5 платоновых тел. Построение графических примитивов

Стахов А.П.

«Код да Винчи», Платоновы и Архимедовы тела, квазикристаллы, фуллерены, решетки Пенроуза и художественный мир Матюшки Тейи Крашек

Аннотация

Творчество словенской художницы Матюшки Тейи Крашек мало известно русскоязычному читателю. В то же время на Западе ее называют «Восточно-европейским Эшером» и «Словенским подарком» мировому культурному сообществу. Ее художественные композиции навеяны новейшими научными открытиями (фуллеренами, квазикристаллами Дана Шехтмана, плитками Пенроуза), которые, в свою очередь, основаны на правильных и полуправильных многоугольниках (телах Платона и Архимеда), Золотом Сечении и числах Фибоначчи.

Что такое «Код да Винчи»?

Наверняка каждый человек не раз задумывался над вопросом, почему Природа способна создавать такие удивительные гармоничные структуры, которые восхищают и радуют глаз. Почему художники, поэты, композиторы, архитекторы создают восхитительные произведения искусства из столетия в столетие. В чем же секрет их Гармонии и какие законы лежат в основе этих гармоничных созданий?

Поиски этих законов, «Законов Гармонии Мироздания», начались еще в античной науке. Именно в этот период человеческой истории ученые приходят к ряду удивительных открытий, которые пронизывают всю историю науки. Первым из них по праву считается чудесная математическая пропорция, выражающая Гармонию. Ее называют по-разному: «золотая пропорция», «золотое число», «золотое среднее», «золотое сечение» и даже «божественная пропорция». Золотое Сечение называется также числом PHI в честь великого древнегреческого скульптора Фидия (Phidius), который использовал это число в своих скульптурах.

Триллер «Код да Винчи», написанный популярным английским писателем Дэном Брауном, стал бестселлером 21-го века. Но что означает «Код да Винчи»? Существуют различные ответы на этот вопрос. Известно, что знаменитое «Золотое Сечение» было предметом пристального внимания и увлечения Леонардо да Винчи. Более того, само название «Золотое Сечение» было введено в европейскую культуру именно Леонардо да Винчи. По инициативе Леонардо знаменитый итальянский математик и ученый монах Лука Пачоли, друг и научный советник Леонардо да Винчи, опубликовал книгу «Divina Proportione», первое в мировой литературе математическое сочинение о Золотом Сечении, которое автор назвал «Божественной пропорцией». Известно также, что сам Леонардо иллюстрировал эту знаменитую книгу, нарисовав к ней 60 замечательных рисунков. Именно эти факты, которые не очень известны широкой научной общественности, дают право выдвинуть гипотезу о том, что «Код да Винчи» – есть ни что иное, как «Золотое Сечение». И подтверждение этой гипотезе можно найти в лекции для студентов Гарвардского университета, о которой вспоминает главный герой книги «Код да Винчи» проф. Лэнгдон:

«Несмотря на почти мистическое происхождение, число PHI сыграло по-своему уникальную роль. Роль кирпичика в фундаменте построения всего живого на земле. Все растения, животные и даже человеческие существа наделены физическими пропорциями, приблизительно равными корню от соотношения числа PHI к 1. Эта вездесущность PHI в природе... указывает на связь всех живых существ. Раньше считали, что число PHI было предопределено Творцом вселенной. Ученые древности называли одну целую шестьсот восемнадцать тысячных «божественной пропорцией».

Таким образом, знаменитое иррациональное число PHI = 1,618, которое Леонардо да Винчи назвал «Золотым Сечением», и есть «Код да Винчи»!

Другим математическим открытием античной науки являются правильные многогранники , которые получили название «Платоновых тел» и «полуправильные многогранники» , получившие название «Архимедовых тел». Именно эти удивительно красивые пространственные геометрические фигуры лежат в основе двух крупнейших научных открытий 20-го века – квазикристаллов (автор открытия – израильский физик Дан Шехтман) и фуллеренов (Нобелевская премия 1996 г.). Эти два открытия являются наиболее весомыми подтверждениями того факта, что именно Золотая Пропорция является Универсальным Кодом Природы («Кодом да Винчи»), который и лежит в основе Мироздания.

Открытие квазикристаллов и фуллеренов вдохновили многих современных художников на создание произведений, отображающих в художественной форме важнейшие физические открытия 20-го века. Одним из таких художников является словенская художница Матюшка Тейя Крашек. Настоящая статья вводит в художественный мир Матюшки Тейи Крашек сквозь призму новейших научных открытий.

Платоновы тела

Человек проявляет интерес к правильным многоугольникам и многогранникам на протяжении всей своей сознательной деятельности – от двухлетнего ребенка, играющего деревянными кубиками, до зрелого математика. Некоторые из правильных и полуправильных тел встречаются в природе в виде кристаллов, другие – в виде вирусов, которые можно рассмотреть с помощью электронного микроскопа.

Что такое правильный многогранник? Правильным называется такой многогранник, все грани которого равны (или конгруэнтны) между собой и при этом являются правильными многоугольниками. Сколько же существует правильных многогранников? На первый взгляд ответ на этот вопрос очень простой – столько же, сколько существует правильных многоугольников. Однако это не так. В «Началах Евклида» мы находим строгое доказательство того, что существует только пять выпуклых правильных многогранников, а их гранями могут быть только три типа правильных многоугольников: треугольники , квадраты и пентагоны (правильные пятиугольники) .

Теории многогранников посвящено много книг. Одной из наиболее известных является книга английского математика М. Венниджера «Модели многогранников». В русском переводе эта книга опубликована издательством «Мир» в 1974 г. Эпиграфом к книге выбрано высказывание Бертрана Рассела: «Математика владеет не только истиной, но и высокой красотой – красотой отточенной и строгой, возвышенно чистой и стремящейся к подлинному совершенству, которое свойственно лишь величайшим образцам искусства».

Книга начинается с описания так называемых правильных многогранников , то есть многогранников, образованных простейшими правильными многоугольниками одного типа. Эти многогранники принято называть Платоновыми телами (Рис. 1), названными так в честь древнегреческого философа Платона, который использовал правильные многогранники в своей космологии.

Рисунок 1. Платоновы тела: (а) октаэдр («Огонь»), (б) гексаэдр или куб («Земля»),

(в) октаэдр («Воздух»), (г) икосаэдр («Вода»), (д) додекаэдр («Вселенский разум»)

Мы начнем наше рассмотрение с правильных многогранников , гранями которых являются равносторонние треугольники. Первый из них – это тетраэдр (Рис.1-а). В тетраэдре три равносторонних треугольника встречаются в одной вершине; при этом их основания образуют новый равносторонний треугольник. Тетраэдр имеет наименьшее число граней среди Платоновых тел и является трехмерным аналогом плоского правильного треугольника, который имеет наименьшее число сторон среди правильных многоугольников.

Следующее тело, которое образуется равносторонними треугольниками, называется октаэдром (Рис.1-б). В октаэдре в одной вершине встречаются четыре треугольника; в результате получается пирамида с четырехугольным основанием. Если соединить две такие пирамиды основаниями, то получится симметричное тело с восемью треугольными гранями – октаэдр .

Теперь можно попробовать соединить в одной точке пять равносторонних треугольников. В результате получится фигура с 20 треугольными гранями – икосаэдр (Рис.1-г).

Следующая правильная форма многоугольника – квадрат. Если соединить три квадрата в одной точке и затем добавить еще три, мы получим совершенную форму с шестью гранями, называемую гексаэдром или кубом (Рис. 1-в).

Наконец, существует еще одна возможность построения правильного многогранника, основанная на использовании следующего правильного многоугольника – пентагона . Если собрать 12 пентагонов таким образом, чтобы в каждой точке встречалось три пентагона, то получим еще одно Платоново тело, называемое додекаэдром (Рис.1-д).

Следующим правильным многоугольником является шестиугольник . Однако если соединить три шестиугольника в одной точке, то мы получим поверхность, то есть из шестиугольников нельзя построить объемную фигуру. Любые другие правильные многоугольники выше шестиугольника не могут образовывать тел вообще. Из этих рассуждений вытекает, что существует только пять правильных многогранников, гранями которых могут быть только равносторонние треугольники, квадраты и пентагоны.

Существуют удивительные геометрические связи между всеми правильными многогранниками . Так, например, куб (Рис.1-б) и октаэдр (Рис.1-в) дуальны, т.е. получаются друг из друга, если центры тяжести граней одного принять за вершины другого и обратно. Аналогично дуальны икосаэдр (Рис.1-г) идодекаэдр (Рис.1-д). Тетраэдр (Рис.1-а) дуален сам себе. Додекаэдр получается из куба построением «крыш» на его гранях (способ Евклида), вершинами тетраэдра являются любые четыре вершины куба, попарно не смежные по ребру, то есть из куба могут быть получены все остальные правильные многогранники. Сам факт существования всего пяти действительно правильных многогранников удивителен — ведь правильных многоугольников на плоскости бесконечно много!

Числовые характеристики Платоновых тел

Основными числовыми характеристиками Платоновых тел является число сторон грани m, число граней, сходящихся в каждой вершине, m, число граней Г , число вершин В, число ребер Р и число плоских углов У на поверхности многогранника Эйлер открыл и доказал знаменитую формулу

В — Р + Г = 2,

связывающего числа вершин, ребер и граней любого выпуклого многогранника. Указанные выше числовые характеристики приведены в Табл. 1.

Таблица 1

Числовые характеристики Платоновых тел

Золотая пропорция в додекаэдре и икосаэдре

Додекаэдр и двойственный ему икосаэдр (Рис.1-г,д) занимают особое место среди Платоновых тел . Прежде всего необходимо подчеркнуть, что геометрия додекаэдра и икосаэдра непосредственно связана с золотой пропорцией. Действительно, гранями додекаэдра (Рис.1-д) являются пентагоны , т.е. правильные пятиугольники, основанные на золотой пропорции. Если внимательно посмотреть на икосаэдр (Рис.1-г), то можно увидеть, что в каждой его вершине сходится пять треугольников, внешние стороны которых образуют пентагон . Уже этих фактов достаточно, чтобы убедиться в том, что золотая пропорция играет существенную роль в конструкции этих двух Платоновых тел .

Но существуют более глубокие математические подтверждения фундаментальной роли, которую играет золотая пропорция в икосаэдре и додекаэдре . Известно, что эти тела имеют три специфические сферы. Первая (внутренняя) сфера вписана в тело и касается его граней. Обозначим радиус этой внутренней сферы через R i . Вторая или средняя сфера касается ее ребер. Обозначим радиус этой сферы через R m . Наконец, третья (внешняя) сфера описана вокруг тела и проходит через его вершины. Обозначим ее радиус через R c . В геометрии доказано, что значения радиусов указанных сфер для додекаэдра и икосаэдра , имеющего ребро единичной длины, выражается через золотую пропорцию t (Табл.2).

Таблица 2

Золотая пропорция в сферах додекаэдра и икосаэдра

Заметим, что отношение радиусов = одинаково, как для икосаэдра , так и для додекаэдра . Таким образом, если додекаэдр и икосаэдр имеют одинаковые вписанные сферы, то их описанные сферы также равны между собой. Доказательство этого математического результата дано в Началах Евклида.

В геометрии известны и другие соотношения для додекаэдра и икосаэдра , подтверждающие их связь с золотой пропорцией. Например, если взять икосаэдр и додекаэдр с длиной ребра, равной единице, и вычислить их внешнюю площадь и объем, то они выражаются через золотую пропорцию (Табл.3).

Таблица 3

Золотая пропорция во внешней площади и объеме додекаэдра и икосаэдра

Таким образом, существует огромное количество соотношений, полученных еще античными математиками, подтверждающих замечательный факт, что именно золотая пропорция является главной пропорцией додекаэдра и икосаэдра , и этот факт является особенно интересным с точки зрения так называемой «додекаэдро-икосаэдрической доктрины», которую мы рассмотрим ниже.

Космология Платона

Рассмотренные выше правильные многогранники получили название Платоновых тел , так как они занимали важное место в философской концепции Платона об устройстве мироздания.

Платон (427-347 годы до н.э.)

Четыре многогранника олицетворяли в ней четыре сущности или «стихии». Тетраэдр символизировал Огонь , так как его вершина устремлена вверх; Икосаэдр — Воду , так как он самый «обтекаемый» многогранник; Куб — Землю , как самый «устойчивый» многогранник; Октаэдр — Воздух , как самый «воздушный» многогранник. Пятый многогранник, Додекаэдр , воплощал в себе «все сущее», «Вселенский разум», символизировал все мироздание и считался главной геометрической фигурой мироздания.

Гармоничные отношения древние греки считали основой мироздания, поэтому четыре стихии у них были связаны такой пропорцией: земля/вода = воздух/огонь. Атомы «стихий» настраивались Платоном в совершенных консонансах, как четыре струны лиры. Напомним, что консонансом называется приятное созвучие. В связи с этими телами уместно будет сказать, что такая система элементов, включавшая четыре элемента — землю, воду, воздух и огонь, — была канонизирована Аристотелем. Эти элементы оставались четырьмя краеугольными камнями мироздания в течение многих веков. Вполне возможно отождествить их с известными нам четырьмя состояниями вещества — твердым, жидким, газообразным и плазменным.

Таким образом, представление о «сквозной» гармонии бытия древние греки связывали с ее воплощением в Платоновых телах. Влияние знаменитого греческого мыслителя Платона сказалось и на Началах Евклида. В этой книге, которая на протяжении веков была единственным учебником геометрии, дано описание «идеальных» линий и «идеальных» фигур. Самая «идеальная» линия – прямая , а самый «идеальный» многоугольник – правильный многоугольник, имеющий равные стороны и равные углы. Простейшим правильным многоугольником можно считать равносторонний треугольник, поскольку он имеет наименьшее число сторон, которое может ограничивать часть плоскости. Интересно, что Начала Евклида начинаются описанием построения правильного треугольника и заканчиваются изучением пяти Платоновых тел. Заметим, что Платоновым телам посвящена заключительная, то есть, 13-я книга Начал Евклида. Кстати, этот факт, то есть размещение теории правильных многогранников в заключительной (то есть как бы самой главной) книге Начал Евклида, дало основание древнегреческому математику Проклу, который был комментатором Евклида, выдвинуть интересную гипотезу об истинных целях, которые преследовал Евклид, создавая свои Начала . Согласно Проклу, Евклид создавал Начала не с целью изложения геометрии как таковой, а чтобы дать полную систематизированную теорию построения «идеальных» фигур, в частности пяти Платоновых тел , попутно осветив некоторые новейшие достижения математики!

Не случайно, что один из авторов открытия фуллеренов, Нобелевский лауреат Гарольд Крото в свой Нобелевской лекции начинает свой рассказ о симметрии как «основе нашего восприятия физического мира» и ее «роли в попытках его всестороннего объяснения» именно с Платоновых тел и «элементов всего сущего»: «Понятие структурной симметрии восходит к античной древности...» Наиболее известные примеры можно, конечно, обнаружить в диалоге «Тимей» Платона, где в разделе 53, относящемся к «Элементам», он пишет: «Во-первых, каждому (!), разумеется, ясно, что огонь и земля, вода и воздух суть тела, а всякое тело - сплошное» (!!) Платон обсуждает проблемы химии на языке этих четырех элементов и связывает их с четырьмя Платоновыми телами (в то время только четырьмя, пока Гиппарх не открыл пятый - додекаэдр). Хотя на первый взгляд такая философия может показаться несколько наивной, она указывает на глубокое понимание того, каким образом в действительности функционирует Природа».

Архимедовы тела

Полуправильные многогранники

Известно еще множество совершенных тел, получивших название полуправильных многогранников илиАрхимедовых тел. У них также все многогранные углы равны и все грани – правильные многоугольники, но несколько разных типов. Существует 13 полуправильных многогранников, открытие которых приписывается Архимеду.

Архимед (287 г. до н.э. – 212 г. до н.э)

Множество Архимедовых тел можно разбить на несколько групп. Первую из них составляют пять многогранников, которые получаются из Платоновых тел в результате их усечения. Усеченное тело – это тело с отрезанной верхушкой. Для Платоновых тел усечение может быть сделано таким образом, что и получающиеся новые грани и остающиеся части старых будут правильными многоугольниками. К примеру, тетраэдр (Рис. 1-а) можно усечь так, что его четыре треугольные грани превратятся в четыре гексагональные, и к ним добавятся четыре правильные треугольные грани. Таким путем могут быть получены пять Архимедовых тел : усеченный тетраэдр, усеченный гексаэдр (куб), усеченный октаэдр, усеченный додекаэдр и усеченный икосаэдр (Рис. 2).

(а)	(б)	(в)

(г)	(д)

Рисунок 2. Архимедовы тела: (а) усеченный тетраэдр, (б) усеченный куб, (в) усеченный октаэдр, (г) усеченный додекаэдр, (д) усеченный икосаэдр

В своей Нобелевской лекции американский ученый Смолли, один из авторов экспериментального открытия фуллеренов, говорит об Архимеде (287-212 гг. до н.э.) как о первом исследователе усеченных многогранников, в частности, усеченного икосаэдра , правда, оговариваясь, что возможно Архимед присваивает себе эту заслугу и, возможно, икосаэдры усекали задолго до него. Достаточно упомянуть найденные в Шотландии и датированные около 2000 г. до н.э. сотни каменных предметов (по всей видимости, ритуального назначения) в форме сфер и различных многогранников (тел, ограниченных со всех сторон плоскими гранями ), включая икосаэдры и додекаэдры. Оригинальная работа Архимеда, к сожалению, не сохранилась, и ее результаты дошли до нас, что называется, «из вторых рук». Во времена Возрождения всеАрхимедовы тела одно за другим были «открыты» заново. В конце концов, Кеплер в 1619 г. в своей книге «Мировая гармония» («Harmonice Mundi») дал исчерпывающее описание всего набора архимедовых тел - многогранников, каждая грань которых представляет собой правильный многоугольник , а все вершины находятся в эквивалентном положении (как атомы углерода в молекуле С 60). Архимедовы тела состоят не менее, чем из двух различных типов многоугольников, в отличие от 5 Платоновых тел , все грани которых одинаковы (как в молекуле С 20 , например).

Рисунок 3. Конструирование Архимедового усеченного икосаэдра
из Платонового икосаэдра

Итак, как же сконструировать Архимедов усеченный икосаэдр из Платонова икосаэдра ? Ответ иллюстрируется с помощью рис. 3. Действительно, как видно из Табл. 1, в любой из 12 вершин икосаэдра сходятся 5 граней. Если у каждой вершины отрезать (отсечь) 12 частей икосаэдра плоскостью, то образуется 12 новых пятиугольных граней. Вместе с уже имеющимися 20 гранями, превратившимися после такого отсечения из треугольных в шестиугольные, они составят 32 грани усеченного икосаэдра. При этом ребер будет 90, а вершин 60.

Другую группу Архимедовых тел составляют два тела, именуемые квазиправильными многогранниками. Частица «квази» подчеркивает, что грани этих многогранников представляют собой правильные многоугольники всего двух типов, причем каждая грань одного типа окружена многоугольниками другого типа. Эти два тела носят название ромбокубооктаэдром и икосододекаэдром (Рис. 4).

Рисунок 5. Архимедовы тела: (а) ромбокубооктаэдр, (б) ромбоикосододекаэдр

Наконец, существуют две так называемые «курносые» модификации – одна для куба (курносый куб ), другая – для додекаэдра (курносый додекаэдр ) (Рис. 6).

Рисунок 6. Архимедовы тела: (а) курносый куб, (б) курносый додекаэдр

В упомянутой книге Венниджера «Модели многогранников» (1974) читатель может найти 75 различных моделей правильных многогранников. «Теория многогранников, в частности выпуклых многогранников, — одна из самых увлекательных глав геометрии» — таково мнение русского математика Л.А. Люстернака, много сделавшего именно в этой области математики. Развитие этой теории связано с именами выдающихся ученых. Большой вклад в развитие теории многогранников внес Иоганн Кеплер (1571-1630). В свое время он написал этюд «О снежинке», в котором высказал такое замечание: «Среди правильных тел самое первое, начало и прародитель остальных – куб, а его, если позволительно так сказать, супруга – октаэдр, ибо у октаэдра столько углов, сколько у куба граней». Кеплер первым опубликовал полный список тринадцати Архимедовых тел и дал им те названия, под которыми они известны поныне.

Кеплер первым начал изучать так называемые звездчатые многогранники, которые в отличие от Платоновых и Архимедовых тел являются правильными выпуклыми многогранниками. В начале прошлого столетия французский математик и механик Л. Пуансо (1777-1859), геометрические работы которого относятся к звездчатым многогранникам, в развитие работ Кеплера открыл существование еще двух видов правильных невыпуклых многогранников. Итак, благодаря работам Кеплера и Пуансо стали известными четыре типа таких фигур (Рис.7). В 1812 г. О. Коши доказал, что других правильных звездчатых многогранников не существует.

Рисунок 7. Правильные звездчатые многогранники (тела Пуансо)

У многих читателей может возникнуть вопрос: «А зачем вообще изучать правильные многогранники? Какая от них польза?». На этот вопрос можно ответить: «А какова польза от музыки или поэзии? Разве все красивое полезно?». Модели многогранников, приведенные на Рис. 1-7, прежде всего, производят на нас эстетическое впечатление и могут использоваться в качестве декоративных украшений. Но на самом деле широкое проявление правильных многогранников в природных структурах послужило причиной огромного интереса к этому разделу геометрии в современной науке.

Тайна Египетского календаря

Что такое календарь?

Русская пословица гласит: «Время – око истории». Все, что существует во Вселенной: Солнце, Земля, звезды, планеты, известные и неизвестные миры, и все, что есть в природе живого и неживого, все имеет пространственно-временное измерение. Время измеряется путем наблюдения периодически повторяющихся процессов определенной длительности.

Еще в глубокой древности люди заметили, что день всегда сменяется ночью, а времена года проходят строгой чередой: за зимой наступает весна, за весной лето, за летом осень. В поисках разгадки этих явлений человек обратил внимание на небесные светила – Солнце, Луну, звезды – и на неукоснительную периодичность их перемещения по небосводу. Это были первые наблюдения, которые предшествовали зарождению одной из самых древних наук – астрономии.

В основу измерения времени астрономия положила движение небесных тел, которое отражает три фактора: вращение Земли вокруг своей оси, обращение Луны вокруг Земли и движение Земли вокруг Солнца. От того, на каком из этих явлений основывается измерение времени, зависят и разные понятия времени. Астрономия знает звездное время, солнечное время, местное время, поясное время, декретное время, атомное время и т.д.

Солнце, как и все остальные светила, участвует в движении по небосводу. Кроме суточного движения, Солнце обладает так называемым годичным движением, а весь путь годичного движения Солнца по небосводу называется эклиптикой. Если, например, заметить расположение созвездий в какой-нибудь определенный вечерний час, а затем повторять это наблюдение через каждый месяц, то перед нами предстанет иная картина неба. Вид звездного неба изменяется непрерывно: каждому времени года свойственна своя картина вечерних созвездий и каждая такая картина через год повторяется. Следовательно, по истечении года Солнце относительно звезд возвращается на прежнее место.

Для удобства ориентировки в звездном мире астрономы разделили весь небосвод на 88 созвездий. Каждое из них имеет свое наименование. Из 88 созвездий особое место в астрономии занимают те, через которые проходит эклиптика. Эти созвездия, кроме собственных имен, имеют еще обобщенное название – зодиакальные (от греческого слова «zoop» — животное), а также широко известные во всем мире символы (знаки) и разнообразные аллегорические изображения, вошедшие в календарные системы.

Известно, что в процессе перемещения по эклиптике Солнце пересекает 13 созвездий. Однако астрономы сочли нужным разделить путь Солнца не на 13, а на 12 частей, объединив созвездия Скорпион и Змееносец в единое — под общим названием Скорпион (почему?).

Проблемами измерения времени занимается специальная наука, называемая хронологией. Она лежит в основе всех календарных систем, созданных человечеством. Создание календарей в древности являлось одной из важнейших задач астрономии.

Что же такое «календарь» и какие существуют системы календарей ? Слово календарь происходит от латинского слова calendarium , что буквально означает «долговая книга»; в таких книгах указывались первые дни каждого месяца –календы, в которые в Древнем Риме должники платили проценты.

С древнейших времен в странах Восточной и Юго-Восточной Азии при составлении календарей большое значение придавали периодичности движения Солнца, Луны, а также Юпитера и Сатурна , двух гигантских планет Солнечной системы. Есть основание предполагать, что идея создания юпитерианского календаря с небесной символикой 12-летнего животного цикла связана с вращением Юпитера вокруг Солнца, который делает полный оборот вокруг Солнца примерно за 12 лет (11,862 года). С другой стороны вторая гигантская планета Солнечной системы – Сатурн делает полный оборот вокруг Солнца примерно за 30 лет (29, 458 года). Желая согласовать циклы движения гигантских планет, древние китайцы пришли к идее введения 60-летнего цикла Солнечной системы. В течение этого цикла Сатурн делает 2 полных обороты вокруг Солнца, а Юпитер — 5 оборотов.

При создании годичных календарей используются астрономические явления: смена дня и ночи, изменение лунных фаз и смена времен года. Использование различных астрономических явлений привело к созданию у различных народов трех типов календарей: лунные, основанные на движении Луны, солнечные, основанные на движении Солнца, и лунно-солнечные.

Структура египетского календаря

Одним из первых солнечных календарей был египетский , созданный в 4-м тысячелетии до н.э. Первоначально египетский календарный год состоял из 360 дней. Год делился на 12 месяцев ровно по 30 дней в каждом. Однако позже было обнаружено, что такая длительность календарного года не соответствует астрономическому. И тогда египтяне добавили к календарному году еще 5 дней, которые однако не были днями месяцев. Это были 5 праздничных дней, соединявших соседние календарные годы. Таким образом, египетский календарный год имел следующую структуру: 365 = 12ґ 30 + 5. Заметим, что именно египетский календарь является прообразом современного календаря.

Возникает вопрос: почему египтяне разделили календарный год на 12 месяцев? Ведь существовали календари с другим количеством месяцев в году. Например, в календаре майя год состоял из 18 месяцев по 20 дней в месяце. Следующий вопрос, касающийся египетского календаря: почему каждый месяц имел ровно 30 дней (точнее суток)? Можно поставить некоторые вопросы и по поводу египетской системы измерения времени, в частности по поводу выбора таких единиц времени, как час, минута, секунда. В частности, возникает вопрос: почему единица часа была выбрана таким образом, чтобы она ровно 24 раза укладывалась в сутки, то есть, почему 1 сутки = 24 (2ґ 12) часа? Далее: почему 1 час = 60 минут, а 1 минута = 60 секунд? Эти же вопросы относятся и к выбору единиц угловых величин, в частности: почему окружность разбита на 360° , то есть, почему 2p =360° =12ґ 30° ? К этим вопросам добавляются и другие, в частности: почему астрономы признали целесообразным считать, что существует 12 зодиакальных знаков, хотя на самом деле в процессе своего движения по эклиптике Солнце пересекает 13 созвездий? И еще один «странный» вопрос: почему вавилонская система счисления имела весьма необычное основание – число 60?

Связь египетского календаря с числовыми характеристиками додекаэдра

Анализируя египетский календарь, а также египетские системы измерения времени и угловых величин, мы обнаруживаем, что в них с удивительным постоянством повторяются четыре числа: 12, 30, 60 и производное от них число 360 = 12ґ 30. Возникает вопрос: не существует ли какой-то фундаментальной научной идеи, которая могла бы дать простое и логичное объяснение использованию этих чисел в египетских системах?

Для ответа на это вопрос еще раз обратимся к додекаэдру , изображенному на Рис. 1-д. Напомним, что все геометрические соотношения додекаэдра основаны на золотой пропорции.

Знали ли египтяне додекаэдр? Историки математики признают, что древние египтяне обладали сведениями о правильных многогранниках. Но знали ли они все пять правильных многогранников, в частности додекаэдр и икосаэдр , как наиболее сложные из них? Древнегреческий математик Прокл приписывает построение правильных многогранников Пифагору. Но ведь многие математические теоремы и результаты (в частности Теорему Пифагора ) Пифагор позаимствовал у древних египтян в период своей весьма длительной «командировки» в Египет (по некоторым сведениям Пифагор прожил в Египте в течение 22 лет!). Поэтому мы можем предположить, что знание о правильных многогранниках Пифагор, возможно, также позаимствовал у древних египтян (а возможно, у древних вавилонян, потому что согласно легенде Пифагор прожил в древнем Вавилоне 12 лет). Но существуют и другие, более веские доказательства того, что египтяне владели информацией о всех пяти правильных многогранниках. В частности, в Британском Музее хранится игральная кость эпохи Птоломеев, имеющая форму икосаэдра , то есть «Платонового тела», дуального додекаэдру . Все эти факты дают нам право выдвинуть гипотезу о том, что египтянам был известен додекаэдр. И если это так, то из этой гипотезы вытекает весьма стройная система, позволяющая дать объяснение происхождению египетского календаря, а заодно и происхождению египетской системы измерения временных интервалов и геометрических углов.

Ранее мы установили, что додекаэдр имеет 12 граней, 30 ребер и 60 плоских углов на своей поверхности (Табл. 1). Если исходить из гипотезы, что египтяне знали додекаэдр и его числовые характеристики 12, 30. 60, то каково же было их удивление, когда они обнаружили, что этими же числами выражаются циклы Солнечной системы, а именно, 12-летний цикл Юпитера, 30-летний цикл Сатурна и, наконец, 60-летний цикл Солнечной системы. Таким образом, между такой совершенной пространственной фигурой, как додекаэдр , и Солнечной системой, существует глубокая математическая связь! Такой вывод сделали античные ученые. Это и привело к тому, что додекаэдр был принят в качестве «главной фигуры», которая символизировала Гармонию Мироздания . И тогда египтяне решили, что все их главные системы (календарная система, система измерения времени, система измерения углов) должны соответствовать числовым параметрам додекаэдра ! Поскольку по представлению древних движение Солнца по эклиптике имело строго круговой характер, то, выбрав 12 знаков Зодиака, дуговое расстояние между которыми равнялось ровно 30° , египтяне удивительно красиво согласовали годичное движение Солнца по эклиптике со структурой своего календарного года: один месяц соответствовал перемещению Солнца по эклиптике между двумя соседними знаками Зодиака! Более того, перемещение Солнца на один градус соответствовало одному дню в египетском календарном году! При этом эклиптика автоматически получалась разделенной на 360° . Разделив каждые сутки на две части, следуя додекаэдру, египтяне затем каждую половину суток разделили на 12 частей (12 граней додекаэдра ) и тем самым ввели час – важнейшую единицу времени. Разделив один час на 60 минут (60 плоских углов на поверхности додекаэдра ), египтяне таким путем ввели минуту – следующую важную единицу времени. Точно также они ввели секунду – наиболее мелкую на тот период единицу времени.

Таким образом, выбрав додекаэдр в качестве главной «гармонической» фигуры мироздания, и строго следуя числовым характеристикам додекаэдра 12, 30, 60, египтянам удалось построить чрезвычайно стройный календарь, а также системы измерения времени и угловых величин. Эти системы полностью согласовывалась с их «Теорией Гармонии», основанной на золотой пропорции, поскольку именно эта пропорция лежит в основе додекаэдра .

Вот такие удивительные выводы вытекают из сопоставления додекаэдра с Солнечной системой. И если наша гипотеза правильна (пусть кто-нибудь попытается ее опровергнуть), то отсюда следует, что вот уже много тысячелетий человечество живет под знаком золотого сечения ! И каждый раз, когда мы смотрим на циферблат наших часов, который также построен на использовании числовых характеристик додекаэдра 12, 30 и 60, мы прикасаемся к главной «Тайне Мироздания» — золотому сечению, сами того не подозревая!

Квазикристаллы Дана Шехтмана

12 ноября 1984 г. в небольшой статье, опубликованной в авторитетном журнале «Physical Review Letters» израильским физиком Даном Шехтманом, было предъявлено экспериментальное доказательство существования металлического сплава с исключительными свойствами. При исследовании методами электронной дифракции этот сплав проявил все признаки кристалла. Его дифракционная картина составлена из ярких и регулярно расположенных точек, совсем как у кристалла. Однако эта картина характеризуется наличием «икосаэдрической» или «пентангональной» симметрии, строго запрещенной в кристалле из геометрических соображений. Такие необычные сплавы были названы квазикристаллами. Менее чем за год были открыты многие другие сплавы подобного типа. Их было так много, что квазикристаллическое состояние оказалось намного более распространенным, чем это можно было бы представить.

Израильский физик Дан Шехтман

Понятие квазикристалла представляет фундаментальный интерес, потому что оно обобщает и завершает определение кристалла. Теория, основанная на этом понятии, заменяет извечную идею о «структурной единице, повторяемой в пространстве строго периодическим образом», ключевым понятием дальнего порядка. Как подчеркивается в статье «Квазикристаллы» известного физика Д Гратиа, «это понятие привело к расширению кристаллографии, вновь открытые богатства которой мы только начинаем изучать. Его значение в мире минералов можно поставить в один ряд с добавлением понятия иррациональных чисел к рациональным в математике».

Что же такое квазикристалл? Каковы его свойства и как его можно описать? Как упоминалось выше, согласно основному закону кристаллографии на структуру кристалла накладываются строгие ограничения. Согласно классическим представлениям, кристалл составляется ad infinitum из единственной ячейки, которая должна плотно (грань к грани) «устилать» всю плоскость без каких-либо ограничений.

Как известно, плотное заполнение плоскости может быть осуществлено с помощью треугольников (Рис.7-а), квадратов (Рис.7-б) и шестиугольников (Рис.7-г). С помощью пятиугольников (пентагонов ) такое заполнение невозможно (Рис.7-в).

а)	б)	в)	г)

Рисунок 7. Плотное заполнение плоскости может быть осуществлено с помощью треугольников (а), квадратов (б) и шестиугольников (г)

Таковы были каноны традиционной кристаллографии, которые существовали до открытия необычного сплава алюминия и марганца, названного квазикристаллом. Такой сплав образуется при сверхбыстром охлаждении расплава со скоростью 10 6 К в секунду. При этом при дифракционном исследовании такого сплава на экране упорядоченная картина, характерная для симметрии икосаэдра, обладающего знаменитыми запрещенными осями симметрии 5-го порядка.

Несколько научных групп во всем мире на протяжении нескольких последующих лет изучили этот необычный сплав посредством электронной микроскопии высокого разрешения. Все они подтвердили идеальную однородность вещества, в котором симметрия 5-го порядка сохранялась в макроскопических областях с размерами, близкими к размерам атомов (несколько десятков нанометров).

Согласно современным воззрениям разработана следующая модель получения кристаллической структуры квазикристалла. В основе этой модели лежит понятие «базового элемента». Согласно этой модели, внутренний икосаэдр из атомов алюминия окружен внешним икосаэдром из атомов марганца. Икосаэдры связаны октаэдрами из атомов марганца. В «базовом элементе» имеется 42 атома алюминия и 12 атомов марганца. В процессе затвердевания происходит быстрое формирование «базовых элементов», которые быстро соединяются между собой жесткими октаэдрическими «мостиками». Напомним, что гранями икосаэдра являются равносторонние треугольники. Чтобы образовался октаэдрический мостик из марганца, необходимо, чтобы два таких треугольника (по одному в каждой ячейку) приблизились достаточно близко друг к другу и выстроились параллельно. В результате такого физического процесса и образуется квазикристалличсеская структура с «икосаэдрической» симметрией.

В последние десятилетия было открыто много типов квазикристаллических сплавов. Кроме имеющих «икосаэдрическую» симметрию (5-го порядка) существуют также сплавы с декагональной симметрией (10-го порядка) и додекагональной симметрией (12-го порядка). Физические свойства квазикристаллов начали исследовать лишь недавно.

Каково же практическое значение открытия квазикристаллов? Как отмечается в упомянутой выше статье Гратиа, «механическая прочность квазикристаллических сплавов резко возрастает; отсутствие периодичности приводит к замедлению распространения дислокаций по сравнению с обычными металлами … Это свойство имеет большое прикладное значение: применение икосаэдрической фазы позволит получить легкие и очень прочные сплавы внедрением мелких частиц квазикристаллов в алюминиевую матрицу».

В чем же состоит методологическое значение открытия квазикристаллов? Прежде всего, открытие квазикристаллов является моментом великого торжества «додекаэдро-икосаэдрической доктрины», которая пронизывает всю историю естествознания и является источником глубоких и полезных научных идей. Во-вторых, квазикристаллы разрушили традиционное представление о непреодолимом водоразделе между миром минералов, в котором «пентагональная» симметрия была запрещена, и миром живой природы, где «пентагональная» симметрия является одной из наиболее распространенных. И не следует забывать, что главной пропорцией икосаэдра является «золотая пропорция». И открытие квазикристаллов является еще одним научным подтверждением, что, возможно, именно «золотая пропорция», проявляющая себя как в мире живой природы, так и в мире минералов, является главной пропорцией Мироздания.

Плитки Пенроуза

Когда Дан Шехтман привел экспериментальное доказательство существования квазикристаллов, обладающих икосаэдрическиой симметрией , физики в поисках теоретического объяснения феномена квазикристаллов, обратили внимание на математическое открытие, сделанное на 10 лет раньше английским математиком Роджером Пенроузом. В качестве «плоского аналога» квазикристаллов были выбраны плитки Пенроуза , представляющие собой апериодические регулярные структуры, образованные «толстыми» и «тонкими» ромбами, подчиняющиеся пропорции «золотого сечения». Именно плитки Пенроуза были взяты на вооружение кристаллографами для объяснения феномена квазикристаллов . При этом роль ромбов Пенроуза в пространстве трех измерений начали играть икосаэдры , с помощью которых и осуществляется плотное заполнение трехмерного пространства.

Рассмотрим еще раз внимательно пентагон на Рис. 8.

Рисунок 8. Пентагон

После проведения в нем диагоналей исходный пентагон может быть представлен как совокупность трех типов геометрических фигур. В центре находится новый пентагон, образуемый точками пересечения диагоналей. Кроме того пентагон на Рис. 8 включает в себя пять равнобедренных треугольников, окрашенных в желтый цвет, и пять равнобедренных треугольников, окрашенных в красный цвет. Желтые треугольники являются «золотыми», так как отношение бедра к основанию равно золотой пропорции; они имеют острые углы в 36° при вершине и острые углы в 72° при основании. Красные треугольники также являются «золотыми», так как отношение бедра к основанию равно золотой пропорции; они имеют тупой угол в 108° при вершине и острые углы в 36° при основании.

А теперь соединим два желтых треугольника и два красных треугольника их основаниями. В результате мы получим два «золотых» ромба . Первый из них (желтый) имеет острый угол в 36° и тупой угол в 144° (Рис. 9).

(а)	(б)

Рисунок 9. « Золотые» ромбы: а) «тонкий» ромб; (б) «толстый» ромб

Ромб на Рис. 9-а будем называть тонким ромбом, а ромб на Рис. 9-б – толстым ромбом.

Английский математик и физик Роджерс Пенроуз использовал «золотые» ромбы на Рис. 9 для конструирования «золотого» паркета, который был назван плитками Пенроуза. Плитки Пенроуза представляют собой комбинацию толстых и тонких ромбов, показанную на Рис. 10.

Рисунок 10. Плитки Пенроуза

Важно подчеркнуть, что плитки Пенроуза имеют «пентагональную» симметрию или симметрию 5-го порядка, а отношение числа толстых ромбов к тонким стремится к золотой пропорции!

Фуллерены

А теперь расскажем еще об одном выдающемся современном открытии в области химии. Это открытие было сделано в 1985 г., то есть, несколькими годами позже квазикристаллов. Речь идет о так называемых «фуллеренах». Термином «фуллерены» называют замкнутые молекулы типа С 60 , С 70 , С 76 , С 84 , в которых все атомы углерода находятся на сферической или сфероидальной поверхности. В этих молекулах атомы углерода расположены в вершинах правильных шестиугольников или пятиугольников, которые покрывают поверхность сферы или сфероида. Центральное место среди фуллеренов занимает молекула С 60 , которая характеризуется наибольшей симметрией и как следствие наибольшей стабильностью. В этой молекуле, напоминающей покрышку футбольного мяча и имеющую структуру правильного усеченного икосаэдра (Рис.2-д и Рис.3), атомы углерода располагаются на сферической поверхности в вершинах 20 правильных шестиугольников и 12 правильных пятиугольников так что каждый шестиугольник граничит с тремя шестиугольниками и тремя пятиугольниками, а каждый пятиугольник граничит с шестиугольниками.

Термин «фуллерен» берет свое начало от имени американского архитектора Бакминстера Фуллера, который, оказывается использовал такие структуры при конструировании куполов зданий (еще одно применение усеченного икосаэдра!).

«Фуллерены» по существу представляют собой «рукотворные» структуры, вытекающие из фундаментальных физических исследований. Впервые они были синтезированы в учеными Г. Крото и Р. Смолли (получившими в 1996 г. Нобелевскую премию за это открытие). Но в их неожиданно обнаружили в породах докембрийского периода , то есть фуллерены оказались не только «рукотворными», но природными образованиями. Сейчас фуллерены интенсивно изучают в лабораториях разных стран, пытаясь установить условия их образования, структуру, свойства и возможные сферы применения. Наиболее полно изученный представитель семейства фуллеренов - фуллерен-60 (C 60) (его называют иногда бакминстер-фуллерен. Известны также фуллерены C 70 и C 84 . Фуллерен С 60 получают испарением графита в атмосфере гелия. При этом образуется мелкодисперсный, похожий на сажу порошок, содержащий 10% углерода; при растворении в бензоле порошок дает раствор красного цвета, из которого и выращивают кристаллы С 60 . Фуллерены обладают необычными химическими и физическими свойствами. Так, при высоком давлении С 60 становится твердым, как алмаз. Его молекулы образуют кристаллическую структуру, как бы состоящую из идеально гладких шаров, свободно вращающихся в гранецентрированной кубической решетке. Благодаря этому свойству C 60 можно использовать в качестве твердой смазки. Фуллерены обладают также магнитными и сверхпроводящими свойствами.

Российские ученые А.В. Елецкий и Б.М. Смирнов в своей статье «Фуллерены», опубликованной в журнале «Успехи физических наук» (1993, том 163, №2), отмечают, что «фуллерены, существование которых было установлено в середине 80-х, а эффективная технология выделения которых была разработана в 1990 г., в настоящее время стали предметом интенсивных исследований десятков научных групп. За результатами этих исследований пристально наблюдают прикладные фирмы. Поскольку эта модификация углерода преподнесла ученым целый ряд сюрпризов, было бы неразумным обсуждать прогнозы и возможные последствия изучения фуллеренов в ближайшее десятилетие, но следует быть готовым к новым неожиданностям».

Художественный мир словенской художницы Матюшки Тейи Крашек

Матюшка Тейя Крашек (Matjuska Teja Krasek) получила степень бакалавра живописи в Колледже визуальных искусств (Любляна, Словения) и является свободным художником. Живет и работает в Любляне. Ее теоретическая и практическая работа фокусируется на симметрии как связующей концепции между искусством и наукой. Ее художественные работы представлялись на многих международных выставках и опубликованы в международных журналах (Leonardo Journal, Leonardo on-line).

М.Т. Крашек на своей выставке ‘Kaleidoscopic Fragrances’, Любляна, 2005

Художественное творчество Матюшки Тейи Крашек связано с различными видами симметрии, плитками и ромбами Пенроуза, квазикристаллами, золотым сечением как главным элементом симметрии, числами Фибоначчи и др. С помощью рефлексии, воображения и интуиции она пытается подобрать новые отношения, новые уровни структуры, новые и различные виды порядка в этих элементах и структурах. В своих работах она широко использует компьютерную графику как весьма полезное средство для создания художественных работ, которое является связующим звеном между наукой, математикой и искусством.

На Рис. 11 приведена композиция Т.М. Крашек, связанная с числами Фибоначчи. Если мы выберем одно из чисел Фибоначчи (например, 21 см) для длины стороны ромба Пенроуза в этой ощутимо нестабильной композиции, мы можем наблюдать, как длины некоторых отрезков в композиции образуют последовательность Фибоначчи.

Рисунок 11. Матюшка Тейя Крашек «Числа Фибоначчи», холст, 1998.

Большое количество художественных композиций художницы посвящено квазикристаллам Шехтмана и решеткам Пенроуза (Рис. 12).

(а)	(б)

(в)	(г)

Рисунок 12. Мир Тейи Крашек: (а) Мир квазикристаллов. Компьютерная графика, 1996.
(б) Звезды. Компьютерная графика, 1998 (в) 10/5. Холст, 1998 (г) Квазикуб. Холст, 1999

В композиции Матюшки Тейи Крашек и Клиффорда Пиковера «Биогенезис», 2005 (Рис. 13) представлен декагон, состоящий из ромбов Пенроуза. Можно наблюдать отношения между ромбами Петроуза; каждые два соседние ромба Пенроуза образуют пентагональную звезду.

Рисунок 13. Матюшка Тейя Крашек и Клиффорд Пиковер. Биогенезис, 2005.

В картине Double Star GA (Рис. 14) мы видим, как сочетаются плитки Пенроуза, чтобы сформировать двумерное представление потенциально гиперпространственного объекта c десятиугольным основанием. При изображении картины художница использовала метод жестких ребер, предложенный Леонардо да Винчи. Именно такой способ изображения позволяет увидеть в проекции картины на плоскость большое число пентагонов и пентаклов, которые образуются проекциями отдельных ребер ромбов Пенроуза. Кроме того, в проекции картины на плоскость мы видим декагон, образованный ребрами 10 смежных ромбов Пенроуза. По существу в этой картине Матюшка Тейи Крашек нашла новый правильный многогранник, который вполне возможно реально существует в природе.

Рисунок 14. Матюшка Тейа Крашек. Double Star GA

В композиции Крашек «Stars for Donald» (Рис. 15) мы можем наблюдать бесконечное взаимодействие ромбов Пенроуза, пентаграмм, пятиугольников, уменьшающихся к центральной точке композиции. Отношения золотой пропорции представлены многими различными способами в различных шкалах.

Рисунок 15. Матюшка Тейя Крашек «Stars for Donald», компьютерная графика, 2005.

Художественные композиции Матюшки Тейи Крашек привлекли огромное внимание представителей науки и искусства. Ее искусство приравнивают к искусству Маурица Эшера и называют словенскую художницу «Восточно-европейским Эшером» и «Словенским подарком» мировому искусству.

Стахов А.П. «Код да Винчи», Платоновы и Архимедовы тела, квазикристаллы, фуллерены, решетки Пенроуза и художественный мир Матюшки Тейи Крашек // «Академия Тринитаризма», М., Эл № 77-6567, публ.12561, 07.11.2005

Круг деленный на равные части, позволяет нам построить "идеальные" или правильные многоугольники. Полученных правильных многоугольников может быть бесконечно много.
Простейшим правильным многоугольником можно считать равносторонний треугольник.
Но, многогранников, геометрических тел, получиться бесконечно много не может, так как многогранники, это фигуры, полученные соединениями многоугольников, таким образом, при котором, каждая сторона одного многоугольника является так же и стороной другого многоугольника (называемого смежным). Причем, каждая вершина полученного тела, образует соединения граней многоугольников, обладающих ребрами - сторонами и вершинами.
Многогранников в круге (то есть, объемных геометрических фигур), может получиться только пять. Платон соотнес полученные тела со Стихиями следующим образом.

1. ОГОНЬ - Тетраэдр. Состоит из четырёх равносторонних треугольников. Каждая его вершина является вершиной трёх треугольников. Следовательно, сумма плоских углов при каждой вершине равна 180;.
Количество граней – 4, вершин – 4, рёбер - 6
Объем - V= (a;;2)/12.
Площадь поверхности - S= a;;3
С точки зрения астрологии, 180 градусов, это аспект оппозиция. В которой одно начало преобразовывает другое, на свое усмотрение.
Стихии Огонь свойственно проявлять свой потенциал в устоявшуюся среду и достигать поставленных целей. Янская, внешняя стихия проявляет себя внутренним противоречием индивидуальности с целым, Иньскими качествами, свойственными стихии Земля.

2.ВОЗДУХ - Октаэдр. Имеет вид двух совмещенных треугольников, соединенных по основанию. Каждая вершина октаэдра является вершиной четырех треугольников. Следовательно, сумма плоских углов при каждой вершине 240;.
Количество граней – 8, вершин – 6, рёбер – 12
Объем - V= (a;;2)/3.
Площадь поверхности - S= 2a;;3
С точки зрения астрологии, 240 градусов, это аспект тригона.
Воздух совершает беспрепятственную экспансию. Быстро или медленно, но без преодоления и преобразования среды, в которую совершает вхождение. Он воспринимается желанно и благоприятно. Янская внешняя стихия, проявляет качества, свойственные стихии Вода.

3. ЗЕМЛЯ - Куб или правильный гексаэдр - правильный многогранник, каждая грань которого представляет собой квадрат.
Куб состоит из шести квадратов. Каждая вершина куба является вершиной трёх квадратов. Следовательно, сумма плоских углов при каждой вершине равна 270;.
Количество граней – 6, вершин – 8, рёбер – 12
Объем - V= a;.
Площадь поверхности - S= 6a;
С точки зрения АСТРОЛОГИИ, 270 гр представляет динамичный аспект квадратуры.
Поверхностное противоречие между Стихией и свойством аспекта легко разрешимо, если учитывать, что существует внешний и внутренний уровень. Инь и Ян.
Так - Огонь, обладает стабильным и статичным аспектом. Янская стихия проявляется Иньским образом.
Потенциал Огня столь велик, что после его проявления реальность не может остаться прежней. Ей приходится выстраивать новые центры тяжести, искать новые способы существования и подстраиваться под трансформации, вызванные Огнем.
После проявления Огня, противоречие не устранимо, оно постоянно. Оно не влияет на саму стихию Огонь, только среда, в которой проявляется Стихия, испытывает ее влияние и примеряется к ней, подстраивается под нее. Проявившаяся стихия Огонь, имеет Иньские - длительные следствия.
Проявившаясь стихия Земли, своим устойчивым и статичным потенциалом в силу медленного движения не повреждает среду, но заставляет ее приспосабливаться и искать способы взаимодействия, в которых среда проявляет Янские качества.

4. ПРОСТРАНСТВО (Эфир) - Додекаэдр - двенадцатигранник - правильный многогранник, составленный из двенадцати правильных пятиугольников. Додекаэдр имеет центр симметрии и 15 осей и 15 плоскостей симметрии.
Каждая вершина додекаэдра является вершиной трёх правильных пятиугольников. Следовательно, сумма плоских углов при каждой вершине равна 324;.
Количество граней – 12, вершин – 20, рёбер – 30
Объем - V= a;(15+7;5)/4.
Площадь поверхности - S= 3a;;5(5+2;5)
С точки зрения астрологии, Пространство порождает творческий минорный, дискретный аспект с углом в 36 (72, 144) градусов - Дециль/Полуквинтиль, обладающий природой неожиданной, творческой динамики, оказывающей влияние на среду. Считается, что это аспект "гуманности", соразмеренности и уместности инициатив.
Он тактично встраивает индивидуальное в целое.

5. ВОДА - Икосаэдр - двадцатигранник. Каждая из 20 граней представляет собой равносторонний треугольник. 30 ребер, 20 граней и 12 вершин. Икосаэдр имеет 59 звездчатых форм.
Каждая вершина икосаэдра является вершиной пяти треугольников, сумма плоских углов при каждой вершине равна 300;.
Количество граней – 20, вершин – 12, рёбер – 30
Объем - V= 5a;(3+;5)/12.
Площадь поверхности - S= 5a;;3
С точки зрения астрологии, это аспект секстиля, отличающийся кратковременным интенсивным взаимодействием среды и индивидуальности.
(Чем короче "ребро", тем длительней взаимодействие, чем больше вершин, тем больше пиков активности.)
Иньская, скрытая, внутренняя Стихия порождает Янский способ взаимодействия на внешнем уровне, качествами проявления более соответсвующий стихии Воздух.

_____________________________
«В тот день, когда наука начнет изучать не только физические явления, она достигнет большего прогресса за одно десятилетие, чем за все предыдущие столетия своего существования.» - Никола Тесла.
Существует множество примеров случайных совпадений.
Но, совпадений не может быть от природы, так как, может случиться только то, что пребывает в резонансе, симметрии, кратности - во взаимодействии.
Числовых "Совпадений" столь много, что становится очевидной их не случайность.
Каждый может найти их самостоятельно, вот несколько примеров данной
занимательной абстракции:

Динамичность взаимодействия Стихий в градусах:
Вода - Огонь 300-180=120;
Воздух - Огонь 270-180=90;
Вода - Воздух 300-240=60;
Вода - Земля 300-270=30;
Воздух- Земля 270-240=30;

Сложим суммы плоских углов полученных многогранников
ОГОНЬ, Тетраэдр 180;
ВОЗДУХ, Октаэдр 240;
ЗЕМЛЯ, Куб 270;
ВОДА, Икосаэдр 300;
Пространство, Додекаэдр 324;
180+240+270+300+324=1314;. Разделим на 360; окружности.
1314:360=3,65
365 дней в году.
Температура человеческого тела 36,5 градусов.
324-180=144
24 часа умножим на 60 минут=1440.
60минут умноженное на 60 секунд =3600, 360 градусов в окружности.
Сложим вершины многоугольников: 4+6+8+12+ 20=50
360:50=72
72 часа в трех сутках.
72 удара в минуту средний пульс здорового взрослого человека.
Угол вращения цепочки ДНК =72.
72 - итог сложения всех букв, вписанных в тетраграммматон.
72 - максимальное число сфер, касающихся одной сферы в плотной упаковке в 6-мерном пространстве.
В исламе и иудаизме есть понятие 72 имени Бога.
72 градуса - внешний угол правильного пятиугольника

Если исключить из расчетов Пространство, то 360:30=12.
12 знаков Зодиака
12 месяцев в году и так далее.

180+240+270+300=990;
990:360=2,75
Средний срок беременности составляет 275 суток.
Нумерология, считает, что число 275 - союз Бога с человеком во имя творчества.

Правильные многогранники можно вписывать друг в друга.
По этому, все Стихии могут проявляться как на внешнем, так и на внутреннем уровне.
Додекаэдр, ПРОСТРАНСТВО, содержит в себе все фигуры.
В куб вписывается тетраэдр - ОГОНЬ, аналогичным образом в тетраэдр вписывается куб.
Стихия Огонь пребывает в недрах планеты Земля, а так же, Огонь может проявляться над Землей в виде света, молний и тепла.
Октаэдр - ВОЗДУХ, может быть вписан в куб, а так же, куб может быть вписан в Октаэдр.
Стихия Воздух содержится в пустых полостях планеты Земля, а так же, вокруг Земли.
В куб можно вписать икосаэдр. Воде свойственно заполнять пустые полости Земли.
В икосаэдр можно вписать додекаэдр и, следовательно, куб и тетраэдр.
Стихия Вода способна связывать между собой все Стихии.
Она пребывает и на поверхности Земли, и в Воздухе, выделяется из Воздуха в процессе горения, так же, она, как и все фигуры способна пребывать в Пространстве, Эфире.

ПЛАТОНОВЫ ТЕЛА [П. - от греч. Platon (427–347 гг. до н. э. / Т. - происх. см. ТЕЛО), совокупность всех правильных многогранников [т. е. объемных (трехмерных) тел, ограниченных равными правильными многоугольниками] трехмерного Мира, впервые описанных Платоном (им также посвящена заключительная, XIII-я книга «Начал» Платонова ученика Евклида); // при всём бесконечном многообразии правильных многоугольников (двумерных геометрических фигур, ограниченных равными сторонами, смежные пары которых попарно образуют равные между собой углы), существует всего пять объемных П.т. (см. Табл. 6), в соответствие которым со времен Платона ставятся пять стихий Мироздания; любопытна связь, существующая между гексаэдром и октаэдром, а также между додекаэдром и икосаэдром: геометрические центры граней каждого первого являются вершинами каждого второго.

Человек проявляет интерес к многогранникам на протяжении всей своей сознательной деятельности - от двухлетнего ребенка, играющего деревянными кубиками, до зрелого математика. Некоторые из правильных и полуправильных тел встречаются в природе в виде кристаллов, другие - в виде вирусов, которые можно рассмотреть с помощью электронного микроскопа. Что же такое многогранник? Для ответа на этот вопрос напомним, что собственно геометрию определяют иногда как науку о пространстве и пространственных фигурах - двумерных и трехмерных. Двумерную фигуру можно определить как множество отрезков прямых, ограничивающих часть плоскости. Такая плоская фигура называется многоугольником. Из этого следует, что многогранник можно определить как множество многоугольников, ограничивающих часть трехмерного пространства. Многоугольники, образующие многогранник, называются его гранями.

Издавна ученые интересовались "идеальными" или правильными многоугольниками, то есть многоугольниками, имеющими равные стороны и равные углы. Простейшим правильным многоугольником можно считать равносторонний треугольник, поскольку он имеет наименьшее число сторон, которое может ограничить часть плоскости. Общую картину интересующих нас правильных многоугольников наряду с равносторонним треугольником составляют: квадрат (четыре стороны), пентагон (пять сторон), гексагон (шесть сторон), октагон (восемь сторон), декагон (десять сторон) и т.д. Очевидно, что теоретически нет каких-либо ограничений на число сторон правильного многоугольника, то есть число правильных многоугольников бесконечно.

Что же такое правильный многогранник? Правильным называется такой многогранник, все грани которого равны (или конгруэнтны) между собой и при этом являются правильными многоугольниками. Сколько же существует правильных многогранников? На первый взгляд ответ на этот вопрос очень простой - столько же, сколько существует правильных многоугольников. Однако это не так. В "Началах Евклида" мы находим строгое доказательство того, что существует только пять правильных многогранников, а их гранями могут быть только три типа правильных многоугольников: треугольники, квадраты и пентагоны.

Наименование Кол-во граней Стихия
Тетраэдр 4 Огонь
Гексаэдр/Куб 6 Земля
Октаэдр 8 Воздух
Икосаэдр 10 Вода
Додекаэдр 12 Эфир

Платоновы тела

Мир звездчатых многогранников

Мир наш исполнен симметрии. С древнейших времен с ней связаны наши представления о красоте. Наверное, этим объясняется непреходящий интерес человека к удивительным символам симметрии, привлекавшим внимание множества выдающихся мыслителей, от Платона и Евклида до Эйлера и Коши.

Впрочем, многогранники отнюдь не только объект научных исследований. Их формы – завершенные и причудливые, широко используются в декоративном искусстве.

Звездчатые многогранники очень декоративны, что позволяет широко применять их в ювелирной промышленности при изготовлении всевозможных украшений. Применяются они и в архитектуре. Многие формы звездчатых многогранников подсказывает сама природа. Снежинки - это звездчатые многогранники. С древности люди пытались описать все возможные типы снежинок, составляли специальные атласы. Сейчас известно несколько тысяч различных типов снежинок.

Звездчатый додекаэдр

Большой звездчатый додекаэдр принадлежит к семейству тел Кеплера-Пуансо, то есть правильных невыпуклых многогранников. Грани большого звездчатого додекаэдра – пентаграммы, как и у малого звездчатого додекаэдра. У каждой вершины соединяются три грани. Вершины большого звездчатого додекаэдра совпадают с вершинами описанного додекаэдра.

Большой звездчатый додекаэдр был впервые описан Кеплером в 1619 г. Это последняя звездчатая форма правильного додекаэдра.

Пифагорейская школа мистерий, Платон и древние греки считали, что эти пять тел являются основными паттернами, стоящими за физическим мирозданием. Тем не менее, эти древние знания известны с незапамятных времен. Четыре тела - это архетипические паттерны, стоящие за четырьмя элементами всего мироздания: Земли, Огня, Воздуха и Воды. Пятый паттерн считался Универсальной Субстанцией мироздания, и в некоторых тайных школах его считали Пятым элементом - Эфиром. Пятое тело - это додекаэдр, и его использование в материальном мире тщательно скрывали, поскольку чувствовали опасность его неправильного применения. Мы точно знаем, что Негативная Инопланетная Программа, многие тайные общества и линии Иллюминатов неправильно использовали их как формы, лежащие в основе десяти реверсивных структур, помещенных в Землю в качестве матрицы Управление сознанием.

Это названо Реверсивными Сетями 55 и выражается формами додекаэдра, многие из которых связаны с реверсивной матрицей, используемой для служения Я сущностей. Таким образом, в нашей модели мы рассмотрим додекаэдр как элементную матрицу или субстанцию, используемую для формирования времени и пространства. Матрица может быть запрограммирована с различными углами преломления света, неорганически изгибающими время и пространство. Посредством Иерогамии происходит модернизация - Звезда Меркурий (Star of Azoth), с Кристальной Звезды, Семи Священных Солнц, содержащих компонент Космического Эфира. Этот пятый элемент усовершенствуется в шестой, поддерживающий нашу связь и общение в соответствии с Космическим Верховный Законом и под руководством Кристальной Звезды. Космический Эфир или Квинтэссенция Матери проявляется в любом геометрическом волновом паттерне и вдыхает жизнь в форму. Она создает потомство как множественные фрактальные паттерны спиралей, являющееся созданиями, рожденными в форме и материи. Платоновы тела упорядочены в фрактальных паттернах, сплетающих Морфогенетическое Поле в Проект, который в пространстве проявляет матрицу, связывающую атомы со Звездами в их астрономических паттернах. Хотя формы платонических тел различны, соотношения, структура и голографический рисунок подобны. Это соответствует Герметическому принципу «Что наверху, то и внизу».

Эти астрономические паттерны наблюдаются в ежегодном движении по эклиптике через созвездия Солнца, которое движется на протяжении многих тысяч лет в эволюционных циклах, называемых Прецессией Равноденствий. Вселенная движется и развивается по спирали. Все противоположные полярности растворяются, приходя по спирали в равновесие. Баланс между полярностями можно наблюдать в спиральном движении. Движение энергии по спирали имеет основной центр, в котором существует абсолютный ноль спирали, это нейтральный центр или центр покоя. Этот основной центр спирали сознания имеется у всех живых существ.

Пять Платоновых тел - это строительные блоки Священной Геометрии в сознании, имеющие одинаковые особенности:

Все грани имеют один и тот же размер

Все ребра имеют одинаковую длину

Все углы тела равны

Все тела можно вписать в сферу

Тетраэдр - первое платоново тело, четыре грани которого - правильные треугольники, представляет стихию огня. Оно связано с пересечением траекторий планет Юпитера и Марса, которое было впервые обнаружено Иоганном Кеплером.

Гексаэдр - второе Платоново тело, шесть граней которого - квадраты, символизирует стихию земли. Оно связано с пересечением траекторий планет Сатурна и Юпитера, которое было впервые обнаружено Иоганном Кеплером.

Октаэдр - третье Платоново тело, восемь граней которого - правильные треугольники, и оно представляет стихию воздуха. Это связано с пересечением траекторий планет Марса и Земли, которое было впервые обнаружено Иоганном Кеплером.

Додекаэдр - четвертое Платоново тело, двенадцать граней которого - правильные пятиугольники, представляет элемент времени и пространства, субстанцию, их которой строятся матрицы. Оно связано с пересечениями траекторий планет Земли и Венеры, которое было впервые обнаружено Иоганном Кеплером.

Икосаэдр - пятое Платоново тело, двадцать граней которого - равносторонние треугольники, символизирует стихию воды. Оно связано с пересечениями траекторий планет Венеры и Меркурия, которое было впервые обнаружено Иоганном Кеплером.

Единое поле сети

Платоновы тела - это геометрически сформированные композиции, которые организованы в различные группы, чтобы провести кодировку основы структуры сети. Сеть - общий термин, применяемый для объяснения множественных уровней Морфогенетического Поля, которые формируют Единое Поле живой субстанции, посредством которой все связано во Вселенной. Сеть представляет ткань, в которой уровни кристаллических проектов сплетаются в проявление, поддерживая форму и сознание. Энергия сети - это сама сущность и ткань Вселенной.

Геометрические формы - это кристаллические структуры, формирующие многомерные уровни форм сознания и материи. Они действуют как частотные строительные блоки и звуковые тоны, на основе которых формируются основные шаблоны тел. Геометрические формы - это то, что проецирует и расширяет формы сознания во времени и пространстве, а также возвращает тело Сознания в основной центр. Они закладывают геометрический фундамент всей материи, структур и биологии, которые воспринимают пространство и время во всем Космосе. Эти основные геометрические тела формируют электромагнитные поля, перемещаясь одновременно во многих измерениях, и управляют тем, как эти поля проявляют и строят материальные формы. Платоновы тела формируют кристаллическую матрицу электромагнитных полей и сознания, пронизывающую и связывающую все во Вселенной.

Священная геометрия

Основные геометрические формы Платоновых тел организованы в группы, из которых формируются более сложные наборы команд и геометрические коды. Все материальные формы и энергия сознания структурированы на основе этих основных групп и установок геометрического кодирования. Это определяет основную атомную структуру и генетику формы, ее характеристики и индивидуальность. Работа со Священной Геометрией - это работа с группами геометрических паттернов, обусловленных Платоновыми телами. Обратите внимание, что эти группы формируют определенное кодирование, направляющее световые и звуковые волны на формирование множественных выражений во многих измерениях одновременно. Эти геометрические коды удерживают основной шаблон проявления во всех отдельных формах. Они также поддерживают основную структуру, формирующую сознание внутри всех вещей во Вселенной. Свойства проявления форм могут быть изменены или адаптированы путем реконфигурации этих основных геометрических кодов.

Священная Геометрия содержит все инструкции и строительные блоки для Проектов всего мироздания, от непроявленных миров до проявленных, и является основой всех форм и Сознания. Священная Геометрия - это паттерн Сознания. На любом уровне, от кванта до огромных планетарных и астрономических тел, каждый паттерн роста, изменения или движения соответствует с математической точностью одному или более геометрическим формам. Священная Геометрия - это древняя метафизическая наука, изучающая математические паттерны, которые заложены в мироздании, и выясняющая точный способ, которым Вселенная организует сама себя. Священная Геометрия раскрывает основную связь, лежащую в основе всех вещей, в математической форме, посредством чисел и геометрии, доказывая скрытый порядок, стоящий за всем мирозданием, в Божественном Бесконечном Исчислении. Великое понимание, что «Бог - это математика», а Священная Геометрия - это язык Вселенной, стоящий за всеми формами мироздания, создает космологию единства, а не ощущение разделенности.

Постижение Священной Геометрии путем медитаций или созерцания важно для исследования природы, понимания цели и необходимости образования Души-Духа. Наш уникальный паттерн души держит математические паттерны и геометрические формы, предписывающие паттерн нашего сознания. Когда мы изучаем эти структуры сознания, мы получаем более глубокое понимание математических паттернов и кодов, открывающих символизм природы нашего отношения к самим себе, к Вселенной и Богу.

Все имеет паттерн, лежащий в основе проекта, являющийся ключом к созданию определенных событий и воздействующий на наше сознание или восприятие. Изучая естественные изменения и движения царств природы, геометрию, присущую природе, мы получаем богатую информацию о том, как природа работает. Все формы производят в соответствии с Гендерным Принципом Созидания. Все создано путем соединения принципов Матери и Отца.

Перевод:

ГЕОМЕТРИЯ ПЛАТОНОВЫХ ТЕЛ

изм. от 24.06.2013 г - (дополнено)

К основным пяти Платоновым телам относятся: октаэдр, звездный тетраэдр, куб, додекаэдр, икосаэдр.

Каждый из геометрических паттернов, будь то атомное ядро, микрокластеры, глобальная решетка или расстояния между планетами , звездами, галактиками, является одним из пяти основных “Платоновых Твердых Тел”.

Почему подобные паттерны так часто возникают в природе? Один из первых намеков: математики знали, что эти формы обладают большей “симметрией”, чем любая трехмерная геометрия, которую мы можем создавать.

Из книги Роберта Лолора "Сакральная геометрия" мы можем узнать, что индусы сводили геометрии Платоновых Тел в структуру октавы, которую мы видим для звука и света (ноты и цвета). Греческий математик и философ Пифагор, посредством процесса последовательного деления частоты на пять, впервые разработал восемь “чистых” тонов октавы, известных как диатоническая шкала. Он взял однострунный “монохорд”, и измерил точные длины волны при проигрывании разных нот. Пифагор показал, что частоту (или скорость вибрации) каждой ноты можно представить в виде отношения между двумя частями струны, или двумя числами, отсюда и термин “диатонические отношения”.

Нижеприведенная таблица перечисляет геометрию в определенном порядке, увязав ее с числом спирали фи (). Это дает полную и законченную картину, как работают вместе различные вибрации. Она основана на присвоении ребрам куба длины, равной “1 ”. Затем мы сравниваем с этой величиной ребра всех других форм, больше они или меньше. Мы знаем, что в Платоновых Телах каждая грань имеет одинаковую форму, каждый угол идентичен, каждый узел находится на одинаковом расстоянии от всех других узлов, и каждая линия имеет одинаковую длину.

Это поможет понять, как при помощи вибраций спирали фи платоновы тела постепенно перетекают одно в другое.

МНОГОМЕРНОСТЬ ВСЕЛЕННОЙ

Cама концепция связи Платоновых геометрий с более высокими планами возникает потому, что ученые знают: там должна быть геометрия; они обнаружили это в уравнениях. Чтобы обеспечить “большее пространство” для появления невидимых дополнительных осей в “скрытых” 90° поворотах, требуется наличие Платоновых геометрий . В способе анализа данных, каждая грань геометрической формы представляет собой разную ось или план, в котором она могла бы вращаться. Когда мы начинаем рассматривать работы Фуллера и Дженни, мы видим, что идея других планов, существующих в “скрытых” 90° поворотах, - просто некорректное объяснение, основанное на отсутствии знания о “сакральных” связях между геометрией и вибрацией.

Весьма похоже на то, что традиционные ученые так и не поймут, что древние культуры могли иметь “упущенную связь”, существенно упрощающую и объединяющую все современные теории физики пространства. Хотя может показаться невероятным, что у “примитивной” культуры имелся доступ к такому виду информации, доказательство налицо. Почитайте классическую книгу Прасада , ибо сейчас можно видеть, что ведической космологии присуще научное мастерство.

Думаете что вы видите? - это взрывающаяся звезда с выбрасывающейся из нее пылью… Но здесь явно имеется и некий вид энергетического поля, структурирующего пыль по мере ее расширения в очень точный геометрический паттерн:

Проблема в том, что типичные магнитные поля в традиционных физических моделях просто не позволяют такую геометрическую точность. Ученые действительно не знают, как понимать такие вещи!

Нижеприведенное изображение – это НОВАЯ туманность, являющаяся совершенным “квадратом”. Однако это все еще двумерное мышление. Что такое квадрат в трех измерениях?
Конечно, куб!

Наблюдаемая в инфракрасном диапазоне туманность напоминает гигантскую сияющую коробку в небе с ярким белым внутренним ядром. Умирающая звезда MWC 922 находится в центре системы и извергает в пространство внутренности из противоположных полюсов. После того, как MWC 922 испустит в пространство большую часть материала, она будет сжиматься в плотное звездное тело, известное как белый карлик, спрятанный в облаках своих остатков.

Хотя отдаленно возможно, что взрыв звезды распространяется лишь в одном направлении, создавая больше пирамидальную форму, то, что вы видите, - это совершенный куб, находящийся в пространстве. Поскольку все четыре стороны куба имеют одинаковую длину и совершенные 90° углы друг с другом, и вновь, куб обладает структурированными “ступеньками”, которые мы видели на предыдущем изображении, ученые полностью сбиты с толку. Куб обладает еще БОЛЬШЕЙ СИММЕТРИЕЙ, чем “прямоугольная” туманность!

Такие паттерны появляются не только в безбрежности пространства. Они возникают и на самом крошечном уровне атомов и молекул, например, в кубической структуре обычной поваренной соли или хлористого натрия. Ан Панг Цая (Япония) сфотографировал квазикристаллы сплава алюминий-медь-железо в форме додекаэдра и сплава алюминий-никель-кобальт в форме декагональной (десятисторонней) призмы (см.фото). Проблема в том, что вы не можете создать такие кристаллы, пользуясь единичными связанными вместе атомами .

Другой пример – конденсат Бозе-Эйнштейна. Кратко говоря, конденсат Бозе-Эйнштейна – это большая группа атомов, ведущая себя как отдельная “частица”, в которой каждый составляющий ее атом одновременно занимает все пространство и все время во всей структуре . Измерено, что все атомы вибрируют на одной и той же частоте, движутся с одинаковой скоростью и расположены в одной и той же области пространства. Парадоксально, но разные части системы действуют как единое целое, теряя все признаки индивидуальности . Именно такое свойство требуется для “сверхпроводника”. Обычно конденсат Бозе-Эйнштейна может формироваться при крайне низких температурах. Однако именно такие процессы мы наблюдаем в микрокластерах и квазикристаллах, лишенных индивидуальной атомной идентичности.

Еще один подобный процесс – действие света лазера, известного как “когерентный” свет. В пространстве и времени весь лазерный луч ведет себя как единичный “фотон” , то есть, в лазерном луче невозможно выделение индивидуальных фотонов.

Более того, в конце 1960-х годов английский физик Герберт Фрёлих предположил, что живые системы часто ведут себя как конденсаты Бозе-Эйнштейна , только в крупном масштабе.

Фотографии туманности предлагают ошеломляющее видимое доказательство того, что геометрия играет бо льшую роль в силах Вселенной, чем может поверить большинство людей. Наши ученые могут лишь сражаться за понимание этого феномена в рамках существующих традиционных моделей.