Как решать примеры по формуле бинома ньютона. Бином Ньютона с использованием треугольника Паскаля

3) Сумма всех биномиальных коэффициентов равна 2 m , т.е.

4) Сумма биномиальных коэффициентов, стоящих на нечетных местах, равна сумме биномиальных коэффициентов, стоящих на четных местах, т.е.

4. Примеры и задачи на бином Ньютона.

Задача 1. В разложении коэффициент пятого члена относится к коэффициенту третьего члена, как 7: 2. Найти тот член этого разложения, который содержит х в первой степени.

Решение. Биномиальный коэффициент пятого члена равен , коэффициент третьего члена равен . Тогда, по условию,

отсюда n = 9.

Пусть теперь номер члена, содержащего х в первой степени, равен k + 1. Тогда

По условию, показатель степени х должен быть равен 1. Значит, , отсюда k = 3.

Итак, член, содержащий х в первой степени, есть четвертым членом разложения и равен .

Задача 2. В разложении биномиальный коэффициент третьего члена на 44 больше коэффициента второго. Найти свободный член.

Решение. Коэффициент третьего члена будет , а коэффициент второго - . По условию . Решая уравнение , получаем n = 11 (отрицательное значение отбрасываем). Находим свободный член:

Чтобы x был в нулевой степени, нужно чтобы , т.е. k = 3. Итак, свободный член равен .

Задача 3. Найти все рациональные члены разложения , не выписывая члены иррациональные.

Решение. Напишем общий член разложения данного бинома:

Рациональными члены будут тогда, когда будет целым числом. Выясним, при каких n это выражение будет целым.

Чтобы для n получались целые значения, нужно придавать значения m , кратные пяти, но при этом такие, чтобы число n не выходило из интервала 0 и 20. Такие значения для m будут: -10; -5; 0; 5, а соответствующие числа для n : 20, 14, 8, 2. Искомые члены будут:

Задача 4. Дано многочлен

x (2 - 3 х ) 5 + x 3 (1 + 2 x 2) 7 - х 4 (3 + 2 х 3) 9 .

Найти коэффициент члена, содержащего х 5 , если выполнить указанные действия.

Решение. В разложении х (2 - 3 х ) 5 член, содержащий х 5 , равен xT 4+1 , где - пятый член разложения бинома (2 - 3 х ) 5:

В разложении х 3 (1 + 2 х 2) 7 член, содержащий х 5 , равен x 3 T 1+1 , где T 1+1 - второй член разложения бинома (1 + 2 х 2) 7:

Разложение х 4 (1 + 2 х 3) 9 не содержит х 5 .

Итак, коэффициент члена (данного многочлена), содержащего х 5 , равен 824.

Задача 5. Многочлен х ⁴ - 3 x ³ + x ² + 1 разложить по убывающим степеням х + 1.

Решение. Заменив х на (х + 1) -1, получим

х ⁴ - 3 x ³ + x ² + 1 = [(х + 1) - 1]⁴ - 3[(х + 1) - 1]³ + [(х + 1) - 1]² + 1.

Если теперь раскрыть по формуле бинома Ньютона выражение [(х + 1) - 1] k , где k = 2, 3, 4, рассматривая х + 1 как один член, то после приведения подобных членов получим (х + 1)⁴ - 7(х + 1)³ + 16(х + 1)² - 15(х + 1) + 6.

Задача 6. Сколько рациональных членов содержится в разложении

Решение. Имеем:

Так как для рациональности члена показатели и должны быть целыми числами, то число n должно быть кратно 3 и 2, т.е. кратно 6. Но 0 ≤ n ≤ 100 и числа n , кратные шести, будут 0, 6, 12,..., 96. Подсчитаем число m их, получим: 96 = 0 + 6(m - 1), 6(m - 1) = 96, m - 1 = 16, m = 17.

5. Историческая справка о биноме Ньютона. Разложение выражения (a + b )ⁿ в ряд для целых значений n было известно грекам лишь для случая n = 2. Обобщение для любого целого n было сделано среднеазиатскими математиками Омаром Хайямом и ал-Каши. Ал-Каши пользуется биномом для приближенного вычисления корня любой степени из целого числа; с этой целью он составил таблицу биномиальных коэффициентов.

Эта таблица носит название треугольника Паскаля. В Западной Европе она впервые была опубликована в руководствах по арифметике Апиануса в 1527 г. и Штифеля в 1544 г. В 1556 г. Тарталья также опубликовал таблицу биномиальных коэффициентов, причем объявил ее своим изобретением. В 1631 г. исследованием таблицы занимался Аутред, изобретатель логарифмической линейки; несколько позже, в 1654 г., была опубликована работа Паскаля.

В 1676 г. формулу бинома распространил на отрицательные и дробные показатели И. Ньютон, хотя не дал ее доказательства. Последнее было дано Маклореном для рациональных значений п, Эйлером в 1774 г. для дробных показателей. Наконец, в 1825 г. великий норвежский математик Нильс Гендрик Абель (1802-1829) доказал теорему бинома для любого комплексного числа n .

Рассмотрим следующие выражения со степенями (a + b) n , где a + b есть любой бином, а n - целое число.

Каждое выражение - это полином. Во всех выражениях можно заметить особенности.

1. В каждом выражении на одно слагаемое больше, чем показатель степени n.

2. В каждом слагаемом сумма степеней равна n, т.е. степени, в которую возводится бином.

3. Степени начинаются со степени бинома n и уменьшаются к 0. Последний член не имеет множителя a. Первый член не имеет множителя b, т.е. степени b начинаются с 0 и увеличиваются до n.

4. Коэффициенты начинаются с 1 и увеличиваются на определенные значения до "половины пути", а потом уменьшаются на те же значения обратно к 1.

Давайте рассмотрим коэффициенты подробнее. Предположим, что мы хотим найти значение (a + b) 6 . Согласно особенности, которую мы только что заметили, здесь должно быть 7 членов
a 6 + c 1 a 5 b + c 2 a 4 b 2 + c 3 a 3 b 3 + c 4 a 2 b 4 + c 5 ab 5 + b 6 .
Но как мы можем определить значение каждого коэффициента, c i ? Мы можем сделать это двумя путями. Первый метод включает в себя написание коэффициентов треугольником, как показано ниже. Это известно как Треугольник Паскаля :


Есть много особенностей в треугольнике. Найдите столько, сколько сможете.
Возможно вы нашли путь, как записать следующую строку чисел, используя числа в строке выше. Единицы всегда расположены по сторонам. Каждое оставшееся число это сумма двух чисел, расположенных выше этого числа. Давайте попробуем отыскать значение выражения (a + b) 6 путем добавления следующей строки, используя особенности, которые мы нашли:

Мы видим, что в последней строке

первой и последнее числа 1 ;
второе число равно 1 + 5, или 6 ;
третье число это 5 + 10, или 15 ;
четвертое число это 10 + 10, или 20 ;
пятое число это 10 + 5, или 15 ; и
шестое число это 5 + 1, или 6 .

Таким образом, выражение (a + b) 6 будет равно
(a + b) 6 = 1 a 6 + 6 a 5 b + 15 a 4 b 2 + 20 a 3 b 3 + 15 a 2 b 4 + 6 ab 5 + 1 b 6 .

Для того, чтобы возвести в степень (a + b) 8 , мы дополняем две строки к треугольнику Паскаля:

Тогда
(a + b) 8 = a 8 + 8a 7 b + 28a 6 b 2 + 56a 5 b 3 + 70a 4 b 4 + 56a 3 b 5 + 28a 2 b 6 + 8ab 7 + b 8 .

Мы можем обобщить наши результаты следующим образом.

Бином Ньютона с использованием треугольника Паскаля

Для любого бинома a+ b и любого натурального числа n,
(a + b) n = c 0 a n b 0 + c 1 a n-1 b 1 + c 2 a n-2 b 2 + .... + c n-1 a 1 b n-1 + c n a 0 b n ,
где числа c 0 , c 1 , c 2 ,...., c n-1 , c n взяты с (n + 1) ряда треугольника Паскаля.

Пример 1 Возведите в степень: (u - v) 5 .

Решение У нас есть (a + b) n , где a = u, b = -v, и n = 5. Мы используем 6-й ряд треугольника Паскаля:
1 5 10 10 5 1
Тогда у нас есть
(u - v) 5 = 5 = 1 (u) 5 + 5 (u) 4 (-v) 1 + 10 (u) 3 (-v) 2 + 10 (u) 2 (-v) 3 + 5 (u)(-v) 4 + 1 (-v) 5 = u 5 - 5u 4 v + 10u 3 v 2 - 10u 2 v 3 + 5uv 4 - v 5 .
Обратите внимание, что знаки членов колеблются между + и -. Когда степень -v есть нечетным числом, знак -.

Пример 2 Возведите в степень: (2t + 3/t) 4 .

Решение У нас есть (a + b) n , где a = 2t, b = 3/t, и n = 4. Мы используем 5-й ряд треугольника Паскаля:
1 4 6 4 1
Тогда мы имеем

Разложение бинома используя значения факториала

Предположим, что мы хотим найти значение (a + b) 11 . Недостаток в использовании треугольника Паскаля в том, что мы должны вычислить все предыдущие строки треугольника, чтобы получить необходимый ряд. Следующий метод позволяет избежать этого. Он также позволяет найти определенную строку - скажем, 8-ю строку - без вычисления всех других строк. Этот метод полезен в вычислениях, статистике и он использует биномиальное обозначение коэффициента .
Мы можем сформулировать бином Ньютона следующим образом.

Бином Ньютона с использованием обозначение факториала

Для любого бинома (a + b) и любого натурального числа n,
.

Бином Ньютона может быть доказан методом математической индукции. Она показывает почему называется биноминальным коэффициентом .

Пример 3 Возведите в степень: (x 2 - 2y) 5 .

Решение У нас есть (a + b) n , где a = x 2 , b = -2y, и n = 5. Тогда, используя бином Ньютона, мы имеем


Наконец, (x 2 - 2y) 5 = x 10 - 10x 8 y + 40x 6 y 2 - 80x 4 y 3 + 80x 2 y 4 - 35y 5 .

Пример 4 Возведите в степень: (2/x + 3√x ) 4 .

Решение У нас есть (a + b) n , где a = 2/x, b = 3√x , и n = 4. Тогда, используя бином Ньютона, мы получим


Finally (2/x + 3√x ) 4 = 16/x 4 + 96/x 5/2 + 216/x + 216x 1/2 + 81x 2 .

Нахождение определенного члена

Предположим, что мы хотим определить тот или иной член термин из выражения. Метод, который мы разработали, позволит нам найти этот член без вычисления всех строк треугольника Паскаля или всех предыдущих коэффициентов.

Обратите внимание, что в биноме Ньютона дает нам 1-й член, дает нам 2-й член, дает нам 3-й член и так далее. Это может быть обощено следующим образом.

Нахождение (k + 1) члена

(k + 1) член выражения (a + b) n есть .

Пример 5 Найдите 5-й член в выражении (2x - 5y) 6 .

Решение Во-первых, отмечаем, что 5 = 4 + 1. Тогда k = 4, a = 2x, b = -5y, и n = 6. Тогда 5-й член выражения будет

Пример 6 Найдите 8-й член в выражении (3x - 2) 10 .

Решение Во-первых, отмечаем, что 8 = 7 + 1. Тогда k = 7, a = 3x, b = -2 и n = 10. Тогда 8-й член выражения будет

Общее число подмножеств

Предположим, что множество имеет n объектов. Число подмножеств, содержащих k элементов есть . Общее число подмножеств множества есть число подмножеств с 0 элементами, а также число подмножеств с 1 элементом, а также число подмножеств с 2-мя элементами и так далее. Общее число подмножеств множества с n элементами есть
.
Теперь давайте рассмотрим возведение в степень (1 + 1) n:

.
Так. общее количество подмножеств (1 + 1) n , или 2 n . Мы доказали следующее.

Полное число подмножеств

Полное число подмножеств множества с n элементами равно 2 n .

Пример 7 Сколько подмножеств имеет множество {A, B, C, D, E}?

Решение Множество имеет 5 элементов, тогда число подмножеств равно 2 5 , или 32.

Пример 8 Сеть ресторанов Венди предлагает следующую начинку для гамбургеров:
{кетчуп, горчица, майонез, помидоры, салат, лук, грибы, оливки, сыр }.
Сколько разных видов гамбургеров может предложить Венди, исключая размеры гамбургеров или их количество?

Решение Начинки на каждый гамбургер являются элементами подмножества множества всех возможных начинок, а пустое множество это просто гамбургер. Общее число возможных гамбургеров будет равно

. Таким образом, Венди может предложить 512 различных гамбургеров.

Наука и жизнь // Иллюстрации

Блез Паскаль (1623- 1662).

Исаак Ньютон (1643-1727).

Треугольник Паскаля.

Сегодня, как и лет тридцать-сорок назад, абитуриенты на вступительных экзаменах в вуз традиционно опасаются вытянуть билет с вопросом о биноме Ньютона. (Автор формулы - великий английский физик, математик, астроном и философ сэр Исаак Ньютон.) Дело не только в том, что формула кажется сложной. Изучение её то включали в программу средней школы, то выводили за рамки основного курса, но в серьёзных вузах экзаменаторы спрашивали и продолжают спрашивать о биноме Ньютона.

На самом деле бояться тут особенно нечего. Бином Ньютона - формула разложения произвольной натуральной степени двучлена \((a+b)^n \) в многочлен. Каждый из нас знает наизусть формулы «квадрата суммы» \((a+b)^2 \) и «куба суммы» \((a+b)^3 \), но при увеличении показателя степени с определением коэффициентов при членах многочлена начинаются трудности. Чтобы не совершить ошибку и применяется формула бинома Ньютона:

\[ (a+b)^n = a^n + \frac{n}{1!}a^{n-1}b + \frac{n(n-1)}{2!}a^{n-2}b^2 + \ldots + b^n. \]

В более общем виде формула коэффициентов в биноме записывается так:

\[ C_{n}^{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!} \]

где k - порядковый номер слагаемого в многочлене.

Напомним, что факториал - произведение натуральных чисел от 1 до n, то есть \(1*2*3*\ldots*n \) - обозначается n!, например, \(4! = 1*2*3*4 = 24 \).

Запомнить формулу действительно непросто. Но попытаемся её проанализировать. Видно, что в любом многочлене присутствуют a n и b n с коэффициентами 1. Ясно также, что всякий иной член многочлена выглядит как произведение определённых степеней каждого из слагаемых двучлена (a+b), причём сумма степеней всегда равна n. Например, в выражении \[ (a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 \] сумма степеней сомножителей во всех членах равна трём (3, 2+1, 1+2, 3). То же самое справедливо и для любой другой степени. Вопрос лишь в том, какие коэффициенты следует ставить при членах.

Видимо, для того чтобы облегчить труд школяров и студентов, великий французский математик и физик Блез Паскаль триста пятьдесят лет назад придумал специальный инструмент для определения этих самых коэффициентов - «треугольник Паскаля».

Строится он следующим образом.В вершине треугольника пишем 1. Единица соответствует выражению \((a+b)^0, \) поскольку любое число, возведённое в нулевую степень, даёт единицу. Достраивая треугольник, ниже пишем ещё по единице. Это коэффициенты разложения того же двучлена, возведённого в первую степень:\((a+b)^1 = a+b. \) Идём дальше. Стороны треугольника образуют единицы, а между ними - сумма двух единичек, находящихся сверху, то есть 2. Это и есть коэффициенты трёхчлена «квадрат суммы»:

\[ a^2 + 2ab + b^2. \]

Следующий ряд, как и предыдущий, начинается и заканчивается единицами, а между ними - суммы цифр, находящихся сверху: 1, 3, 3, 1. Мы получили коэффициенты разложения « куба суммы ». Ряд коэффициентов двучлена четвёртой степени составят 1, 4, 6, 4, 1 и так далее.

Для примера с помощью треугольника Паскаля разложим в многочлен сумму двучленов в шестой степени:

\[ (a + b)^6 = a^6+6a^5b + 15a^4b^2+20a^3b^3 + 15a^2b^4 + 6ab^5 + b^6. \]

Всё очень несложно и запоминается на всю жизнь. Кстати, самостоятельно вспомнить и вывести формулу бинома Ньютона, нарисовав на черновике треугольник Паскаля, тоже намного проще.

Некоторые историки науки приписывают Блезу Паскалю авторство не только треугольника, позволяющего находить биномиальные коэффициенты, но и самой формулы бинома. Они считают, что Паскаль вывел её несколько раньше Ньютона, а тот лишь обобщил формулу для разных показателей степеней.

учитель математики МОУ «СОШ №36», г. Ангарск

Бином Ньютона – одна из тем, рассмотрение которых способствует глубинному пониманию учащимися на только комбинаторных понятий, но и формул сокращенного умножения. В данной статье представлен один из вариантов лекции для старшеклассников по теме «Бином Ньютона».

Тема: «Бином Ньютона»

План лекции 1. Понятие бинома Ньютона

2. Свойства бинома и биномиальных коэффициентов

3. Типовые задачи по теме «Бином Ньютона»

4. Задачи, сводящиеся к использованию формулы бинома Ньютона (нестандартные задачи по теме «Бином Ньютона»)

Литература

1. Сборник конкурсных задач по математике для поступающих во втузы / Под ред. : Учеб. пособие. Санкт-Петербург, 1995. – с.84.

2. Супрун задачи повышенной сложности по математике. Мн.: Полымя, 1998. – 108с.

Понятие бинома Ньютона

Биномом Ньютона называют разложение вида:

Но, строго говоря, всю формулу нельзя назвать биномом, так как «бином» переводится как «двучлен». Кроме того, формула разложения была известна еще до Ньютона, Исаак Ньютон распространил это разложение на случай n<0 и n – дробного.

Цель изучения бинома Ньютона – упрощение вычислительных действий.

Компоненты формулы «бином Ньютона»:

ü правая часть формулы – разложение бинома;

ü – биномиальные коэффициенты, их можно получить с помощью треугольника Паскаля (пользуясь операцией сложения).

Практическая значимость треугольника Паскаля заключается в том, что с его помощью можно запросто восстанавливать по памяти не только известные формулы квадратов суммы и разности, но и формулы куба суммы (разности), четвертой степени и выше.

Например, четвертая строчка треугольника как раз наглядно демонстрирует биномиальные коэффициенты для бинома четвертой степени:

Альтернатива треугольнику Паскаля:

1) перемножить почленно четыре скобки:

2) вспомнить разложение бинома Ньютона четвертой степени:

ü общий член разложения бинома n-й степени: ,

где Т – член разложения; – порядковый номер члена разложения.

– 2 –

Свойства бинома и биномиальных коэффициентов

1.

2..gif" width="64" height="25">-й член разложения:

Сумма показателей степеней a и b : https://pandia.ru/text/78/392/images/image013_7.gif" width="92" height="29 src="> (правило симметрии)

5. Сумма биномиальных коэффициентов всех членов разложения равна

Доказательство

Пусть , тогда:

o левая часть равна ;

o правая часть равна

6. Сумма биномиальных коэффициентов, стоящих на нечетных местах, равна сумме биномиальных коэффициентов, стоящих на четных местах и равна

7..gif" width="84 height=45" height="45">

– 3 –

Типовые задачи по теме «Бином Ньютона»

К типовым (стандартным) заданиям по данной теме можно отнести задачи на вычисление, среди которых:

1. Найти член (номер члена) разложения бинома

2. Вывести бином по известным членам разложения (по известной сумме)

3. Вычислить сумму биномиальных коэффициентов разложения бинома

и другие.

Продемонстрируем на примерах (их решение несложное, поэтому большинство предлагаем решить самостоятельно).

Пример 1

Разложить по формуле бином

Решение – самостоятельно

ОБРАТИТЕ ВНИМАНИЕ на знакочередование!

Пример 2

Найти шестой член разложения

Решение – самостоятельно

ОБРАТИТЕ ВНИМАНИЕ на знак!

Лучше начинать рассуждения со следующего: https://pandia.ru/text/78/392/images/image029_2.gif" width="95" height="29 src=">

Решение – самостоятельно

ОБРАТИТЕ ВНИМАНИЕ на то, что эти члены равноотстоят от конца, поэтому их биномиальные коэффициенты будут равны.

НЕ ЗАБУДЬТЕ в процессе решения проводить преобразования степеней с одинаковыми основаниями (то есть упрощать).

Пример 4

В биномиальном разложении найти член разложения, не содержащий х

Так как в разложении мы ищем член не содержащий х , то

– 4 –

Задачи, сводящиеся к использованию формулы бинома Ньютона

(нестандартные задачи по теме «Бином Ньютона»)

К нестандартным заданиям по данной теме можно отнести такие, в которых нет явного намека на необходимость использования бинома. Однако в итоге, решение сводится к нему и выглядит очень интересным.

Пример 5

Доказать, что для любых и для любых верно неравенство Бернулли :

Доказательство

Так как , то

Переформулируем требование: Доказать, что https://pandia.ru/text/78/392/images/image041_0.gif" width="88" height="25 src=">

Так как , значит в разложении как минимум три члена разложения, тогда:

Это означает, что

Пример 6

Доказать, что

Доказательство – самостоятельно

(Подсказка: используйте неравенство Бернулли)

Пример 7

Доказать, что при любом натуральном n число делится на 9

Доказательство

Начнем рассматривать бином в общем виде:

Положим в формуле бинома Ньютона :

Эту формулу удобно применять для приближенных вычислений при малых значениях x ().

Пример 1 . Используя формулу бинома Ньютона, вычислить с точностью до .

По приведенной выше формуле имеем:

Оценим третье слагаемое в этой сумме.

остальные слагаемые еще меньше. Поэтому все слагаемые, начиная с третьего, можно отбросить. Тогда

Пример 2 . Вычислить с точностью до 0,01.

Оценим третье слагаемое:

Оценим четвертое слагаемое:

Значит все слагаемые, начиная с четвертого, можно отбросить. Получим

2.1.14. Контрольные вопросы и упражнения

1. Выборка, среди элементов которой нет одинаковых, а порядок записи элементов важен, является ______________________ .

2. Выборка, среди элементов которой нет одинаковых, а порядок записи элементов безразличен, является ________________________ .

3. Количество размещений с повторениями из n элементов по r

__________ = ________________________ .

4. Количество сочетаний из n элементов по r элементов определяется по формуле

____________ = ________________________ .

5. Сформулируйте основные правила комбинаторики.

6. Сколькими способами можно выбрать конверт и марку для письма, если имеется 5 конвертов и 4 марки?

7. Сколько пятизначных номеров можно составить из девяти цифр {1,2,3,4,5,6,7,8,9}?

8. Сколькими способами можно составить трехцветный полосатый флаг (все полосы горизонтальные), если имеются ткани пяти различных цветов?

9. Сколькими способами могут расположиться в турнирной таблице 7 футбольных команд, если известно, что все команды набрали различное количество очков?

10. Сколькими способами можно составить команду из 4 человек, если имеется 7 бегунов?

11. Сколькими способами можно разложить 12 различных предметов по четырем различным ящикам так, чтобы в каждом ящике оказалось по три предмета?

12. Сколькими способами можно разложить 6 одинаковых шаров по четырем различным ящикам?

13. Запишите разложение бинома .

14. Докажите свойство симметрии биномиальных коэффициентов, сравнив формулы для и .

15. Найдите максимальный числовой коэффициент в разложении бинома .

16. Пользуясь формулой бинома Ньютона, вычислите с точностью до .

Группы подстановок

Понятие группы

Теория групп начала оформляться в качестве самостоятельного раздела математики в конце VIII века. Она дала мощные средства для исследования алгебраических уравнений, геометрических преобразований, а также для решения ряда задач топологии и теории чисел. Специалисты, занимающиеся обработкой информации, используют методы теории групп при кодировании и декодировании информации.

Мы рассмотрим лишь небольшую часть теории групп и некоторые ее приложения. Наша первая задача – выяснить, что же такое группа.

Для этого сначала определим понятие бинарной алгебраической операции .

Бинарная операция на множестве – это соответствие, при котором каждой упорядоченной паре элементов данного множества отвечает однозначно определенный элемент того же множества. Так, действие сложения есть бинарная операция на множестве целых чисел; в самом деле, если r и s – любые два целых числа, то тоже является целым числом.

Определение 1. Непустое множество G с заданной на нем бинарной алгебраической операцией Ä называется группой , если:

1) операция Ä ассоциативна;

2) существует единичный элемент такой, что для каждого выполняется условие: ;

3) для каждого существует обратный элемент такой, что .

Эти три условия, необходимые для того, чтобы множество G с заданной на нем операцией Ä являлось группой, называются аксиомами группы .

Пример 1. Рассмотрим в качестве множества G множество всех целых чисел Z , а в качестве бинарной операции – сложение.

Проверим для пары (Z , +) аксиомы группы.

1) Ассоциативность. Сложение чисел ассоциативно: для любых Z , ;

2) Единичный элемент: нуль является единичным элементом для рассматриваемого множества относительно операции сложения, так как для каждого Z выполняется условие: ;

3) Обратный элемент: для каждого Z существует элемент –x , такой, что .

Итак, проверка показывает, что (Z , +) – группа.

Пример 2. Рассмотрим то же множество Z , но теперь с операцией умножения, т.е. рассмотрим пару (Z , ·). Проверим аксиомы группы.

1) Ассоциативность. Умножение чисел ассоциативно: для любых Z , ;

2) Единичный элемент: число 1 является единичным элементом рассматриваемого множества относительно операции умножения, т.е. для каждого Z выполняется условие: ;

3) Обратный элемент. Так как аксиома должна выполняться для любого элемента множества Z , то попытаемся найти обратный элемент для числа 2, т.е. нужно найти Z , такой что или . Такого целого числа не существует, таким образом, множество целых чисел, с заданной на нем операцией умножения, не является группой.

Определение 2. Множество называется подгруппой группы G , если оно замкнуто относительно операции Ä, , и для каждого обратный элемент .

Группа подстановок

Пусть множество X состоит из n элементов , расположенных в произвольном, но фиксированном порядке.

Биекция называется подстановкой .

В случаях, когда природа элементов не имеет значения, удобно обращать внимание только на индексы и считать, что мы имеем дело с множеством . Следовательно,

.

Обозначим - множество всех подстановок на A . Очевидно, что .

На множестве будем рассматривать операцию перемножения (композиции) подстановок и :

Для любого .

Эта операция обладает свойствами:

1) - выполняется свойство ассоциативности;

2) существует подстановка , для которой для каждого - выполняется аксиома существования единичного элемента;

3) для любого существует такое, что - выполняется аксиома существования обратного элемента.

Следовательно, множество образует группу относительно операции перемножения перестановок. Отметим, что эта операция не является коммутативной, то есть , например,

,

.

Рассмотрим произвольную подстановку . Элемент такой, что будем называть стационарным относительно подстановки . Пусть - все нестационарные элементы подстановки , причем, , где k – наименьшее из всех возможных. Такая подстановка называется циклом длины k и записывается в виде .

Пример 1. Пусть .

Стационарный элемент . Подстановка является циклом длины и может быть записана в виде .

Пример 2. Пусть .

Подстановка p не является циклом, но может быть представлена в виде композиции двух циклов:

причем эти циклы являются непересекающимися, т.е. не имеют общих нестационарных элементов.

Теорема 1. Любая подстановка может быть представлена в виде композиции непересекающихся циклов длины :

.

Доказательство теоремы дает процедуру построения циклов.

Найдем в A наименьший нестационарный относительно элемент , т.е. и для каждого выполняется условие: если , то . (Если такого элемента не существует, то является тождественной подстановкой () и ее можно рассматривать как пустое произведение циклов).

Будем строить образы элемента , до тех пор, пока не получим при наименьшем из возможных k (). Тогда подстановка

определяет цикл длины k внутри подстановки . Если все нестационарные элементы подстановки содержатся в , то . В противном случае найдем - наименьший из нестационарных элементов подстановки , не входящий в цикл . Строим цикл

Очевидно, что и - непересекающиеся. Если все нестационарные элементы исчерпаны, то , в противном случае повторяем процесс, пока каждый нестационарный элемент не войдет в какой-либо цикл. В конечном итоге получим .

Пример . Представить в виде композиции циклов подстановку

.

Значит ;

Значит ;

Стационарный элемент.

Следовательно, .

Определение. Порядком подстановки называется наименьшее натуральное число p такое, что .

Теорема 2. Порядок подстановки равен наименьшему общему кратному порядков циклов в ее разложении на непересекающиеся циклы.

В качестве упражнения предлагается провести доказательство теоремы самостоятельно.

Изоморфизм групп

Определение. Группы и называются изоморфными , если существует биекция , сохраняющая групповую операцию, т.е.

для всех .

Пример. Пусть - группа преобразований правильного треугольника в себя , где - тождественное преобразо-вание, - поворот вокруг точки O на 120°, - поворот вокруг точки O на 240°, - отражение относительно осей симметрии I, II, III соответственно (рис. 2.3).

2

Рис. 2.3. Преобразование правильного треугольника

В качестве группы рассмотрим группу подстановок на множестве вершин треугольника , где

Легко убедиться, что биекция группы на группу является изоморфизмом .

Будем называть порядком конечной группы количество ее элементов . при

Решение задачи провести самостоятельно.

Самосовмещения фигур

Обширный и очень важный класс разнообразных групп как конечных, так и бесконечных составляют группы “самосовмещений” геометрических фигур. Под самосовмещением данной геометрической фигуры F понимают такое перемещение фигуры F (в пространстве или на плоскости), которое переводит F в самое себя, т.е. совмещает фигуру F с самой собой.

Мы уже познакомились с одной из простейших групп самосовмещений, а именно с группой поворотов правильного треугольника на плоскости и показали, что она изоморфна некоторой подгруппе группы подстановок . Аналогичным образом можно построить группы самосовмещений других геометрических фигур и показать их изоморфизм с подгруппой группы .

Задача ; оси III - ; оси IV - .

Таким образом, мы получили группу подстановок, изоморфную группе самосовмещений квадрата:

2.2.5. Контрольные вопросы и упражнения

1. Что такое группа?

2. Дано множество . Проверить, является ли данное мно-жество группой относительно операции умножения.

3. Что такое подгруппа?

4. Привести пример подстановки, которая является полным циклом.

5. Объяснить процедуру разложения подстановки в произведение независимых циклов.

6. Чему равен порядок подстановки ?

7. Какие группы называются изоморфными?

8. Приведите примеры самосовмещений геометрических фигур.