ПУАНКАРЕ Жюль Анри Пуанкаре (1854–1912) – французский математик, физик и философ науки, член Парижской Академии наук.* * * Ученый, достойный таковым называться, и прежде всего математик, испытывает в своей работе такие же впечатления, как и художник; его удовольствие столь

Жан Лафит (1782-1854) Жан Лафитт (Jean Lafitte) – самый известный французский пират, оперировавший в Мексиканском заливе в начале XIX века. Оставил яркий след в истории Нового Орлеана. План-карта Нового Орлеана. XVIII в.Родился в Порт-о-Пренсе на острове Гаити в 1782 году. Его отцом был

ПУАНКАРЕ, Анри (Poincar?, Henri, 1854–1912), французский математик и физик 518 Наука строится из фактов, как дом строится из кирпичей; но сумма фактов не есть наука, так же как груда кирпичей не есть еще дом. «Наука и гипотеза» (1909), гл. 9 ? Oster, p.

ВЗГЛЯНИТЕ НА СПИСОК ЧЛЕНОВ РОССИЙСКОЙ АКАДЕМИИ НАУК, первыми отвергнувших пожизненную ренту за непротивление ее "реформе". Деятельность подавляющего большинства из них оплодотворена гипотезами Пуанкаре, хотя некоторые, возможно, об этом и не догадываются. Причем гипотезами не только физическими, но и моральными. "Парламент все может, - говорят в Англии, - кроме превращения мужчины в женщину" Он все может, скажу я, кроме вынесения приговора в области науки. Минул век, парламенты уверенно превращают мужчин и женщин в бесполые существа, а те из них, кому это пока не по зубам, готовят приговоры науке. Однако поступки таких людей, как первый из списка "отказников" - академик В. А. Рубаков, показывают, что и эта гипотеза Пуанкаре не умерла полностью.

Кстати, Валерий Анатольевич доставляет пример нетривиальной генетической связи с Пуанкаре, не сводящейся к ритуальному для каждого физика-теоретика упоминанию о группе Пуанкаре. Одним из выдающихся результатов В. Рубакова, тогда еще просто научного сотрудника, было предсказание возможности распада основы нашего мира - протонов - при прохождении сквозь магнитный монополь. Ключевым моментом его построения являлось наличие в задаче о взаимодействии протонов и монополей специфической сохраняющейся величины, обобщающей известный со школы момент количества движения. Вне зависимости от модели монополя добавка к орбитальному моменту не может трактоваться как характеристика одной из взаимодействующих частиц, поскольку всегда пропорциональна произведению их зарядов. Первоисточник обобщенного момента - работа Пуанкаре 1896 г., посвященная задаче о классическом движении точечного электрического заряда в поле его магнитного собрата. В работе же И.Е. Тамма 1931 г., на которую ссылается В.А. Рубаков, рассмотрен квантовомеханический аналог задачи Пуанкаре на основе уравнения Шредингера с потенциалом монополя Дирака. Исторической справедливости ради следует отметить, что модель монополя как конца полубесконечного, бесконечно тонкого соленоида и соответствующий потенциал впервые построил русский физик С.А. Богуславский в начале 20-х годов прошлого века для анализа все той же задачи Пуанкаре методом Гамильтона-Якоби.

КОРРЕЛЯЦИИ МЕЖДУ ИНТЕРЕСАМИ АКАДЕМИКА РУБАКОВА И АНРИ ПУАНКАРЕ не исчерпываются монопольной тематикой. Широко известны его оригинальные работы и обзоры по проблеме темной материи, в одном из которых сказано: "Темная энергия должна обладать специальным свойством - отрицательным давлением. Это резко отличает ее от обычных форм материи. Не будет преувеличением сказать, что природа темной энергии - это главная загадка фундаментальной физики XXI века". Напомним, что темная энергия - это гипотетическая субстанция постоянной плотности, существование которой пришлось предположить для объяснения наблюдаемого эффекта ускорения разбегания галактик, которое происходит последние 5 млрд лет.

Исторические корни темной энергии обычно видят в так называемом космологическом члене, предложенном Эйнштейном в безуспешной попытке построить модель вечной и неизменной Вселенной. Но все-таки первым придумал "пространство с отрицательным давлением" А. Пуанкаре в развернутом варианте своей знаменитой работы 1905 г. "О динамике электрона". Электрон, по Пуанкаре, занимал конечный трехмерный объем, который деформировался при его движении в соответствии с преобразованиями Лоренца. При этом, естественно, возникала задача о стабилизации заряженной поверхности объемного электрона, растягиваемой силами кулоновского отталкивания. Пуанкаре удалось впервые получить правильные уравнения, описывающие релятивистскую динамику электрона, доказать универсальный характер релятивистской силы, обусловленный ее ортогональностью четырехмерной скорости, и лоренц-ковариантным способом описать стабилизирующие электрон силы. В параграфе 8 он писал по этому поводу: "Все происходит так, как если бы электрон был полым пространством, находящимся под постоянным давлением, независимым от объема… Я должен заметить, что это давление отрицательно".

Говоря об электроне Пуанкаре, трудно удержаться от цитаты, актуальность которой в свете недавнего экспериментального подтверждения механизма формирования масс по Хиггсу просто невероятна: "Таким образом, эти отрицательные электроны, собственно говоря, не имеют массы; если они кажутся наделенными массой, то это потому, что они не могут изменить скорости без возмущения эфира. Их кажущаяся инерция есть лишь заимствование, она связана не с ними, а с эфиром".

Конечно, скептики скажут, что Пуанкаре имел в виду электромагнитный эфир, не вакуум Хиггса, что его электроны были классическими заряженными пузырьками, а не квантовыми волнами-частицами. Во-первых, советую перечитать эпиграф к данной статье, а во-вторых, подобные возражения Пуанкаре не оригинальны. Приведу только один пример. В 1974 г. в УФН И. Ю. Кобзарев позволил себе следующее утверждение: "Когда Пуанкаре говорил, что объяснение спектров излучения атомов принесет больше всего неожиданностей, то он не мог подразумевать теорию, далекую от классической физики, поскольку он настаивал в своем докладе на сохранении классических принципов".

НО КРОМЕ ДОКЛАДА ПУАНКАРЕ 1904 Г. В СЕНТ-ЛУИСЕ БЫЛА ЕЩЕ И ЕГО ГИПОТЕЗА КВАНТОВ (Henri Poincare L"hypothese des quanta, Revue scientifique, 4 serie, 17(1912), pages 225-232.), с которой, по-видимому, был не знаком не только процитированный известный физик, но и сонм историков и методологов науки, подвизавшихся на ниве квантовой механики. А ведь в этой работе Пуанкаре не только критиковал Планка за попытку согласовать собственную модель квантовых излучателей с классической непрерывностью излучения, но и высказал мысли, предвосхитившие постулаты Бора (1913 г.):

"Пусть, например, одна из материальных точек системы может описывать только определенные траектории, но они описываются непрерывным образом, за исключением случая, когда она перескакивает с одной траектории на другую под влиянием соседних точек. Это может быть случай резонаторов, о которых мы говорили выше. Кроме того, допустимо, что состояние вещества может меняться лишь скачками …"

Но Пуанкаре на этом не остановился, легко перешел от систем точек к Вселенной и гипотезе о квантованности времени: "Все сказанное применимо к любой изолированной системе, а также к Вселенной. Следовательно, Вселенная должна скачком переходить из одного состояния в другое, но в промежутках между скачками она остается неизменной, и различные моменты, в течение которых она сохраняет свое состояние, нельзя было бы уже отличить друг от друга; мы приходим, таким образом, к прерывному течению времени, к атомам времени".

Трудно поверить, что все это было написано за несколько месяцев до кончины ученого в 1912 г. от неизлечимой болезни. Через год увидел свет сборник А. Пуанкаре "Последние мысли", включающий и его Гипотезу квантов. В нем есть эссе "Мораль и наука", объясняющее, между прочим, и "эффект Перельмана":

"Тот, кто увидел … роскошную гармонию законов природы, получит идеал, который будет любить больше самого себя, и это единственная почва, на которой можно строить мораль. Ради этого идеала он станет работать, не торгуя своим трудом и не ожидая никаких из тех грубых вознаграждений, которые являются всем для некоторых людей".

Люди, вставшие на защиту Российской академии наук, вряд ли докажут urbi et orbi справедливость последней гипотезы идеалиста Пуанкаре. Хотя бы потому, что повсеместно между ними и массами непроницаемый барьер допотопного по сути и весьма среднего по уровню, "отреформированного" парламентами образования. Ситуация напоминает миниатюру М. Е. Салтыкова-Щедрина "Торжествующая свинья, или Разговор свиньи с правдою": "Все эти солнцы - одно лжеучение, по здравомыслию Свиньи. Живучи в хлеву, никаких я солнцев не видела". Согласно ремарке, публика встречала этот монолог аплодисментами. А вы?

Из книги А. Пуанкаре «Наука и гипотеза»

Нередко говорят, что следует экспериментировать без предвзятой идеи, Это невозможно; это не только сделало бы всякий опыт бесплодным, но это значило бы желать невозможного. Всякий носит в себе свое миропредставление, от которого не так-то легко освободиться. Например, мы пользуемся языком, а наш язык пропитан предвзятыми идеями и этого нельзя избежать; притом эти предвзятые идеи неосознанны, и поэтому они в тысячу раз опаснее других.

Можно ли сказать, что, допустив вторжение вполне осознанных нами предвзятых идей, мы этим усиливаем вред? Они скорее будут служить друг другу противовесом, так сказать, противоядием; они вообще будут плохо уживаться друг с другом; одни из них окажутся в противоречии с другими, и, таким образом, мы будем вынуждены рассматривать проблему с различных точек зрения.

Благодаря обобщению каждый наблюденный факт позволяет нам предвидеть множество других; однако не следует забывать, что из них только один первый достоверен, а все другие только вероятны. Как бы прочно обоснованным ни казалось нам наше предвидение, все же мы никогда не имеем абсолютной уверенности в том, что оно не будет опровергнуто опытом, предпринятым в целях его проверки. Однако вероятность часто бывает достаточно велика, чтобы практически мы могли ею удовлетвориться. Лучше предвидеть без абсолютной уверенности, чем не предвидеть вовсе.

Весьма важно не множить гипотез чрезмерно и вводить их последовательно - только одну после другой. Если мы создали теорию, основанную на множестве гипотез, и если опыт осуждает ее, то как найти между нашими предпосылками ту, которая должна быть изменена? Открыть ее было бы невозможно. И наоборот, если опыт согласуется с теорией, то можно ли считать, что подтверждены сразу все гипотезы? Можно ли надеяться из одного уравнения определить несколько неизвестных?

Нужно тщательно отличать различные виды гипотез. В числе их бывают, прежде всего, такие, которые вполне естественны и которых почти невозможно избежать; так, например, трудно не предположить, что влияние очень удаленных тел ничтожно, что малые движения подчинены линейной зависимости, что действие является непрерывной функцией причины.. Все эти гипотезы, так сказать, образуют общий фонд всех теорий математической физики. Если бы их пришлось оставить, то это уже после всех других.

Гипотезы второй категории - безразличные. В большинстве вопросов исследователь в самом начале своих вычислений предполагает, либо что материя непрерывна, либо, наоборот, что она состоит из атомов. Он мог бы изменить свое предположение на обратное, не меняя этих выводов; лишь получение их стало бы более трудным. Если теперь опыт подтверждает его заключения, станет ли он думать, что ему удалось доказать, например, реальность атомов?

Гипотезы третьей категории являются обобщениями в настоящем смысле слова. Дело опыта - подтвердить их или опровергнуть. Как в том, так и в другом случае они являются плодотворными, но это имеет место лишь при условии ограниченности их числа.

Биография

Анри Пуанкаре в молодые годы.

С самого детства за Анри закрепилась слава рассеянного, небрежного человека, имеющего трудности с графическим закреплением своих знаний. Эти черты в будущем проявились в своеобразной индивидуальной манере Пуанкаре-учёного. В детстве Анри перенёс , которая осложнилась параличом ног и мягкого нёба. Болезнь затянулась на несколько месяцев, в течение которых он не мог ни ходить, ни говорить. За это время у него очень сильно развилось слуховое восприятие и, в частности, появилась интересная способность - цветовое восприятие звуков, которая сохранилась у него до конца жизни.

Хорошая домашняя подготовка позволила Анри в восемь с половиной лет поступить сразу на второй год обучения в . Там его отмечают как прилежного и любознательного ученика. На этом этапе его интерес к математике умерен - через некоторое время он переходит на отделение словесности. 5 августа Пуанкаре получает степень словесности с оценкой «хорошо». Через несколько дней Анри изъявил желание участвовать в экзаменах на степень бакалавра наук, который ему удалось сдать, но лишь с оценкой «удовлетворительно», в том числе потому, что он «провалил» письменную работу по математике. Причиной этого стала банальная рассеянность.

В последующие годы математические таланты Пуанкаре проявляются всё более и более явно. В октябре он становится студентом , где на вступительных экзаменах набирает высший балл. По результатам учёбы его принимают в Горную школу, наиболее авторитетное в то время специальное высшее учебное заведение. Там он через несколько лет () защищает докторскую диссертацию, о которой , входивший в состав комиссии, сказал: «С первого же взгляда мне стало ясно, что работа выходит за рамки обычного и с избытком заслуживает того, чтобы её приняли. Она содержала вполне достаточно результатов, чтобы обеспечить материалом много хороших диссертаций».

Получив степень доктора, Пуанкаре начинает преподавательскую деятельность в (), и параллельно пишет свои первые серьёзные статьи - они посвящены введённому им понятию и сразу привлекают внимание европейских математиков.

Вероятно, Пуанкаре предчувствовал свою неожиданную смерть, так как в последней статье описал нерешённую им задачу («последнюю теорему Пуанкаре»), чего никогда раньше не делал. Спустя несколько месяцев эта теорема была доказана . Позже при содействии Биркгофа во Франции был создан Институт теоретической физики имени Пуанкаре.

Почести и награды

Награды и звания, полученные Пуанкаре:

• 1885: премия Понселе, Парижская академия наук
• 1887: избран членом )
• 1889: премия за победу в математическом конкурсе, король Швеции Оскар II
• 1893: избран членом (Bureau des longitudes - так исторически называется Парижский институт небесной механики)
• 1894: избран членом
• 1895: избран иностранным членом-корреспондентом
• 1896: премия Жана Рейно, Парижская академия наук
• 1896: избран президентом Французского астрономического общества (Astronomie mathématique et de mécanique céleste )
• 1899: премия, Американское философское общество
• 1900: золотая медаль, Лондонское королевское астрономическое общество
• 1901: медаль имени Дж. Сильвестра, Лондонское королевское общество
• 1905(?): золотая медаль фонда им. Н. И. Лобачевского, Физико-математическое общество Казани
• 1905: премия им. Я. Бойяи, Венгерская академия наук
• 1905: медаль Маттеуччи, Итальянское научное общество
• 1906: избран президентом
• 1909: золотая медаль, Французская ассоциация содействия развитию науки
• 1909: избран членом (не путать с )
• 1911: медаль Кэтрин Брюс, Astronomical Society of the Pacific

Именем Пуанкаре названы:

• на обратной стороне ;
• 2021 Пуанкаре;
• международная премия Пуанкаре за работы по математической физике;
• Институт теоретической физики (Париж);
• множество научных понятий и теорем: , неравенство Пуанкаре, принцип Пуанкаре-Бендиксона, формула Эйлера-Пуанкаре, теорема Пуанкаре-Биркгоффа-Витта, метрика Пуанкаре, двойственность Пуанкаре, и другие.

Вклад в науку

Математическая деятельность Пуанкаре носила междисциплинарный характер, благодаря чему за тридцать с небольшим лет своей напряженной творческой деятельности он оставил фундаментальные труды практически во всех областях математики.

Первые математические результаты получил в области . После защиты докторской диссертации, посвящённой изучению особых точек системы дифференциальных уравнений, Пуанкаре написал ряд мемуаров под общим названием «О кривых, определяемых дифференциальными уравнениями». В них он построил так называемую качественную теорию дифференциальных уравнений, исследовал характер хода интегральных кривых на плоскости, дал классификацию особых точек, изучил предельные циклы.

Пуанкаре успешно применял результаты своих исследований к , детально изучив поведение решения (периодичность, асимптотичность и т. д.). Им введены методы малого параметра, неподвижных точек, уравнений в вариациях, разработана теория интегральных инвариантов. Пуанкаре принадлежат многие важные для труды об и о фигурах равновесия гравитирующей вращающейся жидкости. Его работы считаются крупнейшими достижениями в небесной механике со времён .

Пуанкаре впервые ввёл в рассмотрение и детально их исследовал. При разработке их теории он применил . Для функций нескольких комплексных переменных он построил теорию интегралов, подобную теории интегралов Коши.

Все эти исследования в конце концов привели Пуанкаре к абстрактному топологическому определению и . Также он впервые ввёл основные понятия комбинаторной топологии, такие как числа Бетти, доказал формулу, связывающую число рёбер, вершин и граней n-мерного (формулу Эйлера - Пуанкаре), дал первую точную формулировку интуитивного понятия размерности.

Тем не менее Пуанкаре продолжал использовать концепцию эфира, хотя придерживался мнения, что его никогда не удастся обнаружить - см. доклад Пуанкаре на физическом конгрессе, . В этом же докладе Пуанкаре впервые высказал мысль, что одновременность событий не абсолютна, а представляет собой условное соглашение («конвенцию»). Было высказано также предположение о предельности .

Под влиянием критики Пуанкаре Лоренц в предложил новый вариант своей теории. В ней он предположил, что при больших скоростях механика Ньютона нуждается в поправках. В Пуанкаре далеко развил эти идеи в статье «О динамике электрона». Предварительный вариант статьи появился 5 июня в Comptes Rendus , развёрнутый был закончен в июле , опубликован в январе , почему-то в малоизвестном итальянском математическом журнале.

В этой итоговой статье снова и чётко формулируется всеобщий для всех физических явлений (в частности, электромагнитных, механических и также гравитационных), с преобразованиями Лоренца, как единственно возможными преобразованиями координат, сохраняющими одинаковую для всех систем отсчёта запись физических уравнений. Пуанкаре нашёл выражение для четырёхмерного интервала как инварианта преобразований Лоренца: r 2 + (i c t ) 2 , четырёхмерную формулировку . В этой статье он также предложил первый набросок релятивистской теории ; в его модели тяготение распространялось в эфире со скоростью света, а сама теория была достаточно нетривиальной, чтобы снять полученное еще Лапласом ограничение снизу на скорость распространения гравитационного поля.

Пуанкаре и Эйнштейн: сходство и различия

Вероятно, недостаточно глубокий анализ физической сущности СТО в работах Пуанкаре и послужил причиной того, что физики не обратили на эти работы того внимания, которого они заслуживали; соответственно, широкий резонанс первой же статьи Эйнштейна в огромной степени был вызван ясным и глубоким анализом основ исследуемой физической картины.

Обоснование новой механики также было различным. У Эйнштейна в статьях с самого начала не утверждается как вывод из динамических соображений и экспериментов, а кладётся в основу физики как аксиома (также для всех явлений без исключения). Из этой аксиомы и из постоянства математический аппарат Лоренца-Пуанкаре получается автоматически. Отказ от эфира позволил свободнее подчеркнуть, что «покоящаяся» и «движущаяся» системы координат совершенно равноправны, и при переходе к движущейся системе координат те же эффекты обнаруживаются уже в покоящейся. Биограф Эйнштейна Пайс утверждает, что и у Пуанкаре, причём раньше, этот вопрос был разобран достаточно подробно; однако сама концепция эфира, от которой Пуанкаре не отказывался, невольно вызывала у читателя представление о выделенности системы отсчета, в которой эфир покоится, мешая воспринять идею относительности в чистом виде). В дальнейшем (после работы Эйнштейна) Пуанкаре тоже высказал это положение в явном виде.

Эйнштейн, по его позднейшему признанию, в момент начала работы над не был знаком ни с последними публикациями Пуанкаре (вероятно, только с его работой , во всяком случае, не с работами ), ни с последней статьёй Лоренца (). Более того, ни Эйнштейн, ни авторы других первых работ по теории относительности не ссылались на работы Пуанкаре. Незадолго до смерти, Эйнштейн, однако, вероятно, ознакомившись (по словам Пайса) с поздними работами Пуанкаре, высказался за признание в полной мере и его заслуг (вместе с заслугами Лоренца, которые Эйнштейн, впрочем, всегда признавал).

«Молчание Пуанкаре»

Вскоре после появления работ Эйнштейна по теории относительности () Пуанкаре прекратил публикации на эту тему. Ни в одной работе последних семи лет жизни он не упоминал ни имени Эйнштейна, ни теории относительности (кроме одного случая, когда он сослался на эйнштейновскую теорию фотоэффекта). Более того, Пуанкаре по-прежнему продолжал обсуждать свойства эфира и упоминал абсолютное движение относительно эфира.

Встреча и беседа двух гениев произошла лишь однажды - в на Первом Сольвеевском конгрессе. В письме своему цюрихскому другу доктору Цангеру от 16 ноября 1911 года Эйнштейн огорчённо писал:

Пуанкаре [по отношению к релятивистской теории] отвергал всё начисто и показал, при всей своей тонкости мысли, слабое понимание ситуации.

Оригинальный текст (нем.)

Poincare war (gegen die Relativitatstheorie) einfach allgemein ablehnend , zeigte bei allem Scharfsinn wenig Verstandnis fur die Situation.

- A. Pais. Subtle is the Lord. Oxford University Press, Oxford 1982, p. 170.

(вставка в квадратных скобках принадлежит, возможно, Пайсу).

Несмотря на неприятие теории относительности, лично к Эйнштейну Пуанкаре относился с большим уважением. Сохранилась характеристика Эйнштейна, которую дал Пуанкаре в конце . Характеристику запросила администрация цюрихского Высшего политехнического училища в связи с приглашением Эйнштейна на должность профессора училища.

Г-н Эйнштейн - один из самых оригинальных умов, которые я знал; несмотря на свою молодость, он уже занял весьма почётное место среди виднейших учёных своего времени. Больше всего восхищает в нём лёгкость, с которой он приспосабливается к новым концепциям и умеет извлечь из них все следствия.
Он не держится за классические принципы и, когда перед ним физическая проблема, готов рассмотреть любые возможности. Благодаря этому его ум предвидит новые явления, которые со временем могут быть экспериментально проверены. Я не хочу сказать, что все эти предвидения выдержат опытную проверку в тот день, когда это станет возможно; наоборот, поскольку он ищет во всех направлениях, следует ожидать, что большинство путей, на которые он вступает, окажутся тупиками; но в то же время надо надеяться, что одно из указанных им направлений окажется правильным, и этого достаточно. Именно так и надо поступать. Роль математической физики - правильно ставить вопросы; решить их может только опыт.
Будущее покажет более определённо, каково значение г-на Эйнштейна, а университет, который сумеет привязать к себе молодого мэтра, извлечёт из этого много почестей.

Немного проясняет позицию Пуанкаре его лекция «Пространство и время», с которой он выступил в мае в . Пуанкаре считает первичными в перестройке физики принцип относительности и новые законы механики. Свойства пространства и времени, по мнению Пуанкаре, должны выводиться из этих принципов или устанавливаться конвенционально. Эйнштейн же поступил наоборот - вывел динамику из новых свойств пространства и времени. Пуанкаре по-прежнему считает переход физиков на новую математическую формулировку принципа относительности (преобразования Лоренца вместо галилеевых) делом соглашения:

Это не значит, что они [физики] были вынуждены это сделать; они считают новое соглашение более удобным, вот и всё; и те, кто не придерживается такого рода мысли, могут вполне законно сохранять старый, чтобы не нарушать своих привычек. Между нами говоря, я думаю, что они ещё долго будут это делать.

Из этих слов можно понять, почему Пуанкаре не только не завершил свой путь к теории относительности, но даже отказался принять уже созданную теорию. Это видно также из сравнения подходов Пуанкаре и Эйнштейна. То, что Эйнштейн понимает как относительное, но объективное, Пуанкаре понимает как чисто субъективное, условное (). Различие в позициях Пуанкаре и Эйнштейна и его возможные философские корни подробно исследованы историками науки.

Основоположник квантовой механики , первый лауреат медали имени Пуанкаре (), винит во всём его взгляды :

[Пуанкаре] занимал по отношению к физическим теориям несколько скептическую позицию, считая, что вообще существует бесконечно много логически эквивалентных точек зрения и картин действительности, из которых учёный, руководствуясь исключительно соображениями удобства, выбирает какую-то одну. Вероятно, такой номинализм иной раз мешал ему признать тот факт, что среди логически возможных теорий есть такие, которые ближе к физической реальности, во всяком случае, лучше согласуются с интуицией физика, и тем самым больше могут помочь ему… Философская склонность его ума к «номиналистическому удобству» помешала Пуанкаре понять значение идеи относительности во всей её грандиозности.

Оценка вклада Пуанкаре

Вклад Пуанкаре в создание специальной теории относительности (СТО) физиками-современниками и более поздними историками науки оценивается по-разному. Спектр их мнений простирается от пренебрежения этим вкладом до утверждений, что понимание Пуанкаре было не менее полным и глубоким, чем понимание других основателей, включая Эйнштейна. Однако подавляющее большинство историков придерживаются достаточно сбалансированной точки зрения, отводящей обоим (а также Лоренцу и присоединившимся позднее к разработке теории Планку и Минковскому) значительную роль в успешном развитии релятивистских идей.

Д. С. Кудрявцев в курсе истории физики высоко оценивает роль Пуанкаре. Он цитирует слова и В. К. Фредерикса о том, что «статья Пуанкаре с формальной точки зрения содержит в себе не только параллельную ей работу Эйнштейна, но в некоторых своих частях и значительно более позднюю - почти на три года - статью Минковского, а отчасти даже и превосходит последнюю». Вклад Эйнштейна, по мнению Д. С. Кудрявцева, заключался в том, что именно ему удалось создать целостную теорию максимальной общности и прояснить её физическую сущность.

Итак, кого же из учёных мы должны считать создателями СТО?… Конечно, открытые до Эйнштейна преобразования Лоренца включают в себя всё содержание СТО. Но вклад Эйнштейна в их объяснение, в построение целостной физической теории и в интерпретацию основных следствий этой теории настолько существен и принципиален, что Эйнштейн с полным правом считается создателем СТО. Однако высокая оценка работы Эйнштейна не даёт никакого основания считать его единственным создателем СТО и пренебрегать вкладом других учёных.

Аналогичное мнение высказывал и :

Специальная теория относительности в конечном счёте была открытием не одного человека. Работа Эйнштейна была тем последним решающим элементом в фундаменте, заложенном Лоренцем, Пуанкаре и другими, на котором могло держаться здание, воздвигнутое затем Минковским.

Философская концепция Пуанкаре

Во времена Пуанкаре набирала силу третья волна , в рамках которой, в частности, провозглашалась частью (эту идею проповедовали такие выдающиеся учёные, как и ) или бессодержательным набором аксиоматических теорий ( и его школа). Пуанкаре был категорически против такого рода формалистических взглядов . Он считал, что в основе деятельности математика лежит интуиция, а сама наука не допускает полного аналитического обоснования .

Свою работу он полностью подчинял этому принципу: Пуанкаре всегда сначала полностью решал задачи в голове, а затем записывал решения. Он обладал феноменальной памятью и мог слово в слово цитировать прочитанные книги и проведённые беседы (память, интуиция и воображение Анри Пуанкаре даже стали предметом настоящего психологического исследования). Кроме того, он никогда не работал над одной задачей долгое время, считая, что подсознание уже получило задачу и продолжает работу, даже когда он размышляет о других вещах.

Пуанкаре считал, что основные положения (принципы, законы) любой научной теории не являются ни синтетическими истинами (как, например, для ), ни моделями объективной реальности (как, например, для материалистов ). Они суть соглашения, единственным абсолютным условием которых является непротиворечивость. Выбор тех или иных положений из множества возможных, вообще говоря, произволен, если отвлечься от практики их применения. Но поскольку мы руководствуемся последней, произвольность выбора основных принципов ограничена, с одной стороны, потребностью нашей мысли в максимальной простоте теорий, с другой - необходимостью успешного их использования. В границах этих требований заключена известная свобода выбора, обусловленная относительным характером самих этих требований. Эта философская доктрина получила впоследствии название .

В математике Пуанкаре отвергал не только и , но и - хотя до обнаружения проявлял к ней интерес и пытался использовать. Он выдвинул требование, чтобы все математические определения были строго :

Те определения, которые должны быть рассматриваемы как непредикативные, заключают в себе порочный круг.

Многие мысли Пуанкаре позже «взяли на вооружение» и другие .

Проблема, о которой пойдет речь сегодня, выбивается из ряда других проблем 2000 года: лишь она одна считается уже решенной. Правда, статус ее все-таки не до конца ясен, ведь «настоящей» публикации с решением так и не появилось. Приоритет Григория Перельмана – нашего соотечественника, доказавшего гипотезу Пуанкаре, – неоспорим, его доказательство признано ведущими экспертами, но формальные требования до сих пор не выполнены. Об этой почти детективной истории читателям расскажет врезка, а мы пока обратимся к самой задаче.

Гипотеза Пуанкаре – одна из тех задач, даже ошибочные решения которых приводят к появлению новых областей математики; в этом с ней может соперничать разве что великая теорема Ферма.

Сходство с теоремой Ферма есть и еще в одном важном аспекте: общедоступности формулировки[Параллели с теоремой Ферма продолжаются и дальше: история доказательства обеих гипотез весьма схожа: гениальный одиночка на несколько лет полностью посвящает себя решению проблемы и добивается успеха]. Гипотезу Пуанкаре, на мой взгляд, из всех проблем 2000 года проще всего объяснить непрофессионалу; конечно, ей далеко до простого алгебраического тождества, поля для доказательства которого оказались воистину слишком узки, но я надеюсь, что даже в рамках этой небольшой статьи мы сможем полностью понять, в чем состоит (учитывая достижения Григория Перельмана – состояла) проблема. Итак, вперед.

Анри Пуанкаре – один из самых блистательных представителей французской науки. Он родился в 1854 году в семье, занимавшей весьма почтенное положение в обществе: достаточно упомянуть, что Анри приходился двоюродным братом Раймону Пуанкаре, пять раз занимавшему пост премьер-министра Франции, а с 1913 по 1920 годы, в тяжелое время Первой мировой войны, – пост президента страны.

За свою жизнь Анри Пуанкаре успел поработать во многих областях науки: комплексном анализе, небесной механике, алгебраической геометрии, теории чисел и, конечно, топологии, в которой он и сформулировал носящую его имя гипотезу. Не все знают, что Пуанкаре стоял у истоков теории относительности: долгое время он сотрудничал с Хендриком Лоренцом (кстати, преобразования Лоренца получили имя великого голландца именно с легкой руки Пуанкаре) и еще в 1898 году, задолго до Эйнштейна, в работе «Измерение времени» сформулировал принцип относительности, а затем даже ввел четырехмерное пространство-время, теорию которого в сотрудничестве с Эйнштейном позднее разработал Герман Минковский. Примечательно, что сам Эйнштейн очень долго отрицал всякое знакомство с трудами Пуанкаре и не ссылался на него вплоть до начала двадцатых годов (!), однако впоследствии все же признал заслуги французского математика.

Философия и методы работы Пуанкаре тоже заслуживают внимания: он категорически не принимал набирающих в то время силу формалистических взглядов Рассела, Фреге и Гильберта, для которых математика была частью логики. Пуанкаре считал, что основа работы математика – интуиция, а сама наука не допускает полного аналитического обоснования. В своих привычках он следовал этой философии: Пуанкаре всегда сначала полностью решал задачи в голове, а затем записывал решения. Он обладал феноменальной памятью и мог слово в слово цитировать прочитанные книги и проведенные беседы (память, интуиция и воображение Анри Пуанкаре даже стали предметом настоящего психологического исследования). Кроме того, он никогда не работал над одной задачей долгое время, считая, что подсознание уже получило задачу и продолжает работу, даже когда он размышляет о других вещах – вряд ли он смог бы повторить подвиг Григория Перельмана или Эндрю Уайлса, которые долгие годы посвящали себя одной задаче[Говорю это не для того, чтобы умалить достоинства Анри Пуанкаре – возможно (хотя весьма сомнительно), обладай он тем же математическим аппаратом, что Уайлс с Перельманом, он решил бы обе задачи за завтраком]. В его трудах неоднократно обнаруживались ошибки, но и в своих ошибках он был гениален: вовремя замеченная неточность Пуанкаре в знаменитом труде о проблеме трех тел привела к развитию теории хаоса, а другая – топологическая – к той самой гипотезе, которой и посвящена эта статья.

Многочисленные книги по занимательной математике, мимо которых вы, читатели, вряд ли прошли в детстве, любят рассказывать о топологии, странной науке, в которой два предмета сравниваются только по количеству дырок в них: чайная чашка ничем не отличается от бублика, а апельсин – от Солнца. На самом деле, конечно, топология – очень глубокая наука, и объекты и свойства, которые она изучает, весьма многочисленны и разнообразны. Но прелесть в том, что для понимания сути гипотезы Пуанкаре нам ничего, кроме этих наивных представлений, и не потребуется!

Будем чуточку более формальны. Говорят, что поверхность k-связна, если на ней можно провести k-1 замкнутую кривую, которые не делят ее на две части. Сфера (поверхность апельсина) односвязна: как ни проводи на ней замкнутую кривую, кусочек вырежется; а вот поверхность бублика двусвязна – ее можно, например, разрезать поперек, превратив в цилиндр, но сохранив целостность (а вот повторно разрезать цилиндр уже не получится). Для поверхностей в трехмерном пространстве это свойство как раз и означает, что в поверхности есть k-1 «дырка». В общем случае поверхность односвязна, если на ней любую замкнутую кривую можно непрерывной деформацией стянуть в точку. Интуивно очевидно, например, что поверхность бублика этим свойством не обладает (меридиан или параллель в точку не стягиваются).

Другое важное понятие – гомеоморфизм – также уже встречается в рассуждениях о неразличимости чашки и бублика. Именно в этой неразличимости и дело: гомеоморфизм – это непрерывное преобразование, деформация, которой можно подвергнуть множество, сохранив при этом его топологические свойства (например, k-связность). Чашку легко непрерывным преобразованием превратить в бублик, а апельсин – в Солнце. При этом преобразовании сохраняются важнейшие топологические инварианты (об инвариантах я уже рассказывал в статье, посвященной гипотезе Ходжа), такие, как число k. Два множества, которые можно гомеоморфизмом превратить друг в друга, с топологической точки зрения считаются эквивалентными.

Гипотеза Пуанкаре состоит в том, что каждая односвязная трехмерная поверхность гомеоморфна трехмерной сфере. Хочу обратить особое внимание на то, что «трехмерная поверхность» может размещаться в пространстве, чья размерность как минимум 4! Трехмерная сфера – это поверхность четырехмерного шара (привычная нам двухмерная сфера – поверхность трехмерного шара).

Григорий Яковлевич Перельман родился и вырос в Ленинграде, учился в знаменитой 239-й школе. В 1982 году выиграл Международную математическую олимпиаду, набрав максимально возможное количество баллов. Степень кандидата наук получил в СПбГУ, затем некоторое время работал в Петербургском отделении математического института РАН; в конце восьмидесятых уехал в США, где работал до середины девяностых, а затем вернулся в Россию; сейчас снова работает в ПОМИ.

История доказательства гипотезы Пуанкаре напоминает историю доказательства теоремы Ферма: как и Эндрю Уайлс, Перельман на долгих семь лет (с возвращения в Россию до 2002 года) практически перестал публиковаться и вообще почти ничем не напоминал о себе. Никто не знал, над чем он работал. Затем, как гром среди ясного неба, – препринт (предварительная версия статьи, обычно предшествующая публикации и нужная для того, чтобы установить приоритет и довести свои результаты до научного сообщества), помещенный Перельманом на популярный препринт-сервер arXiv [Вот ссылки на препринты Перельмана на этом сервере, содержащие доказательство гипотезы Пуанкаре: http://arxiv.org/abs/math.DG/0211159 ,http://arxiv.org/abs/math.DG/0303109 ] в ноябре 2002 года. В препринте содержалось доказательство более общего геометрического факта, из которого, в частности, вытекала гипотеза Пуанкаре.

В 2003 году Григорий Яковлевич дополнил первый препринт еще одним, в котором подробнее изложил технические подробности доказательства. Кроме того, он выступил с лекциями, где комментировал свои идеи. Казалось бы, больше ничего не нужно: проверяйте доказательство и платите миллион. Однако одним из условий фонда Clay Mathematics Institute была публикация результата в реферируемых изданиях, а этого Перельман почему-то делать не хотел. Он вообще старался (и до сих пор старается) избегать любых контактов с прессой; создается впечатление, что приз Григория Яковлевича не интересует, а неразрывно связанная с ним слава – тяготит.

Текущее положение дел таково: множество экспертов тщательнейшим образом проверили детали доказательства. Опубликованы много сотен страниц пояснений и комментариев к двум препринтам Перельмана [См., например, http://www.math.lsa.umich.edu/research/ricciflow/perelman.html ]. Пока ошибок не найдено, и большинство экспертов склоняются к мысли, что задача действительно решена. Что же касается обязательных публикаций, то представители Clay Mathematics Institute уже выступили с заявлением о том, что могут пересмотреть условия присуждения приза.

Все началось с исследований, которые Пуанкаре вел в области алгебраической геометрии. Он работал над одним из краеугольных камней этой науки – теорией гомологий, особого класса топологических инвариантов. В 1900 году он опубликовал статью, в которой доказывал, что если у трехмерной поверхности гомология совпадает с гомологией сферы, то и сама поверхность – сфера; на самом деле это утверждение даже более сильное, чем утверждение гипотезы Пуанкаре.

Однако в его рассуждения вкралась ошибка, которую он сам и нашел, к 1904 году разработав важнейшее понятие фундаментальной группы и построив на его базе контрпример к собственной теореме. Тогда же он наконец-то поставил вопрос правильно.

Достаточно долго на гипотезу не обращали внимания. Интерес к ней пробудил Генри Уайтхед[Джон Генри Константин Уайтхед (J.H.C. Whitehead, 1904–1960) – выдающийся английский математик, один из основателей теории гомотопий. Не следует его путать с его собственным дядей Альфредом Уайтхедом, тоже математиком, но специализировавшимся на логике и алгебре, соавтором Бертрана Рассела по знаменитой книге Principia Mathematica], который в 1930-е годы объявил о том, что нашел доказательство. Как вы уже догадались, его доказательство также было неверным. Однако в процессе поиска и попыток исправить свои неточности он обнаружил интереснейшие классы трехмерных поверхностей и значительно продвинул теорию, которая позднее получила название топологии малых (или низших) размерностей. В пятидесятые и шестидесятые годы всплеск интереса к проблеме вновь породил несколько ошибочных заявлений о том, что теорему удалось доказать, и после этого математики наконец-то поняли, что гипотезу Пуанкаре так просто не возьмешь: с шестидесятых годов и до работ Григория Перельмана ложные доказательства предъявляли только любители (таких всегда достаточно; не присоединяйтесь к их числу).

Топология низших размерностей стала отдельной ветвью математики по удивительной причине – в многомерном случае все гораздо проще! Уже в 50-е и 60-е годы утверждения, аналогичные гипотезе Пуанкаре, были доказаны для более высоких размерностей. Трехмерный же случай продолжал оставаться камнем преткновения.

Доказательство Григория Перельмана (см. врезку) основано на идеях, которые развил в начале 1980-х годов Ричард Гамильтон (Richard Hamilton). Эти идеи неожиданным образом выводят топологические заключения из фактов о дифференциальных уравнениях – так называемых потоках Риччи (Ricci flows), обобщающих уравнения термодинамики. Впрочем, в доказательстве Перельмана долгое время не могли разобраться ведущие топологи мира, и вряд ли оно когда-нибудь станет темой популярной статьи.

К теме этой статьи примыкает интересная для компьютерщиков область математики – вычислительная топология. Вычислительные и распознавательные задачи есть, оказывается, и в этой абстрактной науке. С одной из таких задач связана и предпринятая в 1974 году очень интересная попытка решения проблемы Пуанкаре в ее алгоритмической версии.

Каждая трехмерная поверхность задается некоторым (не будем вдаваться в подробности) дискретным кодом – конечным набором символов. Одна и та же поверхность имеет бесконечное число различных кодировок. Естественный вопрос: существует ли алгоритм, определяющий по заданному кодовому слову, задает ли оно трехмерную сферу («алгоритмическая проблема Пуанкаре»). Именно эту задачу атаковали в 1974 году А. Фоменко (тот самый), И. Володин и В. Кузнецов [Володин И.А., Кузнецов В.Е., Фоменко А.Т., «О проблеме алгоритмического распознавания стандартной трехмерной сферы», Успехи математических наук, 1974, т. 29, N 5, с. 71-168.]. Они предположили, что определенное свойство кода (оно было названо «волной») дает критерий «сферичности». Однако строго доказать им удалось только, что наличие «волны» гарантирует – перед нами сфера. Доказать же, что в любом коде, задающем сферу, имеется «волна» никак не получалось. Тогда авторы сделали весьма стильный по тем временам ход – провели масштабный компьютерный эксперимент. Была написана программа для машины БЭСМ-6, которая случайным образом генерировала коды, задающие трехмерную сферу, и проверяла наличие в них «волны». В эксперименте, потребовавшем весьма длительного счета, был проверен миллион таких случайных представлений сферы – и во всех обнаружилась волна! С точки зрения здравого смысла – веский аргумент в пользу корректности предложенного алгоритма. Но авторы, будучи серьезными математиками, разумеется, воздерживались от поспешных заявлений. И не напрасно – спустя пару лет один из бывших учеников Фоменко обнаружил контрпример…

Спустя двадцать лет алгоритм распознавания 3-сферы (за экспоненциальное время) был построен. Общая же проблема алгоритмического распознавания поверхностей размерности 3 открыта, она активно изучается и сегодня. Для более высоких размерностей давно известна ее неразрешимость, для размерности 2 она была решена еще раньше, а вот в нашем родном трехмерье все почему-то невероятно сложно устроено.

Леонид Левкович-Маслюк