Соотношения неопределенностей гейзенберга. Понятие о состоянии системы

Принцип неопределённости

Принцип неопределённости Гейзенберга в квантовой механике - фундаментальное неравенство (соотношение неопределённостей), устанавливающее предел точности одновременного определения пары характеризующих систему квантовых наблюдаемых, описываемых некоммутирующими операторами (например, координаты и импульса, тока и напряжения, электрического и магнитного поля). Соотношение неопределённостей задаёт нижний предел для произведения среднеквадратичных отклонений пары квантовых наблюдаемых. Принцип неопределённости, открытый Вернером Гейзенбергом в 1927 г., является одним из краеугольных камней квантовой механики.

Краткий обзор

Соотношения неопределённостей Гейзенберга являются теоретическим пределом точности одновременных измерений двух некоммутирующих наблюдаемых. Они справедливы как для идеальных измерений, иногда называемых измерениями фон Неймана, так и для неидеальных измерений.
Согласно принципу неопределённостей у частицы не могут быть одновременно точно измерены положение и скорость (импульс). Принцип неопределённости уже в виде, первоначально предложенном Гейзенбергом, применим и в случае, когда не реализуется ни одна из двух крайних ситуаций (полностью определенный импульс и полностью неопределенная пространственная координата - или полностью неопределенный импульс и полностью определенная координата).
Пример: частица с определённым значением энергии, находящаяся в коробке с идеально отражающими стенками; она не характеризуется ни определённым значением импульса (учитывая его направление!), ни каким-либо определённым «положением» или пространственной координатой (волновая функция частицы делокализована на всё пространство коробки, то есть её координаты не имеют определенного значения, локализация частицы осуществлена не точнее размеров коробки).
Соотношения неопределённостей не ограничивают точность однократного измерения любой величины (для многомерных величин тут подразумевается в общем случае только одна компонента). Если её оператор коммутирует сам с собой в разные моменты времени, то не ограничена точность и многократного (или непрерывного) измерения одной величины. Например, соотношение неопределённостей для свободной частицы не препятствует точному измерению её импульса, но не позволяет точно измерить её координату (это ограничение называется стандартный квантовый предел для координаты).
Соотношение неопределенностей в квантовой механике в математическом смысле есть прямое следствие некоего свойства преобразования Фурье.
Существует точная количественная аналогия между соотношениями неопределённости Гейзенберга и свойствами волн или сигналов. Рассмотрим переменный во времени сигнал, например звуковую волну. Бессмысленно говорить о частотном спектре сигнала в какой-либо момент времени. Для точного определения частоты необходимо наблюдать за сигналом в течение некоторого времени, таким образом теряя точность определения времени. Другими словами, звук не может одновременно иметь и точное значение времени его фиксации, как его имеет очень короткий импульс, и точного значения частоты, как это имеет место для непрерывного (и в принципе бесконечно длительного) чистого тона (чистой синусоиды). Временное положение и частота волны математически полностью аналогичны координате и (квантово-механическому) импульсу частицы. Что совсем не удивительно, если вспомнить, что , то есть импульс в квантовой механике - это и есть пространственная частота вдоль соответствующей координаты.
В повседневной жизни мы обычно не наблюдаем квантовую неопределённость потому, что значение чрезвычайно мало, и поэтому соотношения неопределенностей накладывают такие слабые ограничения на погрешности измерения, которые заведомо незаметны на фоне реальных практических погрешностей наших приборов или органов чувств.

Определение

Если имеется несколько (много) идентичных копий системы в данном состоянии, то измеренные значения координаты и импульса будут подчиняться определённому распределению вероятности - это фундаментальный постулат квантовой механики. Измеряя величину среднеквадратического отклонения координаты и среднеквадратического отклонения импульса, мы найдем что:

где - приведённая постоянная Планка.

Отметим, что это неравенство даёт несколько возможностей - состояние может быть таким, что может быть измерен с высокой точностью, но тогда будет известен только приблизительно, или наоборот может быть определён точно, в то время как - нет. Во всех же других состояниях и , и могут быть измерены с «разумной» (но не произвольно высокой) точностью.

Интерпретация квантовой механики

Альберту Эйнштейну принцип неопределённости не очень понравился, и он бросил вызов Нильсу Бору и Вернеру Гейзенбергу известным мысленным экспериментом: заполним коробку радиоактивным материалом, который испускает радиацию случайным образом. Коробка имеет открытый затвор, который немедленно после заполнения закрывается при помощи часов в определённый момент времени, позволяя уйти небольшому количеству радиации. Таким образом время уже точно известно. Мы все ещё хотим точно измерить сопряжённую переменную энергии. Эйнштейн предложил сделать это, взвешивая коробку до и после. Эквивалентность между массой и энергией по специальной теории относительности позволит точно определить, сколько энергии осталось в коробке. Бор возразил следующим образом: если энергия уйдет, тогда полегчавшая коробка сдвинется немного на весах. Это изменит положение часов. Таким образом часы отклоняются от нашей неподвижной системы отсчёта, и по специальной теории относительности, их измерение времени будет отличаться от нашего, приводя к некоторому неизбежному значению ошибки. Детальный анализ показывает, что неточность правильно даётся соотношением Гейзенберга.
В пределах широко, но не универсально принятой Копенгагенской интерпретации квантовой механики, принцип неопределённости принят на элементарном уровне. Физическая вселенная существует не в детерминистичной форме, а скорее как набор вероятностей, или возможностей. Например, картина (распределение вероятности) произведённая миллионами фотонов, дифрагирующими через щель может быть вычислена при помощи квантовой механики, но точный путь каждого фотона не может быть предсказан никаким известным методом. Копенгагенская интерпретация считает, что это не может быть предсказано вообще никаким методом.
Именно эту интерпретацию Эйнштейн подвергал сомнению, когда писал Максу Борну: «Бог не играет в кости». Нильс Бор, который был одним из авторов Копенгагенской интерпретации, ответил: «Эйнштейн, не говорите Богу, что делать».
Эйнштейн был убеждён, что эта интерпретация была ошибочной. Его рассуждение основывалось на том, что все уже известные распределения вероятности являлись результатом детерминированных событий. Распределение подбрасываемой монеты или катящейся кости может быть описано распределением вероятности (50 % орёл, 50 % решка) Но это не означает, что их физические движения непредсказуемы. Обычная механика может вычислить точно, как каждая монета приземлится, если силы, действующие на неё, будут известны, а орлы/решки будут все ещё распределяться случайно (при случайных начальных силах).
Эйнштейн предполагал, что существуют скрытые переменные в квантовой механике, которые лежат в основе наблюдаемых вероятностей.
Ни Эйнштейн, ни кто-либо ещё с тех пор не смог построить удовлетворительную теорию скрытых переменных, и неравенство Белла иллюстрирует некоторые очень тернистые пути в попытке сделать это. Хотя поведение индивидуальной частицы случайно, оно также скоррелировано с поведением других частиц. Поэтому, если принцип неопределённости - результат некоторого детерминированного процесса, то получается, что частицы на больших расстояниях должны немедленно передавать информацию друг другу, чтобы гарантировать корреляции в своём поведении.

Принцип неопределённости в популярной литературе

Принцип неопределённости часто неправильно понимается или приводится в популярной прессе. Одна частая неправильная формулировка в том, что наблюдение события изменяет само событие. Вообще говоря, это не имеет отношения к принципу неопределённости. Почти любой линейный оператор изменяет вектор, на котором он действует (то есть почти любое наблюдение изменяет состояние), но для коммутативных операторов никаких ограничений на возможный разброс значений нет (см. выше). Например, проекции импульса на оси и можно измерить вместе сколь угодно точно, хотя каждое измерение изменяет состояние системы. Кроме того, в принципе неопределённости речь идёт о параллельном измерении величин для нескольких систем, находящихся в одном состоянии, а не о последовательных взаимодействиях с одной и той же системой.
Другие (также вводящие в заблуждение) аналогии с макроскопическими эффектами были предложены для объяснения принципа неопределённости: одна из них рассматривает придавливание арбузного семечка пальцем. Эффект известен - нельзя предсказать, как быстро или куда семечко исчезнет. Этот случайный результат базируется полностью на хаотичности, которую можно объяснить в простых классических терминах.
В некоторых научно-фантастических рассказах устройство для преодоления принципа неопределённости называют компенсатором Гейзенберга, наиболее известное используется на звездолёте «Энтерпрайз» из фантастического телесериала «Звёздный Путь» в телепортаторе. Однако, неизвестно, что означает «преодоление принципа неопределённости». На одной из пресс-конференций продюсера сериала Джина Родденберри спросили «Как работает компенсатор Гейзенберга?», на что он ответил «Спасибо, хорошо!»

Невозможно одновременно с точностью определить координаты и скорость квантовой частицы.

В обыденной жизни нас окружают материальные объекты, размеры которых сопоставимы с нами: машины, дома, песчинки и т. д. Наши интуитивные представления об устройстве мира формируются в результате повседневного наблюдения за поведением таких объектов. Поскольку все мы имеем за плечами прожитую жизнь, накопленный за ее годы опыт подсказывает нам, что раз всё наблюдаемое нами раз за разом ведет себя определенным образом, значит и во всей Вселенной, во всех масштабах материальные объекты должны вести себя аналогичным образом. И когда выясняется, что где-то что-то не подчиняется привычным правилам и противоречит нашим интуитивным понятиям о мире, нас это не просто удивляет, а шокирует.

В первой четверти ХХ века именно такова была реакция физиков, когда они стали исследовать поведение материи на атомном и субатомном уровнях. Появление и бурное развитие квантовой механики открыло перед нами целый мир, системное устройство которого попросту не укладывается в рамки здравого смысла и полностью противоречит нашим интуитивным представлениям. Но нужно помнить, что наша интуиция основана на опыте поведения обычных предметов соизмеримых с нами масштабов, а квантовая механика описывает вещи, которые происходят на микроскопическом и невидимом для нас уровне, - ни один человек никогда напрямую с ними не сталкивался. Если забыть об этом, мы неизбежно придем в состояние полного замешательства и недоумения. Для себя я сформулировал следующий подход к квантово-механическим эффектам: как только «внутренний голос» начинает твердить «такого не может быть!», нужно спросить себя: «А почему бы и нет? Откуда мне знать, как всё на самом деле устроено внутри атома? Разве я сам туда заглядывал?» Настроив себя подобным образом, вам будет проще воспринять статьи этой книги, посвященные квантовой механике.

Принцип Гейзенберга вообще играет в квантовой механике ключевую роль хотя бы потому, что достаточно наглядно объясняет, как и почему микромир отличается от знакомого нам материального мира. Чтобы понять этот принцип, задумайтесь для начала о том, что значит «измерить» какую бы то ни было величину. Чтобы отыскать, например, эту книгу, вы, войдя в комнату, окидываете ее взглядом, пока он не остановится на ней. На языке физики это означает, что вы провели визуальное измерение (нашли взглядом книгу) и получили результат - зафиксировали ее пространственные координаты (определили местоположение книги в комнате). На самом деле процесс измерения происходит гораздо сложнее: источник света (Солнце или лампа, например) испускает лучи, которые, пройдя некий путь в пространстве, взаимодействуют с книгой, отражаются от ее поверхности, после чего часть из них доходит до ваших глаз, проходя через хрусталик, фокусируется, попадает на сетчатку - и вы видите образ книги и определяете ее положение в пространстве. Ключ к измерению здесь - взаимодействие между светом и книгой. Так и при любом измерении, представьте себе, инструмент измерения (в данном случае, это свет) вступает во взаимодействие с объектом измерения (в данном случае, это книга).

В классической физике, построенной на ньютоновских принципах и применимой к объектам нашего обычного мира, мы привыкли игнорировать тот факт, что инструмент измерения, вступая во взаимодействие с объектом измерения, воздействует на него и изменяет его свойства, включая, собственно, измеряемые величины. Включая свет в комнате, чтобы найти книгу, вы даже не задумываетесь о том, что под воздействием возникшего давления световых лучей книга может сдвинуться со своего места, и вы узнаете ее искаженные под влиянием включенного вами света пространственные координаты. Интуиция подсказывает нам (и, в данном случае, совершенно правильно), что акт измерения не влияет на измеряемые свойства объекта измерения. А теперь задумайтесь о процессах, происходящих на субатомном уровне. Допустим, мне нужно зафиксировать пространственное местонахождение электрона. Мне по-прежнему нужен измерительный инструмент, который вступит во взаимодействие с электроном и возвратит моим детекторам сигнал с информацией о его местопребывании. И тут же возникает сложность: иных инструментов взаимодействия с электроном для определения его положения в пространстве, кроме других элементарных частиц, у меня нет. И, если предположение о том, что свет, вступая во взаимодействие с книгой, на ее пространственных координатах не сказывается, относительно взаимодействия измеряемого электрона с другим электроном или фотонами такого сказать нельзя.

В начале 1920-х годов, когда произошел бурный всплеск творческой мысли, приведший к созданию квантовой механики, эту проблему первым осознал молодой немецкий физик-теоретик Вернер Гейзенберг. Начав со сложных математических формул, описывающих мир на субатомном уровне, он постепенно пришел к удивительной по простоте формуле, дающий общее описание эффекта воздействия инструментов измерения на измеряемые объекты микромира, о котором мы только что говорили. В результате им был сформулирован принцип неопределенности, названный теперь его именем:

неопределенность значения координаты неопределенность скорости ,

Где - неопределенность (погрешность измерения) пространственной координаты микрочастицы, - неопределенность скорости частицы, - масса частицы, а - постоянная Планка, названная так в честь немецкого физика Макса Планка, еще одного из основоположников квантовой механики. Постоянная Планка равняется примерно 6,626 x 10 –34 Дж·с, то есть содержит 33 нуля до первой значимой цифры после запятой.

Термин «неопределенность пространственной координаты» как раз и означает, что мы не знаем точного местоположения частицы. Например, если вы используете глобальную систему рекогносцировки GPS, чтобы определить местоположение этой книги, система вычислит их с точностью до 2-3 метров. (GPS, Global Positioning System - навигационная система, в которой задействованы 24 искусственных спутника Земли. Если у вас, например, на автомобиле установлен приемник GPS, то, принимая сигналы от этих спутников и сопоставляя время их задержки, система определяет ваши географические координаты на Земле с точностью до угловой секунды.) Однако, с точки зрения измерения, проведенного инструментом GPS, книга может с некоторой вероятностью находиться где угодно в пределах указанных системой нескольких квадратных метров. В таком случае мы и говорим о неопределенности пространственных координат объекта (в данном примере, книги). Ситуацию можно улучшить, если взять вместо GPS рулетку - в этом случае мы сможем утверждать, что книга находится, например, в 4 м 11 см от одной стены и в 1м 44 см от другой. Но и здесь мы ограничены в точности измерения минимальным делением шкалы рулетки (пусть это будет даже миллиметр) и погрешностями измерения и самого прибора, - и в самом лучшем случае нам удастся определить пространственное положение объекта с точностью до минимального деления шкалы. Чем более точный прибор мы будем использовать, тем точнее будут полученные нами результаты, тем ниже будет погрешность измерения и тем меньше будет неопределенность. В принципе, в нашем обыденном мире свести неопределенность к нулю и определить точные координаты книги можно.

И тут мы подходим к самому принципиальному отличию микромира от нашего повседневного физического мира. В обычном мире, измеряя положение и скорость тела в пространстве, мы на него практически не воздействуем. Таким образом, в идеале мы можем одновременно измерить и скорость, и координаты объекта абсолютно точно (иными словами, с нулевой неопределенностью).

В мире квантовых явлений, однако, любое измерение воздействует на систему. Сам факт проведения нами измерения, например, местоположения частицы, приводит к изменению ее скорости, причем непредсказуемому (и наоборот). Вот почему в правой части соотношения Гейзенберга стоит не нулевая, а положительная величина. Чем меньше неопределенность в отношении одной переменной (например, ), тем более неопределенной становится другая переменная (), поскольку произведение двух погрешностей в левой части соотношения не может быть меньше константы в правой его части. На самом деле, если нам удастся с нулевой погрешностью (абсолютно точно) определить одну из измеряемых величин, неопределенность другой величины будет равняться бесконечности, и о ней мы не будем знать вообще ничего. Иными словами, если бы нам удалось абсолютно точно установить координаты квантовой частицы, о ее скорости мы не имели бы ни малейшего представления; если бы нам удалось точно зафиксировать скорость частицы, мы бы понятия не имели, где она находится. На практике, конечно, физикам-экспериментаторам всегда приходится искать какой-то компромисс между двумя этими крайностями и подбирать методы измерения, позволяющие с разумной погрешностью судить и о скорости, и о пространственном положении частиц.

На самом деле, принцип неопределенности связывает не только пространственные координаты и скорость - на этом примере он просто проявляется нагляднее всего; в равной мере неопределенность связывает и другие пары взаимно увязанных характеристик микрочастиц. Путем аналогичных рассуждений мы приходим к выводу о невозможности безошибочно измерить энергию квантовой системы и определить момент времени, в который она обладает этой энергией. То есть, если мы проводим измерение состояния квантовой системы на предмет определения ее энергии, это измерение займет некоторый отрезок времени - назовем его . За этот промежуток времени энергия системы случайным образом меняется - происходят ее флуктуация, - и выявить ее мы не можем. Обозначим погрешность измерения энергии . Путем рассуждений, аналогичных вышеприведенным, мы придем к аналогичному соотношению для и неопределенности времени, которым квантовая частица этой энергией обладала:

Относительно принципа неопределенности нужно сделать еще два важных замечания:

1. он не подразумевает, что какую-либо одну из двух характеристик частицы - пространственное местоположение или скорость - нельзя измерить сколь угодно точно;
2. принцип неопределенности действует объективно и не зависит от присутствия разумного субъекта, проводящего измерения.

Энциклопедия Джеймса Трефила «Природа науки. 200 законов мироздания».

Джеймс Трефил - профессор физики университета Джорджа Мэйсона (США), один из наиболее известных западных авторов научно-популярных книг.

Соотношения неопределённости Гейзенберга

В классической механике состояние материальной точки (классической частицы определяется заданием значений координат, импульса, энергии и т.д.). Микрообъекту не могут быть приписаны перечисленные переменные. Однако, информацию о микрочастицах мы получаем, наблюдая их взаимодействие с приборами представляющие собой макроскопические тела. Поэтому результаты измерений поневоле выражаются в терминах, разработанных для характеристики макротел, следовательно, приписываются и микрочастицам. Например, говорят о состоянии электрона, в котором он имеет какое-то значение энергии или импульса.

Своеобразие свойств микрочастиц проявляется в том, что не для всех переменных получается при измерениях точные значения. Так, например, электрон (и любая другая микрочастица) не может одновременно иметь точных значений координаты х и компоненты импульса Р х. Неопределённость значений x и Р х удовлетворяет соотношению:

Из уравнения (1) следует, что чем меньше неопределённость одной из переменных, тем больше неопределённость другой. Возможно, такое состояние, в котором одна из переменных имеет точное значение, другая переменная при этом оказывается совершенной неопределенной (ее неопределённость равна бесконечности).

– классические в механике пары называются

канонически сопряженными

т.е.

Произведение неопределённостей значений двух сопряженных переменных не может быть по порядку величины меньше постоянной Планка .

Гейзенберг (1901-1976 гг.), немец, Нобелевский лауреат 1932 г., в 1927 г. сформулировал принцип неопределенности, ограничивающий применение к микрообъектам классических понятий и представлений:

– это соотношение означает, что определение энергии с точностью до E должно занять интервал времени, равный по меньшей мере

Попытаемся определить значение координаты х свободно летящей микрочастицы, поставив на ее пути щель шириной х, расположенную перпендикулярно к направлению движения частицы. До прохождения через щель, Р х =0 Þ , зато координата х является совершенно неопределенной. В момент прохождения щель положение меняется. Вместо полной неопределенности х появляется неопределенность х, но это достигается ценой утраты определенности значения P х. Вследствие дифракции появляется некоторая вероятность того, что частица будет двигаться в пределах угла 2j, j – угол, соответствующий первому дифракционному min (интенсивностью высших порядков можно пренебречь).

Краю центрального дифракционного max (первому min) получающемуся от щели шириной х, соответствует угол j, для которого

Соотношение неопределённости показывает в какой мере можно пользоваться понятиями классической механики, в частности, с какой степенью точности можно говорить о траектории микрочастиц.

Подставим вместо

Мы видим, что чем больше масса частицы, тем меньше неопределённости её координаты и скорости, следовательно, c тем большей точностью применимо для неё понятие траектории.

Соотношение неопределённости является одним из фундаментальных положений квантовой механики.

В частности, оно позволяет объяснить тот факт, что электрон не падает на ядро атома, а также оценить размеры простейшего атома и минимальную возможную энергию электрона в таком атоме.

Если бы электрон упал на ядро, его координаты и импульс приняли бы определенные (нулевые) значения, что несовместимо с принципом неопределенности (доказательство от обратного).

Пример Хотя соотношение неопределённости распространяется на частицы любых масс, для макрочастиц оно принципиального значения не имеет. Например, для тела m=1 г., движущегося с =600 м/с, при определении скорости с очень высокой точностью 10 -6 %, неопределенность координаты:

Т.е. очень и очень мала.

Для электрона движущегося с (что соответствует его энергии в 1эВ).

При определении скорости с точностью до 20%

Это очень большая неопределенность, т.к. расстояние между узлами кристаллической решетки твердых тел порядка единиц ангстрем.

Таким образом, любая квантовая система не может находится в состояниях, в которых координаты ее центра инерции (для частицы – координаты частицы) и импульс одновременно принимает вполне определенные значения.

В квантовой механике теряет смысл понятие траектории, т.к. если мы точно определим значения координат, то ничего не можем сказать о направлении ее движения (т.е. импульса), и наоборот.

Вообще говоря, принцип неопределенности справедлив как для макро-, так и для микрообъектов. Однако для макрообъектов значения неопределенности, оказывается пренебрежимо малыми по отношению к значениям самих этих величин, тогда как в микромире эти неопределённости оказываются существенными.

Невозможно одновременно с точностью определить координаты и скорость квантовой частицы.

В обыденной жизни нас окружают материальные объекты, размеры которых сопоставимы с нами: машины, дома, песчинки и т. д. Наши интуитивные представления об устройстве мира формируются в результате повседневного наблюдения за поведением таких объектов. Поскольку все мы имеем за плечами прожитую жизнь, накопленный за ее годы опыт подсказывает нам, что раз всё наблюдаемое нами раз за разом ведет себя определенным образом, значит и во всей Вселенной, во всех масштабах материальные объекты должны вести себя аналогичным образом. И когда выясняется, что где-то что-то не подчиняется привычным правилам и противоречит нашим интуитивным понятиям о мире, нас это не просто удивляет, а шокирует.

В первой четверти ХХ века именно такова была реакция физиков, когда они стали исследовать поведение материи на атомном и субатомном уровнях. Появление и бурное развитие квантовой механики открыло перед нами целый мир, системное устройство которого попросту не укладывается в рамки здравого смысла и полностью противоречит нашим интуитивным представлениям. Но нужно помнить, что наша интуиция основана на опыте поведения обычных предметов соизмеримых с нами масштабов, а квантовая механика описывает вещи, которые происходят на микроскопическом и невидимом для нас уровне, — ни один человек никогда напрямую с ними не сталкивался. Если забыть об этом, мы неизбежно придем в состояние полного замешательства и недоумения. Для себя я сформулировал следующий подход к квантово-механическим эффектам: как только «внутренний голос» начинает твердить «такого не может быть!», нужно спросить себя: «А почему бы и нет? Откуда мне знать, как всё на самом деле устроено внутри атома? Разве я сам туда заглядывал?» Настроив себя подобным образом, вам будет проще воспринять статьи этой книги, посвященные квантовой механике.

Принцип Гейзенберга вообще играет в квантовой механике ключевую роль хотя бы потому, что достаточно наглядно объясняет, как и почему микромир отличается от знакомого нам материального мира. Чтобы понять этот принцип, задумайтесь для начала о том, что значит «измерить» какую бы то ни было величину. Чтобы отыскать, например, эту книгу, вы, войдя в комнату, окидываете ее взглядом, пока он не остановится на ней. На языке физики это означает, что вы провели визуальное измерение (нашли взглядом книгу) и получили результат — зафиксировали ее пространственные координаты (определили местоположение книги в комнате). На самом деле процесс измерения происходит гораздо сложнее: источник света (Солнце или лампа, например) испускает лучи, которые, пройдя некий путь в пространстве, взаимодействуют с книгой, отражаются от ее поверхности, после чего часть из них доходит до ваших глаз, проходя через хрусталик, фокусируется, попадает на сетчатку — и вы видите образ книги и определяете ее положение в пространстве. Ключ к измерению здесь — взаимодействие между светом и книгой. Так и при любом измерении, представьте себе, инструмент измерения (в данном случае, это свет) вступает во взаимодействие с объектом измерения (в данном случае, это книга).

В классической физике, построенной на ньютоновских принципах и применимой к объектам нашего обычного мира, мы привыкли игнорировать тот факт, что инструмент измерения, вступая во взаимодействие с объектом измерения, воздействует на него и изменяет его свойства, включая, собственно, измеряемые величины. Включая свет в комнате, чтобы найти книгу, вы даже не задумываетесь о том, что под воздействием возникшего давления световых лучей книга может сдвинуться со своего места, и вы узнаете ее искаженные под влиянием включенного вами света пространственные координаты. Интуиция подсказывает нам (и, в данном случае, совершенно правильно), что акт измерения не влияет на измеряемые свойства объекта измерения. А теперь задумайтесь о процессах, происходящих на субатомном уровне. Допустим, мне нужно зафиксировать пространственное местонахождение электрона. Мне по-прежнему нужен измерительный инструмент, который вступит во взаимодействие с электроном и возвратит моим детекторам сигнал с информацией о его местопребывании. И тут же возникает сложность: иных инструментов взаимодействия с электроном для определения его положения в пространстве, кроме других элементарных частиц, у меня нет. И, если предположение о том, что свет, вступая во взаимодействие с книгой, на ее пространственных координатах не сказывается, относительно взаимодействия измеряемого электрона с другим электроном или фотонами такого сказать нельзя.

В начале 1920-х годов, когда произошел бурный всплеск творческой мысли, приведший к созданию квантовой механики, эту проблему первым осознал молодой немецкий физик-теоретик Вернер Гейзенберг. Начав со сложных математических формул, описывающих мир на субатомном уровне, он постепенно пришел к удивительной по простоте формуле, дающий общее описание эффекта воздействия инструментов измерения на измеряемые объекты микромира, о котором мы только что говорили. В результате им был сформулирован принцип неопределенности , названный теперь его именем:

неопределенность значения координаты x неопределенность скорости > h /m ,

математическое выражение которого называется соотношением неопределенностей Гейзенберга :

Δx х Δv > h /m

где Δx — неопределенность (погрешность измерения) пространственной координаты микрочастицы, Δv — неопределенность скорости частицы, m — масса частицы, а h — постоянная Планка , названная так в честь немецкого физика Макса Планка, еще одного из основоположников квантовой механики. Постоянная Планка равняется примерно 6,626 x 10 -34 Дж·с, то есть содержит 33 нуля до первой значимой цифры после запятой.

Термин «неопределенность пространственной координаты» как раз и означает, что мы не знаем точного местоположения частицы. Например, если вы используете глобальную систему рекогносцировки GPS, чтобы определить местоположение этой книги, система вычислит их с точностью до 2-3 метров. (GPS, Global Positioning System — навигационная система, в которой задействованы 24 искусственных спутника Земли. Если у вас, например, на автомобиле установлен приемник GPS, то, принимая сигналы от этих спутников и сопоставляя время их задержки, система определяет ваши географические координаты на Земле с точностью до угловой секунды.) Однако, с точки зрения измерения, проведенного инструментом GPS, книга может с некоторой вероятностью находиться где угодно в пределах указанных системой нескольких квадратных метров. В таком случае мы и говорим о неопределенности пространственных координат объекта (в данном примере, книги). Ситуацию можно улучшить, если взять вместо GPS рулетку — в этом случае мы сможем утверждать, что книга находится, например, в 4 м 11 см от одной стены и в 1м 44 см от другой. Но и здесь мы ограничены в точности измерения минимальным делением шкалы рулетки (пусть это будет даже миллиметр) и погрешностями измерения и самого прибора, — и в самом лучшем случае нам удастся определить пространственное положение объекта с точностью до минимального деления шкалы. Чем более точный прибор мы будем использовать, тем точнее будут полученные нами результаты, тем ниже будет погрешность измерения и тем меньше будет неопределенность. В принципе, в нашем обыденном мире свести неопределенность к нулю и определить точные координаты книги можно.

И тут мы подходим к самому принципиальному отличию микромира от нашего повседневного физического мира. В обычном мире, измеряя положение и скорость тела в пространстве, мы на него практически не воздействуем. Таким образом, в идеале мы можем одновременно измерить и скорость, и координаты объекта абсолютно точно (иными словами, с нулевой неопределенностью).

В мире квантовых явлений, однако, любое измерение воздействует на систему. Сам факт проведения нами измерения, например, местоположения частицы, приводит к изменению ее скорости, причем непредсказуемому (и наоборот). Вот почему в правой части соотношения Гейзенберга стоит не нулевая, а положительная величина. Чем меньше неопределенность в отношении одной переменной (например, Δx ), тем более неопределенной становится другая переменная (Δv ), поскольку произведение двух погрешностей в левой части соотношения не может быть меньше константы в правой его части. На самом деле, если нам удастся с нулевой погрешностью (абсолютно точно) определить одну из измеряемых величин, неопределенность другой величины будет равняться бесконечности, и о ней мы не будем знать вообще ничего. Иными словами, если бы нам удалось абсолютно точно установить координаты квантовой частицы, о ее скорости мы не имели бы ни малейшего представления; если бы нам удалось точно зафиксировать скорость частицы, мы бы понятия не имели, где она находится. На практике, конечно, физикам-экспериментаторам всегда приходится искать какой-то компромисс между двумя этими крайностями и подбирать методы измерения, позволяющие с разумной погрешностью судить и о скорости, и о пространственном положении частиц.

На самом деле, принцип неопределенности связывает не только пространственные координаты и скорость — на этом примере он просто проявляется нагляднее всего; в равной мере неопределенность связывает и другие пары взаимно увязанных характеристик микрочастиц. Путем аналогичных рассуждений мы приходим к выводу о невозможности безошибочно измерить энергию квантовой системы и определить момент времени, в который она обладает этой энергией. То есть, если мы проводим измерение состояния квантовой системы на предмет определения ее энергии, это измерение займет некоторый отрезок времени — назовем его Δt . За этот промежуток времени энергия системы случайным образом меняется — происходят ее флуктуация , — и выявить ее мы не можем. Обозначим погрешность измерения энергии ΔЕ. Путем рассуждений, аналогичных вышеприведенным, мы придем к аналогичному соотношению для ΔЕ и неопределенности времени, которым квантовая частица этой энергией обладала:

ΔЕ Δt > h

Относительно принципа неопределенности нужно сделать еще два важных замечания:

он не подразумевает, что какую-либо одну из двух характеристик частицы — пространственное местоположение или скорость — нельзя измерить сколь угодно точно;

принцип неопределенности действует объективно и не зависит от присутствия разумного субъекта, проводящего измерения.

Иногда вам могут встретиться утверждения, будто принцип неопределенности подразумевает, что у квантовых частиц отсутствуют определенные пространственные координаты и скорости, или что эти величины абсолютно непознаваемы. Не верьте: как мы только что видели, принцип неопределенности не мешает нам с любой желаемой точностью измерить каждую из этих величин. Он утверждает лишь, что мы не в состоянии достоверно узнать и то, и другое одновременно. И, как и во многом другом, мы вынуждены идти на компромисс. Опять же, писатели-антропософы из числа сторонников концепции «Новой эры» иногда утверждают, что, якобы, поскольку измерения подразумевают присутствие разумного наблюдателя, то, значит, на некоем фундаментальном уровне человеческое сознание связано с Вселенским разумом, и именно эта связь обусловливает принцип неопределенности. Повторим по этому поводу еще раз: ключевым в соотношении Гейзенберга является взаимодействие между частицей-объектом измерения и инструментом измерения, влияющим на его результаты. А тот факт, что при этом присутствует разумный наблюдатель в лице ученого, отношения к делу не имеет; инструмент измерения в любом случае влияет на его результаты, присутствует при этом разумное существо или нет.

См. также:

Werner Karl Heisenberg, 1901-76

Немецкий физик-теоретик. Родился в Вюрцбурге. Его отец был профессором византологии Мюнхенского университета. Помимо блестящих математических способностей с детства проявлял склонность к музыке и вполне состоялся как пианист. Еще школьником был членом народной милиции, поддерживавшей порядок в Мюнхене в смутное время, наступившее после поражения Германии в I мировой войне. В 1920 году стал студентом кафедры математики Мюнхенского университета, однако, столкнувшись с отказом в посещении интересующего его семинара по актуальным в те годы вопросам высшей математики, добился перевода на кафедру теоретической физики. В те годы весь мир физиков жил под впечатлением нового взгляда на строение атома (см. Атом Бора), и все теоретики из их числа понимали, что внутри атома происходит нечто странное.

Защитив диплом в 1923 году, Гейзенберг приступил к работе в Гёттингене над проблемами строения атома. В мае 1925 года у него случился острый приступ сенной лихорадки, вынудивший молодого ученого провести несколько месяцев в полном уединении на маленьком, отрезанном от внешнего мира острове Гельголанд, и этой вынужденной изоляцией от внешнего мира он воспользовался столь же продуктивно, как Исаак Ньютон многомесячным заключением в карантинном чумном бараке в далеком 1665 году. В частности, за эти месяцы ученым была разработана теория матричной механики — новый математический аппарат зарождающейся квантовой механики . Матричная механика, как показало время, в математическом понимании эквивалентна появившейся год спустя квантово-волновой механике, заложенной в уравнении Шрёдингера , с точки зрения описания процессов квантового мира. Однако на практике использовать аппарат матричной механики оказалось труднее, и сегодня физики-теоретики, в основном, пользуются представлениями волновой механики.

В 1926 году Гейзенберг стал ассистентом Нильса Бора в Копенгагене. Именно там в 1927 году он и сформулировал свой принцип неопределенности — и можно с основанием утверждать, что это стало его самым большим вкладом в развитие науки. В том же году Гейзенберг стал профессором Лейпцигского университета — самым молодым профессором в истории Германии. Начиная с этого момента, он вплотную занялся созданием единой теории поля (см. Универсальные теории) — по большому счету, безуспешно. За ведущую роль в разработке квантово-механической теории в 1932 году Гейзенберг был удостоен Нобелевской премии по физике за создание квантовой механики.

С исторической же точки зрения личность Вернера Гейзенберга, вероятно, навсегда останется синонимом неопределенности несколько иного рода. С приходом к власти партии национал-социалистов в его биографии открылась самая труднопонимаемая страница. Во-первых, будучи физиком-теоретиком, он оказался вовлеченным в идеологическую борьбу, в которой теоретическая физика, как таковая, получила ярлык «жидовской физики», а сам Гейзенберг был публично назван новыми властями «белым евреем». Лишь после ряда личных обращений к самым высокопоставленным лицам в рядах нацистского руководства ученому удалось остановить кампанию публичной травли в свой адрес. Гораздо проблематичнее выглядит роль Гейзенберга в германской программе разработки ядерного оружия в годы второй мировой войны. В то время, когда большинство его коллег эмигрировали или вынуждены были бежать из Германии под давлением гитлеровского режима, Гейзенберг возглавил германскую национальную ядерную программу.

Под его руководством программа всецело сконцентрировалась на постройке ядерного реактора, однако у Нильса Бора при его знаменитой встрече с Гейзенбергом в 1941 году сложилось впечатление, что это лишь прикрытие, а на самом деле в рамках этой программы разрабатывается ядерное оружие. Так что же произошло на самом деле? Действительно ли Гейзенберг умышленно и по велению совести завел германскую программу разработки атомной бомбы в тупик и направил ее на мирные рельсы, как он впоследствии утверждал? Или просто он допустил какие-то просчеты в своем понимании процессов ядерного распада? Как бы то ни было, Германия атомного оружия создать не успела. Как показывает блестящая пьеса Майкла Фрэйна (Michael Frayn) «Копенгаген», эта историческая загадка, вероятно, даст достаточно материалов еще не для одного поколения беллетристов.

После войны Гейзенберг выступил активным сторонником дальнейшего развития западногерманской науки и ее воссоединения с международным научным сообществом. Его влияние послужило важным инструментом, позволившим добиться безъядерного статуса вооруженных сил Западной Германии в послевоенный период.

Гипотеза Де Бройля. Электронная микроскопия. Волновая функция.

Волны де Бройля

В начале XX века картина мира выглядела очень чётко и не представляла вариантов для толкования:

Каких частиц - это отдельный вопрос. Но именно так: или частицы иливолна - и никак иначе! Всё ясно и понятно.

Такая идиллия продолжалась до 1924 года, пока французский физик Луи де Бройль не пришёл к выводу, что волновые свойства присущи абсолютно всем материальным объектам .

На эту гипотезу де Бройля натолкнуло сходство уравнений, описывающих поведение лучей света методами геометрической оптики, и движение частиц в механике методом уравнений Гамильтона .

Предположение было неожиданным, красивым и многое объясняло, но нужно было его экспериментальное подтверждение, иначе всё так и осталось бы на уровне гипотезы.

Первое экспериментальное подтверждение гипотезы де Бройля в 1927 году получили американские исследователи Дэвидсон и Джермер . Они изучали угловое распределение электронов, рассеивающихся на монокристалле никеля.

Ионизационной камерой 4 , с присоединённым с ней гальванометром 5 , по силе возникающего тока I измерялось число электронов, отражённых от кристалла под углом , равным углу падения, то есть - интенсивность отражённого электронного пучка .

2. Если же угол падения электронного пучка на кристалл менялся , а ускоряющее напряжение Uоставалось неизменным , то интенсивность отражённого пучка имела ярко выраженные максимумы при углах падения, удовлетворяющих условию Вульфа-Брэгга.

Способ нахождения импульса зависит от скорости, которую имеет частица. Если скорость движения частицы во много раз меньше скорости света в вакууме, то импульс (количество движения) определяется привычной формулой.

Выясним, какое выражение (2 или 3) надо использовать для нахождения импульса в данном случае. Для этого сравним энергию электронов в условиях опыта Дэвидсона и Джермера с их энергией покоя.

В проведённых экспериментах ускоряющее напряжение было на уровне 400В . В этом случае энергия электронов не превышала E e = eU = 400 эВ . Энергия же покоя электрона E o = m o c 2 = 0,511 МэВ = 511000 эВ . Следовательно, E e <, электроны являются нерелятивистскими и для нахождения их импульса можно использовать выражение (2).