема и сосчитать его:
V = 9 * 9 * 9√2 = 729√2 (см 3).
Ответ: объем параллелепипеда равен 729√2 см 3 .
Вторая задача
Условие. Требуется найти объем параллелепипеда. В нем известны стороны параллелограмма, который лежит в основании, 3 и 6 см, а также его острый угол — 45º. Боковое ребро имеет наклон к основанию в 30º и равно 4 см.
Решение. Для ответа на вопрос задачи нужно взять формулу, которая была записана для объема наклонного параллелепипеда. Но в ней неизвестны обе величины.
Площадь основания, то есть параллелограмма, будет определена по формуле, в которой нужно перемножить известные стороны и синус острого угла между ними.
S о = 3 * 6 sin 45º = 18 * (√2)/2 = 9 √2 (см 2).
Вторая неизвестная величина — это высота. Ее можно провести из любой из четырех вершин над основанием. Ее найти можно из прямоугольного треугольника, в котором высота является катетом, а боковое ребро — гипотенузой. При этом угол в 30º лежит напротив неизвестной высоты. Значит, можно воспользоваться отношением катета к гипотенузе.
н = 4 * sin 30º = 4 * 1/2 = 2.
Теперь все значения известны и можно вычислить объем:
V = 9 √2 * 2 = 18 √2 (см 3).
Ответ: объем равен 18 √2 см 3 .
Третья задача
Условие. Найти объем параллелепипеда, если известно, что он прямой. Стороны его основания образуют параллелограмм и равны 2 и 3 см. Острый угол между ними 60º. Меньшая диагональ параллелепипеда равна большей диагонали основания.
Решение. Для того чтобы узнать объем параллелепипеда, воспользуемся формулой с площадью основания и высотой. Обе величины неизвестны, но их несложно вычислить. Первая из них высота.
Поскольку меньшая диагональ параллелепипеда совпадает по размеру с большей основания, то их можно обозначить одной буквой d. Больший угол параллелограмма равен 120º, поскольку с острым он образует 180º. Пусть вторая диагональ основания будет обозначена буквой «х». Теперь для двух диагоналей основания можно записать теоремы косинусов :
d 2 = а 2 + в 2 - 2ав cos 120º,
х 2 = а 2 + в 2 - 2ав cos 60º.
Находить значения без квадратов не имеет смысла, так как потом они будут снова возведены во вторую степень. После подстановки данных получается:
d 2 = 2 2 + 3 2 - 2 * 2 * 3 cos 120º = 4 + 9 + 12 * ½ = 19,
х 2 = а 2 + в 2 - 2ав cos 60º = 4 + 9 - 12 * ½ = 7.
Теперь высота, она же боковое ребро параллелепипеда, окажется катетом в треугольнике. Гипотенузой будет известная диагональ тела, а вторым катетом — «х». Можно записать Теорему Пифагора:
н 2 = d 2 - х 2 = 19 - 7 = 12.
Отсюда: н = √12 = 2√3 (см).
Теперь вторая неизвестная величина — площадь основания. Ее можно сосчитать по формуле, упомянутой во второй задаче.
S о = 2 * 3 sin 60º = 6 * √3/2 = 3√3 (см 2).
Объединив все в формулу объема, получаем:
V = 3√3 * 2√3 = 18 (см 3).
Ответ: V = 18 см 3 .
Четвертая задача
Условие. Требуется узнать объем параллелепипеда, отвечающего таким условиям: основание — квадрат со стороной 5 см; боковые грани являются ромбами; одна из вершин, находящихся над основанием, равноудалена от всех вершин, лежащих в основании.
Решение. Сначала нужно разобраться с условием. С первым пунктом про квадрат вопросов нет. Второй, про ромбы, дает понять, что параллелепипед наклонный. Причем все его ребра равны 5 см, поскольку стороны у ромба одинаковые. А из третьего становится ясно, что три диагонали, проведенные из нее, равны. Это две, которые лежат на боковых гранях, а последняя внутри параллелепипеда. И эти диагонали равны ребру, то есть тоже имеют длину 5 см.
Для определения объема будет нужна формула, записанная для наклонного параллелепипеда. В ней опять нет известных величин. Однако площадь основания вычислить легко, потому что это квадрат.
S о = 5 2 = 25 (см 2).
Немного сложнее обстоит дело с высотой. Она будет таковой в трех фигурах: параллелепипеде, четырехугольной пирамиде и равнобедренном треугольнике. Последним обстоятельством и нужно воспользоваться.
Поскольку она высота, то является катетом в прямоугольном треугольнике. Гипотенузой в нем будет известное ребро, а второй катет равен половине диагонали квадрата (высота - она же и медиана). А диагональ основания найти просто:
d = √(2 * 5 2) = 5√2 (см).
Высоту нужно будет сосчитать как разность второй степени ребра и квадрата половины диагонали и не забыть потом извлечь квадратный корень :
н = √ (5 2 - (5/2 * √2) 2) = √(25 - 25/2) = √(25/2) = 2,5 √2 (см).
V = 25 * 2,5 √2 = 62,5 √2 (см 3).
Ответ: 62,5 √2 (см 3).
Параллелепипед - это призматическая фигура, все грани которой являются параллелограммами. Если в роли граней выступают обычные прямоугольники, то параллелепипед является прямоугольным и именно форму данной фигуры имеют такие реальные объекты как панельные дома, аквариумы, книги, принтеры или кирпичи.
Геометрия параллелепипеда
Прямоугольный параллелепипед ограничен шестью гранями, при этом противоположные грани фигуры равны и параллельны друг другу. Данная геометрическая фигура представляет собой частный случай прямой четырехугольной призмы. Параллелепипед имеет 12 ребер и 8 вершин. В каждой из вершин сходятся по три ребра фигуры, которые являются длиной, шириной и высотой параллелепипеда или его измерениями. Если длина, ширина и высота фигуры равны, то параллелепипед превращается в куб.
Параллелепипеды в реальной жизни
Большое количество существующих в реальности объектов имеют форму параллелепипеда. Широкое распространение такая форма получила благодаря легкости производства, удобству хранения и транспортировки, идеальной сочетаемости одинаковых параллелепипедов, устойчивости и постоянству размеров. Параллелепипедную форму имеют такие объекты, как кирпичи, коробки, смартфоны, блоки питания, дома, комнаты и многое другое.
Объем параллелепипеда
Важным свойством любого геометрического тела является его вместимость, то есть объем фигуры. Объем - это характеристика объекта, которая показывает, сколько единичных кубов он способен вместить. В общем случае объем любой призматической фигуры рассчитывается по формуле:
где So – площадь основания фигуры, а h – ее высота.
Данная формула легко иллюстрируется следующим примером. Представьте, что у вас есть один лист бумаги А4. Это обычный прямоугольник, который характеризуется строго определенной площадью. Грубо говоря, лист - это плоскость. Теперь представьте стандартную пачку бумаги из 500 листов формата А4. Это уже объемная фигура, имеющая форму параллелепипеда. Узнать ее объем легко, достаточно перемножить площадь листа, лежащего в основании, на их количество, то есть, на высоту призмы.
Параллелепипед - это частный случай призмы, в основании которой лежит прямоугольник. Площадь прямоугольника представляет собой простое произведение его сторон, следовательно, для параллелепипеда:
Для определения объема достаточно умножить So на высоту фигуры. Таким образом, объем прямоугольного параллелепипеда считается по простой формуле, представляющей перемножение трех сторон тела:
V = a × b × h,
где a – длина, b – ширина, h – высота геометрической фигуры.
Для определения объема прямоугольного параллелепипеда вам достаточно замерить три этих параметра и просто перемножить их. Если вы не хотите постоянно держать в голове формулы определения объемов и площадей геометрических фигур, то воспользуйтесь нашим каталогом онлайн-калькуляторов: каждый инструмент подскажет вам, какие параметры вы должны замерить и мгновенно вычислит результат. Рассмотрим пару примеров, когда вам может понадобиться определить объем параллелепипеда.
Примеры из жизни
Аквариум
К примеру, вы купили старый аквариум в форме параллелепипеда, но вам никто не сказал, какой объем имеет данная конструкция. Объем аквариума - важный параметр, по которому определяется мощность системы обогрева для морских обитателей. Вычислить данную характеристику несложно - достаточно замерить длину, ширину и высоту аквариума и ввести эти данные в форму калькулятора. Допустим, длина аквариума составляет 1 м, ширина - 50 см, а высота - 70 см. Для правильного расчета важно выразить все стороны в одних единицах измерения, допустим, в метрах.
V = 1 × 0,5 × 0,7 = 0,35
Таким образом, объем аквариума составит 0,35 кубических метров или 350 литров. Зная объем, вы без проблем подберете мощность для системы обогрева.
Строительство
Допустим, вы заливаете плитный фундамент для своей дачи и вам необходимо узнать, сколько бетона понадобится для заливки основания. Плитный фундамент - это цельная монолитная плита, которая располагается под всей площадью здания. Для того чтобы узнать требуемый объем бетона, необходимо вычислить объем плиты. Плита, к счастью, имеет форму прямоугольного параллелепипеда, поэтому вы без проблем можете подсчитать нужное количество бетона. Допустим, ваша дача - это стандартный домик 6 на 6 метров. Вы уже знаете два из трех необходимых параметров. Согласно требованиям, толщина плитного фундамента должна быть не менее 10 см, и вы можете сами выбрать подходящий размер. К примеру, вы решили залить плиту толщиной 20 см. Для правильного расчета задайте все параметры в одних единицах измерения, то есть метрах, и получите результат:
V = 6 × 6 × 0,2 = 7,2
Следовательно, для заливки фундамента вам понадобится 7,2 кубических метров бетона.
Заключение
Определение объема параллелепипедных фигур может пригодиться вам во многих случаях: от бытовых проблем до производственных вопросов, от школьных заданий до проектных задач. Наш онлайн-калькулятор поможет вам решить задания любой сложности.
Любое геометрическое тело можно охарактеризовать площадью (S) поверхности и объемом (V). Площадь и объем совсем не одно и то же. Объект может иметь сравнительно небольшой V и большую S, например, так устроен мозг человека. Вычислить данные показатели для простых геометрических фигур гораздо проще.
Параллелепипед: определение, виды и свойства
Параллелепипед – это четырехугольная призма, в основании которой находится параллелограмм. Для чего же может потребоваться формула нахождения объема фигуры? Подобную форму имеют книги, упаковочные коробки и еще множество вещей из повседневной жизни. Комнаты в жилых и офисных домах, как правило, являются прямоугольными параллелепипедами. Для установки вентиляции, кондиционеров и определение количества обогревательных элементов в комнате необходимо рассчитать объем помещения.
У фигуры 6 граней – параллелограммов и 12 ребер, две произвольно выбранные грани называют основаниями. Параллелепипед может быть нескольких видов. Различия обусловлены углами между смежными ребрами. Формулы для нахождения V-ов различных многоугольников немного отличаются.
Если 6 граней геометрической фигуры представляют собой прямоугольники, то ее тоже называют прямоугольной. Куб – это частный случай параллелепипеда, в котором все 6 граней представляют собой равные квадраты. В этом случае, чтобы найти V, нужно узнать длину только одной стороны и возвести ее в третью степень.
Для решения задач понадобятся знания не только готовых формул, но свойств фигуры. Перечень основных свойств прямоугольной призмы невелик и очень прост для понимания:
- Противолежащие грани фигуры равны и параллельны. Это значит, что ребра расположенные напротив одинаковы по длине и углу наклона.
- Все боковые грани прямого параллелепипеда – прямоугольники.
- Четыре главные диагонали геометрической фигуры пересекаются в одной точкой, и делятся ею пополам.
- Квадрат диагонали параллелепипеда равен суме квадратов измерений фигуры (следует из теоремы Пифагора).
Теорема Пифагора гласит, что сумма площадей квадратов, построенных на катетах прямоугольного треугольника, равна площади треугольника, построенного на гипотенузе того же треугольника.
Доказательство последнего свойства можно разобрать на изображении представленном ниже. Ход решения поставленной задачи прост и не требует подробных объяснений.
Формула объема прямоугольного параллелепипеда
Формула нахождения для всех видов геометрической фигуры одна: V=S*h, где V- искомый объем, S – площадь основания параллелепипеда, h – высота, опущенная из противоположной вершины и перпендикулярная основанию. В прямоугольнике h совпадает с одной из сторон фигуры, поэтому чтобы найти объем прямоугольной призмы необходимо перемножить три измерения.
Объем принято выражать в см3. Зная все три значения a, b и c найти объем фигуры совсем не сложно. Наиболее часто встречающийся тип задач в ЕГЭ – это поиск объема или диагонали параллелепипеда. Решить многие типовые задания ЕГЭ без формулы объема прямоугольника – невозможно. Пример задания и оформления его решения приведен на рисунке ниже.
Примечание 1 . Площадь поверхности прямоугольной призмы можно найти, если умножить на 2 сумму площадей трех граней фигуры: основания (ab) и двух смежных боковых граней (bc + ac).
Примечание 2 . Площадь поверхности боковых граней легко узнать умножив периметр основания на высоту параллелепипеда.
Исходя из первого свойства параллелепипедов AB = A1B1, а грань B1D1 = BD. Согласно следствиям из теоремы Пифагора сумма всех углов в прямоугольном треугольнике равна 180°, а катет, лежащий против угла в 30°, равен гипотенузы. Применив данные знания для треугольника, легко находим длину сторон AB и AD. Затем перемножаем полученные значения и вычисляем объем параллелепипеда.
Формула для нахождения объема наклонного параллелепипеда
Чтобы найти объем наклонного параллелепипеда необходимо площадь основания фигуры умножить на высоту, опущенную на данное основание из противоположного угла.
Таким образом, искомый V можно представить в виде h — количества листов с площадью S основания, так объем колоды складывается из V-ов всех карт.
Примеры решения задач
Задания единого экзамена должны быть выполнены за определенное время. Типовые задачи, как правило, не содержать большого количества вычислений и сложных дробей. Часто школьнику предлагают как найти объем неправильной геометрической фигуры. В таких случаях следует помнить простое правило, что общий объем равен сумме V-ов составных частей.
Как видно из примера на изображении выше, ничего сложного в решении подобных задач нет. Задания из более сложных разделов предполагают знания теоремы Пифагора и ее следствий, а так же формулу длины диагонали фигуры. Для успешного решения заданий тестов достаточно заранее ознакомится с образцами типовых задач.
