Рассчитать объем параллелепипеда. Сообщение темы и цели

Перед тем как мы перейдем к практической части статьи, где будем искать объем параллелепипеда, давайте вспомним, что это за фигура такая, и узнаем, для чего эти расчеты могут нам понадобиться.

Существует три определения, и все они эквивалентны. Так, параллелепипедом является:

1. Многогранник, имеющий шесть граней, каждая из которых представляет собой параллелограмм.

2. Шестигранник, который имеет три пары граней, параллельных меж собой.

3. Призма, в основании которой находится параллелограмм.

Самые, пожалуй, распространенные в нашей реальной жизни типы рассматриваемой геометрической фигуры - это прямоугольный параллелепипед и куб. Кроме того, различают наклонный и прямой параллелепипед.

Прямоугольный параллелепипед: объем

Прямоугольный параллелепипед отличает то, что каждая грань его - это прямоугольник. В качестве бытового примера этой фигуры можно привести обычную коробку (обувную, подарочную, почтовую).

Для начала необходимо найти значения двух сторон основания параллелепипеда, которые расположены друг к другу перпендикулярно (на плоскости бы они назывались ширина и длина).

П = А*Б, где А - длина, Б - ширина.

Теперь делаем еще одно измерение - высоты заданной фигуры, которую назовем Н.

Ну а искомый объем мы узнаем, если умножим высоту на площадь основания, то есть:

Объем параллелепипеда прямого

Параллелепипед прямой отличается тем, что боковые его грани - прямоугольники в силу того, что они перпендикулярны основаниям фигуры.

Объем вычисляется аналогично, разница лишь в том, что высота здесь - не есть ребро параллелепипеда. В данном случае она представляет собой линию, которая соединяет две противолежащие грани фигуры и перпендикулярна ее основанию.

Поскольку основанием вашего параллелепипеда является параллелограмм, а не прямоугольник, то и формула для расчета площади основания несколько усложняется. Теперь она будет выглядеть таким вот образом:

П = А * Б * sin(а), где А, Б - длина и, соответственно, ширина основания, а «а» - угол, который они образуют при своем пересечении.

Как найти объем параллелепипеда наклонного?

Наклонным признается любой параллелепипед, который прямым не является.

В силу того, что грани этой фигуры основанию не перпендикулярны, сначала необходимо отыскать высоту. Помножив же ее на площадь основания (формулу смотрите выше), вы и получите объем:

V = П*Н, где П - площадь основания, Н - высота.

Объем параллелепипеда с квадратными гранями

Куб - это такой прямоугольный параллелепипед, каждая из шести граней которого представляет собой квадрат. Отсюда вытекает и свойство данной фигуры - все ее ребра меж собой равны. В качестве примера представим такую детскую игрушку, как кубики.

Ну, с нахождением объема куба все вообще предельно просто. Для этого вам потребуется произвести всего лишь одно измерение (ребра) и возвести полученное значение в третью степень. Вот так:

V = А³.

Как же объем параллелепипеда может пригодиться нам в жизни?

Допустим, что вы озадачены такой проблемой, как количество коробок, которое может разместиться в багажнике вашего авто. Для этого вам нужно вооружиться линейкой или рулеткой, ручкой, листом бумаги, а также вышеприведенными формулами прямоугольного параллелепипеда.

Измерив объем одной коробки и помножив значение на количество имеющихся у вас коробок, вы узнаете, сколько кубических сантиметров потребуется для их размещения в багажнике машины.

И да, помните, что в некоторых случаях кубические сантиметры целесообразно будет переводить в метры. Так, если в результате вы получили объем коробки, равный 50 см в кубе, то для перевода просто умножьте эту цифру на 0,001. Так вы получите кубические метры. А если же вы хотите узнать объем в литрах, то результат в кубометрах умножьте на 1000.

819 Из кубиков с ребром 1 см составлены фигуры рис. 87. Найдите объемы и площади поверхностей этих фигур

820 Найдите объем прямоугольного параллелепипеда, если а) a = 6 см, b = 10 см, c = 5 см; б) a = 30 дм, b = 20 дм, c = 30 дм; в) a = 8 дм, b = 6 м, c = 12 м; г) а = 2 дм 1 см, b = 1 дм 7 см, с = 8 см; д) а = 3 м, b = 2 дм, с = 15 см.

821 Площадь нижней грани прямоугольного параллелепипеда равна 24 см2. Определите высоту этого параллелепипеда, если его объем равен 96 см3.

822 Объем комнаты равен 60 м3. Высота комнаты 3 м, ширина 4 м. Найдите длину комнаты и площади пола, потолка, стен.

823 Найдите объем куба, ребро которого 8 дм; 3 дм 6 см.

824 Найдите объем куба, если площадь его поверхности равна 96 см2.

825 Выразите: а) в кубических сантиметрах: 5 дм3 635 см3; 2 дм3 80 см3; б) в кубических дециметрах: 6 м3 580 дм3; 7 м3 15 дм3; в) в кубических метрах и дециметрах: 3270 дм3; 12 540 000 см3.

826 Высота комнаты 3 м, ширина 5 м и длина 6 м. Сколько кубических метров воздуха находится в комнате?

827 Длина аквариума 80 см, ширина 45 см, а высота 55 см. Сколько литров воды надо влить в этот аквариум, чтобы уровень воды был ниже верхнего края аквариума на 10 см?

828 Прямоугольный параллелепипед (рис. 88) разделен на две части Найдите объем и площадь поверхности всего параллелепипеда и обеих его частей. Равен ли объем параллелепипеда сумме объемов его частей? Можно ли это сказать о площадях их поверхностей? Объясните почему.

830 Восстановите цепочку вычислений

831 Найдите значение выражения: а)23 + 32; б)33 + 52; в) 43 + 6; г) 103 - 10.

832 Сколько десятков получится в частном: а) 1652: 7; б) 774: 6; в) 1632: 12; г) 2105: 5

833 Согласны ли вы с утверждением: а) любой куб является и прямоугольным параллелепипедом; б) если длина прямоугольного параллелепипеда не равна его высоте, то он не может быть кубом; в) каждая грань куба квадрат?

834 Четыре одинаковые бочки вмещают 26 ведер воды. Сколько ведер воды могут вместить 10 таких бочек?

835 Сколькими способами из 7 бусинок разных цветов можно составить ожерелье с застежкой?

836 Назовите в прямоугольном параллелепипеде рис. 89: а) две грани, имеющие общее ребро; б) верхнюю, заднюю, переднюю и нижнюю грани; в) вертикальные ребра.

837 Решите задачу: 1) Найдите площадь каждого участка, если площадь первого участка в 5 раз больше площади второго, а площадь второго на 252 га меньше площади первого. 2) Найдите площадь каждого участка, если площадь второго участка на 324 га больше площади первого участка, а площадь первого участка в 7 раз меньше площади второго.

838 Выполните действия: 668 · (3076 + 5081); 783 · (66 161 - 65 752); 2 111 022: (5960 - 5646); 2 045 639: (6700 - 6279)

839 На Руси в старину использовались в качестве единиц измерения объема ведра (около 12 л), штоф (десятая часть ведра). В США, Англии и других странах используются баррель (около 159 л), галлон (около 4 л), бушель (около 36 л), пинта (от 470 до 568 кубических сантиметров). Сравните эти единицы, какие из них больше 1 м3?

840 Найдите объемы фигур, изображенных на рисунке 90. Объем каждого кубика равен 1 см3.

841 Найдите объем прямоугольного параллелепипеда (рис. 91)

842 Найдите объем прямоугольного параллелепипеда, если его измерения 48 дм, 16 дм и 12 дм.

843 Сарай, имеющий форму прямоугольного параллелепипеда, заполнен сеном. Длина сарая 10 м, ширина 6 м, высота 4 м. Найдите массу сена в сарае, если масса 10 м3 сена равна 6 ц.

844 Выразите в кубических дециметрах: 2 м3 350 дм3; 18 000 см3; 3 м3 7 дм3; 210 000 см3; 4 м3 30 дм3;

845 Объем прямоугольного параллелепипеда 1248 см3. Его длина 13 см, а ширина 8 см. Найдите высоту этого параллелепипеда.

846 С помощью формулы V = abc вычислите: а) V, если a = 3 дм, b = 4 дм, c = 5 дм; б) a, если V = 2184 см3, b = 12 см, c =13 см; в) b, если V = 9200 см3, a = 23 см, c = 25 см; г) ab если V = 1088 дм3, c = 17 см. Каков смысл произведения ab?

847 Отец старше сына на 21 год. Запишите формулу, выражающую a возраст отца через b возраст сына. Найдите по этой формуле: а) a, если b = 10; б) a, если b = 18; в) b, если a = 48.

848 Найдите значение выражения: а) 700 700 - 6054 · (47 923 - 47 884) - 65 548; б) 66 509 + 141 400: (39 839 - 39 739) + 1985; в) (851 + 2331) : 74 - 34; г) (14 084: 28 - 23) -27-12 060; д) (102 + 112 + 122) : 73 + 895; е) 2555: (132 + 142) + 35.

849 Подсчитайте по таблице (рис. 92): а) сколько раз встречается цифра 9; б) сколько раз всего в таблице встречаются цифры 6 и 7 не считая их по отдельности; в) сколько раз всего встречаются цифры 5, б и 8 не считая их по отдельности

Инструкция

Если школьник пытается рассчитать объем прямоугольника, то уточните: о конкретно фигуре идет речь – или его объемном аналоге, прямоугольном . Узнайте также: что именно требуется найти по условиям задачи – объем, или длину. Кроме того, выясните: какая часть рассматриваемой фигуры имеется ввиду – вся фигура, грань, ребро, вершина, сторона или .

Чтобы вычислить объем прямоугольного , перемножьте между собой его длину, ширину и высоту (). То есть воспользуйтесь формулой:

где: a, b и с – длина, ширина и высота параллелепипеда (соответственно), а V – его объем.

Все длины сторон предварительно приведите к одной единице измерения, тогда и объем параллелепипеда получится в соответствующих «кубических» единицах.

Какова будет емкость бака для воды, имеющего размеры:
длина – 2 метра;
ширина – 1 метр 50 сантиметров;
высота – 200 сантиметров.

1. Приводим длины сторон к метрам: 2; 1,5; 2.
2. Перемножаем полученные числа: 2 * 1,5 * 2 = 6 (кубических ).

Если речь в задаче идет все-таки о прямоугольнике, то наверняка требуется вычислить его площадь. Для этого просто умножьте длину прямоугольника на его ширину. То есть примените формулу:

где:
a и b – длины сторон прямоугольника,
S – площадь прямоугольника.

Используйте эту же формулу, если в задаче грань прямоугольного параллелепипеда – согласно определения, она также имеет форму прямоугольника.

Объем куба составляет 27 м³. Чему равна площадь прямоугольника, образуемого гранью куба?

Наклонным называется параллелепипед, боковые грани которого не перпендикулярны граням основания. В этом случае объем равен произведению площади основания на высоту - V=Sh. Высота наклонного параллелепипеда - перпендикулярный отрезок, опущенный из любой верхней вершины на соответствующую сторону основания грани (то есть высота любой боковой грани).

Кубом называется прямой параллелепипед, у которого все ребра равны, а все шесть граней являются . Объем равен произведению площади основания на высоту - V=Sh. Основание - квадрат, площадь основания которого равна произведению двух его сторон, то есть величина стороны в . Высота куба - та же величина, поэтому в данном случае объемом будет величина ребра куба, возведенная в третью - V=a³.

Обратите внимание

Основания параллелепипеда всегда параллельны друг другу, это следует из определения призмы.

Полезный совет

Измерения параллелепипеда - это длины его ребер.

Объем всегда равен произведению площади основания на высоту параллелепипеда.

Объем наклонного параллелепипеда может быть вычислен, как произведение величины бокового ребра на площадь перпендикулярного ему сечения.

Чтобы вычислить объем любого тела, нужно знать его линейные размеры. Это касается таких фигур как призма, пирамида, шар, цилиндр и конус. Для каждой из этих фигур есть своя определения объема.

Вам понадобится

• - линейка;
• - знание свойств объемных фигур;
• - формулы площади многоугольника.

Инструкция

Например, для того, чтобы найти объем , основание которой представляет собой прямоугольный треугольник с катетами 4 и 3 см, а высота 7 см произведите такие расчеты:
вычислите площадь прямоугольного , который является основанием призмы. Для этого перемножьте длины катетов, а результат поделите на 2. Sосн=3∙4/2=6 см²;
умножьте площадь основания на высоту, это и будет объем призмы V=6∙7=42 см³.

Чтобы вычислить объем пирамиды, найдите произведения площади ее основания на высоту, а результат умножьте на 1/3 V=1/3∙Sосн∙H. Высота пирамиды – отрезок, опущенный из ее вершины на плоскость основания. Наиболее часто встречаются так называемые правильные пирамиды, вершина проецируется в центр основания, которое представляет собой правильный .

Например, для того, чтобы найти объем пирамиды, в основе которой лежит правильный шестиугольник со стороной 2 см, высота которой составляет 5 см, проделайте такие действия:
по формуле S=(n/4) a² ctg(180º/n), где n – сторон правильного многоугольника, а – длина одной из сторон, найдите площадь основания. S=(6/4) 2² ctg(180º/6)≈10,4 см²;
рассчитайте объем пирамиды по формуле V=1/3∙Sосн∙H=1/3∙10,4∙5≈17,33 см³.

Объем найдите так же, как призмы, через произведение площади одного из оснований на его высоту V=Sосн∙H. При расчетах учитывайте, что основание цилиндра представляет собой круг, площадь которого равна Sосн=2∙π∙R², где π≈3,14, а R – радиус круга, который является основанием цилиндра.

Объем конуса по аналогии с пирамидой найдите по формуле V=1/3∙Sосн∙H. Основанием конуса является круг, площадь которого найдите так, как это описано для цилиндра.

Видео по теме

Шаром называют простейшую объемную фигуру геометрически правильной формы, все точки пространства внутри границ которой удалены от ее центра на расстояние, не превышающее радиуса. Поверхность, образуемая множеством максимально удаленных от центра точек, называется сферой. Для количественного выражения меры пространства, заключенного внутри сферы, предназначен параметр, который называется объемом шара.

Инструкция

Если требуется измерить объем шара не теоретически, а только подручными средствами, то сделать это можно, например, определив объем вытесненной им воды. Этот способ применим в том случае, когда есть возможность поместить шар в какую-либо соразмерную ему емкость - мензурку, стакан, банку, ведро, бочку, бассейн и т.д. В этом случае перед помещением шара отметьте уровень воды, сделайте это повторно после полного его погружения, а затем найдите разность между отметками. Обычно мерная емкость заводского производства имеет деления, показывающие объем в литрах и производных от него единицах - , и т.д. Если полученное значение надо в и кратные ему единицы объема, то исходите из того, что один литр соответствует одному кубическому дециметру или одной тысячной доле кубометра.

Если известен , из которого изготовлен шар, и плотность этого материала можно узнать, например, из справочника, то определить объем можно взвесив этот предмет. Просто разделите результат взвешивания на справочную плотность изготовления: V=m/p.

Если радиус шара известен из условий задачи или его можно измерить, то для вычисления объема можно использовать соответствующую математическую формулу. Умножьте учетверенное число Пи на третью степень радиуса, а полученный результат разделите на тройку: V=4*π*r³/3. Например, при радиусе в 40см объем шара составит 4*3,14*40³/3 = 267946,67см³ ≈ 0,268м³.

Измерить диаметр чаще проще, чем радиус. В этом случае нет необходимости делить его пополам для использования с формулой из предыдущего шага - лучше саму формулу. В соответствии с преобразованной формулой умножьте число Пи на диаметр в третьей степени, а результат разделите на шестерку: V=π*d³/6. Например, в 50см должен иметь объем в 3,14*50³/6 = 65416,67см³ ≈ 0,654м³.

В силу некоторых обстоятельств может возникнуть необходимость из листа прямоугольной формы сделать квадрат , например, во время изготовления многих поделок из бумаги в технике оригами. Но далеко не всегда под рукой есть карандаш и линейка. Однако существуют способы, благодаря которым можно получить квадрат , не имея ничего, кроме смекалки.

Вам понадобится

• - прямоугольник;
• - линейка;
• - карандаш;
• - ножницы.

Инструкция

Прямоугольник – это геометрическая фигура, у которой все четыре угла прямые, а пары сторон параллельны друг другу. Противоположные стороны прямоугольника по длине между собой , а между парами - разные. Квадрат отличается от предыдущей фигуры только тем, что у него все четыре стороны одинаковы.

Для того чтобы квадрат из прямоугольника , можно воспользоваться и карандашом. Например, стороны прямоугольника равны 30 см (длина) и 20 см (ширина). Тогда квадрат будет иметь стороны с меньшим значением, то есть 20 см. Отмерьте на верхней длинной стороне прямоугольника 20 см. Выполните то же действие, но только с нижней стороной. Соедините полученные точки с помощью линейки. В случае надобности отрежьте излишек, в результате чего получится квадрат со сторонами 20 см.

Сделать квадрат из прямоугольника можно даже в том случае, если отсутствуют чертежные принадлежности. Положите перед собой и согните один из его прямых углов (это может быть любой угол) строго пополам. Если поставить полученную фигуру на длинную сторону, то будет прямоугольная трапеция, визуально состоящая из треугольника и другого прямоугольника . Загните полученный прямоугольник на треугольник ( будет двойным за счет сложенной ), загладьте пальцами и отрежьте или аккуратно его оторвите. Разверните бумагу, которая и будет собой представлять квадрат . Из маленького оставшегося прямоугольника можно снова получить квадрат , только меньшего размера. Способы допустимо использовать те же самые.

>> Урок 31. Формула объёма прямоугольного параллелепипеда

Прямоугольный параллелепипед - это пространственная фигура, ограниченная прямоугольниками .

Форму параллелепипеда имеют многие предметы из окружающей обстановки: коробка, кубики, телевизор, шкаф и т. д..

Любое геометрическое тело можно охарактеризовать площадью (S) поверхности и объемом (V). Площадь и объем совсем не одно и то же. Объект может иметь сравнительно небольшой V и большую S, например, так устроен мозг человека. Вычислить данные показатели для простых геометрических фигур гораздо проще.

Параллелепипед: определение, виды и свойства

Параллелепипед – это четырехугольная призма, в основании которой находится параллелограмм. Для чего же может потребоваться формула нахождения объема фигуры? Подобную форму имеют книги, упаковочные коробки и еще множество вещей из повседневной жизни. Комнаты в жилых и офисных домах, как правило, являются прямоугольными параллелепипедами. Для установки вентиляции, кондиционеров и определение количества обогревательных элементов в комнате необходимо рассчитать объем помещения.

У фигуры 6 граней – параллелограммов и 12 ребер, две произвольно выбранные грани называют основаниями. Параллелепипед может быть нескольких видов. Различия обусловлены углами между смежными ребрами. Формулы для нахождения V-ов различных многоугольников немного отличаются.

Если 6 граней геометрической фигуры представляют собой прямоугольники, то ее тоже называют прямоугольной. Куб – это частный случай параллелепипеда, в котором все 6 граней представляют собой равные квадраты. В этом случае, чтобы найти V, нужно узнать длину только одной стороны и возвести ее в третью степень.

Для решения задач понадобятся знания не только готовых формул, но свойств фигуры. Перечень основных свойств прямоугольной призмы невелик и очень прост для понимания:

1. Противолежащие грани фигуры равны и параллельны. Это значит, что ребра расположенные напротив одинаковы по длине и углу наклона.
2. Все боковые грани прямого параллелепипеда – прямоугольники.
3. Четыре главные диагонали геометрической фигуры пересекаются в одной точкой, и делятся ею пополам.
4. Квадрат диагонали параллелепипеда равен суме квадратов измерений фигуры (следует из теоремы Пифагора).

Теорема Пифагора гласит, что сумма площадей квадратов, построенных на катетах прямоугольного треугольника, равна площади треугольника, построенного на гипотенузе того же треугольника.

Доказательство последнего свойства можно разобрать на изображении представленном ниже. Ход решения поставленной задачи прост и не требует подробных объяснений.

Формула объема прямоугольного параллелепипеда

Формула нахождения для всех видов геометрической фигуры одна: V=S*h, где V- искомый объем, S – площадь основания параллелепипеда, h – высота, опущенная из противоположной вершины и перпендикулярная основанию. В прямоугольнике h совпадает с одной из сторон фигуры, поэтому чтобы найти объем прямоугольной призмы необходимо перемножить три измерения.

Объем принято выражать в см3. Зная все три значения a, b и c найти объем фигуры совсем не сложно. Наиболее часто встречающийся тип задач в ЕГЭ – это поиск объема или диагонали параллелепипеда. Решить многие типовые задания ЕГЭ без формулы объема прямоугольника – невозможно. Пример задания и оформления его решения приведен на рисунке ниже.

Примечание 1 . Площадь поверхности прямоугольной призмы можно найти, если умножить на 2 сумму площадей трех граней фигуры: основания (ab) и двух смежных боковых граней (bc + ac).

Примечание 2 . Площадь поверхности боковых граней легко узнать умножив периметр основания на высоту параллелепипеда.

Исходя из первого свойства параллелепипедов AB = A1B1, а грань B1D1 = BD. Согласно следствиям из теоремы Пифагора сумма всех углов в прямоугольном треугольнике равна 180°, а катет, лежащий против угла в 30°, равен гипотенузы. Применив данные знания для треугольника, легко находим длину сторон AB и AD. Затем перемножаем полученные значения и вычисляем объем параллелепипеда.

Формула для нахождения объема наклонного параллелепипеда

Чтобы найти объем наклонного параллелепипеда необходимо площадь основания фигуры умножить на высоту, опущенную на данное основание из противоположного угла.

Таким образом, искомый V можно представить в виде h — количества листов с площадью S основания, так объем колоды складывается из V-ов всех карт.

Примеры решения задач

Задания единого экзамена должны быть выполнены за определенное время. Типовые задачи, как правило, не содержать большого количества вычислений и сложных дробей. Часто школьнику предлагают как найти объем неправильной геометрической фигуры. В таких случаях следует помнить простое правило, что общий объем равен сумме V-ов составных частей.

Как видно из примера на изображении выше, ничего сложного в решении подобных задач нет. Задания из более сложных разделов предполагают знания теоремы Пифагора и ее следствий, а так же формулу длины диагонали фигуры. Для успешного решения заданий тестов достаточно заранее ознакомится с образцами типовых задач.