Арифметическое решение. Решение математических задач

Анализируя данные задачи, наблюдая, что общего в задачах с точки зрения математики, в чем различие, найти неординарный способ решения задач, создать копилку приёмов решения задач, обучиться решению одной задачи различными способами.Тренажёр задач, сгруппированных единой тематикой "Арифметические способы решения задач", задачи для работы в группе и для индивидуальной работы.

«задачи для тренажера методичка»

Тренажёр: «Арифметические способы решения задач»

«Сравнение чисел по сумме и разности».

В двух корзинах 80 боровиков. В первой корзине на 10 боровиков меньше, чем во второй. Сколько боровиков в каждой корзине?

В швейное ателье поступило 480 м джинсовой ткани и драпа. Джинсовой ткани поступило на 140 м больше, чем драпа. Сколько метров джинсовой ткани поступило в ателье?

Модель телебашни состоит из двух блоков. Нижний блок на 130 см короче верхнего. Какова высота верхнего и нижнего блоков, если высота башни 4 м 70 см?

В двух коробках 16 кг печенья. Найдите массу печенья в каждой коробке, если в одной из них печенья на 4 кг больше.

Задача из «Арифметики» Л. Н. Толстого.

а) У двух мужиков 35 овец. У одного на 9 овец больше, чем у другого. Сколько овец у каждого?

б) У двух мужиков 40 овец, а у одного меньше против другого на 6 овец. Сколько овец у каждого мужика?

В гараже стояли 23 легковых машин и мотоциклов с коляской. У машин и мотоциклов 87 колес. Сколько в гараже мотоциклов, если в каждую коляску положили запасное колесо?

«Круги Эйлера».

В доме 120 жильцов, у некоторых из них есть собаки и кошки. На рисунке круг С изображает жильцов с собаками, круг К – жильцов с кошками. Сколько жильцов имеют и собак, и кошек? Сколько жильцов имеют только собак? Сколько жильцов имеют только кошек? Сколько жильцов не имеют ни собак, ни кошек?

Из 52 школьников 23 занимаются волейболом и 35 баскетболом, а 16 – и волейболом, и баскетболом. Остальные не занимаются ни одним из этих видов спорта. Сколько школьников не занимаются ни одним из этих видов спорта?

На рисунке круг А изображает всех сотрудников университета, знающих английский язык, круг Н – знающих немецкий и круг Ф – французский. Сколько сотрудников университета знает: а) 3 языка; б) английский и немецкий; в) французский? Сколько всего сотрудников университета? Сколько из них не говорит по – французски?

В международной конференции участвовало 120 человек. Из них 60 владеют русским языком, 48 – английским, 32 – немецким, 21 – русским и немецким, 19 – английским и немецким, 15 – русским и английским, а 10 человек владели всеми тремя языками. Сколько участников конференции не владеют ни одним из этих языков?

Поют в хоре и занимаются танцами 82 студента, занимаются танцами и художественной гимнастикой 32 студента, а поют в хоре и занимаются художественной гимнастикой 78 студентов. Сколько студентов поют в хоре, занимаются танцами и художественной гимнастикой отдельно, если известно, что каждый студент занимается только чем-то одним?

Каждая семья, живущая в нашем доме, выписывает или газету, или журнал, или и то и другое. 75 семей выписывают газету, а 27 семей выписывают журнал, и лишь 13 семей выписывают и журнал и газету. Сколько семей живет в нашем доме?

«Метод уравнивания данных».

В 3 маленьких и 4 больших букетах 29 цветков, а в 5 маленьких и 4 больших букетах 35 цветков. Сколько цветков в каждом букете в отдельности?

Масса 2 плиток шоколада – большой и маленькой – 120 г, а 3 больших и 2 маленьких – 320 г. Какова масса каждой плитки?

5 яблок и 3 груши весят 810 г, а 3 яблока и 5 груш весят 870 г. Сколько весит одно яблока? Одна груша?

Четыре утенка и пять гусят весят 4кг 100г, пять утят и четыре гусенка весят 4 кг. Сколько весит один утенок?

Для одной лошади и двух коров выдают ежедневно 34 кг сена, а для двух лошадей и одной коровы - 35 кг сена. Сколько сена выдают одной лошади и сколько одной корове?

3 красных кубика и 6 синих кубиков стоят 165тг руб. Причём, пять красных дороже двух синих на 95 тг. Сколько стоит каждый кубик?

2 альбома для рисования и 3 альбома для марок вместе стоят 160 руб., причём 3 альбома для рисования стоят на 45 руб. дороже двух альбомов для марок.

«Графы».

Сережа решил подарить маме на день рождения букет цветов (розы, тюльпаны или гвоздики) и поставить их или в вазу, или в кувшин. Сколькими способами он может это сделать?

Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр 0, 1, 3, 5, если цифры в записи числа не повторяются?

В среду в 5 классе пять уроков: математика, физкультура, история, русский язык и естествознание. Сколько различных вариантов расписания на среду можно составить?

«Старинный способ решения задач на смешение веществ».

Как смешать масла? У некоторого человека были на продажу масла двух сортов: одно ценою 10 гривен за ведро, другое же 6 гривен за ведро. Захотелось ему сделать из этих двух масел, смешав их, масло ценою 7 гривен за ведро. Какие части этих двух масел нужно взять, чтобы получить ведро масла стоимостью 7 гривен?

Сколько надо взять карамели по цене 260 тг за 1 кг и по цене 190 тг за 1 кг, чтобы составить 21 кг смеси по цене 210 тг за килограмм?

Некто имеет чай трех сортов – цейлонский по 5 гривен за фунт, индийский по 8 гривен за фунт и китайский по 12 гривен за фунт. В каких долях нужно смешать эти три сорта, чтобы получить чай стоимостью 6 гривен за фунт?

Некто имеет серебро разных проб: одно – 12 – ой пробы, другое – 10 – ой пробы, третье – 6 – ой пробы. Сколько какого серебра надо взять, чтобы получить 1 фунт серебра 9 – ой пробы?

Купец купил 138 аршин черного и синего сукна за 540 руб. Спрашивается, сколько аршин купил он и того и другого, если синее стоило 5 руб. за аршин, а черное - 3 руб.?

Разные задачи.

Для новогодних подарков купили 87 кг фруктов, причем яблок было на 17 кг больше, чем апельсинов. Сколько яблок и сколько апельсинов купили?

На новогодней елке детей в карнавальных костюмах снежинок было в 3 раза больше, чем в костюмах Петрушек. Сколько было детей в костюмах Петрушек, если их было на 12 меньше?

Маша получила в 2 раза меньше новогодних поздравлений, чем Коля. Сколько поздравлений получил каждый, если всего их было 27?(9 и 18).

Для новогодних призов было куплено 28 кг конфет. Конфеты “Ласточка” составили 2 части, “Муза” - 3 части, “Ромашка” - 2 части. Сколько конфет каждого сорта купили?(8, 8, 12).

На складе есть 2004 кг муки. Можно ли её разложить в мешки массой в 9 кг и массой в 18 кг?

В магазине "Все для чая"" есть 5 разных чашек и 3 разных блюдца. Сколькими способами можно купить чашку с блюдцем?

Лошадь съедает стог сена за 2 дня, корова - за 3, овца - за 6. За сколько дней они съедят стог, если будут есть его вместе?

Просмотр содержимого документа
«конспект урока ариф сп»

« Арифметические способы решения текстовых задач».

Человеку, изучающему математику, часто полезнее решить одну и ту же задачу тремя различными способами, чем решить три – четыре различные задачи. Решая одну задачу различными способами, можно путем сравнения выяснить, какой из них короче и эффективнее. Так вырабатывается опыт.

У.У.Сойер

Цель урока : использовать знания, полученные на предыдущих уроках, проявить фантазию, интуицию, воображение, смекалку для решения тестовых задач различными способами.

Задачи урока: образовательные : анализируя данные задачи, наблюдая, что общего в задачах с точки зрения математика, в чем различие, найти неординарный способ решения задач, создать копилку приёмов решения задач, обучиться решению одной задачи различными способами.

Развивающие : ощутить необходимость самореализации, оказавшись в определенной ролевой ситуации.

Воспитательные: развивают личностные качества, формируют коммуникативную культуру.

Средства обучения : тренажёр задач, сгруппированных единой тематикой "Арифметические способы решения задач", задачи для работы в группе и для индивидуальной работы.

ХОД УРОКА.

I. Организационный момент

Здравствуйте, ребята. Садитесь. Сегодня у нас занятие по теме «Арифметические способы решения текстовых задач».

II. Актуализация знаний.

Математика - одна из древних и важных наук. Многими математическими знаниями люди пользовались еще в глубокой древности - тысячи лет назад. Они были необходимы купцам и строителям, воинам и землемерам, жрецам и путешественникам.

И в наши дни ни одному человеку не обойтись в жизни без хорошего знания математики. Основа хорошего понимания математики – умение считать, думать, рассуждать, находить удачные решения задач.

Сегодня мы рассмотрим арифметические способы решения текстовых задач, разберем задачи старинные, дошедшие до нас из разных стран и времен, задачи на уравнивания, на сравнение по сумме и разности и другие.

Цель занятия – вовлечь вас в удивительный мир красоты, богатства и многообразия – мир интересных задач. А, значит, познакомить с некоторыми арифметическими способами, приводящими к весьма изящным и поучительным решениям.

Задача – это почти всегда поиск, раскрытие каких – то свойств и отношений, а средства ее решения – это интуиция и догадка, эрудиция и владение методами математики.

В качестве основных в математике различают арифметический и алгебраический способы решения задач.

Решить задачу арифметическим методом – значит найти ответ на требование задачи посредством выполнения арифметических действий над числами.

При алгебраическом способе ответ на вопрос задачи находится в результате составления и решения уравнения.

Не секрет, что человек, владеющий разными инструментами и применяющий их в зависимости от характера выполняемой работы, добивается значительно лучших результатов, чем человек, владеющий лишь одним универсальным инструментом.

Существует много арифметических способов и нестандартных приемов решения задач. С некоторыми из них я сегодня хочу вас познакомить.

1.Метод решения текстовых задач «Сравнение чисел по сумме и разности».

Задача: Бабушка осенью с дачного участка собрала 51 кг моркови и капусты. Капусты было на 15 кг больше, чем моркови. Сколько килограммов моркови и сколько килограммов капусты собрала бабушка?

Вопросы, которые соответствуют пунктам алгоритма решения задач данного класса.

1. Выяснить о каких величинах идет речь в задаче

О количестве моркови и капусты, которые собрала бабушка, вместе и в отдельности.

2. Указать, значения каких величин необходимо найти в задаче.

Сколько килограммов моркови и сколько килограммов капусты собрала бабушка?

3. Назвать зависимость между величинами в задаче.

В задаче говорится о сумме и разности величин.

4. Назвать сумму и разность значений величин.

Сумма – 51 кг, разность – 15 кг.

5. Уравниванием величин найти удвоенное значение меньшей величины (от суммы величин отнять разность величин).

51 – 15 = 36 (кг) – удвоенное количество моркови.

6. Зная удвоенное значение, найти значение меньшей величины (удвоенное значение разделить на два).

36: 2 = 18 (кг) – моркови.

7. Используя разность величин и значение меньшей величины, найти значение большей величины.

18 + 15 = 33 (кг) – капусты. Ответ: 18 кг, 33 кг. Задача. В клетке находятся фазаны и кролики. Всего 6 голов и 20 ног. Сколько кроликов и сколько фазанов в клетке ?
Способ 1. Метод подбора:
2 фазана, 4 кролика.
Проверка: 2 + 4 = 6 (голов); 4 4 + 2 2 = 20 (ног).
Это метод подбора (от слова “подбирать”). Преимущества и недостатки у этого метода решения (трудно подбирать, если числа большие) Таким образом, появляется стимул для поиска более удобных методов решения.
Итоги обсуждения: метод подбора удобен при действиях с маленькими числами, при увеличении величин он становится нерациональным и трудоемким.
Способ 2. Полный перебор вариантов.

Составляется таблица:

Ответ: 4 кролика, 2 фазана.
Название этому методу - “полный”. Итоги обсуждения: метод полного перебора удобен, но при больших величинах достаточно трудоемок.
Способ 3. Метод предположения.

Возьмем старинную китайскую задачу:

В клетке находится неизвестное число фазанов и кроликов. Известно, что вся клетка содержит 35 голов и 94 ноги. Узнать число фазанов и число кроликов. (Задача из китайской математической книги «Киу-Чанг», составленной за 2600 лет до н. э.).

Приведем диалог, найденный у старых мастеров математики. - Представим, что на клетку, в которой сидят фазаны и кролики, мы положили морковку. Все кролики встанут на задние лапки, чтобы дотянуться до морковки. Сколько ног в этот момент будет стоять на земле?

Но в условии задачи даны 94 ноги, где же остальные?

Остальные ноги не посчитаны – это передние ноги кроликов.

Сколько же их?

24 (94 – 70 = 24)

Сколько же кроликов?

12 (24: 2 = 12)

А фазанов?

23 (35- 12 = 23)

Название этого метода – “метод предположения по недостатку”. Попробуйте сами объяснить это название (у сидящих в клетке 2 или 4 ноги, а мы предположили, что у всех наименьшее из этих чисел – 2 ноги).

Другой способ решения этой же задачи. - Давайте попробуем решить эту задачу - “методом предположения по избытку”: Представим себе, что у фазанов появилось еще по две ноги, тогда всех ног будет 35 × 4 =140.

Но по условию задачи, всего 94 ноги, т.е. 140 – 94= 46 ноги лишние, чьи они? Это ноги фазанов, у них появилась лишняя пара ног. Значит, фазанов будет 46: 2 = 23, тогда кроликов 35 -23 = 12.
Итоги обсуждения: метод предположения имеет два варианта – по недостатку и по избытку ; по сравнению с предыдущими методами он удобнее, так как менее трудоемок.
Задача. По пустыне медленно идет караван верблюдов, всего их 40. Если пересчитать все горбы у этих верблюдов, то получится 57 горбов. Сколько в этом караване одногорбых верблюдов? 1 способ. Решить с помощью уравнения.

Кол- во горбов у одного Кол- во верблюдов Всего горбов

2 х 2 х

1 40 - х 40 - х 57

2 х + 40 - х = 57

х + 40 = 57

х = 57 -40

х = 17

2 способ.

- Сколько горбов может быть у верблюдов?

(их может быть два или один)

Давайте каждому верблюду на один горб прикрепим цветок.

- Сколько цветков потребуется? (40 верблюдов – 40 цветов)

- Сколько горбов останется без цветов?

(Таких будет 57-40=17 . Это вторые горбы двугорбых верблюдов).

Сколько двугорбых верблюдов? (17)

Сколько одногорбых верблюдов? (40-17=23)

Каков же ответ задачи? (17 и 23 верблюдов).

Задача. В гараже стояли легковые машины и мотоциклы с колясками, всех вместе 18. У машин и мотоциклов – 65 колес. Сколько мотоциклов с колясками стояло в гараже, если у машин 4 колеса, а у мотоцикла – 3 колеса?

1 способ. С помощью уравнения:

Кол- во колес у 1 Кол- во Всего колес

Маш. 4 х 4 х

Мот. 3 18 - х 3(18 - х ) 65

4 х + 3(18 - х ) = 65

4 х + 5 4 -3 х =65

х = 65 - 54

х = 11, 18 – 11 = 7.

Переформулируем задачу : Грабители, пришедшие в гараж, где стояли 18 машин и мотоциклов с колясками, сняли с каждой машины и каждого мотоцикла по три колеса и унесли. Сколько колес осталось в гараже, если их было 65? Машине или мотоциклу они принадлежат?

3×18=54 –столько колес унесли грабители,

65- 54 = 11 – столько колес осталось (машин в гараже),

18 - 11 = 7 –мотоциклов.

Ответ: 7 мотоциклов.

Самостоятельно:

В гараже стояли 23 легковых машин и мотоциклов с коляской. У машин и мотоциклов 87 колес. Сколько в гараже мотоциклов, если в каждую коляску положили запасное колесо?

- Сколько стало колес у машин и мотоциклов вместе? (4×23=92)

- Сколько запасных колес положили в каждую коляску? (92 - 87= 5)

- Сколько машин в гараже? (23 - 5=18).

Задача. В нашем классе можно изучать английский или французский языки (по выбору). Известно, что английский язык изучают 20 школьников, а французский – 17. Всего в классе 32 ученика. Сколько учащихся изучают оба языка: и английский и французский?

Изобразим два круга. В одном будем фиксировать количество школьников, изучающих английский язык, в другом –школьников, изучающих французский. Так как по условию задачи есть учащиеся, изучающие оба языка: и английский и французский , то круги будут иметь общую часть. В условии этой задачи не так легко разобраться. Если сложить 20 и 17, то получится больше чем 32. Это объясняется тем, что некоторых школьников мы здесь учли дважды – а именно тех, которые изучают оба языка: и английский и французский. Значит, (20 + 17) – 32 = 5 учащихся изучают оба языка: и английский и французский.

Англ. Фран.

20 уч. 17 уч.

(20 + 17) – 32 = 5 (учащихся).

Схемы, подобные той, которой мы воспользовались при решении задачи, в математике называют кругами (или диаграммами) Эйлера. Леонард Эйлер (1736 год) родился в Швейцарии. Но долгие годы жил работал в России.

Задача. Каждая семья, живущая в нашем доме, выписывает или газету, или журнал, или и то и другое. 75 семей выписывают газету, а 27 семей выписывают журнал, и лишь 13 семей выписывают и журнал и газету. Сколько семей живет в нашем доме?

Газеты Журналы

По рисунку видно, что в доме живут 89 семей.

Задача. В международной конференции участвовало 120 человек. Из них 60 владеют русским языком, 48 – английским, 32 – немецким, 21 – русским и немецким, 19 – английским и немецким, 15 – русским и английским, а 10 человек владели всеми тремя языками. Сколько участников конференции не владеют ни одним из этих языков?

Русский 15 Английский

21 10 19

Немецкий

Решение: 120 – (60 + 48 + 32 -21 – 19 – 15 + 10) = 25 (чел.).

Задача. Три котенка и два щенка весят 2 кг 600 г, а два котенка и три щенка весят 2 кг 900 г. Сколько весит щенок?

3 котенка и 2 щенка – 2кг 600 г

2 котенка и 3щенка – 2кг 900 г.

Из условия следует, что 5 котят и 5 щенят весят 5 кг 500 г. Значит, 1 котенок и 1 щенок весят 1 кг 100 г

2 кот.и 2 щен. весят 2 кг 200 г

Сравним условия –

2 котенка + 3щенка =2кг 900 г

2 котенка + 2 щенка = 2 кг 200 г, видим, что щенок весит 700 г.

Задача. Для одной лошади и двух коров выдают ежедневно 34 кг сена, а для двух лошадей и одной коровы - 35 кг сена. Сколько сена выдают одной лошади и сколько одной корове?

Запишем краткое условие задачи:

1 лошади и 2 коров -34кг.

2 лошадей и 1 коров -35кг.

Можно ли узнать, сколько сена потребуется для 3 лошадей и 3 коров?

(для 3 лошадей и 3 коров – 34+35=69 кг)

Можно ли узнать, сколько сена потребуется для одной лошади и одной коровы? (69: 3 – 23кг)

Сколько сена потребуется для одной лошади? (35-23=12кг)

Сколько сена потребуется для одной коровы? (23 -13 =11кг)

Ответ: 12кг и 11 кг.

Задача. Мадина решила позавтракать в школьном буфете. Изучи меню и ответь, сколькими способами она может выбрать напиток и кондитерское изделие?

Давайте предположим, что из напитков Мадина выберет чай. Какое кондитерское изделие она может подобрать к чаю? (чай – ватрушка, чай – печенье, чай – булка)

Сколько способов? (3)

А если компот? (тоже 3)

Как же узнать, сколько способов может Мадина использовать, чтобы выбрать себе обед? (3+3+3=9)

Да, вы правы. Но чтобы нам было легче решать такую задачу, мы будем использовать графы. Слово «граф» в математике означает картинку, где нарисовано несколько точек, некоторые из которых соединены линиями. Обозначим напитки и кондитерские изделия точками и соединим пары тех блюд, которые выберет Мадина.

чай молоко компот

ватрушка печенье булочка

Теперь сосчитаем количество линий. Их 9. Значит, существует 9 способов выбора блюд.

Задача. Сережа решил подарить маме на день рождения букет цветов (розы, тюльпаны или гвоздики) и поставить их или в вазу, или в кувшин. Сколькими способами он может это сделать?

Как думаете, сколькими способами? (3)

Почему? (цветов 3)

Да. Но еще есть разная посуда: или ваза, или кувшин. Давай попробуем выполнить задачу графически.

ваза кувшин

розы тюльпаны гвоздики

Посчитайте линии. Сколько их? (6)

Значит, сколько существует способов выбора у Сережи? (6)

Итог урока.

Сегодня мы решили ряд задач. Но работа не завершена, есть желание ее продолжить, и надеюсь, что это поможет вам успешно решать текстовые задачи.

Известно, что решение задач – это практическое искусство, подобное плаванию или игре на фортепиано. Научиться ему можно только подражая хорошим образцам, постоянно практикуясь.

Это лишь самые простые из задач, сложные пока остаются предметом для будущего изучения. Но их все равно их намного больше, чем мы смогли бы решить. И если по окончанию урока вы сможете решать задачи «за страницами учебного материала», то можно считать, что я свою задачу выполнила.

Знание математики помогает разрешить определённую жизненную проблему. В жизни вам придется регулярно разрешать определённые вопросы, для этого необходимо развивать интеллектуальные способности, благодаря которым развивается внутренний потенциал, развиваются умения предвидеть ситуацию, прогнозировать, принять нестандартное решение.

Урок я хочу закончить словами: «Всякая хорошо решенная математическая задача доставляет умственное наслаждение.» (Г. Гессе).

Согласны вы с этим?

Домашнее задание .

На дом будет такое задание: используя тексты решенных задач, как образец, решите задачи № 8, 17, 26 теми способами, которые мы изучили.

§ 1 Способы решения текстовых задач

Существует несколько способов решения текстовых задач:

· арифметический способ - это способ решения текстовой задачи с помощью чисели знаков арифметических действий сложения, вычитания, умножения и деления, то есть с помощью нескольких действий над числами, связанных между собой;

· алгебраический способ - это способ решения текстовой задачи с помощьювведения переменных и составления соответствующего уравнения или неравенства, или системы уравнений или неравенств;

· геометрический способ - это способ решения текстовой задачи с помощью применения геометрических знаний;

· схематический способ - это способ решения текстовой задачи с помощью схем;

· графический способ - это способ решения текстовой задачи с помощью графиков в прямоугольной системе координат.

Каждый из этих способов предполагает перевод условий задачи на язык математики. Это действие математики называют математическим моделированием. Результат этого действия называют математической моделью. При применении различных способов решения получаются различные математические модели. В арифметическом способе математической моделью является числовое выражение, то есть числовой пример с несколькими действиями, а конечный результат вычислений будет решением задачи. В алгебраическом способе математической моделью чаще всего является уравнение, а решение уравнения даёт решение задачи. В геометрическом способе математической моделью может выступать геометрическая фигура, а решение задачи - например, один из найденных элементов этой фигуры. В схематическом способе математической моделью является схема, с помощью которой находят решение задачи. В графическом способе математической моделью является график, построенный по условию задачи. При этом способе решением задачи могут быть координаты определённых точек графиков.

§ 2 Пример решения текстовой задачи арифметическим способом

В этом уроке более подробно рассмотрим арифметический способ решения задачи.

Решить задачу арифметическим способом - это значит найти ответ на главный вопрос задачи посредством выполнения арифметических действий над числовыми данными из условия задачи. Одну и ту же задачу можно решить различными арифметическими способами. Они отличаются друг от друга количеством действий и последовательностью выполнения этих действий в процессе решения задачи.

Например. Рассмотрим следующую задачу. Три друга Саша, Коля и Витя собирали в лесу грибы. Коля собрал в 2 раза меньше грибов, чем Саша, Витя - на 6 грибов больше, чем Коля. Сколько грибов собрали три друга вместе, если Саша собрал 22 гриба?

Помогает определить правильный ход логических рассуждений краткая запись условий задачи в форме таблицы.

Решим эту задачу по действиям или так называемым способом решения задач по вопросам. Для начала ответим на первый вопрос «Сколько грибов собрал Коля?».

По условию задачи «Коля собрал в 2 раза меньше грибов, чем Саша», значит, чтобы ответить на вопрос, надо 22 разделить на 2. В результате получилось, что Коля собрал 11 грибов. (22:2=11(грибов) - собрал Коля).

Следующим действием ответим на второй вопрос задачи «Сколько грибов собрал Витя?». По условию задачи «Витя собрал на 6 грибов больше, чем Коля», значит, для ответа на вопрос надо к 11-ти прибавить 6. В результате получилось, что Витя собрал 17 грибов.

22+22:2+(22:2+6)=50 грибов собрали три друга вместе.

Умение решать задачи арифметическим способом с помощью числовых выражений говорит о более высоком уровне математической подготовки по сравнению с умением решать текстовые задачи по действиям.

Список использованной литературы:

1. Г.Н. Тимофеев Математика для поступающих в вузы. Учебное пособие. Текстовые задачи.– Йошкар-Ола: Мар. гос. ун-т, 2006г.
2. В. Булынин Применение графических методов при решении текстовых задач. – Еженедельная учебно-методическая газета «Математика», №14, 2005г.
3. Н.И. Попов, А.Н. Марасанов Задачи на составление уравнений. Учебное пособие. Йошкар-Ола: Мар. гос. ун-т, 2003г.
4. Н.А. Зарипова Программа элективного курса "Текстовые задачи". http://festival.1september.ru/articles/310281/
5. Н.А. Зарипова Методика решения задач группы vts. Материалы к проведению элективного курса "Решение текстовых задач" http://festival.1september.ru/articles/415044/

Использованные изображения:

Учителю начальных классов просто необходимо знать, какие имеются виды задач. Сегодня вы узнаете про простые текстовые арифметические задачи. Простые текстовые арифметические задачи — это задачи, которые решаются одним арифметическим действием . Когда мы читаем задачу, мы автоматически соотносим ее с каким либо видом, а тут уже сразу легко становится понятно, каким действием ее надо решать.

Я предоставлю вам не только саму классификацию простых текстовых задач, но и приведу их примеры, а также расскажу про решение текстовых задач арифметическим способом. Все примеры я взяла из учебников математики для 2 класса (ч.1, ч.2), по которым обучаются в школах Беларуси.

Все простые арифметические задачи подразделяют на две большие группы:

— АД I (+/-), то есть те, которые решаются арифметическими действиями первого порядка (сложением или вычитанием);

— АД II (*/:), то есть те, которые решаются арифметическими действиями второго порядка (умножением или делением).

Рассмотрим первую группу простых текстовых арифметических задач (АД I):

1) Задачи, раскрывающие конкретный смысл сложения (+)

В соревнованиях по бегу приняли участие 4 девочки и 5 мальчиков. Сколько учеников из класса участвовало в соревнованиях?

После того, как Саша решил 9 примеров, ему осталось решить еще 3 примера. Сколько всего примеров нужно было решить Саше?

Решаются такие задачи сложением: a+b=?

2) Задачи, раскрывающие конкретный смысл вычитания (-)

Мама испекла 15 пирожков. Сколько пирожков осталось после того, как съели 10 пирожков?

В банке было 15 стаканов сока. За обедом выпили 5 стаканов. Сколько стаканов сока осталось?

Решаются такие задачи вычитанием: a-b=?

3) Задачи на взаимосвязь между компонентами и результатом действия сложения или вычитания:

а) на нахождение неизвестного 1-го слагаемого (?+а=b)

Мальчик положил в коробку 4 карандаша. Там их стало 13. Сколько карандашей было в коробке первоначально?

Чтобы решить эту задачу, надо от результата действия отнять известное 2-е слагаемое: b-a=?

б) на нахождение неизвестного 2-го слагаемого (a+?=b)

В кастрюлю и чайник налили 13 стаканов воды. Сколько стаканов воды налили в чайник, если в кастрюлю налили 5 стаканов?

Задачи такого типа решаются вычитанием, от результата действия отнимается известное 1-е слагаемое: b-a=?

в) на нахождение неизвестного уменьшаемого (?-а=b)

Ольга собрала букет. В вазу она поставила 3 цвета, и у нее осталось 7 цветов. Сколько цветов было в букете?

Арифметическим способом решение текстовых задач данного типа производится сложением результата действия и вычитаемого: b+a=?

г) на нахождение неизвестного вычитаемого (а-?=b)

Купили 2 десятка яиц. После того как несколько яиц взяли для выпечки, осталось 15. Сколько яиц взяли?

Эти задачи решаются вычитанием: от уменьшаемого отнимаем результат действия: а-b=?

4) Задачи на уменьшение / увеличение на несколько единиц в прямой, косвенной форме

примеры задач на уменьшение на несколько единиц в прямой форме:

В одной коробке было 20 кг бананов, а во второй — на 5 меньше. Сколько килограммов бананов было во второй коробке?

Первый класс собрал 19 ящиков яблок, а второй — на 4 ящика меньше. Сколько ящиков яблок сорвал второй класс?

Эти задачи решаются вычитанием (a-b=? )

Примеров задач на уменьшение в косвенной форме, а также на увеличение в прямой или косвенной форме в учебнике 2-го класса по математике я не обнаружила. Если будет необходимость, пишите в комментариях — и я дополню статью собственными примерами.

5) Задачи на разностные сравнения

Масса гуся — 7 кг, а курицы — 3 кг. На сколько килограммов масса курицы меньше массы гуся?

В первой коробке 14 карандашей, а во второй — 7. На сколько больше карандашей в первой коробке, чем во второй?

Решение текстовых задач на разностные сравнения производится вычитанием от большего числа меньшего.

Мы закончили разбираться с простыми текстовыми арифметическими задачами 1 группы и переходим к задачам 2 группы. Если вам было что-либо непонятно, спрашивайте в комментариях.

Вторая группа простых текстовых арифметических задач (АД II):

1) Задачи, раскрывающие конкретный смысл умножения

Сколько ног у двух собак? У трех собак?

Возле дома стоят три машины. У каждой машины по 4 колеса. Сколько колес у трех машин?

Данные задачи решаются умножением: a*b=?

2) Задачи, раскрывающие конкретный смысл деления:

а) по содержанию

10 пирожных раздали детям, по два каждому. Сколько детей получили пирожные?

В пакетах по 2 кг находится 14 кг муки. Сколько таких пакетов?

В этих задачах мы узнаем, сколько частей получилось с равным содержанием.

б) на равные части

Полоску длиной 10 см разрезали на две равные части. Какой длины каждая часть?

Нина разложила 10 пирожных на 2 тарелки поровну. Сколько пирожных на одной тарелке?

А в этих задачах мы узнаем, каково содержание одной равной части.

Как бы то ни было, все эти задачи решаются делением: a:b=?

3) Задачи на взаимосвязь между компонентом и результатом действий умножения и деления:

а) на нахождение неизвестного первого множителя: ?*а=b

Собственный пример:

В нескольких коробках по 6 карандашей. Всего в коробках 24 карандаша. Сколько коробок?

Решается делением произведения на известный второй множитель: b:a=?

б) на нахождение неизвестного второго множителя: а*?=b

В кафе за один столик можно посадить 3 человека. Сколько таких столиков будет занято, если туда придут 15 человек?

Решается делением произведения на известный первый множитель: b:a=?

в) на нахождение неизвестного делимого: ?:а=b

Собственный пример:

Коля принес в класс конфеты и поделил их поровну между всеми учениками. В классе 16 детей. Каждый получил по 3 конфеты. Сколько конфет принес Коля?

Решается умножением частного на делитель: b*a=?

г) на нахождение неизвестного делителя: а:?=b

Собственный пример:

Витя принес 44 конфеты в класс и поделил их поровну между всеми учениками. Каждый получил по 2 конфеты. Сколько учеников в классе?

Решается делением делимого на частное: а:b=?

4) Задачи на увеличение / уменьшение в несколько раз в прямой или косвенной форме

В учебнике 2 класса примеров подобных текстовых арифметических задач не найдено.

5) Задачи на кратное сравнение

Решаются делением большего на меньшее.

Друзья, вся вышеизложенная классификация простых текстовых задач — это лишь часть большой классификации всех текстовых задач. Кроме того, имеются еще задачи на нахождение процентов, о которых я вам не рассказала. Обо всем этом вы можете узнать из данного видео:

И моя благодарность останется с вами!

Обучение решению текстовых задач играет важную роль в формировании математических знаний. Текстовые задачи дают большой простор для развития мышления учащихся. Обучение решению задач – это не только обучение технике получения правильных ответов в некоторых типичных ситуациях, сколько обучение творческому подходу к поиску решения, накопление опыта мыслительной деятельности и демонстрация учащимися возможностей математики в решении разнообразных задач. Однако при решении текстовых задач в 5-6 классах чаще всего используется уравнение. Но мышление пятиклассников еще не готово к формальным процедурам, выполняемым при решении уравнений. Арифметический способ решения задач имеют ряд преимуществ по сравнению с алгебраическим потому, что результат каждого шага по действиям нагляднее и конкретнее, не выходит за рамки опыта пятиклассников. Школьники лучше и быстрее решают задачи по действиям, чем с помощью уравнений. Детское мышление конкретно, и развивать его надо на конкретных предметах и величинах, затем постепенно переходить к оперированию абстрактными образами.

Работа над задачей предусматривает внимательное прочтение текста условия, вникания в смысл каждого слова. Приведу примеры задач, которые легко и просто можно решить арифметическим способом.

Задача 1. Для приготовления варенья на две части малины берут три части сахара. Сколько килограммов сахара нужно взять на 2 кг 600 г малины?

При решении задачи на “части” надо приучить наглядно представлять условие задачи, т.е. лучше опираться на рисунок.

1. 2600:2=1300 (г) - приходится на одну часть варенья;
2. 1300*3= 3900 (г) - сахара нужно взять.

Задача 2. На первой полке стояло в 3 раза больше книг, чем на второй. На двух полках вместе стояло 120 книг. Сколько книг стояло на каждой полке?

1) 1+3=4 (части) - приходится на все книги;

2) 120:4=30 (книг) - приходится на одну часть (книги на второй полке);

3) 30*3=90 (книг)- стояло на первой полке.

Задача 3. В клетке сидят фазаны и кролики. Всего в ней 27 голов и 74 ноги. Узнать число фазанов и число кроликов в клетке.

Представим, что на крышку клетки, в которой сидят фазаны и кролики, мы положили морковку. Тогда все кролики встанут на задние лапки, чтобы дотянуться до нее. Тогда:

1. 27*2=54 (ноги) - будут стоять на полу;
2. 74-54=20 (ног) - будут наверху;
3. 20:2=10 (кроликов);
4. 27-10=17 (фазанов).

Задача 4. В нашем классе 30 учащихся. На экскурсию в музей ходили 23 человека, а в кино – 21, а 5 человек не ходили ни на экскурсию, ни в кино. Сколько человек ходили и на экскурсию, и в кино?

Для анализа условия и выбора плана решения можно использовать “круги Эйлера”.

1. 30-5=25 (человек) – ходили или в кино, или на экскурсию,
2. 25-23=2 (человек) – ходили только в кино;
3. 21-2=19 (человек) – ходили и в кино, и на экскурсию.

Задача 5. Три утенка и четыре гусенка весят 2 кг 500 г, а четыре утенка и три гусенка весят 2кг 400г. Сколько весит один гусенок?

1. 2500+2400=2900 (г) – весят семь утят и семь гусят;
2. 4900:7=700 (г) – вес одного утенка и одного гусенка;
3. 700*3=2100 (г) – вес 3 утят и 3 гусят;
4. 2500-2100=400 (г) – вес гусенка.

Задача 6. Для детского сада купили 20 пирамид: больших и маленьких – по 7 и по 5 колец. У всех пирамид 128 колец. Сколько было больших пирамид?

Представим, что со всех больших пирамид мы сняли по два кольца. Тогда:

1) 20*5=100 (колец) – осталось;

2) 128-100-28 (колец) – мы сняли;

3) 28:2=14 (больших пирамид).

Задача 7. Арбуз массой 20кг содержал 99% воды. Когда он немного усох, содержание воды в нем уменьшилось до 98%. Определите массу арбуза.

Для удобства решение будет сопровождаться иллюстрацией прямоугольников.

При этом желательно рисовать прямоугольники “сухого вещества” равными, потому что масса “сухого вещества” в арбузе остается неизменной.

1) 20:100=0,2 (кг) – масса “сухого вещества”;

2) 0,2:2=0,1 (кг) – приходится на 1% усохшего арбуза;

3) 0,1*100=10 (кг) – масса арбуза.

Задача 8. Гости спросили: сколько лет исполнилось каждой из трех сестер? Вера ответила, что ей и Наде вместе 28 лет, Наде и Любе вместе 23 года, а всем троим 38 лет. Сколько лет каждой из сестер?

1. 38-28=10 (лет) – Любе;
2. 23-10=13 (лет) – Наде;
3. 28-13=15 (лет) – Вере.

Арифметический способ решения текстовых задач учит ребенка действовать осознанно, логически правильно, потому что при решении таким способом усиливается внимание к вопросу “почему” и имеется большой развивающий потенциал. Это способствует развитию учащихся, формированию у них интереса к решению задач и к самой науке математике.

Чтобы сделать обучение посильным, увлекательным и поучительным, надо очень внимательно отнестись к выбору текстовых задач, рассматривать различные способы их решения, выбирая оптимальные из них, развивать логическое мышление, что в дальнейшем необходимо при решении геометрических задач.

Научиться решать задачи школьники смогут, лишь решая их. “Если вы хотите научиться плавать, то смело входите в воду, а, если хотите научиться решать задачи, то решайте их”,- пишет Д.Пойа в книге “ Математическое открытие”.

Общие замечания к решению задач арифметическим методом.

Задачи на нахождение неизвестных по результатам действий.

Задачи на пропорциональное деление.

Задачи на проценты и части.

Задачи, решаемые обратным ходом.

1. Арифметический метод – это основной метод решения текстовых задач в начальной школе. Находит он свое применение и в среднем звене общеобразовательной школы. Этот метод позволяет глубже понять и оценить всю важность и значимость каждого этапа работы над задачей.

В некоторых случаях решение задачи арифметическим методом значительно проще, чем другими методами.

Подкупая своей простотой и доступностью, арифметический метод вместе с тем достаточно сложен, и овладение приемами решения задач этим методом требует серьезной и кропотливой работы. Большое разнообразие видов задач не позволяет сформировать универсального подхода к анализу задач, поиску пути их решения: задачи, даже объединенные в одну группу, имеют со­вершенно разные способы решения.

2 . К задачам на нахождение неизвестных по их разности и отношению относятся задачи, в которых по известным разности и частному двух значений некоторой величины тре­буется найти эти значения.

Алгебраическая модель:

Ответ находится по формулам: х = ак/(к – 1), у = а/(к – 1).

Пример. В плацкартных вагонах скорого поезда на 432 пассажира больше, чем в купейных. Сколько пассажиров находится в плацкартных и купейных вагонах отдельно, если в купейных вагонах пассажиров в 4 раза меньше, чем в плацкартных?

Решение. Графическая модель задачи представлена на рис. 4.

Рис. 4

Число пассажиров в купейных вагонах примем за 1 часть. Тогда можно найти, сколько частей приходится на число пассажиров в плацкартных вагонах, а затем, сколько частей приходится на 432 пассажира. После этого можно определить число пассажиров, составляющих 1 часть (находящихся в купейных вагонах). Зная, что в плацкартных вагонах пассажиров в 4 раза больше, найдем их число.

1  4 = 4 (ч.) – приходится на пассажиров в плацкартных вагонах;

4 – 1 = 3 (ч.) – приходится на разность между числом пассажиров в плацкартных и купейных вагонах;

432: 3 = 144 (п.) – в купейных вагонах;

144  4 = 576 (п.) – в плацкартных вагонах.

Эту задачу можно проверить, решив ее другим способом, а именно:

1  4 = 4(ч.);

4 – 1 = 3 (ч.);

432: 3 = 144 (п.);

144 + 432 = 576 (п.).

Ответ: в купейных вагонах 144 пассажира, в плацкартных – 576.

К задачам на нахождение неизвестных по двум остаткам или двум разностям , относятся задачи, в которых рассматриваются две прямо или обратно пропорциональные величины, такие, что известны два значения одной величины и разность соответствующих значений другой величины, а требуется найти сами значения этой величины.

Алгебраическая модель:

Ответы находятся по формулам:

Пример. Два поезда прошли с одинаковой скоростью – один 837 км, другой 248 км, причем первый был в пути на 19 ч. больше второго. Сколько часов был в пути каждый поезд?

Решение. Графическая модель задачи представлена на рисунке 5.

Рис. 5

Чтобы ответить на вопрос задачи, сколько часов был в пути тот или другой поезд, надо знать пройденное им расстояние и скорость. Расстояние дано в условии. Чтобы узнать скорость, надо знать расстояние и время, за которое это расстояние пройдено. В условии сказано, что первый поезд шел на 19 ч. дольше, а пройденное им за это время расстояние можно найти. Он шел лишних 19 ч. – очевидно, за это время прошел и лишнее расстояние.

837 – 248 = 589 (км) – на столько километров больше прошел пер­вый поезд;

589: 19 = 31 (км/ч) – скорость первого поезда;

837: 31 = 27 (ч.) – был в пути первый поезд;

4) 248: 31 = 8 (ч.) – был в пути второй поезд.

Проверим решение задачи установлением соответствия между данными и числами, полученными при решении задачи.

Узнав, сколько времени был в пути каждый поезд, найдем, на сколько часов больше был в пути первый поезд, чем второй: 27 – 8 = 19 (ч.). Это число совпадает с данным в условии. Следовательно, задача решена верно.

Эту задачу можно проверить, решив ее другим способом. Все четыре вопроса и первые три действия остаются те же.

4) 27 –19 = 8 (ч.).

Ответ: первый поезд был в пути 31ч., второй поезд – 8 ч.

Задачи на нахождение трех неизвестных по трем суммам этих неизвестных, взятых попарно:

Алгебраическая модель:

Ответ находится по формулам:

х = (а – b + с)/2, у = (а + b – с)/2, z = (b + с – a )/ 2.

Пример. Английский и немецкий языки изучают 116 школьников, немецкий и испанский языки изучают 46 школьников, а английский и испанский языки изучают 90 школьников. Сколько школьников изучают английский, немецкий и испанский языки отдельно, если известно, что каждый школьник изучает только один язык?

Решение. Графическая модель задачи представлена на рисунке 6.

Сколько школьников изучает каждый из языков?

Графическая модель задачи показывает: если сложить численности школьников, данные в условии (116 + 90 + 46), то получим удвоенное число школьников, изучающих английский, немецкий и испанский языки. Разделив его на два, найдем общее число школьников. Чтобы найти число школьников, изучающих английский язык, достаточно из этого числа вычесть число школьников, изучающих немецкий и испанский языки. Аналогично находим остальные искомые числа.

Запишем решение по действиям с пояснениями:

116 + 90 + 46 = 252 (шк.) – удвоенное число школьников, изучающих языки;

252: 2 = 126 (шк.) – изучают языки;

126 – 46 = 80 (шк.) – изучают английский язык;

126 – 90 = 36 (шк.) – изучают немецкий язык;

126 – 116 = 10 (шк.) – изучают испанский язык.

Эту задачу можно проверить, решив ее другим способом.

116 – 46 = 70 (шк.) – на столько больше школьников изучают английский язык, чем испанский;

90 + 70 = 160 (шк.) – удвоенное число школьников, изучающих английский язык;

160: 2 = 80 (шк.) – изучают английский язык;

90 – 80 = 10 (шк.) – изучают испанский язык;

116 – 80 = 36 (шк.) – изучают немецкий язык.

Ответ: английский язык изучают 80 школьников, немецкий язык – 36 школьников, испанский язык – 10 школьников.

3. К задачам на пропорциональное деление относятся задачи, в которых данное значение некоторой величины требуется разделить на части пропорционально заданным числам. В некоторых из них части представлены явно, а в других эти части надо суметь выделить, приняв одно из значений этой величины за одну часть и определив, сколько таких частей приходится на другие ее значения.

Выделяют пять видов задач на пропорциональное деление.

1) Задачи на деление числа на части, прямо пропорциональные ряду целых или дробных чисел

К задачам данного типа относятся задачи, в которых число А х 1, х 2 , х 3 , ..., х n прямо пропорционально числам а 1 , а 2 , а 3 , ..., а n .

Алгебраическая модель:

Ответ находится по формулам:

Пример. Туристическая фирма располагает четырьмя базами отдыха, которые имеют корпуса одинаковой вместимости. На территории 1-й базы отдыха расположены 6 корпусов, 2-й – 4 корпуса, 3-й – 5 корпусов, 4-й – 7 корпусов. Сколько отдыхающих может разместиться на каждой базе, если на всех 4 базах может разместиться 2112 человек?

Решение. Краткая запись задачи показана на рисунке 7.

Рис. 7

Чтобы ответить на вопрос задачи, сколько отдыхающих может разместиться на каждой базе, надо знать, сколько отдыхающих может разместиться в одном корпусе и сколько корпусов расположено на территории каждой базы. Число корпусов на каждой базе дано в условии. Чтобы узнать, сколько отдыхающих может разместиться в одном корпусе, надо знать, сколько отдыхающих может разместиться на всех 4 базах (это дано в условии) и сколько корпусов расположено на территории всех 4 баз. Последнее можно определить, зная из условия, сколько корпусов расположено на территории каждой базы.

Запишем решение по действиям с пояснениями:

6 + 4 + 5 + 7 = 22 (к.) – расположено на территории 4 баз;

2112: 22 = 96 (ч.) – может разместиться в одном корпусе;

96  6 = 576 (ч.) – может разместиться на первой базе;

96  4 = 384 (ч.) – может разместиться на второй базе;

96  5 = 480 (ч.) – может разместиться на третьей базе;

96  7 = 672 (ч.) – может разместиться на четвертой базе.

Проверка. Подсчитываем, сколько отдыхающих может разместиться на 4 базах: 576 + 384 + 480 + 672 = 2 112 (ч.). Расхождения с условием задачи нет. Задача решена правильно.

Ответ: на первой базе может разместиться 576 отдыхающих, на второй – 384 отдыхающих, на третьей – 480 отдыхающих, на четвертой – 672 отдыхающих.

2) Задачи на деление числа на части, обратно пропорциональные ряду целых или дробных чисел

К ним относятся задачи, в которых число А (зна­чение некоторой величины) нужно разделить на части x 1 i , x 2 , x 3 i , ..., х„ обратно пропорционально числам а 1ь а 2 , а 3 ,..., а n .

Алгебраическая модель:

или

x 1 : x 2 :х 3 :...:х„ = a 2 a 3 ...а n :а 1 а 3 ...а п :а 1 а 2 а 4 ...а n :...:а 1 а 2 ...а n -1

Ответ находится по формулам:

где S = а 2 а 3 ...а„ + a l a i ... a n + а ] а 2 а 4 ...а n + ... + а 1 а 2 ...а n -1.

Пример. За четыре месяца доход зверофермы от продажи пушнины составил 1 925 000 р., причем по месяцам полученные деньги распределились обратно пропорционально числам 2, 3, 5, 4. Каков доход фермы в каждом месяце отдельно?

Решение. Для определения названных в условии доходов дан общий доход за четыре месяца, то есть сумма четырех искомых чисел, а также отношения между искомыми числами. Искомые доходы обратно пропорциональны числам 2, 3, 5, 4.

Обозначим искомые доходы соответственно через х, х 2 , х 3 , х 4 . Тогда кратко задачу можно записать так, как показано на рисунке 8.

Рис. 8

Зная число частей, приходящихся на каждое из искомых чисел, найдем число частей, заключающихся в их сумме. По данному общему доходу за четыре месяца, то есть по сумме искомых чисел и по числу частей, содержащихся в этой сумме, узнаем величину одной части, а потом искомые доходы.

Запишем решение по действиям с пояснениями:

1. Искомые доходы обратно пропорциональны числам 2, 3, 5, 4, а значит, прямо пропорциональны числам, обратным данным, то есть имеют место отношения . Данные отношения в дробных числах заменим отношениями целых чисел:

2. Зная, что х содержит 30 равных частей, х 2 – 20, х 3 – 12, х 4 – 15, найдем, сколько частей содержится в их сумме:

30 + 20 + 12+ 15 = 77 (ч.).

3. Сколько рублей приходится на одну часть?

1 925 000: 77 = 25 000 (р.).

4. Каков доход фермы в первом месяце?

25 000 30 = 750 000 (р.).

5. Каков доход фермы во втором месяце?

25 000 20 = 500 000 (р.).

6. Каков доход фермы в третьем месяце?

25 000– 12 = 300 000 (р.).

7. Каков доход фермы в четвертом месяце?

25 000– 15 = 375 000 (р.).

Ответ: в первом месяце доход фермы составил 750 000 р., во втором – 500 000 р., в третьем – 300 000 р., в четвертом – 375 000 р.

3) Задачи на деление числа на части, когда даны отдельные отношения для каждой пары искомых чисел

К задачам этого типа относят те задачи, в которых число А (значение некоторой величины) нужно разделить на части х 1 , х 2 , х 3 , ..., х„, когда дан ряд отношений для искомых чисел, взятых попарно. Алгебраическая модель:

х 1: х 2 = а 1 : b 1, х 2 : х 3 = а 2 : b 2, х 3 : х 4 = а 3 : b 3 , ..., х п-1 : х n = а n -1 : b п-1 .

п = 4. Алгебраическая модель:

х х :х 2 = а 1 : b 1, х 2 :х 3= а 2 : b 2, х 3 : х 4 = а 3: b 3 .

Итак, х 1: х 2 : х 3: х 4 = а 1 а 2 а 3 : b 1 а 2 а 3 : b 1 b 2 а 3 : b 1 b 2 b 3 .

где S = а 1 а 2 а 3 + b 1 а г а 3 + b 1 b 2 а 3 + b 1 b 2 b 3

Пример. В трех городах 168 000 жителей. Числа жителей первого и второго городов находятся в отношении , а второго и третьего городов – в отношении . Сколько жителей в каждом городе?

Решение. Обозначим искомые численности жителей соответственно через х 1 , х 2 , х 3 . Тогда кратко задачу можно записать так, как показано на рисунке 9.

Рис. 9

Для определения численности жителей даны числа жителей в трех городах, то есть сумма трех искомых чисел, а также отдельные отношения между искомыми числами. Заменив эти отношения рядом отношений, выразим численности жителей трех городов в равных частях. Зная число частей, приходящихся на каждое из искомых чисел, найдем число частей, заключающихся в их сумме. По данной общей численности жителей в трех городах, то есть по сумме искомых чисел и по числу частей, содержащихся в этой сумме, узнаем величину одной части, а потом искомые численности жителей.

Запишем решение по действиям с пояснениями.

1. Заменяем отношение дробных чисел отношением целых чисел:

Числу жителей второго города ставим в соответствие число 15 (наименьшее общее кратное чисел 3 и 5).

Изменяем соответствующим образом получившиеся отношения:

х 1: х 2 = 4: 3 = (4-5):(3-5) = 20: 15, х 2: х 3 = 5: 7 = (5-3):(7-3) = 15: 21.

Из отдельных отношений составляем ряд отношений:

х 1: х 2 : х 3 = 20: 15: 21.

2. 20 + 15 + 21 = 56 (ч.) – стольким равным частям соответствует число 168 000;

3. 168 000: 56 = 3 000 (ж.) – приходится на одну часть;

4. 3 000 20 = 60 000 (ж.) – в первом городе;

5. 3 000 15 = 45 000 (ж.) – во втором городе;

3 000 21 = 63 000 (ж.) – в третьем городе.

Ответ: 60 000 жителей; 45 000 жителей; 63 000 жителей.

4) Задачи на деление числа на части пропорционально двум, трем и так далее рядам чисел

К задачам этого типа относятся задачи, в которых число А (значение некоторой величины) нужно разделить на части х 1, х 2 , х 3 ,..., х n пропорционально двум, трем, ..., N рядам чисел.

Ввиду громоздкости формул для решения задачи в общем виде рассмотрим частный случай, когда п = 3 и N = 2. Пусть х 1 х 2 , х 3 прямо пропорциональны числам а 1 , а 2 , а 3 и обратно пропорциональны числам b 1 , b 2 , b 3 .

Алгебраическая модель:

(см. пункт 1 данного параграфа),

Пример. Двое рабочих получили 1 800 р. Один работал 3 дня по 8 ч., другой 6 дней по 6 ч. Сколько заработал каждый, если за 1 ч. работы они получали поровну?

Решение . Краткая запись задачи показана на рисунке 10.

Рис. 10

Чтобы узнать, сколько получил каждый рабочий, надо знать, сколько рублей платили за 1 ч. работы и сколько часов работал каждый рабочий. Чтобы узнать, сколько рублей платили за 1 ч. работы, надо знать, сколько заплатили за всю работу (дано в условии) и сколько часов работали оба рабочих вместе. Чтобы узнать общее число часов работы, надо знать, сколько часов работал каждый, а для этого необходимо знать, сколько дней работал каждый и по сколько часов в день. Эти данные в условии имеются.

Запишем решение по действиям с пояснениями:

8  3 = 24 (ч.) – работал первый рабочий;

6  6 = 36 (ч.) – работал второй рабочий;

24 + 36 = 60 (ч.) – работали оба рабочих вместе;

1800: 60 = 30 (р.) – получали рабочие за 1 ч работы;

30  24 = 720 (р.) – заработал первый рабочий;

30  36 = 1080 (р.) – заработал второй рабочий. Ответ: 720 р.; 1080 р.

5) Задачи на нахождение нескольких чисел по данным их отношениям и сумме или разности (сумме или разности некоторых из них)

Пример. На оборудование детской площадки, теплицы и спортивного зала администрацией школы было израсходовано 49 000 р. Оборудование детской площадки обошлось вдвое дешевле, чем теплицы, а теплицы – в 3 раза дешевле, чем спортивного зала и детской площадки вместе. Сколько денег было израсходовано на оборудование каждого из указанных объектов?

Решение . Краткая запись задачи показана на рисунке 11.

Чтобы узнать количество денег, израсходованных на оборудование каждого объекта, надо знать, сколько частей всех израсходованных денег приходилось на оборудование каждого объекта и сколько рублей приходилось на каждую часть. Число частей израсходованных денег на оборудование каждого объекта определяется из условия задачи. Определив число частей на оборудование каждого объекта в отдельности, а затем найдя их сумму, вычислим величину одной части (в рублях).

Запишем решение по действиям с пояснениями.

Принимаем за 1 часть количество денег, израсходованных на оборудование детской площадки. По условию на оборудование теплицы израсходовано в 2 раза больше, то есть 1  2 = 2 (ч.); на оборудование детской площадки и спортивного зала вместе израсходовано в 3 раза больше, чем на теплицу, то есть 2  3 = 6 (ч.), следовательно, на оборудование спортивного зала израсходовали 6 – 1 = 5 (ч.).

На оборудование детской площадки израсходована 1 часть, теплицы – 2 части, спортивного зала – 5 частей. Весь расход составлял 1 + 2 + + 5 = 8 (ч.).

8 частей составляют 49 000 р., одна часть меньше этой суммы в 8 раз: 49 000: 8 = 6 125 (р.). Следовательно, на оборудование детской площадки израсходовали 6 125 р.

На оборудование теплицы израсходовано в 2 раза больше: 6 125  2 = 12 250 (р.).

На оборудование спортивного зала израсходовано 5 частей: 6 125  5 = 30 625 (р.).

Ответ: 6 125 р.; 12 250 р.; 30 625 р.

6) Задачи на исключение одного из неизвестных

К задачам этой группы относятся задачи, в которых даны суммы двух произведений, имеющих два повторяющихся сомножителя, и требуется найти значения этих сомножителей. Алгебраическая модель

Ответ находится по формулам:

Эти задачи решаются способом уравнивания данных, спосо­бом уравнивания данных и искомых, способом замены данных, а также так называемым способом «на предположение».

Пример. На швейной фабрике на 24 пальто и 45 костюмов израсходовали 204 м ткани, а на 24 пальто и 30 костюмов – 162 м. Сколько ткани расходуется на один костюм и сколько – на одно пальто?

Решение . Решим задачу способом уравнивания данных. Краткая запись задачи.